- Mô hình rơle dạng trơn.- Định lý về sự xấp xỉ nghiệm của hệ chứa rơle dạng trơn và dạng nửa tường minh.- Ứng dụng II.. Luận văn này trình bày một cách tổng quát phương pháp xây dựng mô
Khái niệm rơle có trễ
(xem [1], [5], [6], [11], [12]) Rơle được xem như máy biến đổi với nguồn vào liên tục bất kỳ x(t) và nguồn ra y(t) chỉ nhận hai giá trị là 0 và 1; khi x(t) ≤ α chỉ nhận giá trị 0, khi x(t) ≥ β chỉ nhận giá trị 1 Nguồn ra thay đổi từ giá trị 0 nhảy lên giá trị 1 khi nguồn vào đạt giá trị β, từ 1 nhảy xuống 0 khi nguồn vào đạt giá trị α. Ở đâyα, β(α < β) được gọi tương ứng là ngưỡng dưới và ngưỡng trên của rơ-le Tóm lại, miền các trạng thái cho phép Ω (α, β) của rơ-le với ngưỡng dưới α và ngưỡng trên β là tập hợp các điểm trên mặt phẳng mà nằm trên hai nửa đường thẳng: y = 0 khi x < β và y = 1 khi x > α (xem hình H.1).
H.1 Miền trạng thái cho phép của rơle
Các mô hình cổ điển
Mô hình rơle dạng tường minh của Krassnosel’skii-Pokrovskii 2
Theo Krassnosel’skii M A và Pokrovskii A V (xem [2]) thì với mỗi trạng thái ban đầu (xo, yo) ∈ Ω (α, β), nguồn vào liên tục x(t) thỏa mãn điều kiện x(t o ) = x o , nguồn ra y(t) tương ứng với nguồn vào x(t) được viết dưới dạng tường minh như sau: y(t)
Dễ nhận thấy, trong mô hình rơle này nguồn ra thay đổi giá trị của nó chính xác tại thời điểm khi nguồn vào đạt giá trị ngưỡng của rơle, nghĩa là nguồn ra là một hàm liên tục phải.
Mô hình rơle dạng nửa tường minh của Sadovskii-Pryadko 2
Trong sự tương ứng với khái niệm rơle có trễ (xem [13]), nguồn ra được viết dưới dạng tường minh địa phương (nửa tường minh) như sau (xem [14]). dt > 0, y(t+dt)
Nghiệmy(t) của phương trình là hàm liên tục trái thỏa mãn phương trình với mọi dt dương đủ nhỏ: dt ∈ (0, δ(t)), δ(t) > 0.
Nhận xét: đối với mô hình rơle dạng (1.2) miền trạng thái cho phép Ω (α, β) là tập hợp các điểm (x, y) trên mặt phẳng, mà nằm trên hai nửa đường thẳng sau: y = 0 nếu x ≤ β và y = 1 nếu x ≥ α Về sau, nếu (x o , y o ) thuộc miền trạng thái này, thì ta ký hiệu R t t o(α, β, x) (y o ) là nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu y(t o ) = y o Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(t 0 ) = y 0 ∈ {0,1} được chứng minh ở [14].
Sự tương đương của mô hình rơle dạng tường minh và nửa tường minh
tường minh Định lý 1: (xem [10]) Giả sử trên [to, T], y1(t), y2(t) lần lượt là nghiệm của phương trình 1.1 và 1.2 và cùng thỏa mãn điều kiện ban đầu y 1 (t o ) y o = y 2 (t o ) Giả sử (x o , y o ) là trạng thái ban đầu cho phép của cả hai mô hình rơle này Khi đó y 1 (t) =y 2 (t) tại mọi t∈ [t o , T], trừ những điểm chỉnh lưu trong hai mô hình này.
Giải thích thêm: điểm t ∗ được gọi là điểm chỉnh lưu của rơle nếu tại đó hàm nguồn ra của rơle là hàm gián đoạn.
Trước tiên, ta ký hiệu E là miền còn lại của [to, T] sau khi loại bỏ từ nó những điểm chỉnh lưu của cả hai mô hình rơle dạng tường minh và nửa tường minh Từ điều kiện trạng thái cho phép của rơle tại thời điểm ban đầu t o dễ dàng kiểm tra thấy điểm này không phải là điểm chỉnh lưu của hai mô hình và nghĩa là t o ∈ E Ngoài ra, dễ thấy, trên tập E hai hàm y 1 (t), y 2 (t) liên tục.
Ta cần chứng minh hai hàm này bằng nhau với mọi điểm trên tập E.
Giả sử phản chứng, khi đó tồn tại điểm t 1 ∈ [t o , T] sao cho t 1 = inf {t ∈ E : y 1 (t) 6= y 2 (t)} (1.3)
Từ cách xác định điểm t 1 và tính liên tục của y 1 (t), y 2 (t) trên tập E suy ra y1(t1) = y2(t1) Mặt khác, tại điểm t1 có thể xảy ra các khả năng sau: x(t 1 ) ≤α, x(t 1 ) ≥β hoặc α < x(t 1 ) < β.Xét trường hợp đầu tiên x(t 1 ) ≤ α, khi đó với mọi dt dương đủ nhỏ y 2 (t 1 +dt) = 0 (xem phương trình mô hình rơle dạng nửa tường minh) Nếu x(t 1 ) < α, thì từ giả thiết liên tục của nguồn vào ta cóx(t 1 +dt) < α Khi đó,từ phương trình mô hình rơle dạng tường minh suy ra y 1 (t 1 + dt) = 0 Nếu x(t 1 ) =α, thì cũng từ điều kiện liên tục của nguồn vào ta có x(t 1 +dt) < β với mọi dt dương đủ nhỏ, nghĩa là y 1 (t 1 +dt) = 0 (xem dòng đầu của (1.2)).
Tóm lại, trong trường hợp này, ta chứng minh được: với mọi dt > 0 đủ nhỏ đẳng thức sau sẽ đúng y 1 (t 1 +dt) = y 2 (t 1 +dt) (1.4)
Tương tự, đẳng thức sẽ đúng trong trường hợp x(t1) ≥ β. Tiếp tục, xét trường hợp cuối cùng, khi α < x(t 1 ) < β, lại lần nữa từ tính liên tục của hàm nguồn vào ta cóα < x(t 1 +dt) < β với mọi dt >0 đủ nhỏ.
Vì y 1 (t 1 ) = y 2 (t 1 ), nên ta cũng có đẳng thức y 1 (t) = y 2 (t) (xem dòng cuối của (1.1), (1.2)).
Tóm lại, trong tất cả các trường hợp đẳng thức đúng với mọi dt > 0 đủ nhỏ, nghĩa là ta thu được điều mâu thuẫn với cách xác định điểm t 1 ở giả sử trên Định lý 1 được chứng minh.
Tính chất của rơ le có trễ
Tính autonom
Chứng minh Ký hiệu y(t) = R t t 0 (α, β, x)(y 0 ), với t ∈ [t 0 , T] Bây giờ ta quan sát hàm dịch chuyển nguồn vào Scx(t) = x(t+ c) Ta ký hiệu y(t) là nghiệm của (1.2) trên [t 0 −c, T −c] với hàm nguồn vào S c x và điều kiện ban đầu y(t 0 −c) =y 0 , nghĩa là y(t+dt) +o(dt)
Trong phương trình (1.6) thay thế t là t− c ta thu được y(t −c) sẽ là nghiệm của (1.2) Hơn nữa, y(t 0 −c) = y(t 0 ), nên từ sự tồn tại và duy nhất của (1.2) suy ra y(t−c) = y(t), t∈ [t 0 , T], tính chất autonom (1.5) của rơle được chứng minh.
Tính duy nhất
Nếu x(t) = x(t), t ∈ [t 0 , T], thì với mọi t ta có
Chứng minh Vì x(t) = x(t), ∀t∈ [t 0 , T], nên hai hàm R t t
0(α, β, x)(y 0 ) vàR t t 0 (α, β, x)(y 0 ) đều là nghiệm của (1.2), nghĩa là (1.7) được chứng minh.
Tính nửa nhóm
Chứng minh Giả sử vế phải của (1.8) được xác định và bằngy Từ sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình (1.2) suy ra tồn tại duy nhất ϕ, ψ là nghiệm của (1.2), sao cho ϕ(t 0 ) = y 0 , ϕ(t 1 ) = y 1 và ψ(t 1 ) = y 1 , ψ(t) = y.Từ đây ta thấy sẽ tồn tại duy nhất một nghiệm φ(t) của (1.2), thỏa mãn φ(t0) = y0 và φ(t) = y, nghĩa là vế phải của (1.8) cũng xác định và bằng y Dễ thấy, nếu vế phải của (1.8) xác định thì vế trái cũng xác định, vì t 0 ≤ t 1 ≤ t.
Tính thống kê
Chứng minh Gọi y(t), y(t) là nghiệm của (1.2), tương ứng với các hàm nguồn vào x và x Ta cần chứng minh y(θt+ (1−θ)t 0 ) = y(t). Để làm được điều này, trong phương trình (1.2) ta thay t làθt+ (1−θ)t0; vì x(t) = x(θt+ (1−θ)t 0 ) nên y(θt+ (1 −θ)t 0 ) và y(t) đều là nghiệm của (1.2) ứng với hàm nguồn vào x Hơn nữa, y(θt 0 + (1−θ)t 0 ) =y 0 = y(t 0 ), khi đó từ sự tồn tại và duy nhất nghiệm của (1.2) suy ra y(θt+ (1−θ)t 0 ) y(t), tính chất (1.9) được chứng minh.
MÔ HÌNH TRƠN 7
Mô hình rơle dạng trơn
Mô hình rơle dạng trơn được xác định như sau: (xem [10])
(2.1) Ở đây: w = w(t) là nguồn ra (trơn) trung gian.
K là hệ số lớn. x = x(t) là nguồn vào liên tục. ye= y(t)e là nguồn ra (rời rạc) x + có giá trị là max{0, x}. int(x) là phần nguyên liên tục trái củax, nghĩa là số nguyên lớn nhất mà nhỏ hơn x (tại những điểm nguyên giá trị int(x) nhỏ hơn 1 đơn vị so với giá trị hàm phần nguyên quen thuộc [x]).
Trên khoảng thời gian mà tại đóx(t) < α, sự thay đổi của nguồn ra trung gian được mô tả bởi phương trình w˙ = −K(α−x(t))w; nó có một điểm cân bằng w = 0 Tương tự, trên khoảng mà x(t) > β nguồn ra trung gian thỏa mãn phương trình w˙ = K(x(t)−β) (1−w) với vị trí cân bằng w = 1.Hệ số lớn K bảo đảm nguồn ra trung gian tiến nhanh đến vị trí cân bằng tương ứng Trên khoảng thời gian mà α ≤ x(t) ≤ β nguồn ra ấy duy trì giá trị ổn định vì trên khoảng thời gian này w˙ = 0.
Dễ dàng nhận thấy w(to) ∈ [0,1] ⇒w(t) ∈ [0,1] (t ≥ to) (2.2)
Thật vậy, giả sử phản chứng w(t) ∈/ [0,1] với mọi t ≥ to, khi đó tồn tại t 1 ≥ t o , δ > 0 sao cho w(t 1 ) = 1 và w(t) > 1 trong khoảng (t 1 , t 1 +δ) (hoặc w(t 1 ) = 0 và w(t) < 0trong khoảng (t 1 , t 1 +δ)) Từ đây suy ra tồn tại điểm θ ∈ (t 1 , t 1 + δ) để w(θ)˙ > 0 (hoặc w(θ)˙ < 0) Điều này mâu thuẫn với
Nguồn ra ye(t) = 0 bằng khi w(t) ∈ 0, 1 2 và bằng 1 khi w(t) ∈ 1 2 ,1 Đối với rơle dạng trơn nguồn ra tương ứng với nguồn vào x và điều kiện ban đầu ye(t) =w(t o ) = y o chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu Re t t o(α, β, x) (y o ).
Độ chính xác của mô hình rơle dạng trơn so với dạng nửa tường
dạng nửa tường minh Định lý 2: (xem [10]) Giả sử hàm nguồn vào liên tục x không nhận các giá trị α là điểm cực tiểu địa phương và β là cực đại địa phương.
Giả sử y(t),y(t)e lần lượt là nghiệm của (1.2) và (2.1) thỏa mãn cung điều kiện ban đầu y(t0) =y(te 0) = y0 ∈ {0; 1}
Khi đú với mọi t∈ [t o , T] độ đo à sẽ tiến dần về 0 khi K → +∞, với à = à{t ∈ [to, T] : y(t) 6= y(t)}e (2.3)
Ta sẽ chứng minh định lý này trong hai trường hợp.
Trường hợp thứ nhất, khi trong suốt khoảng thời gian [t o , T] rơle dạng nửa tường minh không đổi mạch, nghĩa là:x(t) < β khiy o = 0 hoặcx(t) > α khi y o = 1 Xét khả năng đầu, khi mà trên [t o , T], x(t) < β và y o = 0 Trong khoảng thời gian này y(t) = 0 và w˙ = −K(α−x)+w, khi đó w(t) =wo.e −K
= 0 = y(t) (2.4) suy ra, y(t) =e y(t) = 0 Chứng minh cũng sẽ tương tự khi x(t) > α và y o = 1 Túm lại, à= 0 trong trường hợp đầu.
Trường hợp hai, khi mà mô hình rơle dạng nửa tường minh đổi mạch trên [t o , T] Trên đoạn này ta sẽ xây dựng dãy (t j : j ∈ N) như sau: x(tj) = α và x(t) < β với mọi t ∈ [tj, tj+1), x(t j+1 ) =β và x(t) > α với mọi t ∈ [t j+1 , t j+2 ), nghĩa là ta xây dựng dãy điểm trên mà tại đó rơle dạng nửa tường minh đổi mạch Đặt ∆ = inf j∈ N
{t j+1 −tj} Từ tính liên tục đều của nguồn vào x(t) trên [t o , T] có thể khẳng định rằng ∆ > 0 Từ đây suy ra dãy (t j ) j∈ N là dãy hữu hạn, số các phần tử của nó không vượt quá đại lượng sau: m T −t o
Sử dụng giả thiết trong định lý đối với nguồn vào x(t) ta có: Đối với mỗi điểm t j (1 ≤j ≤ m) tồn tại số dương δ j sao cho với mọi t ∈ (tj, tj +δj) sẽ thỏa mãn bất đẳng thức x(t) < α khi x(tj) = α và x(t) > β khi x(t j ) = β Lấy ε > 0 bất kỳ, sau đó xác định số δ như sau: δ = min
Vì trên [t o , t 1 ] giá trị nguồn ra của rơle dạng nửa tường minh không đổi, nên từ chứng minh trong trường hợp đầu ta suy ra ye(t) =y(t) = yo với mọi t∈ [t o , t 1 ].
Xét nửa khoảng bất kỳ (t j , t j+1 ] và giả sử x(t j ) = α, khi đó theo định nghĩa điểm t j ta có w˙ = −K(α −x) + w Từ đây suy ra, hàm w(t) đơn điệu giảm trên (t j , t j+1 ] Khi đó ta có w˙ = −K(α −x)w với mọi t ∈ (t j , t j +δ] và suy ra w(t) =w j e −K
(2.7) Đối với thứ tự j đang xét này ta xác định số aj và Mj như sau: a j Z t j +δ t j
Vì w j ∈ [0,1] (xem 2.2), nên từ 2.7 và 2.8 dễ dàng kiểm tra được: khi
K ≥ M j thì 0≤ w(t) ≤ w(t j +δ) < 1 2 Từ đây và từ tính đơn điệu giảm của hàm w(t) trên (tj, tj+1] ta thu được với t∈ [t j + δ, t j+1 ] thì 0 ≤w(t) ≤ w(t j +δ) < 1 2 , suy ra y(t) = 0e khi K ≥ M j Mặt khác, y(t) = 0 trên (t j , t j+1 ]. Bởi vậy y(t) =e y(t) = 0 với mọi t ∈ [tj +δ, tj+1]. Nếu x(t j ) = β, thì ta xác định số b j và N j như sau: b j Z t j +δ t j
Tương tự như chứng minh ở trên đối với x(t j ) = α ta cũng sẽ có: khi K ≥ N j thì y(t) =e y(t) = 1 trên [t j + δ, t j+1 ]. Đối với mỗi j : 1 ≤ j ≤ m một trong hai đại lượng M j , N j sẽ được xác định bởi hệ thức 2.8 hoặc 2.9, đại lượng còn lại coi bằng 0 Sau đó xác định
1≤j≤m{M j , N j }. Bây giờ ta có thể đưa ra khẳng định rằng, đối với mọi số ε > 0 cho trước, tồn tại số K o , sao cho với mọi K ≥ K o thỡ à ≤ m.δ < ε (xem 2.5 và 2.6).
Suy ra đại lượng à xỏc định bởi 2.3 tiến dần về 0 khi K → +∞ Định lý 2 được chứng minh.
Tính ưu việt của mô hình trơn
Thứ nhất, mô hình rơle dạng tường minh của Krassnosel’skii – Pokrovskii đưa ra không phải là vận tốc sự thay đổi hàm nguồn ra mà là giá trị của hàm này tại thời điểm xét Bởi vậy, mô hình này phải sử dụng sự thay đổi trước thời điểm đó của cả nguồn vào và cả nguồn ra Ở mô hình rơle dạng trơn xác định được vận tốc thay đổi nguồn ra tại thời điểm nào đó thông qua giá trị nguồn vào và nguồn ra tại chính thời điểm đó.
Thứ hai, mô hình rơle dạng nửa tường minh của Sadovskii – Priadko về bản chất cũng sử dụng phương trình vi phân, nhưng không phải là phương trình vi phân thường, nên sẽ rất khó khăn nếu muốn phân tích về số các hệ có trễ, bởi tồn tại những chương trình ứng dụng phần lớn phù hợp để phân tích các hệ được biểu diễn bằng phương trình vi phân thường Trong sự so sánh với hai mô hình rơle cổ điển thì mô hình rơle trơn có tính ưu việt hơn hẳn.
Chương 3 ĐỊNH LÝ VỀ SỰ XẤP XỈ NGHIỆM CỦA HỆ CHỨA RƠLE DẠNG
TRƠN VÀ DẠNG NỬA TƯỜNGMINH
Đặt vấn đề
Quan sát hệ chứa rơ le điều khiển dạng sau: (xem [9])
(3.1) Ở đây hàm y = y(t) là hàm nguồn ra của mô hình tường minh địa phương 1.2.
Do hệ 3.1 có vế phải không liên tục nên rất khó biểu diễn nghiệm bằng các phần mềm ứng dụng như Mathematica, Maple, Matlab,
Bởi vậy ta quan sát hệ 3.2 sau và sẽ chứng minh nghiệm của hệ này là nghiệm gần đúng của hệ 3.1.
Trong 3.2 hàm y˜= ˜y(t) là hàm nguồn ra của mô hình trơn 2.1.
Hàm f : R×R n × {0,1} → R n là hàm liên tục theo biến t và khả vi liên tục theo đối số thứ hai Hàm ϕ : R n →R cũng là hàm khả vi liên tục.
Giả sử f và ϕ thỏa mãn các điều kiện sau: khi ϕ(u) = α, ta có: h∇ϕ(u), f(t, u,1)i < 0 (3.3) và khi ϕ(u) = β, ta có: h∇ϕ(u), f(t, u,0)i > 0 (3.4)
Các bổ đề
(xem [9]) Bổ đề 3.2.1 (về sự phụ thuộc nghiệm vào các điều kiện ban đầu).
Cho u = u(t) và v = v(t) là nghiệm của hệ u˙ = f(t, u, y 1 ), và u = u(t) là 1 nghiệm của hệ u˙ = f(t, u, y 1 ), ở đây y 1 , y 1 ∈ {0,1}.
Giả sử rằng các nghiệm này được xác định trên [t0, t1] ⊆[t0, T], thỏa mãn điều kiện ban đầu u(t0) =u0, v(t0) =v0, u(t0) = u0, và lấy giá trị trong quả cầu có bán kính 2ρ với ρ được cho bởi 3.26.
Khi đó ku(t)−v(t)k ≤ e f 1 (t 1 −t 0 ) ku 0 −v 0 k (t 0 ≤t ≤ t 1 ) (3.5) và ku(t)−u(t)k ≤ 2f 0 (t 1 −t 0 ) + ku 0 −u 0 k (t 0 ≤t ≤ t 1 ) (3.6) ở đây f 0 được lấy từ 3.27 và f 1 từ 3.28.
1 2 d dtku−vk 2 = hu˙ −v, u˙ −vi = hf(t, u, y 1 )−f(t, v, y 1 , u−vi và 3.28, ta lấy
1 2 d dtku−vk 2 ≤ f 1 ku−vk 2 (3.7) Do đó, ku(t)−v(t)k 2 ≤e 2f 1 (t−t 0 ) ku(t 0 )−v(t 0 )k 2 = e 2f 1 (t 1 −t 0 ) ku 0 −v 0 k 2 , và 3.5 được chứng minh.
Z t t 0 kf(s, u, y 1 )−f(s, u, y 1 )kds+ku 0 −u 0 k và 3.27, ta chứng minh được 3.6
Giả sử rằng y(t˜ ∗ ) = 0, u(t˜ ∗ ) = ˜u ∗ , và ϕ(˜u ∗ ) = β Khi đó w(t ∗ ) ≤ 1/2 và ˜ y(t) = 0 trên [t0, t0 +λ] với λ ≥0.
Tương tự, nếu y(t˜ ∗ ) = 1, u(t˜ ∗ ) = ˜u ∗ , và ϕ(˜u ∗ ) = α Khi đó trạng thái của rơle trong mô hình trơn vẫn còn y(t) = 1˜ trên [t 0 , t 0 +λ] với λ ≥ 0, vì w(t ∗ ) > 1/2 nên w(t ∗ +dt) > 1/2 với dt >0 đủ nhỏ.
Bổ đề 3.2.2 (về thời gian phản ứng của mô hình trơn) Tồn tại 1 số không đỏi K 1 > 0 sao cho λ ≤ C 0
C 0 :r2 log 2 a (3.9) và a được cho bởi 3.30 tương ứng 3.31.
Ta chứng minh bổ đề trong trường hợp y(t˜ ∗ ) = 0, u(t˜ ∗ ) = ˜u ∗ , và ϕ(˜u ∗ ) = β;Trong các trường hợp khác, ta cũng chứng minh tương tự.
Vì ta có w(t) ≤ 1/2 và y(t) = 0˜ trên [t 0 , t 0 + λ] với λ ≥ 0. Nếu λ = 0 thì điều này hiển nhiên đúng.
Nếu λ > 0 theo đó k˜u(t)−u˜ ∗ k ≤ ε 1 trên [t ∗ , t ∗ +ε 1 /f 0 ]. Theo 3.30 điều này ngụ ý rằng ˙˜ x(t) = h∇ϕ(˜u), f(t,u,˜ 0)i ≥ a (t ∗ ≤ t≤ t ∗ + ε 1 /f 0 ).
Do đó, ˜ x(t) ≥ a(t−t ∗ ) +β ≥ β (t ∗ ≤ t≤ t ∗ + ε 1 /f 0 ) (3.10) Có nghĩa là hệ mô tả cho mô hình trơn ở dạng ˙ w(t) = K(˜x(t)−β)(1−w(t)) (t ∗ ≤t ≤ t ∗ +ε 1 /f 0 ).
Giải phương trình này ta được w(t) = 1−(1−w(t ∗ )) exp
Điều này cho thấy, đặt
K 1 := 2f 0 2 log 2 ε 2 1 a (3.11) ta có w(t ∗ +ε 1 /f 0 ) > 1/2 với mọi K > K 1 , vì vậy λ ≤ ε 1 /f 0 Hơn nữa, từ w(t ∗ +λ) ≤1/2 ta có
Bổ đề 3.2.3 (về sự tiệm cận với mặt mức) Ta có 2 hệ thức sau: limδ→0 dist (Γ α+δ ,Γ α ) = 0, lim δ→0 dist (Γ β+δ ,Γ β ) = 0 (3.12) đúng với Γ η được cho bởi 3.32.
Chúng ta đi chứng minh hệ thức thứ nhất trong 3.12 đúng.
Giả sử hệ thức thứ nhất không đúng, chúng ta đi tìm ε0 > 0 và dãy (un)n sao cho u n ∈ Γ α+1/n , dist (u n ,Γ α ) ≥ ε 0
Với (u n ) n thuộc tập compact, không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử u n → u; bằng cách xây dựng, chúng ta có u 6∈ Γ α (*)
Mặt khác, tính liên tục của ϕ ngụ ý rằng ϕ(u) = α, mâu thuẫn với (*).
Suy ra hệ thức thứ nhất trong 3.12 đúng
Bổ đề 3.2.3 chỉ ra rằng chúng ta có thể tìm δ1 > 0 sao cho dist (Γ α+δ ,Γ α ) < ε 1 , dist (Γ β+δ ,Γ β ) < ε 1 với 0 < δ < δ 1 Hơn nữa, nếu ϕ liên tục đều trên Γ α , chúng ta có thể tìm được ε 2 ∈ (0,min{ε 1 , ρ/C 1 }), ở đây
C1 := 1 + 2f 0 M a (3.13) sao cho ϕ(u) ≤ α+ +δ 1 với rmdist(u,Γ α ) ≤ ε 2 Với ký hiệu này, chúng ta chứng minh được một ước lượng khác cho khoảng tồn tại của hai hệ.
Bổ đề 3.2.4 (về sự ước lượng thời gian) Giả sử thỏa mãn các điều kiện sau: ˜ x(t 1 ) =α (3.14) y(t1) = ˜y(t1) = 1 (3.15) x(t) ≥α (t 1 ≤ t < t 1 ) (3.16) ku(t 1 )−u(t˜ 1 )k ≤ ε 2 (3.17)
Khi đó ta có t 1 −t 1 ≤ M a ku(t 1 )−u(t˜ 1 )k (3.18) Chứng minh Đầu tiên, chúng ta chỉ ra rằng dist (u(t),Γ α )) < ε 1 (t 1 ≤t ≤ t 1 ) (3.19)
Thật vậy, nói cách khác tồn tại một vài t 2 ∈ [t 1 , t 1 ] sao cho dist (u(t 2 ),Γ α ) =ε 1 (3.20) và dist (u(t),Γα)) < ε1 (t1 ≤t < t2) (3.21)
Từ 3.20 ta có ϕ(u(t2)) ≥ α+ δ1, trong khi từ 3.21 và 3.15 ta có ánh xạ t 7→ ϕ(u(t)) giảm ngặt trên [t 1 , t 2 ) Hơn nữa, 3.17 và theo xác định ε 2 bao hàm ϕ(u(t 2 )) < ϕ(u(t 1 )) ≤ α+δ 1 , điều này mâu thuẫn.
Từ 3.19 xét t trên [t1, t1], ta thấy rằng 3.30 có t cũng xác định như sau t 1 ≤ t ≤t 1 Từ đây cùng với 3.14 và 3.16, có α ≤ x(t) =x(t1) +
Tính đến 3.29 chúng ta thu được 3.18
Tất nhiên, kết quả tương tự đúng trong trường hợp x(t˜ 1) = β; ta có bổ đề sau mà không cần chứng minh.
Bổ đề 3.2.5 Giả sử ˜ x(t1) = β, y(t1) = ˜y(t1) = 0, x(t) ≤β (t 1 ≤ t < t 1 ), và 3.17 được thỏa mãn Thì 3.18 đúng.
Nếu rơle được mô tả dưới dạng nửa tường minh như phương trình 1.2 đóng mạch tại mọi thời điểm, Định lý (3.3.1) vẫn đúng với C = 0 và K 0 > 0 tùy ý Chúng ta phân tích trường hợp khi rơle ngắt mạch trong khoảng [t 0 , T]. Đầu tiên chúng ta thấy rằng số lần ngắt mạch là hữu hạn.
Cho τ, τ ∈ [t 0 , T] là hai thời điểm ngắt mạch liên tiếp; và β − α |ϕ(u(τ))−ϕ(u(τ))| Bởi 3.27 và 3.29, điều này ngụ ý rằng
Nếu {t 1 , t 2 , , t m } là tất cả các thời điểm ngắt mạch của rơle dạng nửa tường minh trong [t 0 , T] (theo thứ tự tăng dần), chúng ta có
Với j ∈ {1,2, , m} ký hiệu: t j là điểm ngắt mạch j −th của mô hình nửa tường minh, s j là điểm ngắt mạch j −th của mô hình trơn, 1 và s˜ j là điểm gần nhất bên trái từ sj thỏa mãn u(˜˜ sj) = u(tj) Với j = 0,1, , m ta sử dụng công thức rút gọn
C 1 2 −1 (3.23) với f 0 cho bởi (4.1.16), f 1 cho bởi (4.1.17), C 0 cho bởi 3.9, và C 1 cho bởi 3.13), và
K 0 := 0, K j+1 := (C 1 ∆ j + 2f 0 C 0 ) 2 e 2f 1 (t j+1 −t 0 ) ε 2 2 (3.24) Ở đây ε 2 như trong bổ đề 3.2.3 Bằng cách dựng, ta có
Định lý
Định lý 3.3.1 (định lý về sự xấp xỉ nghiệm) (xem [9]) Theo các giả thiết trong phần đặt vấn đề, cho mỗi nghiệm u của 3.1 với [t 0 , T] ta có thể tìm được hằng số C > 0 và K 0 > 0 sao cho, với bất kỳ u˜ là nghiệm của 3.2, thì ku(t)−u(t)k ≤˜ C
1 Ở đây ta lấy t m+1 = T và t j = s j = t 0 với j = 0. đúng với K ≥ K 0 , ở đây K là tham số trong 2.1.
Trước khi chứng minh Định lý 3.3.1 ta có nhận xét: nghiệm u bất kỳ của 3.1 liên tục, và bị chặn trên [t 0 , T], khi đó
Vì thế, chúng ta có thể tìm được hằng số f 0 > 0, f 1 > 0 và M > 0 sao cho kf(t, u, y)k ≤ f 0 (3.27)
≤f1 (3.28) và k∇ϕ(u)k ≤ M (3.29) với t 0 ≤ t ≤ T, kuk ≤ 2ρ, và y ∈ {0,1} Chúng ta cũng có thể tìm được hằng số δ0 > 0 và a > 0 sao cho h∇ϕ(u), f(t, u,1)i ≤ −a (3.30) với |ϕ(u)−α| < δ 0 , và h∇ϕ(u), f(t, u,0)i ≥ a (3.31) với |ϕ(u)−β| < δ 0 Thật vậy, giả sử 3.30 sai Khi đó ta tìm thấy dãy (t n ) n và (u n ) n thỏa t0 ≤ tn ≤ T, ku n k ≤ 2ρ, |ϕ(u n )−α|< 1 n, h∇ϕ(u n ), f(tn, un,1)i > −1 n.
Chọn dãy con, sao cho t n → t và u n → u khi n → ∞. Khi đó ϕ(u) =α, h∇ϕ(u), f(t, u,1)i ≥ 0, mâu thuẫn với 3.3 Cho Γ η := {u ∈ R n : kuk ≤ 2ρ, ϕ(u) =η} (3.32)Từ tính liên tục đều của ϕ và 3.29 ta kết luận rằng ε 1 ∈ (0, ρ) sao cho3.29 đúng với dist (u,Γα) < ε1, và 3.30 đúng với dist (u,Γβ) < ε1. Định lý 3.3.2 (định lý về sự xấp xỉ nghiệm) (xem [9]) Với mỗi j ∈ {0,1, , m+ 1} và K ≥K j , ta có: ku(t)−u(t)k ≤˜ ∆ j
√K (t 0 ≤ t≤ t j (3.33) với K là tham số trong 2.1.
Chứng minh Chúng ta chứng minh khẳng định trên bằng phương pháp quy nạp trên j.
Với j = 0 khẳng định trên hiển nhiên đúng, vì u(t˜ 0) = u(t0) = u0, chúng ta đã chứng minh điều đó với j cố định, có nghĩa là 3.33 đúng với j này Nếu lấy t j ≤ s j , theo bổ đề 3.2.2, cho K ≥K j+1 ta có s j −t j ≤ C 0
Nhưng theo giả thiết quy nạp cùng với 3.6, cho ku(t)−u(t)k ≤˜ C 1 ∆ j + 2f 0 C 0
√ K e f 1 (t j+1 −t j ) (t 0 ≤ t≤ t j+1 ) (3.35) với K ≥ K j+1 Không khó để nhận thấy 3.35 cũng đúng trong trường hợp t j > s j Nếu t j+1 > s j+1 , thì 3.35 đúng với K ≥ K j+1 và t 0 ≤ t ≤ s j+1 Nói cách khác, trong trường hợp này, toàn bộ giả thiết của Bổ đề 3.2.3 thỏa mãn trên khoảng [˜s j++1 , t j+1 ].
Do đó, tj+1 −sj+1 ≤ tj+1 −s˜j+1 ≤ M a ku(˜sj+1)−u(˜˜ sj+1)k (3.36) cũng như ku(t)−˜u(t)k ≤ 2f 0 (t j+1 −s j+1 )+ku(˜s j+1 )−˜u(˜s j+1 )k ≤ C 1 ku(˜s j+1 )−˜u(˜s j+1 )k
(3.37) với ˜s j+1 ≤ t ≤t j+1 Trong mọi trường hợp, chúng ta thấy rằng ku(t)−u(t)k ≤˜ C 1 (C 1 ∆ j + 2f 0 C 0 )
√K e f 1 (t j+1 −t j (t0 ≤ t≤ tj+1) (3.38) nó ngụ ý rằng 3.33 giữ j thay thế bởi j + 1 Bây giờ phát biểu theo sau, vì hằng số thoả mãn C ≥∆ m+1 và K 0 ≥ K m+1 Chứng minh hoàn thành
Lưu ý, chúng ta chứng minh Định lý 3.3.2 dưới giả thiết bổ sung k˜u(t)k ≤ 2ρ với t 0 ≤ t≤ T Khi đó,
Thật vậy, theo cách khác chúng ta có thể áp dụng định lý 3.3.2 trên khoảng [t 0 , T 1 ] ⊂ [t 0 , T], và định nghĩa của ε 2 trong Bổ đề 3.2.4 chỉ ra rằng K 0 > C 2 /ρ 2 Vì vậy, với K ≥ K 0 ta có C < ρ√
VÍ DỤ MINH HỌA ỨNG DỤNG MÔ HÌNH TRƠN 25
Đặt vấn đề
! và u : [t o ,+∞) → R 2 ; y(t) la hàm nguồn ra theo mô hình của dạng tường minh (1.2) với giá trị ngưỡng rơle α, β (0< α < β) và nguồn vào x(t).
Bài toán đặt ra: với điều kiện nào của θ thì nghiệm của hệ (4.1) sẽ là nghiệm tuần hoàn.
Định lý về sự tuần hoàn
Định lý 3: (xem [7])Bắt đầu từ một thời điểm nào đó, nghiệm của hệ (4.1) là hàm tuần hoàn khi và chỉ khi θ ∈ Qe := π lnβ −lnαQ (4.2)
Chứng minh.Trước tiên ta chứng minh tồn tạit 1 ≥ t o sao cho tại thời điểm đó nghiệm của hệ (4.1) sẽ giao với đường tròn tâm O bán kính α, nghĩa là ku(t 1 )k= α Nếu y(t) = 1, thì nghiệm tổng quát của phương trình đầu trong hệ (4.1) là: u(t) =e −t cosθt −sinθt sinθt cosθt
(4.3) Đặt Φ (t) = cosθt −sinθt sinθt cosθt
! và Φ (t) được gọi là ma trận cơ sở Dễ thấy, ma trận này có tính chất sau: Φ − (t) = Φ (−t),Φ (t1)ãΦ (t2) = Φ (t1 +t2) (4.4) Từ 4.3 và 4.4 ta có nghiệm hệ (4.1) được viết dưới dạng sau: u(t) = e −(t−t o ) ãΦ (t−t o )ãu(t o ) (4.5) Tương tự, nếu y(t) = 0 thì nghiệm hệ (4.1) được tính theo công thức sau: u(t) =e (t−t o ) ãΦ (t−t o )ãu(t o ) (4.6)
Nếu ku o k > β, thì ngay sau thời điểm này rơle sẽ đóng mạch (y = 1) cho tới thời điểm, mà tại đó nguồn vào đạt giá trị ngưỡng dưới α.
Vì thế nghiệm hệ (4.1) sẽ tính theo công thức 4.5, từ đó suy ra, hàm nguồn vào x(t) = ku(t)k= e −(t−t o ) ku o k là hàm giảm ngặt từ giá trị ku o k và có thể tiến dần về 0 khi t →+∞. Điều đó có nghĩa là sẽ tồn tại thời điểm t 1 mà tại đó x(t) đạt giá trị α. Điều này cũng được chứng minh tương tự trong các trường hợp ku o k < α hoặc α ≤ ku o k ≤ β.
Bây giờ sẽ tìm điều kiện cho θ để nghiệm hệ (4.1) sẽ tuần hoàn.
Dễ thấy, ngay sau thời điểm t 1 rơle sẽ mở mạch (y = 0) và nghiệm hệ (4.1) tính theo công thức 4.6 với t o thay thế bằng t 1 Nghiệm này sẽ giao với đường tròn lớn tại thời điểm t 2 nào đó và u(t 2 ) = e (t 2 −t 1 ) ãΦ (t 2 −t 1 )ãu(t 1 ) (4.7)Từ đó dễ dàng suy ra t 2 − t 1 = ln α β Sau thời điểm t 2 rơle sẽ đóng mạch(y = 1) và nghiệm tính theo công thức với t o thay thế bằng t 2 Ngoài ra nghiệm sẽ giao với đường tròn nhỏ tại thời điểm t 3 và u(t 3 ) = e −(t 3 −t 2 ) ãΦ(t 3 −t 2 )ãu(t 2 ) (4.8) suy ra: t 3 −t 2 = ln β α Tóm lại, ta đã chứng minh: bằng khoảng thời gian ln β α , nghiệm hệ sẽ có quỹ đạo từ đường cong nhỏ đến đường cong lớn hoặc ngược lại.
Ta sẽ sử dụng những ký hiệu sau: t 2n (n∈ N) là thời điểm rơle chuyển mạch từ 0 sang 1, khi đó x(t 2n ) =β; t 2n+1 (n∈ N) là thời điểm rơle chuyển mạch từ 1sang 0, khi đóx(t 2n+1 ) =α.
Tương tự với 4.7, 4.8 và kết hợp tính chất 4.4 ta có: t 2n+1 −t 2n = t 2n −t 2n−1 = = t 2 −t 1 = lnβ α (4.9) và u(t 2n+1 ) =e −(t 2n+1 −t 2n ) Φ(t 2n+1 −t 2n )u(t 2n )
= e −(t 2n+1 −t 2n ) Φ(t 2n+1 −t 2n )e −(t 2n −t 2n−1 ) Φ(t 2n −t 2n−1 )u(t 2n−1 ) Theo 4.9 thì đẳng thức cuối sẽ được viết dưới dạng sau: Φ(t 2n+1 ) = Φ(2lnβ α)u(t 2n−1 ) (4.10)
Bằng cách chứng minh quy nạp dễ dàng nhận được đẳng thức sau: Φ(t 2n+1 ) = Φ(2n.lnβ α)u(t 1 ) (4.11)
Lúc này ta có thể khẳng định được rằng, bắt đầu từ thời điểm t 1 nghiệm hệ (4.1) sẽ tuần hoàn khi và chỉ khi tồn tại số tự nhiên n ∈ N sao cho u(t 2n+1 ) = u(t 1 ) Từ đây và từ 4.11 suy ra ma trận Φ(2n.ln β α ) là ma trận đơn vị Điều này tương đương với phương trình sau: cosθ2nln α β = 1
Giải phương trình cuối, thu được: θ = 0hoặcθ = n(lnβ−lnα) kπ với k ∈ Z\{0}. Dễ dàng kiểm tra được rằng, bắt đầu từ một thời điểm nào đó nghiệm hệ
(4.1) sẽ tuần hoàn với chu kỳ T = 2.ln β α nếu θ = 0 và T = 2n.ln α β nếu θ = n(lnβ−lnα) kπ Định lý 3 được chứng minh.
Mô phỏng kết quả
Mô phỏng kết quả hệ rơle điều khiển trong mặt phẳng Phân tích, đánh giá nghiệm Để phân tích nghiệm đối với hệ, ta sử dụng mô hình rơle trơn Khi đó với tham số K đủ lớn thì nghiệm của hệ sẽ sấp sỉ nghiệm của hệ sau (xem định lý về độ chính xác của mô hình trơn ở mục 2.2):
Nghiệm hệ dễ dàng mô phỏng được nhờ một số chương trình ứng dụng Math- ematica, MatLab, Trong hệ, giả sử: α = 1, β = 3, u 0 = (1,2), y 0 = 0.
9ln3 ∈ Qe và K = K 1 = 10 7 thì câu lệnh viết trên chương trình Mathematica như sau: a=1 %la \alpha =1 b=3 % la \beta =3 x10=1 x20=0 x0=0 c=(pi/(log(b)-log(a)))*(2/9) % la \theta=(2*\pi)/(9*(log(b)-log(a))) K000000 % la K1
% giai he ung voi tham so K1 w’[t]=K*Max[0,sqrt(x1[t]*x1[t]+x2[t]*x2[t])-b]*(1-w[t])-K*Max[0,a-sqrt(x1[t]*x1[t]+x2[t]*x2[t])]*w[t], x1’[t]=(1-2(ceiling[w[t]+0.5]-1))*x1[t]-c*x2[t], x2’[t]=c*x1[t]+(1-2(ceiling[w[t]+0.5]-1))*x2[t],
% giai he ung voi tham so K2 z’[t]=L*Max[0,sqrt(y1[t]*y1[t]+y2[t]*y2[t])-b]*(1-z[t])-L*Max[0,a-sqrt(y1[t]*y1[t]+y2[t]*y2[t])]*z[t]), y1’[t]=(1-2(ceiling[z[t]+0.5]-1))*y1[t]-c*y2[t], y2’[t]=c*y1[t]+(1-2*ceiling[z[t]+0.5]-1))*y2[t], w[0]=w0, x1[0]=x10, x2[0]=x20, z[0]=w0, y1[0]=x10, y2[0]=x20}, {w, x1, x2, z, y1, y2}, {t, 0, T}, Maxstep arrow infty]
ParametricPlot[{Evaluate[(x1[t],x2[t])/.p], {a*cos[t], a*sin[t]}, {b*cos[t], b*sin[t]}}, {t, 0, T}]\
Plot[{Evaluate[(ceiling[w[t]+0.5]-1)/.p]}, {t, 0, T}] g1=ParametricPlot[{{a*cos[t], a*sin[t]}, {b*cos[t], b*sin[t]}}, {t, 0, T}] g2=ParametricPlot[Evaluate[{x1(t), x2(t)}/.p], {t, 0, T}, PlotStyle arrow Magenta] g3=ParametricPlot[Evaluate[{y1(t), y2(t)}/.p], {t, 0, T}, PlotStyle arrow Magenta]
Show[g1, g2, g3] % Quy dao nghiem he 4.12
% Tinh sai so hai nghiem cua he 4.12 ung voi tham so K1, K2 bang lenh f[t] sau f[t_]=Evaluate[sqrt((x1[t]-y1[t])(x1[t]-y1[t])+(x2[t]-y2[t])(x2[t]-y2[t]))/.p]
Plot[f[t], {t, 0, T}, PlotStyle arrow Black] % Sai so nghiem
Khi đó nghiệm 4.12 tuần hoàn với chu kỳ T = 18ln3 và được biểu diễn bởi hình H3.
H3 Quỹ đạo nghiệm khi tham số K lớn K = 10 7 và θ = 2π
2 , nghĩa là tham số K vẫn đủ lớn thì dạng nghiệm của hệ 4.12 ứng với K2 có dạng như hình H 3.
Sai số 2 nghiệm ứng với 2 tham số K 1 , K 2 được tính toán trong câu lệnh trên chương trình Mathematica (xem H.2), sai số đó được minh họa bởi hình sau
H4 Sai số nghiệm. Điều này chứng tỏ mô hình nghiên cứu rơ le dạng trơn cho kết quả có tính ổn định, kết quả này không phụ thuộc vào tham số K khi K đủ lớn.
Thêm minh họa khi ta lấy θ = 4π
9ln3 ∈ Q e (code như trang 28 và trang 29, chỉ thay đổi giá trị θ), nghiệm hệ 4.12 vẫn là nghiệm tuần hoàn có quỹ đạo như hình sau
H5 Quỹ đạo nghiệm ứng với θ = 4π
9ln3 6∈ Q e (code như trang 28 và trang 29, chỉ thay đổi giá trị θ) ta thấy nghiệm hệ 4.1 không còn là nghiệm tuần hoàn nữa Điều này thấy được qua hình biểu diễn quỹ đạo nghiệm hệ 4.12 như sau
H6 Quỹ đạo nghiệm ứng với θ = 10
Tăng thời gian T ta thấy quỹ đạo nghiệm dần lấp đầy hình vành khăn tạo bởi 2 đường tròn tâm O bán kính α = 1 và β = 3 như hình sau
H7 Quỹ đạo nghiệm ứng với θ = 10
9ln3 6∈ Qe dần lấp đầy hình vành khăn khiT lớn
9ln3 ∈ Q e (code như trang 28 và trang 29, chỉ thay đổi giá trị tham số K)nghiệm của 4.1 có quỹ đạo như được trình bày trong H8.
H8 Quỹ đạo nghiệm khi tham số K nhỏ.
Qua đó, ta thấy khi tham số K nhỏ mô hình trơn không mô phỏng được dạng nghiệm của hệ 4.1 Điều này chứng tỏ mô hình rơ le trơn chỉ chính xác khi tham số K đủ lớn.
Đánh giá sai số nghiệm 34 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN LUẬN VĂN 37
Trong hệ 4.1 và 4.12 chúng ta xét hàm ϕ : R 2 → R xác đinh bởi công thức ϕ(u) =kuk q u 2 1 +u 2 2 tự động thỏa các điều kiện 3.3 và 3.4.
Thật vậy, với ϕ(u) = α ta có h∇ϕ(u), f(t, u,1)i = kuk 1
Tương tự ta có thể chỉ ra rằng h∇ϕ(u), f(t, u,0)i = β > 0 với ϕ(u) = β.
Bây giờ chúng ta hãy tính các hằng số ρ, α, f 0 , f 1 , và M cho hệ này.
Theo chứng minh hàm tuần hoàn trong Định lý 3 chúng ta có thể giả sử α ≤ ku 0 k ≤ β, vì vậy ρ := β với t ∈ [t 0 , T] Hơn nữa, bằng những gì chúng ta vừa chứng minh, chúng ta có thể lấy a := α Với f(t, u, y) =Au, ở đây A là ma trận của phương trình vi phân trong 4.1, ta lấy kf(t, u, y)k ≤ kAk kuk ≤ β√
1 +ε 2 =: f 1 Cuối cùng, với hằng số M ta có
Gọi u và u˜ lần lượt là nghiệm của hệ 4.1 và hệ 4.12, với α ≤ ku 0 k ≤ β. Định lý gần chỉ ra rằng ku(t)−u(t)k ≤˜ C
√K (t 0 ≤ t≤ T) với K ≥ K0, với hằng số C có thể tính toán bằng bổ đề 3.2.2, lấy ρ = β, a = α, f 0 = β√
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
1 Kết luận a) Về phương pháp nghiên cứu:
Luận văn này đã cố gắng định hình một phương pháp xây dựng một mô hình giải tích mới gọi là "mô hình trơn" trong sự so sánh với các mô hình cổ điển, đó là phương pháp sử dụng phương trình vi phân thường, dễ dàng hơn trong việc phân tích về số các hệ có trễ so với mô hình cổ điển.
Trong nghiên cứu, thông số giá trị nguồn vào x(t) và giá trị nguồn ra y(t) có ý nghĩa quan trọng cho mô hình trơn, vì dùng nó để điều khiển độ sai lệch giữa các nghiệm của mô hình trơn và mô hình cổ điển Sau đó, làm rõ tính ưu việt của mô hình trơn khi kết hợp với phần mềm ứng dụng hiện đại như Mathematica, matlab, Maple để phân tính hoạt động của các hệ thống điện cơ gắn rơ le điều khiển. b) Về nội dung nghiên cứu:
Trong luận văn này, tôi trình bày về một số kiến thức cơ sở về rơle, một số mô hình rơle cổ điển, áp dụng phương trình vi phân thường trong mô hình rơle trơn.
Qua đó ta thấy được tính ưu việt của mô hình rơle trơn so với mô hình rơle cổ điển.
Mô hình mới này có độ chính xác kiểm soát được bởi một thông số, và có thể sử dụng để mô phỏng nghiệm của các hệ thống điện cơ chứa rơ le điều khiển.
2 Hướng phát triển của luận văn
Rơle được xem như một thiết bị điều khiển hoặc phần tử xử lý tín hiệu có khả năng hoạt động một cách linh hoạt, thường xuyên được gắn trong các hệ thống điện cơ, như: công tơ điện, máy lạnh, tủ lạnh, máy giặt, máy chụp hình, máy bơm nước vào bể chứa nước, Rơle điều khiển đáp ứng được yêu cầu điều khiển tự động hóa trong công nghiệp, là phần tử xử lý tín hiệu quan trọng.
Mô hình trơn rơle điều khiển có độ chính xác kiểm soát cao được bởi thông số đầu vào x(t) và thông số đầu ra y(t).
Do đó, hướng phát triển tới của luận văn là:
1 Nghiên cứu sâu hơn một số ứng dụng của rơle điều khiển vào các bài toán thực tế, giúp việc xử lý thông tin trong hệ thống máy tự động hóa tốt hơn, hạn chế tối đa mức độ hư hại của hệ thông khi các sự cố xảy ra.
2 Chạy mô phỏng trên máy tính một số mô hình ứng dụng bài toán mô hình rơle điều khiển.
3 Áp dụng các kết quả thu được vào một số bài toán điều khiển tối ưu.
[1] Appell J., Pryadko I.N., Sadovsky B.N., On the stability of some relay- type regulation system, Z Angew.Math Mech., 2008, 88, No.10, pp 808- 816.
[2] Krasnosel’skii M.A and Pokrovskii A.V., Systems with Hysteresis, Springer – Verlag, 1989.
[3] Nguyen T.H., Smooth model of a support and gap, Vestnik VGU, series:
Physics - Mathematics, 2009, No 2, pp 92-95, ISSN: 1609-0705, in Rus- sian.
[4] Nguyen T.H., Smooth model of system with diode nonlinearity Acta Math Vietnam (2013) 38: 607-616.
[5] Nguyen T.H The existence and the uniqueness of the periodic output function of infinite relay system with hysteresis, Tạp chí Đại học GTVT, số đặc biệt, năm 2015, p.139–p.143.
[6] Nguyen T.H On Periodic Input and Output of The Hysteresis Relay Starting from The Moment of Infinity,Science Book Publishing House Yelm, WA, USA - 2018, p 150 –p.154
[7] Nguyen T.H Mô hình trơn của rơ le có trễ và ứng dụng của mô hình trong việc biểu diễn nghiệm của một số hệ rơ le, Tạp chí nghiên cứu khoa học quốc tế, Euroasia, p.56–p.60 (viết bằng tiếng Nga).
[8] Nguyen T.H., Sadovskii B.N., About oscillations in the generalized system of "predator-prey", Control Systems and Information Technology, 2013,No 2 (52), 22-24, in Russian.
[9] Nguyen T.H., Sadovskii B.N., Smooth model of the Relay with Hystere- sis, Automation and Remote Control, 2010, Vol.71, No.11, pp2320–2330, ISSN: 0005-1179.
[10] Nguyen T.H., Pham T.T.X., Mathematical Models of Hysteresis Relay, Modern Information Problems in Simulation and Social Technology, Sci- ence Book Publishing House Yelm, WA, USA - 2018, p.207–p.211.
[11] Pryadko I.N., Sadovskii B.N., On Locally Explicit Models of Some Non- smooth Systems, Automation and Remote Control, October 2004, Volume 65, Issue 10, pp 1556-1565.
[12] Pryadko I.N., Sadovskii B.N., On locally explicit equations and systems with switching, Func Diff Equat., 2006 No 13, 3-4 pp 571-584.
[13] Sadovskii B.N., SobolevM.P., A mathematical theory of circuits with thyristors, Collection of scientific papers Dynamics of heterogeneous sys- tems Moscow, VNIISI, 1984, pp 178-182.
[14] Sadovskii B.N., Notes on systems with diode nonlinearity, Univ Cal- abria, Dip Mat, Cosenza, Italy, 1988 – 14 p.