Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng 21
3.2 Tính đặt chỉnh cho bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng.
CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi hệ thống có chọn lọc một số khái niệm cơ bản về giải tích đa trị để phục vụ cho nội dung chính của Chương 2 và Chương 3 Các khái niệm này được chúng tôi trích ra từ các tài liệu chính [4, 5, 14, 16, 17, 22] và một số tài liệu liên quan.
1.1 Khái niệm ánh xạ đa trị Đầu tiên, chúng ta nhắc lại các định nghĩa cơ bản liên quan đến ánh xạ đa trị.
1.1.1 Định nghĩa ([4, p 1]) Ánh xạ đa trị H từ tập X vào tập Z, ký hiệu H : X ⇒ Z là một quy luật cho tương ứng mỗi điểm x ∈ X với một tập H(x) ⊂ Z. Ánh xạ đa trị còn có tên gọi khác nữa là: Hàm đa trị hay ánh xạ điểm vào tập Nếu với mỗi x ∈ X tập H(x) chỉ gồm một phần tử của Z thì ta nói H là ánh xạ đơn trị từ X vào Z.
1.1.2 Định nghĩa ([5, Definition 1.3.1]) Miền hiệu quả domH và đồ thị graphH của ánh xạ đa trị H : X ⇒ Z tương ứng được xác định bởi các công thức: domH := {x ∈ X|H(x) 6= ∅}, graphH :(x, y)∈ X ×Z|y ∈ H(x) Ánh xạ đa trị H được gọi là tầm thường nếu domH =∅ và được gọi là chặt nếu domH =X.
1.1.3 Định nghĩa ([17, Definition 1.1]) Một tập con khác rỗng C của không gian vectơ tôpô X được gọi là một nón lồi nếu C + C ⊂ C và λC ⊂ C, ∀λ > 0 Một nón C được gọi là có đỉnh nếu C ∩(−C) ={0}. Ánh xạ đa trị H hoàn toàn được đặc trưng bởi graphH Mỗi tập bất kì trong X ×Z đều là đồ thị của một ánh xạ đa trị từ X vào Z Vì vậy, đôi khi ta không cần phân biệt giữa H với đồ thị của nó Đồng thời mối quan hệ hai ngôi giữa các phần tử của X và Z cũng là một ánh xạ đa trị từ X vào Z và ngược lại.
Ta nói ánh xạ đa trị H có tính chất nào đó nếu đồ thị của nó có tính chất đó Ví dụ ánh xạ đa trị H là đóng nếu graphH là tập đóng; ánh xạ đa trị H là compắc nếu graphH là tập compắc, ở đây ta cần phân biệt các thuật ngữ: H đóng và H có ảnh đóng (tương ứng compắc, ) tức là H(x) đóng (tương ứng compắc, ) với mọi x ∈domH.
Thông thường khi phát biểu về khái niệm liên tục của một hàm đơn trị người ta có thể phát biểu ở hai dạng tương đương nhau đó là liên tục theo nghĩa lân cận hay liên tục tôpô và liên tục theo dãy.
- Liên tục theo nghĩa lân cận hay liên tục tôpô: ánh xạ f : X → Z liên tục tại điểm x0 ∈ X, nếu với mọi lân cận bất kỳ U của f(x0), tồn tại một lân cận V của x0 sao cho ảnh của mọi phần tử trong U (nghĩa là f(V)⊂ U) Khi mở rộng khái niệm liên tục này cho hàm đa trị ta có khái niệm tương ứng là khái niệm nửa liên tục trên.
- Liên tục theo dãy: ánh xạ f : X → Z liên tục tại điểm x 0 ∈ X, nếu với mọi dãy xn → x0 thì f(xn) hội tụ về f(x0) Khi mở rộng khái niệm liên tục này cho hàm đa trị ta có khái niệm tương ứng là khái niệm nửa liên tục dưới.
Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge.
1.2 Một số khái niệm tính nửa liên tục cổ điển
1.2.1 Định nghĩa ([4, Definitions 1-3]) Giả sử X, Z là hai không gian tôpô Hausdorff và H : X ⇒ Z là ánh xạ đa trị.
(i) H được gọi lànửa liên tục trên (gọi tắt là usc) tạix 0 ∈domH nếu với mọi lân cậnV củaH(x0), tồn tại lân cận U củax0 sao cho H(x) ⊂ V, với mọi x∈ U.
(ii) H được gọi là nửa liên tục dưới (gọi tắt là lsc) tại x 0 ∈ domH nếu với mọi tập mở V ⊂ Z thỏa mãn H(x0)∩V 6= ∅, tồn tại lân cận U của x0 sao cho H(x)∩V 6= ∅, với mọi x∈ U ∩domH
(iii) H được gọi là liên tục tại x 0 ∈ domH, nếu H là usc và lsc tại x 0 ∈ domH.
(iv) H được gọi là đóng tại x 0 ∈ domH nếu với mỗi lưới {(x α , z α )} ⊂ graphH sao cho (x α , z α ) →(x 0 , z 0 ), thì z 0 ∈ H(x 0 ).
Nếu một ánh xạ thỏa mãn một tính chất nào đó tại mọi điểm của tập
A ⊂ X, thì nó thỏa mãn tính chất này trong A Nếu A = X, ta bỏ qua
Sau đây là một số tính chất quan trọng.
1.2.2 Bổ đề ([4, 5]) Giả sử X, Z là hai không gian vectơ tôpô Hausdorff và H : X ⇒ Z là ánh xạ đa trị.
(i) Nếu H là usc tại x0 và H(x0) là đóng thì H là đóng tại x0;
(ii) H là lsc tại x 0 khi và chỉ khi với mọi lưới {x α } ⊂X hội tụ đến x 0 và với mọi y0 ∈ H(x0), tồn tại yα ∈ H(xα) sao cho yα → y0.
1.2.3 Bổ đề ([14, Lemma 2.1]) Giả sử X, Z là hai không gian tôpô Haus- dorff và H : X ⇒ Z là ánh xạ đa trị Nếu H có giá trị compắc, thì H là nửa liên tục trên tại x 0 khi và chỉ khi với mọi lưới {x α } ⊂ X hội tụ về x và với mọi {y α } ⊂ H(x α ), tồn tại y ∈ H(x) và một lưới con {y β } của {y α } sao cho yβ →y. Để kết thúc chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về khoảng cách của tập đến tập và độ đo không compắc Các khái niệm này sẽ được sử dụng trong Chương 2 và Chương 3.
1.2.4 Định nghĩa ([22]) Cho A là một tập con khác rỗng của X Độ đo Kuratowski của A được định nghĩa bởi ζ(A) = inf{ϑ > 0 | A ⊆ n
1.2.5 Định nghĩa ([16]) Cho A, B là các tập con khác rỗng của X. Khoảng cách Hausdorff giữa A và B được định nghĩa bởi
1.2.6 Nhận xét ([22]) Hàm ζ là độ đo chính quy, nghĩa là nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) ζ(D) = +∞ khi và chỉ khi tập D là không bị chặn.
(c) Nếu ζ(D) = 0 thì D là tập hoàn toàn bị chặn.
(e) Nếu {B n } là một dãy con đóng của X sao cho Bn+1 ⊂ Bn với mọi n ∈ N và lim n→+∞ζ(Bn) = 0 thì M = T n∈N
Bn là một tập compắc và n→+∞lim H(Bn, M) = 0.
Trong chương này, chúng tôi đã nhắc lại các khái niệm cơ bản sau:
- Khái niệm về ánh xạ đa trị.
- Các khái niệm về một số loại nửa liên tục.
- Mối quan hệ giữa tính nửa liên tục trên và tính đóng của ánh xạ đa trị.
- Khái niệm về khoảng cách của tập đến tập và độ đo không compắc. Tất cả các khái niệm này được chúng tôi thống kê lại mà không có bất kỳ đóng góp mới nào Chúng tôi đã trích dẫn đầy đủ từ các tài liệu gốc.
Vì đây là các khái niệm cơ bản trong lý thuyết tối ưu nói riêng và trong toán học nói chung, do đó các khái niệm được trình bày trong chương này cũng có thể trùng lặp với các nguồn tài liệu khác.
TÍNH ĐẶT CHỈNH CHO BÀI TOÁN CÂN
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính đặt chỉnh Levitin-Polyak cho các bài toán cân bằng hai mức loại yếu Đầu tiên, chúng tôi giới thiệu bài toán cân bằng hai mức loại yếu Sau đó, chúng tôi giới thiệu và nghiên cứu các khái niệm đặt chỉnh Levitin-Polyak và đặt chỉnh Levitin-Polyak tổng quát cho bài toán này Chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ của tính đặt chỉnh với tính nửa liên tục trên của nghiệm xấp xỉ và tính đặt chỉnh với sự tồn tại nghiệm Cuối cùng, chúng tôi mô tả mêtric các đặt chỉnh Levitin-Polyak và đặt chỉnh Levitin-Polyak tổng quát cho bài toán này. Một ví dụ đã được đưa ra để minh họa cho kết quả của chúng tôi Các kết quả nhận được của chúng tôi trong chương này là mới và hoàn toàn khác với các kết quả của Anh và Hung trong [3].
2.1 Bài toán cân bằng hai mức
Cho X, W, Z, P là các không gian Banach, A và Λ là các tập con khác rỗng của X và W, tương ứng, C2 ⊂ P là một nón lồi, đóng, có đỉnh với phần trong khác rỗng intC2 6= ∅ và Y = A ×Λ, h : Y ×Y → P là một hàm vectơ Chúng ta xét bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu sau đây: (WBVEP): Tìm x¯ ∗ ∈ graphQ −1 sao cho h(¯x ∗ , y ∗ ) 6∈ −intC 2 ,∀y ∗ ∈ graphQ −1 ,trong đó Q(λ) là tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng vectơ yếu phụ thuộc tham số như sau (WQVEP): Tìm x¯ ∈ K1(¯x, λ) sao cho f(¯x, y, λ)6∈ −intC 1 ,∀y ∈ K2(¯x, λ), với C1 ⊂ Z là một nón lồi, đóng, có đỉnh với phần trong khác rỗng,
Ki : A× Λ ⇒ A, i = 1,2 là các hàm đa trị, f : A× A× Λ → Z là một hàm vectơ, và graphQ −1 ký hiệu là đồ thị của Q −1 , nghĩa là, graphQ −1 := {(x, λ) : x ∈Q(λ)}.
Chúng ta ký hiệu tập nghiệm của (WBVEP) bởi Φ, nghĩa là, Φ ={x¯ ∗ =(¯x, λ) ∈graphQ −1 |f(¯x, y, λ) 6∈ −intC 1 ,∀y ∈ K 2 (x, λ) và h(¯x ∗ , y ∗ )6∈ −intC 2 , ∀y ∗ = (y, λ) ∈graphQ −1 }.
2.2 Tính đặt chỉnh cho bài toán cân bằng hai mức Đầu tiên, chúng tôi giới thiệu các khái niệm Levitin-Polyak và Levitin- Polyak tổng quát cho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu.
2.2.1 Định nghĩa Một dãy {x ∗ n } := {(xn, λn)} được gọi là một dãy xấp xỉ Levitin-Polyak cho bài toán (WBVEP), nếu