(Luận văn) một thuật toán tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————————————————— NGUYỄN THỊ HẢI NHƯ lu an n va gh tn to p ie MỘT THUẬT TỐN TÌM NGHIỆM TỐI ƯU d oa nl w CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH SONG TUYẾN TÍNH ul nf va an lu oi lm LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - Năm 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOC ————————————————— NGUYỄN THỊ HẢI NHƯ lu an n va tn to ie gh MỘT THUẬT TỐN TÌM NGHIỆM TỐI ƯU p CỦA BÀI TỐN QUY HOẠCH SONG TUYẾN TÍNH d oa nl w Mã số: 60.46.01.12 oi lm ul nf va an lu Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG z at nh LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z gm @ Người hướng dẫn khoa học GS TS TRẦN VŨ THIỆU m co l an Lu Thái Nguyên - Năm 2017 n va ac th si i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS.TS Trần Vũ Thiệu, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho nhận xét quý báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, thầy lu an cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán ứng dụng trường Đại học Khoa Học - n va Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt trình tn to ie gh học tập nghiên cứu khoa học p Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè trình học tập d oa nl w ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt an lu Thái Nguyên, tháng năm 2017 nf va oi lm ul Người viết luận văn z at nh Nguyễn Thị Hải Như z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Mục lục lu i Mục lục i an Lời cảm ơn n va tn to p ie gh Một số ký hiệu viết tắt oa nl w Mở đầu Bài toán quy hoạch song tuyến tính d lu Đối ngẫu quy hoạch tuyến tính 1.2 Bài tốn quy hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính ul nf 1.2.1 Hàm lõm tính chất 1.2.2 Bài toán quy hoạch lõm oi lm 10 Bài tốn quy hoạch song tuyến tính 11 z at nh z 1.3.1 Phát biểu toán 12 1.3.2 Quan hệ với toán quy hoạch lõm 13 1.3.3 Tính chất nghiệm tốn song tuyến tính 15 Tìm nghiệm cực tiểu địa phương 16 m co l gm @ an Lu 1.4 va 1.3 an 1.1 n va ac th si iii Thuật toán giải quy hoạch song tuyến tính 2.1 2.2 19 19 2.1.1 Biến đổi tốn quy hoạch song tuyến tính 19 2.1.2 Điều kiện tối ưu thuật toán 23 Mô tả thuật toán 25 2.2.1 Các bước thuật toán 25 2.2.2 Suy biến 28 2.2.3 Sự hội tụ 31 Cách tiếp cận siêu phẳng cắt 34 Ví dụ minh họa thuật tốn 36 lu Cơ sở lý thuyết thuật toán an va n 2.3 tn to 2.4 p ie gh 46 d oa nl w Tài liệu tham khảo oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Một số ký hiệu viết tắt Tập số thực hay đường thẳng thực Rn Khơng gian Euclid n chiều Rm×n Tập ma trận thực cấp (m × n) x∈C x thuộc tâp C (x phần tử tập C) ∅ Tập rỗng (Tập không chứa phần tử nào) C ∪D Hợp tập C tập D C ∩D Giao tập C tập D lu R an n va tn to C⊂D ie gh C tập tập D C⊆D p C tập (có thể bằng) tập D Tích vơ hướng cuả x y nl w xT y x0 , x1 , x2 , , xn d oa Các tọa độ điểm hay thành phần véctơ x lu va an ( số ) Liệt kê véctơ có số chiều (cùng số trên) AT Ma trận chuyển vị ma trận A A−1 Ma trận nghịch đảo ma trận A oi lm ul nf x1 , x2 , x3 z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Hàm f (x, y) gọi hàm song tuyến tính (bilinear function) lu hàm tuyến tính cố định véctơ biến x hay véctơ biến y giá trị an n va cụ thể Tổng quát, hàm song tuyến tính có dạng: tn to f (x, y) = aT x + xT Qy + bT y, p ie gh a, x ∈ Rn , b, y ∈ Rm Q ma trận cấp n × m Có thể thấy hàm w song tuyến tính trường hợp riêng hàm tồn phương hàm song oa nl tuyến tính nói chung khơng lồi, khơng lõm d Bài tốn cực tiểu hàm song tuyến tính với ràng buộc tuyến tính lu va an biến x biến y gọi quy hoạch song tuyến tính (bilinear oi lm ul nf programming problem) Như vậy, xem quy hoạch song tuyến tính tốn quy hoạch tồn phương đặc biệt z at nh Quy hoạch song tuyến tính có nhiều ứng dụng đa dạng tốn trị chơi ma trận có ràng buộc, tốn bù tuyến tính toán phân việc z @ gm 3-chiều Đáng ý tốn quy hoạch lõm, tuyến tính khúc m co l toán luồng mạng với phụ phí cố định (rất quen thuộc quản lý chuỗi cung ứng) giải nhờ dùng cách diễn đạt song tuyến tính an Lu (xem [4]) n va ac th si Luận văn xét tốn quy hoạch song tuyến tính, ký hiệu (BP): x∈X, y∈Y f (x, y) = aT x + xT Qy + bT y, (BP ) X, Y tập lồi đa diện, khác rỗng Có nhiều thuật tốn khác để giải (BP) Luận văn tìm hiểu trình bày thuật tốn bản, nêu tài liệu [3] để giải toán Để hiểu rõ toán quy hoạch song tuyến tính thuật tốn trình bày, lu an luận văn nhắc lại số kiến thức tối ưu có liên quan: đối ngẫu quy n va hoạch tuyến tính, tốn quy hoạch lõm tính chất, tốn tối ưu tồn to gh tn cục, Các kiến thức quy hoạch song tuyến nêu chương p ie luận văn nl w Nội dung luận văn thuật toán [3] giải quy hoạch song tuyến d oa tính: bước thuật tốn, hội tụ thuật tốn ví dụ minh họa thuật an lu tốn Các nội dung trình bày chi tiết chương luận văn oi lm ul có gồm hai chương: nf va Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [1] - [6] Chương 1: Bài toán quy hoạch song tuyến tính nhắc lại kiến thức z at nh đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, tốn quy hoạch lõm với ràng buộc z tuyến tính, khái niệm hàm lõm (hàm tựa lõm) tính chất hàm @ l gm lõm Tiếp đó, giới thiệu tốn quy hoạch song tuyến tính, tính chất nghiệm m co toán mối liên hệ với tốn cực tiểu hàm lõm, tuyến tính khúc Cuối chương giới thiệu "thuật toán xuống núi" tìm nghiệm cực tiểu địa an Lu phương tốn quy hoạch song tuyến tính đưa ví dụ minh họa thuật n va ac th si toán Chương 2: Thuật toán giải toán quy hoạch song tuyến tính trình bày thuật tốn nêu tài liệu tham khảo [3] để giải toán quy hoạch song tuyến tính Thuật tốn biến đổi toán ban đầu toán tối ưu tập khơng lồi giải tốn đó, dựa điều kiện tối ưu cần đủ đưa chứng minh hội tụ nghiệm tốn quy hoạch song tuyến tính ban đầu Thuật tốn trình bày minh họa ví dụ số lu an cụ thể n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Bài tốn quy hoạch song tuyến tính lu an n va tn to Chương nhắc lại kết đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, ie gh toán quy hoạch lõm ràng buộc tuyến tính Tiếp đề cập tới tốn quy p hoạch song tuyến tính, tính chất nghiệm tốn mối liên hệ với toán oa nl w cực tiểu hàm lõm, tuyến tính khúc Cuối chương nêu thuật tốn tìm cực tiểu địa phương toán Nội dung chương tham khảo chủ yếu d lu Đối ngẫu quy hoạch tuyến tính oi lm 1.1 ul nf va an từ tài liệu [5] - [6] z at nh A Trong quy hoạch tuyến tính người ta hay xét hai dạng tốn sau z • Dạng chuẩn tắc:  f (x) = cT x : Ax > b, x > , gm @ m co l n Trong A ∈ Rm×n , b ∈ Rn , x > có nghĩa x ∈ R+ Trong toán tập ràng buộc D = {x ∈ Rn : Ax > b, x > 0} tập lồi đa diện an Lu n va ac th si 32  θi = max θi : x0 + θi v i ∈ S (V ) > V tập đỉnh X thăm dị vịng lặp thuật tốn Theo Định lý 2.2.3 nêu đây, T ⊆ S(V) vịng lặp thuật tốn Hơn nữa, theo Hệ 2.2.4, X ⊆ T ∆ = ∅ Điều kéo theo X ⊆ S(V) thuật tốn kết thúc Do theo Định lý 2.1.4.a, quy tắc dừng thuật toán bảo đảm nhận nghiệm tối ưu lu Định lý 2.2.3 Ở vòng lặp thuật toán T ⊆ S(V) an n va Chứng minh Do to ω∈∆∪∆ ω∈∆∪∆ ie gh tn T=  ∩ c H (ω)   ∪ c C (ω) ∩  p  w =  C (ω) ∩ ∪ ω∈∆∪∆c  ⊆ ∪ c H(ω) ω∈∆∪∆ ∪ ω∈∆∪∆c [C (ω) ∩ H(ω)] d oa nl Để hoàn thành việc chứng minh ta cần nêu C (ω) ∩ H (ω) ⊆ S (V ) Cho P b λi vi xˆ điểm C (ω) ∩ H (ω), cho: xˆ = x0 lu P oi lm i∈I(ω) λbi θv θi i i ul x = x0 + ≤ 1,λbi ≥ 0, i ∈ I(ω ) Ta viết lại sau: nf i=I(ω) λbi θi va Với ! P 1− i∈I(ω) P µbi (x + P i∈I(ω) θi v i ) λbi (x0 θi + θi v i ) ≥ 0, i ∈ I(ω ) m co l i∈I(ω) λbi θi gm P λbi Trong đó: µb0 = − ≥ 0, µbi = θi i∈I(ω) P µb0 + µbi = @ i∈I(ω) x0 + z =µb0 x + λbi θi z at nh = i=I(ω) an P an Lu Từ tính lồi S(V ), x ˆ tổ hợp lồi điểm thuộc S(V ), Từ tính lồi S(V), tổ hợp lồi điểm thuộc S(V) nên nằm S(V) đến n va ac th si 33 định lý chứng minh đầy đủ Định lý 2.2.1 tương tự Bổ đề lát cắt lồi Glover [3], dựa ý tưởng lát cắt Hoàng Tụy [6] Bổ đề 2.2.4 Cho n véctơ n - chiều độc lập tuyến tính v , , v n P ∗ i P ∗ i v∗ = λi v + λi v λ∗i ≤ với i ∈ I λ∗i > với i ∈ I + 6= i∈I + i∈I + lu ∅, I ∪ I = {1, n} Ta đặt   n P λi v i , λi ≥ 0, i = 1, , n , C= x:x= an i=1 va với j ∈ I + n     n P i ∗ λi v , λi ≥ 0, i = 1, , n Cj = x : x = λj v +   i=1 gh tn to i6=j p ie Khi đó: C ⊆ ∪ Cj + j∈I w d oa nl Chứng minh Lấy điểm C, chẳng hạn: P x= λi v i lu i∈I ∪I + va an với λi ≥ Với µ (µλ∗i )v i i∈I ∪I +

P P x = µv ∗ + λi − µλ∗i v i + λi − µλ∗i v i i∈I + i∈I  Chọn µ = λr /λ∗r = λi /λ∗i : i ∈ I + ≥ Khi đó,x ∈ Cr (trên biên P oi lm ul nf µv ∗ = z at nh Cr µ = 0) z @ m co l gm Định lý 2.2.5 Tại vịng lặp thuật tốn   T ⊇ C0 ∩ ∩ H(ω) , Trong ω∈∆∪∆c   n P i C0 = x|x + λi v ; λi ≥ 0, i = 1, , n , n Và v , ,v vectơ chuẩn đơn vị xác định Bước an Lu i=1 n va ac th si 34 Chứng minh Theo định nghĩa T cần chứng minh C0 ⊆ ∪ω∈∆∪∆c C(ω) Có thể thấy thuật toán ∪ω∈∆∪∆c C(ω) xây dựng sau: Ta bắt đầu với tập C0 tạo tập Cj‘ s, hợp chúng chứa C0 Các tập tiếp sau xây dựng cách xuất phát từ tập Cj q trình áp dụng lặp lại để nhận ∪ω∈∆∪∆c C(ω) Như vậy, kết luận định lý suy từ Bổ đề 2.2.2 lu Hệ 2.2.6 Nếu ∆ = ∅, X ⊆ T an n va Chứng minh X chứa C0 theo cách xây dựng C0 H(ω) với to gh tn ω ∈ ∆c theo điều kiện Bước 4.a Từ đó, kết luận hệ suy p ie từ Định lý 2.2.3 w Cách tiếp cận siêu phẳng cắt d oa nl 2.3 lu va an Mục trình bày biến thể siêu phẳng cắt thuật toán Cách tiếp cận ul nf siêu phẳng cắt dựa quan sát sau Trong thuật toán nêu mục 2.2, oi lm vịng lặp thứ tạo nửa khơng gian H(ω ) cho H (ω) ∩ X ⊆ S (V) z at nh Do đó, theo tiêu chuẩn tối ưu khơng có điểm H (ω) ∩ X cho giá trị hàm mục tiêu tốt z(V) Trong thuật toán siêu phẳng cắt, phần z gm @ X nằm H(ω ) bị cắt bỏ tạo tập X nhỏ Sau đó, tìm đỉnh tập X tiếp tục thực vòng lặp trước Ưu l m co điểm cách tiếp cận địi hỏi nhớ Thuật tốn siêu phẳng cắt an Lu gồm bước sau n va ac th si 35 Bước Chọn đỉnh X xác định V = {x0 } Đặt X0 = X, k = Chuyển sang Bước Bước Trong Xk tìm đỉnh xk,1 , xk,2 , , xk,r kề xk đưa đỉnh vào V Với j = 1, 2, , r tính giá trị zk,j = cT xk,j + bT uk,j cho
xk,j , uk,j ∈ Λ Nếu r = n r > n tồn j cho zk,j > zk =
cT xk + bT uk với xk , uk ∈ Λ chuyển sang Bước Trái lại, chọn đỉnh xk,j cho zk,j < zk đặt xk = xk,j tìm đỉnh kề xk chuyển sang lu an Bước (Đối với trường hợp đặc biệt r > n zk = zk,i với n va i = 1,2, , n, xem Nhận xét đây) gh tn to Bước Giả sử vk,1 , , vk,n véctơ chuẩn đơn vị, xác định nửa p ie đường thẳng từ xk qua đỉnh xk kề Xk‘ ( xác định Định d oa nl w lý 3.1 với X = Xk x0 = xk ) Với i = 1, , n cách giải quy hoạch  tuyến tính tìm số θi = θi : xk + θi v k,i ∈ S (V) Chuyển sang Bước  
T
Bước Xác định ma trận M = vk,1 , , vk,n h = 1/θ1 , , 1/θn θi > an lu oi lm ul nf va Giải quy hoạch tuyến tính: 
max hT M −1 x − xk : x ∈ Xk Giả sử x∗ nghiệm tối ưu α giá trị tối ưu nhận Nếu α ≥ z at nh dừng thuật toán Trái lại chuyển sang Bước z Bước Thêm x∗ vào V Đặt xk+1 = x∗ 
Xk+1 = Xk ∩ x ∈ Rn : hT M −1 x − xk > l gm @ m co Đặt k = k + Nếu zk < Z(V ) quay lại Bước Trái lại, quay lại Bước an Lu Nhận xét Nếu r > n zk = zk,j , j = 1, , r giả thiết Định lý 3.2 khơng cịn đúng, Bước 2, zk = zk,j > khơng cịn n va ac th si 36 bảo đảm Trong trường hợp Bước 3, α cần thay bằng: 
α = max π T x − xk : x ∈ X
Khi đó, ràng buộc Bước trở thành π T x − xk > , π nghiệm toán sau: n 
T
P Tb k,i k k,i k π θk,i x − x :π θbk,i x − x > 1, i = 1, , r i=1 
k b Với θk,i = max θk,i : x + θk,i xk,i − xk ∈ S (V ) Nhận xét Để ý lúc bắt đầu vòng lặp cho, điểm lu an xk,1 , , xk,n nhận thuộc diện Xk khơng cần hồn n va thành vịng lặp kết thúc thủ tục tn to Nhận xét Cũng biến thể thứ thuật tốn, S(V) có gh p ie thể thay R(V) nl w Ví dụ minh họa thuật toán d oa 2.4 lu va an Xét ví dụ số R2 oi lm ul nf Xét tốn quy song tuyến tính       hoạch y   −1y1  x1  [2, 0]  + [x1 , x2 ]   + [0, 1]  → max, y2 y2 x2 −1 z at nh z với điều kiện x ∈ X, y ∈ Y,trong đó:    1   5         x   7      ,x ≥ 0}, X = {x ∈ R2 :     3 −1 x2 6         −2 gm @ m co l (LP1 ) an Lu n va ac th si 37  1   3  Y = {(y ∈ R :  2      2 8        1y1  14    ,y ≥ 0}    6 0 y       lu an n va tn to Các tập X Y vẽ Hình 2.1 Phát  biểu  đối ngẫu toán u1        u2  x1   [2, 0]  + [8, 14, 9, 3] (LP2 )   → max u3  x2     u4 p ie gh Với điều kiện d oa nl w   u1             u2  0  −1x1  1 0  x ∈ X    , u ≥  ≥ +   1 u3  x2 −1 1   u4 va an lu vòng lặp sau oi lm ul nf Để tìm nghiệm tối ưu tốn, thuật tốn mơ tả phải qua z at nh Khởi (Bước 0) Chọn x0 = (0, 0)T Các đỉnh kề x0 x1 = (1, 0)T x2 = (0, 5)T Giải (LP2 ) cách đặt x = xi , i 0, 1, Các giá trị tối ưu tương z gm @ ứng m co l z(x0 ) = 3, z(x1 ) = 13/2, z(x2 ) = 18   Đặt V = x0 , x1 , x2 , z (V ) = 18, w1 = v , v ∆ = {ω }, an Lu đó: n va ac th si 38 v = (1, 0)T , v = (0, 1)T Vòng lặp Bước ∆ 6= ∅ Chọn ω Bước Giải quy hoạch tuyến tính: lu • Tìm cực đại θ1 ,   0 1   với điều kiện  1 2    −8 −14 −9 −3 an n va   u1      u2      u3      u4 1          - θ ≥ −1  ,     −18   u1      u2      u3      u4     −1          - θ ≥    ,     −18     gh tn to u ≥ 0, θ1 ≥ p ie • Tìm cực đại θ2 ,   0 1   với điều kiện  1 2    −8 −14 −9 −3 d oa nl w va an lu ul nf u ≥ 0, θ2 ≥ oi lm Giá trị tối ưu là: θ1 = 36/13, θ2 = • Tìm cực đại 13 36 λ1 + 15 λ2 , z at nh Bước Giải quy hoạch tuyến tính z m co l gm @ an Lu n va ac th si 39   1      2   với điều kiện    3 −1     −2   5           7          λ1 +   λ2     6     Nghiệm tối ưu λ∗1 = 2, λ∗2 =

∗ 1/θ = λ Bước Do 1/θ1 λ∗1 +   2  119 90 lu > nên ta đặt   √ 0 1 0 2/ 13 x3 =   + 2  + 3 , v =  √  3/ 13 0 an n va tn to Thêm x3 vào V thay ω ∆ ω = {v , v } ω = {v , v } p ie gh Để đổi z(V), ta đặt x = x3 (LP2) giải quy hoạch tuyến tính thu w Giá trị tối ưu 10, nghĩa nhỏ z(V) Vì thế, z(V) giữ nguyên oa nl Vòng lặp d  Bước ∆ 6= ∅ Chọn ω = v , v lu va an Bước θ1 không thay đổi; θ3 giá trị tối ưu quy hoạch tuyến tính: oi lm ul nf • Tìm cực đại θ3 ,     u1         u2    với điều kiện  1 2    u3    −8 −14 −9 −3   u4 u > 0, θ3 > √ Giá trị tối ưu θ3 = 15 13 z at nh z    √  −1/ 13    √       - θ ≥  1/ 13   ,  √    4/ 13 −18 m co l gm @ an Lu Bước Giải n va ac th si 40 • Tìm cực đại 13 λ1 + 157√3 λ3 36    5 1                 0  7 2  1     λ1 +   λ2    với điều kiện      3 −1 6         −2 √ Nghiệm tối ưu λ∗1 = 57 , λ∗2 = 53 13

Bước 1/θ1 λ∗1 + 1/θ3 λ∗3 × 707/900 =< Do đó, ω bị loại khỏi ∆ lu an n va Vòng lặp   Bước ∆ = ω Chọn ω = v , v to gh tn Bước θ3 θ3 không thay đổi p ie Bước Giải 7√ λ, 15 3 oa nl w • Tìm cực đại 15 λ2 +   d 1      2   với điều kiện    3 −1     −2 oi lm ul nf va an lu   5         √   0 2/ 13  7    λ2 +  √  λ3     6 3/ 13     z at nh Nghiệm tối ưu λ∗2 = 5, λ∗3 =

Bước 1/θ2 λ∗2 + 1/θ3 λ∗3 = Do đó, ω bị loại khỏi ∆ z gm @ Vòng lặp m co l Bước ∆ = ∅ Do dừng thuật tốn Nghiệm tối ưu an Lu n va ac th si 41     0 0 x∗ =  , y ∗ =  , y ∗ nghiệm đối ngẫu tối ưu toán thứ ba giải Bước Giá trị tối ưu hàm mục tiêu 18 Nhận xét Để ý chiến thuật duyệt toàn phải duyệt qua tất đỉnh X, thuật toán đề xuất phải khảo sát đỉnh số • Giải theo thuật tốn siêu phẳng cắt lu an Mục giải lại toán (LP1 ) theo thuật tốn siêu phẳng cắt va n Vịng lặp tn to p ie gh Bước Các đỉnh kề x0 x0,1 = (1, 0)T x0,2 = (0, 5)T với z0,1 = 13  z0,2 = 18 Đặt V = x0 , x0,1 , x0,2 , z (V ) = 18 Vì r = = n nên chuyển sang nl w Bước d oa T 36 Bước v 0,1 =(1, 0)T , v 0,2 = (0,  1) và trước  đây θ1 = 13 , θ2 = 13 1  1   36  −1 Bước M =  , M =   h =   Tính giá trị 1     0
13  x − x : x ∈ X0 }, cách giải quy hoạch α = max { 36   oi lm ul nf va an lu  13 36 x1 + x2 : x ∈ X0 z max z at nh tuyến tính: @ m co l gm Nghiệm tối ưu: x∗ = (2, 3)T với α = 119 90 > Chuyển sang Bước  Bước Đặt V = x0 , x0,1 , x0,2 , x∗ , x1 = x∗  X1 = X0 ∩ x ∈ R2 : 13 x + x > 1 36 an Lu Vì z1 = 10 < 18 = z(V) nên chuyển Bước vòng lặp n va ac th si 42 Vòng lặp Bước Các đỉnh kề x1 là  13 5 x1,1 =  , x1,2    13   2 5    −      √ 3/   0 =  ,      v 1,1 =  √   1/  1,2 = √ , v −2/ 0 2      −       √ −1/ 2 = 2/√2 = √  1/  lu an Giải hai quy hoạch tuyến tính: n va to p ie gh tn • Tìm cực đại θ1 với  điều kiện   u1       0 1      −1   u2     2       ≥ 1      −1   ×     u3      −8 −14 −9 −3   −18 u4 , u > 0, θ2 > √ √ 37 5, θ = Nghiệm tối ưu  là: θ1 = 31   √ √ √ −1/ 1/ −    −1 Bước M =  , M =  √  √ √ −2/ 1/ −2/   d oa nl w     √ 2 −1/ 2   + θ2  √  1/ oi lm ul nf va an lu z at nh 31 √ 2 an Lu Bằng cách giải quy hoạch tuyến tính: m co 31 √ 37 l  gm  √ √
 − − 5 x − x : x ∈ X1 }  √  √ −2/ −   α = max { @ √ 2 z  √  h =  37  Tính giá trị  √ − 5 √  − n va ac th si 43  68 569 max − 37 x1 − 99 x + : x ∈ X 74 74
150 T , với α = 9803 Nghiệm tối ưu: x∗ = 396 173 173 6401 > chuyển sang Bước  Bước V = x0 , x0,1 , x0,2 , x1 , x1,1 , x1,2 , x∗ , x2 = x∗  66 569 X2 = X1 ∩ x ∈ R2 : − 37 x1 − 99 x + > 74 74 Vì z2 < z(V ) nên chuyển Bước vòng lặp Vòng lặp Bước Các đỉnh kề x2 lu an va n x2,1 gh tn to     1089 0  433  =  , x2,2 =   669 433 Do hai điểm thuộc diện X2 , cụ thể lát cắt tạo vòng p ie w lặp trước nên dừng thuật toán d oa nl Nghiệm tối ưu toán   song tuyến tính là:   quy hoạch 0 0 x∗ =  , y ∗ =   va an lu oi lm Kết luận chương ul nf với giá trị tối ưu hàm mục tiêu 18 z at nh Chương giới thiệu thuật tốn nêu [3] tìm nghiệm tốn quy hoạch song tuyến tính với miền ràng buộc rời với giả thiết tập ràng z gm @ buộc X, Y bị chặn Thuật toán đưa toán ban đầu toán tối ưu l tập khơng lồi giải tốn nhận dựa điều kiện tối ưu đưa m co Thuật toán hội tụ nghiệm tốn quy hoạch song tuyến tính an Lu ban đầu minh họa ví dụ số cụ thể n va ac th si 44 Kết luận Luận văn đề cập tới toán quy hoạch song tuyến tính, dạng đặc biệt lu an quy hoạch tồn phương Nói chung, quy hoạch song tuyến tính n va tốn tối ưu khơng lồi, khơng lõm thuộc lớp tốn tối ưu tồn cục, khó to gh tn giải Tuy nhiên, tốn có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tiễn, p ie nên nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, lý thuyết thuật toán nl w giải Luận văn trình bày nội dung cụ thể sau: d oa Các kiến thức tốn học có liên quan tới tốn quy hoạch song tuyến an lu tính: đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, tốn quy hoạch lõm với ràng nf va buộc tuyến tính, tính chất nghiệm tốn quy hoạch song tuyến tính oi lm ul mối liên hệ với toán cực tiểu hàm lõm, tuyến tính khúc Giới thiêu "thuật tốn xuống núi" tìm nghiệm cực tiểu địa phương toán quy hoạch z at nh song tuyến tính miền ràng buộc bị chặn z Cách đưa toán quy hoạch song tuyến tính tốn tối ưu tương @ l gm đương tập không lồi Từ tìm nghiệm tốn quy m co hoạch song tuyến tính với miền ràng buộc tách biến với giả thiết miền ràng buộc bị chặn, theo thuật toán dựa điều kiện tối ưu nghiệm toán an Lu Biến thể siêu phẳng cắt thuật tốn ví dụ số minh họa thuật toán n va ac th si 45 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt lu an [1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hiền Nguyễn Hữu Điển (2014), Giáo trình giải va n tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội tn to ie gh [2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, p NXB Đại học Quốc gia Hà Nội nl w d oa Tiếng Anh lu va an ă ucă [3] Gallo G., Ulkă u A (1977), "Bilinear Programming: An Exact Algorithm", oi lm ul nf Math Programming, 12, 173–194 [4] Nahapetyan A, Pardalos P (2007), "A Bilinear Relaxation Based Algo- z at nh rithm for Concave Piecewise Linear Network Flow Problems", Journal of z Industrial and Management Optimization, 3(1), 71–85 gm @ m co l [5] Thieu T V (1980), "Relationship between Bilinear Programming Problem and Concave Minimization Under Linear Constraints", Acta Math an Lu Vietnam., 67–81 n va ac th si 46 [6] Horst R., Tuy H (1996), Global Optimization, 3-rd Edition, New York: Springer lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si