Phương pháp tính xấp xỉ đạo hàm của hàm cho bởi xấp xỉ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN −−− −−− VÕ THỊ BÍCH LIÊN PHƯƠNG PHÁP TÍNH XẤP XỈ ĐẠO HÀM CỦA HÀM CHO BỞI XẤP XỈ Chuyên ngành: Cử nhân Toán - Tin LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: T.S PHẠM QUÝ MƯỜI Đà Nẵng, 5/2013 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Một số kí hiệu chữ viết tắt MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Bài toán ngược toán thuận 1.2 Một số kiến thức giải tích hàm 1.3 Bài toán đặt chỉnh đặt không chỉnh 11 1.4 Ví dụ tốn đặt khơng chỉnh 12 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP CHÍNH QUY HĨA 16 2.1 Lược đồ quy hóa 16 2.2 Tốc độ hội tụ nghiệm quy hóa 22 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH XẤP XỈ ĐẠO HÀM 24 3.1 Phương pháp sai phân 24 3.2 Phương pháp mollification 26 3.3 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 30 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên Lời cảm ơn! Luận văn hoàn thành trường Đai học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng hướng dẫn tận tình thầy giáo - TS Phạm Quý Mười Em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy Trong trình học tập làm luận văn, thông qua giảng, buổi seminar, em nhận quan tâm, giúp đỡ ý kiến đóng góp quý báu thầy giáo, TS, ThS thuộc khoa Tốn- Đại học Sư Phạm- Đại học Đà Nẵng Từ đáy lịng mình, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy cô Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư PhạmĐại học Đà Nẵng tạo điều kiện, quan tâm, giúp đỡ em suốt thời gian học tập làm luận văn Cuối cùng, tơi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, tất người cổ vũ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi tơi hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Đà Nẵng, tháng năm 2013 Võ Thị Bích Liên Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên Lời nói đầu Rất nhiều tốn thực tiễn, khoa học, cơng nghệ dẫn đến tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamard nghĩa toán (khi liệu thay đổi nhỏ) không tồn nghiệm, nghiệm không nhất, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào liệu ban đầu Bài tốn tính đạo hàm hàm số kết cho dạng xấp xỉ ví dụ tốn đặt khơng chỉnh Do tính khơng ổn định tập mà việc giải số khó khăn Lý sai số nhỏ kiện tập dẫn đến sai số lời giải Vì nảy sinh vấn đề tìm phương pháp giải ổn định cho tốn tính đạo hàm cho sai số kiện đầu vào nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần tới nghiệm tốn ban đầu Mục đích đề tài nhằm nghiên cứu phương pháp tính đạo hàm tập đặt khơng chỉnh Ngồi phần mở đầu, kết luận danh mục tư liệu tham khảo, nội dung đề tài trình bày hai chương Chương giới thiệu kiến thức toán ngược, toán thuận, toán đặt không chỉnh, định nghĩa, định lý quan trọng giải tích hàm liên quan tới nội dung nghiên cứu đề tài Đồng thời đưa số ví dụ tốn đặt khơng chỉnh Chương phần giới thiệu tổng quan phương pháp quy hóa, tốc độ hội tụ phương pháp sau phương pháp giải xấp xỉ đạo hàm tốn đặt khơng chỉnh, gồm có : phương pháp sai phân, phương pháp Mollification phương pháp Tikhonov Các phương pháp tiến hành xây dựng nghiệm quy hóa Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên nghiệm xấp xỉ toán ban đầu, nghiệm hội tụ đến nghiệm xác Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên Một số kí hiệu chữ viết tắt X, Y Không gian Hilbert thực A∗ Tốn tử liên hợp tốn tử Aho Rn Khơng gian Euclide n chiều x:=y x định nghĩa y ∀x với x ∃x tồn x Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Bài toán ngược toán thuận Trong phần này, đưa số ví dụ đơn giản cặp tốn đối ngược Ví dụ 1.1.1 Tìm đa thức p có bậc n với nghiệm x1 , , xn Đây toán ngược suy từ tốn thuận tìm nghiệm x1 , , xn đa thức p Trong ví dụ này, toán ngược dễ dàng giải Nghiệm p(x) = c(x − x1 ) (x − xn ) với c số tùy ý Ví dụ 1.1.2 Cho ma trận vng A:n × n n số thực λ1 , , λn , tìm đường chéo D A+D có giá trị riêng λ1 , , λn Đây toán ngược suy từ tốn trực tiếp tính giá trị riêng ma trận A+D cho Ví dụ 1.1.3 (Phép lấy vi phân) Xét phương trình: t (Kx)(t) = x(s)ds (1.1) với K : L2 ([0, 1]) → L2 ([0, 1]) Bài tốn thuận tính Kx với thơng tin có x ∈ X Bài tốn ngược cho thơng tin sẵn có y ∈ L2 , cần tìm x ∈ L2 cho Kx=y Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên Nhìn chung, thấy tốn thuận tốn dễ giải quyết, cịn tốn ngược tốn khó Đối với tất cặp tốn trình bày đây, có khác biệt toán thuận toán ngược Trong tất trường hợp, toán thuận ngầm quy ước toán đặt chỉnh (well-posed), cịn tốn ngược ngầm quy ước tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed) theo định nghĩa Hadamard 1.2 Một số kiến thức giải tích hàm Trước trình bày tốn đặt không chỉnh, mục nhắc lại số kiến thức giải tích hàm có liên quan đến nội dung nghiên cứu đề tài • Khơng gian Hilbert Cho X khơng gian tuyến tính R Một tích vơ hướng X ánh xạ , : X×X → R thỏa mãn điều kiện sau: x, x > 0, ∀x = 0, x, x = ⇔ x = 0; x, y = y, x , ∀, y ∈ X; αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R; x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X; Khơng gian tuyến tính X với tích vô hướng không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ khơng gian Hilbert Ví dụ 1.2.1 Các không gian Rn , L2 [a, b] khơng gian Hilbert với tích vơ hướng xác định tương ứng là: n ξi ηi , x = (ξ1 , ξ2 , , ξn ), y = (η1 , η2 , , ηn ) ∈ Rn < x, y >= i=1 b ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L2 [a, b] < ϕ, ψ >= a Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên • Chuẩn tốn tử Tốn tử tuyến tính A gọi bị chặn tồn c > cho Ax c x , ∀x ∈ X Khi chuẩn toán tử A định nghĩa sau: A := sup x=0 Ax x • Tốn tử liên hợp Cho A : X → Y toán tử tuyến tính, bị chặn khơng gian Hilbert Khi đó, tồn tốn tử tuyến tính, bị chặn A∗ : Y → X với tính chất (Ax, y) = (x, A∗ y), ∀x ∈ X, y ∈ Y Toán tử A∗ : Y → X gọi toán tử liên hợp A Với X=Y, toán tử A gọi phép biến đổi liên hợp A∗ = A • Hệ kì dị Định nghĩa 1.2.1 Cho X Y không gian Hilbert K : X → Y toán tử compact với toán tử liên hợp K ∗ : Y → X µj = λj , j ∈ J với λj giá trị riêng toán tử tự liên hợp K ∗ K : X → X gọi giá trị kì dị K Lưu ý, với giá trị riêng λ K ∗ K không âm K ∗ K = λx khai triển thành λ(x, x) = (K ∗ Kx, x) = (Kx, Kx) ≥ 0, λ ≥ Định lý 1.2.1 Cho K : X → Y toán tử tuyến tính compact, K ∗ : Y → X tốn tử liên hợp, µ1 ≥ µ2 ≥ µ3 > Tồn hệ (xj ) ⊂ X (yj ) ⊂ Y với tính chất sau: Kxj = µj yj K ∗ yj = µj xj với j ∈ J Khi hệ (µj , xj , yj ) gọi hệ kì dị K Với x ∈ X có giá trị phân hoạch x = x0 + (x, xj )xj j∈J Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên 10 với x0 ∈ N Kx = µj (x, xj )yj j∈J • Định lí Picard Cho K : X → Y tốn tử tuyến tính, compact hệ kì dị (µj , xj , yj ) Phương trình Kx = y (1.2) giải y ∈ N (K ∗ )⊥ j∈J |(y, yj )|2 < ∞ µj (1.3) Trong trường hợp x= j∈J (y, yj )xj µj nghiệm (1.2) Xét tốn tử tích phân sau làm ví dụ Ví dụ 1.2.2 Cho K : L2 (0, 1) → L2 (0, 1) định nghĩa t (Kx)(t) := x(s)ds, t ∈ (0, 1), x ∈ L2 (0, 1) Khi (K ∗ y)(t) = y(s)ds (K ∗ Kx)(t) = t s x(τ )dτ )ds ( t Với K ∗ Kx = λx, ta có λx(t) = ∗ y(s)ds (K Kx)(t) = t s ( t x(τ )dτ )ds, t ∈ [0, 1] Đạo hàm cấp hai, với λ = 0, ta λx + x = (0, 1), x(1) = x (0) = Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên 19 với < µ < K (3) lim q(α, µ) = 1, với < µ K Sau tốn tử Rα : Y → X, α > 0, định nghĩa : ∞ q(α, µj ) (y, yj )xj , µj Rα y := j=1 phương pháp quy hóa với Rα y∈Y c(α) Chọn α = α(δ) chấp nhận α(δ) → δc(α(δ)) → δ → Hàm q gọi lọc quy hóa K Chứng minh Toán tử Rα bị chặn có giả thiết (2) rằng: ∞ Rα y 2 (y, yj ) q(α, µj ) (µj ) = j=1 ∞ c(α) (y, yj ) c(α)2 y ; j=1 nghĩa là, Rα c(α) Từ ∞ Rα Kx = j=1 ∞ q(α, µj ) (Kx, yj )xj , µj x= (x, xj )xj , j=1 (Kx, yj ) = (x, K ∗ yj ) = µj (x, xj ), kết luận ∞ Rα Kx − x [q(α, µj ) − 1]2 |(x, xj )|2 = (2.3) j=1 Ở K ∗ kí hiệu toán tử liên hợp toán tử K Bây cho x ∈ X cố định Với > tồn N ∈ N cho ∞ 2 |(x, xj )| < n=N +1 Do (3) nên tồn α0 > cho 2 [q(α, µj ) − 1] < Luận Văn Tốt Nghiệp x , ∀j = 1, , N ; < α α0 SVTH: Võ Thị Bích Liên 20 Với (1) kết luận N Rα Kx − x [q(α, µj ) − 1]2 |(x, xj )|2 = j=1 ∞ [q(α, µj ) − 1]2 |(x, xj )|2 + n=N +1 N < 2 2||x||2 |(x, xj )| + j=1 2 với < α < α0 Do , thấy Rα Kx → x(α → 0) ∀x ∈ X Trong chứng minh này, cho thấy hội tụ Rα y đến nghiệm x Chúng ta xem chứng minh thay giả thiết (3a) Ở (i) (ii), giả sử nghiệm x xét miền giá trị K K ∗ K Định lý 2.1.2 Cho giả thiết (1) (2) chứng minh trước (i) Cho (3a) thay giả thiết co mạnh: (3b) Tồn c1 > với |q(α, µ) − 1| c1 √ α µ với α > < µ ||K|| Ngồi ra, x ∈ R(K∗ ), Rα Kx − x √ c1 α||z||, (2.4) x = K ∗ z (ii) Cho (3a) thay giả thiết co mạnh: (3c) Tồn c2 > với ||q(α, µ) − 1|| c2 α với α > < µ µ2 ||K|| Ngồi ra, x ∈ R(K ∗ K) Rα Kx − x c2 α||z||, (2.5) x = K ∗ Kz Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên 21 Chứng minh Với x = K ∗ z (x, xj ) = µj (z, yj ), cơng thức 2.1 có dạng ∞ Rα Kx − x 2 q(α, µj ) − µ2j |(z, yj )|2 = c2 α||z||2 j=1 Chứng minh tương tự cho trường hợp (ii) Sau vài ví dụ hàm q : (0, ∞) × (0, K ) → R thỏa mãn giả thiết định lí trước Định lý 2.1.3 Các hàm q sau thỏa mãn giả thiết (1), (2) (3a-c) định lí 2.1.1 2.1.2 (a)q(α, µ) = µ2 /(α + µ2 ) Điều thỏa mãn giả thiết (2) với c(α) = √ 1/2 α Giả sử (3b) (3c) thỏa mãn với c1 = 1/2 c2 = (b)q(α, µ) = − (1 − aµ2 )1/α với < a < 1/ K Trong trường hợp giả thiết (2) thỏa mãn với c(α) = a/α Giả sử (3b) (3c) thỏa mãn √ với c1 = 1/ 2a c2 = 1/a (c) Cho q định nghĩa  1, q(α, µ) = 0, µ2 ≥ α, µ2 < α √ Trong trường hợp giả thiết (2) thỏa mãn với c(α) = 1/ α (3b) (3c) thỏa mãn với c1 = c2 = Do tất hàm q định nghĩa (a), (b) (c) hàm lọc quy hóa Chứng minh Trong tất ba trường hợp, thuộc tính (1) (3a) rõ ràng Bây ta chứng minh hàm q thỏa mãn tính chất (2), (3b) (3c) (a) Tính chất (2) (3a) có từ ước lượng sơ cấp sau µ √ với α, µ > α + µ2 α − q(α, µ) = α/(α + µ2 ) Tính chất (3c) rõ ràng (b) Tính chất (2) có nhờ sử dụng bất đẳng thức Bernoulli: − (1 − αµ2 )1/α Luận Văn Tốt Nghiệp 1− 1− aµ2 aµ2 = , α α SVTH: Võ Thị Bích Liên 22 |q(α, µ)| |q(α, µ)| a/αµ (3b) (3c) có nhờ ước lượng sơ cấp µ(1 − aµ2 )β √ µ2 (1 − aµ2 )β 2aβ √ với β > µ 1/ a a , aβ (c) Với tính chất (2), ta xét trường hợp µ2 ≥ α Khi √ q(α, µ) = µ/ α Với (3b) (3c) ta xét trường hợp µ2 < α Khi √ α µ(1 − q(α, µ)) = µ µ2 (1 − q(α, µ)) = µ2 2.2 α Tốc độ hội tụ nghiệm quy hóa Trong mục này, chúng tơi trình bày kết sai số phương pháp tốc độ hội tụ nghiệm quy hóa Định lý 2.2.1 Cho y δ ∈ Y cho y δ − y δ , phía bên phải kí hiệu y = Kx (a) Đặt K : X → Y toán tử compact, đơn ánh với hệ kì dị (µj , xj , yj ) Tốn tử Rα y := µ2j ≥α (y, yj )xj , µj định nghĩa lược đồ quy hóa với Rα y ∈ Y, (2.6) √ 1/ α Lược đồ chấp nhận α(δ) → 0(δ → 0) δ /α(δ) → 0(δ → 0) (b) Đặt x = K ∗ z ∈ R(K ∗ ) với z E c > Việc chọn α(δ) = cδ/E , có ước lượng sau xα (δ) − x Luận Văn Tốt Nghiệp √ √ √ + c) δE c (2.7) SVTH: Võ Thị Bích Liên 23 (c) Đặt x = K ∗ Kz ∈ R(K ∗ K) với z E c > Việc chọn α(δ) = c(δ/E) , có ước lượng sau xα (δ) − x √ √ + c)E δ c (2.8) Chứng minh Kết hợp với ước tính phương trình (2.2) Định lí 2.1.2, Định lí 2.1.3, ta có sai số sau xα,δ − x √ δ √ + α z α phần (b), xα,δ − x δ √ +α z α phần (c) Việc chọn α(δ) = cδ/E α(δ) = c(δ/E) dẫn đến ước lượng (2.7) (2.8) Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên 24 Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH XẤP XỈ ĐẠO HÀM 3.1 Phương pháp sai phân Chúng ta định nghĩa toán tử (Kx)(t) = t x(s)ds, t ∈ [0, 1] Mục tiêu tính tốn đạo hàm hàm cho thương sai phân Ở cho α = h bước nhảy, định nghĩa    [4y(t + h2 ) − y(t + h) − 3y(t)], < t < h2 ,   h  (Rh y)(t) = h1 [y(t + h2 ) − y(t − h2 )], h2 < t < − h2 ,      [3y(t) + y(t − h) − 4y(t − h )], − h < t < h 2 (3.1) với y ∈ L2 (0, 1) Để chứng minh Rh xác định lược đồ quy hóa, nghĩa chứng minh tốn tử Rh thỏa mãn Định nghĩa 2.1, vào xét định lí sau Định lý 3.1.1 Cho Rh y định nghĩa phương trình (3.1), ta có tính chất sau: (i) Rh K bị chặn với h tương ứng (ii) Rh Kx − x → L2 Chứng minh (i) Với (Rh y)(t) = h h t+ h2 t− h2 Luận Văn Tốt Nghiệp x ∈ L20 (0, 1); nghĩa toán tử Rα K bị chặn L10 (0, 1) Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên 29 Chứng minh Chúng ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Rα y ψα ∗ y L2 (0,1) α L1 (R) ψα ∗ y L2 (R) √ y L2 (0,1) y L2 (0,1) α π L2 (0,1) với y ∈ L2 (0, 1), ∞ ψα L1 (R) = −2 ψα (s)ds = 2ψα (0) = √ α π Như (i) chứng minh Bây cho y ∈ H (0, 1) với y(0) = y(1) = Sau đó, việc tính tích phân phần, (ψα ∗ y)(t) = ψα (t − s)y(s)ds = ψα (t − s)y (s)ds = (ψα ∗ y )(t) Lấy y = Kx, x ∈ L20 (0, 1) (Rα Kx)(t) = (ψα ∗ x)(t) − (ψα ∗ x)(s)ds Áp dụng bất đẳng thức Young, chứng minh (ii) Bây giờ, xét định lí chứng tỏ hội tụ Rα Kx Định lý 3.2.1 Cho Rα Kx toán tử định nghĩa phần trước, đó: Rα Kx − x L2 √ 2α x L2 , ∀α > x ∈ H01 (0, 1), với H01 (0, 1) := x ∈ H (0, 1) : x(0) = x(1) = 0, x(s)ds = Chứng minh (Rα Kx)(t) − x(t) = (ψα ∗ x)(t) − x(t) − [(ψα ∗ x)(s) − x(s)]ds Vì x(s)ds = Do đó, Rα Kx − x L2 (0,1) ψα ∗ x − x L2 (0,1) √ 2α x L2 với x ∈ H01 (0, 1) Từ Bổ đề 3.2.2 tính trù mật H01 (0, 1) L20 (0, 1), kết luận Rα Kx hội tụ đến x với x ∈ L10 (0, 1) Do đó, Rα định nghĩa lược đồ quy hóa Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên 30 Cuối cùng, tiến hành xét tốc độ hội tụ phương pháp Từ Bổ đề 3.2.2 ước tính 2.2, ta có: √ 4δ √ + 2αE Rα y δ − x L2 α π x ∈ H01 (0, 1) với x yδ − y L2 Chọn α = c L2 E, y = Kx, y δ ∈ L2 (0, 1) cho δ δ/E cho ta Rα y δ − x với θ = 3.3 c √ + 2c L2 θδ E Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Đầu tiên, tiến hành xây dựng cực tiểu hàm Tikhonov cách xét định lí sau Định lý 3.3.1 Cho K : X → Y toán tử tuyến tính, bị chặn khơng gian Hilbert α > Khi hàm Tikhonov Jα (x) := Kx − y +α x với x ∈ X có cực tiểu xα ∈ X Cực tiểu nghiệm phương trình αxα + K ∗ Kxα = K ∗ y (3.4) Chứng minh Cho (xn ) ⊂ X dãy cực tiểu, cho Jα (xn ) → I := inf x∈X Jα (x) với n → ∞ Chúng ta xem xn dãy Cauchy Áp dụng cơng thức nhị thức, ta có 1 (xn + xm ) + K(xn − xm ) 2 α ≥ 2I + xn − xm Vế trái hội tụ đến 2I n, m → ∞ Khi (xn ) hội tụ Jα (xn ) + Jα (xm ) = 2Jα + α xn − xm Đặt xα = limn→∞ , xα ∈ X Từ tính liên tục Jα , kết luận Jα(xn ) → Jα (xα ), cho Jα (xα ) = I Vậy ta chứng minh tồn cực tiểu hàm Jα Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên 31 Nghiệm xα phương trình (3.3) viết thành xα = Rα y , với Rα := (αI + K ∗ K)−1 Bây quay trở lại với việc xét toán Kx = y , với t (Kx)(t) = t ∈ [0, 1] x(s)ds, cần chứng minh K toán tử compact Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có t 1 |x(s)|2 ds = x |x(s)|ds x(s)ds 0 (3.5) với t ∈ [0, 1] Dễ thấy rằng, với Kx ∈ L2 [0, 1] K tốn tử tuyến tính Từ (3.4) suy K bị chặn Vậy K tốn tử compact Cho hệ kì dị (µj , xj , yj ) với K toán tử compact Chúng ta thấy Rα y biểu diễn ∞ Rα y = n=0 µj (y, yj )xj = α + µ2j ∞ n=0 q(α, µj ) (y, yj )xj , µj với y ∈ Y Hàm q(α, µ) = µ2 /(α + µ2 ) xác định định lí (2.1.3) Do Rα y định nghĩa lược đồ quy hóa Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên 32 Kết luận Đề tài nghiên cứu vấn đề sau: • Nghiên cứu phương pháp sai phân, phương pháp Mollification, phương pháp Tikhonov tính xấp xỉ đạo hàm hàm cho xấp xỉ tốc độ hội tụ phương pháp • Sau đưa kết nghiệm số phương pháp Với ứng dụng quan trọng thực tế, vấn đề trình bày đề tài nhiều nhà toán học quan tâm, sâu nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, nổ lực việc tìm tịi nghiên cứu kiến thức hạn chế thời gian không cho phép nên đề tài tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp từ phía thầy giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên 33 Tài liệu tham khảo [1] Andreas Kirsch, An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problem , Springer, New York, 1989 [2] D Kinderleherr and G Stampacchia, An introduction to Variational In- equalities and Their Applications, Academic press, 1980 [3] G R Richter, An inverse problem and the regularization method, Soviet Doklady, 1963 [4] Kì Anh Nguyễn Bường, Bài tốn khơng chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [5] Hồng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại Học Quốc gia Hà Nội, 2003 [6] K ChandraseKharan, Classical Fourie Tran sforms, Springer, New York, 1989 Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Bích Liên ... Nghiên cứu phương pháp sai phân, phương pháp Mollification, phương pháp Tikhonov tính xấp xỉ đạo hàm hàm cho xấp xỉ tốc độ hội tụ phương pháp • Sau đưa kết nghiệm số phương pháp Với ứng dụng... Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH XẤP XỈ ĐẠO HÀM 3.1 Phương pháp sai phân Chúng ta định nghĩa toán tử (Kx)(t) = t x(s)ds, t ∈ [0, 1] Mục tiêu tính tốn đạo hàm hàm cho thương sai phân Ở cho α = h bước... hóa 22 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH XẤP XỈ ĐẠO HÀM 24 3.1 Phương pháp sai phân 24 3.2 Phương pháp mollification 26 3.3 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov