Giới Hạn Của Dãy Tập Và Tính Chất
Định nghĩa 1.1.1 (Giới hạn) Giả sử X là không gian metric và C n ⊂X, n ∈N là dãy tập con của X.
(a) Giới hạn trên (upper limit) của dãy tập C n là tập
(b) Giới hạn dưới (lower limit) của dãy tập C n là tập
(c) Nếu Lim inf n Cn = Lim sup n
Cn, ta nói tập này là giới hạn (limit) của dãy Cn theo nghĩa Painlevé-Kuratowski, ký hiệu là C n P → −K C hoặcC =Lim n C n Trong bài này ta thường viết tắt li, ls, Li, Ls thay cho liminf, limsup, Liminf, Limsup, tương ứng. Định lý 1.1.1 (Các dạng tương đương) Ta có các phát biểu tương đương của định nghĩa về giới hạn như sau.
(i) Ls nC n là tập mọi điểm tụ của các dãy x n ∈C n bất kỳ có thể lập được và Li nC n là tập giới hạn của mọi dãy đó.
(ii) Ls nC n là tập mọi điểm tụ của các dãy "xấp xỉ", tức là các dãy{x n }thỏa điều kiện
(iii) Ls nC n =∩ N >0 ∪n≥NC n =∩ ε>0 ∩ N >0 ∪n≥NB(C n , ε),
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
={x: li nd(x, x n ) = 0, x n ∈C n }={x: Li n d(x, C n ) = 0}= Ls nC n
{x∈X :x= lim n xn,∀xn ∈Cn}={x: lim n d(x, Cn) = 0}= Li nCn.
(ii) Tất nhiên tập các điểm tụ của các dãy xấp xỉ chứa tất cả các điểm tụ của các dãy x n ∈C n Ta chỉ ra bao hàm ngược Giả sử x= lim k x n k với x n là một dãy xấp xỉ. Khi đó với εn → 0 + thì tồn tại nk để xn k ∈ B(Cn k , εn k ) Do đó sẽ có yn k ∈ Cn k để d(x n k , y n k )< ε n k Hơn nữa, khi k → ∞, d(x, y n k )≤d(x, x n k ) +d(x n k , y n k )→0.
Vậy x là điểm tụ của dãy y n k ∈C n k
(iii) Giả sử x ∈ ∩ N >0 ∪n≥NC n Khi đó, ∀N > 0, x ∈ ∪n≥NC n Tức là x = lim m y m với y m ∈ ∪n≥N,∀N.Do đó y m = lim i y m n i với y m n i ∈C n i ,∀i Đặt x n i =y n n i i thì x n i ∈C n i và x= lim i x n i
Tương tự, kết hợp thêm (ii) ta có
Cũng có thể chứng minh đẳng thức này một cách khác như sau Ta có
Bây giờ xét Li nC n Ta có
Ví dụ 1.1.1 Xét dãy C n ⊂R 2 xác định bởi
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Tính chất của dãy tập
(i) Rõ ràng Li nC n ⊂Ls n{C n } Đồng thời, ngay cả Ls nC n cũng có thể bằng trống.
(ii) Giới hạn trên của dãy tậpCnvà của dãy tậpCn(bao đóng) là như nhau Tương tự cho giới hạn dưới Thật vậy, chỉ việc nhận xét là d(x, Cn) =d(x, Cn).
(iii) Giới hạn trên và giới hạn dưới đều là các tập đóng Thật vậy, giả sửx m ∈Li nC n với mọimvàlimx m =x.Khi đó, với mỗim sẽ có dãyx m n ∈C n đểlim n d(x m , x m n ) = 0. Khi đó ta có
Vế phải dần đến 0, nên d(x, x m n )→0 khin → ∞, tức là x∈Li nCn.
(iv) NếuC n là dãy giảm, tức làC n ⊂C m khin > m, thì luôn tồn tại giới hạnLim n C n và ta có
Limn C n = ∩ n>0C n Thật vậy, do tính đơn điệu ta có
Vậy giới hạn trên và dưới phải bằng nhau và ta có giới hạn chung đó là Lim n C n ∩ N >0 C n
Hội Tụ Biến Phân Của Hàm Một Thành Phần
Hội tụ epi và các tính chất biến phân
Định nghĩa 1.2.1 (Hội tụ epi, [15]) Dãy hàm {f k } k được gọi là hội tụ epi đến hàm f nếu epif k P −−−→ −K epif, kí hiệu là f k −→ e f hoặc f =e-lim k f k Đây là định nghĩa dạng hình học Định nghĩa này được phát biểu như nhau trong trường hợp hàm có giá trị thực mở rộng f :X →R.
Ví dụ 1.2.1 Xét dãy hàm {f k : [0,2]→R} xác định như sau: f k (x)
Ta có f = 0,∀x∈[0,2], khi đó epif k →epif hay f k −→ e f.
Ta định nghĩa hội tụ epi ở dạng biến phân tương đương với Định nghĩa 1.2.1 sau đây. Định nghĩa 1.2.2 (Hội tụ epi, [11]) Dãy hàm {f k } k được gọi là hội tụ epi đến f nếu những điều kiện sau thỏa:
(a) Với mọix k ∈C k →x, li k f k (x k )≥f(x) nếu x∈C và f k (x k )→+∞ nếu x /∈C; (b) Với mọix∈C, tồn tại x k ∈C k →x sao cho ls k f k (x k )≤f(x).
Ví dụ 1.2.2 Cho dãy tập C k = [−2− k 1 ,4 + 1 k ]∪Rvà tậpC = [−2,4] Xét dãy hàm {f k :C k →Rk} xác định như sau: f k (x)
Và hàm f :C →R xác định bởi f(x) (x nếu x 0sao cho α k j =f k j (x k j ) +ε k j →α.Khi đó, ta có (x k j , α k j )∈ epif k j →(x, α) Vậy, (x, α)∈Ls k (epif k ).
Hội tụ hypo và các tính chất biến phân
Hội tụ biến phân liên quan đến vấn đề cực tiểu của hàm là hội tụ trên đồ thị (hội tụ epi) Nếu quan tâm đến vấn đề cực đại của hàm người ta cần đưa ra khái niệm hội tụ dưới đồ thị Mặt khác, ta có max(f) =−min(−f) nên ta chỉ cần xét trên đồ thị của hàm−f Từ đó, định nghĩa hội tụ hypo như sau Định nghĩa 1.2.4 Dãy hàm {f k } k được gọi là hội tụ hypo đến hàm f nếu dãy hàm {−f k } k hội tụ epi đến hàm−f, ký hiệu là f k h −→f hoặc f =h-lim k f k
Ví dụ 1.2.3 Giả sử rằng A k = [−1− 1 k ,1 + k 1 ], k ∈ N và C = [−1,1] Dãy hàm {f k :C k →R} k được xác định bởi f k (x) = −(x 4 + 2 k ).
Và hàm f :C →R xác định bởi: f(x) = −x 4
Kiểm tra theo định nghĩa ta được epi(−f k )−−−→epi(−f) Do đó, P −K −f k −→ −f e Vậy f k h −→f.
Vì tính đối xứng giữa hội tụ epi và hội tụ hypo nên các kết quả của hội tụ epi sẽ đúng cho hội tụ hypo khi ta thayf thành−f,min thành max, inf thành sup,−∞ thành +∞, li thành ls Ta có một số định nghĩa và tính chất quan trọng dưới đây Định nghĩa 1.2.5 (Giới hạn hypo trên và dưới).
(i) hlif k (x) = max{x k ∈C k →x}likf k (x k ) và hlsf k (x) = max{x k ∈C k →x}lskf k (x k ) với x∈X;
(ii)f k h −→f nếu và chỉ nếu hlif k (x) =hlsf k (x) = f(x)vớix∈Cvà hlsf k (x) = −∞ với x /∈C;
(iii) hypo(hlsf k )=Ls k (hypof k ) và hypo(hlif k )=Lik(hypof k );
(iv) f k h −→f nếu và chỉ nếu hypof k P −−−→hypof −K
HỘI TỤ BIẾN PHÂN CỦA SONG HÀM TRÊN MIỀN CHỮ NHẬT 11
Hội tụ Lopsided
Nghiên cứu đầu tiên về hội tụ lopsided của song hàm có giá trị hữu hạn được nói đến ở bài báo [11], trong đó hội tụ lopsided cho dãy song hàm Φ k ∈ fv-biv (R n+m ) được đưa ra như sau: Định nghĩa 2.1.1(Hội tụ Minsup-lop,[11]) Dãy song hàmΦ k ∈fv-biv(R n+m )được gọi là hội tụ minsup-lopside (viết tắt, hội tụ minsup-lop) đếnΦ∈ fv-biv(R n+m )nếu: (a) Với mọi y ∈D và x k ∈ C k →x, tồn tại y k ∈D k →y sao cho likΦ k (x k , y k ) ≥ Φ(x, y) nếu x∈C hoặc Φ k (x k , y k )→ ∞ nếu x /∈C;
(b) Với mọi x ∈ C, tồn tại x k ∈ C k → x sao cho, với mọi y k ∈ D k → y, ls k Φ k (x k , y k )≤Φ(x, y) nếu y∈D hoặc Φ k (x k , y k )→ −∞ nếu y /∈D.
Chúng tôi ký hiệu hội tụ này bởi Φ =mins-lim k Φ k hoặc Φ k −−→ mins Φ
Ví dụ 2.1.2 Cho song hàmΦ k (x, y) = y 2 −x 2 trên
−1− 1 k ,1 + 1 k và song hàm Φ(x, y) = y 2 −x 2 trên [−1,1]×[−1,1] Rõ ràng, Φ k hội tụ liên tục đến Φ Do đó, Φ k cũng hội tụ lop đến Φ.
Mệnh đề 2.1.3 Giả sử dãy song hàm {Φ k : C k ×D k → R} k hội tụ lop đến song hàm Φ : C × D → R Khi đó, với mọi x ∈ C, tồn tại x k ∈ X k → x sao cho Φ k (x k ,ã) :D k →R hội tụ epi đến hàm Φ(x,ã) :D→R.
Chứng minh Từ Định nghĩa 2.1.1 (b), với mọi x ∈ C tồn tại x k ∈ C k → x sao cho li k Φ k (x k ,ã) ≥ ψ(x,ã), nghĩa là điều kiện (a) của Định nghĩa 2.1.1 thỏa Tương tự, từ Định nghĩa 2.1.1 (a), với mọi y ∈ D và x k ∈ C k → x, tồn tại y k ∈ D k → y sao cho li k Φ k (x k ,ã) ≥ Φ(x,ã) Khi đú, điều kiện (b) của Định nghĩa 2.1.1 thỏa Vỡ vậy, Φ k (x k ,ã) hội tụ epi đến Φ(x,ã). Để xét tính chất tiếp theo của hội tụ minsup-lop ta xét hàm chiếu inf của song hàm Φ∈ fv-biv(R n ×R m ).η:D→R∪ −∞, được xác định như sauη(y) := infx∈CΦ(x, y) Định lí 2.1.4 Giả sử dãy song hàm {Φ k : C k ×D k → R}k hội tụ lop đến song hàm Φ :CìD→R và inf y∈D Φ(x,ã) hữu hạn với mọi x∈C Khi đú, hỡnh chiếu-inf η k :C k →R và η:C →Rthỏa
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ ls k hypoη k ⊂hypoη.
Chứng minh Giả sử (x, x 0 ) ∈ ls k hypoη k , với N là tập con hữu hạn của N, tồn tại dãy {(x k , x k 0 )} sao cho với mọix k ∈C k →x và x k 0 →x, ta có η k (x k )≤x k 0
Giả sử x /∈C, theo Định nghĩa 2.1.1 (a), với mọi y∈D, tồn tại dãy y k ∈D k →y sao cho ψ k (x k , y k )→ −∞ Mặt khác, ta có x k 0 ≥η k (x k )≥Φ k (x k , y k ), k ∈N, điều này mâu thuẫn với x k 0 →x 0 ∈R và Φ k (x k , y k )→ −∞ Vì vậy, ta có x∈C. Nếu η(x) = −∞, tồn tại y ∈D sao cho Φ(x, y) ≤ x 0 −1 Theo Định nghĩa 2.1.1 (a), tồn tại dãy y k ∈D k →y sao cho ls k Φ k (x k , y k )≤Φ(x, y) Khi đó, ta có x 0 = ls k x k 0 ≤ls k η k (x k )
Do đó, η(x) hữu hạn Với ε > 0 nhỏ tùy ý, lấy y ε ∈ D sao cho Φ(x, y ε )−ε ≤ g(x). Theo Định nghĩa 2.1.1 (a), tồn tại dãy y k ∈D k →y ε sao cho ls k η k (x k )≤ls k Φ k (x k , y k )≤Φ(x, y ε )≤η(x) +ε.
Suy ra ls k η k (x k ) ≤ η(x) Vậy, x 0 = ls k x k 0 ≤ ls k η k (x k ) ≤ ζ(x), ta có điều phải chứng minh.
Hội tụ lop được gọi là chặt riêng phần (ancillary tight) nếu điều kiện (b) được làm mạnh lên thành (b-t) (b) thỏa và với mọi ε > 0, tồn tại tập compact Dε phụ thuộc vào dãy x k →x sao cho với mọik đủ lớn, ta có inf y∈D k ∩D ε Φ k (x k , y)≤ inf y∈D k Φ k (x k , y) +ε.
Sau cùng, hội tụ lop được gọi là chặt hoàn toàn (tight) nếu nó chặt riêng phần và (a) được làm mạnh lên thành (a-t) (a) thỏa và với mọiε >0, tồn tại tập compact C ε sao cho với k đủ lớn sup x∈C k ∩C ε inf y∈D k Φ k (x, y)≥ sup x∈C k inf y∈D k Φ k (x, y)−ε. Định lí 2.1.5 Giả sử rằng dãy song hàm {Φ k :C k ×D k →R} k hội tụ lop chặt riêng phần đến song hàm Φ :CìD→R và −∞ 0,∃k 0 ∈
3.4 Ta có tồn tại x k ∈ C k ∩B(x, ε) sao cho Φ k (x k , y k ) < α+ε Khi đó ta có phương trình sau sup
(iii) Ta có chuổi tương đương sau
(ii) và (iv) được chứng minh tương tự.
Ví dụ sau đây minh họa các lớp tương đương của giới hạn e/h và chỉ ra các giới hạn lop và maxinf là tương tự, nhưng chúng khác nhau chúng tôi sẽ thấy rằng song hàm trong một lớp tương đương chỉ khác nhau ở các điểm góc, tức là, các điểm(x, y) với x /∈ riC và y /∈ riD Ví dụ này cũng cung cấp một số hiểu biết khác về sự hội tụ của song hàm.
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Ví dụ 3.1.1 Cho R n = R m = R và Φ k (x, y) = y x trên đoạn [0,1] 2 với mọi k ∈ N, với quy ước rằng 0 0 = 1 Khi đó, tập những điểm (x, y) nằm trong đoạn [0,1] 2 Xét hội tụ e/h và hội tụ lop, chúng tôi kiểm tra điểm (0,0), vì với mọi điểm (x, y) khác thuộc [0,1] 2 ta có,∀x k ∈C k →x,∀y k ∈D k →y,Φ k (x k , y k )→y x Chúng tôi có
Do đó, lớp tương đương của giới hạn e/h là Φ a (x, y) (y x nếu (x, y)∈[0,1] 2 \ {(0,0)}, a nếu (x, y) = (0,0), a thuộc [0,1] Giới hạn minsup-lop và maxinf-lop là khác nhau (bằng Φ 1 và Φ 0 , tương ứng).
Quan sát rằng với mọi Φ k và Φa, 0 ≤ a ≤ 1, là lồi lõm (mặc dù điều kiện đủ ở trong Mệnh đề 3.1.2 không thỏa) Nhưng, liên quan đến tính nữa liên tục, chúng tôi thấy rằng những song hàm này không lsc-usc trên đoạn [0,1] 2 Ta nhắc lại song hàm có giá trị hữu hạn được gọi là lsc-usc, nếu nó lsc theo biến x với mỗi y và usc theo biến y với mỗi x) Thực vậy,Φ k là usc theo y tại mọi điểm nhưng không phải lsc theo x tại(0,0).chúng tôi thấy rằng trong ví dụ này, tất cả giới hạn e/h và giới hạn lop là lồi lõm (tức là, tính lồi - lõm được bảo toàn cho cả hội tụ lop và hội tụ e/h, mặc dù giả định của Mệnh đề 3.1.2 không thõa) Tuy nhiên, với một vài a nào đó, giới hạn e/h Φ a thỡ khụng kế thừa tớnh nữa liờn tục Chớnh là, Φ a (0,ã)thỡ khụng usc tại (0,0) nếu a 0 Thật vậy, Định lý 3.1.3 núi rằng l e Φ k là lsc theo biến x với mọi y cố định và l h Φ k usc theo biến y với mọi x cố định. Khi giới hạn minsup-lop nhận giá trị 1 tại(0,0), thì usc theo y nhưng không lsc theo x tại(0,0) Tương tự, giới hạn maxinf-lop nhận giá trị 0 tại(0,0)và lsc nhưng không usc tại(0,0).
Đặc trưng dạng song hàm chính thường
Định lý 3.2.1 ChoΦ,Φ k , k ∈N,trong fv-biv(R n ×N m ) Khi đó, Φ k hội tụ e/h đến Φnếu và chỉ nếu ηΦ k hội tụ e/h đến ηΦ.
Chứng minh Chúng tôi sử dụng công thức của η e/h trong chứng minh này, bằng ký hiệu đơn giản là η.
(a xt )→(a)của Định nghĩa 2.2.2 Giả sử y∈D=dom y (ηΦ)và x k ∈C k →x Khi đó, (a xt )của Định nghĩa 2.2.2 là y k ∈R m →y sao cho lim inf k (ηΦ k )(x k , y k )≥(ηΦ)(x, y) (3.6) Đầu tiên ta xétx∈C Giả sử tồn tại một dãy cony k t ∈/ D k t Khi đó,(ηΦ k t )(x k t , y k t )≡
−∞, mâu thuẩn với 3.6 Do đó,y k ∈D k với mọi k đủ lớn và 3.6 nghĩa là liminf k Φ k (x k , y k )≥ Φ(x, y) thỏa (a) Bây giờ cho x /∈ C, khi đó, (ηΦ)(x, y) = +∞ và 3.6 hàm ý (ηΦ k )(x k , y k ) → +∞ Lặp lại, một dãy con y k t ∈/ D k t ta có (ηΦ k t )(x k t , y k t ) ≡ −∞, mâu thuẩn với 3.6 Do đó, Φ k (x k , y k )≡(ηΦ k )(x k , y k )→+∞ thỏa (a).
(a)→(a xt ) Cho y∈domy(ηΦ) =Dvà x k →x∈R n Nếux∈C và ta có một dãy con x k t ∈C k t , khi đó (a) từ y k t ∈D k t →y sao cho lim inf k (ηΦ k t )(x k t , y k t ) = lim inf k (Φ k t )(x k t , y k t )≥(ηΦ)(x, y) (3.7)
Chúng tôi hình thành một dãy y k bằng cách thêm vào, k với x k ∈/ C k , y k ∈ D k để cho toàn bộ hội tụ: y k → y Thì với k mà x k ∈/ C k , (ηΦ k )(x k , y k )≡ +∞ không ảnh hưởng đến liminf trong biểu thức 3.7 Do đó, ta có biểu thức 3.6 Trong đó, x k ∈/ C k với mọi k đủ lớn, chúng tôi có thể chọn y k ∈D k →y để (ηΦ k )(x k , y k )≡+∞.
Nếu x /∈ C, và y ∈ D ta có (ηΦ)(x, y) = +∞ Nếu, cho dãy {x} k x∈
N, x k ∈/ C k với k đủ lớn, chọn y k ∈ D k → y ta có (ηΦ k )(x k , y k ) ≡ +∞ Mặt khác, Cho một dãy x k t ∈ C k t Khi đó, (a) ta có được dãy y k t ∈ D k t → y sao cho Φ k t (x k t , y k t ) → +∞. Thêm vào k với x k ∈/ Φ k , chúng tôi thêm {y k t } điểm y k ∈ D k do đó ta có hội tụ chặt: y k → y Vì, thêm vào k, (ηΦ k )(x k , y k ) ≡ +∞, chúng tôi có hội tụ chặt Φ k (x k , y k )→+∞.
(b xt ) →(b) Cho x ∈ C và y k ∈ D k →y Điều kiện (b xt ) cho ta một dãy x k → x sao cho lim sup k
Nếuy ∈D và ta có một dãy x k t ∈/ C k t , khi đó (ηΦ k t )(x k t , y k t )≡ +∞ mâu thuẩn với 3.8 Do đó, với k đủ lớn, x k ∈ C k như điểu kiện (b) Nếu x k ∈ C k với k đủ lớn, 3.8 trở thành lim sup k
Thỏa (b) Nếu y /∈ D, (ηΦ),(x, y) = −∞ Khi đó, chúng tôi có mâu thuẩn nếu có một dãy x k t ∈/ C k Vì vậy, với k đủ lớn, x k ∈C k thỏa (b).
(b)→(b xt ) Cho x∈dom x (ηΦ) =C và y k →y ∈R m Nếu, k đủ lớn, y k ∈/ D k , do đú (ηΦ k )(ã, y k )≡ −∞ và chỳng tụi cú thể chọn x k → x ta cú 3.8 Cỏch khỏc, Ta cú dãy y k t ∈D k t Khi đó, từ (b) ta có x k t ∈C k t →x sao cho lim sup k
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Nếu y ∈ D Chọn k sao cho y k ∈/ D k , (ηΦ k )(ã, y k ) ≡ −∞, chỳng tụi cú x k tựy ý duy nhất hội tụ chặt về x thỏa 3.8.
Bây giờ, giả sử rằng y /∈D và khi đó,(ηΦ)(x, y) =−∞ Nếu, k đủ lớn, y k ∈/ D k , do đú (ηΦ k )(ã, y k ) ≡ −∞ và 3.8 rừ ràng được chứng minh Mặt khỏc, chỳng tụi cú dãy y k t ∈D k t , từ (b) ta cóx k t ∈C k t →xsao cho
Cho k vớiy k ∈/ D k , ta cú(ηΦ k )(ã, y k )≡ −∞và khi đú ta cú x k duy nhất hội tụ về x.
Ta có 3.8 được biểu diễn như sau lim sup k
Đặc trưng dạng lát cắt (slice)
Mệnh đề 3.3.1 (Đặc trưng của hội tụ e/h bằng lát cắt) (i) Điều kiện (a) của hội tụ e/h ⇔ ∀x k ∈C k →x, hliΦ k (x k ,ã)≥Φ(x,ã) với Φ k (x k ,ã) xỏc định trờn C k và Φ(x,ã) trên C, và ∀x k ∈C k →x /∈C, ∃y k ∈D k ,Φ k (x k , y k )→+∞ ⇔ ∀x k ∈C k →x, ta có điều kiện (b) của Φ k (x k ,ã) → h Φ(x,ã) với miền hữu hiệu được xỏc định như trờn, và
(ii) Điều kiện (b) của hội tụ e/h ⇔ ∀y k ∈ D k → y, elsΦ k (ã, y k ) ≤ Φ(ã, y) với Φ k (ã, y k )xỏc định trờnC k vàΦ(ã, y)xỏc định trờnC, và∀y k ∈D k →y /∈D,∃x k ∈C k , Φ k (x k , y k ) → −∞ ⇔ ∀y k ∈ D k → y, ta cú điều kiện (a) của Φ k (ã, y k ) → e Φ(ã, y) với miền hữu hiệu được xác định như trên , và ∀y k ∈ D k → y /∈ D, ∃x k ∈ C k , Φ k (x k , y k )→ −∞.
Chứng minh (i) Xét tương đương đầu tiên, theo Định nghĩa của hliΦ k (x k , y), (về bất đẳng thức li) tức là hliΦ k (x k ,ã)≤Φ(x,ã)vớiΦ k (x k ,ã)xỏc định trờn D k và Φ(x,ã)xỏc định trên D Về phần điều kiện vô cùng của điều kiện (a) thì tương tự như kết luận trong biểu thức trên.
Xét dấu tương đương thứ 2, từ Định nghĩa của hội tụ hypo, phần đầu tiên chính là điều kiện (b)Φ k (x k ,ã), và phần điều kiện trừ vụ cựng chớnh là kết luận trong mệnh đề.
(ii) Ta chứng minh tương tự và suy luận dựa vào tính đối xứng của hội tụ epi/hypo.
Mệnh đề 3.3.2 ( Đặc trưng của hội tụ misup-lopside bằng lát cắt)
(i) Điều kiện ⇔ ∀x k ∈ C k → x, hliΦ k (x k ,ã) ≥ Φ(x,ã) với Φ k (x k ,ã) xỏc định trờn
∀x k ∈ C k → x, ta cú điều kiện (b) của Φ k (x k ,ã) → h Φ(x,ã) với miền hữu hiệu được xác định như trên, và ∀x k ∈C k →x /∈A, ∃y k ∈D k , Φ k (x k , y k )→+∞.
(ii) Điều kiện ⇔ ∀x∈ C, ∃x k ∈C k → x sao cho hlsΦ k ≤Φ(x k ,ã) xỏc định trờn D và min {y k →y}lim k Φ k (x k , y k ) = −∞ khiy /∈D.
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Chứng minh (i) Chứng minh tương tự như (i) của Mệnh đề 3.
(ii) Điều kiện (b) của Định nghĩa 5 là ∀x ∈ C, ∃x k ∈ C k → x, ∀y k ∈ D k → y, lskΦ k (x k , y k )≤ Φ(x, y) nếu y ∈D và Φ k (x k , y k )→ −∞ nếu y6∈ D kết hợp với định nghĩa của giới hạn dưới của hội tụ hypo ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 3.3.1 Cho Φ k mins → Φ Ta có
(i) tồn tạix k ∈C k →x∈Csao choΦ(x k ,ã)→ h Φ(x,ã)trờnDvà max {y k ∈D k →y∈D}lim k Φ(x k , y k ) +∞ với mọix k ∈C k →x /∈C;
(ii) Khi Φ k khụng phụ thuộc vào y(x, tương ứng), thỡΦ(x k ,ã)→ e Φ(x,ã) (Φ(ã, y k )→ h Φ(ã, y), tương ứng).
(i) Ta cũng có đặc trưng của hội tụ maxinf-lopside bằng lát cắt được phát biểu như sau: ChoΦ k maxi → Φ Ta có
(a) Tồn tại y k ∈D k → y∈ D sao cho Φ(ã, y k )→ e Φ(ã, y) trờn C và min{x k ∈C k → x∈C}lim k Φ(x k , y k ) =−∞ với mọiy k ∈D k ∈/ y∈D;
(b) Khi Φ k khụng phụ thuộc vào x ( vào y, tương ứng), thỡ Φ(ã, y k ) → h Φ(ã, y)
(ii) Phát biểu tương ứng với (i) của Hê quả 1 ta nên chú ý vai trò của x, y, hội tụ epi và hội tụ hypo Hơn thế nữa, không có mối quan hệ trực tiếp giữa hội tụ lopside của Φ k đến Φ và Φ(ã, y) → h Φ(ã, y) với mọi y và Φ(x,ã) → e Φ(x,ã) với mọi x Nếu Φ k chỉ độc lập 1 biến thì từ (ii) của Hệ quả 1 đây là điều kiện đủ cho hội tụ lopside đến Φ.
Đặc trưng Legendre-Fenchel riêng phần
Trong phần này, chúng tôi xét song hàm lồi lõm trong fv-biv(R n ×R m ) Trong
[[16],[17]], đối ngẫu Legendre-Fenchel và đối ngẫu xiên được giới thiệu và phát triển cho song hàm lồi - lõm có giá trị thực mở rộng Tính song liên tục của những toán tử này cho song hàm có giá trị thực mở rộng được nghiên cứu ở trong [[2],[3],[22]].
Trong phần này, chúng tôi thiết lập tính song liên tục cho song hàm giá trị thực hữu hạn Trước hết chúng tôi tóm tắt một vài ký hiệu cơ bản về tương đương minimax và tính đóng cho song hàm lồi lõm giá trị thực hữu hạn Những khái niệm này được nói đến trong [[16],[17],[18]] cho song hàm có giá trị thực mở rộng. chúng tôi xác định đối ngẫu xiên cho Legendre-Fenchel cho song hàm lồi - lõm Φ trong fv-biv(R n ×R m ) như sau Chox∈C và k ∈R m lấy đối ngẫu xiên của hàm lồi Φ(x,ã):
Khi đó, Fˆ là một hàm lồi đóng Miền hữu hiệu domFˆ ={(x, k)|x∈ C,Fˆ(x, k)