Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng: Lớp các xấp xỉ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

TRẦN ĐỨC SƠN

LỚP CÁC XẤP XỈClass of approximations

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNGMã ngành: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 01 năm 2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐH QUỐC GIA TP.HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS ĐẶNG VĂN VINH

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS NGUYỄN BÁ THI

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS CAO THANH TÌNH

Luận văn thạc sĩ này được bảo vệ tại trường Đại học Bách Khoa, ĐH Quốc giaTp.Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 01 năm 2021

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn bao gồm:

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của các thành viên Hội đồng đánh giá luận văn.)1 Chủ tịch: PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

2 Thư ký: TS NGUYỄN TIẾN DŨNG3 Phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI4 Phản biện 2: TS CAO THANH TÌNH5 Ủy viên: TS HỒ ĐẮC NGHĨA

Xác nhận của chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và trưởng Khoa quản lý chuyênngành sau khi luận văn đã chỉnh sửa (nếu có).

PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUYPGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN

Trường Đại học Bách KhoaĐộc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: TRẦN ĐỨC SƠNMSHV: 1870587

Ngày, tháng, năm sinh: 25.05.1982Nơi sinh: Quảng BìnhChuyên ngành: Toán Ứng dụngMã ngành: 8460112

I TÊN ĐỀ TÀI: LỚP CÁC XẤP XỈ NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

- Kiến thức cơ sở- Lớp các xấp xỉ- Ứng dụng

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ:01/06/2020III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 12/2020

IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:TS ĐẶNG VĂN VINH

Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng năm

TRƯỞNG KHOA

Lời cảm ơn đầu tiên tôi xin chân thành gửi tới Thầy, TS Đặng Văn Vinh,người đã nhiệt tình giảng dạy, định hướng và giúp đỡ tôi trong quá trình họctập chương trình Cao học Toán Ứng dụng, cũng như trong quá trình thựchiện và hoàn thành luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các Thầy Cô trong bộ môn Toán Ứngdụng, khoa Khoa học Ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốcgia thành phố Hồ Chí Minh, những người đã truyền thụ kiến thức giúp tôicó một nền tảng tri thức khoa học để thực hiện luận văn và hoàn tất khóahọc.

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những người bạn ở lớp Cao học ToánỨng dụng khóa 2018, đã có rất nhiều hỗ trợ, giúp đỡ tôi trong quá trình họctập và thực hiện luận văn.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân trong gia đìnhtôi, đã luôn đồng hành, động viên, chia sẻ khó khăn và tạo những điều kiệntốt nhất cho tôi trong học tập và làm việc.

Cuối cùng, tôi xin trân trọng tiếp nhận tất cả những đánh giá và góp ýquý báu của quý Thầy Cô, các bạn bè và đồng nghiệp cũng như tất cả nhữngai có quan tâm đến luận văn này, giúp tôi có được cơ hội bổ sung kiến thứcđể hoàn thiện những hạn chế và thiếu sót khó tránh khỏi trong quá trìnhthực hiện luận văn.

Rất trân trọng và xin chân thành cảm ơn.

Thành phố Hồ Chí Minh, 12 2020Người thực hiện Luận văn

Trần Đức Sơn

Trong luận văn chúng tôi nghiên cứu hai vấn đề chính của bài toán xấp xỉ trênmột cấu trúc của đại số là lý thuyết nửa nhóm.

Nội dung luận văn gồm 3 chương Chương 1 là Kiến Thức Chuẩn Bị trình bày vềcác khái niệm cơ bản, các định lý liên quan đến lý thuyết nửa nhóm Chương 2 làLớp Các Xấp Xỉ nói về lớp các xấp xỉ cho lớp các nửa nhóm giao hoán và khônggiao hoán Chương 3 là Ứng Dụng Của Nửa Nhóm nêu ra một vài ứng dụng củanửa nhóm.

In the thesis, we study two main problems of the approximation problem onan algebraic structure, which is the semigroup theory Thesis content includes 3chapters Chapter 1 is Preparatory knowledge presenting basic concepts, theoremsrelated to the theory of semigroups Chapter 2 is the Class of Approximationstalking about the class of approximations for the class of commutative and non-commutative semigroups Chapter 3 is the Semigroup Application which showssome of the uses of semigroups.

Tôi tên Trần Đức Sơn, MSHV: 1870587, là học viên cao học chuyên ngànhToán Ứng dụng khóa 2018-2020 của trường Đại học Bách Khoa TP Hồ ChíMinh

Xin cam đoan toàn bộ những gì trình bày trong luận văn này là do chínhtôi thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Đặng Văn Vinh, khoa Khoahọc Ứng dụng trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia TP HCM.

Trong toàn bộ luận văn, hầu hết các kết quả nghiên cứu từ các công trìnhkhoa học của các tác giả khác, khi tôi thu thập, chọn lọc để trình bày, tríchdẫn hoặc tham khảo, tôi đều có ghi rõ địa chỉ để người đọc tham chiếu.

Tôi xin cam đoan về những gì đã nêu trên đây là sự thật và xin chịu toànbộ trách nhiệm về những gian dối về tác quyền nếu có trong luận văn này.

TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2020Người thực hiện luận văn

Trần Đức Sơn

LỜI CẢM ƠN i

1.1 Liên quan đến lý thuyết nửa nhóm 1

1.1.1 Các định nghĩa cơ bản 1

1.1.2 Định nghĩa đồng cấu 8

1.1.3 Iđêan, nửa nhóm đơn 9

1.1.4 Nửa nhóm tách được, nửa nhóm Ácsimét [2] 15

1.1.12 Các đặc trưng của một nửa nhóm giao hoán [2] 28

1.2 Liên quan tới đồng cấu nửa nhóm [2] 30

1.2.1 Tính chất của tích các đồng cấu [3] 33

1.2.2 Đồng cấu nửa nhóm ngược [3] 36

1.3 Liên quan đến lý thuyết xấp xỉ 37

Chương 2 LỚP CÁC XẤP XỈ 40

2.1 Lớp xấp xỉ các nửa nhóm giao hoán 40

2.2 Lớp xấp xỉ các nửa nhóm không giao hoán 47

S0 = S ∪ 0 nếu S không có phần tử không

L-tương đươngaLb ⇔ S1a = S1bR–tương đươngaRb ⇔ aS1= bS1

D-tương đươngD = L ∪ RH-tương đươngH = L ∩ R

a, x ∈ A

b, x /∈ A ϕ(x) = a nếu x ∈ mệnh đề A và ϕ(x) = b nếu x /∈ A

(a, b) = 1Ước chung lớn nhất của a và b bằng 1a ≡ b(mod c)(a − b) chia hết cho c

adb (a¯db)a, b thuộc lớp tương đương (a, b không thuộc lớp tương đương)

D-ahb (a ¯hb)a, b thuộc lớp tương đương (a, b không thuộc lớp tương đương)

H-F−1 Ma trận nghịch đảo của ma trận FF∗ Ma trận liên hợp (phức) của ma trận FP

n= m!(n−m)!n! (với n! = 1.2 n, quy ước 0! = 1)

Lý thuyết xấp xỉ các cấu trúc đại số lần đầu được phát biểu trong côngtrình nghiên cứu của viện sỹ hàn lâm khoa học Nga A.I Mal’cev [17] Cuốnsách [17] xuất bản năm 1976 tập hợp các công trình nghiên cứu của ông tuynhiên bài báo về xấp xỉ các cấu trúc đại số của ông ’About homomorphismson finite group’ Uchevnui Zapics Ivanovskogo Institute, Tom 18, pages 49-60được đăng năm 1958 Trong công trình này ông chỉ ra mối liên hệ giữa xấp xỉhữu hạn một cấu trúc đại số tương ứng với một mệnh đề và bài toán giải đượccủa mệnh đề này trong một hệ thống Đây có thể coi là ý tưởng và ví dụ đầutiên về việc ứng dụng lý thuyết xấp xỉ các cấu trúc đại số Hướng phát triểncác ứng dụng rất thiết thực nhưng ít được quan tâm nghiên cứu ngoại trừGiáo sư S.I Kublanovski có bài báo "Finite approximation and algorithmicproblems", Modern algebra, LGU, 1983, pages 59 -78 và Kostưrev I.I "Aboutalgorithmic solvabilities of problems of recognition of predicates" Vesnit SaintPeterburg University, 2010, pages 45 – 50 Lý thuyết nửa nhóm rất trừu tượngvà tồn tại một khoảng cách khá xa từ lý thuyết đến ứng dụng lý thuyết nàyvào các bài toán thực tiễn nên việc ứng dụng vẫn còn bỏ ngõ Vấn đề xấp xỉnửa nhóm được Giáo sư Lesokhin M.M và các học trò của ông nghiên cứutích cực trong khoảng thời gian dài từ 1960 đến nay Tổng cộng có khoảngtrên 30 luận văn tiến sỹ được bảo vệ thành công và hàng trăm bài báo đượcđăng theo hướng nghiên cứu này Các bài báo chủ yếu được viết bằng tiếngNga và đăng trên các tạp chí chuyên ngành của Nga và Liên bang Xô Viết.Có một số bài được đăng trên tạp chí nổi tiếng nhất của lý thuyết nửa nhómlà Semigroup Forum:

1/ Lesokhin M.M., Popyrin A V, Bicharacters of semigroups, Semigroupforum 35, 1986, pages 253 – 264.

2/ Lesokhin M.M., Rasulov N.J Two results on real continuous bicharacters.Semigroup Forum 43, 1991, pages 123 – 126.

set of all J-classes of a finite semigroups, Semigroup Forum 6(3), 1973, pages263 – 264.

Nhận thấy đây là một vấn đề lý thuyết mới và sẽ có nhiều ứng dụng trongtương lai nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu "LỚP CÁC XẤP XỈ" cho luậnvăn của mình.

Mục đích nghiên cứu:

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu hai vấn đề chính củabài toán xấp xỉ đó là tìm lớp các xấp xỉ cho các lớp nửa nhóm giao hoán vàkhông giao hoán.

Đối tượng nghiên cứu:

Chúng tôi nghiên cứu trên các đối tượng: Lý thuyết xấp xỉ nửa nhóm, đồngcấu nửa nhóm, các mệnh đề quan trọng trong lý thuyết nửa nhóm.

Phương pháp nghiên cứu:

- Sử dụng các phương pháp của đại số hiện đại như : từ một đồng cấu nửanhóm trên một nửa nhóm con mở rộng ra đồng cấu trên toàn bộ nửa nhóm;phân tích nửa nhóm thành hợp các nhóm con Ácsimét.

- Đọc, phân tích tìm hiểu rõ các chứng minh của các định lý trong tài liệutham khảo.

Nội dung và phạm vi của vấn đề sẽ nghiên cứu:

Ngoài phần lời mở đầu và kết luận, chúng tôi chia luận văn thành ba chương.Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: ở đây nêu lên các định nghĩa quan trọngcủa lý thuyết nửa nhóm có liên quan đến vấn đề nghiên cứu của đề tài.Chương 2: Tìm ra điều kiện để một lớp các nửa nhóm là lớp các xấp xỉ củalớp các nửa nhóm cho trước tương ứng với các mệnh đề quan trọng tronglý thuyết nửa nhóm Lớp các nửa nhóm cho trước là giao hoán và khônggiao hoán Các mệnh đề tương ứng ở đây là "phần tử thuộc nửa nhóm conmonogenic", "phần tử thuộc nửa nhóm con", "hai phần tử nằm trong quan

Chương 3: Nêu ra một vài ứng dụng của nửa nhóm

[2]Ta gọi một phỏng nhóm là một hệ thống S(.) gồm một tập S khác rỗng và mộtphép toán hai ngôi (.) trên nó Thường ta viết S thay cho S(.), nếu điều đó khôngdẫn tới sự hiểu lầm nào.

[2]Một phép toán hai ngôi bộ phận trên tập S là một ánh xạ từ một tập con khácrỗng của tậpS × S vào S Một phỏng nhóm bộ phận là một hệ thốngS(.) gồm mộttập S khác rỗng và một phép toán hai ngôi bộ phận trên nó.

[2]Phép toán hai ngôi (.) trên S gọi là kết hợp nếu a.(b.c) = (a.b).c, ∀a, b, c ∈ S.

Định nghĩa 1.1.1 [2]Nửa nhóm là một phỏng nhóm S(.), trong đó phép toán (.)

có tính kết hợp.

Ví dụ 1.1.1 Tập (Z; +) và (Z; ) là một nửa nhóm.

[2]Phép biến đổi của một tập X là một ánh xạ từX vào chính nó Ta sẽ kí hiệuảnh của phần tử x ∈ X qua phép biến đổi hoặc ánh xạ α là αx

[2]Tích( hay hợp thành) của hai phép biến đổi α và β của tập X là phép biến đổi

αβ định nghĩa như sau: (αβ)x = α(βx) với mọi x ∈ X Luật kết hợp α(βγ) = (αβ)γ

thoả mãn, vì với mỗi x ∈ X :

Tập các số tự nhiên lẻ cùng với phép toán cộng không là một nửa nhóm con củaN.

[2] Nếu S là phỏng nhóm, thì lực lượng |S| của tập S được gọi là cấp của S.

[2]Ta nói phần tử a thuộc phỏng nhóm S là giản ước trái [phải] được, nếu với mọi

x, y tuỳ ý thuộc S hệ thức a.x = a.y [x.a = y.a] kéo theo x = y.

Phỏng nhómS được gọi là phỏng nhóm với luật giản ước trái [phải], nếu mỗi phầntử thuộc S giản ước trái [phải] được.

Ta nói phỏng nhóm S với luật giản ước, nếu S vừa là phỏng nhóm với luật giảnước trái, vừa là phỏng nhóm với luật giản ước phải.

Định nghĩa 1.1.2 [2]Ta nói hai phần tử a và b thuộc nửa nhóm S giao hoán vớinhau nếu a.b = b.a Nửa nhóm S được gọi là giao hoán nếu hai phần tử tuỳ ý củanó giao hoán với nhau.

Khi đó ta có luật các số mũ sau :

Ví dụ 1.1.3 Nửa nhóm (Z; +); (Q, ) đều là những nửa nhóm giao hoán

Định nghĩa 1.1.3 [2]Phần tử e thuộc một phỏng nhóm S được gọi là đơn vị trái[phải], nếu ea = a[ae = a] với mọi a ∈ S Phần tử e thuộc phỏng nhóm S được gọilà đơn vị nếu nó vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải.

Ví dụ 1.1.4 1 là một đơn vị của tập các số nguyên với phép nhân thông thường.Định nghĩa 1.1.4 [2] Phần tử z thuộc phỏng nhómS được gọi là phần tử khôngbên trái [phải] nếu za = z[az = z] với mọi a ∈ S Phần tử z được gọi là phần tửkhông nếu nó vừa là phần tử không bên trái vừa là phần tử không bên phải củaS.Định nghĩa 1.1.5 [2] Nửa nhóm S với phần tử không 0 được gọi là nửa nhómvới phép nhân không, nếu ab = 0, ∀a, b ∈ S.

Định nghĩa 1.1.6 [2] Phần tử e thuộc phỏng nhóm S được gọi là một luỹ đẳng,nếu e.e = e Nếu mỗi phần tử thuộc nửa nhóm S là luỹ đẳng thì ta nói S là nửanhóm các luỹ đẳng, hay một băng.

Ví dụ 1.1.5 Phần tử đơn vị và phần tử không một phía là các luỹ đẳng.

[2] Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý, 1 là một kí hiệu và không thuộc S Khiđó ta mở rộng phép toán hai ngôi trên tập S lên tập hợp S ∪ {1} bằng cách đặt

1.1 = 1 và 1.a = a.1 = a với mọi a ∈ S Dễ thấy S ∪ {1} là một nửa nhóm vớiphần tử đơn vị là 1 Tương tự ta có thể ghép phần tử không vàoS, bằng cách đặt

0.0 = 0.a = a.0 = 0 với mọi a ∈ S Và ta kí hiệu : S1 là S nếu như S có đơn vị, là

S ∪ {1} trong những trường hợp trái lại; tương tự S0 cũng vậy, là S nếu như S cóphần tử không và |S| > 1, còn S ∪ {0} trong trường hợp trái lại.

[2] Nhóm là một nửa nhóm G, chứa một phần tử đơn vị trái e, sao cho với mỗiphần tử tuỳ ý a ∈ G tồn tại y ∈ G mà ya = e Phần tử y thoả mãn phương trình

ya = e, được gọi là phần tử nghịch đảo bên trái của a đối với e Suy ra phần tửnghịch đảo bên trái cũng là phần tử nghịch đảo bên phải của a và được kí hiệu là

a−1, còn e cũng là phần tử đơn vị phải.

[2] Ta gọi hai mệnh đề hoặc hai khái niệm là đối ngẫu, nếu một trong chúng thuđược từ cái kia bằng cách thay mỗi tích ab trong các phát biểu tương ứng bởi ba.Ta ký hiệu d(A)là mệnh đề đối ngẫu với mệnh đề A Nếu mệnh đề có dạng "A kéotheo B" thì mệnh đề đối ngẫu của nó có dạng "d(A) kéo theo d(B)" Rõ ràng nếumột trong hai mệnh đề đó đúng , thì mệnh đề kia cũng đúng.

Nếu A và B là các tập con của phỏng nhóm S, thì tích AB của tập A và tập B

được gọi là tập tất cả các phần tử dạng ab, trong đó a ∈ A, b ∈ B Như vậy:

AB = ∪ {Ab | b ∈ B} = ∪ {aB | a ∈ A}

[2]Ta hiểu một quan hệ hai ngôi trên tập một tập X là một tập conρ của tích ĐềCác X × X của tập X với chính nó Nếu (a, b) ∈ ρ, trong đó a và b là các phần tửthuộc X, thì ta cũng sẽ viết a ρ b và nói " a nằm trong quan hệ ρ với b".

Định nghĩa 1.1.7 [2] Một quan hệ ” ≤ ” trên một tập X được gọi là thứ tự bộphận củaX nếu nó có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Phần tử b ∈ X

được gọi là cận trên của tập con Y của X, nếu y ≤ b với mỗi y ∈ Y Cận trên b

của tậpY được gọi là cận trên bé nhất hoặc hợp của tập Y, nếu b ≤ c với mỗi cậntrên c của tập Y Cận dưới và cận dưới lớn nhất hay giao được định nghĩa mộtcách đối ngẫu.

Nếu Y có một hợp [ giao ] trong X, thì rõ ràng hợp [ giao ] đó là duy nhất.Định nghĩa 1.1.8 [2]Tập sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên [ dưới] nếu mỗi tập con gồm hai phần tử {a, b} của tập X có hợp [ giao ] trong X Mộtdàn là một tập sắp thứ tự bộ phận , đồng thời là nửa dàn trên và nửa dàn dưới.Lúc này mỗi tập con hữu hạn của X có hợp [ giao ]

Dàn X được gọi là đầy đủ , nếu mỗi tập con của X có một hợp và một giao.Ví dụ 1.1.6 Tập hợp các số tự nhiên N sắp xếp theo quan hệ thứ tự thông thường(thứ tự bộ phận) là một dàn, với hợp là số lớn hơn, giao là số nhỏ hơn Mỗi tậpcon tùy ý luôn có một phần tử lớn nhất (hợp) và một phần tử bé nhất (giao) nênnó là dàn đầy đủ.

[2] Giả sử E là tập các phần tử luỹ đẳng của nửa nhóm S Đặt e ≤ f (e, f ∈ E)

nếuef = f e = e Nếu e ≤ f thì ta nóie đứng trước f, và f đứng sau e Ta sẽ chứngtỏ rằng quan hệ≤ đó là một thứ tự bộ phận trên E Giả sử e, f, g ∈ E Thế thì :(1) e2 = e và do đó e ≤ e.

(2) nếu e ≤ f và f ≤ e thì ef = f e = e và f e = ef = f, do đó e = f.

(3) nếu e ≤ f và f ≤ g thì ef = f e = e và f g = gf = f, từ đó :

eg = (ef)g = e(f g) = ef = e,ge = g(f e) = (gf )e = f e = e.

Do đó e ≤ g Ta gọi ≤ là thứ tự bộ phận tự nhiên trên E.

Ta hiểu sự phân tích một nửa nhóm S là sự phân chia nó thành hợp của các nửanhóm con rời nhau Sα(α ∈ Ω).

Định lý 1.1.1 [2] Một băng giao hoán S là một nửa dàn dưới đối với thứ tự bộphận tự nhiên S Giao của hai phần tử a và b thuộc S trùng với tích ab của chúng.Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với phép giao.

Chú ý Ta sẽ dùng từ nửa dàn như đồng nghĩa với từ băng giao hoán Như vậy,ta thỏa thuận rằng từ nửa dàn sẽ được dùng với nghĩa là nửa dàn dưới, nếu khôngnói thêm gì.

Định nghĩa 1.1.9 [2] Quan hệ ρ trên tập X được gọi là quan hệ tương đương,nếu nó là phản xạ, đối xứng và bắc cầu.

[2]Nếuρlà một quan hệ tùy ý trên tậpXvàa ∈ X, thì ta đặtρa = {x ∈ X| x ρ a}

và aρ = {x ∈ X| a ρ x} Nếu ρ là quan hệ tương đương thì:(i) a ∈ aρ với mỗi a ∈ X, và

(ii) từ aρ ∩ bρ 6= ∅ ⇒ aρ = bρ

Như vậy họ các tập aρ trong đó a ∈ X là một phân hoạch của tập X, tức là các

tập đó không giao nhau và hợp của chúng bằng X Ta ký hiệu đó là X/ρ.Ta gọi aρ là lớp tương đương của tập X theo modulρ chứa a.

Đảo lại mọi phân hoạch ℘ của tập X xác định một quan hệ tương đương ρ mà

℘ = X/ρ, cụ thể a ρ b khi và chỉ khi a và b thuộc cùng một tập của phân hoạch ℘.Ta gọi ánh xạ a → aρ là ánh xạ tự nhiên hay ánh xạ chính tắc từ tập X lên X/ρ

1.1.2Định nghĩa đồng cấu

Định nghĩa 1.1.11 [2] Giả sử S và S0 là các phỏng nhóm Ánh xạ ϕđi từ S vào

S0 được gọi là đồng cấu nếu ϕ(ab) = ϕ(a) ϕ(b) với mọi a, b ∈ S.

Ta sẽ nói ϕ(S) là ảnh đồng cấu của phỏng nhóm S và viết S ∼ ϕ(S) Nếu S lànửa nhóm thì ϕ(S) cũng là nửa nhóm.

Đồng cấu một - mộtϕ từ phỏng nhóm S vào phỏng nhóm S0 được gọi là đẳng cấutừ S vào S0 Trong trường hợp đó ta nói các phỏng nhóm S và ϕ(S) đẳng cấu vớinhau và viếtS ∼= ϕ(S).

Đồng cấu từ phỏng nhómSvào chính nó gọi là tự đồng cấu, còn đẳng cấu từ phỏng

nhóm S lên chính nó được gọi là tự đẳng cấu.

Ví dụ 1.1.7 Cho X là một nửa nhóm Khi đó ánh xạ đồng nhất:

IX : X → XIX(x) = x

∀x ∈ X

là một tự đồng cấu nửa nhóm Ngoài ra nó còn là một tự đẳng cấu nửa nhóm.Ví dụ 1.1.8 Cho A là một nửa nhóm con của X Khi đó ánh xạ

jA : A → X, jA(x) = x ∀x ∈ A

là đơn cấu nửa nhóm, gọi là phép nhúng chính tắc của A vào X.

Ví dụ 1.1.9 Cho X là một nửa nhóm, Y là một vị nhóm Khi đó ánh xạ

f : X → Y, f (x) = 1Y , ∀x ∈ X

là đồng cấu nửa nhóm Nếu X là vị nhóm thì ánh xạ f : X → Y, f (x) = 1Y ∀x ∈ X

là đồng cấu vị nhóm.

1.1.3Iđêan, nửa nhóm đơn.

Định nghĩa 1.1.12 [2] Iđêan trái [phải] của phỏng nhóm S được định nghĩa làmột tập con khác rỗng A của S, mà SA ⊆ A [AS ⊆ A] Iđêan hai phía hay gọi tắtlà iđêan nếu nó vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải.

Trong nửa nhóm giao hoán thì khái niệm iđêan trái, iđêan phải, iđêan hai phíalà trùng nhau.

Định nghĩa 1.1.13 [2] Một iđêan M hai phía [trái, phải] của nửa nhóm S đượcgọi là tối thiểu nếu nó không chứa thực sự các iđêan [trái, phải] khác của S Định nghĩa 1.1.14 [2] Phỏng nhómS gọi là đơn trái [ phải ] nếu S là iđêan trái[ phải ] duy nhất của nó Phỏng nhómS được gọi là đơn nếu nó không chứa iđêanthực sự.

Định nghĩa 1.1.15 [2] Nửa nhóm S với phần tử 0 được gọi là nửa nhóm 0-đơn[0-đơn trái, 0-đơn phải] nếu:

(i) S26= 0

(ii) 0 là iđêan hai phía [trái, phải] thực sự duy nhất của S.

[2]Nếu A là tập con khác rỗng của phỏng nhóm S, thì giao của tất cả các iđêantrái của S chứa A là iđêan trái chứa A và được chứa trong mọi iđêan trái tuỳ ýkhác có tính chất đó Ta gọi nó là iđêan trái của phỏng nhóm S sinh bởi A Nếu

A gồm một phần tử a, thì ta gọi L(a) = {a} ∪ Sa = S1a, R(a) = {a} ∪ aS = aS1 và

J (a) = S1aS1 tương ứng là các iđêan chính trái, phải, hai phía của nửa nhóm S

sinh bởi a.

[9]Lấy S là một nửa nhóm bất kì Ta có một số tính chất cơ bản của iđêan sau:

(α) S là một iđêan hai phía của chính nó.

(β) Nếu S có một phần tử 0, thì 0 là một iđêan hai phía của S.

(γ) Hợp của các iđêan trái bất kì là một iđêan trái của chính nó.

(δ) Giao của các iđêan trái bất kì là một iđêan trái của chính nó nếu giao không

(α).Hợp của các iđêan hai phía bất kì của nửa nhóm S là iđêan hai phía của S.

(β) Tích của hai iđêan hai phía của S là một iđêan hai phía của S.

(γ) Giao của các iđêan hai phía bất kì của S là một iđêan hai phía của S nếu giaokhông rỗng.

(δ) Giao của hai iđêan hai phía của S là một iđêan hai phía của S.

(ε) Một tập con của S bao gồm một phần tử x là một iđêan hai phía của S nếuvà chỉ nếux là phần tử không của S.

(ς) Nếu S có một phần tử 0S, thì 0S được chứa trong mọi iđêan hai phía của S.

(η) Nếu B là một nửa nhóm con củaS và I là một iđêan hai phía của S, thì giaoB∩I nếu không rỗng thì cũng là một iđêan hai phía của B.

(θ) Nếu I là một iđêan hai phía củaS, thì tập Y bao gồm tất cả các phần tửu ∈ S

sao cho uS ⊂I là một iđêan hai phía củaS.

Định nghĩa 1.1.16 [3] Một nửa nhóm con B của một nửa nhóm S được gọi làcô lập nếu và chỉ nếu với phần tửx ∈ S và số tự nhiên n bất kì, thì từ xn ∈B suyra được x ∈B Nếu B là một iđêan thì ta nói B là iđêan cô lập.

Ví dụ 1.1.10 Tập các số tự nhiên chia hết cho 5 là một iđêan cô lập của N.Định nghĩa 1.1.17 [3] Iđêan B của nửa nhóm S được gọi là iđêan cô lập hoàntoàn, nếu từxy ∈B, suy ra x ∈B vày ∈B Tập rỗng qui ước là một iđêan cô lậphoàn toàn.

[3] Sau đây là các tính chất của iđêan cô lập:

1 Một nửa nhóm con cô lập hoàn toàn của một nửa nhóm S là cô lập.Chứng minh :

Giả sử B là một nửa nhóm con cô lập hoàn toàn của nửa nhóm S Ta sẽ chứngminh B là một nửa nhóm con cô lập Thật vậy :

∀xn, yn ∈ S mà xnyn ∈B ta suy ra xn ∈B và yn ∈B Từ xn = xn−1.x ∈B suy ra

x ∈B Vậy B là một nửa nhóm con cô lập.

2 S chính là một nửa nhóm con cô lập hoàn toàn của chính nó.

3 Một nửa nhóm con B sẽ là cô lập hoàn toàn nếu và chỉ nếu S\B hoặc là mộtnửa nhóm con hoặc là tập rỗng.

4 Giao của bất kì các nửa nhóm con cô lập là một nửa nhóm con cô lập nếu cácnửa nhóm con không rỗng.

Chứng minh :Giả sử A =∩

iBi ( Với Bi là các nửa nhóm con cô lập của S và Bi 6= ∅).Lấy xn ∈ A ⇒ xn ∈ ∩

iBi⇒ xn ∈ Bj, (∀j) Vì Bj là một nửa nhóm con cô lập nên tasuy ra x ∈ Bj, (∀j) ⇒ x ∈∩

iBi ⇒ x ∈ A.

Vậy giao của các nửa nhóm con cô lập là một nửa nhóm con cô lập.5 Hợp của các iđêan trái cô lập bất kì là một iđêan trái cô lập.Chứng minh:

Giả sử Bi là các iđêan trái cô lập của S ⇒ SBi ⊆ Bi và nếu xn ∈ Bi ⇒ x ∈ Bi.Ta sẽ chứng minh nếu xn ∈ ∪

iBi⇒ x ∈ ∪

iBi và ∪

iSBi⊆ ∪

iBi.Thật vậy:

Từ xn ∈ ∪

iBi suy ra ∃j mà xn ∈ Bj ⇒ x ∈ Bj nên suy ra x ∈∪

iBi Lấy x ∈∪

iSBi suy ra ∃j mà x ∈ SBj ⇒ x ∈ Bj ⊆ ∪

iBi Vậy ∪

iSBi ⊆ ∪

iBi Suy rađiều phải chứng minh.

6 Hợp các iđêan trái cô lập hoàn toàn bất kì là một iđêan trái cô lập hoàn toàn.Chứng minh : Ta vừa chứng minh ở trên hợp của các iđêan trái cô lập là mộtiđêan trái cô lập Bây giờ ta sẽ chứng minh tính hoàn toàn của nó.

Ta sẽ chứng minh

x.y ∈∪

x ∈∪

iBiy ∈∪

8 Nếu B là một ideal hai phía cô lập của một nửa nhómS mà S cũng là một idealhai phía của một trong những nhóm cực tiểu S0, thì B cũng là ideal hai phía củanửa nhóm S0.

Chứng minh: Với x ∈ S0 và b ∈B thì xb ∈ S0B⊂ S0S ⊂ S (vì B⊂ S và S là idealhai phía của S0), ta lại có xbx = (xb)x ∈ SS0 ⊂ S Giả sử xb /∈ B, vì B là cô lậptrong S, nên ta có (xb)2 ∈/ B Tuy nhiên, điều này là vô lý vì

(xb)2 = (xbx).b ∈ S.B⊂B

Tương tự bx /∈ B cũng là điều không thể xảy ra Do đó, B phải là một ideal haiphía của S0 Điều phải chứng minh.

Định nghĩa 1.1.18 [3] Một nửa nhóm con F của nửa nhóm A được gọi là lọccủaA nếu ∀x, y ∈ A, xy ∈ F thì x, y ∈ F

Ví dụ 1.1.11 (Q∗, ) là một lọc của (Q, )

1.1.4Nửa nhóm tách được, nửa nhóm Ácsimét [2]

Định nghĩa 1.1.19 Nhóm con G của nửa nhóm S được gọi là nhóm con tối đạicủa nửa nhóm S nếu nó không được chứa thực sự trong một nhóm con nào kháccủaS.

Ví dụ 1.1.12 He là nhóm các phần tử khả nghịch trong nửa nhóm eSe và He lànhóm con tối đại của nửa nhóm S.

Định nghĩa 1.1.20 Một nửa nhóm S gọi là tách được nếu nó có tính chất ab =a2= b2 (a, b ∈ S) kéo theo a = b.

Ví dụ 1.1.13 Nửa nhóm giao hoán có luật giản ước là nửa nhóm tách được.Định nghĩa 1.1.21 [3] Một phần tử b của nửa nhóm S được gọi là số chia phảicủa phần tửa trong nửa nhóm S nếu tồn tại trongS một phần tử xsao choxb = a.Phần tử b được gọi là số chia trái của a nếu tồn tại trong S một phần tửy sao cho

by = a.

Nếu b là một số chia phải [trái] của a, thì chúng ta nói rằng a là số chia hết bênphải [trái] cho b Nếu b là số chia cả hai bên của a thì ta nói a là số chia hết cho b

ở cả hai bên.

Quan hệ chia hết là một quan hệ phản xạ, bắc cầu và ổn định trên S Nếu quanhệ chia hết ρ là một tương đẳng trên một nửa nhóm S sao cho S/ρ là luỹ đẳng thìta gọiρ là luỹ đẳng.

Định nghĩa 1.1.22 Nửa nhóm giao hoánS là nửa nhóm " Ácsimét " nếu với haiphần tử tuỳ ý củaS, mỗi phần tử chia hết một luỹ thừa nguyên dương nào đó củaphần tử kia.

Nghĩa là với hai phần tửa, b ∈ S bất kì, tồn tại x, y ∈ S sao cho ax = bm và by = an.Định nghĩa 1.1.23 Mọi nửa nhóm giao hoán S biểu diễn được một cách duynhất dưới dạng một dàn của các nửa nhóm " Ácsimét" ; các nửa nhóm này ta gọilà các " thành phần Ácsimét" của S.

Định nghĩa 1.1.24 Ta định nghĩa một quan hệ η trên một nửa nhóm giao hoánS như sau : a η b (a, b ∈ S) khi và chỉ khi mỗi một trong các phần tử a và b chiahết một luỹ thừa nguyên dương nào đó của phần tử kia.

Định lý 1.1.2 Quan hệ η trên một nửa nhóm giao hoán S là một tương đẳng trênS và S/η là ảnh đồng cấu nửa dàn tối đại của S.

Định lý 1.1.3 Mỗi nửa nhóm giao hoán S biểu diễn được một cách duy nhấtthành nửa dàn Y các nửa nhóm Ácsimét Sα(α ∈ Y ) Nửa dàn Y đẳng cấu với ảnhđồng cấu nửa dàn tối đại S/η của S, và các Sα(α ∈ Y ) là các lớp tương đương củaS theo môđun η.

Định nghĩa 1.1.25 Ta nói một tương đẳng ρ trên một nửa nhóm giao hoánS làtách được nếu S/ρ là tách được, nghĩa là nếu ab ρ a2 ρ b2 kéo theo a ρ b.

Rõ ràng giao của một tập các tương đẳng tách được trên S là tách được.Định nghĩa 1.1.26 Ta định nghĩa một quan hệ σ trên một nửa nhóm giao hoánS như sau : a σ b (a, b ∈ S) khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên dương n sao cho

Định lý 1.1.6 Một nửa nhóm giao hoán là tách được khi và chỉ khi các thànhphần Ásimét của nó là giản ước được.

1.1.5Nhúng chìm nửa nhóm [2 ],[3]

Định nghĩa 1.1.27 [3] Một tập con B khác rỗng của một nửa nhóm A được gọilà nửa nhóm con nếu

B.B ⊂ B.

A lúc này gọi là siêu nửa nhóm của B.

Một nửa nhóm con thuộc một nhóm thì không nhất thiết là một nhóm Ví dụ,nửa nhóm các số tự nhiên với phép nhân thì không phải là một nhóm, nhưng nólà nửa nhóm con thuộc nhóm các số hữu tỉ dương.

Định nghĩa 1.1.28 [3]Nửa nhóm mà các nửa nhóm con của nó thuộc một nhómnào đó thì gọi là nửa nhóm được nhúng chìm trong nhóm đó.

Lóp các nửa nhóm được nhúng chìm trong nhóm là đề tài của rất nhiều nghiêncứu.

Định lý 1.1.7 [3] A là nửa nhóm với luật giản ước mà bất kỳ a, b ∈ A thì luôn tồntại u, v ∈ A sao cho

Định lý 1.1.10 Mọi nửa nhóm thuận nghịch phải với luật giản ước nhúng chìmđược vào một nhóm.

Định nghĩa 1.1.30 Ta nóiG là nhóm các thương bên trái của một nửa nhóm S,nếuGlà một nhóm chứa S sao cho mỗi phần tử thuộc G biểu diễn được dưới dạng

Định nghĩa 1.1.33 Ta nói nửa nhóm S là chính quy trái [phải] Nếu với mỗiphần tử a ∈ S tồn tại x ∈ S sao cho xa2= a [a2x = a]

Định nghĩa 1.1.34 Ta nói nửa nhóm S là chính quy giữa Nếu với mỗi phần tử

a ∈ S tồn tại x, y ∈ S sao cho xa2y = a

Định nghĩa 1.1.35 Một phần tử a được gọi là chính quy hoàn toàn nếu chúngta tìm thấy trong S một phần tử x sao cho

axa = a, ax = xa

Định nghĩa 1.1.36 Một nửa nhóm mà tất cả các phần tử của nó là phần tửchính quy hoàn toàn thì được gọi là nửa nhóm chính quy hoàn toàn.

Ví dụ 1.1.14 1 Mọi phần tử luỹ đẳng đều là phần tử chính quy Nói riêng, nếu

S có phần tử đơn vị thì phần tử ấy là phần tử chính qui.2 Mọi nhóm đều là nửa nhóm chính qui.

3 Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ GX của tập hợp X khác rỗng là nửa nhómchính qui.

4 Tập các số nguyên Z với phép toán cộng là một nửa nhóm chính qui hoàn toàn.Một nửa nhóm là nửa nhóm chính qui hoàn toàn nếu nó là một nhóm Nếu S

là nhóm giao hoán thì khái niệm chính quy và chính quy hoàn toàn là trùng nhau.Định nghĩa 1.1.37 Một phần tửi của nửa nhóm S mà nó vừa là đơn vị trái củaphần tử a ∈ S vừa là chia hết bên trái cho a thì được gọi là phần tử đơn vị chínhqui trái.

Định nghĩa 1.1.38 Phần tử i được gọi là phần tử đơn vị chính qui phải của a

nếu nó vừa là đơn vị bên phải của a, vừa là chia hết bên phải cho a.

Định nghĩa 1.1.39 i được gọi là đơn vị chính qui hai phía của a nếu i vừa làđơn vị hai phía của a, vừa là chia hết cả bên phải và bên trái cho a.

Luỹ đẳng là một phần đặc biệt quan trong trong việc nghiên cứu tính chất củachính qui.

Mỗi luỹ đẳng là một phần tử chính qui hoàn toàn Nó cũng là đơn vị chính qui haiphía của chính nó Một đơn vị chính qui trái của một phần tử bất kì thì luôn làmột luỹ đẳng Tương tự với phần tử đơn vị chính qui phải.

Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số tính chất không những là điều kiện cần màcòn là điều kiện đủ để nửa nhóm là nhóm.

(α) Nếu trong một nửa nhóm có đơn vị mà mỗi phần tử trong nửa nhóm có đơnvị chính qui trái thì nửa nhóm đó là một nhóm.

(β) nếu nửa nhóm chính qui S chỉ có duy nhất một luỹ đẳng thì nó là một nhóm.

(γ) Một nhóm chính qui có luật giản ước hai phía thì là một nhóm.

hoán với nó.

Bổ đề 1.1.14 [2] Hai phần tử thuộc một nửa nhóm S là nghịch đảo của nhautrong một nhóm con nào đó của S khi và chỉ khi chúng ngược nhau và giao hoánvới nhau.

Định nghĩa 1.1.41 [2] Nửa nhóm ngược là nửa nhóm chính quy trong đó mỗiphần tử có một phần tử ngược duy nhất.

Ví dụ 1.1.15 1 Nếu S là một nhóm thì S là một nửa nhóm ngược, và phần tửngược của x ∈ S chính là phần tử nghịch đảo nhóm của x.

2 Giả xử X là tập tuỳ ý khác rỗng Khi đó tập hợp JX là các phép biến đổi một một từ X vào chính nó cùng với phép hợp thành ánh xạ là một nửa nhóm ngược.

-[2] Nếu a và b là hai phần tử thuộc một nhóm con tối đại H nào đó của nửanhóm S, đặc biệt khi S chính là một nhóm, thì a và b ngược nhau khi và chỉ khichúng là nghịch đảo của nhau trong nhóm H với nghĩa thông thường

Bổ đề 1.1.15 [2] Nếu e, f, ef và f e là các luỹ đẳng thuộc nửa nhóm S, thì ef và

Bổ đề 1.1.17 [2] S là một nửa nhóm ngược với luật giản ước phải thì S là mộtnhóm.

Định lý 1.1.18 [2] Giả sử S là một nửa nhóm ngược, và α : S → P là một đồngcấu nửa nhóm Thế thì α(S) là một nửa nhóm con ngược của P Nói riêng, nếu α

là toàn cấu thì P cũng là nửa nhóm ngược.

Hệ quả 1.1.19 [2] Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm ngược S Khi đó :(i) S/ρ là một nửa nhóm ngược.

(ii) x ρ y ⇔ x−1 ρ y−1 (x, y ∈ S)

[2] Giả sử T là một nửa nhóm con của nửa nhóm ngược S Khi đó T được gọilà một nửa nhóm con ngược của S nếu với mọi x ∈ T thì x−1 ∈ T, trong đó x−1 làphần tử ngược của x trong S.

1.1.8Nửa nhóm tuần hoàn [2]

Nếu a là một phần tử tùy ý của một nửa nhóm S, thì nửa nhóm con hai của S

sinh bởi a :

hai =a, a2, a3, .

Nếu hai = S, thì S được gọi là nửa nhóm monogenic (nửa nhóm cyclic) Trongtrường hợp tổng quát, ta gọihai là nửa nhóm con cyclic của S sinh bởi a Cấp của

a được định nghĩa là cấp của hai.

Các nửa nhóm đơn cũng được gọi là nửa nhóm cyclic.

Định nghĩa 1.1.42 Nếu mọi luỹ thừa của a đều khác nhau thì a có cấp vô hạn(đếm được).

Nếu tồn tại các số nguyên dương r và s với r < s sao cho ar = as thì a có cấp hữuhạn.

Định nghĩa 1.1.43 Một nửa nhómS được gọi là tuần hoàn nếu mỗi phần tử củanó có cấp hữu hạn Nói riêng, mỗi nửa nhóm hữu hạn là tuần hoàn.

Ta còn có một định nghĩa khác của nửa nhóm tuần hoàn.

Định nghĩa 1.1.44 Một nửa nhóm S được gọi là tuần hoàn nếu tất các nhómcon đơn của nó là hữu hạn.

Bổ đề 1.1.20 Một nửa nhóm tuần hoàn với luật giản ước trái là một nhóm nếuvà chỉ nếu nó có duy nhất một luỹ đẳng.

Định nghĩa 1.1.45 [3] Chúng ta định nghĩa Oi là tập gồm tất cả các phần tửchính qui hoàn toàn của S nhận i làm đơn vị chính qui hai phía.

Bổ đề 1.1.21 [3] Oi là một nhóm con của nửa nhóm S.

Cho nửa nhóm tuần hoàn S Nếu phần tử a ∈ S có luỹ đẳng i là một đơn vị phảicủa a và i là chia hết bên trái cho a, thì a ∈Oi Hay ai = a, ab = i. thì a ∈ Oi.

Mỗi nửa nhóm giao hoán tuần hoàn là một nửa dàn các nửa nhóm có một luỹđẳng.

1.1.9Quan hệ Green [2]

Định nghĩa 1.1.46 Ta nói hai phần tử thuộc một nửa nhómS làL–tương đươngnếu chúng sinh ra cùng một ideal chính trái của S Tính R – tương đương đượcđịnh nghĩa một cách đối ngẫu Ta kí hiệu hợp của các quan hệ tương đương L và

R là D , còn giao của chúng là H.

Ta định nghĩa quan hệ L trên một nửa nhóm S bằng cách đặt a L b khi và chỉkhi a và b sinh ra cùng một iđêan chính trái của S Hay nói khác đi, L là một tậpcon của S × S gồm tất cả các cặp (a, b) sao cho {a} ∪ Sa = {b} ∪ Sb hay S1a = S1b.Trong đó S1 trùng với S nếu như S chứa đơn vị, còn trong trường hợp S khôngchứa đơn vị thì ta ghép thêm đơn vị 1 Rõ ràng L là một quan hệ tương đương,hơn nữa nếu a L b thì ac L bc với c tùy ý thuộc S, tức L là tương đẳng phải Nếu

a L b thì ta nóia và bL - tương đương Ký hiệuLa là tập tất cả các phần tử thuộc

S mà L−tương đương với a, nói khác đi, La là lớp tương đương theo mod L chứa

a, ta gọi nó là L− lớp chứa a Ta định nghĩa quan hệ R một cách đối ngẫu, bằngcách đặt a R b khi và chỉ khi aS1 = bS1 Chú ý rằng R là tương đẳng trái trên S.Ta kí hiệu Ra là lớp tương đương của S theo mod R chứa a, hay ta còn gọi là R−

Ta kí hiệu Ja là tập tất cả các phần tử sinh ra iđêan S1aS1 , tức là J−lớp chứa a.Ta cũng kí hiệu H−lớp chứa a là Ha Rõ ràng Ha = Ra∩ La.

Chú ý rằng R- lớp R và L- lớp L của nửa nhóm S giao nhau khi và chỉ khi chúngđược chứa trong một D-lớp củaS.

Bổ đề 1.1.22 (Grin) Giả sử a và b là các phần tử R- tương đương tuỳ ý thuộcnửa nhóm S, và giả sử s, s0 là các phần tử thuộc S1 sao cho as=b và bs0=a (Tồn tạicác phần tử s, s0 như vậy) Khi đó các ánh xạ x → xs (x ∈ La) và y → ys0 (y ∈ Lb)

ngược nhau bảo tồn các R- lớp và ánh xạ một - một từ La lên Lb và từ Lb lên La

(B) S vừa là chính quy trái vừa là chính qui phải

(C) Mỗi iđêan trái và mỗi iđêan phải của S là nửa nguyên tố.(D) S là chính qui trái và chính qui.

(D’) S là chính quy phải và chính qui.

(E) Mỗi H− lớp của S là một nhóm.(F) S là hợp của các nhóm rời nhau.

Định nghĩa 1.1.48 Luỹ đẳng f thuộc nửa nhóm S được gọi là nguyên thuỷ nếu

f 6= 0 và nếu e ≤ f kéo theo e = 0 hoặc e = f.

Ta nói nửa nhóm đơn [0-đơn] hoàn toàn là một nửa nhóm đơn [0-đơn] chứa luỹđẳng nguyên thuỷ.

Định lý 1.1.25 Một nửa nhóm đơn là hợp của các nhóm khi và chỉ khi nó là đơnhoàn toàn.

Định lý 1.1.26 Các mệnh đề sau đây đối với một nửa nhóm S là tương đương:(A) S là hợp các nửa nhóm đơn.

(B) S là hợp các nửa nhóm đơn hoàn toàn.

(C) S là một nửa dàn Y các nửa nhóm đơn hoàn toàn Sα(α ∈ Y ), trong đó Y làmột nửa dàn các iđêan chính của S và mỗi Sα là một J- lớp của S.

1.1.11Mở rộng của nửa nhóm [2]

Định nghĩa 1.1.49 Giả sử S và T là các nửa nhóm rời nhau, T có phần tử 0 Tagọi một nửa nhóm M là một mở rộng (iđêan) của S bởi T nếu nó chứa S như mộtiđêan và nếu nửa nhóm thương (Rixơ) M/S đẳng cấu với T.

1.1.12Các đặc trưng của một nửa nhóm giao hoán [2]

Định nghĩa 1.1.50 Giả sửS là một nửa nhóm giao hoán với phần tử đơn vị Tađịnh nghĩa một đặc trưng của S là một ánh xạ χ từ S vào trường số phức, khôngđồng nhất bằng không và thoả mãn

(C1) χ(ab) = χ(a) χ(b) ( với mọi a, b ∈ S)(C2) |χ(a)| = 0 hay 1 ( với mọi a ∈ S)

Nếu S là một nhóm thì (C2) trở thành |χ(a)| = 1.

Định nghĩa 1.1.51 TậpS∗ tất cả các đặc trưng của S trở thành một nửa nhómgiao hoán nếu ta định nghĩa tích của hai đặc trưng χ và ψ của S như sau :

(χψ)(a) = χ(a)ψ(a) ( với mọi a ∈ S)

Ta gọi S∗ là nửa nhóm đặc trưng của S Phần tử đơn vị của S∗ là đặc trưng đơnvị 1∗ của S xác định bởi 1∗(a) = 1 với mọi a ∈ S.

Nếu S là một nửa nhóm giao hoán không có đơn vị thì ta cần thay đổi địnhnghĩa " đặc trưng " ở trên bằng cách cho phép nó đồng nhất với không, vì nếukhông các đặc trưng của S nói chung không lập thành một nửa nhóm Mỗi đặctrưngχcủaS có thể mở rộng một cách duy nhất tới một đặc trưng củaS1 = S ∪{1}

bằng cách định nghĩaχ(1) = 1, và ta thấy ánh xạ χ → χ|S (cái thu hẹp của χ trên

S) là một đẳng cấu từ (S1)∗ lên S∗ Do đó ta không làm mất tính chất tổng quátnếu giới hạn ở các nửa nhóm với các đơn vị.

Định nghĩa 1.1.52 Một iđêanP củaS được gọi là một iđêan nguyên tố nếuS\P