Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng: Mô hình động họa của biên độ Soliton dưới tác động của các quá trình nhiễu phi tuyến tính

8 2 Động lực của biên độ soliton dưới tác động của các quá trìnhsuy hao năng lượng bậc ba 112.1 Tác động của quá trình suy hao năng lượng phi tuyến bậc ba lênva chạm của soliton.. Ngoài

Điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân thường

Tính ổn định tại điểm cân bằng

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu trình bày về tính ổn định của điểm cân bằng trong hệ động lực [1, 3]: ˙ x = f (x), x(t 0 ) = x 0 (1.1) trong đó f : D −→ R n là một hàm Lipschitz địa phương từ một miền D ⊂ R n vào R n Giả sử x(t) thỏa mãn điều kiện chuẩn cho sự tồn tại và duy nhất của nghiệm Một điểm x ∗ ∈ D được gọi là điểm cân bằng nếu f(x ∗ ) = 0.

Xét phép biến đổi y = x − x ∗ và đặt g(y) = f (y + x ∗ ).

1.1 Điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân thường Điểm cân bằng của hệ theo biến mới là y = 0 Vậy để đơn giản và không mất tính tổng quát , ta chỉ xét các khái niệm và tính chất của điểm cân bằng tại gốc tọa độ x = 0 Giả sử x(t) là một nghiệm bất kỳ của (1.1). Định nghĩa 1.1.1 Điểm cân bằng x = 0 của (1.1) được gọi là : (i) ổn định nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho: kx(0)k < δ ⇒ kx(t)k < ε, ∀t ≥ 0.

(ii) không ổn định, nếu nó không phải là ổn định.

(iii) ổn định tiệm cận, nếu nó ổn định và số δ có thể được chọn sao cho: kx(0)k < δ ⇒ lim t−→∞ x(t) = 0.

Tính ổn định của điểm cân bằng trong hệ phương trình

vi phân phi tuyến độc lập

Tính ổn định là vấn đề đầu tiên được nói đến trong luận án tiến sĩ 1892 của Aleksandr Mikhailovich Lyapunov [3] Lyapunov xét khai triển Taylor của hàm phi tuyến f tại điểm cân bằng x = 0 (Ở đây để đơn giản ta sẽ xét tại x = 0 dựa vào phép đổi biến đã nói ở phần trên): ˙ x ∼ f (0) + ∂f

Các đạo hàm riêng của phương trình được biểu diễn dưới dạng ma trận Ja- cobian Nếu các thành phần của véc tơ x là (x 1 , x 2 , , x n ) và các thành phần tương ứng của véc tơ f là (f 1 , f 2 , , f n ), thì ma trận Jacobian có dạng:

Nếu điều kiện đầu x(0) = x 0 được chọn gần 0, thì xsẽ nhỏ trong khoảng lân cận của 0 Ta có thể bỏ các thành phần bậc cao trong phương trình (1.2) và xấp xỉ

1.1 Điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân thường hệ phi tuyến (1.1) bằng hệ tuyến tính ˙ x = Ax, (1.3) với A là ma trân Jacobian tại điểm cân bằng x = 0. Chúng ta có định lý sau để xác định tính ổn định của điểm cân bằng của hệ (1.1) [3] Định lí 1.1.1 (Phương pháp Lyapunov gián tiếp) Cho x = 0 là điểm cân bằng của hệ phi tuyến (1.1), f : D →R n là hàm vi phân liên tục Cho

(i) x = 0 gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các giá trị riêng λ i của A nhỏ hơn 0,

(ii) x = 0 là không ổn định nếu có một hoặc vài giá trị riêng λ i lớn hơn 0.

Chúng ta áp dụng định lý trên để xét tính ổn định của điểm cân bằng trong hệ phương trình vi phân sẽ được nêu trong luận văn ở phần sau.

Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu về phương pháp Runge-Kutta bậc bốn dùng để giải số hệ phương trình vi phân thường mà sẽ được sử dụng trong các phần sau của luận văn.

Xét hệ phương trình vi phân bậc 1: x 0 i = f i (x 1 , x 2 , , x n ); x i (a) = α i , với a ≤ t ≤ b. Chia t thành N + 1 điểm t 0 , t 1 , t 2 , , t N t j = a + jh; j = 0, 1, 2, , N ; h = (b − a)/N

Kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng

Như vậy bằng cách xấp xỉ nghiệm theo phương pháp RK4 trên, ta có thể giải số hệ phương trình vi phân.

1.2 Kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng

Trong phần này, chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết nhiễu lên soliton lý tưởng được phát triển bởi Kaup [14] Sự truyền tải soliton trong ống dẫn sóng quang học được mô tả bởi phương trình NLS sau đây [4]: i∂ z ψ + ∂ t 2 ψ + 2|ψ| 2 ψ = 0, (1.4) trong đó ψ là trường sóng điện từ, z là khoảng cách truyền vàt là thời gian, ∂ t 2 ψ mô tả quá trình khuếch tán bậc hai (dispersion) và 2|ψ| 2 ψ được gọi là số hạng phi tuyến Kerr (Kerr nonlinearity).

Tính khả tích của phương trình NLS được chứng minh bởi Zakharov và Shabat dựa trên lý thuyết tán xạ ngược ngược vào năm 1971 [22] Nghiệm soliton của phương trình NLS [4, 18] là ψ sol (t, z) = η exp(iχ) cosh(x) , (1.5)

1.2 Kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng trong đó x = η(t − y − 2βz), χ = α + β(t − y) + (η 2 − β 2 )z, (1.6) và β, η, α và y tương ứng là tần số, biên độ, pha và vị trí của soliton Chú ý rằng 2β là vận tốc của soliton.

Các soliton truyền trong "ống dẫn sóng lý tưởng" sẽ không thay đổi hình dạng, biên độ, vị trí và tần số của soliton Tuy nhiên, trong thực tế ống quang dẫn luôn bị nhiễu bởi các tính chất Hóa học và Vật lí của vật liệu như Silica hoặc Silicon Do vậy soliton sẽ bị biến dạng, mất năng lượng (giảm biên độ), thay đổi vận tốc, vị trí, dưới tác động của nhiễu Trong trường hợp này, để đánh giá ảnh hưởng của nhiễu đối với các tham số của soliton, chúng ta tìm một dạng nghiệm của nhiễu nhỏ quanh soliton lý tưởng ψ(t, z) = ψ sol (t, z) + ψ con (t, z), (1.7) trong đó ψ con (t, z) = v(t, z) exp(iχ). Thay ψ (t, z ) vào (1.4) i∂ z (ψ sol + ψ con ) + ∂ 2 t (ψ sol + ψ con ) + 2|ψ sol + ψ con | 2 (ψ sol + ψ con ) = 0 (1.8)

|ψ sol + ψ con | 2 (ψ sol + ψ con ) = (ψ sol + ψ con )(ψ sol + ψ con ) 2

= ψ sol (ψ 2 sol + ψ 2 con + 2ψ sol ψ con ) +ψ con (ψ sol 2 + ψ con 2 + 2ψ sol ψ con )

1.2 Kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng trong đó ψ là liên hợp phức của ψ. Do đó:

|ψ sol + ψ con | 2 (ψ sol + ψ con ) = |ψ sol | 2 ψ sol + η exp(−iχ) cosh x v 2 exp(2iχ)

= 0 Vì i∂ z ψ sol + ∂ t 2 ψ sol + 2|ψ sol | 2 ψ sol = 0 nên exp(iχ) i∂ z v + i 2 (η 2 − β 2 )v + ∂ t 2 v + 2iβ∂ t v − β 2 v + 4η 2 v cosh 2 x + 2η 2 v cosh 2 x

= 0 (1.9) trong đó v là liên hợp phức của v Điều này suy ra i∂ z v v

= 0, (1.10) trong đó toán tử L ˆ η là

L ˆ η = (∂ t 2 − η 2 )ˆ σ 3 + 2η 2 cosh 2 (x) (2ˆ σ 3 + iˆ σ 2 ), (1.11) và σ 1 , σ 2 và σ 3 là các ma trận Pauli ˆ σ 1 = 0 1

1.2 Kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng

Toán tử L ˆ η thoả mãn các mối quan hệ sau ˆ σ 1 L ˆ η σ ˆ 1 = − L ˆ ∗ η , L ˆ + η = ˆ σ 3 L ˆ η σ ˆ 3 (1.13)

Tập riêng của toán tử L ˆ η là

L ˆ η f = λf, (1.14) trong đó f là hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λ Nghiệm tổng quát của phương trình (1.14), khi η = 1 là f k (t) = exp(ikt)

! , λ k = (k 2 + 1), (1.15) ở đây−∞ < k < ∞là chỉ số liên tục [14] Dựa theo phương trình (1.13),f ¯ k = ˆ σ 1 f k ∗ là hàm riêng khác của L ˆ η f ¯ k (t) = exp(−ikt)

! , λ k = −(k 2 + 1) (1.16) Đặc biệt, L ˆ η còn có các giá trị riêng và véc tơ riêng như sau f 0 (t) = 1 cosh(t)

Phương pháp giải số phương trình Schr¨ odinger phi tuyến

Các số hạng f k + σ ˆ 3 và f ¯ k + σ ˆ 3 (ở đây chỉ số trên "+" biểu diễn cho chuyển vị và phức liên hợp) là hàm riêng trái của L ˆ , thoả mãn

Bốn hàm riêng f j , j = 0, 1, 2, 3 sẽ được dùng ở các phần sau để tính toán tác động của nhiễu lên bốn tham số biên độ, tần số, pha, vị trí của soliton.

1.3 Phương pháp giải số phương trình Schr¨ odinger phi tuyến

Phương pháp số là một công cụ rất hữu ích trong việc kiểm chứng lại các tính toán lý thuyết và nghiên cứu tác động nhiễu lên phương trình NLS Trong những năm gần đây đã có nhiều phương pháp số được phát triển để mô phỏng NLS.

Hầu hết các phương pháp này được phân thành hai loại: phương pháp sai phân hữu hạn (finite difference method) và các phương pháp giả phổ (pseudospectral method) Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi để giải quyết bài toán truyền xung trong ống dẫn quang là phương pháp tách bước Fourier (split-step Fourier method) [4] Phương pháp tách bước Fourier là một phương pháp giả phổ, sử dụng các phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) để tính toán các biến đổi Fourier rời rạc (DFT) và phép biến đổi Fourier ngược Chú ý rằng việc sử dụng định nghĩa để tính DFT của N điểm rời rạc cần tới O(N 2 ) phép tính, trong FFT chỉ cần dùng O(N log N ) phép tính DoN log N < N 2 nên tốc độ tính toán của phương pháp FFT nhanh hơn so với hầu hết các sai phân hữu hạn khác Trong phần này chúng ta tập trung vào phương pháp này trong việc giải quyết các NLSE có nhiễu Ví dụ, chúng ta nghiên cứu phương pháp số này trong việc giải quyết các NLSE với suy hao bậc ba: i∂ z ψ + ∂ t 2 ψ + |ψ| 2 ψ = −i|ψ| 2 ψ, (1.23)

1.3 Phương pháp giải số phương trình Schr¨ odinger phi tuyến

Phương trình (1.23) có thể được viết dưới dạng:

Trong đó D là toán tử khuếch tán và N là toán tử phi tuyến, nghĩa là

Một cách tổng quát, quá trình khuếch tán và phi tuyến tác động đồng thời dọc theo chiều dài của ống quang dẫn Phương pháp tách bước Fourier giả sử trên một khoảng cách h nhỏ, ảnh hưởng của khuếch tán và phi tuyến là độc lập với nhau Việc truyền sóng từ z đến z + h được thực hiện theo hai bước Trong bước đầu tiên, chỉ có tác động của phi tuyến và trong bước thứ hai chỉ có tác động của khuếch tán Nghĩa là, ψ(t, z + h) ' exp(hD) exp(hN )ψ(t, z) (1.26)

Toán tử mũ exp(hD) có thể được đánh giá bởi biến đổi Fourier Trong thực tế, khi chỉ có khuếch tán tác động thì

Lấy biến đổi Fourier của phương trình (1.27) đối với t, chúng ta được ∂z ψ ˆ =

−iω 2 ψ ˆdo đó ψ(ω, z ˆ + h) = exp(−iω 2 h) ˆ ψ (ω, z) (1.28) Lấy biến đổi Fourier ngược của phương trình (1.28) suy ra ψ (t, z + h) = F T −1 exp(−iω 2 h) ˆ ψ(ω, z)

Vì chỉ có phi tuyến tác động trong bước thứ nhất và khuếch tán tác động trong bước thứ hai nên từ phương trình (1.29) chúng ta suy ra exp(hD) exp(hN )ψ(t, z) = F T −1 exp hD(−iω)F T [exp(hN )ψ(t, z )], (1.30)

1.3 Phương pháp giải số phương trình Schr¨ odinger phi tuyến trong đó D(−iω) thu được từ biểu thức (1.25) bằng cách thay thế toán tử ∂/∂t thành −iω Từ các phương trình (1.30) và (1.26) chúng ta có được xấp xỉ của nghiệm tại khoảng cách z + h ψ(t, z + h) ≈ F T −1 exp hD(−iω)F T [exp(hN )ψ(t, z)] (1.31)

Bây giờ chúng ta dự đoán độ chính xác của phương pháp tách bước Fourier.

Chúng ta giả sử rằng có N đoạn độc lập từz đếnz + h Phương trình (1.24) suy ra nghiệm chính xác của phương trình (1.23) tại khoảng cách truyền z + h là ψ(t, z + h) = exp(h(D + N ))ψ(t, z) (1.32)

Chúng ta nhớ lại rằng nghiệm gần đúng của phương pháp tách bước Fourier được xác định bởi phương trình (1.26) Sử dụng công thức Baker-Hausdorff cho hai toán tử không giao hoán A, B, trong đó A = hD, B = hN exp(A) exp(B) = exp A + B + 1

! , (1.33) sai số E = | exp(h(D + N )) − exp(hD) exp(hN )| được tìm thấy là kết quả từ 1

2 h 2 [N, D]. Sai số này có thể được giảm đến bậc O(h n ) nếu chúng ta có thể tìm thấy một tập hợp các số thực (c 1 , c 2 , , c k ) và (d 1 , d 2 , , d k ) sao cho exp(h(D + N )) = n

Y i=1 exp(c i hD) exp(d i hN ) + o(h n+1 ), (1.34) ở đây Dvà N là hai toán tử không giao hoán Sử dụng kết quả Yoshida [23] cho n = 4, các hệ số c i , d i là d 1 = d 3 = x 1 , d 2 = x 0 , d 4 = 0, c 1 = c 4 = 1/2x 1 , c 2 = c 3 = 1/2(x 0 + x 1 ), (1.35) ở đây x 0 = −2 1/3 /(2 − 2 1/3 ), x 1 = 1/(2 − 2 1/3 ).

Chương 2 Động lực của biên độ soliton dưới tác động của các quá trình suy hao năng lượng bậc ba

Tác động của quá trình suy hao năng lượng phi tuyến bậc ba lên

Phương trình cơ bản

Sự truyền tải các soliton trong ống quang dẫn dưới tác động của quá trình suy hao nặng lượng bậc ba được mô tả bởi các phương trình NLS có nhiễu sau đây [7, 8, 9]: i∂ z ψ + ∂ t 2 ψ + 2|ψ| 2 ψ = −i 3 |ψ| 2 ψ, (2.1) Để thu được biểu thức mô tả sự cân bằng năng lượng, chúng ta nhân hai vế của phương trình (2.1) với liên hợp phức của ψ là ψ ta được iψ∂ z ψ + ψ∂ t 2 ψ + 2|ψ| 4 = −i 3 |ψ| 4 (2.2)

Tương tự, lấy liên hợp phức hai vế của phương trình (2.1) rồi sau đó nhân với ψ ta được

2.1 Tác động của quá trình suy hao năng lượng phi tuyến bậc ba lên va chạm của soliton

Lấy hiệu của (2.2) và (2.3) ta được i ψ∂ z ψ + ψ∂ z ψ

Thay |ψ | = η β (z) cosh(x β ) vào phương trình (2.4) và lấy tích phân hai vế ta được i∂ z Z ∞

−∞ ∂ t ψ∂ t ψ − ψ∂ t ψ dt = lim x→∞ (ψ∂ t ψ − ψ∂ t ψ) + lim x→−∞ (ψ∂ t ψ − ψ∂ t ψ) = 0 nên ta được i∂ z Z ∞

Lấy tích phân hai vế ta được

3 + 8 3 η 2 (0)z Từ đó ta có được η (s) (z) = η(0)

Chúng ta kí hiệu η (s) (z) = η(z) để nhấn mạnh rằng năng lượng biên độ của soliton vẫn bị giảm khi không có va chạm Ở đây muốn nhấn mạnh rằng soliton là đơn lẻ (single), tức là không có va chạm.

Va chạm hai soliton

Tiếp theo, chúng tôi trình bày những ảnh hưởng của suy hao bậc ba lên va chạm của hai soliton Không mất tính tổng quát, các tần số của soliton được lấy là β 0 = 0 và β 1 = β Bên cạnh đó, chúng ta giả sử rằng hai soliton ban đầu tách rời nhau Theo các giả thiết, chúng ta có thể sử dụng các kỹ thuật nhiễu, đã được trình bày trong [10, 11] Với kỹ thuật nhiễu này, chúng ta nhận được một nghiệm hai soliton của phương trình (2.1) dưới dạng ψ 2s = ψ 0 + ψ β + φ, (2.7)

2.1 Tác động của quá trình suy hao năng lượng phi tuyến bậc ba lên va chạm của soliton trong đó ψ 0 và ψ β là các nghiệm soliton của phương trình (2.1) tương ứng trong kênh 0 và β (với 0 < 3 1) Số hạng φ ở vế phải của phương trình (2.7) biểu diễn cho sự ảnh hưởng của nhiễu lên va chạm của hai soliton Chúng ta có thể biểu diễn φ như sau φ = φ 0 + φ β + , (2.8) trong đó φ 0 và φ β biểu diễn sự ảnh hưởng của nhiễu lên vụ va chạm trong kênh 0 và β Kết hợp (2.7) và (2.8) chúng ta nhận thấy rằng ψ 0 total = ψ 0 + φ 0.

Chúng ta thay thế các phương trình (2.7) và (2.8) cùng vớiψ 0 (t, z) = Ψ 0 (x 0 ) exp(iχ 0 ), φ 0 (t, z) = Φ 0 (x 0 ) exp(iχ 0 ), ψ β (t, z ) = Ψ β (x β ) exp(iχ β ), và φ β (t, z) = Φ β (x β ) exp(iχ β ) vào phương trình (2.1) và lấy các số hạng tới bậc O( 3 /β) Chúng ta xem xét phương trình cụ thể đối với Φ 0 và Φ β được tính toán tương tự Phương trình cho Φ 0 là i∂ z Φ 0 + [(∂ t 2 − η 0 2 )Φ 0 + 4|Ψ 0 | 2 Φ 0 + 2Ψ 2 0 Φ ∗ 0

+Ψ 0 (Ψ β Φ ∗ β + Ψ ∗ β Φ β )] (2.9) Φ 0 là số hạng thu được của một loạt nhiễu Có nghĩa là, chúng ta thay thế Φ 0 (x 0 , z) = Φ (0) 01 (x 0 , z) + Φ (1) 01 (x 0 , z) + Φ (0) 02 (x 0 , z) + Φ (1) 02 (x 0 , z) + (2.10) vào phương trình (2.9) và khai triển kết quả đối với 3 và 1/β Trong phương trình (2.10) chỉ số dưới đầu tiên, ví dụ trong Φ (0) 01 , là viết tắt cho kênh (kênh 0), chỉ số dưới thứ hai cho biết kết hợp với cả hai bậc 3 và 1/β và chỉ số trên biểu diễn bậc của 3 Tổng số thay đổi của soliton do va chạm gây ra ở kênh β = 0 là

∆Φ 0 (x 0 ) = Φ 0 (x 0 , ∞) − Φ 0 (x 0 , −∞) Tương tự, chúng ta có thể tính toán được sự thay đổi các thông số của soliton bằng cách chiếu ∆Φ 0 (x 0 ) vào trong một trong bốn giá trị riêng của các toán tử tuyến tính L ˆ đã được trình bày trong chương 1.

Chúng ta lưu ý rằng ảnh hưởng của va chạm gây ra làm cho pha thay đổi là

∆α 0 = 4η β /|β| và vị trí thay đổi là ∆y 0 = −4η β /(β|β|) Bên cạnh đó, không có số hạng chứa 3 β ở vế phải của phương trình (2.9) nên không có ảnh hưởng ở bậc 3 Do vậy chúng ta sẽ tính toán ảnh hưởng của nhiễu lên va chạm tới bậc 3 /β.

Ta có phương trình (2.9) trở thành i∂ z Φ (1) 02 = −2i 3 |Ψ β | 2 Ψ 0 (2.11) Lấy tích phân trên theo biến z phương trình trên ta được

|β| cosh(x 0 ) (2.12) Để tính toán sự thay đổi biên độ do va chạm gây ra chúng ta chiếu

(∆Φ (1) 02 (x 0 ), ∆Φ (1) 02 ∗ (x 0 )) > lên hàm riêng f 0 (x 0 ) = sech(x 0 )(1, −1) > của toán tử L ˆ và lấy tích phân theo x 0 [12] Khi đó ta được:

Chúng ta thấy rằng trong hệ thống truyền tải đa kênh (WDM), các chuỗi soliton trong mỗi kênh tần số khác nhau có vận tốc khác nhau, do vậy số lượng va chạm của các soliton xảy ra rất lớn Do đó, sự mất năng lượng do tác động của quá trình suy hao bậc ba có thể ảnh hưởng nghiêm trọng đến chất lượng truyền dẫn.

Tiếp theo chúng ta tính toán ảnh hưởng do va chạm gây ra ở bậc 3 /β 2 Ảnh hưởng này được đặc biệt xem xét vì nó cho thấy suy hao bậc ba ảnh hưởng tới sự thay đổi tần số của các soliton Giữ các số hạng trong phương trình (2.9) tới bậc 3 /β chúng ta được phương trình i∂ z Φ (1) 03 = −[(∂ t 2 − η 0 2 )Φ (1) 02 + 4|Ψ 0 | 2 Φ (1) 02 + 2Ψ 2 0 Φ (1) 02 ∗ ]

Thay vào phương trình trên với Ψ 0 , Ψ β , Φ (0) 01 , Φ (0) β1 , Φ (1) 02 và Φ (1) β2 , chúng ta được phương trình cho Φ (1) 03 như sau: i∂ z Φ (1) 03 = 10 3 η 0 2 η β 2 tanh(x 0 )

Mô phỏng giải số

Lấy tích phân phương trình trên theo z ta được

|β|β tanh(x 0 ) cosh(x 0 ) (2.16) Để tính toán sự thay đổi tần số do va chạm gây ra ta chiếu(∆Φ (1) 03 (x 0 ), ∆Φ (1)∗ 03 (x 0 )) T lên hàm riêng f 1 (x 0 ) = sinh(x 0 )sech 2 (x 0 )(1, 1) T của toán tử L ˆ và lấy tích phân theo x 0 Khi đó ta được:

Các kết quả tính toán lý thuyết về sự thay đổi biên độ soliton và tần số trong các phương trình (2.13), (2.17) dựa trên giả thiết rằng chúng ta bỏ qua ảnh hưởng của các bức xạ do va chạm bậc 2 3 [14, 15] Do đó, chúng ta giả sử 3 1/|β| 1. Để xác thực những kết quả trên chúng ta thực hiện mô phỏng số đối với phương trình (2.1) Phương trình được lấy tích phân bằng phương pháp tách bước bậc bốn theo kích thước bước z [23] Chúng ta lấy các kích thước bước đối với t và z lần lượt là ∆t = 0.02và ∆z = 0.0001 Kích thước của miền tính toán là

−1000 ≤ t ≤ 1000 và số lượng điểm trong phương pháp Fourier là 1.28 × 10 6 để khoảng cách giữa các điểm lân cận là ∆ω = 0.001 Do khoảng cách giữa các tần số là nhỏ và số lượng các điểm rất lớn nên theo phương pháp Fourier chúng ta tính được chính xác sự thay đổi của tần số lên đến 10 −3 và đó chính là giá trị thay đổi của tần số có được từ phương trình (2.17) với 3 = 0.03 và |β| > 10.Trong mô phỏng va chạm hai soliton, chúng ta lấy điều kiện ban đầu là tổng của hai soliton cơ bản của dạng (1.5) có tần số lần lượt là β 0 = 0 và β 1 = β với1 ≤ |β| ≤ 25 Các vị trí ban đầu của soliton lần lượt là y 0 (0) = 0, y β (0) = −15 với β > 0 hoặc y β (0) = 15 với β < 0, nghĩa là hai soliton ban đầu tách ra trong miền thời gian Biên độ ban đầu hai của soliton là η 0 (0) = η β (0) = 1 và pha ban đầu của hai soliton là α 0 (0) = α β (0) = 0 Các mô phỏng được thực hiện tới khoảng cách cuối cùng z f với 1 ≤ z f ≤ 8 và |y β (z f ) − y 0 (z f )| 1 Do đó, hai soliton ban đầu cũng tách ra tại z f Chúng ta định nghĩa vị trí va chạm z c là vị trí mà ở đó các soliton va chạm trùng nhau hoàn toàn Từ định nghĩa này, chúng ta có

Mô hình động lực của soliton trong hệ thống đa kênh

Nguồn gốc của mô hình

Tiếp theo, chúng ta xem xét soliton trong ống dẫn sóng đa kênh vớiN kênh và khoảng cách giữa các kênh là∆β Nguồn gốc của mô hình này được thực hiện tương tự như trong [31, 17] cho động lực biên độ do nhiễu xuyên âm Raman gây ra Tuy nhiên, kết quả của mô hình và động lực lại khác với những kết quả trong[31, 17] Bởi vì chuỗi soliton là tuần hoàn và biên độ ban đầu của các soliton

2.3 Mô hình động lực của soliton trong hệ thống đa kênh

Hình 2.1: Sự thay đổi biên độ ∆η (c) 0 theo tần số β với = 0.03(a) Chấm tròn biểu diễn cho mô phỏng số của phương trình (2.1) và đường liền biểu diễn cho kết quả phân tích của phương trình (2.13).

2.3 Mô hình động lực của soliton trong hệ thống đa kênh trong một dãy là giống nhau Chú ý rằng khoảng cách giữa hai soliton liên tiếp khi di chuyển trong các kênh j và j − 1 hay j + 1 là ∆z c (1) = T /(2∆β) Chúng ta kí hiệuz l là vị trí của va chạm thứ l của soliton kênh thứ j với soliton kênhj + 1 hoặc j − 1, khi đó ta có z l = z l−1 + ∆z c (1) Theo phương trình (2.13) và tính tổng tất cả các thay đổi do va chạm gây ra trong khoảng thời gian (z l−1 , z l−1 + ∆z (1) c ], chúng ta có η j (z l−1 + ∆z (1) c ) = η j (z l−1 ) + g j η j (z l−1 )∆z c (1)

(1 − δ jk )η j (z l−1 )η k (z l−1 ), (2.21) trong đó g j là hệ số bù suy hao năng lượng của kênh thứ j và δ jk là hàm delta Kronecker.

Lấy giới hạn phương trình trên, chúng ta được dη j dz = η j

Lưu ý rằng trong hệ thống ống dẫn sóng, chúng ta thường muốn đạt được một trạng thái ổn định trong đó biên độ của soliton trong tất cả các kênh là bằng nhau và là hằng số [4] Vì vậy, chúng ta tìm một trạng thái ổn định của hệ thống

(2.22) có dạng η ( eq) j = η > 0 vớij = 1, , N, trong đó η là giá trị cân bằng mong muốn của biên độ soliton Từ đó chúng ta có biểu thức sau cho g i : g j = 4 3 3 η 2 + 8 3

Do đó, mức bù năng lượng cần thiết để duy trì trạng thái ổn định là như nhau cho tất cả các kênh Thay phương trình (2.23) vào phương trình (2.22), chúng ta đi đến dạng cuối cùng của mô hình: dη j dz = 4 3 η j

Phương trình (2.24) đã mô tả một cách đầy đủ về động học của các biên độ soliton trong một ống dẫn sóng N kênh.

Mô hình động lực của soliton trong hệ thống hai kênh

3 + 2 T ), và khi đó phương trình (2.24) có dạng

(2.25) a) Ta xét hệ phương trình

Từ phương trình thứ nhất của hệ (2.26) ta suy ra hoặc η 2 = 0 hoặc 4

T (η − η 1 ) = 0. Với η 2 = 0, từ phương trình thứ hai của hệ (2.26) ta thu được:

(i) Vậy nếu η 1 = 0 hoặc η 2 = 0 thì ta có (η 1 , η 2 ) = C(η) 1/2 , 0 hoặc 0, C (η) 1/2 hoặc (0, 0).

(ii) Nếu η 1 6= 0 và η 2 6= 0 thì ta có hệ

Rút gọn 3 ở các vế của phương trình và lấy hiệu hai phương trình của hệ (2.27) ta được

- Nếu η 1 = η, suy ra η 1 = η 2 = η, lúc này ta được (η 1 , η 2 ) = (η, η).

T − η < 0, lúc này ta thu được

T − η 1 Thay vào phương trình thứ nhất hệ (2.27) ta có,

T η − 27 T 2 , C 1 (η) > 0 nếu và chỉ nếu ηT > 3. Khi đó, ta có: η 1 = 3 T ± C 1 (η) 1/2

T + C 1 (η) 1/2 Điều kiện sau cần thiết để nghiệm dương:

Kết hợp với điều kiện T η > 3, ta có 3 < T η < −3 + 3 √

Kết luận:Hệ phương trình có các nghiệm là(0, 0), (η, η), (C(η) 1/2 , 0),(0, C(η) 1/2 ), 3

! b) Tính ổn định tuyến tính: Dựa vào cách xét tính ổn định của điểm cân bằng đã được nêu ở phần 1.1 Ta xét

Suy ra λ 1 = λ 2 = g > 0: không ổn định.

Vậy (η, η) là điểm cân bằng ổn định khi và chỉ khi η > 3

T, còn (η, η) là điểm không ổn định khi và chỉ khi η < 3

# Suy ra λ 1 < 0 Từ đó ta có T η

5 thì C(η) 1/2 , 0 điểm cân bằng ổn định.

5 thì C(η) 1/2 , 0 là điểm không ổn định.

Ta cũng chứng minh rằng λ 1 =

( λ 1 > 0 λ 2 < 0 Suy ra (η 1 , η 2 ) là điểm cân bằng không ổn định.

Phương trình (2.25) có thể có sáu trạng thái cân bằng với giá trị biên độ khác không trong một hoặc cả hai kênh Những trạng thái cân bằng, ổn định đạt tại (η, η), (0, 0), (C 1/2 (η), 0), (0, C 1/2 (η)), (C 2 (η), C 3 (η)), và (C 3 (η), C 2 (η)), trong đó

Bây giờ chúng ta xét tính ổn định của hệ (2.25) bộ tham số η = 1, T = 20 (T > 15), bộ tham số cơ bản sử dụng trong ổn định đường truyền trong hệ đa kênh [27] Như vậy, sau khi đối chiếu tính ổn định điểm cân bằng đã tính ở trên, ta có bảng sau:

Bảng 2.1: Tính ổn định của điểm cân bằng của phương trình (2.25). Điểm cân bằng Tính ổn định

Bảng 2.1 tóm tắt tính chất của các điểm cân bằng Phương trình (2.24) có 4 điểm cân bằng tại (1, 1), (0, 0), ( √

1.3), trong đó chỉ có điểm (1, 1)là ổn định Thật vậy, hình 2.2 là biểu đồ pha của phương trình (2.24), nhìn hình ta thấy được điểm (1, 1) là ổn định tiệm cận toàn cục, có nghĩa là cả hai biên độ η 1 và η 2 đều tiến về 1 với bất kì điều kiện đầu (η 1 (0), η 1 (0) khác 0 nào.

Các phân tích phần trên được kiểm tra bởi giải pháp số của phương trình (2.25) Bởi vì các động lực học được xem xét liên quan đến một số lượng lớn các va chạm thường xuyên nên phép đo biên độ là khó thực hiện với mô hình NLS đã nêu ở trên Do đó, chúng ta phải làm việc với mô hình của hệ hai NLS tương đương sau: i∂ z ψ 1 + ∂ t 2 ψ 1 + 2|ψ 1 | 2 ψ 1 + 4|ψ 2 | 2 ψ 1

Trong hệ phương trình (2.28), ψ 1 và ψ 2 tương ứng là điện trường trong kênh 1,2 và g 1 = g 2 = 4 3 η(η/3 + 2/T ) Các tần số của hai kênh trong mô phỏng số là β = 0 và β = 40, hệ số suy hao bậc ba là = 0.01 và giá trị cân bằng mong

Hình 2.2: Biểu đồ pha cho mô hình LV (2.24) với hệ số a = 1, b = η = 1, T = 20. Đường cong màu xanh là đường quỹ đạo tính toán số Bốn chấm tròn màu đỏ tương ứng với bốn trạng thái cân bằng. muốn của biên độ soliton là η = 1 Các điều kiện ban đầu cho mô phỏng là hai dãy soliton tuần hoàn với biên độ η 1 (0) và η 2 (0), pha 0 và: ψ 1 (t, 0) =

(2.29) trong đó chúng ta chọn T = 15 và J = 2, và điều kiện đầu η 1 (0) = 1, η 2 (0) = 1. Chú ý rằng để tránh được các va chạm không mong muốn, chúng ta chọn vị trí ban đầu của soliton trong kênh 2 có vị trí −T /2so với vị trí ban đầu của soliton trong kênh 1.

Hệ phương trình (2.28) được giải số bằng phương pháp tách bước tương tự như trong phần 2.14 Khi đó ta thấy kết quả mô phỏng số của hệ hai NLS (2.28) là hoàn toàn phù hợp với mô phỏng số của mô hình Lotka - Volterra [phương trình (2.25)].

Hình 2.3: Đồ thị mô tả hình dạng chuỗi soliton ở điều kiện đầu trong (a) và hình dạng chuỗi soliton tại z f = 160 trong (b) với các tham số 3 = 0.01, β 1 = 0, β 2 = 40, T = 15, η = 1 Đường nét liền màu xanh và nét đứt màu đỏ lần lươt là |ψ 1 (t, z f )| và

|ψ 2 (t, z f )| Ta thấy ở điều kiện đầu, biên độ soliton bằng 1 và hình dạng solioton giữ nguyên, tại z f = 160 biên độ soliton vẫn được duy trì bằng 1 nhưng hình dạng soliton lúc này có dấu hiệu bắt đầu bị vỡ.

Hình 2.4: Đồ thị thể hiện biên độ soliton trong kênh 1 và 2 3 = 0.01, β 1 = 0, β 2 = 40, T = 15, η = 1 và điều kiện đầu η 1 (0) = η 2 (0) = 1 Các chấm tròn màu đỏ và màu xanh đại diện cho η 1 (z) và η 2 (z), nhận được bởi giải số của hệ phương trình (2.28).

Các đường cong liền màu xanh và đỏ tương ứng với η 1 (z) và η 2 (z), là đại lượng thu được từ giải số mô hình LV (2.25).

Phương trình sóng phi tuyếnGinzburg-Landau dạng phức và ứng dụng

Phương trình sóng phi tuyến Ginzburg - Landau dạng phức

Phương trình cơ bản

Soliton truyền trong ống dẫn sóng với sự hiện diện của khuếch tán bậc hai, Kerr phi tuyến, và suy hao bậc năm yếu có thể được mô tả bởi phương trình NLS có nhiễu: i∂ z ψ + ∂ t 2 + 2|ψ| 2 ψ = −i 5 |ψ| 4 ψ (3.1)

Trong phần này, chúng ta xem xét ảnh hưởng của suy hao bậc năm đối với các soliton và việc so sánh với các ảnh hưởng của suy hao bậc ba, mà chúng ta đã trình bày trong Chương 2.

Các nghiệm soliton cơ bản của phương trình NLS không nhiễu với tần số β là: ψ β (t, z) = η β exp(iχ β ) cosh(x β ) , (3.2)

3.1 Phương trình sóng phi tuyến Ginzburg - Landau dạng phức ở đây x β = η β (t − y β − 2βz), χ β = α β + β(t − y β ) + (η 2 β − β 2 )z và η β , α β , y β tương ứng là biên độ, pha và vị trí của soliton Chúng ta tính toán ảnh hưởng của suy hao bậc năm trên sự truyền của soliton Chúng ta có được phương trình đối với sự thay đổi biên độ của soliton: dη (s) (z) dz = − 16

15 5 η (s)5 (z), (3.3) ở đây chúng ta kí hiệu chỉ số trên s là là để nhấn mạnh biên độ của soliton vẫn thay đổi ngay cả khi không có va chạm Từ phương trình trên ta được η (s) (z) = η(0)

Va chạm hai soliton

Tiếp theo chúng ta xem xét ảnh hưởng của suy hao bậc năm lên va chạm hai soliton Không mất tính tổng quát, chúng ta xét các tần số của soliton là β 0 = 0 và β 1 = β Chúng ta giả sử rằng 5 1 và 1/|β| 1 Bên cạnh đó, chúng ta cũng giả sử rằng 5 1/|β|, khi đó ảnh hưởng của các bức xạ ở bậc O( 2 5 ) có thể được bỏ qua Ngoài ra, hai soliton trong va chạm ban đầu được tách ra trong miền thời gian Khi đó chúng ta tìm được nghiệm hai soliton của phương trình (3.1) có dạng ψ 2 = ψ 0 + ψ β + φ 0 + φ β + , (3.5) trong đó ψ 0 và ψ β là các nghiệm soliton của phương trình (3.1) với 0 < 1 trong các kênh 0 và β, φ 0 và φ β mô tả ảnh hưởng của nhiễu lên va chạm trong các kênh 0 và β, và dấu ba chấm biểu diễn cho các số hạng bậc cao khác Chúng ta thay vào phương trình (3.5) với ψ 0 (t, z) = Ψ 0 (x 0 ) exp(iχ 0 ), φ 0 (t, z) = Φ 0 (x 0 ) exp(iχ 0 ), ψ β = Ψ β (x β ) exp(iχ β ), và φ β = Φ β (x β ) exp(iχ β ) sau đó thay vào phương trình (3.1) và giữ các số hạng tới O( 5 ) Điều này cho phép chúng ta tính toán ảnh hưởng của va chạm lên đếnO( 5 /|β|) Bởi vì 1/|β| 1, chúng ta có thể sử dụng xấp xỉ cộng hưởng và bỏ qua các số hạng dao động nhanh đối với z Với xấp xỉ này, phương trình (3.1) được phân tích thành một phương trình đối với Φ 0 và một phương trình đối với

3.1 Phương trình sóng phi tuyến Ginzburg - Landau dạng phức của Φ β [10, 12, 24] Chúng ta tính toán với Φ 0 và Φ β được tính tương tự. i∂ z Φ 0 + [(∂ t 2 − η 2 0 )Φ 0 + 4|Ψ 0 | 2 Φ 0 + 2Ψ 2 0 Φ ∗ 0 ]

−i 5 (6|Ψ β | 2 |Ψ 0 | 2 Ψ 0 + 3|Ψ β | 4 Ψ 0 ) (3.6) Chúng ta thay Φ 0 (x 0 , z) = Φ (0) 01 (x 0 , z) + Φ (1) 01 (x 0 , z) + Φ (0) 02 (x 0 , z) + Φ (1) 02 (x 0 , z) + (3.7) vào phương trình (3.6) và khai triển kết quả đối với 5 và 1/β Trong phương trình (3.7) chỉ số dưới đầu tiên, ví dụ trong Φ (0) 01 , "0" là viết tắt cho kênh (kênh 0), chỉ số dưới thứ hai cho biết kết hợp với cả hai bậc và 1/β và chỉ số trên biểu diễn bậc của

Tổng số thay đổi của soliton do va chạm gây ra ở kênh tham chiếu là

∆Φ 0 (x 0 ) = Φ 0 (x 0 , ∞) − Φ 0 (x 0 , −∞) Tương ứng để tính toán sự thay đổi của các thông số soliton chúng ta chiếu ∆Φ 0 (x 0 ) vào trong một trong bốn giá trị riêng của các toán tử tuyến tính L ˆ [10, 12, 24].

Chúng ta lưu ý rằng va chạm gây ra ảnh hưởng tới bậc1/β và 1/β 2 làm cho pha thay đổi là∆α 0 = 4η β /|β| và vị trí thay đổi là ∆y 0 = −4η β /(β|β|), ngay cả khi va chạm không có nhiễu [13] Do đó, chúng ta thấy rằng ảnh hưởng chính của suy hao bậc năm trong va chạm là bậc của 5 /β Trong bậc này, phương trình (3.6) có dạng i∂ z Φ (1) 02 = −i 5 [6|Ψ β | 2 |Ψ 0 | 2 Ψ 0 + 3|Ψ β | 4 Ψ 0 ] (3.8) Lấy tích phân theo z, chúng ta được

Va chạm làm cho biên độ thay đổi là ∆η 0 (2s) được tính bằng cách chiếu

(∆Φ (1) 02 (x 0 ), ∆Φ (1) 02 ∗ (x 0 )) > vào hàm riêng f 0 (x 0 ) =sech(x 0 )(1, −1) > của toán tử L ˆ và lấy tích phân theo x 0

3.1 Phương trình sóng phi tuyến Ginzburg - Landau dạng phức

Khi đó, chúng ta được ∆η 0 (2s) :

Chúng ta nhận thấy có sự giống và khác nhau giữa sự thay đổi biên độ ∆η 0 (2s) trong phương trình (3.10) với sự thay đổi biên độ do ảnh hưởng của suy hao bậc ba trong va chạm hai soliton: ∆η 0 = 4 3 η 0 η β /|β|, ở đây 3 là hệ số suy hao bậc ba Trong cả hai trường hợp, sự thay đổi biên độ là tỉ lệ nghịch với |β| Tuy nhiên, sự phụ thuộc của sự thay đổi vào biên độ ban đầu của các soliton là hoàn toàn khác nhau Chúng ta thấy, sự thay đổi biên độ do suy hao bậc ba là một toàn phương của biên độ soliton và được biểu diễn là một số hạng, còn sự thay đổi biên độ do suy hao bậc năm là một bậc bốn của biên độ soliton và được biểu diễn là tổng của hai số hạng khác nhau.

Mô phỏng số của va chạm

Các phân tích cho thấy sự thay đổi biên độ trong phương trình (3.10) thu được bằng cách sử dụng kỹ thuật nhiễu chỉ có giá trị khi 5 1/|β| 1 Vì các biểu thức này được dựa trên nhiễu xấp xỉ nên là rất cần thiết để xác nhận các kết quả đó bằng giải pháp số của mô hình NLS đầy đủ, được cho bởi phương trình (3.1) Phương pháp số của phương trình (3.1) được giải dựa trên phương pháp tách bước [4] Chúng ta chọn các kích thước bước trong t và z tương ứng là

∆t = 0.049 và ∆z = 0.0002 Kích thước của miền tính toán là −200 ≤ t ≤ 200. Trong mô phỏng va chạm hai soliton, chúng ta đưa ra điều kiện ban đầu là tổng của hai soliton có dạng (3.2) với các tần số 0 và β, ở đây 2 ≤ |β| ≤ 40 Vị trí ban đầu của các soliton là y 0 (0) = 0, và y β (0) = −20 nếu β > 0 hoặc y β (0) = 20 nếu β < 0 Do đó, các soliton ban đầu được tách ra trong miền thời gian Các pha ban đầu là α 0 (0) = α β (0) = 0 Các mô phỏng được thực hiện tới khoảng cách cuối cùng z f , sao cho 1, 5 ≤ z f ≤ 10 và |y β (z f ) − y 0 (z f )| 1 Do đó, chúng ta thấy rằng hai soliton cũng tách ra trong miền thời gian cho tới z f Chúng ta định nghĩa vị trí va chạm z c là vị trí mà ở đó các soliton va chạm trùng nhau hoàn toàn Từ định nghĩa này, chúng ta có z c = −y β (0)/(2β), và 0.25 ≤ z c ≤ 5. Va chạm gây ra biên độ thay đổi của soliton kênh tham chiếu được tính từ các mô phỏng số là

Động lực của soliton của phương trình sóng phi tuyến Ginburg -

Động lực biên độ của mô hình Lotka - Volterra

Chúng ta xem xét hệ thống ống dẫn sóng hai kênh với khoảng cách ∆β giữa các kênh lân cận Mục tiêu của chúng ta là xây dựng một mô hình xác định động lực biên độ của soliton dưới tác động của khuếch tán bậc hai, phi tuyến Kerr,suy hao tuyến tính yếu, suy hao bậc ba và suy hao bậc năm Nguồn gốc của mô hình được xây dựng tương tự như thực hiện trong Chương 2 cho động học do suy hao bậc ba Tuy nhiên, kết quả mô hình của động học mà chúng ta đã phân tích là khá khác nhau Đặc biệt, các số hạng tương tác trong các mô hình được xét trong Chương 2 là bậc hai, trong khi các mô hình trong phần này có cả các số hạng tương tác bậc hai lẫn bậc bốn Hơn nữa, trong Chương 2 các hệ số suy hao tuyến tính trong mô hình là các số dương đối với một số hoặc tất cả các kênh, trong khi đó ở trường hợp này các hệ số suy hao tuyến tính đạt được trong tất cả các kênh đều được giả sử là số âm Sự lựa chọn này của suy hao

3.2 Động lực của soliton của phương trình sóng phi tuyến Ginburg - Landau dạng phức tuyến tính trong tất cả các kênh cho phép ức chế các bức xạ bậc hai không ổn định.

Việc thiết lập mô hình động lực biên độ dựa trên năm giả thiết sau đây:

(1) Các dãy soliton trong tất cả các kênh được xác định, tức là, mỗi soliton được đặt tại trung tâm của khe thời gian với chiều rộng T, với khe thời gian được hiểu là độ trễ thời gian giữa hai soliton liền kề,ở đây T 1 Biên độ ban đầu của các soliton trong cùng một kênh là bằng nhau, tuy nhiên biên độ ban đầu của các soliton trong các kênh khác nhau không nhất thiết phải bằng nhau.

(2) Các dãy là hoặc một trong hai dạng sau:

(a) Tuỳ thuộc vào tính tuần hoàn tạm thời điều kiện biên.

(3) Hệ số bù suy hao tuyến tính trong mỗi kênh được xác định bởi sự khác biệt giữa suy hao tuyến tính của ống dẫn sóng và khuếch đại tuyến tính đạt được.

Do đó, hệ số bù suy hao tuyến tính có thể được điều chỉnh đến một giá trị mong muốn bằng cách lựa chọn đúng khuếch đại tuyến tính.

(4) Vì T 1 nên các soliton trong mỗi kênh tần số cũng tách rời nhau trong miền thời gian Kết quả là sự tương tác soliton trong mỗi kênh được bỏ qua.

(5) Các ảnh hưởng của bức xạ bậc cao do va chạm gây ra đối với sự thay đổi tần số được bỏ qua, phù hợp với các phân tích của bài toán va chạm ở trên.

Vì chuỗi soliton là tuần hoàn và biên độ ban đầu là bằng nhau trong tất cả các soliton trong cùng một kênh nên các thông số của tất cả các soliton trong cùng một chuỗi có động lực giống nhau Kí hiệu biên độ soliton trong hai kênh là η j ,ở đây j = 1, 2 Để có được các phương trình cho η j , chúng ta xem xét các tốc độ va chạm Cụ thể hơn, chúng ta lưu ý đến khoảng cách di chuyển của soliton kênh thứ j khi đi qua hai soliton trong các kênh khác là ∆z (1) c = T /(2∆β) Ta có vị trí z l của va chạm thứ l của soliton kênh j với các soliton trong các kênh khác là z l = z l−1 + ∆z (1) c Áp dụng các phương trình (3.3) và (3.10) cùng với các biểu thức tương ứng cho sự thay đổi biên độ do suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba, chúng ta có được phương trình sau cho sự thay đổi biên độ của soliton

3.2 Động lực của soliton của phương trình sóng phi tuyến Ginburg - Landau dạng phức kênh thứ j trong khoảng (z l−1 , z l−1 + ∆z c (1) ]: η j (z l−1 + ∆z c (1) ) − η j (z l−1 ) = g j η j (z l−1 )∆z c (1) + 4

Trong phương trình (3.14), g j là hệ số bù suy hao tuyến tính trong kênh thứ j và η k là biên độ của các soliton trong các kênh khác Ba số hạng đầu tiên trong vế phải phương trình (3.14) tương ứng là biên độ thay đổi do soliton truyền dưới tác động của sự suy hao tuyến tính, suy hao bậc ba và suy hao bậc năm Số hạng thứ tư và thứ năm cho ta thấy va chạm gây ra thay đổi biên độ do suy hao bậc ba và bậc năm Lấy giới hạn phương trình (3.14) chúng ta được: dη j dz = η j

Trong hệ thống ống dẫn sóng đa kênh, chúng ta mong muốn đạt được độ truyền ổn định, trong đó biên độ soliton trong tất cả các kênh đều bằng nhau và không đổi (không phụ thuộcz) Do đó chúng ta tìm một trạng thái ổn định của phương trình (3.15) có dạng η j (eq) = η với j = 1, 2, ở đây η là giá trị biên độ cân bằng mong muốn Điều này mang lại biểu thức sau cho các hệ số bù suy hao: g j = 4 5 η − κ

, (3.16) ở đây κ = 3 / 5 và 5 6= 0 Thay phương trình (3.16) vào phương trình (3.15) chúng ta được dη j dz = 5 η j

(3.17)Phương trình (3.17) mô tả về động lực của biên độ soliton trong hệ thống ống dẫn sóng hai kênh Chúng ta lưu ý rằng(η, η)và (0, 0) là hai trạng thái cân bằng

3.3 Mô phỏng giải số của dãy soliton va chạm của mô hình với bất kỳ giá trị dương nào của η, κ và T.

Sự ổn định của các điểm cân bằng

Tiếp theo chúng ta xem xét động lực của các biên độ soliton như mô tả bởi mô hình LV của phương trình (3.17) Chúng ta xem xét điểm (1, 1) có ổn định không Chúng ta không trình bày đầy đủ sự phụ thuộc của động học trên các thông số vật lý Thay vào đó, chúng ta tập trung vào một số điểm đặc biệt mà lựa chọn tiêu biểu là động học biên độ trong mô hình LV ổn định tuyến tính.

Chúng ta chọn η = 1, cùng với κ = 1.6, 5 = 0.02 Khi đó hệ (3.17) có các điểm cân bằng là: (0, 0), (1.328, 0), (0.486, 0), (0, 1.328), (0, 0.486), (0.3809, 0.3809), (1, 1), (1.1904, 0.5503), (0.5503, 1.19047).

Với cách xét tính ổn định về điểm cân bằng tương tự như trong mục 2.3.2. Hệ (3.17) có ma trận Jacobian là:

# , (3.18) với J jj = g j + 4 3 η j 2 − 16 3 5 η 4 j + T 8 5 η j 2 η k − T 8 5 η k 3 , j, k = 1, 2, k 6= j Để xét tính ổn định của điểm (1, 1), ta tính giá trị riêng của ma trận Jacobian tại điểm này Ta có J (1, 1) có các giá trị riêng là λ 1 = −0.008, λ 2 = −0.0987 đều thỏa điều kiện nhỏ hơn 0, do đó (1, 1) là điểm cân bằng ổn định tiệm cận Lưu ý rằng giá trị củaT được sử dụng trong thí nghiệm thường là10 ≤ T ≤ 20 [25] Kết quả là với giá trị biên độ ban đầu gần bằng 1, giá trị của η j (z) tiến tới1 khiz tăng Tương tự, điểm (0, 0) cũng là điểm cân bằng ổn định.

Mô phỏng giải số của dãy soliton va chạm

của mô hình với bất kỳ giá trị dương nào của η, κ và T.

3.2.2 Sự ổn định của các điểm cân bằng

Tiếp theo chúng ta xem xét động lực của các biên độ soliton như mô tả bởi mô hình LV của phương trình (3.17) Chúng ta xem xét điểm (1, 1) có ổn định không Chúng ta không trình bày đầy đủ sự phụ thuộc của động học trên các thông số vật lý Thay vào đó, chúng ta tập trung vào một số điểm đặc biệt mà lựa chọn tiêu biểu là động học biên độ trong mô hình LV ổn định tuyến tính.

Chúng ta chọn η = 1, cùng với κ = 1.6, 5 = 0.02 Khi đó hệ (3.17) có các điểm cân bằng là: (0, 0), (1.328, 0), (0.486, 0), (0, 1.328), (0, 0.486), (0.3809, 0.3809), (1, 1), (1.1904, 0.5503), (0.5503, 1.19047).

Với cách xét tính ổn định về điểm cân bằng tương tự như trong mục 2.3.2. Hệ (3.17) có ma trận Jacobian là:

# , (3.18) với J jj = g j + 4 3 η j 2 − 16 3 5 η 4 j + T 8 5 η j 2 η k − T 8 5 η k 3 , j, k = 1, 2, k 6= j Để xét tính ổn định của điểm (1, 1), ta tính giá trị riêng của ma trận Jacobian tại điểm này Ta có J (1, 1) có các giá trị riêng là λ 1 = −0.008, λ 2 = −0.0987 đều thỏa điều kiện nhỏ hơn 0, do đó (1, 1) là điểm cân bằng ổn định tiệm cận Lưu ý rằng giá trị củaT được sử dụng trong thí nghiệm thường là10 ≤ T ≤ 20 [25] Kết quả là với giá trị biên độ ban đầu gần bằng 1, giá trị của η j (z) tiến tới1 khiz tăng Tương tự, điểm (0, 0) cũng là điểm cân bằng ổn định.

3.3 Mô phỏng giải số của dãy soliton va chạm

Tiếp theo, chúng ta xem xét hệ thống ống dẫn sóng phi tuyến hai kênh Động học của hai chuỗi soliton truyền với vận tốc 2j trong ống dẫn sóng quang học dưới tác động của phân tán bậc hai, Kerr phi tuyến, suy hao tuyến tính, tăng bậc ba yếu và suy hao bậc năm có thể được mô tả bởi hệ phương trình GL

[4, 19, 26]: i∂ z ψ j + ∂ t 2 ψ j + 2|ψ j | 2 ψ j + 4|ψ k | 2 ψ j = ig j ψ j /2 + i 3 |ψ j | 2 ψ +2i 3 |ψ k | 2 ψ j − i 5 |ψ j | 4 ψ − 3i 5 |ψ k | 4 ψ j − 6i 5 |ψ k | 2 |ψ j | 2 ψ, (3.19) trong đó j, k = 1, 2, k 6= j, g j là hệ số tăng - suy hao tuyến tính của chuỗi thứ j, z là khoảng cách truyền và t là thời gian, 3 và 5 tương ứng là hệ số tăng bậc ba và suy hao bậc năm Chúng ta lưu ý rằng các nghiệm soliton cơ bản của phương trình NLS không nhiễu là i∂ z ψ j + ∂ t 2 ψ j + 2|ψ j | 2 ψ j = 0 với tần số β j là ψ sj (t, z) = η j exp(iχ j )sech(x j ), ở đây χ j = α j + β(t − y j ) + η j 2 − β j 2 z, x j = η j (t − y j − 2β j z), và η j , α j và y j tương ứng là biên độ, pha và vị trí của soliton.

Chúng ta xem xét một cách cụ thể hệ phương trình (3.19) với khoảng cách cực dài Chúng ta chứng minh sự ổn định của truyền soliton với khoảng cách cực dài bằng cách sử dụng các mô phỏng số của mô hình hệ hai NLS của hệ phương trình (3.19) và mô hình LV của phương trình (3.15) Điều kiện ban đầu là hai chuỗi tuần hoàn của 2J + 1 các soliton trùng nhau với biên độ η 1 (0) và η 2 (0) và pha 0, ta có: ψ j (t, 0) =

X j=−J η j (0) exp[iβ j (t − jT )] cosh[η j (0)(t − jT )] , (3.20) trong đó β 1 = 0, β 2 = 40, T = 18 và J = 2 Mô hình hệ hai NLS được giải số với phương pháp tách bước Fourier, trong khi đó mô hình LV được giải số theo phương pháp Runge - Kutta của bậc 4 Chúng ta chọn các thông số là 5 = 0.02, κ = 1.6, và z f = 1300 Các điều kiện ban đầu được chọn là: η 1 (0) = 1.05, η 2 (0) = 0.95 Hình 3.1 cho ta thấy η j phụ thuộc vào z trong mô phỏng số của các phương trình (3.19) và (3.15) Chúng ta thấy rằng khoảng cách mà soliton truyền ổn định là lớn hơn gấp 2 lần so với khoảng cách trong[19] và gấp 1.3 lần so với các khoảng cách trong [26] Chúng ta nhận thấy hình dạng của các chuỗi soliton không thay đổi trong truyền dẫn cho đến khoảng cách cuối cùng z f1 = 1300 Điều này cho ta thấy sự phù hợp giữa các mô phỏng của các phương trình (3.19) và (3.15) trong việc chứng minh sự truyền soliton là ổn định trong khoảng cách cực dài.

Hình 3.1: (a) Đồ thị mô tả biên độ η j theo khoảng cách z Các chấm tròn màu đỏ và màu xanh đại diện cho η 1 (z) và η 2 (z), nhận được bởi giải số của hệ phương trình(3.19) Các đường cong liền màu xanh và đỏ tương ứng với η 1 (z) và η 2 (z), là đại lượng thu được từ giải số mô hình LV (3.15) (b) Hình dạng chuỗi soliton tại z f = 1300.

Sự rẽ nhánh của mô hình động lực và bài toán chuyển kênh

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu về phương pháp ổn định chuyển kênh trong hệ thống ống dẫn băng thông rộng bằng việc lựa chọn các tham số vật lý Ống quang dẫn hỗn hợp gồm các khoảng được đánh chỉ số lẻ với hệ số bồi thường phi tuyến và hệ số suy hao bậc ba, và khoảng được đánh chỉ số chẵn với hệ số bồi thường suy hao GL Ý tưởng của việc tắt (chuyển) kênh dựa vào hệ động lực Chúng ta chuyển kênh thực hiện bằng cách thay đổi nhanh trong bộ khuếch đại tuyến tính, nghĩa là thay đổi tham số khuếch đại/suy hao năng lương tuyến tính đột ngột để thay đổi trang thái các điểm cân bằng trong hệ động lực.

Chúng ta xét hai dãy soliton quang được truyền với vân tốc nhóm trong hệ ống dẫn sóng hỗn hợp, trong đó hệ số bồi thường suy hao là khác nhau trong các ống dẫn khác nhau, chúng ta thêm vào thành phần khuếch tán bậc hai, hệ số phi tuyến Kerr, cũng như hệ số bồi thường-suy hao tuyến tính và phi tuyến Chúng ta kí hiệu z là khoảng cách dọc theo ống dẫn sóng, và giả sử rằng hệ số bồi thường suy hao bao gồm bồi thường tuyến tính và suy hao bậc ba trong khoảng chẵn z 2m ≤ z < z 2m+1 , và suy hao tuyến tính, hệ số bù bậc ba, và suy hao bậc năm trong khoảng lẻz 2m+1 ≤ z < z 2m+2 , với 0 ≤ m ≤ M, M ≥ 0và z 0 = 0 Do đó,

4.1 Sự rẽ nhánh của mô hình động lực và bài toán chuyển kênh sự truyền năng lượng được mô tả bởi hệ phương trình NLS sau: i∂ z ψ j + ∂ t 2 ψ j + 2|ψ j | 2 ψ j + 4|ψ 2 k ψ j = ig (l) j ψ j /2 + L l (ψ j , ψ k ), (4.1) trong đó g j (l) là hệ số bồi thường suy hao tuyến tính, và L l (ψ j , ψ k ) mô tả ảnh hưởng của hệ số bồi thường suy hao phi tuyến Chỉ số j và k chạy theo dãy soliton, j = 1, 2, k = 1, 2, trong khi l chạy theo hai hệ số bồi thường suy hao.

Thành phần thứ hai bên vế trái của phương trình (4.1) tương ứng với thành phần khuếch tán bậc hai, trong khi thành phần thứ ba và thứ tư mô tả tác động ảnh hưởng dựa vào hệ số Kerr Các soliton trong dãy thứj là các soliton cơ bản của phương trình NLS không nhiễu i∂ z ψ j + ∂ t 2 ψ j + 2|ψ j | 2 ψ j = 0 Hình dạng các soliton được mô tả bởi ψ sj (t, z) = η j e iX j sech(x j ) với x j = η j (t − y − y j − 2β j z), X j = α j + β j (t − y j ) + (η j 2 − β j 2 )z và η j , β j , y j và α j lần lượt là biên độ soliton, vận tốc nhóm( hay tần số), vị trí và pha Chúng tôi giả sử hiệu giữa hai vận tốc nhóm là rất lớn |β 1 − β 2 | 1, vì vậy các soliton chịu va chạm là lớn.

Thành phần bồi thường suy hao phi tuyến L 1 (ψ j , ψ k ) trong khoảng lẻ là:

L 1 (ψ j , ψ k ) = −i (1) 3 |ψ j | 2 ψ j − 2i (1) 3 |ψ j | 2 ψ j , (4.2) với (1) 3 là hệ số suy hao bậc ba Thành phần đầu tiên và thứ hai ở vế phải của phương trình (4.2) mô tả ảnh hưởng do suy hao bậc ba Thành phần bồi thường suy hao phi tuyến L 2 (ψ j , ψ k ) trong khoảng chẵn là:

(4.3) với (2) 3 và 5 lần lượt là hệ số bồi thường (tăng) bậc ba và suy hao bậc năm.

Thành phần đầu tiên và thứ hai bên vế phải của phương trình (4.3) mô tả ảnh hưởng do hệ số tăng bậc ba, trong khi thành phần thứ ba, thứ tư là do tác động của sự suy hao bậc năm.

Trong chương 2, chúng tôi đã đưa ra mô hình động học biên độ của N dãy va chạm của các soliton quang dưới sự có mặt của hệ số bồi thường suy hao tuyến tính và phi tuyến bởi mô hình LV cho N biến, ở đây dạng chính xác của mô hình LV dựa trên những giả thiết được nhắc đến ở chương 3, phần 3.2.1 Bây giờ, ta xét trong khoảng lẻ đầu tiên, với hệ số bồi thường suy hao bao gồm tăng tuyến tính và suy hao bậc ba Để mô tả động lực biên độ của dãy soliton thứ j,

4.1 Sự rẽ nhánh của mô hình động lực và bài toán chuyển kênh ta có hệ: dη j dz = η j (g j (1) − 4 (1) 3 η 2 j /3 − 8 (1) 3 η k /T ), (4.4) với j = 1, 2và k = 1, 2 Trong hệ đa kênh để đạt được trạng thái truyền ổn định, các biên độ của soliton trong tất cả các dãy là hằng số khác 0 Do đó chúng tôi tìm một trạng thái ổn định cho phương trình (4.4) dưới dạng η 1 (eq) = a >

0, η 2 (eq) = b > 0 với a và b là giá trị biên độ tại điểm cân bằng Từ đó rút ra được : g 1 (1) = 4 (1) 3 (a 2 /3 + 2b/T ) và g (1) 2 = 4 (1) 3 (b 2 /3 + 2a/T ) Chú ý rằng trong ổn định đường truyền và chuyển kênh off-on chúng tôi sử dụng a = b = η, Ngược lại, trong chuyển kênh tắt-mở (off-on), chúng tôi sử dụng a 6= b, bởi vì muốn tắt sự truyền của chỉ một dãy là rất khó với a = b Chú ý rằng sự chuyển kênh đạt được bằng cách thay đổi nhanh các giá trị của tham số g j (1) , có nghĩa là, hệ số (a, b) trở thành ổn định tiệm cận trong chuyển kênh off-on và không ổn định trong chuyển kênh on-off.

Mô hình LV cho động học biên độ trong khoảng số lẻ đạt được bằng va chạm trong sự dịch chuyển biên độ do hệ số tăng bậc ba và suy hao bậc năm, cũng như sự thay đổi biên độ một soliton riêng lẻ do hệ số suy hao tuyến tính, hệ số tăng bậc ba và hệ số suy hao bậc năm Ta rút ra được phương trình sau cho động học biên độ của dãy soliton thứ j theo [19]: dη j dz = η j [g (2) j + 4 (2) 3 η j 2 /3 − 16 5 η j 4 /15 + 8 (2) 3 η k /T − 8 5 η k (2η j 2 + η 2 k )/T ], (4.5) trong đó: g (2) j = 4 5 η(−κη/3) + 4η 3 /15 − 2κ + 6η 2 /T, với κ = (2) 3 / 5và 5 6= 0 Chú ý rằng trong các khoảng chẵn, giá trị của κ được sử dụng trong ổn định đường truyền và chuyển kênh Sự chuyển kênh dựa vào phép phân tích sự ổn định của hệ phương trình (4.4) và (4.5) Do đó chúng tôi mô tả kết quả của phép phân tích này, bắt đầu với mô hình LV (4.4) Điều này đã được xét trong chương 2. Chúng tôi xét giá trị biên độ ở điểm cân bằng vớia = 1 và b = η, trong đó hệ số bồi thường tuyến tính là g (1) 1 = 4 (1) 3 (1/3 + 3η/T ) và g 2 (1) = 4 (1) 3 (η 2 /3 + 2/T ) Đầu tiên chúng ta chú ý rằng, (1, η) là ổn định tiệm cận, nếu η > 9/T 2 , ngược lại là không ổn định Có nghĩa là, (1, η) rẽ nhánh tại η = 9/T 2 Sự chuyển kênh off-on và on-off dựa trên sự rẽ nhánh này, và thực ra là sự thay đổi phù hợp trong bộ khuếch đại tăng tuyến tính Để giải thích điều này, chúng tôi kí hiệu η th là giá trị của mức quyết định, phân biệt giữa trạng thái truyền on và off Chuyển kênh

4.1 Sự rẽ nhánh của mô hình động lực và bài toán chuyển kênh off-on đạt được bằng cách tăng η từ η f < η bif tới η f > η bif , có nghĩa là điểm ổn định (1, η) chuyển từ không không ổn định sang ổn định tiệm cận Do đó, trước khi chuyển, η 1 và η 2 có đặc điểmη s1 > η th và η s2 < η th , trong khi sau khi chuyển kênh, η 1 và η 2 tiến tới 1và η > η th Bởi vậy, trong trường hợp này, sự truyền của dãy 2 được bật Sự chuyển kênh on-off thực ra là phương pháp tương tự bằng cách tăng nhanh η từ η f > η bif tới η f < η bif Trong trường hợp này, η 1 và η 2 tiến tới 1 và η > η th trước khi chuyển kênh, và tới η s1 > η th và η s2 < η th sau khi chuyển kênh Kết quả là, sự truyền dãy 2 bị tắt bởi sự thay đổi η Chúng tôi đã mô phỏng giải số hệ NLS trong chương 3 và chỉ ra rằng, sự truyền với khoảng cách dài là ổn định với giá trị T lớn hơn 15 Thật vậy, với giá trị T nhỏ hơn, ảnh hưởng bậc cao là khá nhiều cho hệ phương trình (4.4) và (4.5) cũng như sự truyền bức xạ, dẫn tới sự giảm biên độ soliton và bị vỡ trong mô tả mô hình LV ở khoảng cách lớn Để so sánh với kết quả trong phần tham khảo [19], chúng tôi chọn T = 20, nhưng nhấn mạnh rằng, kết quả tương tự đạt được với giá tri T thỏa T > 15 Với T = 20, sự rẽ nhánh xảy ra tạiη bif = 0.0225 Trong sự truyền ổn định và chuyển kênh off-on, chúng tôi sử dụng η = 1 > η bif , đây là lựa chọn ứng với biên độ cơ bản thiết lập trong nhiều hệ truyền soliton cơ bản [30, 25], trong chuyển kênh on-off, chúng tôi sử dụng η = 0.02 Chú ý rằng, ở đây giá trị η nhỏ là do giá trị η bif nhỏ.

Như biểu đồ pha cho phương trình (4.4) đã được mô tả trong phần 2.3.2, với giá trị tham số được sử dụng trong giải số hệ NLS Với bộ số a = 1, b = η = 1, và T = 20, được sử dụng trong ổn định đường truyền và chuyển kênh tắt-mở (off-on) Phương trình (4.4) có bốn điểm cân bằng tại (1, 1), (0, 0), ( √

1.3, 0), trong đó chỉ có điểm(1, 1) là ổn định Thật vậy, nhìn biểu đồ pha của phương trình trong hình (2.2), điểm cân bằng (1, 1) là ổn định tiệm cận toàn cục, có nghĩa là cả hai biên độ soliton η 1 và η 2 đều tiến tới 1 với bất kì điều kiện đầuη 1 (0) và η 2 (0) khác0 nào Dựa vào tính ổn định tiệm cận toàn cục của (1, 1) để điều chỉnh độ mạnh của soliton trong việc lắp đặt ống quang dẫn, từ đó nó cho phép ổn định đường truyền và chuyển kênh off-on cho các giá trị biên độ đầu vào mà nhỏ hoặc lớn hơn 1 một cách đáng kể Hơn nữa, nó có thể sử dụng để " khôi phục đường truyền" trong băng thông rộng, có nghĩa là, cung cấp một cách ổn định cho năng lượng soliton cho nhiều dãy soliton mà bị giảm dần năng lượng.

Với bộ số a = 1, b = η = 0.02, và T = 20, sử dụng trọng chuyển kênh on-off,

4.1 Sự rẽ nhánh của mô hình động lực và bài toán chuyển kênh phương trình (4.4) có năm điểm ổn định (1, η), (0, 0), (A η , 0), (0, B η ) và (C η , D η ) với A η = 1.0030, B η = 0.5481, C η , C η = 0.99925 và D η = 0.02502 ( có thể dễ dàng tính điểm cân bằng này trên Matlab) Ba điểm đầu tiên là không ổn định, trong khi (A η , 0) và (C η , D η ) là ổn định tiệm cận, như biểu đồ pha của phương trình (4.4) trong hình (4.1) Các điểm ổn định tiệm cận (A η , 0) và (C η , D η ) dọc theo lân cận của điểm (1, 0)

Chú ý rằng tính không ổn định điểm (0, 0) ở phương trình (4.4), mà liên quan tới sự xuất hiện của hệ số tăng tuyến tính trong ống quang dẫn, là một hạn chế lớn của việc lắp đặt ống quang dẫn một cách đồng đều với hệ số tăng tuyến tính và suy hao bậc ba Thật vậy, sự xuất hiện của sự tăng tuyến tính dẫn tới sự tăng biên độ nhỏ của sóng, cùng với tính không ổn định điều biến, có thể gây ra sự giảm năng lượng soliton rất nhanh Việc lắp đặt ống quang dẫn được xem xét trong luận văn hiện tại, tính không ổn định này là vượt quá bởi sự bù suy hao trong phương trình GL Do đó, chúng tôi mô tả kết quả của sự phân tích tính ổn định cho mô hình LV (4.5) tương ứng Chúng tôi chọn η = 1, và yêu cầu g j (2) < 0 với j = 1, 2, có nghĩa là, sự truyền các soliton với sự xuất hiện của suy hao tuyến tính Vì có các hệ số suy hao tuyến tính nên (0, 0) là ổn định tiệm cận, và như kết quả, năng lượng của các sóng biên độ nhỏ giảm về 0 Trong quá trình truyền ổn định và chuyển kênh off-on, ta cần điểm (1, 1) phải là điểm ổn định của phương trình (4.5) Từ đó suy ra g j < 0, j = 1, 2, phần này đã được nói rõ trong phần 3.2.2 Trong ổn định chuyển kênh tắt-mở, chúng tôi chọn κ = 1.65 và T = 20 trong giải số của sự ổn định trong chuyển kênh off-on Trong ổn định chuyển kênh off-on chúng tôi chọn T và giá trị κ thỏa: κ > (8T − 15)(5T − 15), T ≥ 60/17, (4.6) để điểm (1, 1) là điểm không ổn định và điểm cân bằng (η s1 , 0) là ổn định tiệm cận Theo phương pháp này, sự chuyển off của dãy soliton 2 là ổn định trong khoảng lẻ Trong giải số hệ NLS cho chuyển kênh off-on, κ = 2 và T = 20,η s1 = 1.38255 được sử dụng.

4.1 Sự rẽ nhánh của mô hình động lực và bài toán chuyển kênh

Mô phỏng giải số

Tiếp theo chúng tôi mô phỏng hai cách thiết lập chuyển kênh liên tiếp:

(A) off-on-off-on-off-on-off-on (B) off-on-off-on-off-on-off.

Lưu ý rằng chúng ta có thể đạt được các kết quả tương tự với cách thiết lập chuyển kênh khác Các giá trị tham số vật lý trong cách thiết lập (A) là :T =

20, (1) 3 = κ × 5 , 5 = 0.08 và κ (m+1) = 1.57 với 0 ≤ m ≤ 3 Các khoảng trong ống dẫn được xác định bởi z 2m = 600m với 0 ≤ m ≤ 4 và z 2m+1 = 160 + 600m với 0 ≤ m ≤ 3 Cụ thể, đó là các khoảng[0, 140), [140, 600), , [1800, 1940), [1940, 2400].

Khoảng cách chuyển kênh là z s(m+1)0+600m với 0 ≤ m ≤ 3 Các giá trị tham số vật lý trong thiết lập B tương tự như trong A, với khoảng tuần hoàn 500 (thay vì 600), và cho tới z 6 = 1500 Tại khoảng cách này, ta áp dụng chuyển kênh on-off, tức là z s4 = 1500 Tiếp theo, z 7 = 1640, z 8 = 2500 và κ = 2 với z 7 < z < z 8.Hình 4.2 (a) và (b) mô phỏng kết quả giải số mô hình hệ NLS (4.1) cho thiết lậpA và B với biên độ soliton đầu vào η 1 (0) = 1.1 và η 2 (0) = 0.85 Đồng thời cũng mô phỏng kết quả giải số của mô hình (4.4) và (4.5) Ta thấy kết quả giải số của hệ NLS là phù hợp với kết quả giải số cho mô hình (4.4) và (4.5) Trên hình4.2 (c) cho thấy hình dạng của soliton được duy trì trên đường truyền Khoảng cách truyền trong quá trình ổn định chuyển kênh lớn hơn so với khoảng cách đã được nêu trong [26] Hơn nữa, chuyển kênh off-on với mảng giá trị biên độ lớn bao gồm các giá trị η 2 nhỏ hơn 0.35 Do đó, giá trị của mức quyết định η th chuyển giữa trạng thái on và off có thể thấp nhưη th = 0.35 so với η th = 0.65 cho ống quang dẫn đồng đều đã được nêu trong [26] Dựa trên những quan sát này chúng tôi kết luận rằng chúng ta có thể thực hiện bài toán chuyển kênh ổn định và hiệu quả bằng cách lựa chọn các tham số Vật lýg j thích hợp trong mô hình.

Hình 4.2: Biên độ η j theo z trong chuyển kênh liên tiếp cho thiết lập A (a) và B (b).

Chấm tròn màu xanh và hình vuông màu tím thể hiện η 1 (z) và η 2 (z) đạt được bằng cách giải số phương trình (4.1), trong khi đường nét đứt màu đỏ và đường liền xanh là kết quả giải số cho mô hình LV (4.4) và (4.5).

Luận văn đã trình bày các vấn đề sau:

- Kỹ thuật tính nhiễu quanh soliton lý tưởng của phương trình Schr¨odinger phi tuyến tính Trình bày phương pháp giải số tách bước Fourier để mô phỏng phương trình Schr¨odinger phi tuyến tính.

- Tính toán sự mất năng lượng của soliton trong va chạm dưới tác động của quá trình nhiễu phi tuyến suy hao bậc ba và suy hao bậc năm trong sợi quang dẫn bằng cách tính sự giảm biên độ của soliton sau va chạm Các kết quả tính toán lý thuyết và mô phỏng đã được công bố trong [18], ở đây chúng tôi trình bày lại các tính toán và mô phỏng kiểm chứng lại với các tham số khác tương tự.

- Chúng tôi chỉ ra rằng ngoài hệ NLS kinh điển, động lực soliton do va chạm dưới tác động của các quá trình suy hao năng lượng còn có thể được mô tả bằng hệ phương trình vi phân thường LV Bằng cách nghiên cứu tính ổn định của hệ LV, chúng ta có thể tính các hệ số bù năng lượng để duy trì biên độ truyền tải chuỗi soliton hay tắt một kênh dẫn sóng Các tính toán lý thuyết và mô phỏng cho kết quả trên đã được công bố trong [28] Trong luận văn này chúng tôi trình bày lại và tiến hành thực hiện lại việc mô phỏng lại bằng các bộ tham số tương tự.

- Các kết quả của tính toán lý thuyết được so sánh với kết quả giải số của phương trình và hệ phương trình NLS đồng thời được minh họa rõ ràng bằng các đồ thị.

Kết quả của luận văn đề xuất ra hướng mở rộng: nghiên cứu mở rộng bài toán hai chuỗi soliton (hệ gồm hai kênh dẫn sóng) cho N chuỗi soliton, N ≥ 3(hệ N kênh dẫn sóng) bằng cách khảo sát hệ N phương trình NLS có nhiễu và hệ LV tương ứng.

[1] H.K Khalil, Nonlinear Systems, Prentice Hall, 1996.

[2] P Howard, Analysis of ODE Models, Fall 2009.

[3] A.M Lyavunov, "Stability of motion: general problem",Internatinal Journal of Control, vol 55, no 3, pp 539-589, 1992.

[4] G P Agrawal (2001), Nonlinear Fiber Optics, Academic, San Diego, CA.

[5] A H Gnauck, R W Tkach, A R Chraplyvy, and T Li (2008),High-capacity optical transmission systems, J Lightwave Technol 26, 1032.

[6] A.C Newell (1985), Solitons in Mathematics and Physics, SIAM, Philadel- phia.

[7] Y Silberberg (1990), Collapse of optical pulses, Opt Lett 15, 1005.

[8] A B Aceves and J V Moloney (1992), Effect of two-photon absorption on bright spatial soliton switches, Opt Lett 17, 1488.

[9] Q Lin, O J Painter, and G P Agrawal (2007),Nonlinear optical phenomena in silicon waveguides: Modeling and applications, Opt Express 15, 16604.

[10] A Peleg, M Chertkov, and I Gabitov (2003), Inter-channel interaction of optical solitons, Phys Rev E 68, 026605.

[11] A Peleg, M Chertkov, and I Gabitov (2004), Inelastic interchannel collisions of pulses in optical bers in the presence of third-order dispersion, J.

[12] Y Chung and A Peleg (2005), Strongly non-Gaussian statistics of optical soliton parameters due to collisions in the presence of delayed Raman re- sponse, Nonlinearity 18, 1555.

[13] V E Zakharov and A B Shabat (1971), Interaction between solitons in a stable medium, Zh Eksp Teor Fiz 61, 118.

[14] D J Kaup (1991),Second-Order Perturbations for Solitons in Optical Fibers, Phys Rev A 44, 4582.

[15] M Chertkov, Y Chung, A Dyachenko, I Gabitov, I Kolokolov, and V.

Lebedev (2003), Shedding and interaction of solitons in weakly disordered optical fibers, Phys Rev E 67, 036615.

[16] Q M Nguyen and A Peleg (2010),Deterministic Raman crosstalk effects in amplified wavelength division multiplexing transmission,Opt Commun 283, 3500.

[17] A Peleg and Q M Nguyen, Stability of Amplified DPSK WDM Transmis- sion against Raman Crosstalk Effects, in Proceedings of the Optical Fiber Communication Conference, San Diego, CA, 2010 (Optical Society of Amer- ica, 2010), paper OMO1. that (C 1/2 (η), 0) and (0, C 1/2 (η)) are unstable when η = 3( √

[18] A Peleg, Q.M Nguyen, and Y Chung (2010), Cross-talk dynamics of optical solitons in a broadband Kerr nonlinear system with weak cubic loss, Phys.

[19] A Peleg and Y Chung (2012), Cross-talk dynamics of optical solitons in multichannel waveguide systems with a Ginzburg-Landau gain-loss profile, Phys Rev A, Vol 85, 063828.

[20] A Peleg, Q M Nguyen, and Paul Glenn (2014), Many-body interaction in fast soliton collisions, Phys Rev E, Vol 89, 043201.

[21] NM Quan, TP Thinh, and HS Truong (2014),Soliton transmission in a nonlinear waveguide system with a Ginzburg-Landau gain-loss profile, submitted to Communications in Physics.

[22] V E Zakharov and A B Shabat (1972), Exact theory of two-dimensional selffocusing and one-dimensional selfmodulation of waves in nonlinear media,Zh Eksp Teor Fiz 34 (1972,[Sov Phys JETP 34, 62-69 (1972)]), 118 -134.

[23] H Yoshida (1990),Construction of higher order symplectic integrators, Phys.

[24] J Soneson and A Peleg (2004), Effect of quintic nonlinearity on soliton collisions in optical fibers, Physica D 195, 123.

[25] L F Mollenauer and P V Mamyshev, Massive wavelength-division multiplexing with solitons, IEEE J Quantum Electron 34, 2089 (1998).

[26] D Chakraborty, A Peleg, and J Jung (2013), Stable long-distance prop- agation and on-off switching of colliding soliton sequences with dissipative interaction, Phys Rev A, Vol 88, 023845

[27] I Aranson and L Kramer, Rev Mod Phys 74, 99 (2012).

[28] Quan M Nguyen, Avner Peleg, and Thinh P Tran, Robust transmission stabilization and dynamic swithching in broadband hybrid waveguide systems with nonlinear gain and loss, Phys Rev A 91 (2015), 013819.

[29] F Forghieri, R W Tkach, and A R Charaplyvy,Effect of modulation statistics on Raman crosstalk in WDM systems IEEE Photon Technol Lett 7 (1995), 101.

[30] L.F Mollenauer and J.P Gordon, Solitons in Optical Fibers: Fundamentals and Applications, Academic, San Diego, CA, 2006.

[31] Quan M Nguyen, and A Peleg,Resolving the Raman-induced cross frequency shift in fast optical soliton collisions, J Opt Soc Am B 27 (2010), 1985-1990

Tiêu đề	Mô hình động học của biên độ Soliton dưới tác động của các quá trình nhiễu phi tuyến tính
Tác giả	Phạm Thị Phương Nhung
Người hướng dẫn	TS. Nguyễn Minh Quân
Trường học	Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Toán ứng dụng
Thể loại	Luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2015
Thành phố	Thành phố Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	68
Dung lượng	689,67 KB