Luận văn thạc sĩ toán học một thuật toán tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————————————————— NGUYỄN THỊ HẢI NHƯ MỘT THUẬT TOÁN TÌM NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH SONG TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên Năm 2017[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————————————————— NGUYỄN THỊ HẢI NHƯ MỘT THUẬT TỐN TÌM NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TỐN QUY HOẠCH SONG TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOC ————————————————— NGUYỄN THỊ HẢI NHƯ MỘT THUẬT TỐN TÌM NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TỐN QUY HOẠCH SONG TUYẾN TÍNH Chun ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - Năm 2017 i Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới GS.TS Trần Vũ Thiệu, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới phịng Sau Đại học, thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Toán ứng dụng trường Đại học Khoa Học Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Nguyễn Thị Hải Như ii Mục lục Lời cảm ơn i Mục lục i Một số ký hiệu viết tắt Mở đầu 1 Bài tốn quy hoạch song tuyến tính 1.1 Đối ngẫu quy hoạch tuyến tính 1.2 Bài toán quy hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính 1.2.1 Hàm lõm tính chất 1.2.2 Bài toán quy hoạch lõm 1.3 1.4 10 Bài tốn quy hoạch song tuyến tính 11 1.3.1 Phát biểu toán 12 1.3.2 Quan hệ với toán quy hoạch lõm 13 1.3.3 Tính chất nghiệm tốn song tuyến tính 15 Tìm nghiệm cực tiểu địa phương 16 iii Thuật toán giải quy hoạch song tuyến tính 2.1 19 Cơ sở lý thuyết thuật toán 19 2.1.1 Biến đổi toán quy hoạch song tuyến tính 19 2.1.2 Điều kiện tối ưu thuật toán 23 Mơ tả thuật tốn 25 2.2.1 Các bước thuật toán 25 2.2.2 Suy biến 28 2.2.3 Sự hội tụ 31 2.3 Cách tiếp cận siêu phẳng cắt 34 2.4 Ví dụ minh họa thuật tốn 36 2.2 Tài liệu tham khảo 46 Một số ký hiệu viết tắt R Tập số thực hay đường thẳng thực Rn Khơng gian Euclid n chiều Rm×n Tập ma trận thực cấp (m × n) x∈C x thuộc tâp C (x phần tử tập C) ∅ Tập rỗng (Tập không chứa phần tử nào) C ∪D Hợp tập C tập D C ∩D Giao tập C tập D C⊂D C tập tập D C⊆D C tập (có thể bằng) tập D xT y Tích vơ hướng cuả x y x0 , x1 , x2 , , xn Các tọa độ điểm hay thành phần véctơ x ( số ) x1 , x2 , x3 Liệt kê véctơ có số chiều (cùng số trên) AT Ma trận chuyển vị ma trận A A−1 Ma trận nghịch đảo ma trận A 2 Mở đầu Hàm f (x, y) gọi hàm song tuyến tính (bilinear function) hàm tuyến tính cố định véctơ biến x hay véctơ biến y giá trị cụ thể Tổng quát, hàm song tuyến tính có dạng: f (x, y) = aT x + xT Qy + bT y, a, x ∈ Rn , b, y ∈ Rm Q ma trận cấp n × m Có thể thấy hàm song tuyến tính trường hợp riêng hàm tồn phương hàm song tuyến tính nói chung khơng lồi, khơng lõm Bài tốn cực tiểu hàm song tuyến tính với ràng buộc tuyến tính biến x biến y gọi quy hoạch song tuyến tính (bilinear programming problem) Như vậy, xem quy hoạch song tuyến tính tốn quy hoạch tồn phương đặc biệt Quy hoạch song tuyến tính có nhiều ứng dụng đa dạng tốn trị chơi ma trận có ràng buộc, tốn bù tuyến tính tốn phân việc 3-chiều Đáng ý toán quy hoạch lõm, tuyến tính khúc tốn luồng mạng với phụ phí cố định (rất quen thuộc quản lý chuỗi cung ứng) giải nhờ dùng cách diễn đạt song tuyến tính (xem [4]) 3 Luận văn xét toán quy hoạch song tuyến tính, ký hiệu (BP): x∈X, y∈Y f (x, y) = aT x + xT Qy + bT y, (BP ) X, Y tập lồi đa diện, khác rỗng Có nhiều thuật tốn khác để giải (BP) Luận văn tìm hiểu trình bày thuật toán bản, nêu tài liệu [3] để giải toán Để hiểu rõ toán quy hoạch song tuyến tính thuật tốn trình bày, luận văn nhắc lại số kiến thức tối ưu có liên quan: đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, tốn quy hoạch lõm tính chất, tốn tối ưu toàn cục, Các kiến thức quy hoạch song tuyến nêu chương luận văn Nội dung luận văn thuật tốn [3] giải quy hoạch song tuyến tính: bước thuật toán, hội tụ thuật toán ví dụ minh họa thuật tốn Các nội dung trình bày chi tiết chương luận văn Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [1] - [6] có gồm hai chương: Chương 1: Bài tốn quy hoạch song tuyến tính nhắc lại kiến thức đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, tốn quy hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính, khái niệm hàm lõm (hàm tựa lõm) tính chất hàm lõm Tiếp đó, giới thiệu tốn quy hoạch song tuyến tính, tính chất nghiệm tốn mối liên hệ với toán cực tiểu hàm lõm, tuyến tính khúc Cuối chương giới thiệu "thuật tốn xuống núi" tìm nghiệm cực tiểu địa phương tốn quy hoạch song tuyến tính đưa ví dụ minh họa thuật toán Chương 2: Thuật toán giải tốn quy hoạch song tuyến tính trình bày thuật toán nêu tài liệu tham khảo [3] để giải tốn quy hoạch song tuyến tính Thuật toán biến đổi toán ban đầu tốn tối ưu tập khơng lồi giải tốn đó, dựa điều kiện tối ưu cần đủ đưa chứng minh hội tụ nghiệm toán quy hoạch song tuyến tính ban đầu Thuật tốn trình bày minh họa ví dụ số cụ thể 5 Chương Bài tốn quy hoạch song tuyến tính Chương nhắc lại kết đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, tốn quy hoạch lõm ràng buộc tuyến tính Tiếp đề cập tới tốn quy hoạch song tuyến tính, tính chất nghiệm tốn mối liên hệ với tốn cực tiểu hàm lõm, tuyến tính khúc Cuối chương nêu thuật tốn tìm cực tiểu địa phương toán Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [5] - [6] 1.1 Đối ngẫu quy hoạch tuyến tính A Trong quy hoạch tuyến tính người ta hay xét hai dạng tốn sau • Dạng chuẩn tắc:  f (x) = cT x : Ax > b, x > , n Trong A ∈ Rm×n , b ∈ Rn , x > có nghĩa x ∈ R+ Trong toán tập ràng buộc D = {x ∈ Rn : Ax > b, x > 0} tập lồi đa diện 6 • Dạng tắc:  f (x) = cT x : Ax = b, x > , A, b, c x xác định Trong toán tập ràng buộc D = {x ∈ Rn : Ax = b, x > 0} tập lồi đa diện Có thể dễ dàng chuyển từ dạng chuẩn tắc sang dạng tắc ngược lại Trong toán f(x) gọi hàm mục tiêu Mỗi bất phương trình (Ax)i > bi hay phương trình (Ax)i = bi gọi ràng buộc chính, xj ≥ 0, j = 1, , n, gọi ràng buộc không âm hay ràng buộc dấu Véctơ (điểm) x ∈ D gọi nghiệm chấp nhận hay phương án Một phương án đạt cực tiểu hàm mục tiêu f(x) gọi phương án tối ưu hay nghiệm tối ưu toán Mỗi toán quy hoạch tuyến tính cho, gọi tốn gốc, ln kèm với tốn quy hoạch tuyến tính thứ hai, gọi tốn đối ngẫu Hai toán quan hệ mật thiết với từ nghiệm tối ưu tốn suy nghiệm tối ưu toán ngược lại B Sau hai dạng cặp tốn đối ngẫu thường gặp • Đối ngẫu qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc (bài tốn gốc)  (P) f (x) = cT x : Ax > b, x > toán qui hoạch tuyến tính (bài tốn đối ngẫu):  (Q) max g (y) = bT y : AT y c, y > ( AT ma trận chuyển vị ma trận A ) • Đối ngẫu qui hoạch tuyến tính dạng tắc (bài tốn gốc): (P)  f (x) = cT x : Ax = b, x > tốn qui hoạch tuyến tính (bài toán đối ngẫu):  (Q) max g (y) = bT y : AT y c Dễ kiểm tra lại lấy đối ngẫu toán đối ngẫu ta lại tốn gốc Vì ta gọi (P) (Q) cặp toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu C Các kết sau cho cặp toán đối ngẫu (P), (Q) dạng Định lý 1.1.1 (Đối ngẫu yếu) Nếu x lời giải chấp nhận toán gốc (P) y lời giải chấp nhận tốn đối ngẫu (Q) f (x) = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn > g (y) = b1 y1 + b2 y2 + + bm ym , nghĩa giá trị mục tiêu phương án gốc (bài tốn min) khơng nhỏ giá trị mục tiêu phương án đối ngẫu (bài toán max) Định lý 1.1.2 (Đối ngẫu mạnh) Nếu qui hoạch có nghiệm tối ưu qui hoạch đối ngẫu có nghiệm tối ưu hai giá trị tối ưu Các định lý suy quan hệ sau hai toán gốc đối ngẫu Định lý 1.1.3 (Định lý đối ngẫu bản) Đối với cặp toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu có ba khả loại trừ sau đây: (a) Cả hai tốn khơng có nghiệm chấp nhận (b) Cả hai tốn có nghiệm chấp nhận Khi đó, hai có nghiệm tối ưu giá trị tối ưu hai hàm mục tiêu (c) Một tốn có nghiệm chấp nhận tốn khơng có nghiệm chấp nhận Khi đó, tốn có nghiệm chấp nhận có giá trị tối ưu vơ cực ( +∞ hay −∞ tùy theo toán max hay min) Quan hệ cặp tốn đối ngẫu cịn thẻ định lý sau Định lý 1.1.4 (Định lý độ lệch bù) Một cặp nghiệm chấp nhận x, y hai qui hoạch tuyến tính đối ngẫu (P) (Q) cặp nghiệm tối ưu chúng nghiệm các!hệ thức: n P yi aij xj − bi = 0, ∀i = 1, 2, , m ⇔ y T (Ax − b) =  j=1 m 
P x j cj − aij yj = 0, ∀j = 1, 2, , m ⇔ xT c − AT y = i=1 1.2 Bài tốn quy hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính 1.2.1 Hàm lõm tính chất Trước phát biểu toán quy hoạch lõm, ta nhắc lại khái niệm hàm lõm (hàm tựa lõm) Rn số tính chất hàm Định nghĩa 1.2.1 Hàm f: Rn → R gọi lõm nếu: f (λx + (1 − λ) y) > λf (x) + (1 − λ) f (y) ∀x, y ∈ Rn , ∀λ ∈ [0, 1] Với n = 1, bất đẳng thức diễn tả sau: dây cung nối hai điểm đồ thị hàm phải nằm đồ thị hàm nằm đoạn Định nghĩa 1.2.2 Hàm f: Rn → R gọi tựa lõm nếu: f (λx + (1 − λ) y) > {f (x) , f (y)} ∀x, y ∈ Rn , ∀λ ∈ [0, 1] Bất đẳng thức có nghĩa giá trị hàm f điểm đoạn thẳng [x, y] không nhỏ giá trị nhỏ hàm hai đầu mút đoạn thẳng Từ định nghĩa cho thấy hàm lõm hàm tựa lõm, điều ngược lại khơng Ví dụ, f(x) = x3 (x ∈ R) hàm tựa lõm, hàm không hàm lõm R Như lớp hàm tựa lõm rộng lớp hàm lõm Khác với hàm lồi, điểm cực tiểu địa phương hàm lõm (trên tập lồi) không thiết điểm cực tiểu tồn cục Nói chung, thơng tin địa phương không đủ để xác định điểm cực tiểu toàn cục hàm lõm Định lý 1.2.3 Với hàm lõm f: Rn → R ta có kết luận sau: a) Cực tiểu f đoạn thẳng đạt đầu mút đoạn b) Nếu f hữu hạn bị chặn nửa đường thẳng cực tiểu f nửa đường thẳng đạt điểm gốc c) Nếu f hữu hạn bị chặn tập afin f số tập afin Định lý 1.2.4 Giả sử C ⊂ Rn tập lồi f: C ⊂ Rn hàm lõm Nếu f(x) đạt cực tiểu C điểm tương đối x∗ C ( x∗ ∈ ri C ) f(x) số C Tập Argminx∈C f (x) hợp số diện C V(C) tập điểm cực biên C, nghĩa cực tiểu f(x) đạt C cực tiểu đạt V(C) Định lý 1.2.5 Giả sử C tập lồi, đóng f: C → R hàm lõm Nếu C không chứa đường thẳng f(x) bị chặn nửa đường thẳng C 10 inf {f (x) : x ∈ C} = inf {f (x) : x ∈ V (C)} , V(C) tập điểm cực biên C, nghĩa cực tiểu f(x) đạt C cực tiểu đạt V(C) Hệ 1.2.6 Cho hàm lõm f(x) tập lồi đa diện D, khơng chứa đường thẳng Khi đó, f(x) không bị chặn cạnh vô hạn D, f(x) đạt cực tiểu đỉnh D Hệ 1.2.7 Hàm lõm f(x) tập lồi compac C đạt cực tiểu điểm cực biên C Nhận xét Thực ra, tính chất nêu Hệ 1.2.7 cho lớp hàm rộng Cụ thể hàm tựa lõm, nghĩa hàm f : Rn → [−∞, +∞] cho tập mức Lβ = {x ∈ Rn : f (x) > β} lồi với β ∈ R Cũng chứng minh cận họ hàm tựa lõm hàm tựa lõm, tổng hai hàm tựa lõm không hàm tựa lõm Nhận xét Do hàm lồi đối hàm lõm nên kết luận (phát biểu cho hàm lõm) cho hàm lồi cần thay cực tiểu cực đại bị chặn bị chặn 1.2.2 Bài toán quy hoạch lõm (Cực tiểu hàm lõm hay cực đại hàm lồi) Xét toán tối ưu có dạng: (CP) {f (x) : x ∈ C}, f(x) hàm lõm (hay tựa lõm), C tập lồi đóng, chẳng hạn 11 C = {x : g(x) 0} với g(x) hàm lồi Đặc biệt quan trọng trường hợp C tập lồi đa diện Khi tốn gọi quy hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính Quy hoạch tuyến tính quy hoạch lồi thuộc lớp toán cực trị ( hàm mục tiêu tốn có nhiều giá trị cực tiểu ) Một tốn có nhiều giá trị cực tiểu khác khơng lồi Nói chung, tốn có nhiều yếu tố khơng lồi khó Bài tốn quy hoạch lõm thuộc lớp toán Quy hoạch lõm vừa nêu tốn tối ưu tồn cục, tính phổ biến nhiều tốn tối ưu tồn cục quy dựa nhiều phép giải Mục tiếp sau toán quy hoạch song tuyến tính phát biểu tốn quy hoạch lõm với hàm mục tiêu lõm, tuyến tính khúc với ràng buộc tuyến tính 1.3 Bài tốn quy hoạch song tuyến tính Định nghĩa 1.3.1 Hàm f(x, y) gọi hàm song tuyến tính ( bilinear funcyion ) hàm tuyến tính cố định véctơ x hay véctơ y giá trị cụ thể Tổng quát, hàm song tuyến tính có dạng: f (x, y) = aT x + xT Qy + bT y, a, x ∈ Rn , b, y ∈ Rm Q ma trận cấp n × m Dễ dàng thấy hàm song tuyến tính tạo nên lớp hàm tồn phương 12 1.3.1 Phát biểu tốn Ta gọi toán tối ưu với hàm mục tiêu song tuyến tính hàm ràng buộc song tuyến tính tốn song tuyến tính (bilinear problem) tốn xem lớp quy hoạch toàn phương (quadratic programming) Quy hoạch song tuyến tính có nhiều ứng dụng đa dạng trị chơi ma trận có ràng buộc, tốn bù toán phân việc - chiều, Markovian Nhiều tốn ngun - phát biểu tốn song tuyến tính Bài tốn quy hoạch lõm tuyến tính khúc tốn luồng mạng với phụ phí cố định, quen thuộc quản lý chuỗi cung ứng, giải cách dùng cách diễn đạt song tuyến tính Tuy có nhiều dạng tốn quy hoạch song tuyến tính, song phần lớn tốn thực tiễn gồm hàm mục tiêu song tuyến tính với ràng buộc tuyến tính kết lý thuyết đưa trường hợp Trong luận văn chúng tơi xét tốn song tuyến tính sau đây, ký hiệu toán BP: x∈X, y∈Y f (x, y) = aT x + xT Qy + bT y, (BP ) X, Y tập lồi đa diện, khác rỗng Bài tốn BP cịn biết với tên gọi tốn song tuyến tính với miền ràng buộc rời , tính chấp nhận x(y) độc lập với việc chọn véctơ y(x) 13 1.3.2 Quan hệ với toán quy hoạch lõm Dưới ta đề cập tới số kết lý thuyết tương đương toán song tuyến tính tốn cực tiểu lõm Cho V (x) V (y) tập đỉnh X Y , g(x) = miny∈Y f (x, y)  = aT x + miny∈Y xT Qy + bT y Trong miny∈Y f (x, y) tốn tuyến tính Bởi nghiệm tốn tuyến tính đạt đỉnh miền chấp nhận nên: g(x) = miny∈Y f (x, y) = miny∈V (Y ) f (x, y) Sử dụng ký hiệu này, tốn BP phát biểu lại thành: f (x, y) = { f (x, y)} = { f (x, y)} = g(x) x∈X,y∈Y x∈X y∈Y x∈X y∈V (Y ) x∈X (1) Nhận xét tập Y hữu hạn, cho y ∈ Y , f (x, y) môt hàm tuyến tính theo x; hàm g(x) hàm lõm tuyến tính khúc Từ nhận xét cho thấy BP tương đương với toán cực tiểu hàm lõm tuyến tính khúc với ràng buộc tuyến tính Ngược lại, tốn cực tiểu hàm mục tiêu lõm, tách biến tuyến tính khúc quy tốn quy hoạch song tuyến tính Để thiết lập mối quan hệ này, ta xét toán tối ưu đây: P Φi (xi ) (2) x∈X i Trong X tập hợp vectơ tùy ý khác rỗng, gồm vectơ chấp nhận được, Φi (xi ) hàm lõm, tuyến tính khúc biến xi tức 14 Φi (xi ) =   1
 1   c x + s (= Φ (x )), x ∈ λi , λi i i i i i i     
  c2 xi + s2 (= Φ2 (xi )), xi ∈ λ0 , λ2 i i i i i       
   cni i xi + sni i (= Φni i (xi )), xi ∈ λni i −1 , λni i Với c1i > c2i > > cni i Cho Ki = {1, 2, , ni } Hàm viết lại sau:   Φi (xi ) = Φki (xi ) = cki xi + ski (3) k∈Ki k∈Ki Lập toán quy hoạch song tuyến tính sau đây: P P k P P k f (x, y) = Φi (xi )yik = (ci xi + ski )yik x∈X,y∈Y i k∈Ki P Trong Y = [0, 1] i |Ki | (4) i k∈Ki Chứng minh định lý sau suy trực tiếp từ phương trình (3) Định lý 1.3.2 Nếu (x∗ , y ∗ ) nghiệm tói ưu tốn (4) x∗ nghiệm tối ưu tốn (2) Chú ý khơng đòi hỏi X đa diện lồi Nếu X đa diện lồi cấu trúc toán (4) tương đương với (BP) Hơn nữa, ta đưa tốn cực tiểu hàm lõm tồn phương tốn quy hoạch song tuyến tính Nói riêng, xét toán tối ưu sau : Φ(x) = 2aT x + xT Qx x∈X (5) Trong Q ma trận bán đối xứng, nửa xác định âm Ta xây dựng tốn quy hoạch song tuyến tính sau: f (x, y) = aT x + aT x + xT Qy x∈X,y∈Y Trong Y = X (6) 15 Định lý 1.3.3 Nếu x∗ nghiệm tốn (5) (x∗ , x∗ ) b, yb) nghiệm tốn (6) x b yb nghiệm toán (6) Nếu (x nghiệm toán (5) 1.3.3 Tính chất nghiệm tốn song tuyến tính Mục trước cho thấy BP tương đương với tốn cực tiểu hàm lõm tuyến tính khúc Mặt khác, ta lại biết cực tiểu hàm lõm tập lồi đa diện đạt đỉnh Định lý sau suy từ nhận xét này: Định lý 1.3.4 Nếu X Y bị chặn tồn nghiệm tối ưu BP (x∗ , y ∗ ) với x∗ ∈ V (X) y ∗ ∈ V (Y ) Giả sử (x∗ , y ∗ ) nghiệm (BP) Khi cố định x = x∗ , Bài tốn BP trở thành tốn tuyến tính y ∗ nghiệm toán nhận Từ tính đối xứng tốn, kết tương tự cố định y = y ∗ Định lý sau điều kiện cần tối ưu Định lý 1.3.5 Nếu (x∗ , y ∗ ) nghiệm tốn BP, minx∈X f (x, y ∗ ) = f (x∗ , y ∗ ) = minx∈X f (x∗ , y) (7) Tuy nhiên, (7) điều kiện đầy đủ Trong thực tế đảm bảo tối ưu địa phương (x∗ , y ∗ ) theo yêu cầu bổ sung Cụ thể y ∗ nghiệm tối ưu toán minx∈X f (x, y ∗ ) Từ suy f (x∗ , y ∗ ) < f (x∗ , y), ∀y ∈ V (y), y 6= y ∗ Do hàm f(x, y) liên tục nên với ∀y ∈ V (y), y 6= y ∗ , f (x∗ , y ∗ ) < f (x, y) lân cận Uy đủ nhỏ điểm x∗ Đặt: ... quy hoạch lõm tính chất, tốn tối ưu toàn cục, Các kiến thức quy hoạch song tuyến nêu chương luận văn Nội dung luận văn thuật tốn [3] giải quy hoạch song tuyến tính: bước thuật toán, hội tụ thuật. .. thuật toán Chương 2: Thuật toán giải tốn quy hoạch song tuyến tính trình bày thuật toán nêu tài liệu tham khảo [3] để giải tốn quy hoạch song tuyến tính Thuật toán biến đổi toán ban đầu tốn tối. .. Bài tốn quy hoạch song tuyến tính Chương nhắc lại kết đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, tốn quy hoạch lõm ràng buộc tuyến tính Tiếp đề cập tới tốn quy hoạch song tuyến tính, tính chất nghiệm tốn