Liên quan đến lý thuyết nửa nhóm
Các định nghĩa cơ bản
[2] Ta gọi một phép toán hai ngôi trên tập S là một ánh xạ từ S × S vào S, trong đó S × S là tập tất cả các cặp có thứ tự các phần tử thuộc S Nếu ánh xạ đó được kí hiệu bởi dấu chấm (.) thì ảnh trong S của phần tử (a, b) ∈ S × S được kí hiệu bởi a.b Thường ta bỏ dấu chấm đó và viết đơn giản là ab Để kí hiệu các phép toán hai ngôi ta cũng dùng các dấu +, ◦, ∗.
[2]Ta gọi một phỏng nhóm là một hệ thống S(.) gồm một tập S khác rỗng và một phép toán hai ngôi (.) trên nó Thường ta viết S thay cho S(.), nếu điều đó không dẫn tới sự hiểu lầm nào.
[2]Một phép toán hai ngôi bộ phận trên tập S là một ánh xạ từ một tập con khác rỗng của tậpS × S vào S Một phỏng nhóm bộ phận là một hệ thốngS(.) gồm một tập S khác rỗng và một phép toán hai ngôi bộ phận trên nó.
[2]Phép toán hai ngôi (.) trên S gọi là kết hợp nếu a.(b.c) = (a.b).c, ∀a, b, c ∈ S. Định nghĩa 1.1.1 [2]Nửa nhóm là một phỏng nhóm S(.), trong đó phép toán (.) có tính kết hợp.
Ví dụ 1.1.1 Tập (Z ; +) và (Z ; ) là một nửa nhóm.
[2]Phép biến đổi của một tậpX là một ánh xạ từX vào chính nó Ta sẽ kí hiệu ảnh của phần tử x ∈ X qua phép biến đổi hoặc ánh xạ α là αx
[2]Tích( hay hợp thành) của hai phép biến đổi α và β của tập X là phép biến đổi αβ định nghĩa như sau: (αβ )x = α(βx) với mọi x ∈ X Luật kết hợp α(βγ) = (αβ)γ thoả mãn, vì với mỗi x ∈ X :
Do đó tập G X tất cả các phép biến đổi của tập X là một nửa nhóm đối với phép hợp thành Ta gọi G X là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên X.
[2] Tập con T khác rỗng của một phỏng nhóm S được gọi là phỏng nhóm con của
[2]Giao của một họ tuỳ ý của các phỏng nhóm con hoặc là rỗng hoặc là một phỏng nhóm con.
[2]Nếu S là nửa nhóm thì mọi phỏng nhóm con tuỳ ý của S cũng là nửa nhóm, và ta sẽ dùng từ nửa nhóm con thay cho từ phỏng nhóm con.
Ví dụ 1.1.2 Tập các số tự nhiên chia hết cho 3 cùng với phép toán cộng hoặc nhân thông thường là một nửa nhóm con của nửa nhóm các số tự nhiên N.
Tập các số tự nhiên lẻ cùng với phép toán cộng không là một nửa nhóm con của
[2] Nếu S là phỏng nhóm, thì lực lượng |S| của tập S được gọi là cấp của S. [2]Ta nói phần tử a thuộc phỏng nhóm S là giản ước trái [phải] được, nếu với mọi x, y tuỳ ý thuộc S hệ thức a.x = a.y [x.a = y.a] kéo theo x = y.
Phỏng nhómS được gọi là phỏng nhóm với luật giản ước trái [phải], nếu mỗi phần tử thuộc S giản ước trái [phải] được.
Ta nói phỏng nhóm S với luật giản ước, nếu S vừa là phỏng nhóm với luật giản ước trái, vừa là phỏng nhóm với luật giản ước phải. Định nghĩa 1.1.2 [2]Ta nói hai phần tử a và b thuộc nửa nhóm S giao hoán với nhau nếu a.b = b.a Nửa nhóm S được gọi là giao hoán nếu hai phần tử tuỳ ý của nó giao hoán với nhau.
Khi đó ta có luật các số mũ sau : a m+n = a m a n ; (a m ) n = a mn ; (ab) n = a n b n
Nếu a 1 , a 2 , , a n là các phần tử thuộc một nửa nhóm giao hoán và ϕ là một phép thế tuỳ ý trên tập 1,2, ,n, thì a 1ϕ a 2ϕ a nϕ = a 1 a 2 a n
Trong nửa nhóm giao hoán tất cả các tích củaa 1 , a 2 , , a n là bằng nhau (không kể đến thứ tự các phần tử ).
Ví dụ 1.1.3 Nửa nhóm (Z ; +); ( Q , ) đều là những nửa nhóm giao hoán Định nghĩa 1.1.3 [2]Phần tử e thuộc một phỏng nhóm S được gọi là đơn vị trái [phải], nếu ea = a[ae = a] với mọi a ∈ S Phần tử e thuộc phỏng nhóm S được gọi là đơn vị nếu nó vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải.
Ví dụ 1.1.4 1 là một đơn vị của tập các số nguyên với phép nhân thông thường. Định nghĩa 1.1.4 [2] Phần tử z thuộc phỏng nhómS được gọi là phần tử không bên trái [phải] nếu za = z[az = z] với mọi a ∈ S Phần tử z được gọi là phần tử không nếu nó vừa là phần tử không bên trái vừa là phần tử không bên phải củaS. Định nghĩa 1.1.5 [2] Nửa nhóm S với phần tử không 0 được gọi là nửa nhóm với phép nhân không, nếu ab = 0, ∀a, b ∈ S. Định nghĩa 1.1.6 [2] Phần tử e thuộc phỏng nhóm S được gọi là một luỹ đẳng, nếu e.e = e Nếu mỗi phần tử thuộc nửa nhóm S là luỹ đẳng thì ta nói S là nửa nhóm các luỹ đẳng, hay một băng.
Ví dụ 1.1.5 Phần tử đơn vị và phần tử không một phía là các luỹ đẳng.
[2] Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý, 1 là một kí hiệu và không thuộc S Khi đó ta mở rộng phép toán hai ngôi trên tập S lên tập hợp S ∪ {1} bằng cách đặt1.1 = 1 và 1.a = a.1 = a với mọi a ∈ S Dễ thấy S ∪ {1} là một nửa nhóm với phần tử đơn vị là 1 Tương tự ta có thể ghép phần tử không vàoS, bằng cách đặt0.0 = 0.a = a.0 = 0 với mọi a ∈ S Và ta kí hiệu : S 1 là S nếu như S có đơn vị, là
S ∪ {1} trong những trường hợp trái lại; tương tự S 0 cũng vậy, là S nếu như S có phần tử không và |S| > 1, còn S ∪ {0} trong trường hợp trái lại.
[2] Nhóm là một nửa nhóm G, chứa một phần tử đơn vị trái e, sao cho với mỗi phần tử tuỳ ý a ∈ G tồn tại y ∈ G mà ya = e Phần tử y thoả mãn phương trình ya = e, được gọi là phần tử nghịch đảo bên trái của a đối với e Suy ra phần tử nghịch đảo bên trái cũng là phần tử nghịch đảo bên phải của a và được kí hiệu là a −1 , còn e cũng là phần tử đơn vị phải.
[2] Ta gọi hai mệnh đề hoặc hai khái niệm là đối ngẫu, nếu một trong chúng thu được từ cái kia bằng cách thay mỗi tích ab trong các phát biểu tương ứng bởi ba.
Ta ký hiệu d(A)là mệnh đề đối ngẫu với mệnh đề A Nếu mệnh đề có dạng "A kéo theo B" thì mệnh đề đối ngẫu của nó có dạng "d(A) kéo theo d(B)" Rõ ràng nếu một trong hai mệnh đề đó đúng , thì mệnh đề kia cũng đúng.
Định nghĩa đồng cấu
Định nghĩa 1.1.11 [2] Giả sử S và S 0 là các phỏng nhóm Ánh xạ ϕđi từ S vào
S 0 được gọi là đồng cấu nếu ϕ(ab) = ϕ(a) ϕ(b) với mọi a, b ∈ S.
Ta sẽ nói ϕ(S) là ảnh đồng cấu của phỏng nhóm S và viết S ∼ ϕ(S) Nếu S là nửa nhóm thì ϕ(S) cũng là nửa nhóm. Đồng cấu một - mộtϕ từ phỏng nhóm S vào phỏng nhóm S 0 được gọi là đẳng cấu từ S vào S 0 Trong trường hợp đó ta nói các phỏng nhóm S và ϕ(S) đẳng cấu với nhau và viếtS ∼ = ϕ(S). Đồng cấu từ phỏng nhómSvào chính nó gọi là tự đồng cấu, còn đẳng cấu từ phỏng nhóm S lên chính nó được gọi là tự đẳng cấu.
Ví dụ 1.1.7 Cho X là một nửa nhóm Khi đó ánh xạ đồng nhất:
∀x ∈ X là một tự đồng cấu nửa nhóm Ngoài ra nó còn là một tự đẳng cấu nửa nhóm.
Ví dụ 1.1.8 Cho A là một nửa nhóm con của X Khi đó ánh xạ j A : A → X, j A (x) = x ∀x ∈ A là đơn cấu nửa nhóm, gọi là phép nhúng chính tắc của A vào X.
Ví dụ 1.1.9 Cho X là một nửa nhóm, Y là một vị nhóm Khi đó ánh xạ f : X → Y, f (x) = 1 Y , ∀x ∈ X là đồng cấu nửa nhóm Nếu X là vị nhóm thì ánh xạ f : X → Y, f (x) = 1 Y ∀x ∈ X là đồng cấu vị nhóm.
Iđêan, nửa nhóm đơn
Định nghĩa 1.1.12 [2] Iđêan trái [phải] của phỏng nhóm S được định nghĩa là một tập con khác rỗng A của S, mà SA ⊆ A [AS ⊆ A] Iđêan hai phía hay gọi tắt là iđêan nếu nó vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải.
Trong nửa nhóm giao hoán thì khái niệm iđêan trái, iđêan phải, iđêan hai phía là trùng nhau. Định nghĩa 1.1.13 [2] Một iđêan M hai phía [trái, phải] của nửa nhóm S được gọi là tối thiểu nếu nó không chứa thực sự các iđêan [trái, phải] khác của S Định nghĩa 1.1.14 [2] Phỏng nhómS gọi là đơn trái [ phải ] nếu S là iđêan trái [ phải ] duy nhất của nó Phỏng nhómS được gọi là đơn nếu nó không chứa iđêan thực sự. Định nghĩa 1.1.15 [2] Nửa nhóm S với phần tử 0 được gọi là nửa nhóm 0-đơn [0-đơn trái, 0-đơn phải] nếu:
(ii) 0 là iđêan hai phía [trái, phải] thực sự duy nhất của S.
[2]Nếu A là tập con khác rỗng của phỏng nhóm S, thì giao của tất cả các iđêan trái của S chứa A là iđêan trái chứa A và được chứa trong mọi iđêan trái tuỳ ý khác có tính chất đó Ta gọi nó là iđêan trái của phỏng nhóm S sinh bởi A Nếu
A gồm một phần tử a, thì ta gọi L(a) = {a} ∪ Sa = S 1 a, R(a) = {a} ∪ aS = aS 1 và J(a) = S 1 aS 1 tương ứng là các iđêan chính trái, phải, hai phía của nửa nhóm S sinh bởi a.
[9]Lấy S là một nửa nhóm bất kì Ta có một số tính chất cơ bản của iđêan sau: (α) S là một iđêan hai phía của chính nó.
(β) Nếu S có một phần tử 0, thì 0 là một iđêan hai phía của S.
(γ) Hợp của các iđêan trái bất kì là một iđêan trái của chính nó.
(δ) Giao của các iđêan trái bất kì là một iđêan trái của chính nó nếu giao không rỗng.
(ε) Nếu B là một nửa nhóm con củaS, I là một iđêan trái của S và B∩I6= ∅ thì
B∩I là một iđêan trái của B.
Những tính chất trên cũng đúng đối với iđêan phải.
Bây giờ ta sẽ xét tính chất cơ bản của iđêan hai phía.
(α).Hợp của các iđêan hai phía bất kì của nửa nhóm S là iđêan hai phía của S. (β) Tích của hai iđêan hai phía của S là một iđêan hai phía của S.
(γ) Giao của các iđêan hai phía bất kì của S là một iđêan hai phía của S nếu giao không rỗng.
(δ) Giao của hai iđêan hai phía của S là một iđêan hai phía của S.
(ε) Một tập con của S bao gồm một phần tử x là một iđêan hai phía của S nếu và chỉ nếux là phần tử không của S.
(ς ) Nếu S có một phần tử 0 S , thì 0 S được chứa trong mọi iđêan hai phía của S. (η) NếuB là một nửa nhóm con của S và I là một iđêan hai phía của S, thì giao
B∩I nếu không rỗng thì cũng là một iđêan hai phía của B.
(θ) NếuI là một iđêan hai phía củaS, thì tập Y bao gồm tất cả các phần tửu ∈ S sao cho uS ⊂I là một iđêan hai phía của S. Định nghĩa 1.1.16 [3] Một nửa nhóm con B của một nửa nhóm S được gọi là cô lập nếu và chỉ nếu với phần tửx ∈ S và số tự nhiên n bất kì, thì từ x n ∈B suy ra được x ∈B Nếu B là một iđêan thì ta nói B là iđêan cô lập.
Ví dụ 1.1.10 Tập các số tự nhiên chia hết cho 5 là một iđêan cô lập của N. Định nghĩa 1.1.17 [3] Iđêan B của nửa nhóm S được gọi là iđêan cô lập hoàn toàn, nếu từxy ∈B, suy ra x ∈B và y ∈B Tập rỗng qui ước là một iđêan cô lập hoàn toàn.
[3] Sau đây là các tính chất của iđêan cô lập:
1 Một nửa nhóm con cô lập hoàn toàn của một nửa nhóm S là cô lập.
Giả sử B là một nửa nhóm con cô lập hoàn toàn của nửa nhóm S Ta sẽ chứng minh B là một nửa nhóm con cô lập Thật vậy :
∀x n , y n ∈ S mà x n y n ∈B ta suy ra x n ∈B và y n ∈B Từ x n = x n−1 x ∈B suy ra x ∈B Vậy B là một nửa nhóm con cô lập.
2 S chính là một nửa nhóm con cô lập hoàn toàn của chính nó.
3 Một nửa nhóm con B sẽ là cô lập hoàn toàn nếu và chỉ nếu S\B hoặc là một nửa nhóm con hoặc là tập rỗng.
4 Giao của bất kì các nửa nhóm con cô lập là một nửa nhóm con cô lập nếu các nửa nhóm con không rỗng.
Giả sử A = ∩ i B i ( Với B i là các nửa nhóm con cô lập của S và B i 6= ∅).
Lấy x n ∈ A ⇒ x n ∈ ∩ i B i ⇒ x n ∈ B j , (∀j) Vì B j là một nửa nhóm con cô lập nên ta suy ra x ∈ B j , (∀j ) ⇒ x ∈ ∩ i B i ⇒ x ∈ A.
Vậy giao của các nửa nhóm con cô lập là một nửa nhóm con cô lập.
5 Hợp của các iđêan trái cô lập bất kì là một iđêan trái cô lập.
Giả sử B i là các iđêan trái cô lập của S ⇒ SB i ⊆ B i và nếu x n ∈ B i ⇒ x ∈ B i
Ta sẽ chứng minh nếu x n ∈ ∪ i B i ⇒ x ∈ ∪ i B i và ∪ i SB i ⊆ ∪ i B i. Thật vậy:
Từ x n ∈ ∪ i B i suy ra ∃j mà x n ∈ B j ⇒ x ∈ B j nên suy ra x ∈ ∪ i B i
Lấy x ∈ ∪ i SB i suy ra ∃j mà x ∈ SB j ⇒ x ∈ B j ⊆ ∪ i B i Vậy ∪ i SB i ⊆ ∪ i B i Suy ra điều phải chứng minh.
6 Hợp các iđêan trái cô lập hoàn toàn bất kì là một iđêan trái cô lập hoàn toàn. Chứng minh : Ta vừa chứng minh ở trên hợp của các iđêan trái cô lập là một iđêan trái cô lập Bây giờ ta sẽ chứng minh tính hoàn toàn của nó.
Thật vậy, vì x.y ∈ ∪ i B i nên ∃j để x.y ∈ B j ⇒ x ∈ B j , y ∈ B j ( vì B i là cô lập hoàn toàn) Từ đó ta suy ra x ∈ ∪ i B i , y ∈ ∪ i B i ( đpcm)
7 Để một iđêan B là cô lập, thì điều kiện đủ là với mọi x ∈ S, thì từ x 2 ∈B suy ra x ∈B.
Giả sử B không phải là iđêan cô lập Điều này có nghĩa là tồn tại một số phần tử x ∈ S\B mà x n ∈B, (n > 2).
Lấy một phần tử x từ S\B và một số tự nhiên n sao cho cách chọn n là nhỏ nhất.
Số n không thể là chẵn, nếu không thì từ
(x n/2 ) 2 ∈B ta suy ra x n/2 ∈B mà ((n/2) < n)mâu thuẫn với cách chọn giá trị nhỏ nhất của n.
Số n cũng không thể là lẻ ( n > 1), nếu không thì x n+1 ∈B
(vìx n+1 = x n x = x.x n ∈ SB⊆B, do B là một iđêan), ta cũng suy ra x (n+1)/2 ∈B mà ((n + 1)/2 < n) mâu thuẫn với giá trị nhỏ nhất của n Vậy điều giả sử là sai do đó ta có điều phải chứng minh.
8 NếuBlà một ideal hai phía cô lập của một nửa nhóm S mà S cũng là một ideal hai phía của một trong những nhóm cực tiểu S 0 , thì B cũng là ideal hai phía của nửa nhóm S 0
Chứng minh: Với x ∈ S 0 và b ∈B thì xb ∈ S 0 B⊂ S 0 S ⊂ S (vì B⊂ S và S là ideal hai phía của S 0 ), ta lại có xbx = (xb)x ∈ SS 0 ⊂ S Giả sử xb / ∈ B, vì B là cô lập trong S, nên ta có (xb) 2 ∈ / B Tuy nhiên, điều này là vô lý vì
Tương tự bx / ∈ B cũng là điều không thể xảy ra Do đó, B phải là một ideal hai phía của S 0 Điều phải chứng minh. Định nghĩa 1.1.18 [3] Một nửa nhóm con F của nửa nhóm A được gọi là lọc củaA nếu ∀x, y ∈ A, xy ∈ F thì x, y ∈ F
Ví dụ 1.1.11 (Q ∗ , ) là một lọc của (Q , )
Nửa nhóm tách được, nửa nhóm Ácsimét [2]
Định nghĩa 1.1.19 Nhóm con G của nửa nhóm S được gọi là nhóm con tối đại của nửa nhóm S nếu nó không được chứa thực sự trong một nhóm con nào khác củaS.
Ví dụ 1.1.12 H e là nhóm các phần tử khả nghịch trong nửa nhóm eSe và H e là nhóm con tối đại của nửa nhóm S. Định nghĩa 1.1.20 Một nửa nhóm S gọi là tách được nếu nó có tính chất ab = a 2 = b 2 (a, b ∈ S) kéo theo a = b.
Ví dụ 1.1.13 Nửa nhóm giao hoán có luật giản ước là nửa nhóm tách được. Định nghĩa 1.1.21 [3] Một phần tử b của nửa nhóm S được gọi là số chia phải của phần tửa trong nửa nhóm S nếu tồn tại trongS một phần tử xsao choxb = a. Phần tử b được gọi là số chia trái của a nếu tồn tại trong S một phần tửy sao cho by = a.
Nếu b là một số chia phải [trái] của a, thì chúng ta nói rằng a là số chia hết bên phải [trái] cho b Nếu b là số chia cả hai bên của a thì ta nói a là số chia hết cho b ở cả hai bên.
Quan hệ chia hết là một quan hệ phản xạ, bắc cầu và ổn định trên S Nếu quan hệ chia hết ρ là một tương đẳng trên một nửa nhóm S sao cho S/ρ là luỹ đẳng thì ta gọiρ là luỹ đẳng. Định nghĩa 1.1.22 Nửa nhóm giao hoán S là nửa nhóm " Ácsimét " nếu với hai phần tử tuỳ ý củaS, mỗi phần tử chia hết một luỹ thừa nguyên dương nào đó của phần tử kia.
Nghĩa là với hai phần tửa, b ∈ S bất kì, tồn tại x, y ∈ S sao cho ax = b m và by = a n Định nghĩa 1.1.23 Mọi nửa nhóm giao hoán S biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng một dàn của các nửa nhóm " Ácsimét" ; các nửa nhóm này ta gọi là các " thành phần Ácsimét" của S. Định nghĩa 1.1.24 Ta định nghĩa một quan hệ η trên một nửa nhóm giao hoán
S như sau : a η b (a, b ∈ S) khi và chỉ khi mỗi một trong các phần tử a và b chia hết một luỹ thừa nguyên dương nào đó của phần tử kia. Định lý 1.1.2 Quan hệ η trên một nửa nhóm giao hoán S là một tương đẳng trên
S và S/η là ảnh đồng cấu nửa dàn tối đại của S. Định lý 1.1.3 Mỗi nửa nhóm giao hoán S biểu diễn được một cách duy nhất thành nửa dàn Y các nửa nhóm Ácsimét S α (α ∈ Y ) Nửa dàn Y đẳng cấu với ảnh đồng cấu nửa dàn tối đại S/η của S, và các S α (α ∈ Y ) là các lớp tương đương của
S theo môđun η. Định nghĩa 1.1.25 Ta nói một tương đẳng ρ trên một nửa nhóm giao hoánS là tách được nếu S/ρ là tách được, nghĩa là nếu ab ρ a 2 ρ b 2 kéo theo a ρ b.
Rõ ràng giao của một tập các tương đẳng tách được trên S là tách được. Định nghĩa 1.1.26 Ta định nghĩa một quan hệ σ trên một nửa nhóm giao hoán
S như sau : a σ b (a, b ∈ S) khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên dương n sao cho ab n = b n+1 và ba n = a n+1
Chú ý : Nếu tồn tại các số nguyên dương m và n sao cho ab m = b m+1 và ba n = a n+1 , thì aσb. Định lý 1.1.4 Quan hệ σ vừa định nghĩa trên một nửa nhóm giao hoán S là một tương đẳng và S/σ là ảnh đồng cấu tách được tối đại của S.
Hệ quả 1.1.5 Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán tách được Nếu a và b là các phần tử thuộc S sao cho ab m = b m+1 và ba n = a n+1 với các số nguyên dương m và n nào đó thì a = b. Định lý 1.1.6 Một nửa nhóm giao hoán là tách được khi và chỉ khi các thành phần Ásimét của nó là giản ước được.
Nhúng chìm nửa nhóm [2 ],[3]
Định nghĩa 1.1.27 [3] Một tập con B khác rỗng của một nửa nhóm A được gọi là nửa nhóm con nếu
A lúc này gọi là siêu nửa nhóm của B.
Một nửa nhóm con thuộc một nhóm thì không nhất thiết là một nhóm Ví dụ, nửa nhóm các số tự nhiên với phép nhân thì không phải là một nhóm, nhưng nó là nửa nhóm con thuộc nhóm các số hữu tỉ dương. Định nghĩa 1.1.28 [3]Nửa nhóm mà các nửa nhóm con của nó thuộc một nhóm nào đó thì gọi là nửa nhóm được nhúng chìm trong nhóm đó.
Lóp các nửa nhóm được nhúng chìm trong nhóm là đề tài của rất nhiều nghiên cứu. Định lý 1.1.7 [3] A là nửa nhóm với luật giản ước mà bất kỳ a, b ∈ A thì luôn tồn tại u, v ∈ A sao cho au = bv thì A có thể nhúng chìm trong một nhóm Định lý 1.1.8 Một nửa nhóm giao hoán có thể nhúng chìm vào một nhóm khi và chỉ khi nó là một nửa nhóm với luật giản ước. Định lý 1.1.9 Một nửa nhóm giao hoán S có thể nhúng chìm được vào một nửa nhóm là hợp của các nhóm khi và chỉ khi S là tách được. Định nghĩa 1.1.29 Ta gọi nửa nhóm S là thuận nghịch bên phải [bên trái] nếu giao của hai iđêan chính trái [phải] bất kì của S là khác rỗng, tức là Sa ∩ Sb 6=
∅ [aS ∩ bS 6= ∅] với mọi a, b ∈ S Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm thuận nghịch nếu nó thuận nghịch cả bên trái lẫn bên phải. Định lý 1.1.10 Mọi nửa nhóm thuận nghịch phải với luật giản ước nhúng chìm được vào một nhóm. Định nghĩa 1.1.30 Ta nói G là nhóm các thương bên trái của một nửa nhóm S, nếuGlà một nhóm chứa S sao cho mỗi phần tử thuộc G biểu diễn được dưới dạng a −1 b, trong đó a, b ∈ S. Định lý 1.1.11 Nửa nhóm S với luật giản ước nhúng chìm được vào nhóm các thương bên trái khi và chỉ khi nó thuận nghịch phải. Định lý 1.1.12 Một nửa nhóm giao hoán S được biểu diễn một cách duy nhất thành một nửa dàn Y các nửa nhóm ÁcsimétS α (α ∈ Y ) Nửa nhóm S có thể nhúng chìm vào một nửa nhóm T là hợp của các nhóm khi và chỉ khi S là tách được, và điều đó xảy ra khi và chỉ khi mỗi S α là giản ước được Nửa nhóm T có thể lấy là hợp của chính nửa dàn Y các nhóm G α , trong đó G α là nhóm các thương của S α với mỗi α ∈ Y.
Nửa nhóm chính quy [3]
Định nghĩa 1.1.31 Phần tửa thuộc nửa nhóm S được gọi là phần tử chính qui, nếu chúng ta có thể tìm trong S một phần tử x sao cho axa = a Định nghĩa 1.1.32 Một nửa nhóm mà mỗi phần tử của nó là chính quy thì được gọi là nửa nhóm chính quy. Định nghĩa 1.1.33 Ta nói nửa nhóm S là chính quy trái [phải] Nếu với mỗi phần tử a ∈ S tồn tại x ∈ S sao cho xa 2 = a [a 2 x = a] Định nghĩa 1.1.34 Ta nói nửa nhóm S là chính quy giữa Nếu với mỗi phần tử a ∈ S tồn tại x, y ∈ S sao cho xa 2 y = a Định nghĩa 1.1.35 Một phần tử a được gọi là chính quy hoàn toàn nếu chúng ta tìm thấy trong S một phần tử x sao cho axa = a, ax = xa Định nghĩa 1.1.36 Một nửa nhóm mà tất cả các phần tử của nó là phần tử chính quy hoàn toàn thì được gọi là nửa nhóm chính quy hoàn toàn.
Ví dụ 1.1.14 1 Mọi phần tử luỹ đẳng đều là phần tử chính quy Nói riêng, nếu
S có phần tử đơn vị thì phần tử ấy là phần tử chính qui.
2 Mọi nhóm đều là nửa nhóm chính qui.
3 Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ G X của tập hợp X khác rỗng là nửa nhóm chính qui.
4 Tập các số nguyên Z với phép toán cộng là một nửa nhóm chính qui hoàn toàn. Một nửa nhóm là nửa nhóm chính qui hoàn toàn nếu nó là một nhóm Nếu S là nhóm giao hoán thì khái niệm chính quy và chính quy hoàn toàn là trùng nhau. Định nghĩa 1.1.37 Một phần tử i của nửa nhóm S mà nó vừa là đơn vị trái của phần tử a ∈ S vừa là chia hết bên trái cho a thì được gọi là phần tử đơn vị chính qui trái. Định nghĩa 1.1.38 Phần tử i được gọi là phần tử đơn vị chính qui phải của a nếu nó vừa là đơn vị bên phải của a, vừa là chia hết bên phải cho a. Định nghĩa 1.1.39 i được gọi là đơn vị chính qui hai phía của a nếu i vừa là đơn vị hai phía của a, vừa là chia hết cả bên phải và bên trái cho a.
Luỹ đẳng là một phần đặc biệt quan trong trong việc nghiên cứu tính chất của chính qui.
Mỗi luỹ đẳng là một phần tử chính qui hoàn toàn Nó cũng là đơn vị chính qui hai phía của chính nó Một đơn vị chính qui trái của một phần tử bất kì thì luôn là một luỹ đẳng Tương tự với phần tử đơn vị chính qui phải.
Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số tính chất không những là điều kiện cần mà còn là điều kiện đủ để nửa nhóm là nhóm.
(α) Nếu trong một nửa nhóm có đơn vị mà mỗi phần tử trong nửa nhóm có đơn vị chính qui trái thì nửa nhóm đó là một nhóm.
(β) nếu nửa nhóm chính qui S chỉ có duy nhất một luỹ đẳng thì nó là một nhóm.(γ) Một nhóm chính qui có luật giản ước hai phía thì là một nhóm.
Nửa nhóm ngược
Định nghĩa 1.1.40 [3] Nếu hai phần tử a và b của nửa nhóm S thoả mãn điều kiện sau : aba = a và bab = b thì ta nói a và b là ngược nhau. Định lý 1.1.13 [2]Mỗi phần tử chính qui của một nửa nhóm có ít nhất một phần tử ngược với nó Một phần tử chính qui hoàn toàn có một phần tử ngược mà giao hoán với nó.
Bổ đề 1.1.14 [2] Hai phần tử thuộc một nửa nhóm S là nghịch đảo của nhau trong một nhóm con nào đó của S khi và chỉ khi chúng ngược nhau và giao hoán với nhau. Định nghĩa 1.1.41 [2] Nửa nhóm ngược là nửa nhóm chính quy trong đó mỗi phần tử có một phần tử ngược duy nhất.
Ví dụ 1.1.15 1 Nếu S là một nhóm thì S là một nửa nhóm ngược, và phần tử ngược của x ∈ S chính là phần tử nghịch đảo nhóm của x.
2 Giả xử X là tập tuỳ ý khác rỗng Khi đó tập hợp J X là các phép biến đổi một - một từ X vào chính nó cùng với phép hợp thành ánh xạ là một nửa nhóm ngược.
[2] Nếu a và b là hai phần tử thuộc một nhóm con tối đại H nào đó của nửa nhóm S, đặc biệt khi S chính là một nhóm, thì a và b ngược nhau khi và chỉ khi chúng là nghịch đảo của nhau trong nhóm H với nghĩa thông thường
Bổ đề 1.1.15 [2] Nếu e, f, ef và f e là các luỹ đẳng thuộc nửa nhóm S, thì ef và fe ngược nhau. Định lý 1.1.16 [2] Ba điều kiện sau đối với một nửa nhóm S là tương đương: (i) S chính qui và hai luỹ đẳng bất kì của nó giao hoán với nhau;
(ii) Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử sinh luỹ đẳng duy nhất.
(iii) S là nửa nhóm ngược.
Bổ đề 1.1.17 [2] S là một nửa nhóm ngược với luật giản ước phải thì S là một nhóm. Định lý 1.1.18 [2] Giả sử S là một nửa nhóm ngược, và α : S → P là một đồng cấu nửa nhóm Thế thì α(S) là một nửa nhóm con ngược của P Nói riêng, nếu α là toàn cấu thì P cũng là nửa nhóm ngược.
Hệ quả 1.1.19 [2] Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm ngược S Khi đó : (i) S/ρ là một nửa nhóm ngược.
[2] Giả sử T là một nửa nhóm con của nửa nhóm ngược S Khi đó T được gọi là một nửa nhóm con ngược của S nếu với mọi x ∈ T thì x −1 ∈ T, trong đó x −1 là phần tử ngược của x trong S.
Nửa nhóm tuần hoàn [2]
Nếu a là một phần tử tùy ý của một nửa nhóm S, thì nửa nhóm con hai của S sinh bởi a : hai = a, a 2 , a 3 ,
Nếu hai = S, thì S được gọi là nửa nhóm monogenic (nửa nhóm cyclic) Trong trường hợp tổng quát, ta gọihailà nửa nhóm con cyclic của S sinh bởi a Cấp của a được định nghĩa là cấp của hai.
Các nửa nhóm đơn cũng được gọi là nửa nhóm cyclic. Định nghĩa 1.1.42 Nếu mọi luỹ thừa của a đều khác nhau thì a có cấp vô hạn (đếm được).
Nếu tồn tại các số nguyên dương r và s với r < s sao cho a r = a s thì a có cấp hữu hạn. Định nghĩa 1.1.43 Một nửa nhóm S được gọi là tuần hoàn nếu mỗi phần tử của nó có cấp hữu hạn Nói riêng, mỗi nửa nhóm hữu hạn là tuần hoàn.
Ta còn có một định nghĩa khác của nửa nhóm tuần hoàn. Định nghĩa 1.1.44 Một nửa nhóm S được gọi là tuần hoàn nếu tất các nhóm con đơn của nó là hữu hạn.
Bổ đề 1.1.20 Một nửa nhóm tuần hoàn với luật giản ước trái là một nhóm nếu và chỉ nếu nó có duy nhất một luỹ đẳng. Định nghĩa 1.1.45 [3] Chúng ta định nghĩa O i là tập gồm tất cả các phần tử chính qui hoàn toàn của S nhận i làm đơn vị chính qui hai phía.
Bổ đề 1.1.21 [3] O i là một nhóm con của nửa nhóm S.
Cho nửa nhóm tuần hoàn S Nếu phần tử a ∈ S có luỹ đẳng i là một đơn vị phải của a và i là chia hết bên trái cho a, thì a ∈O i Hay ai = a, ab = i thì a ∈O i
Mỗi nửa nhóm giao hoán tuần hoàn là một nửa dàn các nửa nhóm có một luỹ đẳng.
Quan hệ Green [2]
Định nghĩa 1.1.46 Ta nói hai phần tử thuộc một nửa nhóm S làL–tương đương nếu chúng sinh ra cùng một ideal chính trái của S Tính R – tương đương được định nghĩa một cách đối ngẫu Ta kí hiệu hợp của các quan hệ tương đương L và
R là D , còn giao của chúng là H.
Ta định nghĩa quan hệ L trên một nửa nhóm S bằng cách đặt a L b khi và chỉ khi a và b sinh ra cùng một iđêan chính trái của S Hay nói khác đi, L là một tập con của S × S gồm tất cả các cặp (a, b) sao cho {a} ∪ Sa = {b} ∪ Sb hay S 1 a = S 1 b. Trong đó S 1 trùng với S nếu như S chứa đơn vị, còn trong trường hợp S không chứa đơn vị thì ta ghép thêm đơn vị 1 Rõ ràng L là một quan hệ tương đương, hơn nữa nếu a L b thì ac L bc với c tùy ý thuộc S, tức L là tương đẳng phải Nếu a L b thì ta nóia và bL - tương đương Ký hiệuL a là tập tất cả các phần tử thuộc
S mà L − tương đương với a, nói khác đi, L a là lớp tương đương theo mod L chứa a, ta gọi nó là L − lớp chứa a Ta định nghĩa quan hệ R một cách đối ngẫu, bằng cách đặt a R b khi và chỉ khi aS 1 = bS 1 Chú ý rằng R là tương đẳng trái trên S.
Ta kí hiệu R a là lớp tương đương của S theo mod R chứa a, hay ta còn gọi là R − lớp chứa a.
D − lớp của S chứa phần tửa sẽ được kí hiệu bởiD a Trên nửa nhóm S ta xác định quan hệ J bằng cách đặt a J b khi và chỉ khi S 1 aS 1 = S 1 bS 1 , tức là các phần tử a và bJ − tương đương khi và chỉ khi chúng sinh ra cùng một iđêan chính hai phía.
Ta kí hiệu J a là tập tất cả các phần tử sinh ra iđêan S 1 aS 1 , tức là J − lớp chứa a.
Ta cũng kí hiệu H − lớp chứa a là H a Rõ ràng H a = R a ∩ L a
Chú ý rằng R- lớp R và L- lớp L của nửa nhóm S giao nhau khi và chỉ khi chúng được chứa trong một D-lớp củaS.
Bổ đề 1.1.22 (Grin) Giả sử a và b là các phần tử R- tương đương tuỳ ý thuộc nửa nhóm S, và giả sử s, s 0 là các phần tử thuộc S 1 sao cho as=b và bs 0 =a (Tồn tại các phần tử s, s 0 như vậy) Khi đó các ánh xạ x → xs (x ∈ L a ) và y → ys 0 (y ∈ L b ) ngược nhau bảo tồn các R- lớp và ánh xạ một - một từ L a lên L b và từ L b lên L a tương ứng. Định lý 1.1.23 Tích LR của L- lớp bất kì L và R - lớp bất kì R của nửa nhóm
S được chứa hoàn toàn trong một D - lớp của S.
Nửa nhóm là hợp của các nhóm [2]
Định nghĩa 1.1.47 Một tập con X của một nửa nhóm S gọi là nửa nguyên tố nếu với a ∈ S mà a 2 ∈ X thì a ∈ X Định lý 1.1.24 Các điều kiện sau là tương đương trên một nửa nhóm S:
(A) S là hợp của các nhóm.
(B) S vừa là chính quy trái vừa là chính qui phải
(C) Mỗi iđêan trái và mỗi iđêan phải của S là nửa nguyên tố.
(D) S là chính qui trái và chính qui.
(D’) S là chính quy phải và chính qui.
(E) Mỗi H− lớp của S là một nhóm.
(F) S là hợp của các nhóm rời nhau. Định nghĩa 1.1.48 Luỹ đẳng f thuộc nửa nhóm S được gọi là nguyên thuỷ nếu f 6= 0 và nếu e ≤ f kéo theo e = 0 hoặc e = f.
Ta nói nửa nhóm đơn [0-đơn] hoàn toàn là một nửa nhóm đơn [0-đơn] chứa luỹ đẳng nguyên thuỷ. Định lý 1.1.25 Một nửa nhóm đơn là hợp của các nhóm khi và chỉ khi nó là đơn hoàn toàn. Định lý 1.1.26 Các mệnh đề sau đây đối với một nửa nhóm S là tương đương: (A) S là hợp các nửa nhóm đơn.
(B) S là hợp các nửa nhóm đơn hoàn toàn.
(C) S là một nửa dàn Y các nửa nhóm đơn hoàn toàn S α (α ∈ Y ), trong đó Y là một nửa dàn các iđêan chính của S và mỗi S α là một J- lớp của S.
Mở rộng của nửa nhóm [2]
Định nghĩa 1.1.49 Giả sử S và T là các nửa nhóm rời nhau, T có phần tử 0 Ta gọi một nửa nhóm M là một mở rộng (iđêan) của S bởi T nếu nó chứa S như một iđêan và nếu nửa nhóm thương (Rixơ) M/S đẳng cấu với T.
Các đặc trưng của một nửa nhóm giao hoán [2]
Định nghĩa 1.1.50 Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán với phần tử đơn vị Ta định nghĩa một đặc trưng của S là một ánh xạ χ từ S vào trường số phức, không đồng nhất bằng không và thoả mãn
Nếu S là một nhóm thì (C 2 ) trở thành |χ(a)| = 1. Định nghĩa 1.1.51 Tập S ∗ tất cả các đặc trưng của S trở thành một nửa nhóm giao hoán nếu ta định nghĩa tích của hai đặc trưng χ và ψ của S như sau :
Ta gọi S ∗ là nửa nhóm đặc trưng của S Phần tử đơn vị của S ∗ là đặc trưng đơn vị 1 ∗ của S xác định bởi 1 ∗ (a) = 1 với mọi a ∈ S.
Nếu S là một nửa nhóm giao hoán không có đơn vị thì ta cần thay đổi định nghĩa " đặc trưng " ở trên bằng cách cho phép nó đồng nhất với không, vì nếu không các đặc trưng của S nói chung không lập thành một nửa nhóm Mỗi đặc trưngχcủaS có thể mở rộng một cách duy nhất tới một đặc trưng củaS 1 = S ∪{1} bằng cách định nghĩaχ(1) = 1, và ta thấy ánh xạ χ → χ|S (cái thu hẹp của χ trên
S) là một đẳng cấu từ (S 1 ) ∗ lên S ∗ Do đó ta không làm mất tính chất tổng quát nếu giới hạn ở các nửa nhóm với các đơn vị. Định nghĩa 1.1.52 Một iđêan P củaS được gọi là một iđêan nguyên tố nếuS\P là một nửa nhóm con của S.
Hợp của hai iđêan nguyên tố của S là một iđêan nguyên tố, nhưng giao nói chung không phải. Định lý 1.1.27 Giả sử H 0 là một nhóm con của một nhóm giao hoán G và giả sử χ 0 là một đặc trưng của H 0 Thế thì tồn tại một đặc trưng χ của G trùng với χ 0 trên H 0 Định lý 1.1.28 Giả sử a và b là các phần tử khác nhau thuộc một nhóm giao hoán G Thế thì tồn tại một đặc trưng χ của G sao cho χ(a) 6= χ(b). Định lý 1.1.29 Các đặc trưng của một nửa nhóm giao hoán S với đơn vị tách được các phần tử thuộc S khi và chỉ khi S là tách được.
Giả sử G và H là các nhóm giao hoán và các nhóm đặc trưng tương ứng của chúng là G ∗ và H ∗ Giả sử ϕ là một đồng cấu từ G tới H Với mỗi χ ∈ H ∗ ta định nghĩa một ánh xạ χϕ ∗ từ G vào trường số phức bởi
Dễ thử thấy rằng χϕ ∗ ∈ G ∗ và χ → χϕ ∗ là một đồng cấu ϕ ∗ từ H ∗ tới G ∗ Ta gọi ϕ ∗ là liên hợp của đồng cấu ϕ từ G tới H. Định lý 1.1.30 Giả sử G và H là các nhóm giao hoán và giả sử G ∗ và H ∗ là các nhóm đặc trưng tương ứng của chúng Giả sử φ là một đồng cấu từ G tới H và φ ∗ là liên hợp của nó Thế thì H ∗ φ ∗ đẳng cấu với nhóm đặc trưng của Gφ. Định nghĩa 1.1.53 Một nửa đặc trưng χ của một nửa nhóm con S của một nửa nhóm giao hoán T có thể mở rộng được tới một nửa đặc trưng của T khi và chỉ khi nó thoả mãn điều kiện: nếu a và b là các phần tử thuộc S sao cho a chia hết cho b trong T thì |χ(a)| ≥ |χ(b)|. Định lý 1.1.31 Giả sử T là một nửa nhóm giao hoán với đơn vị sao cho điều kiện tối thiểu đúng đối với ảnh đồng cấu nửa dàn tối đại của T, và giả sử S là một nửa nhóm con bất kì của T sao cho với mỗi thành phần Acsimét T α của nửa nhóm T, giao S ∩ T α hoặc rỗng hoặc là một nửa nhóm con Acsimét Thế thì một đặc trưng bất kì của S có thể mở rộng được tới một đặc trưng của T.
Liên quan tới đồng cấu nửa nhóm [2]
Tính chất của tích các đồng cấu [3]
Giả sử ψ là ánh xạ của tập Ω 1 vào tập Ω 2 và ϕ là ánh xạ của tập Ω 2 vào tập
Ω 3 Chúng ta xác định ánh xạ χ của tập Ω 1 vào tập Ω 3 như sau: χ(α) = ϕ[ψ(α)], (α ∈ Ω 1 ) Định nghĩa 1.2.1 Ánh xạ χ được xác định như trên gọi là tích các ánh xạ ϕvà ψ và được viết là χ = ϕ.ψ hoặc χ = ϕψ.
Giả sử rằng ψ là một đồng cấu của nửa nhóm S vào nửa nhóm B và ϕ là một đồng cấu củaB vào nửa nhómC Tích các phép biến đổiχ = ϕ.ψ đã được xác định ở trên được gọi là tích của các đồng cấu Đồng cấu ψ được gọi là chia phải của đồng cấuχ hayχ được gọi là bị chia phải bởi đồng cấu ψ Khi đó ta viếtψ ∼ χ(p) với p là quan hệ chia phải của các đồng cấu.
Cho hai đồng cấu ψ 1 và ψ 1 Nếu chúng ta có đồng thời ψ 1 ∼ ψ 2 (p) và ψ 2 ∼ ψ 1 (p) thì chúng ta sẽ viết ψ 1 ∼ ψ 2 (q).
1 Nếu cho các đồng cấu ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 mà tích ϕ 1 ϕ 2 và ϕ 2 ϕ 3 được xác định thì các tích (ϕ 1 ϕ 2 )ϕ 3 và ϕ 1 (ϕ 2 ϕ 3 ) cũng được xác định và bằng nhau.
2 Nếu cho các đồng cấu ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 trong đó ϕ 1 ∼ ϕ 2 (p) và ϕ 2 ∼ ϕ 3 (p) thì ta cũng có ϕ 1 ∼ ϕ 3 (p).
3 Nếu cho các đồng cấu ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 trong đó ϕ 1 ∼ ϕ 2 (q) và ϕ 2 ∼ ϕ 3 (q)thì ta cũng có ϕ 1 ∼ ϕ 3 (q).
4 Nếu cho các đồng cấu ϕ 1 , ϕ 2 và một đẳng cấu ε sao cho ϕ 1 = εϕ 2 thì sẽ tồn tại một đẳng cấu ε 0 sao cho ϕ 2 = ε 0 ϕ 1
5 Cho các đồng cấuϕ 1 , ϕ 2 của cùng một nửa nhóm, quan hệ ϕ 1 ∼ ϕ 2 (q) nếu và chỉ nếu tồn tại một đẳng cấu ε sao cho ϕ 1 = εϕ 2.
6 Nếu cho các đồng cấu ϕ 1 , ϕ 1 0 , ϕ 2 , ϕ 2 0 của nửa nhóm S Chúng ta có ϕ 1 ∼ ϕ 1 0 (q), ϕ 2 ∼ ϕ 2 0 (q), ϕ 2 ∼ ϕ 1 (p), thì ϕ 2
Chứng minh: Thực vậy, từ đẳng cấuε 1 ; ε 2 và một đồng cấu ψ chúng ta luôn có ϕ 1 0 = ε 1 ϕ 1 , ϕ 2 0 = ε 2 ϕ 2 , ϕ 1 = ψϕ 2
0 là một đẳng cấu ngược của đẳng cấu ε 2 từ nửa nhóm ϕ 2
0 (S) lên ϕ 2 (S), chúng ta có : ϕ 1 0 = ε 1 ϕ 1 = ε 1 ψϕ 2 = ε 1 ψε 2 0 ε 2 ϕ 2 = (ε 1 ψε 2 0 )ϕ 2 0 do đó suy ra ϕ 2 0 ∼ ϕ 1 0 (p)
7 Nếuϕlà một trong số những đồng cấu của nửa nhóm S và ε là một trong những đẳng cấu của nó, thì ε ∼ ϕ(p)
8 Nếuε là một đẳng cấu của nửa nhómUvà ϕlà một đồng cấu của S vớiϕ ∼ ε(p), thì ϕ cũng là một đẳng cấu.
Thật vậy, với một số đồng cấu ψ chúng ta có ε = ψϕ
Khi ε là ánh xạ một - một , thì ánh xạ ϕ cũng là ánh xạ một - một.
9 Lấy ϕ, ψ là hai đồng cấu của nửa nhóm S Để ϕ ∼ ψ(p), điều kiện cần và đủ là nếuϕ(a) = ϕ(b) với mọi a, b ∈ S, thì ψ(a) = ψ(b).
Thật vậy, nếu cho một số đồng cấu χ, và ψ = χϕ thì từ ϕ(a) = ϕ(b) ta luôn có ψ(a) = (χ.ϕ)(a) = χ.[ϕ(a)] = χ.[ϕ(b)] = (χ.ϕ)(b) = ψ(b).
Mặt khác, nếu ϕ và ψ sao cho từ ϕ(a) = ϕ(b) ta luôn suy ra được ψ(a) = ψ(b) thì cho nửa nhóm ϕ(S) người ta có thể định nghĩa ánh xạ χ của nó vào nửa nhóm ψ(S) Đặt χ[ϕ(a)] = ψ(a). Ánh xạ này được định nghĩa duy nhất, không phụ thuộc vào cách chọn đại điện a trong lớp những phần tử x ∈ S mà ϕ(x) = ϕ(a), khi đó nếu ϕ(a) = ϕ(a 0 ), thì chúng ta có ψ(a) = ψ(a 0 ) trong ψ (S) Từ thực tế là ψ và ϕ là các đồng cấu, thì ngay lập tức ánh xạ χ cũng là một đồng cấu Do đó, χϕ = ψ hay ϕ ∼ ψ(p).
Đồng cấu nửa nhóm ngược [3]
Chúng ta kí hiệu nửa nhóm ngược của nửa nhóm S là S Phần tử ngược của phần tử a ∈ S là a.
Bổ đề 1.2.6 Nếu ϕ là một đồng cấu của một nửa nhóm ngược S, và nếu ϕ(a)(a ∈ S)là một luỹ đẳng của nửa nhómϕ(S), thìSchứa một luỹ đẳng i sao cho ϕ(i) = ϕ(a) Định lý 1.2.7 Nếu ϕ là một đồng cấu của nửa nhóm ngược S, thì ϕ(S) cũng là một nửa nhóm ngược.
Hệ quả 1.2.8 Nếu ϕ là một đồng cấu của một nhóm ngược S, thì với mỗi x ∈ S thì ta có ϕ(x) = ϕ(x) trong nửa nhóm ngược ϕ(S).
Hệ quả 1.2.9 Giả sử rằng ϕ là một đồng cấu của một nhóm ngược S, và λ = ϕ(a)(a ∈ S) là một luỹ đẳng của nửa nhóm ϕ(S) Thì họ S λ tất cả các phần tử b của S sao cho ϕ(b) = λ là một nửa nhóm ngược.
Liên quan đến lý thuyết xấp xỉ
Định nghĩa 1.3.1 Cho A là một nửa nhóm và B là nửa nhóm giao hoán Một đặc trưng tổng quát là một đồng cấu từ A vào B. Định nghĩa 1.3.2 Cho A là một nửa nhóm, B là một nửa nhóm giao hoán, Φ là tập hợp tất cả các đặc trưng tổng quát từ A vào B, P là một mệnh đề định nghĩa trên tập gồm tất cả các phần tử của A, tất cả các tập hợp con của A, tất cả các ảnh của A vào B.
Nửa nhóm Agọi là xấp xỉ được bởi các đặc trưng tổng quát Φtương ứng với mệnh đề P, nếu với mọi cặp các tập con A 1 , A 2 của A sao cho P (A 1 , A 2 ) sai, thì tồn tại một đặc trưng tổng quátϕ ∈ Φ, sao cho P (ϕ(A 1 ), ϕ(A 2 )) cũng sai. Định nghĩa 1.3.3 Cho một nhóm Abel vô hạn p−group gồm tất cả các nhóm cyclic Khi đó tồn tại một số nguyên tố p sao cho ta có một phép đẳng cấu duy nhất từ nhóm p−group lên nhóm nhân của tất cả các nghiệm phương trình z p n = 1, n = 1, 2, 3 trong trường số phức với phép nhân thông thường Thì khi đó ta gọi nhómp−group là nhóm quasi-cyclic (tựa cyclic) Nếu n → ∞ thì ta nói nhóm p−group là nhóm quasi-cyclic kiểu p ∞ [11] Định nghĩa 1.3.4 Cho Q là tập hợp tất cả các số nguyên tố, G p (p ∈ Q) là một nhóm quasi-cyclic với kiểu p ∞ có đơn vị e p và phép toán hai ngôi ⊕ p
Ký hiệu C ∗ = ∪G p , p ∈ Q Ta định nghĩa trên C ∗ một phép toán như sau:
Vì tính đơn giản, trong luận văn này chúng ta ký hiệu a p a q thay vì a p ∗ a q
Kiểm tra trực tiếp ta thấy C ∗ là một nửa nhóm giao hoán Nửa nhóm C ∗ không có phần tử đơn vị và cũng không có phần tử không Mỗi phần tử e p là một lũy đẳng, nó là một đơn vị trong nhóm con G p Định nghĩa 1.3.5 Nửa nhóm B được gọi là nửa nhóm con xấp xỉ nhỏ nhất đối với lớp các nửa nhóm K tương ứng với mệnh đề P bởi các đặc trưng tổng quát, nếu thỏa ba điều kiện sau:
1/ Mọi nửa nhóm A ∈ K đều xấp xỉ được vào B bởi các đặc trưng tổng quát ứng với mệnh đề P.
2/ Nếu một nửa nhóm A 1 xấp xỉ được vào B bởi các đặc trưng tổng quát ứng với mệnh đề P, thì A 1 ∈ K.
3/ Với mọi nửa nhóm con thực sựB 1 của B tồn tại một nửa nhóm A 2 ∈ K sao cho
A 2 không xấp xỉ được vào B 1 bởi các đặc trưng tổng quát tương ứng với mệnh đề
P. Định nghĩa 1.3.6 Cho K 1 và K 2 là hai lớp các nửa nhóm và P là một mệnh đề.LớpK 2 được gọi là lớp các nửa nhóm xấp xỉ của lớpK 1 tương ứng với mệnh đề P, nếu mọi nửa nhóm của lớp K 1 đều xấp xỉ được vào lớp K 2 tương ứng với P. Định nghĩa 1.3.7 Nếu mọi nửa nhóm của lớp các nửa nhóm K 1 có thể nhúng được vào một nửa nhóm của lớp K 2 , thì ta viết K 1 ≺ K 2
Hiển nhiên, nếuK 1 là lớp nửa nhóm xấp xỉ của lớp các nửa nhómK vàK 1 ≺ K 2 , thì K 2 cũng là lớp nửa nhóm xấp xỉ của lớp K. Định nghĩa 1.3.8 Cho S và K là hai lớp các nửa nhóm và P là một mệnh đề. Lớp các nửa nhómK đươc gọi là lớp nhó nhất các nửa nhóm của lớp S tương ứng với mệnh đề P, nếu hai điều kiện sau thỏa:
(i) Lớp các nửa nhóm K là lớp nửa nhóm xấp xỉ của lớp S.
(ii) Nếu K 1 là lớp nửa nhóm xấp xỉ của lớp S và K 1 ≺ K, thì K ⊆ K 1
Lý thuyết nửa nhóm và xấp xỉ nửa nhóm là rất rộng, vì vậy trong chương này chúng tôi chỉ nêu ra các khái niệm có liên quan đến lĩnh vực nghiên cứu Chúng ta có thể tìm hiểu sâu thêm lý thuyết nửa nhóm qua các sách [1], [2], [3] Đây là những bộ sách kinh điển và đầu tiên trên thế giới về lý thuyết nửa nhóm.
Lớp xấp xỉ các nửa nhóm giao hoán
Lý thuyết nửa nhóm bắt đầu phát triển mạnh từ những năm 1950 Cuốn [3] được viết năm 1960 của giáo sư, viện sỹ Nga Liapin E.S là cuốn sách đầu tiên trên thế giới viết về lý thuyết nửa nhóm Sau đó một thời gian ngắn, năm 1963, cuốn [1] của Clifford A.H và Preston G.B ra đời Đây là hai cuốn sách rất cần thiết cho những người nghiên cứu về lý thuyết nửa nhóm.
Nửa nhóm giao hoán đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển chung của lý thuyết nửa nhóm Cấu trúc của nửa nhóm giao hoán hữu hạn đã được nghiên cứu đầy đủ Cuốn sách [12]: "Nửa nhóm giao hoán" của của Grillet P.A do nhà xuất bản Springer, 2001 nêu lên một cách có hệ thống, chi tiết và đầy đủ các tính chất của nửa nhóm giao hoán.
Một trong những tính chất quan trọng của nửa nhóm giao hoán là nó là hợp của các thành phần Ácsimét, xem [1], định lý 4.13, chương 4.
Trong lý thuyết xấp xỉ, một tính chất thường được dùng của nửa nhóm giao hoán là định lý 4.17 trong cuốn [1]: Nửa nhóm giao hoán A có thể nhúng chìm vào nửa nhóm là hợp các nhóm khi và chỉ khiA là nửa nhóm giao hoán tách được.
Sau đây là lớp các nửa nhóm giao hoán quan trọng, thường được nghiên cứu:
2 Lớp các nửa nhóm giao hoán, tách được.
3 Lớp các nửa nhóm giao hoán, chính quy và tuần hoàn.
4 Lớp các nửa nhóm giao hoán, tách được và tuần hoàn.
5 Lớp các nửa nhóm giao hoán và thỏa điều kiện sau:
Nếu thành phần Ácsimét A ξ của nửa nhóm A chứa lũy đẵng, thì với mọi cặp phần tử a, b ∈ A ξ , sao cho a vàb không là cặp phần tử chính quy, thì a 2 bz 6= az hoặc a 2 bz 6= bz với mọi z ∈ A ξ
6 Lớp các nửa nhóm giao hoán, chính quy và tuần hoàn.
7 Lớp các nửa nhóm giao hoán, ngược và tuần hoàn.
Về việc nghiên cứu lớp các xấp xỉ cho nửa nhóm giao hoán, một số kết quả đã đạt được:
Trong bài báo [6], các tác giả đã chứng minh được một số kết quả sau:
1/ Điều kiện cần và đủ để một lớp S 1 là lớp các nửa nhóm xấp xỉ cho lớp các nửa dàn tương ứng với mệnh đề bằng nhau của hai phần tử.
2/ Điều kiện cần và đủ để một lớp S 2 là lớp các nửa nhóm xấp xỉ cho lớp các nửa dàn tương ứng với mệnh đề phần tử thuộc nửa nhóm con.
3/ Trong định lý 5, trang 57, các tác giả đưa ra điều kiện cần để một lớp C 4 là lớp xấp xỉ cho lớp các nửa nhóm giao hoán, chính quy và tuần hoàn tương ứng với mệnh đề phần tử thuộc nửa nhóm con.
Trong bài báo [10], Đặng Văn Vinh đã thu được kết quả:
4/ Điều kiện cần để một lớp nửa nhóm Y 1 là lớp nửa nhóm xấp xỉ cho lớp các nửa nhóm giao hoán và tách được tương ứng với mệnh đề bằng nhau của hai phần tử. Tiếp nối hai bài báo trên, trong chương này chúng tôi nghiên cứu về lớp các xấp xỉ cho các lớp nửa nhóm thường gặp tương ứng với các mệnh đề khác nhau Các kết quả được trình bày trong các định lý: 2.1.1 và 2.1.2 tương ứng với các mệnh đề: phần tử thuộc nửa nhóm con monogenic, phần tử thuộc nửa nhóm con. Định lý 2.1.1 Cho C 1 là lớp các nửa nhóm giao hoán, tách được và tuần hoàn và
S 1 là lớp các nửa nhóm.
Nếu có một nửa nhóm của lớp S 1 chứa một nửa nhóm con đẳng cấu với nửa nhóm
C ∗ , thì lớp S 1 là lớp các xấp xỉ của lớp C 1 tương ứng với mệnh đề "phần tử thuộc nửa nhóm con monogenic".
Chứng minh: Giả sử rằng nửa nhóm S 1 chứa nửa nhóm con M đẳng cấu với nửa nhóm C ∗
ChoA là một nửa nhóm từ lớp C 1 Vì A là nửa nhóm giao hoán và tuần hoàn nên theo [1], định lý 4.13, trang 132, A =S e∈E A e , với E là nửa dàn có các thành phần Ácsimét A e, trong đó A e là các nhóm con tuần hoàn cực đại của nửa nhóm A. Với phần tử a ∈ A, khi đó a ∈ A e a Cho [b] là nửa nhóm con monogenic của A, [b] ⊆ A và giả sử a / ∈ [b].
Hiển nhiên [b] thuộc hoàn toàn vào một thành phần Ácsimét Do đó [b] ∩ A e a = [b] hoặc [b] ∩ A e a = ∅.
Trường hợp 1: [b] ∩ A e a = [b] Trong trường hợp này, [b] là nhóm con cyclic của nhóm A e a Giả sử H a k là nhóm con cực đại của A e a sao cho a / ∈ H a k , [b] ⊆ H a k Nhóm con này tất nhiên là tồn tại, chẳng hạn[b] Trong [13], bổ đề 26.4, trang 85, ta có
A e a /H a k u C p k , với k là chiều cao của phần tử a theo số nguyên tố p, nếu như a có chiều cao vô hạn thìk = ∞.
Từ đây suy ra, tồn tại một đồng cấu ϕ : A e a −→ G p sao cho ϕ(H a k ) = e a.
Vìa / ∈ H a k trong khi đó [b] ⊆ H a k , nên ϕ(a) 6= e a và ϕ([b]) = e a Đồng cấu ϕ từ nhóm A e a vào nhóm G p có thể được mở rộng đến đồng cấu ψ trên toàn bộ nửa nhóm A theo cách sau:
e p 0 , (x ∈ A e x ) ∧ (e x e a 6= e a ) ϕ(xe a ) , (x ∈ A e x ) ∧ (e x e a = e a ). trong đó p 0 là một số nguyên tố cố định trước sao cho p 0 6= 3 và p 0 > p.
Như vậy, ψ(a) = ϕ(a) 6= e a và ψ([b]) = ϕ([b]) = e a, suy ra ψ(a) ∈ / ψ([b]).
Vìe a 6= e b , nên tồn tại hai khả năng: e a e b 6= e a hoặc e a e b 6= e b
Không mất tính tổng quát, giả sửe a e b 6= e a Xét ánh xạ ψ : A −→ C ∗ được cho như sau:
Kiểm tra trực tiếp thấyψ là đồng cấu và hơn nữa ψ(a) ∈ / ψ([b]).
Tóm lại, nửa nhómA xấp xỉ được bởi đồng cấuψ từ Avào C ∗ tương ứng với mệnh đề phần tử thuộc nửa nhóm con monogenic
Trong toán học, tập hợp các căn bậc n của số 1 trong tập số phức là một nhóm Abel Nhóm này được dùng làm cơ sở cho nhiều lĩnh vực toán học khác nhau như: lý thuyết số, lý thuyết nhóm, phân tích Fourier rời rạc
Với một số tự nhiên n cho trước Đặt S n là tập hợp tất cả các căn bậc n của 1 Ta đã biết tập hợp S n là một nhóm Abel tương ứng với phép nhân hai số phức thông thường.
Gọi P là tập hợp tất cả các S n , n ∈ N ∗ và số 0 với phép toán nhân hai số phức thông thường Khi đó P là một nửa nhóm và P không là một nhóm.
Theo [5], Bổ đề 1, trang 55, một nửa nhóm giao hoán, chính quy và tuần hoàn không thể xấp xỉ được vàoP tương ứng với mệnh đề phần tử thuộc nửa nhóm con.
Do đó, xét nửa nhóm P e là nửa nhóm tạo nên từ P bằng cách bổ sung thêm phần tử đơn vị ngoài e Ta có kết quả được phát biểu trong định lý sau: Định lý 2.1.2 Cho C 2 là lớp các nửa nhóm giao hoán, chính quy và tuần hoàn và S 2 là lớp các nửa nhóm.
Nếu có một nửa nhóm con của S 2 đẳng cấu với P (tức P e ) thì S 2 là lớp các xấp xỉ của lớp C 2 tương ứng với mệnh đề phần tử thuộc nửa nhóm con.
Chứng minh:Cho A là một nửa nhóm của lớp C 2 và A 1 là nửa nhóm con của
Vì A là nửa nhóm giao hoán và tuần hoàn nên theo [1], định lý 4.13, trang 132,
A =S ξ∈E A ξ , với E là nửa dàn có các thành phần Ácsimét A ξ , trong đó A ξ là các nhóm con tuần hoàn cực đại của nửa nhóm A Khi đó a ∈ A ξ 0
Trường hợp 1: A ξ 0 ∩ A 1 = ∅ Xét đồng cấu tự nhiên ψ của nửa nhóm A vào nửa nhóm các lũy đẳng E A của A.
+) Nếuψ(A 1 ) ⊂ I ξ 0 Vì ξ 0 ∈ / I ξ 0 , nên đối với đồng cấuϕcủa nửa nhóm các lũy đẳng
+) Nếu ψ(A 1 ) 6⊂ I ξ 0 Khi đó ψ(A 1 ) ∩ (E A \ I ξ 0 ) = E 1 là một nửa nhóm con của nửa nhóm E A \ I ξ 0 Đặt E 0 là nửa nhóm con cực đại của E A \ I ξ 0 và E 0 chứa E 1 nhưng không chứa ξ 0
Vì(E A \ I ξ 0 ) \ E 0 là một iđêan cô lập hoàn toàn của nửa nhóm E A \ I ξ 0 , nên ánh xạ ϕtừ nửa nhóm các lũy đẳng E A vào P được xác định như sau: ϕ(ξ) =
1 , ξ ∈ (E A \ I ξ 0 ) \ E 0 e , ξ ∈ E 0 là một đồng cấu nửa nhóm Khi đó ta có ϕ(ψ(a)) ∈ / ϕ(ψ(A 1 )) Trong cả hai trường hợp, ϕ ◦ ψ là đồng cấu từ nửa nhóm A lên P.
Trường hợp 2: A ξ 0 ∩ A 1 6= ∅ Ký hiệu G là nhóm con cực đại của nhóm A ξ 0 sao cho G không chứa a.
Khi đóA ξ 0 /Glà một nhóm cyclic kiểuC p k Từ đó suy ra, A ξ 0 /Gcó thể nhúng chìm vào P.
Lớp xấp xỉ các nửa nhóm không giao hoán
Lớp các nửa nhóm không giao hoán thường gây khó khăn cho các nhóm nghiên cứu về xấp xỉ nửa nhóm bởi vì cần phải có thêm điều kiện để một nửa nhóm của lớp này có thể nhúng chìm vào một hợp các thành phần Ácsimét hay là hợp các nhóm không giao nhau Giáo sư Leshokhin M.M và các học trò ông đã nghiên cứu tính xấp xỉ của lớp các nửa nhóm không giao hoán tương ứng với các mệnh đề khác nhau và đã thu được một số kết quả Riêng đối với mệnh đề "phần tử thuộc nhóm con" đã gây khó khăn trong một thời gian Cuối năm 1999, Đặng Văn Vinh đã xây dựng được một nửa nhómC ∗ rất đặc biệt Nửa nhóm này không chứa phần tử đơn vị, không chứa phần tử0 Nó chứa vô số các phần tử lũy đẳng và sự có mặt của từng lũy đẳng là không thể thiếu được Nửa nhóm C ∗ được nhắc đến trong một cuốn sách [14] chuyên về lý thuyết nửa nhóm và lý thuyết xấp xỉ Sử dụng nửa nhóm C ∗ , Đặng Văn Vinh đã tìm được điều kiện cần và đủ để một nửa nhóm xấp xỉ được bởi các đồng cấu vào nửa nhóm C ∗ tương ứng với mệnh đề "phần tử thuộc nhóm con", xem [7].
Sau đây là lớp các nửa nhóm không giao hoán thường được nghiên cứu:
1 Lớp các nửa nhóm A thỏa điều kiện:
Nếu lớp N e của nửa nhóm A chứa lũy đẳng thì lớp đó là một nhóm Abel.
2 Lớp các nửa dàn của các nửa nhóm đơn trái tương ứng với quan hệR_ Green.
3 Lớp các nửa dàn của các nửa nhóm đơn phải tương ứng với quan hệ L_ Green.
4 Lớp các nửa nhóm ngược và chính quy hoàn toàn.
5 Lớp các nửa nhóm tuần hoàn và chính quy hoàn toàn.
6 Lớp các nửa dàn của các nửa nhóm đơn phải.
7 Lớp các nửa dàn của các nửa nhóm đơn.
8 Lớp các nửa nhóm phân tích thành hợp các nửa dàn các D-lớp
9 Lớp các nửa nhóm ngược, tuần hoàn và chính quy hoàn toàn.
10 Lớp các nửa nhóm ngược và chính quy hoàn toàn.
Về việc nghiên cứu lớp các xấp xỉ cho nửa nhóm không giao hoán, một số kết quả đã đạt được:
Trong bài báo [6], các tác giả đã chứng minh được một số kết quả sau:
1/ Trong Định lý 3, trang 56 các tác giả đưa ra điều kiện cần để một lớpS 3 là lớp các xấp xỉ cho lớp các nửa nhóm tuần hoàn và chính quy hoàn toàn tương ứng với quan hệ L_ Green.
2/ Trong Định lý 4, trang 57 các tác giả đưa ra điều kiện cần và đủ để một lớpS 4 là lớp các xấp xỉ cho lớp các nửa nhóm tuần hoàn và chính quy hoàn toàn tương ứng với quan hệ L_ Green.
Trong bài báo [10], Đặng Văn Vinh đã thu được kết quả:
3/ Điều kiện cần để một lớp nửa nhóm Y 2 là lớp nửa nhóm xấp xỉ cho lớp các nửa nhóm có thể nhúng được vào nửa dàn các nửa nhóm đơn trái tương ứng với quan hệ L_ Green.
4/ Điều kiện cần để một lớp nửa nhóm Y 3 là lớp nửa nhóm xấp xỉ cho lớp các nửa nhóm có thể nhúng được vào nửa dàn các nửa nhóm đơn phải tương ứng với quan hệ R_ Green.
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tìm ra lớp các xấp xỉ cho các lớp nửa nhóm không giao hoán, bước đầu đạt được một số kết quả sau:
1/ Tìm được điều kiện cần để một lớp N S 1 là lớp các xấp xỉ cho lớp các nửa dàn các D-lớp tương ứng với quan hệ D_ Green.
2/ Tìm được điều kiện cần để một lớpN S 2 là lớp các xấp xỉ cho lớp các nửa nhóm ngược, tuần hoàn và chính quy hoàn toàn tương ứng với quan hệ H_ Green. 3/ Tìm được điều kiện cần để một lớpN S 3 là lớp các xấp xỉ cho lớp các nửa nhóm ngược và chính quy hoàn toàn tương ứng với mệnh đề phần tử thuộc nhóm con cực đại. Định lý 2.2.1 Cho N C 1 là lớp các nửa nhóm phân tích thành hợp các nửa dàn các D-lớp và N S 1 là lớp các nửa nhóm.
Nếu có một nửa nhóm con của N S 1 đẳng cấu với C ∗ thì N S 1 là lớp các xấp xỉ của lớp N C 1 tương ứng với quan hệ D_ Green.
Chứng minh: Cho nửa nhóm A ∈ N C 1 và a ∈ A.
Xét tập hợp J a = {x ∈ A|ax / ∈ D a }, trong đó D a là D_ lớp chứa phần tử a.
Với c ∈ J a và d ∈ A, giả sử cd / ∈ J a , tức là acdda.
Vìcdddc, nên D a D cd = D a D dc , suy ra acddadc.
Từ các hệ thức adacd và acddadc suy ra adadc và như vậy ta có acd(adc)c.
Mặt khác (adc)c = (ad)(cc) ∈ D ad D cc ⊆ D ad D c ⊆ D adc , suy ra acdadc.
Vìadcda, nên ta có acda, hayc / ∈ J a , mâu thuẫn với giả thiết Vậy cd ∈ J a có nghĩa
Giả sử c, d ∈ A \ J a hay ac ∈ D a và ad ∈ D a Khi đó acd ∈ D a , suy ra cd / ∈ J a
Như vậy A \ J a là nửa nhóm con Điều này cho phép ta kết luận J a là một iđêan cô lập hoàn toàn.
Xét ánh xạ ϕ : A −→ C ∗ được cho như sau:
e q , x ∈ J a e p , x / ∈ J a trong đó p, q là hai số nguyên tố cố định cho trước, thỏa p > q > 2.
VìJ a là một iđêan cô lập hoàn toàn, nênϕ là một đồng cấu nửa nhóm.
Ngoài ra ta có aa ∈ D a , nên a / ∈ J a suy ra ϕ(a) = e p
Phần tử b không thuộc D a, nên ab / ∈ D a, suy ra b ∈ J a.
Kiểm tra trực tiếp, ta thấy e p de ¯ q trong nửa nhóm C ∗ Do đó ϕ(a)¯ dϕ(b) Định lý đã được chứng minh Định lý 2.2.2 Cho N C 2 là lớp các nửa nhóm ngược, tuần hoàn và chính quy hoàn toàn và N S 2 là lớp các nửa nhóm.
Nếu có một nửa nhóm con của N S 2 đẳng cấu với C ∗ thì N S 2 là lớp các xấp xỉ của lớp N C 2 tương ứng với quan hệ H_ Green.
Chứng minh:ChoA ∈ N C 2 VìA là nửa nhóm ngược và chính quy hoàn toàn, khi đóA là hợp của các nhóm không giao nhau: A =S e∈E A e , và các lũy đẵng của
Choa, b ∈ A và a hb ¯ Vì hai phần tử của nhóm con của A nằm trong quan hệ Green
H-tương đương, nên a và b thuộc hai nhóm con cực đại khác nhau của nửa nhóm
Xét tập hợp được định nghĩa như sau:
Giả sử e ∈ I e a, có nghĩa là ee a 6= e a Khi đó với mọi f ∈ E, ta có ef e a 6= e a (Thực ra nếu ef e a = e a thì e a = ef e a = eef e a = ee a 6= e a là vô lý).
Vì vậy cho nên ef ∈ I e a , hay I e a là một iđêan và E \ I e a là nửa nhóm con của nửa nhóm E, từ đó ta có I e a là một iđêan cô lập hoàn toàn.
Xét ánh xạ: τ : A −→ C ∗ , được định nghĩa như sau:
e q , (x ∈ A e x ) ∧ (e x 6∈ I e a ) e p , (x ∈ A e x ) ∧ (e x ∈ I e a ) với các số nguyên tố p, q thỏa p > q > 2.
Vì I e a là iđêan cô lập hoàn toàn, nên τ là một đồng cấu nửa nhóm và τ (a) = e q , τ (b) = e p , hay τ(a) ¯ hτ (b) Định lý 2.2.3 Cho N C 3 là lớp các nửa nhóm ngược và chính quy hoàn toàn và
N S 3 là lớp các nửa nhóm.
Nếu có một nửa nhóm con của N S 3 đẳng cấu với C ∗ thì N S 3 là lớp các xấp xỉ của lớp N C 3 tương ứng với mệnh đề phần tử thuộc nhóm con cực đại.
Chứng minh:ChoA ∈ N C 3 VìA là nửa nhóm ngược và chính quy hoàn toàn, khi đó Alà hợp của các nhóm không giao nhau: A =S e∈E A e a , và các lũy đẵng của
Giả sửa ∈ A e a ⊂ A và A e 0 là nhóm con cực đại của A và a / ∈ A e 0 Khi đóA e 0 6= A e a Tồn tại hai khả năng: A e 0 A e a ⊂ A e 0 hoặc A e 0 A e a 6⊂ A e a Không mất tính tổng quát, giả sử A e 0 A e a 6⊂ A e 0.
Xét đồng cấu ϕ : A −→ C ∗ được xác định như sau:
, với mọi cặp số nguyên tố p, q cho trước sao cho p > q > 2. Đối với đồng cấu ϕ, ta có ϕ(a) = e p và ϕ(A e 0 ) = e q, có nghĩa là ϕ(a) ∈ / ϕ(A e 0 ) Vậy nửa nhóm A xấp xỉ được bởi đồng cấu ϕ tương ứng với mệnh đề phần tử thuộc nhóm con cực đại
ỨNG DỤNG CỦA NỬA NHÓM 54
Ứng dụng Fourier trong xử lý nhiễu
Trong toán học, tập hợp các căn bậcn của số 1trong tập số phức là một nhóm Abel Nhóm này được dùng làm cơ sở cho nhiều lĩnh vực toán học khác nhau như: lý thuyết số, lý thuyết nhóm, phân tích Fourier rời rạc Với một số tự nhiên n > 0 cho trước Đặt S n là tập hợp tất cả các căn bậc n của 1 Ta đã biết tập hợp S n là một nhóm Abel tương ứng với phép nhân hai số phức thông thường GọiP là tập hợp tất cả các S n , n ∈ N ∗ và số 0 với phép toán nhân hai số phức thông thường. Khi đó P là một nửa nhóm mà không là một nhóm Ta có
Kiểm tra trực tiếp ta thấyE là cơ sở trực chuẩn của không gian C n ( C ) với tích vô hướng
Cho X ∈C n ( C ) (không gian tất cả các bộ n số phức trên tập số phức)
VìElà cơ sở nên véctơXlà tổ hợp tuyến tính củaE HayX = α 1 e 1 +α 2 e 2 + +α n e n Tọa độ của X trong cơ sở E là
Nếu viết ở dạng ma trận, ta có
Ma trận F n được gọi là ma trận Fourier cấp n Phép biến đổi Y = F n X được gọi là phép biến đổi Fourier rời rạc của véctơ X Véctơ Y = F n X có dạng Y = A + iB.
Véctơ A chứa các hệ số α t trong Pn−1
0 α t cos 2πt n Véctơ B chứa các hệ số β t trong Pn−1
Như vậy dùng phép biến đổi Fourier rời rạc, ta chuyển tín hiệu X ở miền thời gian thành tín hiệu ở miền tần số gồm tổng của các hàm cos 2πt n và sin 2πt n
Giả sử tín hiệu gốc có dạng Pn−1
0 α t cos 2πt n + β t sin 2πt n +nhiễu Sau khi phân tích Fourier rời rạcY = F n X, so sánh với hình vẽ trước và sau khi phân tích, ta có thể xác định được tần số tín hiệu chính và tần số nhiễu Lọc bỏ tín hiệu nhiễu, chỉ giữ lại tín hiệu chính, sau đó phân tích Fourier ngược ta sẽ thu được tín hiệu đã được khử nhiễu.
Ta có thể dùng lệnh F = df tmtx(n) để tạo ra ma trận Fourier cấp n với n là số tự nhiên cho trước Vì √ 1 n F n là ma trận unita nên
Biến đổi Fourier rời rạc của X là Y = F n X.
Biến đổi ngược để tìm lại véctơ X là X = n 1 F n ∗ Y.
Các phép biến đổiF n và 1 n F n ∗ là hai phép biến đổi tuyến tính của không gianC n ( C ) Các bước dùng phép biến đổi Fourier rời rạc để khử nhiễu:
Bước 1 Số hóa một file âm thanh, ta có một véctơ y = audioread( 0 f ilename 0 ) ;
Bước 2 Phân tích Fourier rời rạc véctơ y:
Bước 3 Vẽ tín hiệu ban đầu Phân tích tần số của tín hiệu để biết được tần số của tín hiệu chính và của tín hiệu bị nhiễu plot(abs(Y ));
Bước 4 Lọc bỏ bớt các tần số của tín hiệu nhiễu chỉ giữ lại tần số của tín hiệu chính.
M = max(abs(Y )); thresh = 0.1; (dựa vào hình vẽ, xác định hệ số thresh là bao nhiêu để khử được nhiễu) sound(y); nghe tín hiệu gốc
Y thresh = (abs(Y ) > thresh ∗ M ) ∗ Y; sum(abs(Y thresh) > 0)/size(y, 1);
Bước 5 Biến đổi Fourier ngược lại: ythresh = real(if f t(Y thresh)); sound(ythresh); Nghe lại tín hiệu sau khi khử nhiễu
Ví dụ.Trong ví dụ này ta sử dụng file âm thanh là tiếng còi tàu có sẵn trong thư viện của matlab. load( 0 train 0 ); lấy tiếng còi tàu trong thư viện Matlab
%[y, F s] = audioread( 0 testsound.wav 0 ); lấy âm thanh tùy ý
Y thresh = (abs(Y ) > thresh ∗ M ) ∗ Y; sum(abs(Y thresh) > 0)/12880; ythresh = real(if f t(Y thresh)); sound(ythresh);
Hình vẽ miền tần số của tiếng còi tàu với tín hiệu gốc, chưa xử lý nhiễu.
Hình 1: Miền tần số với tín hiệu gốc
Hình vẽ miền tần số của tiếng còi đã xử lý nhiễu.
Hình 2: Miền tần số với tín hiệu đã xử lý nhiễu
Úng dụng trong lý thuyết số và mật mã học [16]
Với n là số nguyên dương ≥ 1.
Ký hiệu ϕ(n) là số lượng các số nguyên dương bé hơn hoặc bằng n và nguyên tố cùng nhau với n, hay còn gọi là hàm phi Euler.
Ký hiệu Z n = Z /n Z = {0, 1, 2 , n − 1} là tập thặng dư đầy đủ theo modulo n.
Ký hiệu Z ∗ n = {a ∈Zn , (a, n) = 1} Tập Z ∗ n được gọi là tập thặng dư thu gọn theo modulo n, có số phần tử là ϕ(n).
Z ∗ n với phép nhân modulo n (mod n) lập thành một nhóm (nhóm nhân modulo), với phần tử đơn vị e = 1 Nhóm này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết số và mật mã học.
Gọi M là tập hợp tất cả các Z ∗ n với phép toán (◦) được định nghĩa là:
Z ∗ m ◦Z ∗ n =Z ∗ mn Khi đó (M, ◦) là một nửa nhóm mà không phải là một nhóm.
Nếu n có dạng phân tích tiêu chuẩn n = p α 1 1 p α 2 2 p α k k thì ϕ(n) = nQ p|n
Từ việc tìm kích thước của nhóm có thể kiểm tra tính nguyên tố của số n: n là nguyên tố khi và chỉ khi ϕ(n) = n − 1. Định lý Euler Nếu a, n ∈Z , n > 0, (a, n) = 1 thì a ϕ(n) ≡ 1(mod n). Định lý Nếu n ∈N ∗ thì P d|n ϕ(d) = n. Trong trường hợp tổng quát Z ∗ n không phải là nhóm Cyclic Nhóm nhân Z ∗ n là Cyclic khi và chỉ khi n có dạng: 1, 2, 4, p k hay 2p k với p là nguyên tố lẻ và k ∈N ∗ Một nhóm cyclic luôn có một tập hợp sinh gồm một phần tử, một phần tử sinh của nhóm nhân modulo n được gọi là một căn nguyên thủy modulo n.
Ta biết rằng với a, n ∈ N ∗ , (a, n) = 1 thì cấp (bậc) của a theo modulo n là số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho a k ≡ 1(mod n) và được ký hiệu ord n a = k Vậy thì n có a là một căn nguyên thủy modulo n nếu ord n a = ϕ(n) Đinh lý Nếu n ∈ N ∗ có căn nguyên thủy thì nó có đúng ϕ(ϕ(n))căn nguyên thủy. Khin là số nguyên tố thì ϕ(n) = n − 1 thì định lý Euler là định lý nhỏ Fermat như sau: Định lý Fermat Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên thì a p ≡ a(mod p) Từ định lý nhỏ Fermat ta có hai định lý sau. Định lý Erdos-Ginzburg-Zieve Từ 2n − 1 số nguyên bất kỳ, ta luôn tìm được n số có tổng chia hết cho n. Định lý Lucas.Cho m, n là hai số tự nhiên và p là số nguyên tố Giả sử m = m k p k + m k−1 p k−1 + + m 2 p 2 + m 1 p + m 0 và n = n k p k + n k−1 p k−1 + + n 2 p 2 + n 1 p + n 0
Khi đó ta cóC n m ≡Qk i=0 C n m i i (mod p) (quy ước rằng C b a = 0 với a > b).
3.2.2 Mật mã học (Hệ mã RSA)
Với sự bùng nổ của Internet, các giao thức giao dịch điện tử đã trở thành một phần không thể thiếu được trong đời sống, những khái niệm như thanh toán điện tử, ngân hàng điện tử, chữ ký điện tử đã trở nên quen thuộc Và nền tảng bảo mật của các giao thức điện tử đó là các hệ thống mã công khai mà thông dụng và nổi bật nhất là hệ mã RSA do ba nhà toán học Rivest, Shamir và Adleman đề xuất vào năm 1978 Cơ sở Toán học của thuật toán này chính là định lý Euler. Thuật toán được xây dựng như sau: Người ta lấy hai số nguyên tố đủ lớn p, q và tínhn = pq, ϕ(n) = (p − 1)(q − 1) Sau đó người ta chọn một số nguyên dươnge sao cho (e, ϕ(n)) = 1 Cặp (e, n) được công khai và là khóa lập mã.
Người ta dùng thuật toán Euclide tìm được số nguyên dương d sao cho ed ≡ 1(mod ϕ(n)) d sẽ là khóa bí mật, dùng để giải mã p, q, ϕ(n) và d được giữ bí mật. Để lập mã, với văn bản cần mã hóa là P, người ta tính C = P e mod n C chính là văn bản đã được mã hóa Sau khi nhận được văn bản đã được mã hóa C, muốn tìm lại P, người ta tính C d mod n bằng cách sử dụng định lý Euler:
Tính an toàn của hệ mã RSA dựa trên độ khó của hai bài toán sau:
(a) Nếu biết P e mod n, e và n thì khó tìm được P (bài toán logarith rời rạc).(b) Việc phân tích số nguyên dương n ra thừa số nguyên tố (để tìm p,q, qua đó tìm được ϕ(n) và sau đó tìm được d) là khó (bài toán phân tích ra thừa số).Chính hệ mã RSA đã biến lý thuyết Số từ một khoa học thuần túy lý thuyết thành một môn khoa học ứng dụng Hiện nay Số học Thuật toán là một môn không thể thiếu được trong các khoa máy tính của các trường đại học.
Nhận xét
Để tìm được ứng dụng trực quan của lý thuyết lớp các xấp xỉ là khá khó khăn. Nhằm thay thế chúng ta tìm ra vài ứng dụng của nửa nhóm trong luận văn này Vì sự hạn chế các điều kiện chủ quan cũng như khách quan, các ứng dụng này chưa phản ánh hết ứng dụng thực tế của nửa nhóm Tuy nhiên nó cũng giúp chúng ta có cái nhìn khá gần gũi, hữu ích về ứng dụng lý thuyết nửa nhóm trong đời sống.
Trong luận văn chúng tôi nghiên cứu hai vấn đề chính của bài toán xấp xỉ:
1/ Tìm lớp các xấp xỉ cho các lớp nửa nhóm giao hoán tương ứng với các mệnh đề quan trọng.
2/ Tìm lớp các xấp xỉ cho các lớp nửa nhóm không giao hoán. Ở đây chúng tôi chỉ xét đến một cấu trúc của đại số là lý thuyết nửa nhóm. Chúng ta có thể xét các bài toán trên cho các cấu trúc khác của đại số như: nhóm, vành, trường, môđun, đại số, Như vậy lý thuyết xấp xỉ là một hướng nghiên cứu rất rộng lớn Trong tương lai, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu các bài toán trên cho cấu trúc đại số khác với nửa nhóm và sẽ xét các ánh xạ và các mệnh đề quan trọng trong cấu trúc đại số đang xét. Ứng dụng của lý thuyết xấp xỉ nửa nhóm trong nửa nhóm tự do đã được nghiên cứu bởi Giáo sư Kublanovski S.I và Kostưrev I.I Thời gian gần đây vấn đề này cũng được nhóm gồm Đặng Văn Vinh, Korabel’shchikova, Mel’nikov nghiên cứu và đã có một số kết quả bước đầu và đang gởi đăng bài ở tạp chí Izvestia, Nga [8]
Chúng tôi đã tìm được các điều kiện cần của xấp xỉ tương ứng với một số các mệnh đề quan trọng trong lý thuyết nửa nhóm: "phần tử thuộc nửa nhóm con monogenic", phần tử thuộc nhóm con cực đại", "phần tử thuộc nửa nhóm con", " hai phần tử nằm trong các quan hệ Green H,D. Đặc biệt trong luận văn, chúng tôi trình bày rõ ràng và chi tiết các kết quả của bài toán nghiên cứu lớp các xấp xỉ Bài toán này mới được các tác giả Đặng Văn Vinh, Korabelsh’chikova S.Yu và Mel’nicov B.F nghiên cứu trong hai năm trở lại đây và bước đầu có một số kết quả quan trọng [4], [5].
Luận văn này giúp phát triển lý thuyết xấp xỉ nửa nhóm bởi các đồng cấu và có thể tạo tiền đề để phát triển ứng dụng của lý thuyết này trong các thuật toán tìm kiếm Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên,giảng viên và cộng đồng nghiên cứu trong lĩnh vực này.
[1] Clifford A.H and Preston G.B,The Algebraic Theory of Semigroups, vol- ume 1, the American Mathematical Society, 1977.
[2] Clifford A.H, G Preston G.B, Lý thuyết nửa nhóm, Nhà xuất bản đại học và trung học chuyên nghiệp,1979.
[3] Ljapin E.S,Semigroups, American Mathematical Society providence Vol- ume 3, Rhode Island, 1963.
[4] Dang V.V, About the class of approximation by generalized characters, tạp chí phát triển khoa học và công nghệ, Đại học Quốc Gia tp HCM, 2020.
[5] Dang V.V, Korabelsh’chikova S.Yu, Mel’nicov B.F Class of approxima- tion, Izvestia Vushix Uchevnux Zavedenhia, UDK 512.53, 510.54, DOI 10.21685/2072-3040-2019-1-3, Russia 2020.
[6] Dang V.V, Korabelsh’chikova S.Yu, Mel’nicov B.F., Dodonova N.L., SH
- weak duality of semigroups and minimum semigroup of SH - approx- imation, Izvestia Vushix Uchevnux Zavedenhia, UDK 512.53, 510.54, DOI 10.21685/2072-3040-2019-1-3, Russia 2019.
[7] Dang V.V, Korabelsh’chikova S.Yu, Mel’nicov B.F.,Minimal SH- approximation of semigroups, Algebras and Lattices in Hawai’i , Hon- olulu, United States, pages 31-38, 2018.
[8] Dang V.V, Korabelsh’chikova S.Yu, Mel’nicov B.F.,Some issues of semigroup approximations , Izvestia Vushix Uchevnux Zavedenhia, 10.21685/2072-3040-2017-4-4, 46-57, 2017.
[9] Dang V.V, Approximation of semigroups , Modern Algebra, vol 1, page 16-20 Rostov na Don, Russia, 1996.
[10] Dang V.V, Problem of minimization of semigroup approximation and SH-approximation, Modern Algebra,vol 3, page 43-47 Rostov na Don, Russia, 1998.
[11] Golubov E.A The finite approximability of separable, naturally linearly ordered commutative semigroups, Izv Vuzov, Matem., No 2, 1969 p. 23–31.
[13] Lazlo Fuch, Abelian Groups, Pergamon Press, 1960.
[14] Zyabliceva L.V., Korabelshchikova S.Yu., Popov I.N.Some special semi- groups and their homomorphisms, Arkhangelsk,Pomor State University, 2013,122p.
[15] Bùi Thị Khuyên ,Xấp xỉ nửa nhóm nhỏ nhất, Luận văn thạc sỹ, Đại học Bách Khoa tp Hồ Chí Minh, 2017.
[16] Trần Nam Dũng (Chủ biên),Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán, TP.HCM, tháng 8/2011.
[17] Malsev A.I , On homomorphisms onto finite groups, Uchen Zap Karel.Ped Inst Ser Fiz-mat Nauk 18, 49-60(1958).