ĐỘNG lực BIÊN độ của SÓNG TRONG VA CHẠM của SÓNG TUYẾN TÍNH có NHIỄU PHI TUYẾN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ————————————— NGUYỄN ĐỨC HIẾU ĐỘNG LỰC BIÊN ĐỘ CỦA SĨNG TRONG VA CHẠM CỦA SĨNG TUYẾN TÍNH CĨ NHIỄU PHI TUYẾN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP Hồ Chí Minh - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ————————————— NGUYỄN ĐỨC HIẾU ĐỘNG LỰC BIÊN ĐỘ CỦA SÓNG TRONG VA CHẠM CỦA SĨNG TUYẾN TÍNH CĨ NHIỄU PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LỜI CẢM ƠN Luận văn xuất phát từ kết nghiên cứu [1] Avner Peleg, Huỳnh Thanh Toàn thầy hướng dẫn luận văn tiến sĩ Nguyễn Minh Quân Ngay từ ban đầu làm luận văn, giúp đỡ nhiệt tình từ thầy, thầy hướng dẫn tơi, bảo cung cấp tài liệu tham khảo chi tiết dành nhiều thời gian để giảng dạy phê bình lỗi sai tơi Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn thầy Tơi xin gửi lời cảm ơn đến anh Huỳnh Thanh Toàn, hỗ trợ có nhiều nhận xét để luận văn hồn thiện Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy, cô Hội đồng chấm Luận văn Thạc sĩ trường Đại học Bách Khoa dành nhiều lời nhận xét, đánh giá để luận văn đầy đủ xác Tôi cám ơn trường đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh, thầy mơn Tốn ứng dụng bảo tơi q trình học tập trường Tơi bày tỏ lịng biết ơn bạn học khóa 2018 giúp đỡ động viên tơi q trình học tập, đặc biệt bạn Ân, bạn giúp có hội gặp thầy Qn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình tơi Gia đình ln động viên hỗ trợ học tập nghiên cứu tạo điều kiện thuận lợi cho thực luận văn Long Thành, Đồng Nai, năm 2020 Nguyễn Đức Hiếu MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phép biến đổi Fourier 1.1.1 Phép biến đổi Fourier phép 1.1.1.1 1.1.1.2 1.2 Nghiệm phương trình truyền só 1.3 Nghiệm phương trình tải - khuế nhiễu 1.4 Phương pháp giải số tách bước Mơ hình truyền sóng tuyến tính va chạm nhanh hai sóng với nhiễu suy hao tuyến tính bậc ba 2.1 Giới thiệu mơ hình truyền sóng tu hai sóng 2.2 Khảo sát thay đổi tham số b 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 Khảo sát thay đổi tham số biên độ sóng gây va chạm nhanh hai sóng tuyến tính 2.3.1 2.3.2 2.4 Nhận xét Mơ hình tải khuếch tán tuyến tính va chạm nhanh hai sóng với nhiễu suy hao bậc bậc hai 3.1 Giới thiệu mơ hình tải - khuếch tan tuyến tính va chạm nhanh hai sóng 3.2 Khảo sát thay đổi tham số biên độ sóng mơ hình tải - khuếch tán khơng có va chạm 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 Khảo sát thay đổi tham số biên độ sóng mơ hình tải - khuếch tán gây va chạm nhanh hai sóng vật chất 3.3.1 3.3.2 3.4 Nhận xét Mơ hình va chạm nhanh hai sóng tuyến tính khơng gian chiều với nhiễu suy hao tuyến tính bậc ba 4.1 Giới thiệu mơ hình va chạm nhanh hai sóng tuyến tính khơng gian hai chiều với nhiễu suy hao bậc ba 97 4.2 Nghiệm phương trình truyền sóng tuyến tính khơng gian hai chiều 98 4.3 Mô thay đổi tham số biên độ ảnh hưởng nhiễu suy hao bậc ba 99 4.3.1 Sự thay đổi tham số biên độ ảnh hưởng nhiễu suy hao bậc ba 99 4.3.2 Mô thay đổi tham số biên độ ảnh hưởng nhiễu suy hao bậc ba 101 4.4 Mô thay đổi tham số biên độ gây va chạm ảnh hưởng nhiễu suy hao bậc ba 103 4.4.1 Mô thay đổi tham số biên độ gây va chạm nhanh hai sóng tuyến tính 106 Danh sách hình vẽ 2.1 Tham số biên độ sóng với sóng có hình dạng ban đầu Hyperbolic (a), Cauchy-Lorentz (thứ nhất) (b) , Cauchy-Lorentz (thứ hai)(c) hình chữ nhật (c) mơ hình (2.5) Đường màu xanh mơ kết giải số tham số biên độ dựa phương trình (2.5), chấm màu đỏ mơ kết tham số biên độ dựa công thức (2.16) 37 2.2 Đường màu xanh mô tham số biên độ sóng ˆ1(t, z) mơ hình khơng có va chạm giải số phương trình (2.3) với sóng ban đầu dạng Hyperbolic Đường màu đỏ mô tham số biên độ sóng ˆ1(t, z) mơ hình có va chạm nhanh hai sóng giải số phương trình (2.1) 47 2.3 Kết giải số ˆj (t, z) mơ hình với sóng ban đầu dạng Hyperbolic Sóng có vị trí ban đâu y10 ˘ 0, sóng có vị trí ban đầu y 20 ˘ ¡25 vận tốc nhóm d1 ˘ 15 48 2.4 Sóng ˆj (t, z) z ˘ (a), z ˘ zi (b), z ˘ z f (c) mơ hình va chạm nhanh hai sóng tuyến tính giải số phương trình (2.1) (2.2) với hệ số d ˘ 15 trường hợp sóng ban đầu dạng Hyper-bolic Đường màu đỏ mơ sóng thứ ˆ1(t, z) đường màu xanh mơ sóng thứ hai ˆ2(t, z) 49 2.5 Mối liên hệ tham số biên độ sóng gây va chạm nhanh hai sóng mơ tả phương trình (2.1) (2.2) so với hệ số d1 với sóng ban đầu có dạng Hyperbolic Đường màu xanh mô kết lý thuyết xác định biểu thức (2.42) Chấm màu đỏ mô kết giải số xác định biểu thức (2.38) 49 2.6 Đường màu xanh mô tham số biên độ sóng ˆ1(t, z) mơ hình khơng có va chạm giải số phương trình (2.3) với sóng có hình dạng ban đầu dạng Cauchy-Lorentz (thứ nhất) Đường màu đỏ thể tham số biên độ sóng ˆ1(t, z) mơ hình có va chạm nhanh hai sóng giải số phương trình (2.1) 52 2.7 Kết giải số ˆj (t, z) mơ hình với sóng ban đầu dạng Cauchy-Lorent (thứ nhất) Sóng có vị trí ban đâu y10 ˘ 0, sóng có vị trí ban đầu y20 ˘ ¡20 vận tốc nhóm d1 ˘ 15 53 2.8 Sóng ˆj (t, z) z ˘ (a), z ˘ zi (b), z ˘ z f (c) mơ hình va chạm nhanh hai sóng tuyến tính giải số phương trình (2.1) (2.2) với hệ số d ˘ 15 với sóng ban đầu dạng Cauchy-Lorentz (thứ nhất) Đường màu đỏ mơ sóng thứ ˆ1(t, z) đường màu xanh mơ sóng thứ hai ˆ2(t, z) 53 2.9 Sự thay đổi tham số biên độ sóng gây va chạm nhanh hai sóng mơ phương trình (2.1) (2.2) trường hợp sóng ban đầu dạng Cauchy-Lorentz (thứ nhất) Đường màu xanh mô kết lý thuyết xác định biểu thức (2.44) Chấm màu đỏ mô kết giải số xác định biểu thức (2.38) 54 2.10 Đường màu xanh mô tham số biên độ s mơ hình khơng có va chạm giải số phương trình ban đầu dạng Cauchy-Lorentz (thứ hai) Đường mà tham số biên độ sóng ˆ1(t, z) mơ hình có s nhanh hai sóng giải số phương trình (2.1) 2.11 Kết giải số ˆj (t, z) mơ hình với sóng ban Cauchy-Lorent (thứ hai) Sóng có vị trí ban đâu y có vị trí ban đầu y20 ˘ ¡20 vận tốc nhóm d1 ˘ 15 2.12 Sóng ˆj (t, z) z ˘ (a), z ˘ zi (b), z ˘ z f (c) mô chạm nhanh hai sóng tuyến tính giải phươ (2.2) với hệ số d ˘ 15 với sóng ban đầu dạng Cauch hai) Đường màu đỏ mơ sóng thứ ˆ1(t, z xanh mơ sóng thứ hai ˆ2(t, z) 2.13 Sự thay đổi tham số biên độ sóng gây nhanh hai sóng mơ tả phương trình trường hợp sóng ban đầu dạng Cauchy-Lore Đường màu xanh mô kết lý thuyết xác đ thức (2.46) Chấm màu đỏ mô kết giải s biểu thức (2.38) 2.14 Đường màu xanh mơ tham số biên độ s mơ hình khơng có va chạm giải số phương trình ban đầu dạng hình chữ nhật Đường màu đỏ mơ ph biên độ sóng ˆ1t, z mơ hình có va chạm hai sóng giải số phương trình (2.1) 2.15 Kết giải số ˆj (t, z) mô hình với sóng ban chữ nhật Sóng có vị trí ban đâu y10 ˘ 0, sóng có y20 ˘ ¡6 vận tốc nhóm d1 ˘ 15 10 ⁄ Nhân (4.10) với ˆ : ⁄ i ˆ@ ˆ (4.11) z Liên hợp phương trình (4.11): (4.12) ⁄ ~ ¡i ˆ@z ˆ ¡i d ˆr?ˆ ⁄ Lấy phương trình (4.11) trừ phương trình (4.12): ˆ i@ z j j (4.13) tíc h ph ân R L ¡1 ¯1 R ¡1 ¯1 d xd y biể u thứ c (4 13) , Tương tự chương chương 3, ta giả định nhiễu suy hao bậc ba †3 ảnh hưởng đến biên độ sóng Do đó, ta xấp xỉ nghiệm phương trình (4.10) dạng ch úý rằn gˆ hà m só ng với sóng phân rã nhanh ˆj@R2 ˘ 0, ˆx j@R2 ˘ ˆy j@R2 ˘ 0: Z Z ¯1 Z ¯1 (ˆ⁄¢?ˆ ¡ˆ¢?ˆ⁄)d xd y ˘ Z Z ¯1 ¯1 ¡1 ¡1 I h i ˘ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ (ˆ ˆ ¡ˆˆ )d x ¡(ˆ ˆ ¡ˆˆ )d y x @R x y y ˘ Ta thu phương trình cân lượng (4.10): @z Z » ˆ(x, y, z) ˘ A(z)“(x, y, z) exp(¡ » » với ˆ(x, y, z) ˘ “(x, y, z) exp(¡i •z) nghiệm phương trình (4.5) mơ hình truyền sóng tuyến tính khơng gian chiều với biên độ sóng ban đầu » Trong trường hợp sóng ban đầu có dạng sóng Gauss, “(x, y, z) xác định bởi: h » “ (x, y, z) ˘ exp ¡ 100 Thay (4.15) vào (4.14): với I2(z) ˘ Z I4(z) ˘ Z Dấu ˘ thứ hai biểu thức (4.17) tính chất bảo tồn lượng sóng tuyến tính Phương trình (4.16) viết lại dạng: d dz A Giải phương trình (4.19) với điều kiện ban đầu A(0), ta được: A(z) ˘ h với » Như vậy, ta xác định biểu thức (4.21) mô tả thay đổi tham số biên độ tác động nhiễu suy hao bậc ba mơ hình khơng có va chạm Công thức (4.21) thu giả định nhiễu suy hao bậc ba †3 ảnh hưởng đến biên độ sóng, phần ta mơ mơ hình để thấy giả định ta tốt 4.3.2 Mô thay đổi tham số biên độ ảnh hưởng nhiễu suy hao bậc ba Để kiểm tra cơng thức dự đốn (4.21) thay đổi tham số biên độ mơ hình truyền sóng tuyến tính có nhiễu suy hao bậc ba, ta chọn số giả định, giá trị nhiễu suy hao bậc ba †3 ˘ 0.01 Các tham số sóng chọn với (z) ˘ ¡ 101 biên độ sóng ban đầu A(0) ˘ 1, tham số • ˘ 0.25, vị trí ban đầu sóng tọa độ (x0; y0) ˘ (¡10;¡10), sóng di chuyển với vectơ vận tốc d ˘ (5; 5) Mơ hình mô đoạn từ z ˘ đến z ˘ Ta kiểm tra công thức (4.21) trường hợp sóng ban đầu có dạng sóng Gauus Kết mô mỏng theo công thức (4.21) so sánh với kết giải số phương trình (4.10) phương pháp giải số tách bước với điều kiện biên tuần hoàn đánh giá sai số tương đuối qua việc xấp xác định E ˘ jA (t h) (z) ¡ A (nu) (z)j/jA (t h) (z)j 0.99 0.98 Hình 4.1: Tham số biên độ sóng mơ hình truyền sóng tuyến tính với nhiễu suy hao bậc ba Đường màu xanh mô kết giải số tham số biên độ dựa phương trình (4.10) Chấm màu đỏ mô tham số biên độ qua cơng thức (4.21) Hình 4.1, mơ tham số biên độ giải số phương trình (4.10) công thức (4.21) Kết xác định cụ thể qua bảng (4.1) Ta thấy rằng, sai số tương đối qua việc xấp xỉ A(z) nhỏ 0.007% công thức (4.21) xác định qua giả định nhiễu ảnh hưởng đến biên độ cho kết tốt 102 t 6 0.15 6 0.35 6 0.55 6 0.75 6 0.95 6 1.15 6 1.35 6 1.55 6 1.75 6 1.95 6 2.15 6 2.35 6 2.55 6 2.75 6 2.95 6 3.15 6 3.35 6 3.55 6 3.75 6 3.95 Bảng 4.1: Kết tính theo cơng thức (3.14) theo giải số phương trình (3.3),(3.4) trường hợp sóng có hình dạng ban đầu dạng hình chữ nhật 4.3.3 Kết luận Qua mô tham số biên độ mơ hình truyền sóng tuyến tính với nhiễu suy hao bậc ba Ta nhận thấy rằng, tác động nhiễu suy hao, tham số biên độ giảm dần, nhiên thay đổi nhỏ, cụ thể khoảng z ˘ đến z ˘ 4, tham số biên độ giảm chưa đến 3% Công thức (4.21) với sai số tương đối nhỏ 0.007% tốt, ta sử dụng cơng thức (4.21), việc tính tốn tham số biên độ sóng mơ hình truyền sóng với nhiễu suy hao tuyến tính bậc ba Đây cơng thức quan trọng việc giải số xác định thay đổi tham số biên độ gây va chạm nhanh hai sóng khảo sát chương 4.4 103 4.4 Mô thay đổi tham số biên độ gây va chạm ảnh hưởng nhiễu suy hao bậc ba Mơ hình động lực va chạm nhanh hai sóng tuyến tính khơng gian hai chiều ảnh hưởng nhiễu suy hao bậc ba mô tả qua phương trình (4.1),(4.2): Biểu thức thay đổi tham số biên độ gây va chạm nhanh z ˘ zc hai sóng tuyến tính va chạm nhanh Với giả định này, giả sử ban đầu hai sóng rời z ˘ 0, hai sóng trùng lên sau tách rời z ˘ z f Ta định nghĩa ¢zc khoảng cách từ lúc hai sóng bắt đầu va chạm đến lúc hai sóng trùng lên nhau, va chạm sảy đoạn [zc ¡ ¢zc ; zc ¯ ¢zc ], giả định va chạm hai sóng va chạm nhanh nên đoạn [zc ¡ ¢zc ; zc ¯ ¢zc ] nhỏ Dựa vào kĩ thuật tính nhiễu thực chương Ta tìm nghiệm phương trình (4.1),(4.2) dạng: ˆj (x, y, z) ˘ ˆj 0(x, y, z) ¯`j (x, y, z), ˆj nghiệm phương trình (4.10) mơ hình khơng có va chạm `j mơ tả ảnh hưởng va chạm lên thân sóng Như ˆj nghiệm phương trình: i @z ˆj ¯i dr?ˆj ¯ ¢?ˆj ¯R(x, y, z)ˆj ˘ ¡i †3jˆj 0j ˆj 2k Ta khảo sát thay đổi tham số biên độ gây va chạm nhanh hai sóng sóng 1, sóng thực hồn tồn tương tự Ta xác định phương trình cân lượng (4.1) cách tương tự chương 4.2: @z Z ¯1 ¯ ¡1 Z ¡ 104 Thay (4.23) vào phương trình (4.24) Khai triển vế phải biểu thức vế phải lược bỏ số hạng có bậc lớn bậc †3, ta được: @z Z ¯1 ¯1 ¡1 Z ¡1 jˆ ˆ10 nghiệm phương trình (4.10) nên ˆ10 thỏa phương trình cân lượng (4.14) Phương trình (4.25) trở thành: Lấy tích phân hai vế phương trình đoạn [zc ¡¢zc ; zc ¯¢zc ]: Z ¯1 Z ¯1 ¡ jˆ1(x, y, zc ¯¢zc )j2 ¡ jˆ10(x, y, zc ¯¢zc )j2¢d xd y Z ¯1Z ¯1 ¡ ¡ jˆ1(x, y, zc ¡¢zc )j2 ¡ jˆ10j(x, y, zc ¡¢zc )j2¢d xd y Do định nghĩa ˆ1 ¢zc trìnhh (4.27) viết lại thành: Z ¯1Z ˆ ˘ “j 0(x, y, z) exp(i •z) nghiệm phương trình (4.5) mơ hình truyền sóng tuyến tính khơng gian hai chiều Như vậy: h » “ j 0(x, y, z) ˘ exp ¡ với X j ˘ x ¡ x j ¡d j 1z, Yj ˘ y ¡ y j ¡d j 2z Do va chạm nhanh, ta xấp xỉ số hạng ˆ10 ˆ1: h i» ¡ ( s) ˆ10(x, y, zc ¯¢zc ) ˘ A1(zc ) ¯¢A “ j 0(x, y, zc ¡¢zc ) exp[i ã(zc ĂÂzc )], (4.30) 105 v h iằ Ă ( s) ( c) ˆ1(x, y, zc ¯¢zc ) ˘ A1(zc ) ¯¢A ¯¢A “ j 0(x, y, zc ĂÂzc ) exp[i ã(zc ĂÂzc )] (4.31) Thay (4.29), (4.30) vào phương trình (4.28) loại số hạng cao †3 thu được: (c) ˘ ¡4†3 Z Từ kết chương 4.3, tham số biên độ A1(z) A2(z) biến đổi chậm theo ¡ ¡ z ta xấp xỉ A1(z), A2(z) (4.32) A1(zc ), A2(zc ) sử dụng tính chất bảo tồn lượng sóng tuyến tính vế trái phương trình (4.32) Như vậy: (c) ¡ 2A1(zc )¢A1 ¡ ¡ ˘ ¡4†3 A1 (zc )A2 (zc ) Z Do va chạm nhân nên thân sóng tập trung chủ yếu đoạn [zc ¡ ¢zc ; zc ¯¢zc ] Ta mở rộng tích phân theo bến z (4.33) lên từ ¡1 đến ¯1 Như vậy: với µ Z CP ˘2 Trong trường hợp sóng ban đầu có dạng sóng Gauss: CP ˘ £ với jjdjj ˘ (d11 ¡d21) ¯(d12 ¡d22) µ 2⁄1/2 Biểu thức (4.34) thu giả định va chạm hai sóng nhanh lượng sóng tập trung chủ yếu đoạn [zc ¡ ¢zc ; zc ¯ ¢zc ] hai sóng trùng lên sóng phân rã nhanh Điều giúp cho xấp xỉ phương trình (4.33) có hiệu lực 106 4.4.1 Mô thay đổi tham số biên độ gây va chạm nhanh hai sóng tuyến tính 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Quan M.Nguyen, Toan T.Huynh, Avner Peleg (2018), "Universality of the am-plitude shift in fast two-pulse collisions in weakly perturbed linear physical systems", submitted, arXiv:1808.04323 [2] B Kath and B Kath (1998), "Making Waves: Solitons and Their Optical Appli-cations" SIAM News, vol 31, no 2, pp 1–5 [3] Yeojin Chung and Avner Peleg(2005) "Strongly non-Gaussian statistics of op-tical soliton parameters due to collisions in the presence of delayed Raman response", Nonlinearity 18 (2005) 1555–1574 [4] Avner Peleg, Quan M.Nguyen, Y.Chung (2010) "Cross-talk dynamics of op- tical solitons in a broadband Kerr nonlinear system with weak cubic loss", Physical Review A, Vol 82, 053830 [5] Avner Peleg, Quan M.Nguyen, Toan T.Huynh (2017), Soliton-like behavior in fast two-pluse in weakly perturbed linear physical systems", European Physical Journal D, 71: 315 [6] Quan M.Nguyen, Toan T.Huynh "Manipulate the fast 2D soliton collision- induced amplitude shift in the presence of the dissipative perturbation" [7] Quan M.Nguyen (2018), "Collision-induced amplitude dynamics of pulses in linear waveguides with the generic nonlinear loss" submitted, arXiv: 1808.02396 [8] Toan T.Huynh, Quan M.Nguyen (2019), "The manipution of beam collisions in 2D weakly perturbed linear media", Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 108 [9] E.Oran Brigham (1974), "The fast fourier transform", Prentice Hall, Engle- wood Cliffs, New Jersey [10] Haruo Yoshida (1990), "Construction of higher order symplectic integrators", Phys.Lett A 150 [11] Yianke Yang (2010), "Nonlinear Waves in Integrable and Nonintegrable Sys- tems", SIAM, Philadelphia [12] Gulcin M Muslu, Husnu A Erbay (2004), "Higher-Order Split-Step Schemes for the Generalized Nonlinear Schrodinger Equation", Numerical Mathematics and Advanced Applications, 658-667 [13] A Hasegawa and Y Kodama,( 1995) "Solitons in Optical Communications", Oxford 109 ... sóng tuyến tính va chạm nhanh hai sóng với nhiễu suy hao tuyến tính bậc ba 2.1 Giới thiệu mơ hình truyền sóng tuyến tính va chạm nhanh hai sóng Mơ hình động lực va chạm nhanh hai sóng tuyến tính. .. tham số biên độ sóng trước va chạm 2.2.1 Sự thay đổi tham số biên độ sóng trước va chạm Mơ hình động lực sóng tuyến tính ảnh hưởng nhiễu suy hao tuyến tính bậc ba mơ hình khơng có va chạm mơ... đổi biên độ sóng tuyến tính khơng có ảnh hưởng nhiễu Cơng thức nghiệm phương trình sở phương pháp nhiễu nhằm tính tốn thay đổi tham số biên độ sóng mơ hình truyền sóng tuyến tính tác động nhiễu