Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng: Động lực biên độ của sóng trong va chạm của sóng tuyến tính có nhiễu phi tuyến

262.3.1 Sự thay đổi của tham số biên độ gây ra do va chạm nhanh giữa hai sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu phituyến.. 262.3.2 Mô phỏng sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

TS NGUYỄN MINH QUÂN

TP Hồ Chí Minh năm 2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

—————————————

NGUYỄN ĐỨC HIẾU

COLLISION - INDUCED AMPLITUDE

DYNAMICS OF PERTURBED LINEAR WAVES

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60 46 01 12

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

TS NGUYỄN MINH QUÂN

TP Hồ Chí Minh năm 2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐH QUỐC GIA TP.HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN MINH QUÂN

Cán bộ chấm phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI

Cán bộ chấm phản biện 2: TS CAO THANH TÌNH

Luận văn Thạc sĩ này được bảo vệ tại trường Đại học Bách khoa, ĐH Quốc GiaTp.HCM ngày 24 tháng 1 năm 2021

Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ )

1 Chủ tịch: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

2 Thư ký: TS NGUYỄN TIẾN DŨNG

3 Phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI

4 Phản biện 2: TS CAO THANH TÌNH

5 Ủy viên: TS HỒ ĐẮC NGHĨA

Xác nhận của chủ tịch hội đồng đánh giá luận văn và trưởng khoa quản lýchuyên ngành sau khi luận văn đã chỉnh sửa (nếu có)

Trường Đại Học Bách Khoa Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: Nguyễn Đức Hiếu

Ngày, tháng, năm sinh: 16.03.1995

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

MSHV: 1770488Nơi sinh: Đồng Nai

Mã số: 60460112

I TÊN ĐỀ TÀI: Động lực biên độ của sóng trong va chạm của sóng tuyến

tính có nhiễu phi tuyến.

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

- Kiến thức chuẩn bị

- Động lực biên độ của sóng trong va chạm của sóng tuyến tính có nhiễuphi tuyến

- Mô phỏng các mô hình

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 20.11.2019

III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 25.07.2020

IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN MINH QUÂN.

Tp Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 1 năm 2021

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

TRƯỞNG KHOA

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này xuất phát từ các kết quả nghiên cứu về sự thay đổi biên độ trong

va chạm giữa hai sóng tuyến tính có nhiễu phi tuyến của Avner Peleg, HuỳnhThanh Toàn và thầy hướng dẫn luận văn của tôi tiến sĩ Nguyễn Minh Quân Ngay

từ lúc ban đầu làm luận văn, tôi đã được sự giúp đỡ rất nhiệt tình từ thầy Thầyhướng dẫn, cung cấp các tài liệu tham khảo chi tiết và dành nhiều thời gian đểgiảng dạy và phê bình lỗi sai của tôi Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với thầy.Tôi xin gửi lời cảm ơn đến anh Huỳnh Thanh Toàn, đã hỗ trợ và có nhiều nhậnxét để luận văn được hoàn thiện

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô trong Hội đồng chấm Luận văn Thạc sĩtrường Đại học Bách Khoa đã dành nhiều lời nhận xét, đánh giá để luận văn đầy

đủ và chính xác hơn

Tôi cám ơn trường đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh, các thầy cô trong

bộ môn Toán ứng dụng đã chỉ bảo tôi trong quá trình học tập tại trường Tôi bày

tỏ lòng biết ơn đối với những bạn học cùng khóa 2017 đã giúp đỡ và động viêntôi trong quá trình học tập, đặc biệt là bạn Ân, bạn đã giúp tôi có cơ hội được gặpthầy Quân

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình của tôi Gia đình luôn động viên và hỗ trợ tôitrong học tập và nghiên cứu và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luậnvăn này

Long Thành, Đồng Nai, năm 2020

Nguyễn Đức Hiếu

LỜI CẢM ƠN 1

1.1 Phép biến đổi Fourier 11

1.1.1 Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi ngược Fourier 11

1.1.2 Một số tính chất của biến đổi Fourier 12

1.1.3 Tích chập và biến đổi Fourier trên tích chập 13

1.2 Nghiệm của phương trình truyền sóng quang học trong không gian một chiều 14

1.3 Nghiệm của phương trình tải - khuếch tán tuyến tính 16

1.4 Phương pháp giải số tách bước 18

2 Mô hình va chạm nhanh giữa hai sóng quang học dưới sự ảnh hưởng nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba 20 2.1 Giới thiệu về mô hình va chạm nhanh giữa hai sóng quang học với nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba 20

2.2 Khảo sát tham số biên độ trong mô hình truyền sóng quang học với nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba 22

2.2.1 Tham số biên độ của sóng trong mô hình truyền sóng quang

học với nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba 222.2.2 Mô phỏng tham số biên độ trong mô hình truyền sóng quang

học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao phi tuyến 242.2.3 Nhận xét 252.3 Khảo sát sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm nhanh giữahai quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu phi tuyến 262.3.1 Sự thay đổi của tham số biên độ gây ra do va chạm nhanh

giữa hai sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu phituyến 262.3.2 Mô phỏng sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm

nhanh giữa hai sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễuphi tuyến 322.3.2.1 Sóng với hình dạng ban đầu dạng Hyperbolic 332.3.2.2 Sóng với hình dạng ban đầu dạng Cauchy-Lorentz

(thứ nhất) 362.3.2.3 Sóng với hình dạng ban đầu dạng Cauchy-Lorentz

(thứ hai) 392.3.2.4 Sóng với hình dạng ban đầu dạng hình chữ nhật 422.4 Nhận xét 45

3 Mô hình va chạm nhanh giữa hai sóng vật chất dưới sự ảnh hưởng của

3.1 Giới thiệu mô hình va chạm nhanh giữa hai sóng vật chất với nhiễusuy hao tuyến tính và bậc hai 473.2 Khảo sát tham số biên độ của sóng vật chất trong mô hình tải -khuếch tán tuyến tính có nhiễu suy hao tuyến tính và bậc hai 49

3.2.1 Tham số biên độ của sóng vật chất trong mô hình tải - khuếch

tán tuyến tính có nhiễu suy hao tuyến tính và bậc hai 493.2.2 Mô phỏng tham số biên độ trong mô hình tải - khuếch tan

tuyến tính dưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao tuyến tính

và bậc hai 513.2.3 Nhận xét 523.3 Khảo sát sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm nhanh giữahai sóng vật chất dưới sự ảnh hưởng của nhiễu phi tuyến 533.3.1 Sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm nhanh giữa

hai sóng vật chất dưới sự ảnh hưởng của nhiễu phi tuyến 533.3.2 Mô phỏng sự thay đổi của tham số biên độ gây ra do va

chạm nhanh giữa hai sóng vật chất dưới sự ảnh hưởng củanhiễu phi tuyến 583.3.2.1 Sóng với hình dạng ban đầu dạng Hyperbolic 593.3.2.2 Sóng với hình dạng ban đầu dạng Cauchy-Lorentz

(thứ nhất) 623.3.2.3 Sóng với hình dạng ban đầu dạng Cauchy-Lorentz

(thứ hai) 653.3.2.4 Sóng với hình dạng ban đầu dạng hình chữ nhật 683.4 Nhận xét 71

4 Mô hình va chạm nhanh giữa hai sóng quang học trong không gian 2

4.1 Giới thiệu về mô hình va chạm nhanh giữa hai sóng quang họctrong không gian hai chiều với nhiễu suy hao bậc ba 734.2 Mô hình truyền sóng quang học trong không gian hai chiều 74

4.3 Khảo sát tham số biên độ của sóng trong mô hình truyền sóngquang học có nhiễu suy hao bậc ba trong không gian hai chiều 764.3.1 Tham số biên độ của sóng trong mô hình truyền sóng quang

học có nhiễu suy hao bậc ba trong không gian hai chiều 764.3.2 Mô phỏng tham số biên độ của sóng trong mô hình truyền

sóng quang học có nhiễu suy hao bậc ba trong không gianhai chiều 784.3.3 Nhận xét 794.4 Khảo sát sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm nhanh giữahai sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu trong không gian

hai chiều 804.4.1 Sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm nhanh giữa

hai sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu trongkhông gian hai chiều 804.4.2 Mô phỏng sự thay đổi của tham số biên độ gây ra do va

chạm nhanh giữa hai sóng quang học dưới sự ảnh hưởngcủa nhiễu trong không gian hai chiều 834.5 Nhận xét 88

Tôi tên là Nguyễn Đức Hiếu là học viên cao học chuyên ngành Toán Ứng Dụngvới mã số học viên: 1770488 của Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM khóa 2017.Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trình khác đãghi rõ trong luận văn, các công việc trình bày trong luận văn này là do chính tôithực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Minh Quân và tôi hoàn toàn chịutrách nghiệm tính trung thực về đề tài nghiên cứu này.

Đồng Nai ngày 25 tháng 07 năm 2020

Học viên thực hiện

Nguyễn Đức Hiếu

Phương trình truyền sóng tuyến tính và sóng phi tuyến là một lĩnh vực rộnglớn và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như thực tiễn [7] Trong lĩnh vựcnghiên cứu về sóng, khái niệm soliton để chỉ một lớp nghiệm của phương trìnhđạo hàm riêng như Korteweg-de Vries, Schro¨dinger phi tuyến [10], có tính chất

ổn định trong quá trình truyền tải và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnhvực khoa học hiện đại như kỹ thuật truyền tin bằng sóng quang học, các nghiêncứu về sóng nước, sóng cơ học chất lỏng, chất rắn [1] Việc phát hiện và nghiêncứu về soliton được đánh dấu bằng sự kiện John Scott Russell quan sát hiện tượngtruyền sóng ở Edinburgh vào năm năm 1834 [7] Năm 1973, Hasegawa và Tapperttìm ra phương trình truyền sóng trong sợi quang dưới sự tác động của quá trìnhkhuếch tán và quá trình phi tuyến [6] Phương trình sóng phi tuyến này có dạng:

Tuy nhiên, trên thực tế quá trình truyền soliton trong mô hình NLS chịu tác

động của các nhiễu suy hao như sự ảnh hưởng của quá trình tán xạ Raman, dohấp thụ nhiều photon, hay suy hao do va chạm các soliton khác [5] Đã có nhiềunghiên cứu về ảnh hưởng của nhiễu suy hao phi tuyến đến biên độ gây ra do quátrình va chạm giữa hai soliton trong mô hình NLS.

Trong bài báo [4], các tác giả (Chung, Avner Peleg) thiết lập thành công biểu thức

mô tả sự thay đổi tham số biên độ của soliton gây ra do va chạm nhanh giữa haisoliton trong mô hình NLS một chiều dưới ảnh hưởng của nhiễu suy hao do quátrình tán xạ Raman:

∆η (c)

0 = 2η0η βsgn(β)² R. (1)Trong bài báo [11], các tác giả (Avner Peleg, Nguyen M Quan, Chung) công bốkết quả về sự thay đổi tham số biên độ của soliton gây ra do va chạm nhanh giữahai soliton trong mô hình NLS một chiều dưới ảnh hưởng của nhiễu suy hao bậcba:

∆η (c)

0 = −4²3W β (z c−)η0(z c−)η2

β (z c−)/|∆β|. (2)Những biểu thức này được thiết lập dựa trên mối liên quan chặt chẽ đến sự bảotoàn hình dạng và sự truyền tải ổn định của soliton

Tuy nhiên, đối với mô hình truyền sóng tuyến tính mà điển hình là mô hìnhtruyền sóng quang học một chiều:

Trong bài báo [12], các tác giả (Avner Peleg, Quan M Nguyen, Toan T Huynh)thiết lập thành công biểu thức mô tả sự thay đổi tham số biên độ gây ra do vachạm nhanh giữa hai sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao bậc

ba với sóng ban đầu là dạng sóng Gauss trong mô hình truyền sóng quang họcmột chiều:

Như vậy, bài báo [12] đã chứng minh được tính chất tựa soliton trong mô hình

va chạm giữa hai sóng quang học và hai sóng vật chất với sóng ban đầu có dạngsóng Gauss Điều này trái ngược với dự đoán ban đầu của chúng ta về về sự thayđổi biên độ trong va chạm giữa hai sóng tuyến tính Như vậy, bài toán nghiên cứu

sự thay đổi biên độ trong va chạm giữa hai sóng tuyến tính đã có kết quả tronghai mô hình truyền sóng tuyến tính phổ biến là mô hình truyền sóng quang học

và mô hình truyền sóng vật chất với sóng ban đầu có dạng sóng Gauss Tuy nhiên,dạng sóng Gauss được xem là dạng sóng lý tưởng và đẹp trong nghiên cứu các mô

hình truyền sóng tuyến tính Vì vậy, tính phổ quát của sự thay đổi tham số biên

độ gây ra do va chạm nhanh giữa hai sóng trong mô hình truyền sóng tuyến tínhvẫn là vấn đề còn được bỏ ngỏ

Luận văn này sẽ chứng minh tính phổ quát của sự thay đổi biên độ của sóngtrong mô hình truyền sóng tuyến tính bằng cách chứng minh tính phổ quát tronghai mô hình truyền sóng tuyến tính phổ biến là mô hình truyền sóng quang học

và mô hình tải-khuếch tán Mô hình được khảo sát với các điều kiện sóng ban đầukhác nhau thay đổi từ sóng trơn đến sóng kém trơn và sóng không trơn tương ứngvới mô hình sóng có đuôi sóng giảm theo hàm mũ hoặc nhanh hơn hàm mũ, sóng

có đuôi sóng giảm theo nghịch đảo hàm lũy thừa và sóng có dạng hình chữ nhật.Trong [15], các tác giả (Nguyen M Quan, Toan T Huynh) đã nghiên cứu vàthiết lập thành công biểu thức mô tả sự thay đổi tham số biên độ gây ra do vachạm trong mô hình va chạm nhanh giữa hai soliton dưới ảnh hưởng của nhiễusuy hao bậc cao tổng quát trong không gian hai chiều:

Vì vậy, bài toán mở rộng tính tổng quát của sự thay đổi tham số biên độ gây ra do

va chạm nhanh giữa hai sóng tuyến tính trong không gian hai chiều cũng đượcđặt ra và nghiên cứu trong luận văn này Tuy nhiên do tính phức tạp của biểu thứcđối với mô hình trong không gian hai chiều và việc mở rộng mã chương trình từmột chiều lên hai chiều khiến cho thời gian tính toán mất nhiều thời gian nênluận văn sẽ xem xét bài toán này trong mô hình va chạm giữa hai sóng quang họcdưới ảnh hưởng của nhiễu suy hao bậc ba trong không gian hai chiều với sóngban đầu có dạng sóng Gauss Các mô hình khác được các tác giả (Toan T Huynh,Nguyen M Quan) nghiên cứu và trình bày trong [16]

Như vậy, luận văn này trình bày các kết quả bài báo [14] trong mô hình truyềnsóng tuyến tính một chiều, một phần nghiên cứu [16] trong mô hình truyền sóngtuyến tính hai chiều Chúng tôi thực hiện xây dựng mã chương trình Matlab để

mô phỏng các mô hình Công cụ tính toán được sử dụng chủ yếu trong luận

văn là sử dụng phép biến đổi Fourier, kĩ thuật nhiễu tính toán sự ảnh hưởng củanhiễu suy hao đến biên độ của sóng và xây dựng mã chương trình trên phần mềmMatlab dựa trên phương pháp giải số tách bước Fourier.

Bố cục luận văn gồm bốn chương:

Chương 1 Trình bày kiến thức cơ bản trong việc nghiên cứu luận văn gồm phép

biến đổi Fourier, nghiệm phương trình truyền sóng tuyến tính của

mô hình truyền sóng quang học và mô hình tải - khuếch tán, phươngpháp giải số tách bước

Chương 2 Trình bày kết quả về sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm

nhanh giữa hai sóng quang học trong mô hình truyền sóng tuyến tínhdưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba

Chương 3 Trình bày kết quả về sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm

nhanh giữa hai sóng vật chất trong mô hình tải - khuếch tán tuyếntính dưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao tuyến tính và bậc hai

Chương 4 Trình bày kết quả về sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm

nhanh giữa hai sóng quang học trong mô hình truyền sóng tuyến tínhtrong không gian hai chiều dưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao bậcba

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Phép biến đổi Fourier.

Phép biến đổi Fourier là một công cụ giải tích có nhiều ứng dụng trong lĩnhvực về lý thuyết cũng như thực tiễn: giải phương trình vi phân, phương trình đạohàm riêng, xác suất thống kê, vật lý lượng tử

Phép biến đổi Fourier là phép biến đổi trên hàm số, biến hàm số u(x) thànhhàm sốu(k) =b p1

2π

Z +∞

biến đổi Fourier cần thỏa một số điều kiện nhất định [2] Luận văn này nghiêncứu về sóng trong mô hình truyền sóng tuyến tính Do đó, ta chỉ xét một điềukiện để hàm sốu(x)có phép biến đổi Fourier [2]:

Z +∞

−∞ |u(x)|d t < ∞.

Để tránh lặp lại điều kiện để hàm số có phép biến đổi Fourier, nếu không chúthích gì thêm ta hiểu các hàm số đang xét trong luận văn đều có phép biến đổiFourier

Định nghĩa 1.1.1 Phép biển đổi Fourier của hàm sốu(x)là hàm sốu(k)b kí hiệu

F [u(x)]được định nghĩa bằng biểu thức:

F −1 [u(k)]b được định nghĩa bằng biểu thức:

Định lý 1.1.3 Biến đổi Fourier có tính chất tuyến tính với hàm số u(x) , v(x) và a, b

Dấu=thứ ba dou(x) → 0khix → ±∞

Hệ quả 1.1.5 Hàm số u(x) có đạo hàm đến cấp n Nếu u(x) → 0 khi x → ±∞ ,

u (m) (x) → 0 khi x → ±∞ với 1 ≤ m ≤ n − 1 Khi đó:

F [u (n) (x)] = (i k) n F [u(x)]. (1.2)

Chứng minh Áp dụng định lý (1.1.4), ta có:

F [u (n)

(x)] = (i k)F [u (n−1) (x)] = (i k)2F [u (n−2) (x)] = = (i k) n F [u(x)].

Định nghĩa 1.1.6 Tích chập của hàm sốu(x)vàv(x)là một hàm số kí hiệuu(x)∗v(x)

được định nghĩa bằng biểu thức:

Chọnv(x) = u(−x)∗vớiu(−x)∗là số phức liên hợp củau(−x) Khi đó:

Định lý 1.2.1 Xét phương trình đạo hàm riêng:

i ∂ z ψ + id1∂ t ψ − sgn(β∼2 )∂2

với điều kiện ban đầu ψ(t,0) và d1 ,β2là các tham số thực.

Nghiệm của phương trình (1.9) có dạng:

Chứng minh Ta viết lại phương trình (1.9) dưới dạng:

Dấu=thứ ba trong (1.15) do công thứcR +∞

−∞ exp£i (ax 2+ bx)¤ d x = exp(−ib2/4a)p

i π/a

nghiệm của phương trình (1.9):

Nghiệm của phương trình (1.9) có tính chất bảo toàn năng lượng

Định lý 1.2.2 Với ψ(t,z) là nghiệm của phương trình (1.9) Khi đó:

Z +∞

−∞ |ψ(t , z)|2d t =

Z +∞

−∞ |ψ(t , 0)|2d t (1.16)

Chứng minh Áp dụng công thức Parseval, ta có:

1.3 Nghiệm của phương trình tải - khuếch tán tuyến tính.

Phương trình tải - khuếch tán tuyến tính của sóng vật chất có dạng:

∂ t u = ∂2x u − v d ∂ x u,

vớiv d là tham số thực

Đây là mô hình truyền sóng tuyến tính mà ta xem xét ở chương 3 Khảo sátnghiệm của phương trình này, ta thấy được sự thay đổi biên độ của sóng vật chấtkhi không có sự ảnh hưởng của nhiễu Công thức nghiệm của phương trình là cơ

sở của phương pháp nhiễu trong việc tính toán sự thay đổi tham số biên độ củasóng vật chất trong mô hình tải - khuếch tán tuyến tính có nhiễu và mô hình vachạm giữa hai sóng vật chất có nhiễu

Định lý 1.3.1 Xét phương trình đạo hàm riêng:

với điều kiện ban đầu u(x, 0) và v d là tham số thực.

Nghiệm của phương trình (1.18) có dạng:

Giải phương trình (1.20):

b

Áp dụng định lý (1.1.7), nghiệm của phương trình (1.18) được viết dưới dạng:

Dấu= thứ ba trong (1.23) do công thức R +∞

−∞ exp(−ax2+ bx)d x = exp(b2/4a)p

π/a

vớia, blà các số thực vàa > 0

nghiệm tổng quát của phương trình (1.18):

Nghiệm của phương trình (1.18) có tính chất bảo toàn khối lượng

Định lý 1.3.2 Với u(x, t ) là nghiệm của phương trình (1.18) và u(x, t ) là hàm sóng

có đuôi sóng phân rã nhanh Khi đó:

1.4 Phương pháp giải số tách bước.

Phương pháp giải số tách bước áp dụng tốt cho phương trình có dạng:

trong đóN,L lần lượt là toán tử tuyến tính và toán tử phi tuyến

Giả sử toán tửN vàL độc lập với thời giant, nghiệm của phương trình (1.26) códạng:

trong đó∆t là bước thời gian

Phương trình tuyến tínhϕ t = L ϕvà phương trình phi tuyếnϕ t = N ϕcó nghiệmlần lượt là:

tửexp [∆t(L + N )]thành dãy là tích các toán tử mũ dạngexp(∆tL )vàexp(∆tN ):

exp [∆t(L + N )] = exp(β n ∆tN )exp(α n ∆tL ) exp(β1∆tN )exp(α1∆tL ), (1.30)với các hệ sốβ n,α n, ,β1 ,α1là các số thực

Các hệ số β n,α n, ,β1 ,α1 được chọn sao cho sai số của việc sử dụng phươngpháp tách bước giảm xuống nhỏ nhất Việc này được tính dựa trên khai triểnBaker-Campbell-Hausdorf [18]

Theo Yang [17], ta xét các xấp xỉ bậc1, bậc 2 và bậc 4 của phương pháp táchbước

Dạng bậc1, toán tửexp [∆t(L + N )]được xấp xỉ thành:

ϕ1 (∆t) = exp(∆tN )exp(∆tL ). (1.31)

Sử dụng dạng bậc1của phương pháp tách bước, ta thực hiện qua hai bước:

Bước 1: Tìm nghiệm trung gian, nghiệm này được tính bằng công thức nghiệm ở

phương trình tuyến tính (1.28)

Bước 2: Sử dụng nghiệm trung gian để làm điều kiện ban đầu và sau đó áp dụng

công thức giải nghiệm phương trình phi tuyến (1.29) Kết quả thu được

là nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.26)

Dạng bậc2, toán tửexp [∆t(L + N )]được xấp xỉ thành:

ϕ2 (∆t) = exp(0.5∆tL )exp(∆tN )exp(0.5∆tL ). (1.32)Dạng bậc4, toán tửexp [∆t(L + N )]được xấp xỉ thành:

ϕ4 (∆t) = ϕ2 (ω∆t)ϕ2[(1 − 2ω)∆t]ϕ2 (ω∆t), (1.33)vớiω = (2 + 21/3 + 2−1/3)/3

Nếu ta khai triển (1.33) dưới dạng (1.30), các hệ sốβ4 ,α4 , ,β1 ,α1được xác định:

∆z

∆t2 < 1

π.

Mô hình va chạm nhanh giữa hai sóng quang học dưới sự ảnh

hưởng nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba

2.1 Giới thiệu về mô hình va chạm nhanh giữa hai sóng quang học

với nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba.

Mô hình động lực của va chạm nhanh giữa hai sóng quang học trong ốngquang dẫn với nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba [14]:

i ∂ z ψ1 −sgn(β∼2 )∂2

t ψ1= −i ²1ψ1− i ²3|ψ1 |2ψ1− 2i ²3|ψ2 |2ψ1 , (2.1)

i ∂ z ψ2+ i d1∂ t ψ2 −sgn(β∼2 )∂2

t ψ2= −i ²1ψ2− i ²3|ψ2 |2ψ2− 2i ²3|ψ1 |2ψ2 , (2.2)trong đóψ1vàψ2là sóng 1 và sóng 2,z là khoảng cách truyền sóng,t là thời gian,

d1là hệ số vận tốc nhóm,β∼2là hệ số khuếch tán bậc hai,²1và²3 là hệ số suy haotuyến tính và bậc ba thỏa điều kiện0 < ²1<< 1và0 < ²3<< 1

Số hạng−sgn(β∼2 )∂2

t ψ1 , −sgn(β∼2 )∂2

t ψ2mô tả quá trình khuếch tán, số hạngi d1∂ t ψ2

mô tả sự chêch lệch vận tốc nhóm giữa hai sóng Số hạng−i ²1ψ1,−i ²1ψ2 mô tảảnh hưởng của nhiễu suy hao tuyến tính lên bản thân sóng, các số hạng còn lại

ở vế phải phương trình (2.1), (2.2) mô tả ảnh hưởng của nhiễu suy hao bậc ba lênbản thân sóng và của va chạm lên bản thân sóng

Ta xét mô hình này dưới giả định ảnh hưởng của quá trình phi tuyến là yếunhư vậy các số hạng mô tả ảnh hưởng phi tuyến bị lược bỏ Hơn nữa, ta giả địnhảnh hưởng của suy hao bậc cao là yếu, do đó ta lược bỏ các số hạng có bậc caohơn bậc của²1, ²3 Tuy nhiên, ảnh hưởng của suy hao bậc cao tổng quát đối với

tham số biên độ của sóng có thể tính toán với cách thức tương tự được thực hiện

ở chương 2, các kết quả này được tác giả (Quan M Nguyen) công bố trong [13].Giả định sóng được đặc trưng bởi hình dạng ban đầu qua các tham số biên độban đầu A j(0), độ rộng ban đầuW j 0, vị trí ban đầu y j 0 và pha ban đầuα j 0 Môhình được xét trong trường hợp sóng có đuôi sóng phân rã nhanh, hai sóng cóchung hình dạng ban đầu, nghĩa làW10= W20, A1(0) = A2 (0),α10= α20 và va chạmgiữa hai sóng là va chạm nhanh Như vậy, giá trị tích phânR +∞

−∞ d t |ψ j (t , 0)|2là hữuhạn

Ta chứng minh tính phổ quát của sự thay đổi tham số biên độ của sóng gây ra

do va chạm bằng việc xét ba hình dạng ban đầu của sóng: sóng ban đầu có đuôisóng giảm theo hàm mũ hoặc nhanh hơn hàm mũ, sóng ban đầu có đuôi sónggiảm theo nghịch đảo hàm lũy thừa và sóng ban đầu không trơn Tương ứng vớicác trường hợp:

1 Sóng với hình dạng ban đầu dạng hyperbolic:

2.2 Khảo sát tham số biên độ trong mô hình truyền sóng quang học

với nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba.

với nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba.

Mô hình động lực của sự truyền sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễusuy hao tuyến tính và bậc ba được mô tả bởi các phương trình:

i ∂ z ψ1 −sgn(β∼2 )∂2

t ψ1= −i ²1ψ1− i ²3|ψ1 |2ψ1 , (2.3)

i ∂ z ψ2+ i d1∂ t ψ2 −sgn(β∼2 )∂2

t ψ2= −i ²1ψ2− i ²3|ψ2 |2ψ2 , (2.4)với điều kiện ban đầuψ1(t , 0), ψ2(t , 0)

Ta chỉ khảo sát phương trình (2.4), phương trình (2.3) là trường hợp đặc biệtcủa phương trình (2.4) vớid1= 0 Như vậy, mô hình động lực của sự truyền sóngquang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba có dạng:

i ∂ z ψ + id1∂ t ψ −sgn(β∼2 )∂2

với điều kiện ban đầuψ(t,0)

Ta xác định phương trình cân bằng năng lượng của (2.5) bằng cách:

Nhân hai vế phương trình (2.5) vớiψ∗:

i ψ∗∂ z ψ + id1ψ∗∂ t ψ −sgn³β∼2

´

ψ∗∂2

t ψ = −i²1|ψ|2− i ²3|ψ|4. (2.6)Liên hợp hai vế của phương trình (2.6):

−i ψ∂ z ψ∗− i d1ψ∂ t ψ∗ −sgn³β∼2

´

ψ∂2

t ψ∗= i ²1|ψ|2+ i ²3|ψ|4. (2.7)Lấy phương trình (2.6) trừ phương trình (2.7):

i ∂ z |ψ|2+ i d1∂ t |ψ|2−sgn³β∼2

´ ∂

∂t(ψ t ψ∗− ψψ∗t ) = −2i ²1|ψ|2− 2i ²3|ψ|4. (2.8)Lấy tích phânR +∞

Đây là phương trình cân bằng năng lượng của (2.5).

Giả sử²3 = 0 Khi đó, nghiệm của phương trình (2.5) có dạng:

Thật vậy, ta thay (2.10) vào vế trái phương trình (2.5):

vớiΨ(t,z)∼ ,χ(t,z)là các hàm thực vàψ(t,z) =∼ Ψ(t,z)exp[iχ(t,z)]∼ là nghiệm của môhình truyền sóng quang học có biên độ ban đầu bằng1, A(z)là tham số biên độcủa sóng trong mô hình truyền sóng quang học có nhiễu

Thay (2.11) vào phương trình cân bằng năng lượng (2.9):

d

d z [I2(z)A

2

(z)] = −2²1I2(z)A2(z) − 2²3I4(z)A4(z), (2.12)với

I4(z) =

Z +∞

−∞

d tΨ∼4(t , z). (2.14)Dấu=thứ hai ở biểu thức (2.13) do tính chất bảo toàn năng lượng của mô hìnhtruyền sóng tuyến tính

Phương trình (2.12) viết lại dưới dạng:

dưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao phi tuyến.

Ta kiểm tra công thức dự đoán (2.16) mô tả tham số biên độ trong mô hìnhtruyền sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao tuyến tính và bậc

ba Các tham số được chọn trong mô hình với giá trị nhiễu suy hao tuyến tính vàbậc ba²1= ²3 = 0.01và sgn(β∼2) = 1, sóng với biên độ ban đầuA(0) = 1, độ rộng banđầuW0 = 4, vị trí ban đầuy0 = 0, pha ban đầuα0 = 0và hệ số vận tốc nhómd1 = 15

Mô hình được mô phỏng trên đoạn từz = 0đếnz = 4

Công thức (2.16) được kiểm tra trong bốn trường hợp với ba điều kiện sóngban đầu khác nhau gồm: dạng sóng Hyperbolic, dạng sóng Cauchy-Lorentz vàdạng sóng hình chữ nhật Kết quả tính bằng công thức dự đoán (2.16) được sosánh với kết quả giải số phương trình (2.5) bằng phương pháp tách bước Fouriervới điều kiện biên tuần hoàn Trong mỗi trường hợp khác nhau, ta vẽ đồ thị của

A (t h) (z)xác định ở công thức (2.16) vàA (num) (z)xác định bằng việc giải số phương

trình (2.5) Công thức dự đoán (2.16) được đánh giá bằng sai số tương đối E =

1

(d)

Hình 2.1: Tham số biên độ trong mô hình truyền sóng quang học có nhiễu phi tuyến với sóng có hình dạng ban đầu Hyperbolic (a), Cauchy-Lorentz (thứ nhất) (b) , Cauchy-Lorentz (thứ hai)(c) và hình chữ nhật (d) Đường màu xanh mô phỏng kết quả giải số của tham số biên độ trong phương trình (2.5), chấm màu đỏ mô phỏng kết quả của tham số biên độ trong công thức (2.16).

Hình 2.1, mô phỏng tham số biên độ bằng giải số phương trình (2.5) và bằngcông thức (2.16) Kết quả được xác định ở bảng A.1, A.2, A.3, A.4 Sai số tương đốicủa công thức (2.16) nhỏ hơn0.02%khi xét cả bốn trường hợp là rất tốt Như vậy,công thức (2.16) thiết lập với giả định nhiễu²3 chỉ ảnh hưởng đến biên độ là phùhợp trong mô hình truyền sóng quang học có nhiễu phi tuyến

Qua mô phỏng về tham số biên độ của sóng trong mô hình truyền sóng quanghọc có nhiễu phi tuyến Ta nhận thấy rằng dưới sự tác động của nhiễu suy haotuyến tính và bậc ba, tham số biên độ của giảm dần Tuy nhiên sự thay đổi của

tham số biên độ là rất nhỏ, trong đoạn từz = 0 đếnz = 4 tham số biên độ giảmchưa đến6%.

Công thức (2.16) với sai số tương đối nhỏ hơn0.02% là rất tốt, do đó ta có thể

sử dụng công thức (2.16) trong việc xác định tham số biên độ của sóng trong môhình truyền sóng quang học có nhiễu Đây là công thức quan trọng trong việc giải

số cũng như xác định sự thay đổi của tham số biên độ gây ra do va chạm nhanhcủa sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao tuyến tính và bậc bađược thực hiện trong mục 2.3

2.3 Khảo sát sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm nhanh

giữa hai quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu phi tuyến.

sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu phi tuyến.

Mô hình động lực về va chạm nhanh giữa hai sóng quang học trong ống quangdẫn với nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba được mô tả qua phương trình (2.1),(2.2)[14]:

z = z c và sau đó tách rời nhau tạiz = z f Ta định nghĩa độ dài va chạm∆z c = W0/|d1 |

là khoảng cách từ lúc bắt đầu va chạm đến lúc hai sóng trùng lên nhau, như vậy

va chạm xảy ra trên đoạn[z c −∆z c ; z c +∆z c] Điều kiện để xảy ra va chạm nhanh là

W0|d1 |/2 >> 1[14]

Ta tìm nghiệm của phương trình dưới dạng:

ψ j (t , z) = ψ j 0 (t , z) + φ j (t , z)với j = 1,2, (2.18)trong đóψ j 0 là nghiệm của phương trình (2.3), (2.4) trong mô hình truyền sóngquang học có nhiễu phi tuyến vàφ j là số hạng mô tả ảnh hưởng của va chạm lênbản thân sóng

Như vậyψ10 ,ψ20là nghiệm của phương trình:

i ∂ z ψ10 −sgn(β∼2 )∂2

t ψ10= i ²1ψ10− i ²3|ψ10 |2ψ10 , (2.19)và

phải phương trình (2.21) và chú ý rằngψ10 là nghiệm của phương trình (2.19), tathu được:

φ1 = Φ 1(t , z) exp[i χ10(t , z)], (2.24)vớiΨj 0 (t , z),χ j 0 (t , z),Φ 1(t , z)là các hàm thực

Thay các số hạng (2.23), (2.24) vào (2.22), ta được phương trình theoΦ 1:

20 Ψ 10, ta tìm được bậc củaΦ 1 là²3/|d1 | Như vậy, vế trái củaphương trình (2.25) các số hạng trừi ∂ zΦ 1 đều có bậc²3/|d1 |hoặc cao hơn do đó

ta loại bỏ những số hạng đó và thu được phương trình:

A j (z)Ψ∼j 0 (t , z)với ψ∼j 0 (t , z) =Ψ∼j 0 (t , z) exp[i χ j 0 (t , z)] là nghiệm của mô hình truyền

sóng quang học với biên độ sóng ban đầu bằng1và A j (z)là tham số biên độ củasóng j trong mô hình truyền sóng quang học có nhiễu.

Ta thayΨj 0 (t , z) = A j (z)Ψ∼j 0 (t , z)vào phương trình (2.26) và lấy tích phân trên đoạn

số(t − d1z)biến đổi nhanh theo z Ta xấp xỉ tích phân (2.27) bằng cách chỉ quantâm đến những hệ số biến đổi nhanh trongΨ∼10(t , z)vàΨ∼20(t , z) Do đó, ta xấp xỉ

∼

Ψ 10(t , z0)trong biểu thức (2.27) bởiΨ∼10(t , z c) Số hạngΨ∼20(t , z0)xấp xỉ bởiΨ_10(y, z c)

vớiy = t − d1z0 Như vậy:

Do đây là va chạm nhanh nên thân sóng tập trung hầu hết trên đoạn[z c −∆z c ; z c+

∆z c], ta mở rộng tích phân lên từ−∞đến+∞và thực hiện đổi biếny = t −d1z0thuđược biểu thức:

Ta thiết lập biểu thức về mối liên hệ giữa sự thay đổi tham số biên độ của sóng

1 gây ra do va chạm nhanh ∆A (c)

1 và sự thay đổi của sóng 1 gây ra do va chạmnhanh tạiz c:∆Φ 1(t , z c) Biểu thức này có dạng:

va chạm xảy ra tại z = z c có sự thay đổi năng lượng đột ngột trong sóng 1 haynói cách khác giá trịR +∞

−∞ d t |ψ1(t , z)|2 bị thay đổi đột ngột tạiz = z c Vì vậy, giá trị

1 Từ đó, ta thu đượcbiểu thức (2.30)

Trước khi va chạm xảy ra, sóngψ1cũng chính làψ10nên:

1 là giá trị mô tả sự thay đổi tham số biên độ do bản thân sóng 1 gây ra.LấyR +∞

−∞ d t biểu thức (2.33), ta thu được:

Từ ba biểu thức (2.31), (2.32), (2.35), biểu thức tính∆P dựa vào∆Φ 1(t , z c)có dạng:

1 và sự thay đổi sóng 1 gây ra do va chạm nhanh giữa hai sóng tại

Biểu thức (2.40) được viết lại thành:

và sự va chạm giữa hai sóng là nhanh do đó năng lượng của sóng tập trung phầnlớn trên đoạn[z c − ∆z c ; z c + ∆z c]khi hai sóng trùng nhau, điều này giúp cho cácxấp xỉ của ta có hiệu lực Phần tiếp theo, ta sẽ mô phỏng mô hình này để thấyrằng giả định của ta nhằm thiết lập biểu thức (2.41) là tốt

giữa hai sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu phi tuyến.

Ta kiểm tra công thức dự đoán (2.41) mô tả sự thay đổi tham số biên độ gây

ra do va chạm nhanh giữa hai sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu phituyến Các tham số được chọn trong mô hình với giá trị nhiễu suy hao tuyến tính

và bậc ba ²1= ²3 = 0.01và sgn(β∼2) = 1, sóng với biên độ đầu A1(0) = A2 (0) = 1, độrộng ban đầuW10= W20 = 4, pha ban đầuα10= α20 = 0và sóng 1 có vị trí ban đầutại y10 = 0, sóng 2 có vị trí ban đầuy20 Giá trịz f được chọn thỏa mãn điều kiệnhai sóng ban đầu tách rời nhau tạiz = 0, trùng lên nhau tại z = z c = |y20|/|d1 | vàtách rời nhau tạiz = z f

Công thức dự đoán (2.41) được kiểm tra trong bốn trường hợp với ba điều kiệnsóng ban đầu khác nhau gồm: dạng sóng hyperbolic, dạng sóng Cauchy-Lorentz

và sóng hình chữ nhật Kết quả xác định từ công thức (2.41) được so sánh với kếtquả giải số phương trình (2.1), (2.2) bằng phương pháp tách bước Fourier với điềukiện biên tuần hoàn

Công thức dự đoán (2.41) được kiểm tra trong mối liên hệ với tham sốd1, giá trị

d1được chọn hàng loạt trong đoạn−60 ≤ d1 ≤ −2và2 ≤ d1 ≤ 60 Trong mỗi trườnghợp khác nhau, ta đều vẽ đồ thị liên hệ sự phụ thuộc của∆A (c)

1 với vận tốc nhóm

d1 Kết quả từ công thức (2.41) được so sánh với kết quả giải số phương trình (2.1),(2.2) và đánh giá qua sai số tương đốiE = |∆A (c)(t h)1 − ∆A (c)(num)1 | × 100%/|∆A (c)(t h)1 |

Các biểu thức (2.43), (2.44) được suy ra từ phương trình vi phân (2.15) vớiI21,∼I41

xác định bởi biểu thức (2.13), (2.17) Giá trịA1(z f)nhận được từ việc giải số

2.3.2.1 Sóng với hình dạng ban đầu dạng Hyperbolic

Sóng với hình dạng ban đầu dạng hyperbolic thỏa mãn điều kiện:

0 1 2 3 4 0.92

0.94 0.96 0.98 1

Hình 2.2: Mô phỏng tham số biên độ trong trường hợp sóng ban đầu có dạng Hyperbolic Đường màu xanh mô phỏng tham số biên độ của sóngψ10(t , z)trong mô hình truyền sóng quang học có nhiễu Đường màu đỏ mô phỏng tham số biên độ của sóngψ1(t , z)trong mô hình va chạm nhanh giữa hai sóng quang học có nhiễu.

Hình 2.2, mô phỏng kết quả giải số của tham số biên độ trong mô hình truyềnsóng quang học có nhiễu và mô hình va chạm nhanh giữa hai sóng quang học

có nhiễu, nhận thấy rằng có sự thay đổi biên độ đột ngột tạiz c = |y20|/|d1 | ≈ 1.667.Sau khi va chạm hoàn tất, tham số biên độ của sóng thay đổi tương tự trong môhình truyền sóng quang học có nhiễu điều này phù hợp với giả định về sự haohụt năng lượng do va chạm giữa hai sóng tạiz c

Hình 2.3: Kết quả giải số|ψ j (t , z)|trong mô hình va chạm nhanh giữa hai sóng quang học có nhiễu với sóng ban đầu dạng Hyperbolic Sóng 1 có vị trí ban đầuy10= 0 , sóng 2 có vị trí ban đầuy20= −25 và vận tốc nhómd1= 15

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

1.4

(b)

-60 -40 -20 0 20 40 60 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

1.4

(c)

Hình 2.4: Biên độ sóng|ψ j (t , z)|tạiz = 0(a),z = z i > z c(b),z = z f (c) trong mô hình va chạm nhanh giữa hai sóng quang học có nhiễu với hệ sốd1= 15 trong trường hợp sóng ban đầu dạng Hyperbolic Đường màu đỏ mô phỏng biên độ sóng 1|ψ1(t , z)|và đường màu xanh mô phỏng biên độ sóng 2|ψ2(t , z)|.

Hình 2.3, 2.4 mô phỏng kết quả giải số của mô hình va chạm nhanh giữa haisóng quang học có nhiễu Kết quả nhận được từ giải số giống với dự đoán banđầu về sự va chạm nhanh giữa hai sóng quang học

-60 -40 -20 0 20 40 60 -0.05

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0

Hình 2.5: Mối liên hệ giữa∆A (c)

1 với hệ sốd1trong trường hợp sóng ban đầu có dạng Hyperbolic Đường màu xanh mô phỏng kết quả lý thuyết xác định bởi biểu thức (2.46) Chấm màu đỏ mô phỏng kết quả giải

số xác định ở biểu thức (2.42).