Dé giải quyết các bài toán số có giá trịbiên ngẫu nhiên, phương pháp Monte Carlo đã được áp dụng bằng cách lấymẫu đại diện các hệ số của phương trình vi phân từng phân với hệ số bất định
Kiến thức chuẩn bị
Các không gian hàm c c2 16 1 Không gian Banach cc c2 16 2 Không gian Hilbert cv 16 3 Không gian 292 (O) nnn tenet ees 17 4 Không gian Sobolev W"?(Q) oo 0.0 cece cece ences 18 5 Không gian Hilbert Hj và không gian đối ngẫu H7!
1.1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường R cùng uới một ánh xa từ X uào tập sô thực R, kí hiệu là ||-|| va đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên dé sau đây:
1 (Vx € X)||lzl||> 0, l|lz||=0 0 néux £0;
0 (œ,#) = ||#|[ - 2 Định lý 1.1 (Bat dang thúc Schwarz): Doi uới mỗi x € X, ta đặt ||z|| \/ (x, 2).
Khi đó Vx,y € X ta có bất đẳng thúc Schwarz:
Hệ quả 1.1 Công thúc |#|| = \/(x2,xv) xác định một chuẩn trên không gian
Dinh nghĩa 1.5 Khong gian tuyến tinh trên trường số thực R cùng uới một tích v6 hướng got là không gian tiền Hilbert. Định lý 1.2 Tich vd hướng (x,y) là một hàm liên tục của hai biến x va theo chuẩn ||z||== \/(2, 2).
Dinh nghĩa 1.6 Tập H # ỉ là khụng gian Hilbert nếu tập H thoa món: it H là không gian tiên Hilbert; ii H la không gian Banach với chuẩn ||x|| = /(œ, x)
Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H.
1.1.3 Không gian L (Q) Định nghĩa 1.7 Can trên cốt yeu của một ham f do được trên một tập do được (Q) được xác định bởi: esssup ƒ (z) := inf{ỉ € R\u({a € O\f (x) > ứ})=0}
Một ham f được gọi là bị chặn cốt yếu trên 2 nếu cận trên cốt yếu của
|f| trên © là hữu hạn Ký hiệu ”^ (Q) các hàm bị chặn cốt yếu trên ©, trong đó ta cũng đồng nhất hai hàm bằng nhau hầu khấp.
Tập hợp 7® (Q) là một không gian vector định chuẩn, với phép toán cộng hai hàm số thông thường và nhân hàm số với một hằng số và với chuẩn:
L1(O)C LEP (Q) Dinh lý 1.3 Tinh chất của không gian L? i LP (Q) là không gian Banach uới 1 < p< ow.
(Q) là không gian Hilbert uới tích v6 hướng xác định bởi (f,g) J f(a) g(a) de ( itt CO? (Q) là trà mật trong LP (Q) v6il
D, (Hình 2.2), miền D, a) sẽ được bao (nằm trong) bởi miền 0 0 1 số hạng nguồn trong PDE được cho dựa trên chiều của „_¡ đứng trước Diéu này có nghĩa rằng các chiều của „ được tìm ra bằng phép giải đệ quy với n = 0,1,2, Tur đó, chúng ta suy ra được các ước tinh năng lượng cho mỗi chiều up.
Dinh lý 3.2 Ton tại duy nhất một nghiệm uy, € L7 (Q, Hy! (D)) cho bai toan
(3.53) - (3.55) vdi n = 0 va bài toán (3.54) - (3.55) uới n > 1.
Hơn nữa, nếu f € L? (Q, H~'*? (D)) uới ơ € (0,1) , ta có:
Với hằng số Co bat kỳ độc lập vdin va e
Chứng minh Với n = 0, ấp dụng định lý Lax-Milgram, tồn tại các nghiệm yếu của bài toán:
Un (W,-) =0 trên OD và ước lượng như mong muốn:
E ([lenllinve(ny) < CoE (lIuallệ;s:s( )) (3.57) với bài toán elliptic thường.
Với n > 1 Ta sử dụng phép quy nap để chứng minh định lý trên.
Giả sử với ứ = 0,1, - ,/— 1 thỡ (3.56) cố định đối với số hạng nguồn ở (3.54) và
Theo định lý Lax-Milgram, tồn tai wu € L (9, Họ" (D)) là nghiệm yếu của bài toán (3.54) với n = l.
Dat Cy = Cy (1 + bả), theo định ly elliptic đều, ta có:
KE (|lelfir-> 0) < CoE (IIY - (q0Vui_ 1) tuilệx s:2(p))
< Cy (E (I|V - (nVt 1) allie) +E (IV (pVei 1) ullisase coy
Mặt khác, các nghiệm của bài toán có thể được biểu diễn từ việc xấp xỉ các số hạng hữu hạn Cụ thể, với mỗi số nguyên không âm, tổng riêng được định nghĩa bởi:
Ux (w, 2) = ằ € “tạ (WwW, #) (3.58) n=0 và phan dư liên kết: ry (0, ) := ue (w, x) — Ux (w, x) (3.59) với một số N đã cho, chặn trên cho số dư r§ được thiết lap qua định lý sau.
Dinh lý 3.3 Giỏ site < 1 va ƒ € L(O,H!!? (D)) với ứ € (0,1) Đặt rh là số du được định nghĩa ở (3.59) Khi đó:
E (IIrwllincs(y) < CO MENE (||: :z()) (3.60) uới Cy là hằng số dương bat ki, độc lập uới N tà e.
Chứng minh Qua phép so sánh trực tiếp, ta thay rằng rf = uÊ — up thỏa mãn
—V (ao (œ,-) Vrĩ (œ,-)) = eV-(n(œ,-) Vuk (w,-)) trong D ri (œ2, +) = 0 trên OD
(Irilỗn:-(p) < CoE (IV - (nVu") Ife.)
< Coe" (II lie-1+2(0)) 2 trong đó Co = Cp (1 + bj).
Giả sử (3.60) có nghiệm đối v6in =1, , 1-1.
Với n = 1 có thể biểu diễn r$ là nghiệm của:
—V (a (w,-) Vi (ứ,9)) = eV-(n(0,:) Vee (6,:)) trong D ry (02; *) = 0 trên 0D
Tương tự như trên, ta có ước lượng sau:
KE (Irillin.:-(m) < Ooe"E (IIrr Ăll2› -,ứ)) < Cyte"E (II li 1+2(0))
Dac biệt, nếu N — oo thì tong riêng U% hội tụ.
Hệ quả 3.2 Đặt ri là số du định nghĩa ở (3.59) Nếu e < min ih —— > thì 7a) 1
EK (rà lion) ) —> 0 e I2 kh¿ N —> Go.
Hệ quả 3.2 cho ta thấy phép khai triển ở (3.52) là hợp lý và tổng riêng ƯA ở (3.58) hội tụ đến điểm u„ khi N —> œ, với điều kiện e đủ nhỏ.
Phương pháp Monte Carlo nhiều chiều
3.3.1 Thuật toán bằng số và độ phức tạp của thuật toán.
Trong mục này, phương pháp Monte Carlo nhiều chiều được phát triển nhằm ước lượng nghiệm cho bài toán
Phương pháp này được dựa trên biểu diễn nhiều chiều nghiệm giải tích của phương trình trên:
= ằ € “tạ (WwW, #) n=0 va những ước lượng xấp xỉ hữu hạn của nó:
Với mỗi chiều u,, hiệu số hữu han chuẩn hoặc phương pháp phan tử hữu hạn có thể được áp dụng để rời rạc hóa các phương trình vi phân từng phần hệ đường cong (3.50) - (3.51), và phương pháp Monte Carlo truyền thống được vận dụng để lấy dữ liệu mẫu từ không gian xác suất sau đó tính và thống kê các nghiệm bằng số của bài toán.
Theo đó, giải thuật tổng quát phương pháp phan tử hữu hạn Monter Carlo để giải quyết bài toán PDE hệ đường cong sẽ được trình bày dưới đây.
Lay M là số phép thử thực hiện cho phương pháp Monte Carlo, M là một số dương có giá trị lớn.
TJ; là một phép phân chia tam giác tựa đều (nếu đ = 2) hoặc tứ diện tựa đều (nếu đ = 3) của D sao cho D = Uxes, K. Đặt h := max {hx : K € 7„}, với hx là đường kính cla K € 7}, va J là số bac tự do liên kết với phép phan chia tam giác tựa đều 7¡ theo mỗi hướng.
GỌI ve là không gian phần tử hữu han tiêu chuẩn được xác định bởi:
Vi" = {v € Hạ (D) ”/g là một đa thức lũy thừa bậc r với mỗi K € 7, }
Với mỗi 7 = 1,2, - , M ta lay mẫu các phép thực hiện ngẫu nhiên phân bố đồng nhất độc lập của hàm số gốc f (œ;,-) và một hệ số trung gian ngẫu nhiên 7 (œ¿, -).
Các nghiệm phần tử hữu han cho dang ul! (w;,-) thu được một cách đệ quy như sau:
(ap Vu (ý, '), Vo") 5 = (n(6j,*) Vana (9j,:),02)p Vor eV" (3.62) đối v6in > 1.
Ap dụng định lý Lax-Milgram và phương pháp chứng minh bang quy nap cho các bài toán biến phân (3.61) và (3.62), khi đó đối với các nghiệm ul? (œ;,.)
62 thu được từ phép giải bằng phần tử hữu hạn sẽ cho ta các ước lượng thể hiện sau đây.
Dinh lý 3.4 Nếu ƒ € I?”(Q,M!!?(D)) với ứ € (0,1], khú đú uới n > 0 va
E (|lu ino) < COE (II ‹:sv5) (3.68)
Với Co là hằng số ngẫu nhiên độc lập vdin 0à €.
Theo đó, kết quả dự đoán E(u„) của mỗi chiều „ được ước lượng bằng cách lấy mẫu trung bình — > ul! (œ/,.).
Theo (3.58), thuật toán hữu hạn chiều cho ta xấp xi của E (e) có biểu thức được xác định bởi:
UN = ap du deen wi) (3.64) j=l n=
Từ (3.53) - (3.54), ta thấy rằng các chiều đều có chung một toán tử elliptic xác định —V (aoV) và các dạng song tuyến tinh trong (3.61) - (3.62) là trùng nhau.
Qua nội dung trên ta thay rang, phân tích LU trực tiếp cho các phương trình rời rạc (3.61) - (3.62) sẽ tiết kiệm rất lớn khối lượng tính toán của thuật toán.
Thứ nhất, chúng ta phân tích LU cho ma trận liên đới dưới dạng song tuyến tính
Kết quả ma trận tam giác trên và và tam giác dưới lần lượt là L và U được lưu lại và được sử dụng liên tục để có được đáp án cho tất ca các chiều và các mẫu ngẫu nhiên sẽ được tạo thành bằng cách sử dụng các thay thế về phía trước và phía sau Diều này sẽ làm tăng tốc quá trình lẫy mẫu lên đáng kể, bởi vì sự tương phản giữa phép giải tuyến tính hoàn chỉnh có độ phức tạp thuật toán là O (P3), chỉ cần độ phức tạp thuật toán O (P””) là đủ để tính một mẫu đơn duy nhất bằng cách sử dụng các thay thế về phía trước và phía sau O đây d biểu thị số chiều không gian của miền xác định D.
Dinh nghĩa chính xác của quá trình trên có trong thuật toán dưới đây:
Solve for ul (w,;,+) € V," such that (apViug (¿2;, -) NV = (f (¿2;, -) VU VUy € vi
Set Uh (w;,-) — UN (wj,-) + e"ul (w;,-)
3.3.2 Phan tích tính hội tu
Trong phần này, chúng ta sé chỉ ra các ước tính sai số cho thuật toán được đề xuất Giả sử
Khi đó, E(u®) — có thé phân tích thành:
E(u!) — ĐÃ = (E(u) — E(UN)) + (E(UX) — E (UN)) + (E (Un) — oy)
Ta thay rang trong phuong trinh (3.67)
64 e Về thứ nhất (E (u°) — E(U§,)) là số sai số đo được xảy ra do khai triển đa chiều. e Về thứ hai (E(ỨR) — E (UR)) là sai số rời rac hóa không gian. e Về thứ ba (E (UR) — Wh) đại diện cho sai số thống kê do áp dụng phương pháp Monte Carlo.
Theo định lí (3.3), sai số biểu diễn chiều hữu hạn được xác định bởi:as)
E (lu! — Đẹllện‹z(p} SCN MENE (flue) (3.68) ul (w;,.) Khi đó, ta có:
Với những ước lượng sai số cho phương pháp Monte Carlo, sai số thong kê bị chặn bởi:
E (IE (08) — Whi) < 2S eB (IE (U4) ~ Blinn) N-1
Theo định lí (3.4), chọn e < min ih —— > ta CÓ: va) 1
E (llr (Ux) — ÚR nym) < TT (= "Ci ) E (IL/lf › (ứ›) n=0
Dé ước tinh được sai số rời rac hóa không gian đối với mỗi chiều (UẠ,) — E (Ux), gọi ham bổ trợ a E ve là nghiệm cho bài toán rời rac sau:
(aoVủ (w;,.), Vo") , = —(n (w;, ) Vuin-1 (Wj, -), Vv") c (3.70) với moi vu, € VV van > 1.
Tuy nhiên, để đơn giản cho việc tính toán, ta sẽ khảo sát phương trình trên trong trường hợp r = 1 Khi đó, v” là một đa thức tuyến tính với mỗiK €7; Trong trường hợp r > 1, có thể suy ra tương tự.
Tiếp theo, ta sử dụng kỹ thuật đánh giá sai số tiêu chuẩn đối với phương pháp phần tử hữu hạn và ước lượng cho :
Bay giờ, chúng ta tiến hành đánh giá sai sd E (|e — HP,
Với n > 1, VW EV! và Vul € VP xác định bởi :
(ap Vu, (ý, -), Vo") p = (0 (wy, -) Vani (75°), Ve") p (3.72)
So sánh trực tiếp (3.70) va (3.72) suy ra:
(ao (Vũ? — Vú) VU) = —(7 (Vun—-1 — Vur_1) vớ) Vu" € V." h alli — whey) < (ao (Val — Vuh) , Valk — Vu,
< bo || Veen —1 — Vi 1| Ă>¿Í|Vữa 7 Vi |Ăằ(p)
Dat ủy = ủ? — ul và sử dụng bat dang thức Cauchy - Schwarz Khi đú :
Trong đó œ = min ao (x) Từ đó suy ra: xe]
Ung dung bat dang thức Poincare — Friedrichs ta có ước lượng :
B (lat — wlio) $8 (IVa —Vub allio) 78
TRong đó đ là một hằng số chỉ phụ thuộc vào a, by và miền D.
Từ (3.71) và (3.74), chúng ta thấy rang:
Ap dung bất đẳng thức trên một cách đệ quy, ta có : n—1
Lưu ý rằng up va uf là các nghiệm tương ứng khi giải (3.53) và (3.61).
E (l|to — will zncp)) < ChE (lldollas(y)} < CV C0h°E (llc)
Bang cách thé (3.76) vào (3.75), chúng ta đạt được :
E (len — 92m) < ChE (llnolln:s(py) < CV Coh7E (floc
Kết hợp (3.68),(3.69) va (3.78), ta có được ước tinh sai số cho toàn bộ thuật toán.
Dinh lý 3.5 Với một hàm số gốc đó cho ƒ € L* (O- H**“(D)) uới ứ € (0, 1], cho we là nghiệm bằng số có được từ thuật toán chính uới r =1 Khi đó
E (IIE) ~ 9Ã ||yứj) SC (cŸ +8? + M ẩ) E (Million) Đất uới một sô C là hằng số dương không phụ thuộc vao c , h, M va N.
Ứng dụng cho bài toán phương trình vi phan dang elliptic với biên tùy
elliptic với biên tùy ýTrong phần này giới thiệu một số kết quả nghiên cứu đã đạt được của các nhà khoa học thông qua bài báo khoa học đã được công b6.|6]
3.4.1 Bài toán elliptic một chiều
Xét bài toán giá trỊ biên sau: d du? m (0 +eY &) ˆ oa) =Ylw), O
