i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP HCM ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI HIỆN TƯỢNG ENVELOPE LIKE CHO CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ KHÔNG TRƠN TRONG CÁ[.]
i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI HIỆN TƯỢNG ENVELOPE-LIKE CHO CÁC BÀI TỐN TỐI ƯU VECTƠ KHƠNG TRƠN TRONG CÁC KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU Mã số: CS – 2014 - 43 Chủ nhiệm: TS Nguyễn Đình Tuấn Tp Hồ Chí Minh - 2014 123doc MƯC LƯC Ch÷ìng mð ¦u .3 Chữỡng 1: Giợi thiằu bi toĂn nghiản cựu v mởt số kián thực giÊi tẵch hm cụng nhữ mởt số khĂi niằm và cĂc têp tiáp xúc cĐp mởt v cĐp hai .5 Chữỡng 2: Ôo hm suy rởng kiºu x§p x¿ c§p mët v c§p hai Ch÷ìng 3: C¡c i·u ki»n tèi ữu cƯn cĐp hai 13 Ch÷ìng 4: C¡c i·u ki»n tèi ÷u õ c§p hai 27 Kát luên v hữợng nghiản cựu m rởng · t i .32 T i li»u tham kh£o 33 123doc 123doc Chữỡng m Ưu Lỵ chồn à ti CĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai õng vai trỏ quan trång v¼ nâ l m cho c¡c i·u ki»n tèi ữu cĐp mởt hon thiằn hỡn bơng nhỳng thổng tin cĐp hai giúp ẵch rĐt nhiÃu viằc nhên cĂc nghiằm tối ữu cụng nhữ ữa cĂc thuêt toĂn số tẵnh cĂc nghiằm ny BÊn chĐt cừa thổng tin cĐp hai ny l nhữ sau Nõi mởt cĂch ỡn giÊn, cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp mởt khng nh rơng tÔi im cỹc tr, Ôo hm theo hữợng cừa Ănh xÔ, hủp bi hm mửc tiảu v c¡c r ng bc, khỉng thc v· ph¦n cõa nân (hủp) Ơm tẵch cĂc khổng gian Ênh Ôo hm theo hữợng ny cõ th nơm trản biản cừa nõn nõi trản Trong trữớng hủp ny, cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai cung cĐp thổng tin thảm: nõi chung, Ôo hm theo hữợng cĐp hai cừa hm Lagrange l khổng Ơm Tuy nhiản, vo nôm 1988, Kawasaki [14] l ngữới Ưu tiản  phĂt hiằn rơng ta xt bao õng cừa nõn Ơm nõi trản, Ôo hm cĐp hai cừa hm Lagrange cõ th Ơm náu Ôo hm theo hữợng cĐp mởt cừa Ănh xÔ hủp nõi trản nơm trản phƯn c biằt cừa biản cừa nõn Ơm ặng gồi hiằn tữủng ny l hiằn tữủng envelope-like NhiÃu nh nghiản cựu văn khổng ỵ án hiằn tữủng ny v mưc phÊi sai lƯm Ăng tiác NhiÃu tĂc giÊ khĂc ch xt nõn Ơm nõi trản, khổng xt bao õng cừa nõn ny, v vẳ thá khổng cõ hiằn tữủng envelope-like xÊy  cõ nhiÃu õng gâp quan trång cho hi»n t÷đng thó n y C¡c kát quÊ cừa Kawasaki ữủc m rởng v phĂt trin cho cĂc bi toĂn quy hoÔch vổ hữợng khÊ vi cĐp hai [3, 5, 24, 25], quy hoÔch a mửc tiảu khÊ vi cĐp hai [10, 11], quy hoÔch a mửc tiảu (hỳu hÔn chiÃu) khÊ vi liản tửc cĐp mởt [7] v cho quy hoÔch hỳu hÔn chiÃu liản quan án cĂc hm khÊ vi cht [20, 21] Chúng tổi nhên thĐy rơng cƯn phÊi giÊi thẵch ró rng hỡn no hiằn tữủng envelope-like x£y v n o hi»n t÷đng n y khỉng x£y Nâi c¡ch kh¡c, chóng tỉi s³ l m rã hìn ối vợi nhỳng hữợng gƠy hiằn tữủng envelope-like Hỡn nỳa, giÊi quyát cĂc bi toĂn vợi mực ở khổng trỡn cĐp cao hỡn luổn luổn l mởt nhu cƯu thỹc tá Do õ, à ti nghiản cựu ny, chúng tổi chồn cĂc xĐp x  ữủc à xuĐt [1, 13] dũng lm cĂc Ôo hm suy rởng CĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai dũng cĂc xĐp x  ữủc nghiản cựu [1] vợi giÊ thiát rơng tĐt cÊ cĂc xĐp x ữủc sỷ dửng l compact CĂc xĐp x cõ th khổng b chn  ÷đc dịng º chùng minh c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p mët v c§p hai [15, 17-19] cho nhi·u bi toĂn tối ữu vectỡ khĂc Ôo hm suy rởng thuởc loÔi ny tiằn lủi chờ l cÊ cĂc Ănh xÔ khổng liản tửc tÔi mởt im cõ th cõ xĐp x cĐp hai khổng tƯm thữớng tÔi im ny Tuy nhiản, têp trung trản cĂc iÃu kiằn cĐp hai v xĂc nh ró cĂc hữợng chĐp nhên ữủc xĐp x gƠy hiằn tữủng envelope-like, chúng tổi chừ yáu xt cĂc Ănh xÔ khÊ vi cĐp mởt CĂc quan sĂt trản l nguỗn cÊm hựng cho mửc ẵch nghiản cựu cừa chúng tổi à ti nghiản cựu ny l Ăp dửng Ôo hm suy rởng kiu xĐp x thiát lêp cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai mợi vợi hiằn tữủng envelope-like cho c¡c b i to¡n tèi ÷u vectì khỉng trìn c¡c khổng gian vổ hÔn chiÃu CĂc Ănh xÔ bi to¡n nghi¶n cùu l kh£ vi ch°t (trong c¡c i·u kiằn tối ữu cƯn) hay khÊ vi (trong cĂc iÃu kiằn tối ữu ừ) v khổng cƯn khÊ vi liản tưc C¡c k¸t qu£ n y c£i thi»n v mð rëng cĂc kát quÊ nghiản cựu 123doc gƯn Ơy Mửc tiảu v kát quÊ nghiản cựu Chúng tổi xem x²t b i to¡n tèi ÷u vectì c¡c khỉng gian vổ hÔn chiÃu sau Ơy Cho X, Z, W l c¡c khỉng gian Banach, Y l khỉng gian ành chu©n, C Y l nõn lỗi õng, v K Z l têp lỗi Cho f : X Y , g : X → Z , v h : X W l cĂc Ănh xÔ Bi toĂn dữợi sü xem x²t cõa chóng tỉi l (P) minC f (x), cho g(x) ∈ −K, h(x) = Chóng tổi dũng cĂc Ôo hm suy rởng theo nghắa xĐp x vợi mực ở khổng trỡn bêc cao dữợi giÊ thiát khÊ vi cht (trong cĂc iÃu kiằn tối ữu cƯn) hay khÊ vi (trong cĂc iÃu kiằn tối ữu ừ), trĂnh giÊ thiát khÊ vi liản tửc, thiát lêp cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai vợi tẵnh chĐt envelope-like cho bi toĂn (P) CĂc kát quÊ cừa chóng tỉi l m rã hìn v§n · n o hi»n tữủng envelope-like xÊy v hon thiằn cĂc kát quÊ Â cõ lắnh vỹc nghiản cựu ny Cử th, · t i thüc hi»n c¡c mưc ti¶u nghi¶n cùu sau Ơy + KhĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt cừa cĂc têp tiáp xúc cĐp mởt v cĐp hai + KhĂi niằm Ôo hm suy rởng kiu xĐp x cĐp mởt v cĐp hai v cĂc tẵnh chĐt cừa chúng + CĂc iÃu kiằn tối ữu cƯn cĐp hai vợi hiằn tữủng envelope-like cho cĂc nghiằm yáu a phữỡng cừa (P) + CĂc iÃu kiằn tối ữu ừ cĐp hai cho cĂc nghiằm chưc chưn a phữỡng cừa (P) CĂc kát quÊ cừa à ti hon thiằn cĂc kát quÊ Â cõ lắnh vỹc nghiản cựu cĂc iÃu kiằn tối ÷u cho c¡c b i to¡n tèi ÷u vectì khỉng trìn cĂc khổng gian vổ hÔn chiÃu CĂc kát quÊ nghiản cựu ny  ữủc tĂc giÊ v GS.TSKH Phan Quốc KhĂnh, trữớng Ôi hồc Quốc tá, Ôi hồc Quốc gia Tp HCM cỉng bè mët b i b¡o tr¶n tÔp chẵ khoa hồc quốc tá hằ thống ISI [22]: P.Q Khanh and N.D Tuan, Second-order optimality conditions with envelope-like effect for nonsmooth vector optimization in infinite dimensions, Nonlinear Anal (2013) 130-148 77 Phữỡng phĂp nghiản cựu à ti nghiản cựu dũng cĂc cổng cử v k thuêt gi£i t½ch khỉng trìn, gi£i t½ch a trà v giÊi tẵch hm Kát cĐu cừa à ti à ti bao gỗm chữỡng ã Chữỡng m Ưu: Lỵ thỹc hiằn à ti, mửc tiảu v kát quÊ nghiản cựu cừa à ti ã Chữỡng 1: Giợi thiằu bi toĂn nghiản cựu v mởt số kián thực giÊi tẵch hm cụng nhữ mởt số khĂi niằm và cĂc têp tiáp xúc cĐp mởt v cĐp hai ã Chữỡng 2: Ôo hm suy rởng kiu xĐp x cĐp mởt v cĐp hai ã Chữỡng 3: CĂc iÃu kiằn tối ữu cƯn cĐp hai ã Chữỡng 4: CĂc iÃu kiằn tối ữu ừ cĐp hai 123doc Chữỡng 1: Giợi thiằu bi toĂn nghiản cựu v mởt số kián thực giÊi tẵch hm cụng nhữ mởt số khĂi niảm và cĂc têp tiáp xúc cĐp mởt v cĐp hai Cho X, Z, W l c¡c khæng gian Banach, Y l khổng gian nh chuân, C Y l nõn lỗi õng, v K Z l têp lỗi Cho f : X → Y , g : X → Z , v h : X → W l c¡c ¡nh xÔ Chúng tổi xt bi toĂn tối ữu vectỡ sau ¥y: (P) minC f (x), cho g(x) ∈ −K, h(x) = Chúng tổi dũng cĂc kỵ hiằu cỡ b£n N = {1, 2, , n, } v R l têp hủp cĂc số thỹc Vợi khổng gian nh chuân X , X l ối ngău topo cừa of X ; h., i l tẵch ối ngău k.k l chuân khổng gian nh chuân bĐt ký v d(y, S) l khoÊng cĂch tứ im y án têp S Bn (x, r) = {y ∈ Rn : kx − yk < r}; Sn = {y ∈ Rn : kyk = 1}; BX (x, r) = {y ∈ X : kx − yk < r}, SX = {y ∈ X : kyk = 1} v èi vỵi BX (0, 1) ta vi¸t ìn gi£n l BX L(X, Y ) l kỵ hiằu khổng gian cĂc Ănh xÔ tuyán tẵnh b chn tứ X vo Y v B(X, X, Y ) l khổng gian cĂc Ănh xÔ song tuyán tẵnh b chn tứ X ì X vo Y , â X v Y l c¡c khæng gian nh chuân Vợi Pn , P L(X, Y ), ta vi¸t p Pn − → P hay P = p-lim Pn n¸u Pn hëi tư iºm ¸n P Kỵ hiằu tữỡng tỹ ữủc dũng cho Mn , M ∈ B(X, X, Y ) Vỵi nân C ⊂ X , kỵ hiằu C = {c X : hc∗ , ci ≥ 0, ∀c ∈ C} l nõn ối cỹc dữỡng cừa C Vợi A X , cĂc kỵ hiằu riA, intA, clA, bdA, coneA, coA v A(x) lƯn lữủt l phƯn tữỡng ối, phƯn trong, bao õng, biản, bao nõn, bao lỗi cừa A v bao nân cõa ph¦n dàch chuyºn A + x Vỵi t > v r ∈ N, o(tr ) l kỵ hiằu cừa mởt im phử thuởc vo t cho o(tr )/tr → t → 0+ C 1,1 l khổng gian cĂc Ănh xÔ khÊ vi Frchet cho Ôo hm Frchet l Lipschitz a phữỡng Trong phƯn ny ta xt X , Y l c¡c khỉng gian ành chu©n v h : X Y l Ănh xÔ Ta nõi h l ờn nh tÔi x0 náu tỗn tÔi mởt lƠn cên U cõa x0 v κ > cho, vỵi måi x ∈ U, kh(x) − h(x0 )k ≤ κkx − x0 k h ÷đc gåi l kh£ vi ch°t tÔi x0 X náu nõ cõ Ôo hm Frchet h (x0 ) tÔi x0 v limyx0 ,y0 x0 0 kh(y) − h(y ) − h (x0 )(y − y )k = ky − y k Hin nhiản rơng náu h l khÊ vi cht tÔi x0 , thẳ h l Lipschitz gƯn x0 Kát quÊ sau Ơy ữủc chựng minh mởt cĂch tữỡng tỹ nh÷ Bê · cõa [7] M»nh · 1.1 Cho h l Ănh xÔ khÊ vi Frchet quanh x X vợi h l ờn nh tÔi x0 , + + + v u, w ∈ X N¸u (tn , rn ) → (0 , ), tn /rn → , v wn := (xn − x0 − tn u)/ 12 tn rn → w, th¼ h(xn ) − h(x0 ) − tn h (x0 )u yn := → h (x0 )w tn rn /2 Ta nhợ lÔi cĂc khĂi niằm và cĂc nõn tiáp xúc v têp tiáp xúc cĐp hai sau Ơy 123doc ành ngh¾a 1.2 Cho x , u ∈ X v S ⊂ X (a) Nân contingent (hay Bouligand) cừa S tÔi x0 l T (S, x0 ) = {v ∈ X | ∃tn → 0+ , ∃vn → v, ∀n ∈ N, x0 + tn ∈ S} (b) Nân ti¸p xóc (nân ti¸p xóc Clarke, tữỡng ựng) cừa S tÔi x0 l IT (S, x0 ) = {v ∈ X | ∀tn → 0+ , ∀vn → v, ∀n õ lỵn, x0 + tn ∈ S} (ITC (S, x0 ) = {v ∈ X | ∀xn →S x0 , ∀tn → 0+ , ∀vn → v, ∀n õ lỵn, xn + tn S}) (c) Têp contingent (têp kÃ, tữỡng ựng) cĐp hai cừa S tÔi (x0 , u) l T (S, x0 , u) = {w ∈ X | ∃tn → 0+ , ∃wn → w, ∀n ∈ N, x0 + tn u + 21 t2n wn ∈ S} (A2 (S, x0 , u) = {w ∈ X | ∀tn → 0+ , ∃wn → w, ∀n ∈ N, x0 + tn u + 21 t2n wn ∈ S}) (d) Nõn tiáp xúc (nõn kÃ, tữỡng ựng) cĐp hai tiằm cên cừa S tÔi (x0 , u) l 00 T (S, x0 , u) = {w ∈ X | ∃(tn , rn ) → (0+ , 0+ ) : tn rn → 0, ∃wn → w, ∀n ∈ N, x0 + tn u + 12 tn rn wn ∈ S} 00 (A (S, x0 , u) = {w ∈ X | ∀(tn , rn ) → (0+ , 0+ ) : tn rn → 0, ∃wn → w, ∀n ∈ N, x0 + tn u + 12 tn rn wn S}) (e) Têp tiáp xúc cĐp hai cừa S tÔi (x0 , u) l IT (S, x0 , u) = {w ∈ X | ∀tn → 0+ , ∀wn → w, ∀n õ lỵn, x0 + tn u + 21 t2n wn ∈ S} (f) Nân tiáp xúc cĐp hai tiằm cên cừa S tÔi (x0 , u) l 00 IT (S, x0 , u) = {w ∈ X | ∀(tn , rn ) → (0+ , 0+ ) : tn rn → 0, ∀wn → w, ∀n õ lỵn, x0 + tn u + 12 tn rn wn ∈ S} C¡c nân T (S, x0 ), IT (S, x0 ) v ITC (S, x0 ) v c¡c tªp T (S, x0 , u), A2 (S, x0 , u) v IT (S, x0 , u) 00 00 ữủc biát ró CĂc nõn A (S, x0 , u) v T (S, x0 , u) ÷đc Penot [25, 26] sû dưng Chóng 00 tỉi ành ngh¾a nân IT (S, x0 , u) mët c¡ch tü nhiản Lữu ỵ rơng náu x0 clS , thẳ tĐt cÊ cĂc têp tiáp xúc trản l rộng Vẳ thá, chúng tổi luổn xt cĂc têp tiáp xúc ch tÔi nhỳng im thuởc bao õng cừa têp ang xt Chúng tổi ữa mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa cĂc têp tiáp xúc cĐp mởt v cĐp hai trản ba mằnh à sau Ơy Mằnh · 1.3 Cho S ⊂ X v x , u X Khi õ, cĂc tẵnh chĐt sau ữủc bi¸t rã (i) IT (S, x0 , u) ⊂ A (S, x0 , u) ⊂ T (S, x0 , u) ⊂ clcone[cone(S − x0 ) − u]; 2 (ii) IT (S, x0 , u) = IT (intS, x0 , u) v n¸u u ∈ bd[cone(S −x0 )], th¼ 6∈ IT (S, x0 , u); (iii) náu u T (S, x0 ), thẳ T (S, x0 , u) = ∅ Gi£ sû, thảm nỳa, S l lỗi, intS 6= v u ∈ T (S, x0 ) Ta câ i·u sau ([11, 23, 29]): (iv) intcone(S − x0 ) = IT (intS, x0 ) = ITC (intS, x0 ) v â 6∈ intcone(S − x0 ) vỵi x0 6∈ intS ; (v) n¸u A2 (S, x0 , u) 6= ∅, th¼ 123doc IT (S, x0 , u) = intA2 (S, x0 , u), clIT (S, x0 , u) = A2 (S, x0 , u); (vi) n¸u u ∈ cone(S − x0 ), th¼ (a) IT (S, x0 , u) = intcone[cone(S − x0 ) − u]; (b) A2 (S, x0 , u) = clcone[cone(S − x0 ) − u] M»nh · 1.4 Cho S ⊂ X v x , u ∈ X 00 00 00 (i) IT (S, x0 , u) ⊂ A (S, x0 , u) ⊂ T (S, x0 , u) ⊂ clcone[cone(S − x0 ) − u] 00 00 00 (ii) IT (S, x0 , u) = IT (intS, x0 , u) v náu u bd[cone(Sx0 )], thẳ IT (S, x0 , u) 00 (iii) N¸u u 6∈ T (S, x0 ), th¼ T (S, x0 , u) = ∅ 00 00 (iv) A (S, x0 , u) + ITC (S, x0 ) ⊂ IT (S, x0 , u), 00 v â, n¸u ITC (S, x0 ) 6= ∅ v A (S, x0 , u) 6= ∅, th¼ 00 00 00 00 IT (S, x0 , u) = intA (S, x0 , u), clIT (S, x0 , u) = A (S, x0 , u) (v) N¸u S l lỗi v x0 S , thẳ 00 00 A (S, x0 , u) + T (T (S, x0 ), u) ⊂ A (S, x0 , u) ⊂ T (T (S, x0 ), u) 00 00 v â, náu A (S, x0 , u) 6= , thẳ A (S, x0 , u) = T (T (S, x0 ), u) Chựng minh CĂc phƯn (i)-(iii) ữủc suy tứ cĂc nh nghắa Vợi phƯn (v), xem 00 Bờ à 4.1 cừa [28] Giớ Ơy, ta xt phƯn (iv) Cho w ∈ A (S, x0 , u), v ∈ ITC (S, x0 ) v z := w + v Cho (tn , rn ) → (0+ , 0+ ): tn /rn → 0, v zn → z Khi õ, tỗn tÔi wn w 00 cho xn := x0 + tn u + 21 tn rn wn ∈ S V¼ := zn − wn → v , ta câ z ∈ IT (S, x0 , u) vẳ, vợi n lợn, x0 + tn u + 21 tn rn zn = xn + 12 tn rn ∈ S M»nh · 1.5 Gi£ sû r¬ng X = R v x0 ∈ S ⊂ X N¸u xn ∈ S \ {x0 } hëi tư án x0 , thẳ tỗn tÔi u T (S, x0 ) \ {0} cõ chuân bơng mởt v mởt dÂy con, kỵ hiằu lÔi bi xn , cho m (i) (cê iºn) (xn − x0 )/tn → u, â tn = kxn − x0 k; (ii) ([11]) ho°c z ∈ T (S, x0 , u) ∩ u tỗn tÔi cho (xn x0 tn u)/ 12 t2n → z ho°c z ∈ T (S, x0 , u)u \{0} v rn 0+ tỗn tÔi cho rtnn → 0+ v (xn −x0 −tn u)/ 12 tn rn → z , â u⊥ l ph¦n bị trüc giao cõa u ∈ Rm 00 123doc 123doc Chữỡng 2: Ôo hm suy rởng kiu xĐp x cĐp mởt v cĐp hai nh nghắa 2.1 ([1, 13]) X²t h : X → Y l Ănh xÔ (i) Têp Ah (x0 ) L(X, Y ) ữủc gồi l xĐp x cĐp mởt cừa h tÔi x0 náu, vợi x mởt lƠn cên cừa x0 , tỗn tÔi r 0+ cho rkx − x0 k−1 → x → x0 v , h(x) − h(x0 ) ∈ Ah (x0 )(x − x0 ) + rBY (ii) C°p (Ah (x0 ), Bh (x0 )), vỵi Ah (x0 ) ⊂ L(X, Y ) v Bh (x0 ) ⊂ B(X, X, Y ), ÷đc gồi l xĐp x cĐp hai cừa h tÔi x0 náu Ah (x0 ) l xĐp x cĐp mởt cừa h tÔi x0 , v vợi x mởt lƠn cên cừa x0 , tỗn tÔi r 0+ cho rkx − x0 k−1 → x → x0 v h(x) − h(x0 ) ∈ Ah (x0 )(x − x0 ) + Bh (x0 )(x − x0 , x − x0 ) + r2 BY Nhªn x²t 2.2 (i) Náu h : X Y cõ Ôo hm Frchet cĐp hai h (x ), thẳ (h (x ), 00 0 l x§p x¿ c§p hai cõa h tÔi x0 00 h (x0 )) (ii) ([1, 13]) N¸u h : Rn → Rm l Lipschitz a phữỡng tÔi x0 , thẳ Jacobian Clarke [4] ∂C h(x0 ) l x§p x¿ c§p mët cõa h tÔi x0 Náu, thảm nỳa, h thuởc lợp C 1,1 tÔi x0 , thẳ (h (x0 ), 12 ∂C2 g(x0 )) l x§p x¿ c§p hai cõa h tÔi x0 , õ C2 h(x0 ) l Hessian Clarke [8] cừa h tÔi x0 (iii) ([15]) Náu h : Rn Rm l liản tửc v cõ Ănh xÔ tỹa Jacobian [9] h(.) l nỳa liản tửc trản tÔi x0 , thẳ coh(x0 ) l xĐp x cĐp mởt cừa h tÔi x0 Náu h l khÊ vi liản tửc Frchet mởt lƠn cên cừa x0 v cõ Ănh xÔ tỹa Hessian [9] h(.) l nỳa liản tửc trản tÔi x0 , th¼ (h (x0 ), 12 co∂ h(x0 )) l xĐp x cĐp hai cừa h tÔi x0 Do õ, cĂc xĐp x l cĂc Ôo hm suy rởng rĐt tờng quĂt Hỡn nỳa, mội Ănh xÔ h Ãu cõ mởt xĐp x tƯm thữớng tÔi bĐt cự iºm n o, l to n bë khæng gian L(X, Y ) CĂc Ôo hm kiu xĐp x tiằn lủi dũng hỡn so vợi cĂc Ôo hm suy rởng khĂc l cĂc xĐp x cõ th tỗn tÔi khổng tƯm thữớng cÊ cho Ănh xÔ khổng liản tửc Vẵ dử cho h : R R ữủc nh nghắa bi √ x n¸u x > 0, h(x) = n¸u x = 0, −1 x n¸u x < Khi õ h l khổng liản tửc tÔi v ta câ thº l§y Ah (0) = (α, +) vợi bĐt ký > v Bh (0) = {0}, Ănh xÔ khổng tứ R vo R Tuy nhiản, ta khổng cõ tẵnh nhĐt cho cĂc xĐp x c biằt, bĐt ký têp no chựa mởt xĐp x thẳ nõ cụng l mởt xĐp x CĂc vẵ dử dữợi Ơy chựng tọ rơng cĂc Ôo hm suy rởng cĐp mởt trản cõ th bơng hay kh¡c [15] V½ dư 2.1 Cho h : R → R x¡c ành bði x sin(1/x) + |y| n¸u x 6= 0, h(x, y) = |y| n¸u x = Khi â, h l Lipschitz àa phữỡng tÔi (0, 0) v ta cõ tỹa Jacobian 123doc ... kiằn tối ữu cĐp hai mợi vợi hi»n t÷đng envelope- like cho c¡c b i to¡n tèi ÷u vectì khổng trỡn cĂc khổng gian vổ hÔn chiÃu CĂc Ănh xÔ bi toĂn nghiản cựu l khÊ vi cht (trong cĂc iÃu kiằn tối ữu... cĐp mởt v cĐp hai v cĂc tẵnh chĐt cừa chúng + CĂc iÃu kiằn tối ữu cƯn cĐp hai vợi hiằn tữủng envelope- like cho cĂc nghiằm yáu àa ph÷ìng cõa (P) + C¡c i·u ki»n tèi ÷u ừ cĐp hai cho cĂc nghiằm... kiằn tối ữu ừ), trĂnh giÊ thiát khÊ vi liản tửc, thiát lêp cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai vợi tẵnh chĐt envelope- like cho bi toĂn (P) CĂc kát quÊ cừa chúng tổi lm ró hỡn vĐn · n o hi»n t÷đng envelope- like