Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng: Tính đặt chỉnh Levitin-polyak của bài toán cân bằng hai mức và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCMTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN THỊ KIẾN TRÚC

TÍNH ĐẶT CHỈNH LEVITIN-POLYAK CỦA BÀITOÁN CÂN BẰNG HAI MỨC VÀ ỨNG DỤNG

Ngành: TOÁN ỨNG DỤNGMã ngành: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2021

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCMTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN THỊ KIẾN TRÚC

TÍNH ĐẶT CHỈNH LEVITIN-POLYAK CỦA BÀITOÁN CÂN BẰNG HAI MỨC VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Ứng DụngMã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2021

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠITRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCMCán bộ hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HƯNG

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS NGUYỄN BÁ THI

Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS TS NGUYỄN HUY TUẤN

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQGTp HCM ngày 22 tháng 06 năm 2021 (trực tuyến).

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:1 Chủ tịch: PGS TS Nguyễn Đình Huy

2 Thư ký: TS Nguyễn Tiến Dũng3 Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi

4 Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Huy Tuấn5 Ủy viên: TS Hồ Đắc Nghĩa

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Trưởng khoa quản lýchuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

Đại học Quốc Gia TP.HCMCộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt NamTrường Đại học Bách KhoaĐộc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: Nguyễn Thị Kiến Trúc MSHV: 1770492Ngày, tháng, năm sinh: 16/02/1991 Nơi sinh: Long AnChuyên ngành: Toán Ứng Dụng Mã số: 60460112

TÍNH ĐẶT CHỈNH LEVITIN-POLYAK CỦA BÀI TOÁN CÂNBẰNG HAI MỨC VÀ ỨNG DỤNG.

I NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:- Kiến thức chuẩn bị.

- Tính đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bài toán cân bằng hai mức.- Ứng dụng.

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 22/02/2021

III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 13/06/2021IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN VĂN HƯNG

Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2021CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

TRƯỞNG KHOA

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy, TS NguyễnVăn Hưng, người đã trực tiếp hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, cung cấpđề tài và nguồn tài liệu quý báu cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn.Đồng thời, thầy đã định hướng và truyền đạt ý tưởng, tháo gỡ những khókhăn trong quá trình tiếp cận và nghiên cứu khi thực hiện luận văn Luậnvăn sẽ không thực hiện được nếu không có sự hướng dẫn của thầy.

Tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến quý thầy cô trong hội đồng chấm luậnvăn Thạc sĩ Trường Đại học Bách Khoa đã dành nhiều thời gian để đọckỹ luận văn này và cho tôi những lời khuyên, những nhận xét, đánh giávà bình luận bổ ích để tôi hoàn thành luận văn một cách tốt nhất.

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy cô trong Bộ môn Toán ỨngDụng, khoa Khoa học Ứng dụng, Phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đạihọc Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh đã hết lòng giảng dạy và truyềnthụ kiến thức giúp tôi có một nền tảng kiến thức khoa học để thực hiệnluận văn.

Sau cùng, tôi xin trân trọng tiếp nhận tất cả những đánh giá và ý kiếnđóng góp quý báu của quý thầy cô, các bạn bè và đồng nghiệp cũng nhưtất cả những ai có quan tâm đến luận văn này, để tôi có thêm kiến thứcnhằm bổ sung và hoàn thiện tốt hơn cho những hạn chế và thiếu sót khótránh khỏi trong quá trình thực hiện luận văn.

Rất trân trọng và xin chân thành cảm ơn.

Tp Hồ Chí Minh, Ngày 4 tháng 8 năm 2021Người thực hiện luận văn

Nguyễn Thị Kiến Trúc

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tóm tắt Mục tiêu của luận văn này là thiết lập tính đặt chỉnh Polyak cho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu Đầu tiên, chúng tôi giớithiệu bài toán cân bằng hai mức vectơ loại yếu Sau đó, chúng tôi chứngtỏ sự tương đương giữa tính đặt chỉnh và điều kiện tồn tại nghiệm cho bàitoán này với một số điều kiện phù hợp Ngoài ra, các kết quả về đặc trưngmêtric của đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bài toán này cũng được thiết lập.Cuối cùng, chúng tôi ứng dụng các kết quả này cho bài toán bất đẳng thứcbiến phân với ràng buộc cân bằng.

Levitin-Từ khóa Bài toán cân bằng hai mức; bài toán bất đẳng thức biếnphân với ràng buộc cân bằng; đặt chỉnh Levitin-Polyak.

Keywords Bilevel equilibrium problems; Variational inequality lems with equilibrium constraints; Levitin-Polyak well-posedness.

prob-LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên là Nguyễn Thị Kiến Trúc, mã số học viên: 1770492, học viêncao học chuyên ngành Toán Ứng Dụng, Trường Đại học Bách Khoa Thànhphố Hồ Chí Minh, khóa 2017 - 2019 Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ cáckết quả được trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện dưới sựhướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hưng và tôi hoàn toàn chịu trách nhiệmtính trung thực về đề tài nghiên cứu này.

Tp Hồ Chí Minh, Ngày 4 tháng 8 năm 2021Học viên thực hiện

Nguyễn Thị Kiến Trúc

1 Tổng quan và tính cấp thiết của đề tài 1

2 Cơ sở và phương pháp nghiên cứu 3

3 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 3

4 Nội dung nghiên cứu 3

1 Kiến thức chuẩn bị 51.1 Khái niệm ánh xạ đa trị 5

1.2 Một số khái niệm tính nửa liên tục cổ điển 6

3.3 Kết luận Chương 3 24

Kết luận chung và kiến nghị 25Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận văn 26

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU

R+ Tập hợp các số thực không âmx ∈ M x thuộc M

x 6∈ M x không thuộc M∀x ∈ M Với mọi x thuộc M∃x ∈ M Tồn tại x thuộc M

f : X → Z Ánh xạ đơn trị từ X vào ZH : X ⇒ Z Ánh xạ đa trị từ X vào ZdomH Miền hiệu quả của HgraphH Đồ thị của H

H(A, B) Khoảng cách Hausdorff giữa A và BintC Phần trong của tập C

diamA Đường kính của A được định nghĩa bởi diamA =sup{d(a, b) = ka − bk : a, b ∈ A}.

(WQVEP) Bài toán tựa cân bằng vectơ yếu phụ thuộc tham số(WBVEP) Bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu

(WVIEC) Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng

MỞ ĐẦU

1Tổng quan và tính cấp thiết của đề tài

Bài toán cân bằng là một trong những lớp bài toán liên quan đến tốiưu được nhiều nhà toán học trong nước cũng như trên thế giới quan tâmtrong những thập niên gần đây Năm 1955, Nikaido và Isoda [21] lần đầutiên giới thiệu bất đẳng thức f (x∗, y) ≥ 0 với mọi y thuộc tập lồi K vớif : K × K → R để sử dụng nghiên cứu trò chơi lồi không hợp tác Năm1972, Fan [6] gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức minimax và nghiêncứu điều kiện tồn tại cho bất đẳng thức này Sau đó, Muu [19] đã nghiêncứu tính ổn định nghiệm cho bài toán này trong năm 1984 Tên gọi “cânbằng” cho bài toán này lần đầu tiên được dùng năm 1992 trong bài củaMuu và Oettli [20] Trong suốt nhiều thập kỷ qua, đã có nhiều nhà toánhọc nghiên cứu bài toán cân bằng và bài toán liên quan với những chủ đềkhác nhau Chúng ta có thể xem trong các tài liệu [2, 7, 10, 11] và các tàiliệu tham khảo ở trong đó.

Mặt khác, bài toán cân bằng hai mức lần đầu tiên được nghiên cứu bởiMordukhovich trong năm 2004 [18], bài toán này đã được thiết lập bằngcách kết hợp một bài toán cân bằng được ràng buộc bởi một bài toán cânbằng khác, nghĩa là bài toán cân bằng thứ hai (mức trên) phụ thuộc vàodữ liệu của bài toán thứ nhất (mức dưới) Trong những năm gần đây, bàitoán cân bằng hai mức được nhiều người quan tâm nghiên cứu với các chủđề khác nhau như ổn định nghiệm, tồn tại nghiệm, đặt chỉnh, chúng tacó thể xem trong các tài liệu [1, 3, 8, 9, 12] và các tài liệu tham khảo ởtrong đó.

Một trong những chủ đề đang được quan tâm hiện nay trong lý thuyếttối ưu và ứng dụng đó là tính đặt chỉnh Năm 1966, khái niệm đặt chỉnhlần đầu tiên được giới thiệu bởi Tikhonov [23] cho bài toán tối ưu vô hướng

không ràng buộc và được biết đến như là đặt chỉnh Tikhonov Khái niệmnày trên cơ sở sự tồn tại và duy nhất của nghiệm và hội tụ của mỗi dãyxấp xỉ cực tiểu đến nghiệm duy nhất Tuy nhiên, trong nhiều tình huốngthực tế các dãy xấp xỉ được thiết lập bởi phương pháp số có thể bị hạn chế.Vì vậy, Levitin và Polyak [15] đã mở rộng khái niệm đặt chỉnh Tikhonovcho bài toán tối ưu ràng buộc và được biết đến như là khái niệm đặt chỉnhLevitin-Polyak Từ đó về sau, đã có nhiều người quan tâm nghiên cứutính đặt chỉnh Levitin-Polyak cho các mô hình bài toán khác nhau liênquan đến tối ưu, (xem [13, 16] và các tài liệu liên quan) Gần đây, Anhvà Hung [3] đã giới thiệu và nghiên cứu đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bàitoán cân bằng hai mức loại mạnh và bài toán mạng giao thông với ràngbuộc cân bằng Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi đến thời điểm hiệntại chưa có bài báo nào nghiên cứu về mối quan hệ giữa tính đặt chỉnhLevitin-Polyak với tính nửa liên tục trên và tính đặt chỉnh Levitin-Polyakvới sự tồn tại nghiệm và đặc trưng mêtric của hành vi của nghiệm xấp xỉcho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu và bài toán bất đẳng thức biếnphân với ràng buộc cân bằng Vì vậy, đây là một chủ đề mở và thú vị đangđược nhiều người quan tâm nghiên cứu.

Xuất phát từ động cơ nghiên cứu như đã đề cập ở trên và xuất phát từý tưởng của các kết quả về tính đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bài toán cânbằng hai mức loại mạnh và bài toán mạng giao thông với ràng buộc cânbằng được nghiên cứu bởi Anh và Hung [3], chúng tôi chọn đề tài “Tínhđặt chỉnh Levitin-Polyak của bài toán cân bằng hai mức và ứng dụng” đểlàm luận văn thạc sĩ Chúng tôi xét bài toán cân bằng hai mức vectơ yếuvà giới thiệu khái niệm đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bài toán này Sauđó, chúng tôi chứng tỏ sự tương đương giữa tính đặt chỉnh Levitin-Polyakvới tính nửa liên tục trên và tính đặt chỉnh Levitin-Polyak với sự tồn tạinghiệm cho bài toán này với một số điều kiện phù hợp Ngoài ra, các kếtquả về đặc trưng mêtric của đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bài toán cânbằng hai mức vectơ yếu cũng được thiết lập Cuối cùng, chúng tôi ứngdụng các kết quả này cho bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộccân bằng.

2Cơ sở và phương pháp nghiên cứu

- Đọc sách và tham khảo các tài liệu có liên quan.- Phân loại và hệ thống kiến thức có liên quan.

- Phân tích, xử lý tài liệu, báo cáo seminar, trao đổi với thầy hướngdẫn và các đồng nghiệp cùng hướng nghiên cứu.

3Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán cân bằng vectơ hai mức yếu, bấtđẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng yếu.

- Phạm vi nghiên cứu: Toán ứng dụng.

4Nội dung nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày trong ba chương TrongChương 1, chúng tôi sẽ nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong giải tích đatrị Trong Chương 2, chúng tôi sẽ thiết lập tính đặt chỉnh Levitin-Polyakcho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu Trong Chương 3, chúng tôi ứngdụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân với các ràng buộc cân bằng.Cụ thể là:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị1.1 Khái niệm ánh xạ đa trị.

1.2 Một số khái niệm tính nửa liên tục cổ điển.1.3 Kết luận Chương 1.

Chương 2 Tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán cân bằng haimức

2.1 Bài toán cân bằng hai mức.

2.2 Tính đặt chỉnh cho bài toán cân bằng hai mức.2.3 Kết luận Chương 2.

Chương 3 Ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân với ràngbuộc cân bằng.

3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng.

3.2 Tính đặt chỉnh cho bài toán bất đẳng thức biến phân với ràngbuộc cân bằng.

3.3 Kết luận Chương 3.

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi hệ thống có chọn lọc một số khái niệmcơ bản về giải tích đa trị để phục vụ cho nội dung chính của Chương 2 vàChương 3 Các khái niệm này được chúng tôi trích ra từ các tài liệu chính[4, 5, 14, 16, 17, 22] và một số tài liệu liên quan.

1.1Khái niệm ánh xạ đa trị

Đầu tiên, chúng ta nhắc lại các định nghĩa cơ bản liên quan đến ánhxạ đa trị.

1.1.1 Định nghĩa ([4, p 1]) Ánh xạ đa trị H từ tập X vào tập Z, kýhiệu H : X ⇒ Z là một quy luật cho tương ứng mỗi điểm x ∈ X với mộttập H(x) ⊂ Z.

Ánh xạ đa trị còn có tên gọi khác nữa là: Hàm đa trị hay ánh xạ điểmvào tập Nếu với mỗi x ∈ X tập H(x) chỉ gồm một phần tử của Z thì tanói H là ánh xạ đơn trị từ X vào Z.

1.1.2 Định nghĩa ([5, Definition 1.3.1]) Miền hiệu quả domH và đồ thịgraphH của ánh xạ đa trị H : X ⇒ Z tương ứng được xác định bởi cáccông thức:

domH := {x ∈ X | H(x) 6= ∅},graphH := (x, y) ∈ X × Z | y ∈ H(x)

Ánh xạ đa trị H được gọi là tầm thường nếu domH = ∅ và được gọi làchặt nếu domH = X.

1.1.3 Định nghĩa ([17, Definition 1.1]) Một tập con khác rỗng C củakhông gian vectơ tôpô X được gọi là một nón lồi nếu C + C ⊂ C vàλC ⊂ C, ∀λ > 0 Một nón C được gọi là có đỉnh nếu C ∩ (−C) = {0}.

Ánh xạ đa trị H hoàn toàn được đặc trưng bởi graphH Mỗi tập bất kìtrong X × Z đều là đồ thị của một ánh xạ đa trị từ X vào Z Vì vậy, đôikhi ta không cần phân biệt giữa H với đồ thị của nó Đồng thời mối quanhệ hai ngôi giữa các phần tử của X và Z cũng là một ánh xạ đa trị từ Xvào Z và ngược lại.

Ta nói ánh xạ đa trị H có tính chất nào đó nếu đồ thị của nó có tínhchất đó Ví dụ ánh xạ đa trị H là đóng nếu graphH là tập đóng; ánh xạđa trị H là compắc nếu graphH là tập compắc, ở đây ta cần phân biệtcác thuật ngữ: H đóng và H có ảnh đóng (tương ứng compắc, ) tức làH(x) đóng (tương ứng compắc, ) với mọi x ∈ domH.

Thông thường khi phát biểu về khái niệm liên tục của một hàm đơn trịngười ta có thể phát biểu ở hai dạng tương đương nhau đó là liên tục theonghĩa lân cận hay liên tục tôpô và liên tục theo dãy.

- Liên tục theo nghĩa lân cận hay liên tục tôpô: ánh xạ f : X → Zliên tục tại điểm x0 ∈ X, nếu với mọi lân cận bất kỳ U của f (x0), tồntại một lân cận V của x0 sao cho ảnh của mọi phần tử trong U (nghĩa làf (V ) ⊂ U ) Khi mở rộng khái niệm liên tục này cho hàm đa trị ta có kháiniệm tương ứng là khái niệm nửa liên tục trên.

- Liên tục theo dãy: ánh xạ f : X → Z liên tục tại điểm x0 ∈ X, nếuvới mọi dãy xn → x0 thì f (xn) hội tụ về f (x0) Khi mở rộng khái niệmliên tục này cho hàm đa trị ta có khái niệm tương ứng là khái niệm nửaliên tục dưới.

Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu các khái niệm nửa liên tục trên vànửa liên tục dưới theo nghĩa Berge.

1.2Một số khái niệm tính nửa liên tục cổ điển

1.2.1 Định nghĩa ([4, Definitions 1-3]) Giả sử X, Z là hai không gian

tôpô Hausdorff và H : X ⇒ Z là ánh xạ đa trị.

(i) H được gọi là nửa liên tục trên (gọi tắt là usc) tại x0 ∈ domH nếu vớimọi lân cận V của H(x0), tồn tại lân cận U của x0 sao cho H(x) ⊂ V ,với mọi x ∈ U

(ii) H được gọi là nửa liên tục dưới (gọi tắt là lsc) tại x0 ∈ domH nếuvới mọi tập mở V ⊂ Z thỏa mãn H(x0) ∩ V 6= ∅, tồn tại lân cận Ucủa x0 sao cho H(x) ∩ V 6= ∅, với mọi x ∈ U ∩ domH

(iii) H được gọi là liên tục tại x0 ∈ domH, nếu H là usc và lsc tại x0 ∈domH.

(iv) H được gọi là đóng tại x0 ∈ domH nếu với mỗi lưới {(xα, zα)} ⊂graphH sao cho (xα, zα) → (x0, z0), thì z0 ∈ H(x0).

Nếu một ánh xạ thỏa mãn một tính chất nào đó tại mọi điểm của tậpA ⊂ X, thì nó thỏa mãn tính chất này trong A Nếu A = X, ta bỏ qua“trong X” trong phát biểu.

Sau đây là một số tính chất quan trọng.

1.2.2 Bổ đề ([4, 5]) Giả sử X, Z là hai không gian vectơ tôpô Hausdorffvà H : X ⇒ Z là ánh xạ đa trị.

(i) Nếu H là usc tại x0 và H(x0) là đóng thì H là đóng tại x0;

(ii) H là lsc tại x0 khi và chỉ khi với mọi lưới {xα} ⊂ X hội tụ đến x0 vàvới mọi y0 ∈ H(x0), tồn tại yα ∈ H(xα) sao cho yα → y0.

1.2.3 Bổ đề ([14, Lemma 2.1]) Giả sử X, Z là hai không gian tôpô dorff và H : X ⇒ Z là ánh xạ đa trị Nếu H có giá trị compắc, thì H lànửa liên tục trên tại x0 khi và chỉ khi với mọi lưới {xα} ⊂ X hội tụ vềx và với mọi {yα} ⊂ H(xα), tồn tại y ∈ H(x) và một lưới con {yβ} của{yα} sao cho yβ → y.

Haus-Để kết thúc chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về khoảngcách của tập đến tập và độ đo không compắc Các khái niệm này sẽ đượcsử dụng trong Chương 2 và Chương 3.

1.2.4 Định nghĩa ([22]) Cho A là một tập con khác rỗng của X Độ đoKuratowski của A được định nghĩa bởi

n→+∞H(Bn, M ) = 0.

1.3Kết luận Chương 1

Trong chương này, chúng tôi đã nhắc lại các khái niệm cơ bản sau:- Khái niệm về ánh xạ đa trị.

- Các khái niệm về một số loại nửa liên tục.

- Mối quan hệ giữa tính nửa liên tục trên và tính đóng của ánh xạ đa trị.- Khái niệm về khoảng cách của tập đến tập và độ đo không compắc.Tất cả các khái niệm này được chúng tôi thống kê lại mà không có bấtkỳ đóng góp mới nào Chúng tôi đã trích dẫn đầy đủ từ các tài liệu gốc.

Vì đây là các khái niệm cơ bản trong lý thuyết tối ưu nói riêng và trongtoán học nói chung, do đó các khái niệm được trình bày trong chương nàycũng có thể trùng lặp với các nguồn tài liệu khác.

2.1Bài toán cân bằng hai mức

Cho X, W, Z, P là các không gian Banach, A và Λ là các tập con khácrỗng của X và W , tương ứng, C2 ⊂ P là một nón lồi, đóng, có đỉnh vớiphần trong khác rỗng intC2 6= ∅ và Y = A × Λ, h : Y × Y → P là mộthàm vectơ Chúng ta xét bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu sau đây:(WBVEP): Tìm ¯x∗ ∈ graphQ−1 sao cho

h(¯x∗, y∗) 6∈ −intC2, ∀y∗ ∈ graphQ−1,

trong đó Q(λ) là tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng vectơ yếu phụ

thuộc tham số như sau (WQVEP): Tìm ¯x ∈ K1(¯x, λ) sao chof (¯x, y, λ) 6∈ −intC1, ∀y ∈ K2(¯x, λ),

với C1 ⊂ Z là một nón lồi, đóng, có đỉnh với phần trong khác rỗng,Ki : A × Λ ⇒ A, i = 1, 2 là các hàm đa trị, f : A × A × Λ → Z là mộthàm vectơ, và graphQ−1 ký hiệu là đồ thị của Q−1, nghĩa là,

graphQ−1 := {(x, λ) : x ∈ Q(λ)}.

Chúng ta ký hiệu tập nghiệm của (WBVEP) bởi Φ, nghĩa là,Φ = {¯x∗ =(¯x, λ) ∈ graphQ−1 | f (¯x, y, λ) 6∈ −intC1, ∀y ∈ K2(x, λ)

và h(¯x∗, y∗) 6∈ −intC2, ∀y∗ = (y, λ) ∈ graphQ−1}.

2.2Tính đặt chỉnh cho bài toán cân bằng hai mức

Đầu tiên, chúng tôi giới thiệu các khái niệm Polyak và Polyak tổng quát cho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu.

Levitin-2.2.1 Định nghĩa Một dãy {x∗n} := {(xn, λn)} được gọi là một dãy xấpxỉ Levitin-Polyak cho bài toán (WBVEP), nếu

(i) {x∗n} := {(xn, λn)} ⊆ A × Λ, ∀n ∈ N;

(ii) Tồn tại một dãy {εn} ⊂ R+ hội tụ về 0 sao chod(xn, K1(xn, λn)) ≤ εn, ∀n ∈ N,

f (xn, y, λn) + εne1 6∈ −intC1, ∀y ∈ K2(xn, λn), vàh(x∗n, y∗) + εne2 6∈ −intC2, ∀y∗ ∈ graphQ−1,

trong đó d(a, M ) := infb∈M d(a, b) là khoảng cách từ điểm đến tập, e1 ∈intC1 và e2 ∈ intC2.

2.2.2 Định nghĩa Bài toán (WBVEP) được gọi là đặt chỉnh Polyak, nếu

Levitin-(i) Bài toán (WBVEP) có nghiệm duy nhất x∗0 = (x0, λ0);

(ii) Với mỗi dãy xấp xỉ Levitin-Polyak {x∗n} cho (WBVEP) hội tụ vềnghiệm duy nhất x∗0.

2.2.3 Định nghĩa Bài toán (WBVEP) được gọi là đặt chỉnh Polyak tổng quát, nếu

Levitin-(i) Tập nghiệm Φ của (WBVEP) khác rỗng;

(ii) Với mỗi dãy xấp xỉ Levitin-Polyak {x∗n} cho bài toán (WBVEP), cómột dãy con hội tụ đến một số điểm của Φ.

Với mỗi λ ∈ Λ, e1 ∈ intC1, e2 ∈ intC2 và một số thực dương ε, chúng taký hiệu tập nghiệm xấp xỉ của (WBVEP) bởi eΦ(ε), nghĩa là,

(iii) h liên tục trên Y × Y

Khi đó, eΦ(ε) đóng, với mọi ε > 0.

Chứng minh Cho x∗n = (xn, λn) ∈ eΦ(ε) sao cho x∗n → x∗ = (x0, λ0) VìK1 đóng, nên ta suy ra rằng x0 ∈ K1(x0, λ0) Bây giờ, chúng ta ch?ng tỏx∗ = (x0, λ0) ∈ graphQ−1, nghĩa là, x0 ∈ Q(λ0) Nếu x0 6∈ Q(λ0), thì tồntại y0 ∈ K2(x0, λ0) sao cho

f (x0, y0, λ0) + εe1 ∈ −intC1.