Bài toán quy hoạch phân tuyến tính

Số hóa bởi trung tâm học liệu http //lrc tnu edu vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  NGUYỄN VĂN HÙNG BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2013 Số hó[.]

Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  NGUYỄN VĂN HÙNG BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  NGUYỄN VĂN HÙNG BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện 1.2 Hàm lồi, hàm lõm mở rộng 1.3 Cực tiểu địa phương toàn cục 5 11 Bài 2.1 2.2 2.3 2.4 15 15 18 20 21 21 23 23 24 27 27 31 34 38 38 39 toán qui hoạch phân tuyến tính Bài tốn tính chất Dạng tắc dạng tổng quát Liên hệ với quy hoạch tuyến tính Bài tốn hai biến số 2.4.1 Lời giải tối ưu 2.4.2 Nhiều lời giải tối ưu 2.4.3 Lời giải tối ưu hữu hạn vô 2.4.4 Lời giải tối ưu tiệm cận cực Phương pháp giải qui hoạch phân tuyến 3.1 Biến đổi Charnes Cooper 3.2 Thuật toán Gilmore Gomory 3.3 Thuật toán Dinkelbach 3.4 Thuật toán Béla Martos 3.4.1 Tiêu chuẩn tối ưu 3.4.2 Các bước thuật toán Kết luận tính 44 Tài liệu tham khảo 45 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình Giáo sư Tiến sĩ Trần Vũ Thiệu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình Thầy suốt trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam, Thầy, cô Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới Thầy cô Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Hịa Bình, Ban giám hiệu, tổ chức Đồn thể, tổ chun mơn, nhóm tốn trường THPT Lạc Thủy B bạn bè đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn Tác giả Nguyễn Văn Hùng Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Qui hoạch tuyến tính (Linear Programming) tốn tối ưu đơn giản Đó tốn tìm cực đại (hay cực tiểu) hàm tuyến tính với ràng buộc (đẳng thức hay bất đẳng thức) tuyến tính Qui hoạch tuyến tính có nhiều ứng dụng rộng rãi lý thuyết thực tiễn Phương pháp đơn hình (do G B Dantzing đề xuất năm 1974) phương pháp quen thuộc, có hiệu để giải tốn qui hoạch tuyến tính tốn đưa qui hoạch tuyến tính Mơ hình tốn học tốn qui hoạch tuyến tính (chính tắc) có dạng sau: Tìm biến số xj (j = 1, 2, , n) cho c1 x1 + c2 x2 + + cn xn → min, với điền kiện ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn = bi , i = 1, 2, , m, xj ≥ 0, j = 1, 2, , n, aij , bi cj số cho trước (m, n nguyên dương) Có thể xét mở rộng tốn qui hoạch tuyến tính theo nhiều cách khác nhau, xét toán với biến số bị chặn, toán với hàm mục tiêu phi tuyến (phân tuyến tính, tồn phương, lồi hay lõm), qui hoạch tuyến tính với hệ số mục tiêu hay vế phải ràng buộc phụ thuộc tham số (qui hoạch tham số), v.v Đáng ý mở rộng trực tiếp sau đây: tìm cực đại (hay cực tiểu) hàm phân thức tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính) với ràng buộc (đẳng thức hay bất đẳng thức) tuyến tính Bài tốn mở rộng gọi qui hoạch hypecbolic, hay qui hoạch phân tuyến tính (LinearFractional Programming, thường viết tắt LFP) Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính nảy sinh từ thực tiễn, có nhu cầu tối ưu hóa hiệu hoạt động Chẳng hạn, cực đại hóa lợi nhuận thu cơng ty đơn vị hao phí lao động, cực tiểu chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm làm ra, cực đại lượng chất dinh dưỡng thu số tiền bỏ mua thực phẩm, v.v Hiện nay, nguồn tài nguyên thiên nhiên có hạn nên việc sử dụng tiêu chuẩn cụ thể ngày trở nên phổ biến Vì thể ứng dụng qui hoạch phân tuyến tính giải tốn thực tế tối ưu hóa hiệu hoạt động hữu ích qui hoạch tuyến tính Luận văn nhằm mục đích tìm hiểu trình bày kết có Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ tốn qui hoạch phân tuyến tính, mở rộng trực tiếp tốn qui hoạch tuyến tính Đặc biệt tính chất đặc thù đáng ý phương pháp quen thuộc giải tốn qui hoạch phân tuyến tính Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương với tiêu đề "Kiến thức chuẩn bị" trình bày số kiến thức tập lồi (tập lồi da diện), hàm lồi (hàm lõm), hàm lồi mở rộng tính chất cực trị hàm Các kiến thức dùng đến xét toán tối ưu với hàm mục tiêu phân tuyến tính, với ràng buộc tuyến tính Chương với tiêu đề "Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính" đề cập tới tốn qui hoạch phân tuyến tính, tốn tìm cực đại (hay cực tiểu) hàm phân thức tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính) với ràng buộc (đẳng thức hay bất đẳng thức) tuyến tính Hàm phân thức có tính chất đơn điệu (tăng giảm) theo phương cực trị địa phương ln cực trị tồn cục Từ cực trị hàm phân thức đa diện lồi ln đạt đỉnh Phần đầu nêu nội dung ý nghĩa thực tiến toán, dạng hay gặp toán nêu mối liên hệ tốn qui hoạch phân tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính Cuối chương, xét tính chất nghiệm tốn hai biến số Chương với tiêu đề "Phương pháp giải qui hoạch phân tuyến tính" đề cập tới phương pháp tiêu biểu giải tốn qui hoạch phân tuyến tính Khi tập ràng buộc toán tập đa diện lồi (tập lồi đa diện bị chặn), thuật toán Charnes Cooper (1962) đưa giải toán quy hoạch tuyến tính tương đương Tiếp thuật tốn Gilmore Gomory (1960), chuyển từ đỉnh tới đỉnh đa diện đạt tới đỉnh tối ưu thuật toán Dinketbach (1962) dựa qui hoạch tham số Cuối chương, xét thuật tốn kiểu đơn hình Béla Martos (1960) Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn cịn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hồn thiện luận văn Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức sở tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi (hàm lõm) mở rộng, tính chất cực trị hàm Các kiến thức cần đến xét toán tối ưu với hàm mục tiêu phân tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính) với ràng buộc tuyến tính Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [2], [4] [5] 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện Tập lồi khái niệm quan trọng dùng rộng rãi tối ưu hóa Tập lồi có nhiều tính chất đáng ý, đặc biệt tập lồi đa diện Định nghĩa 1.1 Tập C Rn gọi tập lồi chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Nói cách khác, tập C lồi λa + (1 − λ)b ∈ C với a, b ∈ C ≤ λ ≤ Nói riêng tập rỗng, tập gồm phần tử tồn khơng gian Rn tập lồi Ví dụ 1.1 Các tập sau tập lồi: a) Tập afin, tức tập hợp chứa trọn đường thẳng qua hai điểm thuộc b) Siêu phẳng, tức tập có dạng H = {x ∈ Rn : aT x = α, a ∈ Rn \{0}, với α ∈ R} c) Các nửa khơng gian đóng H1 = {x ∈ Rn : aT x ≤ α}, H2 = {x ∈ Rn : aT x ≥ α} d) Các nửa không gian mở K1 = {x ∈ Rn : aT x < α}, K2 = {x ∈ Rn : aT x > α} e) Hình cầu đóng B(a,r)={x ∈ Rn : kx − ak ≤ r}, (a ∈ Rn với r > cho trước) Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ • Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy số tính chất đơn giản sau đây: a) Giao họ tập lồi tập lồi (nhưng hợp không đúng!) b) Tổng hai tập lồi hiệu hai tập lồi tập lồi c) Nếu C ⊂ Rm , D ⊂ Rn tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} tập lồi Rm+n (Có thể mở rộng cho tích nhiều tập lồi) d) Tập M tập afin M = a + L với a ∈ M L không gian con, gọi không gian song song với M, hay tương đương: M tập afin M tập nghiệm hệ phương trình tuyến tính, tức có biểu diễn M = {x ∈ Rn : Ax = b, A ∈ Rm×n , b ∈ Rm } Giao tập afin tập afin Định nghĩa 1.2 a) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn , λi ≥ 0, λ1 + λ2 + λk = 1, gọi tổ hợp lồi điểm a1 , a2 , , ak b) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn , λ1 + λ2 + λk = 1, gọi tổ hợp afin điểm a1 , a2 , , ak c) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn , λi ≥ 0, gọi tổ hợp tuyến tính khơng âm hay tổ hợp nón điểm a1 , a2 , , ak Định nghĩa 1.3 Cho E tập Rn a) Giao tất tập afin chứa E gọi bao afin E, kí hiệu affE Đó tập afin nhỏ chứa E b) Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E, ký hiệu convE Đó tập lồi nhỏ chứa E Định nghĩa 1.4 a) Thứ nguyên (hay số chiều) tập afin M, ký hiệu dimM , thứ nguyên (số chiều) không gian song song với Quy ước dimφ = −1 b) Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C, ký hiệu dimC , thứ nguyên hay số chiều bao afin affC Một tập lồi C Rn gọi có thứ nguyên đầy đủ dimC = n Tập lồi đa diện dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản hay gặp lý thuyết tối ưu tuyến tính Định nghĩa 1.5 Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng gọi tập lồi đa diện (polyhedral convex set) Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn ≤ bi , i = 1, 2, , m Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ nghĩa tập x ∈ Rn nghiệm Ax ≤ b với A = (aij ) ∈ Rm×n , b = (b1 , , bm )T Nhận xét 1.1 Do phương trình tuyến tính biểu diễn tương đương hai bất phương trình tuyến tính, nên tập nghiệm hệ phương trình bất phương trình tuyến tính tập lồi đa diện: ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn = bi , i = 1, 2, , p, ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn ≤ bi , i = p + 1, , m, Một tập lồi đa diện khơng bị chặn (không giới nội) Một tập lồi đa diện bị chặn gọi đa diện lồi (polytope) Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường R2 ví dụ cụ thể đa diện lồi Cho D = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0}, tức D tập nghiệm không âm hệ phương trình tuyến tính Theo định nghĩa, D tập lồi đa diện Tập không chứa trọn đường thẳng (do x ≥ 0) nên D có đỉnh Các phương cực biên (đã chuẩn hóa) D nghiệm sở hệ Ay = 0, eT y = 1, y ≥ e = (1, , 1)T Ta có định lý biểu diễn sau đây, hay dùng chứng minh Định lý 1.1 Mỗi điểm tập lồi đa diện D = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} biểu diễn dạng tổ hợp lồi tập hữu hạn đỉnh D cộng với tổ hợp tuyến tính khơng âm tập hữu hạn phương cực biên D Ví dụ 1.2 Ví dụ nhằm minh họa cho cách biểu diễn điểm thuộc tập lồi đa diện dạng tổ hợp lồi tập hữu hạn đỉnh cộng với tổ hợp tuyến tính khơng âm tập hữu hạn phương cực biên chuẩn hóa, chứng minh Định lý 1.1 Cho tập lồi đa diện: D = {x ∈ R2 : x1 + x2 ≥ 2, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}, vẽ Hình 1.1 Từ hình vẽ ta thấy Hình 1.1: Minh họa định lý biểu diễn Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Các đỉnh D gồm có u1 = (2, 0)T u2 = (0, 2)T Các cạnh vô hạn D : (x1 ≥ 2, x2 = 0) (x1 = 0, x2 ≥ 2) Các phương cực biên D gồm có v = (1, 0)T v = (0, 1)T Với ví dụ này, Định lý 1.1 nói điểm x ∈ D viết dạng: ! ! ! ! x = α1 + α2 + β1 + β2 , α1 + α2 = 1, α1 ≥ 0, α2 ≥ 0, β1 ≥ 0, β2 ≥ Chẳng hạn, x = (1, 3)T có biểu diễn với α1 = 0, α2 = 1, β1 = β2 = α1 = α2 = 0, 5, β1 = 0, β2 = tổ hợp lồi hai biểu diễn 1.2 Hàm lồi, hàm lõm mở rộng Định nghĩa 1.6 a) Hàm f : S → [−∞, +∞] xác định tập lồi S ⊆ Rn gọi hàm lồi S với x1 , x2 ∈ S số thực λ ∈ [0, 1] ta có f [λx1 + (1 − λ)x2 ] ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) vế phải xác định, nghĩa hệ thức cần thỏa mãn trừ f (x1 ) = −f (x2 ) = ±∞ (vì biểu thức +∞; −∞ khơng có nghĩa) b) Hàm f gọi hàm lồi chặt S với x1 , x2 ∈ S , x1 6= x2 số thực λ ∈ (0, 1) ta có f [λx1 + (1 − λ)x2 ] < λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) Hiển nhiên, hàm lồi chặt hàm lồi, điều ngược lại không Định nghĩa 1.7 a) Hàm f gọi hàm lõm (hàm lõm chặt) S −f hàm lồi (hàm lồi chặt) S b) Hàm f gọi hàm tuyến tính afin (hay đơn giản hàm afin) S f hữu hạn vừa lồi, vừa lõm S Một hàm afin Rn có dạng f (x) = aT x + α với a ∈ Rn , α ∈ R với x1 , x2 ∈ Rn λ ∈ [0, 1] ta có f [λx1 + (1 − λ)x2 ] = λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) Hàm tuyến tính trường hợp riêng hàm afin, α = Tuy nhiên, hàm afin (nói riêng, hàm tuyến tính) khơng lồi chặt hay lõm chặt Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Nhận xét 1.2 Hàm lồi f : S → [−∞, +∞] mở rộng thành hàm lồi xác định Rn cách đặt f (x) = +∞ với x ∈ / S Vì để đơn n giản, ta thường xét hàm lồi R • Sau số ví dụ quen thuộc hàm lồi với C ⊆ Rn tập hợp lồi khác rỗng: p + Hàm chuẩn Euclid kxk = hx, xi, x ∈ Rn + Hàm C :  δC (x) = +∞ x ∈ C, x ∈ / C + Hàm tựa C : sC (x) = sup y T x (cận xT y C) y∈C + Hàm khoảng cách từ điểm x ∈ Rn tới C : dC (x) = inf kx − yk y∈C • Bốn phép tốn bảo tồn tính lồi hàm (suy trực tiếp từ định nghĩa): a) Nếu fi : Rn → R, (i = 1, , m) hàm lồi α1 f1 + + αm fm lồi với αi ≥ lồi chặt hàm fi lồi chặt với αi > b) Nếu fi , (i ∈ I) : Rn → R hàm lồi f (x) = sup fi (x) hàm lồi i∈I c) Nếu A : Rm → Rn biến đổi tuyến tính g : Rn → R hàm lồi hàm hợp f (x) = g(Ax) hàm lồi d) Nếu g : D ⊆ Rn → R hàm lồi h : R → R hàm lồi khơng giảm hàm hợp f (x) = h(g(x)) hàm lồi Ví dụ 1.3 Theo d) hàm f (x) = c1 eg1 (x) + + cm egm (x) (x ∈ Rn ) lồi với ci ≥ hàm gi (x) lồi (chẳng hạn f (x1 , x2 ) = ex1 +x2 + 2ex1 −x2 hàm lồi) Định lý sau nêu mối liên hệ đáng ý hàm lồi tập lồi Định lý 1.2 Giả sử f : Rn → [−∞, +∞] hàm lồi tồn khơng gian Rn α ∈ [−∞, +∞] Khi tập mức Cα = {x : f (x) < α}, C α = {x : f (x) ≤ α} ... http://lrc.tnu.edu.vn/ tốn qui hoạch phân tuyến tính, mở rộng trực tiếp toán qui hoạch tuyến tính Đặc biệt tính chất đặc thù đáng ý phương pháp quen thuộc giải tốn qui hoạch phân tuyến tính Luận văn gồm lời... tốn qui hoạch phân tuyến tính, tốn tìm cực đại (hay cực tiểu) hàm phân thức tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính) với ràng buộc (đẳng thức hay bất đẳng thức) tuyến tính Hàm phân thức có tính chất... lồi mở rộng tính chất cực trị hàm Các kiến thức dùng đến xét toán tối ưu với hàm mục tiêu phân tuyến tính, với ràng buộc tuyến tính Chương với tiêu đề "Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính" đề cập