Về bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính

Mục Lục Nội dung Trang Mở đầu Chơng 1: Các kiến thức bổ trợ 1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát 1.2 Thuật toán đơn hình giải toán quy hoạch tuyến tính 1.3 Thuật toán đơn hình đối ngẫu giải toán quy hoạch tuyến tính tắc Chơng 2: Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính 2.1 Bài toán tối u rời rạc 19 2.2 Một số thuật toán giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính 26 Chơng 3: Bài tập vận dụng 3.1 Bài tập vận dụng thuật toán cắt Gomory 50 3.2 Bài tập vận dụng thuật toán Land - Doig 58 3.3 Bài tập đa toán toán túi để giải 64 Tài liệu tham kh¶o 74 -1- LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời Nói đầu Lí chọn đề tài Tối u hoá lĩnh vực toán học nghiên cứu lý thuyết thuật toán giải toán cực trị Nó phần kiến thức thiếu đợc cho ngời làm việc lĩnh vùc øng dơng cđa khoa häc vµ kü tht Trong lý thuyết tối u, lớp toán đợc nghiên cứu trọn vẹn phơng diện lý thuyết lẫn thuật toán toán quy hoạch tuyến tính Ngay từ đời, quy hoạch tuyến tính đ chiếm vị trí quan trọng; môn toán ứng dụng cần thiết sinh viên thuộc nhiều ngành học khác Các thuật toán giải toán quy hoạch tuyến tính giúp giải toán quy hoạch tuyến tính tổng quát cỡ lớn mà điểm xuất phát quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết giải toán tối u tổng quát Trong lý thuyết tối u ta gặp lớp toán mà đối tợng chia cắt nhỏ tuỳ ý, lớp toán tất (hoặc phận) biến nhận giá trị nguyên, toán quy hoạch nguyên Trong toán quy hoạch nguyên, hàm mục tiêu hệ ràng buộc hàm tuyến tính ta có toán quy hoạch nguyên tuyến tính Đối với toán quy hoạch nguyên tuyến tính, thuật toán giải toán quy hoạch tuyến tính tổng quát hầu hết sử dụng đợc yêu cầu tính nguyên biến số Năm 1958 Gomory (nhà toán học ngời mỹ) đ công bố thuật toán cắt nối tiếng để giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính mở đầu cho đời phát triển lý thuyết toán quy hoạch nguyên Tiếp đó, số kết nghiên cứu tập nghiệm lời giải cho lớp toán lần lợt đợc đời Tuy xuất sau thuật toán đơn hình giải toán quy hoạch tuyến tính gần ba thập kỷ nhng thuật toán giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính đ có đóng góp không nhỏ cho lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết tối u tổng quát Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính phần kiến thức mẻ sinh viên s phạm toán Với mong muốn khai thác sâu kiến thức môn quy hoạch tuyến tính nói riêng; mở rộng tầm hiểu biết thân tri thức to¸n -2- LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com nói chung, việc nghiên cứu lý thuyết toán quy hoạch nguyên tuyến tính cần thiết Vì lý chọn "Về toán quy hoạch nguyên tuyến tính" làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại cách chi tiết vấn đề lý thuyết toán quy hoạch nguyên tuyến tính; xây dựng hệ thống tập vận dụng, để từ thấy đợc tầm quan trọng tính thiết thực lý thuyết toán quy hoạch nguyên tuyến tính lĩnh vực khoa học kỹ thuật, hoạt động thực tiễn đời sống x hội Nhiệm vụ nghiên cứu ã Nghiên cứu kiến thức liên quan đến toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, số thuật toán giải toán quy hoạch tuyến tính ã Nghiên cứu phơng pháp giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính ã Nghiên cứu số tập vận dụng phơng pháp giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính Đối tợng phạm vi nghiên cứu Đối tợng nghiên cứu: Lý thuyết tối u hoá Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết toán quy hoạch nguyên tuyến tính Phơng pháp nghiên cứu ã Phơng pháp nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu môn quy hoạch tuyến tính, tài liệu liên quan đến tèi −u ho¸, c¸c kho¸ ln tèt nghiƯp vỊ quy hoạch tuyến tính khoá trớc trờng Đại học Hùng Vơng ã Phơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Tham khảo ý kiến giảng viên hớng dẫn giảng viên dạy tối u hoá; quy hoạch tuyến tính trờng ã Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm thân qua trình học học phần quy hoạch tuyến tính bạn sinh viên đ học tối u hóa lớp s phạm lớp quản trị kinh doanh tr−êng -3- LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ý nghÜa khoa häc vµ thùc tiƠn Sản phẩm khoa học: Hệ thống lại số kiến thøc cđa lý thut tèi −u tun tÝnh, giíi thiƯu số thuật toán giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính, xây dựng hệ thống tập vận dụng lý thuyết đ xây dựng Sản phẩm thực tiễn: Khóa luận tài liệu tham khảo cho sinh viên toán, tin học sinh viên ngành kinh tế, quản trị kinh doanh Bố cục khoá luận Khóa luận gồm 74 trang, phần mục lục, mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo nội dung khoá luận bao gồm chơng Chơng Các kiến thức bổ trợ 1.1 Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính tổng quát 1.2 Thuật toán đơn hình giải toán quy hoạch tuyến tính 1.3 Thuật toán đơn hình đối ngẫu giải toán quy hoạch tuyến tính tắc Chơng Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính 2.1 Bài toán tối u rời rạc 2.2 Một số thuật toán giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính ã Thuật toán cắt Gomory ã Phơng pháp nhánh cận (Thuật toán Land - Doig) ã Phơng pháp phơng trình truy toán quy hoạch động giải toán túi Chơng Bài tập vận dụng 3.1 Bài tập vận dụng thuật toán cắt Gomory 3.2 Bài tập vận dụng thuật toán Land - Doig 3.3 Bài tập đa toán toán túi để gi¶i -4- LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com CHƯƠNG CáC KIếN THứC Bổ TRợ 1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát 1.1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát Tìm vectơ x = (x1, x2, , xn ) cho hµm f(x) = n ∑c x j =1 j j → víi c¸c ®iỊu kiƯn: n  a x ≤ b ,i ∈I ∑ ij j i j =1  n  a x = b ,i ∈ I ij j i ∑  j=1 n ∑aij x j ≥ bi , i ∈ I3  j=1  x j ≥ 0, j ∈ J1 x ∈ R, j ∈ J  j x j ≤ 0, j ∈ J3 (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) Víi I1 ⊂ I; I2 ⊂ I; I3 ⊂ I; I={ 1, , m}; I1∪ I2 ∪I3 = I; Ii ∩ Ik =Ø; i ≠ k; i, k = 1,2,3 J1⊂ J; J2 ⊂ J; J3 ⊂ J; J = { 1, , n}; J = J1 ∪ J2 ∪J3, Ji ∩Jk = Ø; I ≠ k; i,k = 1,2,3 bi, cj, aij lµ số cho trớc Trong toán trên: ã f đợc gọi hàm mục tiêu ã Mỗi hệ thøc ë (1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (1.5), (1.6) gäi lµ ràng buộc ã Mỗi ràng buộc (1.1), (1.2), (1.3) gọi ràng buộc cỡng (hay bản) ã Rµng buéc (1.4), (1.5), (1.6) gäi lµ rµng buéc tù (hay ràng buộc dấu) + Mỗi vectơ x = (x1, x2, , xn ) ∈ Rn tho¶ m n ràng buộc toán gọi phơng án Tập hợp tất phơng án (ký hiệu D) gäi lµ miỊn rµng -5- LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com buộc hay miền chấp nhận đợc Phơng án làm cho hàm mục tiêu đạt cực tiểu cực đại đợc gọi phơng án tối u hay lời giải toán đ cho + Giải toán quy hoạch tuyến tính tìm phơng án tối u toán (có thể phơng án tối u vô số phơng án tối u) chứng tỏ toán vô nghiệm 1.1.2 Mét sè kÝ hiƯu quy −íc a) NÕu A lµ ma trận cỡ (m,n) Ai =(ai1,ai2, ,ain) vectơ dßng (ma trËn dßng) thø i (i = 1,2, , m) A; Aj = (a1j, a2j, ,amj) vectơ cét (ma trËn cét) thø j (j = 1,2, ,n) A b) At ma trận chuyển vị A c) NÕu A = (aij) vµ B = (bij) hai ma trận kiểu bất đẳng thức ma trận A B đợc hiểu aij bij với i,j Đặc biệt với vectơ (ma trận) x = (x1, x2, , xn ) th× x ≥ đợc hiểu xj j d) Mỗi vectơ đợc xem nh ma trận cột phép tính ma trận ( không nói thêm quy ớc khác) e) Biểu thức tích vô hớng hai vectơ x = (x1, x2, , xn ) ; y = (y1, y2, , yn) n đợc viết: (x, y) = x j =1 j yj n g) NÕu xem c vµ x lµ hai ma trËn cét th× c x = ∑ c j x j lµ ma trËn cÊp ( ct lµ t j =1 ma trËn chun vÞ cđa c) Víi quy ớc nh toán quy hoạch tuyến tính tổng quát đợc viết gọn nh sau: Tìm vectơ x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn tho¶ m n: f(x) = ctx → -6- LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Ai x ≥ b , i ∈ I1  A x = b, i ∈ I  i  x ≥ 0, j ∈ J  j  x j ∈ R, j ∈ J  Trong ®ã A = (aij) hai ma trận cỡ (m,n) 1.1.3 Dạng tắc dạng chuẩn tắc toán quy hoạch tuyến tính Dạng chuẩn tắc: f(x) = ctxmin Ax b  x j ≥ 0, j ∈ J D¹ng chÝnh t¾c: f(x) = ctx →  Ax = b   x j ≥ 0, j ∈ J 1.2 Thuật toán đơn hình giải toán quy hoạch tuyến tính Xét toán quy hoạch tuyến tính tắc (bài toán I) n f ( x) = c j x j → j =1  n  ∑ aij x j = bi  j =1  x ≥ 0, j = 1, n  j (I) -7- LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com • Bớc xuất phát: Tìm phơng án cực biên { x0 sở } j B = { A j ; j ∈ J B } t−¬ng øng, ®ã J B = j ∈ J / A ∈ B Tìm hệ số khai triển aij ớc lợng j ( aij : hệ số khai triển vectơ Ai qua vectơ Aj) ã Bớc 1:KiĨm tra dÊu hiƯu tèi −u: a) NÕu ∆ j j J x phơng ¸n tèi −u ThuËt to¸n kÕt thóc b) NÕu ∃ ∆ j > th× chun sang b−íc hai ã Bớc 2: Kiểm tra dấu hiệu hàm mục tiêu giảm vô hạn Với j JB mà j > kiểm hệ số khai triển aij cđa cét A j t−¬ng øng a) NÕu tån j > mà tất aij j J kết luận hàm mục tiêu giảm vô hạn miền ràng buộc Bài toán lời giải hữu hạn Thuật toán kết thúc b) Nếu với j JB mà j > tồn hệ số aij > tiến hành tìm phơng án cực biên tốt với sở J = ( J B \ r ) ∪ s theo quy tắc sau: ã Bớc 3: { - Tìm cột xoay: T×m ∆s = max ∆ j > 0, j ∉ J B } Cét As gäi lµ cét xoay (cét đa vào sở ) xi0 xr0 = = , a > - Tìm dòng xoay: tìm ij ars aij Dòng Ar gọi dòng xoay -8- LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phần tử nằm giao dòng xoay cột xoay bảng đơn hình đợc gọi phần tử xoay ã Bớc 4: Thực phép biến đổi đơn hình chuyển từ phơng án sở chấp nhận đợc x sang phơng án sở chấp nhận đợc x : Bảng đơn hình tơng ứng với x (gọi tắt bảng mới) thu đợc từ bảng đơn hình tơng ứng với x (gọi tắt bảng cũ) theo quy tắc biến đổi sau đây: a) Các phần tử vị trí dòng xoay bảng ( a rj ) phần tử tơng ứng bảng cũ chia cho phần tö xoay: a rj = arj ars , j∈J b) Các phần tử vị trí cột xoay bảng mới, ngoại trừ phần tử nằm vị trí phần tử xoay 1, tất c) Các phần tử cần tính lại bảng (aij , j ) đợc tính từ phần tử tơng ứng bảng cũ theo công thøc sau: a ij = aij − arj ars ∆j =∆j − ais , i ∈ JB (i ≠ r) , j ∉ JB ( j ≠ s) a rj s a rs 1.3 Thuật toán đơn hình đối ngẫu giải toán quy hoạch tuyến tính tắc 1.3.1 Cơ sở chấp nhận đợc đối ngẫu Xét toán quy hoạch tuyến tính dạng tắc (P) toán đối ngẫu (Q) (P) f ( x ) = c t x → (Q)  Ax = b  x ≥ g( y) = by → max  At y ≤ c  y∈R Gi¶ thiÕt r»ng rankA = m Gi¶ sư B = { A j ; j ∈ J } lµ mét hƯ gåm m vectơ cột độc lập tuyến tính ma trận A Ta gọi hệ vectơ sở ma trËn A -9- LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ký hiÖu N = { A1 , A2 , , An } \ B Phơng án sở (xB, xN) toán (P) tơng ứng với sở B thu đợc cách giải hệ phơng trình tuyến tính xN = 0, ABxB = b Định nghĩa : Ta gọi B sở chấp nhận đợc gốc phơng án sở tơng ứng với phơng án chấp nhận đợc toán gốc, (tøc lµ nÕu xB = AB−1b ≥ ) Ta gọi phơng án sở đối ngẫu tơng ứng với sở B vectơ y t thu đợc cách giải hệ phơng trình tuyến tính AB y = cB (tøc lµ y = ( ABt )−1 cB ) Cơ sở B đợc gọi sở chấp nhận đợc đối ngẫu phơng án sở đối ngẫu ứng với phơng án chấp nhận đợc toán đối ngẫu Nếu phơng án sở tơng ứng với B phơng án tối u B đợc gọi sở tối u Nh B sở chấp nhận đợc đối ngẫu phơng án sở đối t ngẫu tơng øng víi nã y = ( AB ) cB ph¶i thoả m n tất ràng buộc t toán đối ngẫu A y c hay At ( ABt )−1 cB − c ≤ (1.7) DÔ thấy B sở chấp nhận đợc gốc, điều kiện (1.7) tiêu chuẩn tối u Nh vậy, sở B tối u nh vừa chấp nhận đợc gốc vừa chấp nhận đợc đối ngẫu Nhận xét ã Thuật toán đơn hình gốc sở chấp nhận đợc gốc, sau số hữu hạn lần chuyển sở đến sở tối u ã Thuật toán đơn hình đối ngẫu lại sở chấp nhận đối ngẫu nhng cha phải chấp nhận đợc gốc, ta tiến hành dịch chuyển sang sở chấp nhận đợc đối ngẫu gặp đợc sở tối u dừng lại 1.3.2 Thuật toán đơn hình đối ngẫu đà biết sở chấp nhận đợc đối ngẫu - 10 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  30  x =  4,  vµ tìm đợc m ( D11 ) = f ( x1 )  =  − 74  = −6 11 11 Giải toán ( P21 ) thấy D21 = nên m(D21 ) = + Bớc Ta phân nhánh D11 thành tËp: { D 12 = x ∈ D 11 / x ≤ } [ ]= D2 = { x ∈ D11 / x2 ≥ 3} v× x 12  30   11  = Giải toán ( P12 ) ta đợc phơng án tối u: 15 x = ,2 tìm đợc m ( D12 ) =  f ( x )  =  − 23  = −5   Giải toán ( P22 ) ta đợc phơng án tối u: x = ,3 tìm đợc m ( D22 ) =  f ( x )  =  − 11  = −5     2  ( ) ( ) 2 V× m D2 = m D1 nên ta phân nhánh đâu đợc Bớc 3: Chia D12 thành hai tập: { } D13 = x ∈ D12 / x1 ≤ { } D23 = x ∈ D22 / x1 ≥ v× [x 12 ] =  15  = Giải toán ( P13 ) ta đợc phơng án tối u: x = (3 , ) tìm đợc kỷ lục: m ( D13 ) = f ( x ) = Giải toán ( P23 ) ta thÊy D 23 = φ nªn m(D23 ) = +∞ ( ) ( ) Ta thÊy m D1 = m D2 = −5 T¹i D13 ta ghi đợc kỷ lục: m ( D13 ) = f ( x ) = −5 x = (3,2 ) thoả m n điều kiện nguyên nên phơng án tối u toán * ® cho, tht to¸n kÕt thóc x = (3,2) , f (x ) =−5 * Bµi tËp f ( x ) = x1 − 3x2 + 3x3 → max - 61 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  x1 + x − x3 ≤   x1 − x ≤ −3 x + x + x ≤ 3  x j ≥ 0, x j - nguyên, j = 1,3 Lời giải Bớc chuẩn bị: Giải toán ( P ) bỏ điều kiện nguyên biến số ta đ ợc phơng án tèi −u: 9 1 x0 = ( ,0, ) , m( D) =  f ( x0 )  =  + ×  = 14 2 2 2 0 B−íc V× x không nguyên có: x3 = x30  =   = Ta chia D 2 thµnh hai tËp: D11 = { x ∈ D / x3 ≤ 4} D21 = { x ∈ D / x3 5} Giải toán ( P ) ta 1 1 đợc phơng án tối u: x = ( ,0,4) tìm đợc  m ( D11 ) =  f ( x1 )  =  + ×  = 12 Giải toán ( P21 ) ta đợc phơng án tối u x = (2,2,5) tìm đợc m( D21 ) = f ( x )  = 11   Ta thÊy m( D21 ) = 11 < m( D11 ) =12 nên ta phân nhánh D11 Bớc 2: Chia tËp D11 thµnh hai tËp: D12 = { x ∈ D11 / x1 ≤ 0} ; V× x11 = 1 ⇒  x11  =   = 2 D22 = { x ∈ D11 / x1 1} ; Giải toán ( P )′ thÊy D 2 = ∅ nªn m( D12 ) = + Giải toán ( P22 ) ta đợc phơng án tối u x = (1, , 4) tìm đợc m( D22 ) = 11 - 62 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta thÊy m( D21 ) = m( D22 ) = 11 mà D21 có x = (2,2,5) thoả m n điều kiên 1 nguyên toán đ cho Vậy D21 ta ghi đợc kỷ lục m(D2 ) = f (x ) =11 vµ   x = (2,2,5) phơng án tối u toán đ cho, tht to¸n kÕt thóc x * = (2, 2,5), f ( x * ) = 11 Bµi tËp f ( x) = x1 + 2x2 → max  x1 + x ≤ 22   x1 + x ≤ 11 − x + x ≤  x j ≥ , x j - nguyªn, j = 1, Lêi giải Bớc chuẩn bị: Giải toán ( P ) bỏ điều kiện nguyên biến số ta có bảng đơn hình tối u sau: Cơ cj Phơng - -2 0 së c.s ¸n A1 A2 A3 A4 A5 A1 -1 17/9 1/9 - 5/9 A4 22/3 0 - 4/3 11/3 A2 -2 26/9 1/9 4/9 0 - 1/3 - 1/3 j Phơng án tèi −u: x = ( 17 26 26   17 , ) m( D) =  f ( x )  =  − − ×  = −7 9 9  17 Bớc Vì x không nguyên có x10  =   = Ta chia D thµnh hai tËp: 9 D11 = { x ∈D / x1 ≤1} D21 = { x ∈ D / x1 2} Giải toán ( P11 ) ta đợc phơng án tối u: x1 = (1,2) tìm ®−ỵc m( D11 ) =  f ( x1 ) = - 63 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải toán ( P21 ) ta đợc phơng án tối u: 14 14 x = (2, ) tìm đợc m(D2 ) =  f (x ) = 2 + 2×  = 5  V× m( D21 ) = > m( D11 ) = nªn ta phân nhánh D21 Bớc 2: Ta phân nhánh D21 thành hai tập: D12 = { x D21 / x2 ≤ 2} D22 ={ x∈D21 / x2 3} Giải toán ( P12 ) ta đợc phơng án tối u: x2 = (3,2) tìm đợc m( D12 ) =  f ( x2 ) = Giải toán ( P22 ) ta thấy D22 = ∅ vµ m( D22 ) = +∞ Đến bớc ta thấy m( D2 ) = > m( D1 ) = VËy t¹i D22 ta ghi đợc kỷ lục m( D22 ) = x = (3, 2) thoả m n điều kiện nguyên nên phơng án tối u * toán đ cho, thuật toán kết thúc x = (3,2) , f (x ) = * 3.3 Bài tập đa toán toán túi để giải Bài tập 9: Giải toán sau Một nhà máy sản xuất vật liệu xây dựng cần sản xuất loại vật liệu xây dựng Biết nguyên liệu nhà máy sử dụng cần để sản xuất loại nguyên liệu không 20 Nguyên liệu nhà máy sử dụng để sản xuất vật liệu xây dựng loại lợi nhuận mà nhà máy thu đợc từ vật liệu loại đơn vị tiền, nguyên liệu nhà máy sử dụng để sản xuất vật liệu xây dựng loại lợi nhuận nhà máy thu đợc từ vật liệu loại đơn vị tiền, nguyên liệu nhà máy sử dụng để sản xuất vật liệu loại lợi nhuận nhà máy thu đợc từ vật liệu loại đơn vị tiền, nguyên liệu nhà máy sử dụng để sản xuất vật liệu xây dụng loại lợi nhuận thu đợc từ vật liệu loại đơn vị tiền H y giúp nhà máy lựa chọn sản xuất loại vật liệu với số lợng để nhà máy thu đợc lợi nhuận lớn Lời giải Mô hình toán học toán nh sau: - 64 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com F ( x) = 2x1 + x2 + 3x3 + x4 → max x1 + 3x2 + x3 + x4 ≤ 20 x j ≥ , xj - nguyªn, j = 1, Vận dụng phơng pháp giải toán túi để giải toán Khi k = ta cã: y = : F1 (0) = 1  y = : F1 (1) = 2  = 2.0 = 6 2 y = : F1 (2 ) =   = 2.0 = 6 3 y = : F1 (3) =   = 2.0 = 6 4 y = : F1 (4 ) =   = = 6 5 y = : F1 (5) =   = 2.0 = 6 6 y = : F1 (6 ) =   = 2.1 = 6 7 y = : F1 (7 ) =   = 2.1 = 6 8 y = : F1 (8) =   = 2.1 = 6 9 y = : F1 (9 ) =   = 2.1 = 6 10  y = 10 : F1 (10 ) =   = 2.1 = 6 11  y = 11 : F1 (11) =   = 2.1 = 6 12  y = 12 : F1 (12 ) =   = 2.2 = 6 - 65 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 13  y = 13 : F1 (13) =   = 2.2 = 6 14  y = 14 : F1 (14 ) =   = 2.2 = 6 15  y = 15 : F1 (15) =   = 2.2 = 6 16  y = 16 : F1 (16 ) =   = 2.2 = 6 17  y = 17 : F1 (17 ) =   = 2.2 = 6 18  y = 18 : F1 (18) =   = 2.3 = 6 19  y = 19 : F1 (19 ) =   = 2.3 = 6  20  y = 20 : F1 (20 ) =   = 2.3 = 6 Khi k = ta cã: y = : F2 (0) = y = : F2 (1) = max{7.0 + F1 (1)} = y = : F2 (2) = max{7.0 + F1 (2)} = y = : F2 (3) = max{7.0 + F1 (3);7.1 + F1 (0)} = y = : F2 (4) = max{7.0 + F1 (4);7.1 + F1 (1)} = y = : F2 (5) = max{7.0 + F1 (5);7.1 + F1 (2)} = y = : F2 (6 ) = max{7.0 + F1 (6 );7.1 + F1 (3);7.2 + F1 (0)} = max {0 + 2;7 + 0;14 + 0} = 14 y = : F2 (7 ) = max{7.0 + F1 (7 );7.1 + F1 (4);7.2 + F1 (1)} = = max {0 + 2;7 + 0;14 + 0} = 14 y = : F2 (8) = max{7.0 + F1 (8);7.1 + F1 (5);7.2 + F1 (2)} = = max{0 + 2;7 + 0;14 + 0} =14 - 66 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com y = : F2 (9 ) = max{7.0 + F1 (9 );7.1 + F1 (6 );7.2 + F1 (3);7.3 + F1 (0 )} = = max {0 + 2;7 + 0;14 + 0;21 + 0} = 21 y = 10: F2 (10) = max{7.0 + F1 (10) ;7.1+ F1 ( 7) ;7.2 + F1 ( 4) ;7.3 + F1 (1)} = = max{0 + 2;7 + 2;14 + 0;21+ 0} = 21 y =11: F2 (11) = max{7.0+ F1 (11) ;7.1+ F1 ( 8) ;7.2+ F1 ( 5) ;7.3+ F1 ( 2)} = = max{0 + 2;7 + 2;14 + 0;21+ 0} = 21 y =12: F2 (12) = max{7.0+ F1 (12) ;7.1+ F1 ( 9) ;7.2+ F1 ( 6) ;7.3+F1 ( 3) ;7.4+F1 ( 0)} = max{0 + 2;7 + 2;14 + 0;21+ 0;28 + 0} = 28 y =13: F2 (13) = max{7.0 + F1 (13) ;7.1+ F1 (10) ;7.2 + F1 ( 7) ;7.3+ F1 ( 4) ;7.4 + F1 (1)} = max{0 + 2;7 + 2;14 + 2;21+ 0;28+ 0} = 28 y =14: F2 (14) = max{7.0 + F1 (14) ;7.1+ F1 (11) ;7.2 + F1 ( 8) ;7.3 + F1 ( 5) ;7.4 + F1 ( 2)} = max{0 + 4;7 + 2;14 + 2;21+ 0;28 + 0} = 28 y = 15 : F2 (15) = max{7.0 + F1 (15);7.1 + F1 (12);7.2 + F1 (9);7.3 + F1 (6);7.4 + F1 (3); 7.5 + F1 (0)} = max{0 + 4;7 + 4;14 + 2;21 + 2;28 + 0;35 + 0} = 35 y = 16 : F2 (16) = max{7.0 + F1 (16);7.1 + F1 (13);7.2 + F1 (10);7.3 + F1 (7 );7.4 + F1 (4); 7.5 + F1 (1)} = max{0 + 4;7 + 4;14 + 2;21 + 2;28 + 0;35 + 0} = 35 y = 17 : F2 (17 ) = max{7.0 + F1 (17 );7.1 + F1 (14);7.2 + F1 (11);7.3 + F1 (8); 7.4 + F1 (5);7.5 + F1 (2)} = max{0 + 4;7 + 4;14 + 2;21 + 2;28 + 0;35 + 0} = 35 y = 18 : F2 (18) = max{7.0 + F1 (18);7.1 + F1 (15);7.2 + F1 (12);7.3 + F1 (9);7.4 + F1 (6); 7.5 + F1 (3);7.6 + F1 (0)} = max{0 + 6;7 + 4;14 + 4;21 + 2;28 + 2;35 + 0;42 + 0} = 42 y = 19 : F2 (19) = max{7.0 + F1 (19);7.1 + F1 (16);7.2 + F1 (13);7.3 + F1 (10);7.4 + F1 (7 ); 7.5 + F1 (4);7.6 + F1 (1)} = max{0 + 6;7 + 4;14 + 4;21 + 2;28 + 2;35 + 0;42 + 0} = 42 y = 20 : F2 (20) = max{7.0 + F1 (20);7.1 + F1 (17 );7.2 + F1 (14 );7.3 + F1 (11); 7.4 + F1 (8);7.5 + F1 (5);7.6 + F1 (2 )} = max{0 + 6;7 + 4;14 + 4;21 + 2;28 + 2; 35 + 0;42 + 0} = 42 Khi k = ta cã: y = : F3 (0) = y = : F3 (1) = max{3.0 + F2 (1)} = y = : F3 (2 ) = max{3.0 + F2 (2 );3.1 + F2 (0 )} = - 67 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com y = : F3 (3) = max{3.0 + F2 (3);3.1 + F2 (1)} = max {0 + 7;3 + 0} = { } y = : F3 ( 4) = max 3.0+ F2 ( 4) ;3.1+ F2 ( 2) ;3.2+ F2 ( 0) = max{0 + 7;3+ 0;6 + 0} = y = 5: F3 ( 5) = max{3.0 + F2 ( 5) ;3.1+ F2 ( 3) ;3.2 + F2 (1)} = max{0 + 7;3+ 7;6 + 0} =10 y = : F3 ( 6) = max{3.0 + F2 ( 6) ;3.1+ F2 ( 4) ;3.2 + F2 ( 2) ;3.3 + F2 ( 0)} = max{0 + 14;3 + 7;6 + 0;9 + 0} = 14 y = : F3 ( 7) = max{3.0 + F2 ( 7) ;3.1+ F2 ( 5) ;3.2 + F2 ( 3) ;3.3 + F2 (1)} = max{0 +14;3 + 7;6 + 7;9 + 0} = 14 y = : F3 ( 8) = max{3.0 + F2 ( 8) ;3.1+ F2 ( 6) ;3.2 + F2 ( 4) ;3.3 + F2 ( 2) ;3.4 + F2 ( 2)} = = max{0 +14;3 +14;6 + 7;9 + 0;12 + 0} = 17 y = : F3 ( 9) = max{3.0 + F2 ( 9) ;3.1+ F2 ( 7) ;3.2 + F2 ( 5) ;3.3+ F2 ( 3) ;3.4 + F2 (1)} = = max{0 + 21;3 +14;6 + 7;9 + 7;12 + 0} = 21 y = 10 : F3 (10 ) = max{3.0 + F2 (10 );3.1 + F2 (8);3.2 + F2 (6 );3.3 + F2 (4);3.4 + F2 (2 ); 3.5 + F2 (0 )} = max{0 + 21;3 + 14;6 + 14;9 + 7;12 + 0;15 + 0} = 21 y = 11 : F3 (11) = max{3.0 + F2 (11);3.1 + F2 (9 );3.2 + F2 (7 );3.3 + F2 (5);3.4 + F2 (3); 3.5 + F2 (1)} = max{0 + 21;3 + 21;6 + 14;9 + 7;12 + 7;15 + 0} = 24 y = 12 : F3 (12 ) = max{3.0 + F2 (12 );3.1 + F2 (10 );3.2 + F2 (8);3.3 + F2 (6 );3.4 + F2 (4 ); 3.5 + F2 (2 );3.6 + F2 (0 )} = max{0 + 28;3 + 21;6 + 14;9 + 14;12 + 7;15 + 0;18 + 0} = 28 y =13: F3 (13) = max{3.0 + F2 (13) ;3.1+ F2 (11) ;3.2 + F2 ( 9) ;3.3+ F2 ( 7) ;3.4 + F2 ( 5) 3.5+ F2 (3);3.6+ F2 (1)}= max{0 + 28;3+ 21;6 + 21;9 +14;12 + 7;15 + 7;18 + 0} = 28 y = 14 : F3 (14) = max{3.0 + F2 (14 );3.1 + F2 (12);3.2 + F2 (10 );3.3 + F2 (8);3.4 + F2 (6 ); 3.5 + F2 (4 );3.6 + F2 (2 );3.7 + F2 (0 )} = max{0 + 28;3 + 28;6 + 21;9 + 14;12 + 14;15 + 7; 18 + 0;21} = 31 y =15: F3 (15) = max{3.0 + F2 (15) ;3.1+ F2 (13) ;3.2 + F2 (11) ;3.3+ F2 ( 9) ;3.4 + F2 ( 7) ; 3.5 + F2 ( 5) ;3.6 + F2 ( 3) ;3.7 + F2 (1)} = max{0 + 35;3 + 28;6 + 21;9 + 21;12 +14;15 + 7; 18 + 7;21} = 35 - 68 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com y =16: F3 (16) = max{3.0 + F2 (16);3.1+ F2 (14);3.2 + F2 (12);3.3+ F2 (10);3.4 + F2 (8);3.5 + F2 (6); 3.6 + F2 (4);3.7 + F2 (2);3.8 + F2 (0)} = max{0 + 35;3+ 28;6 + 28;9 + 21;12+14;15+14;18+ 7; 21+ 0;24+ 0} = 35 y = 17: F3 (17) = max{3.0 + F2 (17);3.1 + F2 (15);3.2 + F2 (13);3.3 + F2 (11);3.4 + F2 (9); 3.5 + F2 (7);3.6 + F2 (5);3.7 + F2 (3);3.8 + F2 (1)} = max{0 + 35;3 + 35;6 + 28;9 + 21;12 + 21; 15 + 14;18 + 7;21+ 7;24 + 0} = 38 y = 18: F3 (18) = max{3.0 + F2 (18);3.1 + F2 (16);3.2 + F2 (14);3.3 + F2 (12);3.4 + F2 (10); 3.5 + F2 (8);3.6 + F2 (6);3.7 + F2 (4);3.8 + F2 (2);3.9 + F2 (0)} = max{0 + 42;3 + 35;6 + 28; + 28;12 + 21;15 + 14;18 + 14;21+ 7;24 + 0;27} = 42 y = 19: F3 (19) = max{3.0 + F2 (19);3.1 + F2 (17);3.2 + F2 (15);3.3 + F2 (13);3.4 + F2 (11); 3.5 + F2 (9);3.6 + F2 (7);3.7 + F2 (5);3.8 + F2 (3);3.9 + F2 (1)} = max{0 + 42;3 + 35;6 + 35; + 28;12 + 21;15 + 21;18 + 14;21+ 7;24 + 7;27 + 0} = 42 y = 20: F3 (20) = max{3.0 + F2 (20);3.1 + F2 (18);3.2 + F2 (16);3.3 + F2 (14);3.4 + F2 (12); 3.5 + F2 (10);3.6 + F2 (8);3.7 + F2 (6);3.8 + F2 (4);3.9 + F2 (2);3.10 + F2 (0)} = max{0 + 42; + 42;6 + 35;9 + 28;12 + 28;15 + 21;18 + 14;21+ 14;24 + 7;27 + 0;30 + 0} = 45 Khi k = t−¬ng tù ta cã: y = : F4 (0 ) = y = 1 : F (1 ) = y = : F4 (0 ) = y = : F (1 ) = y = : F4 (2 ) = y = : F (1 ) = y = : F4 (3) = y = : F (1 ) = y = : F4 (4 ) = y = : F (1 ) = y = : F4 (5 ) = y = : F (1 ) = y = : F4 (6 ) = y = : F (1 ) = y = : F4 (7 ) = y = : F (1 ) = y = : F (8 ) = y = : F (1 ) = y = : F4 (9 ) = y = : F4 (2 ) = y = : F (1 ) = 2 Ta thÊy: F4 (20 ) = 45 ⇒ x = 0; F3 (20 ) = 45 F3 (20) = 45 ⇒ x3 = 1; F2 (18) = 42 F2 (18) = 42 ⇒ x2 = 6; F1 (0) = - 69 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com F1 (0) = ⇒ x1 = ( ) * * Phơng án tối u: x = (0 ,6 ,1, ); F x = 45 Bài tập 10: Giải toán túi sau F ( x) = 11x1 + x2 + x3 → max x1 + x2 + x3 ≤ 20 xj ≥ 0, xj - nguyên, j = 1,3 Lời giải Giải toán túi cách dùng hệ thức Dantzig: y F0 ( y ) F1 ( y ) j1 ( y ) F2 ( y ) j2 ( y ) F3 ( y ) j3 ( y ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 7 11 11 11 11 11 12 11 14 14 11 14 16 10 11 18 18 11 11 18 19 12 22 22 22 13 22 22 23 14 22 25 25 15 22 25 27 - 70 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 16 22 29 29 17 22 29 30 18 33 33 33 19 33 33 34 20 33 36 36 Ta thu đợc giá trị tối u F3 (20) = 36 * * Tìm phơng án tối u to¸n: j3 (20) = ⇒ x3 = , x = * TiÕp tôc: j3 (20 − a2 ) = j3 (20 − 4) = j3 (16) = ⇒ x2 =1+1= * j3 (16 − 4) = j3 (12) = ⇒ x1 = j3(12 − a1) = j3(12 − 6) = j3(6) =1 ⇒ x1* =1+1= j3 (6 − a1) = j3 (6 − 6) = j3 (0) = Phơng án tối u: x * = (2, 2, 0) , F ( x* ) = 36 Bµi tËp 11: Giải toán túi sau: 8x1 + 5x2 + x3 → max  3x1 + 2x2 + x3 ≤ 13 x j ≥ , nguyªn, j = 1, Lời giải Ta giải toán theo hệ thøc Dantzig: y F0(y) F1(y) j1(y) F2(y) j2(y) F3(y) j3(y) 0 0 0 0 0 0 0 5 8 8 10 10 13 13 16 16 16 - 71 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 16 18 18 16 21 21 24 24 24 10 24 26 26 11 24 29 29 12 32 32 32 13 32 34 34 Ta thu đợc giá trị tối u toán F3(13) = 34 * * Tìm phơng án tối u toán j3(13) = ⇒ x2 = 1, x3 = TiÕp tôc j3(13 − a2 ) = j3 (13 − 2) = j3 (11) = → x2* =1+1 = j3 (11 − a2 ) = j3 (11 − 2) = j3 (9) = → x1* = j3 (9 − a1) = j3 (9 − 3) = j3 (6) =1→ x1* =1+1 = j3 (6 − a1 ) = j3 (6 − 3) = j3(3) =1 → x1* = +1 = j3 (3 − a1 ) = j3 (3 − 3) = j3 (0) chấm dứt Vậy phơng án tối u toán x = (3, 2,0) * Kết luận chơng 3: Chơng đ trình bày tập vận dụng lý thuyết quy hoạch nguyên tuyến tính tổng quát; thuật toán giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính: thuật toán cắt Gomory, thuật toán Land Doig, đa toán quy hoạch nguyên toán túi để giải phơng pháp truy toán quy hoạch động giải toán túi Kết trình bày chơng cho thấy tầm quan trọng , tính thiết thực lý thuyết toán quy hoạch nguyên tuyến tính lĩnh vực khoa học kỹ thuật, hoạt động thực tiễn đời sèng x héi - 72 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết luận Theo hớng sâu nghiên cứu toán quy hoạch nguyên tuyến tính khoá luận đ thu đợc kết sau: ã Hệ thống hoá kiến thức liên quan đến toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, số thuật toán giải toán quy hoạch tuyến tính ã Trình bày tổng quát lý thuyết xây dựng thuật toán giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính: thuật toán cắt Gomory, thuật toán Land Doig, phơng pháp truy toán quy hoạch động giải toán túi ã Xây dựng hệ thống tập vận dụng thuật toán để giải Khoá luận phát triển theo hớng sau ã Xây dựng biện pháp chống xoay vòng giải toán quy hoạch nguyên (theo thuật toán cắt Gomory) ã Nghiên cứu, vận dụng lý thuyết giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính cho toán quy hoạch nguyên tổng quát Căn vào mục tiêu, nội dung nghiên cứu đ đề đề cơng nghiên cứu sử dụng hợp lý phơng pháp nghiên cứu, đ tiến hành nghiên cứu hớng hoàn thành khoá luận Mặc dù thân đ cố gắng, song điều kiện thời gian, trình độ chuyên môn có hạn nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đợc bảo tận tình thầy giáo, cô giáo góp ý bạn sinh viên để khoá luận đợc hoàn chỉnh - 73 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo Trần Đình ánh - Bài tập quy hoạch tuyến tính PhÝ M¹nh Ban - Quy ho¹ch tuyÕn tÝnh cao đẳng s phạm - NXB ĐHSP 2004 Phí Mạnh Ban - Bài tập quy hoạch tuyến tính - NXB §HSP 2004 Ngun §øc NghÜa - Tèi −u ho¸ quy hoạch tuyến tính rời rạc - NXBGD 1996 Bïi Minh TrÝ - Tèi −u hãa - NXB khoa häc kü thuËt - 2006 Bïi Minh TrÝ - Bài tập tối u hoá - NXB Khoa học kỹ thuật - 2006 Bùi Thế Tâm - Ngun Vị TiÕn C¸c tht to¸n tèi −u ho¸ (Quy hoạch tuyến tính) NXB Giao thông vận tải Hà Nội 2000 Nguyễn Địch Lý thuyết tối u hoá (tài liệu dùng cho sinh viên đại học mở Hà Nội, 2004.) Nguyễn Ngọc Thắng Nguyễn Đình Hoá Quy hoạch tuyến tính NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2004 10.Đặng Văn Uyên Quy hoạch tuyến tính Sách Đại häc S− ph¹m – NXBGD 1998 - 74 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - 75 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... 1.1 Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính tổng quát 1.2 Thuật toán đơn hình giải toán quy hoạch tuyến tính 1.3 Thuật toán đơn hình đối ngẫu giải toán quy hoạch tuyến tính tắc Chơng Bài toán quy hoạch. .. thuật toán giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính 2.2 Một số thuật toán giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính 2.2.1 Thuật toán cắt Gomory T tởng thuật toán : Xét toán quy hoạch nguyên tuyến tính. .. lớp toán tất (hoặc phận) biến nhận giá trị nguyên, toán quy hoạch nguyên Trong toán quy hoạch nguyên, hàm mục tiêu hệ ràng buộc hàm tuyến tính ta có toán quy hoạch nguyên tuyến tính Đối với toán