THÔNG TIN TÀI LIỆU
1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ MAI DUNG XÂY DỰNG CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU THƠNG QUA NĨN LIÊN HỢP Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG, NĂM 2011 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng Phản biện 1: TS Cao Văn Nuôi Phản biện 2: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Luận văn ñược bảo vệ Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 30 tháng 06 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn : - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 3 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Lý thuyết tốn tối ưu ñã phát triển từ sớm ñã hình thành nhiều cách tiếp cận khác việc giải tốn Khởi đầu điều kiện tối ưu tốn trơn mà kết cơng thức dừng kiểu Fermat hay phương trình dừng kiểu Euler Sự phát triển mạnh mẽ lý thuyết ñiều khiển tối ưu quy hoạch toán học nửa sau kỷ hai mươi ñã làm xuất ñiều kiện cần/ñủ tối ưu dạng nguyên lý cực ñại Pontryagin quy tắc nhân tử Lagrange Từ ñó ñến nay, với phát triển vượt bậc giải tích lồi giải tích khơng trơn, nhiều kết định tính tốn tối ưu thiết lập mang ý nghĩa khoa học ứng dụng cao Một ñiều ñáng lưu ý nhiều ñiều kiện tối ưu, ñặc biệt dạng nhân tử Lagrange, sử dụng ñịnh lý tách tập lồi thể thơng qua cơng thức nón liên hợp Tuy vậy, chưa có tài liệu trình bày điều kiện tối ưu cách qn ngơn ngữ nón liên hợp Vì mục tiêu nghiên cứu luận văn tổng hợp ñiều kiện tối ưu kinh ñiển lược đồ chung sử dụng kết nón liên hợp Mục đích nghiên cứu: Thiết lập lại tất ñiều kiện tối ưu kinh ñiển ngơn ngữ chung sử dụng nón liên hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Trình bày kết giải tích lồi mà chủ yếu định lý tách tập lồi, nón liên hợp kết bản, nón tiếp xúc nón pháp tuyến Trình bày lý thuyết tối ưu: Các khái niệm kết bản, phân loại tốn, thiết lập lại loạt điều kiện tối ưu sử dụng nón liên hợp Phương pháp nghiên cứu: - Tham khảo tài liệu sẵn có, - Phương pháp nghiên cứu lý luận, - Phương pháp phân tích, - Phương pháp tổng hợp, - Phương pháp khái quát hóa, - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Ý nghĩa khoa học thực tiễn ñề tài: Đề tài ñã tổng hợp ñiều kiện tối ưu cách sử dụng kết nón liên hợp Đề tài góp phần, hổ trợ bạn sinh viên ngành Toán nghiên cứu lý thuyết tốn cực trị thơng qua ngơn ngữ nón liên hợp Cấu trúc luận văn Chương Kết bổ trợ từ giải tích lồi Chương Lý thuyết tổng quát toán tối ưu Chương Các ñiều kiện tối ưu 5 Chương KẾT QỦA BỔ TRỢ TỪ GIẢI TÍCH LỒI Trong luận văn này, ta giả thiết X không gian Banach X* ký hiệu cho không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục X Chương giới thiệu số kết giải tích lồi Định lí Tách, nón liên hợp, nón tiếp xúc nón pháp tuyến 1.1 Định lý tách tập lồi Định nghĩa 1.1 Với f ∈ X* α ∈ , ta ký hiệu H ( f ;α ) = { x ∈ X | f ( x ) = α } , H + ( f ;α ) = { x ∈ X | f ( x ) ≥ α } , H _ ( f ;α ) = { x ∈ X | f ( x ) ≤ α } Khi đó, f ≠0 H(f; α ) siêu phẳng X, H + ( f ;α ) , H − ( f ;α ) nửa khơng gian có biên H(f; α ) Định nghĩa 1.2 Cho tập hợp A, B ⊂ X Ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục f ≠ tách A B, f ( a ) ≤ f ( b ) (hoặc f ( a ) ≥ f ( b )), ∀a ∈ A, b ∈ B Điều xảy tồn số α ∈ cho f ( a ) ≤ α ≤ f ( b ) , ∀a ∈ A, b ∈ B Lúc đó, ta nói siêu phẳng H(f; α ) tách A B H(f; α ) Hình 1.1 Siêu phẳng tách hai tập hợp Ta nói hai tập A B tách mạnh tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục f số γ > β cho A ⊆ H − ( f ; β ) B ⊆ H + ( f ; γ ) (hoặc ngược lại) Nói cách khác, inf b∈ B f ( b ) > sup a∈ A f ( a ) Lúc đó, có α ∈ ( β , γ ) ta nói siêu phẳng H(f; α ) tách mạnh A B H ( f ;γ ) H( f ;β) B A Hình 1.2 f tách mạnh A B Định lý 1.1 (Định lý Tách) Cho hai tập lồi rời A B X Nếu hai ñiều kiện ñây thỏa mãn có siêu phẳng tách A B: a) (int A) U (int B ) ≠ ∅ , b) X hữu hạn chiều Hệ 1.1 Định lý 1.2 Hai tập lồi khác rỗng A B tách mạnh ñược 0∉ A− B Định lý 1.3 (Định lý Tách mạnh) Cho A B hai tập lồi khác rỗng rời X cho A đóng B compact Lúc đó, tồn siêu phẳng đóng tách mạnh A B Hệ 1.2 Mệnh ñề 1.1 Cho M khơng gian X Lúc đó, với g ∈ M* tồn f ∈ X* cho f|M = g 1.2 Nón liên hợp Trong mục ta tìm hiểu kết phép tốn nón liên hợp Định nghĩa 1.3 Một tập K ⊆ X gọi nón với k ∈ K λ > ta có λ k ∈ K Nếu nữa, K tập lồi, gọi nón lồi Định nghĩa 1.4 Cho K nón X, ta gọi nón liên hợp K tập hợp K * = { x* ∈ X * | < x* , x > ≥ 0; ∀x ∈ K } Tương tự H nón X* nón liên hợp H tập hợp H * = { x ∈ X | < x* , x > ≥ 0; ∀x* ∈ H } Ta viết K** thay cho (K*)* Mệnh ñề 1.2 K*, H* nón lồi đóng Mệnh đề 1.3 Nếu K1 ⊆ K K1* ⊇ K 2* ( ) = ( coK ) Mệnh ñề 1.4 K * = ( coK ) = K * * * Mệnh ñề 1.5 K ** = coK Mệnh ñề 1.6 Nếu K khơng gian X K * = K ⊥ : = { x* ∈ X * |< x* , x > = 0; ∀x ∈ K } khơng gian trực giao K Định nghĩa 1.5 Giả sử f : X → Khi đó, f gọi hàm lồi X f ( λ x + (1 − λ ) y ) ≤ λ f ( x ) + (1 − λ ) f ( y ) , ∀λ ∈ [ 0,1] , ∀x, y ∈ X Miền hữu hiệu hàm f, ký hiệu domf , ñược ñịnh nghĩa sau: domf = { x ∈ X | f ( x ) < + ∞} Hàm f gọi thường domf ≠ ∅ f ( x ) > − ∞, ∀x ∈ X Định nghĩa 1.6 Giả sử f hàm lồi, thường X x ∈ domf Một phiếm hàm x* ∈ X * ñược gọi gradient f x0 f ( x ) ≥ f ( x0 ) + < x − x0 , x* >, ∀x∈ X Định nghĩa 1.7 Tập hợp tất gradient f x0 ñược gọi vi phân f điểm kí hiệu ∂f ( x0 ) Vậy, ∂f ( x0 ) = { x* ∈ X * | f ( x ) − f ( x0 ) ≥ < x − x0 , x* >, ∀x∈ X } Định lý 1.4 Nếu f hàm lồi liên tục x0 với v ∈ X tồn đạo hàm theo f’ f ( x0 + tv ) − f ( x0 ) t f ' ( x0 ; v ) := lim t → 0+ Hơn ∂f ( x0 ) = { x* ∈ X * | < x* , v > ≤ f ' ( x0 , v ) , ∀x∈ X } , ∂f ( x0 ) tập lồi, compact yếu* khả vi f ' ( x0 , v ) = max < x* , v >, ∀v ∈ X x* ∈ ∂f ( x0 ) Mệnh ñề 1.7 Nếu ( Ki )i =1 họ nón X m * m m * K = U i I Ki i =1 i = Mệnh ñề 1.8 Nếu K1 , K2 nón X ( K1 I K ) * ⊇ K1* + K 2* Mệnh ñề 1.9 Cho K nón lồi có phần khác rỗng, L không gian X cho K I L ≠ ∅ Lúc đó, với u ∈ L* thỏa mãn < u , k > ≥ 0; ∀k ∈ K I L , tồn x* ∈ X * cho < x* , l > = < u , l >; ∀l ∈ L < x* , k > ≥ 0; ∀k ∈ K Mệnh đề 1.10 Cho K nón lồi có phần khác rỗng, L khơng gian X cho K I L ≠ ∅ Lúc ñó, ( K I L) * = K * + L* Mệnh ñề 1.11 Nếu K1 , K2 nón lồi mở cho K1 I K ≠ ∅ , ( K1 I K ) * = K1* + K 2* Mệnh ñề 1.12 Cho hai nón lồi khác rỗng K, M X cho int K ≠ ∅ ( int K ) I M = ∅ Lúc K * I ( − M * ) ≠ {0} Tức tồn u * ∈ K * , v* ∈ M * cho ( u , v ) ≠ ( 0,0 ) u * * * + v* = Hệ 1.3 Định lý 1.5 Cho Ki , ≤ i ≤ m, nón lồi mở khác rỗng Km+1 nón lồi m +1 khác rỗng thỏa mãn IK i = ∅ Lúc tồn x ∈ K cho * i * i i =1 m ∑x i =1 * i = ( x , x , , x ) ≠ ( 0,0, ,0 ) * * * m +1 Mệnh ñề 1.13 Cho x1* , x2* , , xk* ∈ X * Lúc k * * x ∈ X | < x , x > ≤ 0,1 ≤ i ≤ k = − { } ∑ λi xi* , λi ≥ 0 i i =1 1.3 Nón tiếp xúc nón pháp tuyến Trong mục ta ln ký hiệu A tập đóng khác rỗng X Cho x0 ∈ A , ta gọi v ∈ X vec-tơ tiếp xúc A x0 tồn dãy ( xn ) ⊆ A dãy số dương (tn) hội tụ không cho xn − x0 n→∞ tn v = lim Tập hợp vec-tơ tiếp xúc với A x0 kí hiệu TA(x0) Vậy x − x0 TA(x0) = lim n | ( xn ) ⊆ A; tn → + n→∞ tn Mệnh đề 1.14 TA(x0) nón chứa gốc, 10 { A TA ( x0 ) = lim λn ( xn − x0 ) | λn ≥ 0; xn → x0 n →∞ } d ( x + tv ) = v ∈ X | liminf A = 0 , t t →0 + d A ( x ) = inf x − a khoảng cách từ ñiểm x ñến tập A a∈ A Từ kết ta gọi TA(x0) nón tiếp xúc A x0 Một cách tự nhiên ta gọi nón pháp tuyến A x0 tập N A ( x0 ) = − TA ( x0 ) = { x* ∈ X * |< x* , v > ≤ 0; ∀v∈TA ( x0 )} * Mệnh ñề 1.15 Nếu A tập lồi a) TA ( x0 ) = U λ ( A − x0 ) = {v | d A' ( x0 ; v ) = 0} , λ >0 b) N A ( x0 ) = { x* ∈ X * |< x − x0 , x* > ≤ 0; ∀x ∈ A} Các kết cho thấy biểu diễn nón tiếp xúc nón pháp tuyến tập lồi cho hệ bất phương trình phương trình, tuyến tính phi tuyến Trước hết ta xét tập ña diện có dạng: A = { x∈ X | < , x > ≤ bi ; ≤ i ≤ m} , ∈ X* bi ∈ (1.2) với i ∈ I := {1,…,m} Với x0 ∈ A ta ký hiệu I(x0) := { i ∈ I | < , x0 > = bi } tập hữu hiệu x0 kí hiệu J(x0) = I\I(x0) Mệnh ñề 1.16 Với A cho (1.2) ta có: TA (x0) = { v ∈ X | ≤ 0; ∀ i ∈ I(x0 )}, N A ( x0 ) = ∑ λi | λi ≥ i∈I ( x0 ) Tổng quát ta xét tập đa diện A có dạng A = { x ∈ X |< , x > ≤ bi ; 1≤ i ≤ m, < c j , x > = d j ; ≤ j ≤ k } , ai, cj ∈ X* cịn bi, dj ∈ Kí hiệu K = { 1,…,k} Mệnh ñề 1.17 Với tập A ñược cho (1.3) x0 ∈ A ta có (1.3) 11 TA ( x0 ) = {v ∈ X | < , v > ≤ 0; ∀i ∈ I ( x0 ) , < ck , v >= 0; k ∈K } , N A ( x0 ) = ∑ λi + ∑ µk ck | λi ≥ 0; µk ∈ k ∈K i∈I ( x0 ) Nhận xét 1.1 Từ kết ta thấy TA(x0) hồn tồn xác định ràng buộc hữu hiệu, tức ràng buộc mà x0 xảy dấu ñẳng thức (là tập I(x0) Mệnh ñề 1.16, tập I ( x0 ) U K Mệnh ñề 1.17) Điều dễ hiểu với ràng buộc xảy dấu bất ñẳng thức chặt với hướng v, điểm x0 + tv ñều thỏa mãn bất ñẳng thức với t > ñủ bé Với nhận xét vậy, ý ñến ràng buộc hữu hiệu ñủ Trong nhiều trường hợp tập lồi ñược xác ñịnh hệ bất ñẳng thức lồi Cụ thể, fi : X → , ≤ i ≤ m hàm lồi A = { x ∈ X | f i ( x ) ≤ 0; ≤ i ≤ m} tập hợp lồi Với x0 ∈ A ta ñặt I ( x0 ) = {i | f i ( x0 ) = 0} A ñược gọi quy tồn u ∈ A cho I(u) = ∅ , tức fi (u) < với i ∈ I = {1, , m} Bổ ñề 1.1 Nếu f : X → hàm lồi liên tục x0 ∈ X K * = − U λ∂f ( x0 ) λ >0 với K = {v∈ X | f ' ( x0 ; v ) ≤ 0} Hơn nữa, 0∉∂f ( x0 ) K * = − U λ∂f ( x0 ) λ >0 Mệnh ñề 1.18 Giả sử A tập xác ñịnh A = { x ∈ X | f i ( x ) ≤ 0; ≤ i ≤ m} với fi hàm lồi liên tục Với x0 ∈ A ta có a) Nếu I(x0) = ∅ TA (x0) = X, b) Nếu I ( x0 ) ≠ ∅ TA ( x0 ) ⊆ {v∈ X | f i ' ( x0 ; v ) ≤ 0; ∀i∈ I ( x0 ) } Hơn nữa, A quy đẳng thức xảy ra, đồng thời ta có (1.4) 12 N A ( x0 ) = U λ co U ∂f i ( x0 ) i∈ I ( x ) λ ≥0 (1.5) Nhận xét 1.2 Chú ý điều kiện quy khơng thỏa mãn biểu thức TA ( x0 ) ⊆ {v∈ X | fi ' ( x0 ; v ) ≤ 0; ∀i∈ I ( x0 ) } khơng xảy dấu ñẳng thức Định nghĩa 1.9 Cho f : X → hàm giá trị thực X x0 ∈ X Ta nói đạo hàm (Frechet) f x0 phiếm hàm tuyến tính liên tục f ' ( x0 ) ∈ X * thỏa mãn: f ( x ) − f ( x0 ) − < f ' ( x0 ) , x − x0 > lim = x → x0 x − x0 Ở ñây, với g ∈ X * x ∈ X ký hiệu cho giá trị g x Nghĩa là, = g(x) Phần lại mục cố gắng mơ tả nón tiếp xúc nón pháp tuyến tập cho hệ phương trình, bất phương trình khơng lồi Ta xét trường hợp A ñược xác ñịnh hệ hữu hạn, bất phương trình trơn Cho fi : X → , ≤ i ≤ m, g i : X → , 1≤ j ≤ k hàm thuộc lớp C1 Giả sử A = { x∈ X | f i ( x ) ≤ 0;1 ≤ i ≤ m, g j ( x ) = 0; ≤ j ≤ k } Với x0 ∈ A ta ñặt I ( x0 ) = {1 ≤ i ≤ m | f i ( x0 ) = 0} LA ( x0 ) = {v ∈ X | < f i ' ( x0 ) , v > ≤ 0; ∀i ∈ I ( x0 ) , < g j ' ( x0 ) , v > = 0; ≤ j ≤ k } Mệnh ñề 1.19 TA ( x0 ) ⊆ LA ( x0 ) Nếu dấu ñẳng thức biểu thức xảy ta nói x0 điểm quy A Mệnh đề 1.20 Cho A = { x∈ X | fi ( x ) ≤ 0, ∀i ∈ I } với fi hàm khả vi liên tục Giả sử x0 ∈ A cho tồn v∈ X thỏa mãn < fi ' ( x0 ) , v > < với i∈ I ( x0 ) Lúc x0 điểm quy A 13 Mệnh đề 1.21 Cho A = { x∈ X | f ( x ) ≤ 0} với fi hàm lõm, liên tục Giả sử x0 ∈ A ñiểm cho I ( x0 ) ≠ ∅ Lúc TA ( x0 ) = {v∈ X | < fi ' ( x0 ) , v > 0, ∀i∈ I ( x0 )} Mệnh ñề 1.22 Cho A = { x ∈ X | h j ( x ) = 0, ∀j ∈ K } , hj hàm khả { } vi liên tục X Nếu x0 ∈ A cho h'j ( x0 ) , j = 1, k độc lập tuyến tính { } k TA ( x0 ) = v ∈ X | h ( x0 ) , v = 0, ∀j = 1, k = I Ker h'j ( x0 ) ' j j =1 14 Chương LÝ THUYẾT TỔNG QT BÀI TỐN TỐI ƯU 2.1 Các định nghĩa Cho X không gian Banach f : X → hàm nhận giá trị thực mở rộng, M tập X Ta xét toán P (M ; f f ): (x ) → in f, x∈ M f ñược gọi hàm mục tiêu tốn, M gọi tập chấp nhận ñược x ∈ X gọi ñiểm chấp nhận ñược Một ñiểm x ∈ X gọi nghiệm (tồn cục) P(M;f) () f ( x ) ≥ f x ; ∀x ∈ M , ñược gọi nghiệm ñịa phương toán tồn ε > cho () ( ) f ( x ) ≥ f x ; ∀x ∈ M I B x; ε Nếu M = X ta có tốn cực trị không ràng buộc P(f) { } Nếu M = x ∈ X | h j ( x ) = 0; j = 1, k , h j : X → , j = 1, k ta có tốn cực trị với ràng buộc đẳng thức: { f ( x ) → inf, h j ( x ) = 0, ∀j = 1,k { } Nếu M = x ∈ X | g i ( x ) ≤ 0; i = 1, m , gi : X → ta có tốn cực trị với ràng buộc bất ñẳng thức: { { f ( x) → inf, gi ( x) ≤ ; ≤ i ≤ m } Cuối cùng, M = x ∈ X | h j ( x ) = 0, j = 1, k , gi ( x ) ≤ 0; i = 1, m ta có tốn ràng buộc hỗn hợp: 15 f ( x ) → inf, h j ( x ) = 0, ≤ j ≤ k , g ( x ) ≤ 0;1 ≤ i ≤ m i Tùy theo dáng ñiệu tập chấp nhận ñược M hàm mục tiêu f mà người ta gọi toán cực trị tên khác Cụ thể, P(M;f) gọi - tốn quy hoạch tuyến tính M tập ña diện f hàm tuyến tính, - tốn quy hoạch lồi M tập lồi f hàm lồi, - toán quy hoạch lõm M tập lồi f hàm lõm, - toán quy hoạch DC M tập lồi f hàm DC, tức hiệu hai hàm lồi, - toán quy hoạch trơn M đa tạp khả vi, có biên trơn khúc f khả vi liên tục 2.2 Các ñịnh lý tồn Ta xét toán P(M; f) ký hiệu Sol(M; f) tập tất nghiệm (toàn cục) Solloc(M; f) tập nghiệm địa phương tốn P(M; f) Định lý 2.1 Trong toán quy hoạch lồi ta ln có Sol(M; f) = Solloc(M; f) tập lồi (có thể rỗng) Định lý 2.2 Trong toán quy hoạch lõm với hàm mục tiêu khác (trên M) ta có Sol ( M ; f ) ⊆ ∂M Hệ 2.1 Định nghĩa 2.1 Một hàm f : X → ñược gọi nửa liên tục x0 lim inf f ( x ) ≥ f ( x0 ) x → x0 Nói cách khác, với γ < f ( x0 ) tồn ε > cho f ( x ) > γ , ∀x ∈ B ( x0 , ε ) Nếu f nửa liên tục x ∈ X ta nói f nửa liên tục 16 Định lý 2.3 Nếu M compact f nửa liên tục Sol ( M ; f ) ≠ ∅ Hệ 2.2 2.3 Hướng chấp nhận ñược hướng giảm Định nghĩa 2.2 Cho A ⊆ X x0 ∈ A, vec-tơ v ∈ X ñược gọi hướng chấp nhận ñược A x0 tồn ε > cho x0 + tv ∈ A; ∀t ∈ [ 0, ε ) Nếu nữa, tồn lân cận U v cho x0 + tu ∈ A; ∀t ∈ [ 0, ε ) , ∀u ∈ U ta nói v hướng chấp nhận chặt Ta kí hiệu tập tất hướng chấp nhận ñược (t.ư hướng chấp nhận ñược chặt) A x0 K A ( x0 ) ( t.ư K A0 ( x0 ) ) Mệnh ñề 2.1 K A ( x0 ) nón chứa gốc, K A0 ( x0 ) nón mở K A0 ( x0 ) ⊆ K A ( x0 ) ⊆ TA ( x0 ) Định nghĩa 2.3 Cho f hàm nhận giá trị thực, xác ñịnh lân cận x0 ∈ X Vectơ v ∈ X ñược gọi hướng giảm f x0 tồn α > ε > cho f ( x0 + tv ) ≤ f ( x0 ) − tα ; ∀t ∈ [ 0, ε ) Nếu nữa, tồn lân cận U v cho f ( x0 + tu ) ≤ f ( x0 ) − tα ; ∀t ∈ [ 0, ε ) , ∀u ∈ U v gọi hướng giảm chặt f x0 Ta kí hiệu tập tất hướng giảm (hướng giảm chặt) f x0 K f ( x0 ) ( t.ư K 0f ( x0 ) ) Mệnh đề 2.2 K f ( x0 ) nón khơng chứa gốc, K 0f ( x0 ) nón mở K 0f ( x0 ) ⊆ K f ( x0 ) Ta giả thiết x0 ∈ A ⊆ X , f hàm xác ñịnh lân cận x0, v vec-tơ X 17 Định nghĩa 2.4 Hàm f ñược gọi Lipschitz ñịa phương x0 ∈ X , tồn β ≥ 0, ε > cho vói x1 , x2 ∈ B ' ( x0 , ε ) ta có: f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ β x1 − x2 Mệnh ñề 2.3 Giả sử ñạo hàm theo hướng f’(x0 , v) tồn Lúc đó, a) v ∈ K f ( x0 ) ⇔ f ' ( x0 , v ) < b) Nếu f Lipschitz địa phương x0 v ∈ K 0f ( x0 ) ⇔ f ' ( x0 , v ) < Hệ 2.3 Hệ 2.4 Hệ 2.5 Mệnh ñề 2.4 Nếu A tập lồi có phần khác rỗng, K A0 ( x0 ) = U λ ( int A − x0 ) , K A ( x0 ) = U λ ( A − x0 ) λ >0 λ >0 Từ đó, KA(x0) nón lồi, cịn K A0 ( x0 ) nón lồi mở Khi A tập mức hàm f, tức A = { x ∈ X | f ( x ) ≤ 0} nón K A ( x0 ) K f ( x0 ) , K A0 ( x0 ) K 0f ( x0 ) có mối quan hệ khắng khít với Điều ñó ñược thể qua kết ñây Mệnh ñề 2.5 K f ( x0 ) ⊆ K A ( x0 ) , K f ( x0 ) ⊆ K A0 ( x0 ) Mệnh ñề 2.6 Giả sử f(x0) = 0, f có đạo hàm theo hướng x0, hàm f’(x0 ,v) lồi theo biên v tồn v0 cho f’(x0, v0) < Lúc K A0 ( x ) ⊆ {v ∈ X | f ' ( x0 , v ) < 0} = K f ( x0 ) Hệ 2.6 Hệ 2.7 18 Chương CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU 3.1 Điều kiện Hầu hết tốn tối ưu đưa dạng sau ñây f ( x ) → inf, m (P0) x ∈ Ai , I i=1 Ai, ≤ i ≤ m, tập có giao khác rỗng X f :X → Sau ñây số ñiều kiện cần cực trị cho toán dạng Định lý 3.1 Nếu x nghiệm địa phương tốn (P0) Kf m x I I K Ai x = ∅ i =1 () () Định lý 3.2 Nếu x nghiệm địa phương tốn (P0) K f m −1 x I I K Ai x I TAm x = ∅ i =1 () () () 3.2 Bài tốn trơn Cho X khơng gian Banach, X0 tập f : X → , h j : X → , j =1, k hàm khả vi Ta xét toán cực trị với ràng buộc ñẳng thức f ( x ) → inf, P(X0; h1, …,hk; f) : x ∈ X0, h j ( x ) = 0, j =1, k Dễ thấy P(X0; h1, …,hk; f) tương đương với tốn minmax sau: k inf sup f ( x ) + ∑ µ j h j ( x ) x∈ X µ∈ k j =1 X, 19 Vì để tiếp cận tốn tốt người ta thiết lập hàm ñây mà ñược gọi hàm Lagrange tốn: k L1 ( x, µ ) = f ( x ) + ∑ µ j h j ( x ) j =1 ñây x ∈ X , µ ∈ k gọi nhân tử Lagrange Trong ñiều kiện cực trị người ta thường sử dụng hàm Lagrange có dạng tổng quát sau: k L ( x, λ0 , µ ) = λ0 f ( x ) + ∑ µ j h j ( x ) , j =1 với ( , ) + ì k l nhân tử Lagrange Định lý 3.3 (Quy tắc nhân tử Lagrange) Nếu x nghiệm ñịa phương P(X0 ; h1 ,…,hk; f), tồn nhân tử ( λ0 , µ ) ≠ (0,0) cho ( ) ( ) ∑ µ h ( x) = Lx x, λ0 , µ = λ f ' x + k j =1 j ' j (3.1) { () ( )} ñộc Hơn f, hj hàm khả vi liên tục x h1' x , , hk' x lập tuyến tính, λ0 > , chọn λ0 = Cho f , g1 , , g m , hàm nhận giá trị thực, khả vi X, X0 tập X Ta xét toán tối ưu trơn với ràng buộc bất ñẳng thức: f ( x ) → inf, P ( X ; g1 , , g m ; f ) : x ∈ X0, g ( x ) ≤ 0,1 ≤ i ≤ m i Vì P ( X ; g1 , , g m ; f ) tương ñương với toán m inf sup f ( x ) + ∑ λi g i ( x ) x∈ X λ ≥ i i =1 nên hàm Lagrange toán P ( X ; g1 , , g m ; f ) m m i =1 i =1 L ( x, λ0 , λ ) = λ0 f ( x ) + ∑ λi gi ( x ) L1 ( x, λ ) = f ( x ) + ∑ λi gi ( x ), 20 với x ∈ X, ( λ , λ ) ∈ + × m + Ta gọi tập hữu hiệu ñiểm chấp nhận ñược x , ký hiệu I( x ), tập số i cho gi( x ) = , tức I( x ) = { i | gi( x ) = 0} Định lý 3.4 Nếu x nghiệm địa phương tốn P ( X ; g1 , , g m ; f ) , tồn ( λ0 , λ ) ∈ m +1 + \ {0} thỏa mãn ( ) () m () Lx x, λ0 , λ = λ0 f ' x + ∑ λi gi' x = , (3.2) ∑λ g ( x) = (3.3) i =1 m i =1 i i () () Hơn nữa, tồn v ∈ X cho g i' x , v < với i ∈ I x λ > , chọn λ = Trong nhiều vấn đề thực tế ta gặp tốn với ràng buộc vừa ñẳng thức vừa bất ñẳng thức Giả sử g i : X → , ≤ i ≤ m, h j : X → , ≤ j ≤ k hàm khả vi Bài toán tối ưu trơn với ràng buộc hỗn hợp có dạng sau: f ( x ) → inf, x ∈ X0, P ( X ; g1 , , g m , h1 , , hk ; f ) : g i ( x ) ≤ 0;1 ≤ i ≤ m, h j ( x ) = 0;1 ≤ j ≤ k Vì P ( X ; g1 , , g m , h1 , , hk ; f ) tương đương với tốn inf sup x ∈ X λ ≥ 0; µ ∈ i j m f ( x ) + ∑ λi gi ( x ) + i =1 k j =1 ∑ µ jhj ( x) , nên hàm Lagrange toán P ( X ; g1 , , g m , h1 , , hk ; f ) m k i =1 j =1 L ( x, λ0 , λ , µ ) = λ0 f ( x ) + ∑ λi g i ( x ) + ∑ µ j h j ( x ) v ới x ∈ X , ( λ , λ ) ∈ m +1 + ,µ ∈ k 21 Ta ký hiệu I( x ) tập hữu hiệu ñiểm chấp nhận ñược x : () { () } I x = ≤ i ≤ m | gi x = Định lý 3.5 (Karush-Kuhn-Tucker) Nếu x nghiệm ñịa phương toán f ( x ) → inf, x ∈ X0, P ( X ; g1 , , g m , h1 , , hk ; f ) : g i ( x ) ≤ 0;1 ≤ i ≤ m, h j ( x ) = 0;1 ≤ j ≤ k { () ( )} độc lập tuyến tính tồn v ∈ X h1' x , , hk' x () () cho () gi' x , v < 0; ∀i ∈ I x , h 'j x , v = 0; ≤ j ≤ k , tồn λ ∈ ( m + ,µ ∈ ) k thỏa mãn () m ( ) ∑ µ h ( x ) = 0, L( x ) x, λ , µ = f ' x + ∑ λi g i' x + i =1 k j =1 j ' j ∑ λ g ( x ) = m i =1 i i ( 3.4 ) ( 3.5 ) 3.3 Bài toán lồi Cho g i : A → ,0 ≤ i ≤ m, hàm lồi tập lồi A ⊆ X Ta xét toán tối ưu lồi với ràng buộc bất ñẳng thức: f ( x ) → inf, P ( A; f ; g1 , , g m ) : x ∈ A, g ( x ) ≤ 0, ≤ i ≤ m i Vì P ( A; f ; g1 , , g m ) tương đương với tốn m inf sup f ( x ) + ∑ λi g i ( x ) , x ∈ A λ ≥0 i i =1 nên hàm Lagrange toán P ( A; f ; g1 , , g m ) 22 m m i =1 i =1 L1 ( x, λ ) = f ( x ) + ∑ λi g i ( x ) ; L ( x, λ0 , λ ) = λ0 f ( x ) + ∑ λi gi ( x ) , với x ∈ A , λ0 ∈ + , λ∈ m + Ta nói tốn thỏa mãn Điều kiện (chính qui) Slater tồn x0 ∈ A cho g i ( x0 ) < ; ≤ i ≤ m Định lý 3.6 Nếu x nghiệm ñịa phương toán P ( A; f ; g1 , , g m ) , ( ) tồn λ0 , λ ∈ m +1 + \ {0} thỏa mãn ( ) () 0 ∈ ∂ x L x, λ0 , λ + N A x , ( K − T ) : λi gi x = 0; ≤ i ≤ m () Hơn nữa, Điều kiện Slater thỏa mãn, λ0 > , chọn λ0 = , lúc (K - T) ñiều kiện ñủ ñể cho ñiểm chấp nhận ñược x nghiệm toán Hệ 3.1 ( ) Định nghĩa 3.1 Một cặp x, λ ∈ A × m + gọi ñiểm yên ngựa hàm L1 ( x, λ ) ( ) ( ) ( ) Định lý 3.7 Nếu ( x, λ ) ñiểm yên ngựa hàm L1 x, λ ≤ L1 x, λ ≤ L1 x, λ ; ∀ ( x, λ ) ∈ A × m + L1 ( x, λ ) x nghiệm tốn P ( A; f ; g1 , , g m ) Định lý 3.8 (Kuhn-Tucker) Nếu ñiều kiện Slater thỏa mãn x nghiệm toán P ( A; f ; g1 , , g m ) tồn λ ∈ m + ( ) cho x, λ ñiểm yên ngựa hàm L1 ( x, λ ) Tiếp theo ta xét ñiều kiện tối ưu toán quy hoạch lồi tổng quát Giả sử g i : X → , ≤ i ≤ m , hàm lồi liên tục h j : X → , ≤ j ≤ k 23 hàm affine liên tục xác ñịnh tập lồi A ⊆ X Bài tốn tối ưu với ràng buộc hỗn hợp có dạng sau: f ( x ) → inf, x ∈ A, P ( A; f ; g1 , , g m , h1 , , hk ) : gi ( x ) ≤ 0; ≤ i ≤ m, h j ( x ) = 0; ≤ j ≤ k Hàm Lagrange tốn có dạng m L1 ( x, λ , µ ) = f ( x ) + ∑ λi gi ( x ) + i =1 với x ∈ A, λ ∈ m + ,µ ∈ k ∑ µ h ( x ), j =1 j j ( x, λ , µ ) Định nghĩa 3.2 Bộ ba k ñược gọi ñiểm yên ngựa hàm L1 ( x, λ , µ ) ( ) ( ) ( ) L1 x, λ , µ ≤ L1 x, λ , µ ≤ L1 x, λ , µ ; ∀ ( x, λ , µ ) ∈ A × ( m + × k ) Định lý 3.9 Nếu x, λ , µ ñiểm yên ngựa hàm L1 ( x, λ , µ ) x nghiệm toán P ( A; f ; g1 , , g m , h1 , , hk ) Ta nói tốn P ( A; f ; g1 , , g m , h1 , , hk ) thỏa mãn ñiều kiện Slater mở rộng tồn x0 ∈ int A cho g i ( x0 ) < 0; ≤ i ≤ m, h j ( x0 ) = 0; ≤ j ≤ k Bổ ñề 3.1 Giả sử ñiều kiện Slater mở rộng thỏa mãn Đặt C = { x ∈ X | h j ( x ) = 0; ≤ j ≤ k }; B = C I A () () () Lúc đó, với x ∈ B ta có TB x = TC x I TA x Hơn nữa, h j ( x ) = y*j , x + α j ; ≤ j ≤ k , () () N B x = N A x + span { y*j :1 ≤ j ≤ k} 24 Định lý 3.10 Giả sử toán quy hoạch lồi P ( A; f ; g1 , , g m , h1 , , hk ) thỏa mãn ñiều kiện Slater mở rộng x nghiệm Lúc tồn (λ, µ ) ∈ m + × k ( ) cho x, λ , µ ñiểm yên ngựa hàm L1 ( x, λ , µ ) 25 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: • Trình bày định nghĩa tốn tối ưu, số ñịnh lý tồn bản, khái nệm hướng chấp nhận ñược, hướng giảm chứng minh số tính chất chúng • Trình bày chứng minh chi tiết ñiều kiện tốn tối ưu, đồng thời đưa dạng thường gặp toán trơn lồi dạng ngơn ngữ nón liên hợp • Đưa số ví dụ áp dụng cho tốn cụ thể Vấn ñề ñược ñưa luận văn tương ñối cụ thể ñối với toán tối ưu, chưa thật tồn diện bao qt áp dụng ñược vào thực tế ... có tài liệu trình bày điều kiện tối ưu cách qn ngơn ngữ nón liên hợp Vì mục tiêu nghiên cứu luận văn tổng hợp ñiều kiện tối ưu kinh ñiển lược ñồ chung sử dụng kết nón liên hợp Mục đích nghiên cứu:... thuyết tốn cực trị thơng qua ngơn ngữ nón liên hợp Cấu trúc luận văn Chương Kết bổ trợ từ giải tích lồi Chương Lý thuyết tổng quát toán tối ưu Chương Các ñiều kiện tối ưu 5 Chương KẾT QỦA BỔ... ñiều kiện tối ưu kinh ñiển ngơn ngữ chung sử dụng nón liên hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Trình bày kết giải tích lồi mà chủ yếu định lý tách tập lồi, nón liên hợp kết bản, nón tiếp xúc nón
Ngày đăng: 26/04/2021, 18:26
Xem thêm: