HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA --- LƯƠNG VĂN TÙNG NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG MỘT MÔ HÌNH MÔ PHỎNG SÓNG ĐỨNG TRƯỚC CÔNG TRÌNH BIỂN DỰA TRÊN HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES HAI CHIỀU Chuyên ngàn
TỔNG QUAN
Các nghiên cứu về sóng và tải trọng sóng
Ngày nay, hoạt động của con người ở vùng ven biển ngày càng mở rộng gồm nhiều lĩnh vực như giao thông, vận tải, du lịch, khai thác tài nguyên biển Ngành khoa học nghiên cứu về lưu chất nói chung và sóng biển nói riêng đã phát triển từ rất sớm nhằm đáp ứng nhu cầu thiết kế và xây dựng các công trình biển Đầu thế kỷ 19, Claude Louis Navier và George Gabriel Stokes từ việc áp dụng định luật thứ hai của Newton, đã đưa ra hệ phương trình Navier - Stokes miêu tả dòng chảy của chất lỏng và chất khí Hệ phương trình này đã trở thành nền tảng cho cơ học chất lưu, có nhiều ứng dụng khác nhau trong các ngành khoa học kỹ thuật
Tuy nhiên, mặc dù được đưa ra từ năm 1822 và đã được khai thác gần 2 thế kỷ, phương trình này vẫn tồn tại những khía cạnh chưa thể giải đáp vì tính chất phức tạp, chịu ảnh hưởng của nhiều yếu tố khác nhau của lưu chất Nói chung, khoa học vẫn chưa tìm được nghiệm chính xác của phương trình, mặc dù nó có tồn tại, do đó, chỉ có một số dạng cơ bản trong những điều kiện nhất định được giải quyết thành công, các dạng biến đổi để tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình này hiện vẫn đang là vấn đề được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu
Các nghiên cứu về áp lực sóng ban đầu thường phát triển từ các phương trình cơ bản, sau đó kết hợp so sánh với số liệu thí nghiệm trong phòng thí nghiệm và đo đạc ngoài hiện trường, để xây dựng công thức tổng quát chung, áp dụng cho tính toán thiết kế công trình thực tế
Từ những năm 60 của thế kỷ 20, cùng với sự ra đời của ngành khoa học máy tính và sự bùng nổ của kỷ nguyên số đã giúp cho việc nghiên cứu khoa học đạt những bước tiến nhảy vọt, rút gọn đáng kể thời gian và công sức nghiên cứu Nhiều tác giả cũng đã áp dụng các phương pháp mới để nghiên cứu về áp lực sóng Các phương trình được giải với bậc cao hơn và nhiều bài toán được giải với số lượng ẩn số nhiều hơn hẳn
Richtmyer và Morton (1967) xây dựng cơ sở lý thuyết cho kỹ thuật phân tích tính toán đối với động lực học lưu chất và phương pháp sai phân hữu hạn dòng chảy
5 không nhớt nén được Glowinski (1984) tính toán dựa vào phương pháp phần tử hữu hạn, còn Fletcher (1991) dùng cả phương pháp phần tử hữu hạn và phổ sóng để tính toán
Nhiều nghiên cứu được tiến hành dựa trên các mô hình vật lý như của Norimi Mizutani và Ayman M Mostafa (2000), Mario Calabrese, William Allsop và Mariano Buccino (2000), …
Giovanni Cuomo et al (2010) đã thực hiện thí nghiệm với máng sóng lớn tại phòng thí nghiệm CIEM – Barcelona trong khuôn khổ dự án VOWS (Violent
Overtopping by Waves at Seawalls) Với tập dữ liệu của cả sóng tĩnh thường xuyên và sóng tác động thu được, nhóm đã so sánh với những dự đoán về sóng từ các phương pháp thực nghiệm, phân tích đi trước và xây dựng công thức dự đoán mới cho kết quả khả quan trên một phạm vi tương đối rộng của điều kiện thử nghiệm
Tuy vậy, trong quá trình sử dụng các phương pháp giải tích và xây dựng mô hình vật lý trong nghiên cứu vẫn gặp những vấn đề khó khăn và những giới hạn nhất định Phương pháp xây dựng mô hình số đã ra đời và giúp giải quyết được nhiều vấn đề tồn tại của hai phương pháp trên Mô hình số là một bộ công cụ và kỹ thuật giúp tái tạo quá trình vật lý của các đại lượng trong tự nhiên như sóng, gió, dòng chảy, nhiệt độ… với sự giúp đỡ của máy tính Cách tiếp cận này đã và đang được sử dụng trong nhiều lĩnh vực, để tính toán các kết quả một cách gần đúng và chấp nhận được, từ những phương trình quá phức tạp vốn chưa thể có lời giải giải tích chính xác
Thảo và Duy (2010) phát triển một mô hình toán số dựa trên hệ phương trình Navier - Stokes hai chiều, với mục đích mô phỏng sự biến đổi của các tham số sóng lan truyền trong vùng nước trước tường đứng theo không gian và thời gian Thông qua mô hình, các thông số sóng cơ bản, các áp lực động học tác dụng lên tường đứng cũng được tính toán Tuy vậy, đây là mô hình đơn giản với việc bỏ qua điều kiện sóng vỡ, sóng tới không phải là sóng ngẫu nhiên mà có chu kỳ và chiều cao xác định
Giovanni Cuomo et al (2011) dựa trên xác suất chung của lực tác động cực đại và thời điểm phát sinh sóng, đã rút ra các công thức và hướng dẫn để ước tính các
6 tải trọng sóng tĩnh tương đương, dùng trong giai đoạn thiết kế tiền khả thi cho công trình Kết quả dự đoán từ công thức là rất tốt khi so sánh với các phương pháp hiện có và quan sát thực tế
Sriram et al (2014) đã phát triển một phương pháp ghép nối giữa phương pháp cải tiến không lưới cục bộ Petrov Galerkin (Improved Meshless Local Petrov Galerkin) với giải pháp nguồn Rankine (IMLPG_R) dựa trên hệ phương trình Navier - Stokes, với phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết dòng thế phi tuyến hoàn toàn Phương pháp được áp dụng để xây dựng mô hình hai chiều cho sóng không vỡ và sóng vỡ Các tính chất và ứng xử của mô hình mới được kiểm tra bằng cách mô hình hóa sóng thường xuyên, sóng đơn độc và sóng Cnoidal trong trường hợp sóng vỡ và sóng tràn Kết quả mô phỏng được xác nhận bằng cách so sánh kết quả của phương pháp với các giải pháp phân tích, kết quả từ các phương pháp khác và dữ liệu thực nghiệm cho thấy, phương pháp này mang lại kết quả khả quan nhưng sử dụng ít thời gian tính toán hơn so với phương pháp dựa trên mô hình Navier - Stokes đầy đủ
Liu et al (2015) đã sử dụng kết hợp thuật toán tạo sóng nội bộ không phản xạ và mô hình thủy động lực học hạt trơn (Smoothed Particle Hydrodynamics – ISPH) để mô phỏng sự truyền sóng và phản xạ từ một bức tường thẳng đứng Một số hạng động lượng nguồn lấy từ phương trình Boussinesq được sử dụng và thêm vào trong dạng Lagrange của phương trình Navier - Stokes cho các sóng mà không bị ảnh hưởng bởi sóng phản xạ Các kết quả mô phỏng profile bề mặt sóng trên sáu đồng hồ đo sóng, phù hợp với các kết quả thực nghiệm và cho thấy rằng, đây là một công cụ mô hình hạt mạnh cho việc mô phỏng sóng và sự tương tác sóng - công trình trong thời gian dài
Gần đây, các nghiên cứu mô phỏng đã áp dụng IHFOAM là một dạng mô hình số ba chiều mới và đang được phát triển liên tục Nó được xây dựng trên chương trình OpenFOAM®, với các điều kiện biên tốt nhất hiện nay để chủ động tạo ra và hấp thụ sóng ba chiều Pablo Higuera et al (2015) đã mở rộng mô hình IHFOAM để kết hợp biên tạo sóng di động và khả năng hấp thụ Một mô hình thí nghiệm tập trung sóng hai chiều và ba chiều đã được tái tạo thành công và so sánh với kết quả của mô
7 hình vật lý tương tự được xây dựng Kết quả số chỉ ra rằng, hiệu suất của mô hình này với điều kiện biên di động là tốt như khi áp dụng điều kiện biên Dirichlet, hệ số phản xạ thường nhỏ hơn 10% Mô hình số đã được chứng minh là một công cụ có giá trị để đánh giá các hiện tượng ba chiều của các mô hình vật lý tiến hành tại phòng thí nghiệm Sự kết hợp mô hình số và mô hình vật lý hứa hẹn tạo nên bộ khung cho một phương pháp mô hình hỗn hợp đầy triển vọng mới nhằm giải quyết các bài toán trong kỹ thuật biển
Ali Pourzangbar et al (2017) sử dụng phương pháp lập trình di truyền (Genetic
Các công thức tính lực tác dụng của sóng lên công trình biển
Lực tác dụng của sóng là thông số quan trọng nhất để tính toán thiết kế các công trình biển Nhiều nghiên cứu về tải trọng sóng lên các công trình chắn sóng đã được tiến hành kể từ khi Stevenson (1874) và Gailard (1904) tiến hành các nghiên cứu quan trắc
Dựa trên kết quả quan trắc thực địa, Hiroi (1919) đã đưa ra công thức dự đoán cho áp lực sóng trung bình từ sóng không vỡ như sau:
Trong đó: 𝜌 là khối lượng riêng của nước biển
H d là chiều cao sóng thiết kế Công thức Hiroi giả định rằng, áp lực sóng phân bố đều dọc theo mặt thẳng đứng của công trình hoặc lên đến độ cao bằng 1.25 lần chiều cao sóng phía trên mực nước tĩnh, tùy thuộc vào giá trị nào nhỏ hơn
Sainflou (1928) dựa trên cơ sở lý thuyết sóng xoay để thiết lập công thức tính áp suất sóng cho sóng có biên độ hữu hạn Phương pháp này đơn giản hóa lý thuyết áp lực sóng và cung cấp phân phối áp lực sóng tại đỉnh sóng, chân sóng Các công thức của Hiroi và Sainflou đã được áp dụng rộng rãi trên thế giới để tính toán thiết kế đê chắn sóng trong một thời gian dài, đặc biệt là ở Nhật Bản
Bagnold (1939) đặt nền móng cho nhiều nghiên cứu tiếp theo về tác động của sóng lên các kết cấu ven biển
Minikin (1963) đã sử dụng mô hình piston của Bagnold để phát triển một phương pháp dự đoán để ước tính tác động sóng cục bộ gây ra bởi sóng vỡ trực tiếp lên công trình Công thức Minikin giả định rằng, áp lực sóng động lớn nhất từ sóng vỡ xảy ra tại mực nước tĩnh và được xác định bằng công thứ sau:
Trong đó: L d là chiều dài sóng thiết kế
D là chiều sâu nước tại vị trí cách công trình một khoảng bằng L d d là chiều sâu nước tại chân công trình
10 H d là chiều cao sóng vỡ
Goda (1974) đã đề nghị công thức tính tải trọng sóng mới dùng trong thiết kế đê chắn sóng tường đứng, dựa trên tập hợp các dữ liệu thí nghiệm kết hợp xem xét các lý thuyết đã có và áp dụng cho sóng nói chung, không kể sóng vỡ hay không vỡ Kể từ đó, ông liên tục phát triển, cải tiến và phương pháp dự đoán của Goda (2000) đã đại diện cho các chuẩn mực trong sự phát triển của các phương pháp vật lý hợp lý để đánh giá tải trọng sóng tác dụng lên tường đứng Trong công thức, phân bố áp suất dọc theo tường đứng được giả định có dạng hình thang ở cả phần phía trên và phía dưới mặt nước biển như trong Hình 2.1
Hình 2.1 Phân bố áp lực sóng (Goda, 2000) Độ cao lý thuyết trên mực nước tĩnh mà tại đó áp lực sóng có thể tác dụng 𝜂 ∗ , các giá trị áp lực sóng p 1 , p 2 , p 3 được xác định như sau:
11 Các giá trị 𝛼 1 , 𝛼 2 , 𝛼 3 được cho bởi:
H max chiều cao sóng thiết kế L chiều dài sóng thiết kế β góc hợp bởi sóng tới và mặt tường đứng h h chiều sâu nước tại vị trí cách tường một khoảng bằng 5H 1/3 Tanimoto et al (1976), Takahashi et al (1993), Takahashi và Hosoyamada
(1994) đã mở rộng công thức của Goda khi xét đến ảnh hưởng của gờ, sự vỡ của sóng và góc sóng tới Cho đến nay, phương pháp dự đoán được đề xuất bởi Goda (2000) vẫn là công thức được sử dụng nhiều nhất trong tính toán thiết kế công trình chắn sóng
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Phương trình chủ đạo
Hệ phương trình Navier - Stokes là hệ phương trình chủ đạo của cơ học lưu chất dựa trên các định luật về bảo toàn Đối với dòng chảy rối của chất lỏng trong mặt phẳng thẳng đứng xz, phương trình Navier - Stokes được trình bày thông qua các phương trình 3.1, 3.2, 3.3 sau đây:
- Phương trình liên tục (phương trình bảo toàn khối lượng):
- Phương trình bảo toàn động lượng theo phương x:
- Phương trình bảo toàn động lượng theo phương z:
𝜕𝑡 + 𝜕(𝑤 𝜕𝑧 2 ) + 𝜕(𝑢𝑤) 𝜕𝑥 = −𝑔 − 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑧 + 𝜈 ( 𝜕 𝜕𝑥 2 𝑤 2 + 𝜕 𝜕𝑧 2 𝑤 2 ) (3.3) Phương trình biến thiên mực nước:
𝑢, 𝑤 thành phần vận tốc theo phương x và z 𝑃 áp lực
𝜁 cao trình mặt nước 𝑧 𝑏 cao trình đáy biển 𝑣 hệ số nhớt động học
Hình 3.1 Sơ đồ định nghĩa sóng hai chiều
Điều kiện biên
Mô hình số được giới hạn bởi các điều kiện biên trình bày trong Mục 3.2 này, nhằm giới hạn các điều kiện để giải được bài toán đặt ra
3.2.1 Điều kiện biên mặt thoáng
Mặt nước là biên di động trong mô hình Vị trí của biên được xác định ứng với mỗi bước thời gian cụ thể
Tại mặt thoáng, ta có: 𝑧 = 𝜁 Ðiều kiện không có ứng suất cắt đối với vận tốc theo phương ngang u và điều kiện biên động học đối với vận tốc theo phương đứng w được giả định tại mặt thoáng như sau:
𝑤 = 𝜕𝜁 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝜁 𝜕𝑥 (3.6) Ðiều kiện biên cho áp suất:
3.2.2 Điều kiện biên đáy biển
Tại biên đáy, ta có: 𝑧 = 𝑧 𝑏 Điều kiện biên không trượt được áp dụng cho biên đáy: u = 0 (3.8) w = 0 (3.9)
14 Kết hợp các phương trình liên tục (3.1), phương trình bảo toàn động lượng theo z (3.3), điều kiện biên không thấm (3.8), ta có:
3.2.3 Điều kiện biên phía biển
Từ tham số Ursell tính được tại biên phía biển, các giá trị của ξ, u, w, P có thể được tính theo lý thuyết sóng Cnoidal bậc 3 hoặc lý thuyết sóng Stokes bậc 5
U r = H.L h 3 2 Trong đó H là chiều cao sóng tới, L là chiều dài sóng tới, h là độ sâu nước
Nếu U r ≥ 25, áp dụng lý thuyết sóng Cnoidal với sóng bậc 3
Nếu U r < 25, áp dụng lý thuyết sóng Stokes với sóng bậc 5
Trong mô hình cao độ mặt nước thực tế tại mỗi bước thời gian t được tính toán bằng cách lấy tổng của sóng tới và sóng phản xạ
𝜁 1 (𝑡) cao độ mặt nước tại tại thời điểm t 𝜁 1 𝑖 (𝑡) cao độ sóng tới tại thời điểm t
15 𝜁 2 𝑟 (𝑡 − 𝜏) cao độ sóng phản xạ từ lưới liền kề tại thời điểm (𝑡 − 𝜏) 𝜏 thời gian truyền sóng đi hết khoảng cách giữa 2 điểm lưới c vận tốc truyền sóng, Δ𝑥 là khoảng cách lưới theo phương ngang
Cao độ sóng phản xạ được tính như sau:
𝜁 2 (𝑡 − 𝜏) = 𝜁 2 (𝑡 − 𝜏) − 𝜁 2 𝑖 (𝑡 − 𝜏) (3.13) Với: 𝜁 2 𝑖 (𝑡 − 𝜏) là cao độ mặt nước tại điểm lưới kề biên ở thời điểm (𝑡 − 𝜏) 𝜁 2 𝑖 (𝑡 − 𝜏) là cao độ sóng tới tại điểm lưới kề biên ở thời điểm (𝑡 − 𝜏) Sóng tới tại điểm lưới kề biên được xác định như sau:
3.2.4 Điều kiện biên phía bờ
Biên phía bờ là đê chắn sóng thẳng đứng không thấm Sóng tới sẽ phản xạ toàn phần dọc theo tường đứng tại biên
Như vậy, điều kiện biên đối với vận tốc theo phương ngang u là:
𝑢(𝑧, 𝑡) = 0 (3.15) Điều kiện biên động học đối với vận tốc theo phương đứng w tại mặt thoáng là:
Giả thiết xem như w phân bố tuyến tính theo chiều cao thẳng đứng từ biên đáy lên đến mặt thoáng w s
ℎ (3.17) Ðiều kiện biên Neumann đối với áp suất P tại tường được xác định bằng cách sử dụng phương trình động lượng theo phương x và điều kiện phản xạ toàn phần
Lưới sai phân tính toán
Trong miền vật lý, mặt thoáng có dạng cong và là một biên di động theo sự chuyển động lên xuống của sóng Cao độ đáy biển cũng là đại lượng thay đổi theo không gian
𝜁 = 𝜁(𝑥, 𝑡) (3.19) z 𝑏 = 𝑧 𝑏 (𝑥) (3.20) Để xây dựng được mô hình trong đó lớp biên đáy và vùng ở trên lớp biên có thể giải đồng thời, lưới sai phân không đều được thiết lập Miền tính toán lúc này có dạng thẳng tại các biên Ở mỗi thời điểm tính toán, miền vật lý (𝑥, 𝑧, 𝑡) được biến đổi thành miền tính toán (𝜉, 𝜂, 𝜏) bằng các phương trình sau:
Trong đó 𝜂 𝑚 là chiều dài theo phương đứng lớn nhất trong miền tính toán
Hình 3.2 Miền tính toán và lưới sai phân của mô hình
Ma trận Jacobian và phương trình biến đổi
Đạo hàm cấp 1 cho các thành phần vận tốc u và w trong miền vật lý (𝑥, 𝑧, 𝑡) được biểu diễn bởi các giá trị trong miền tính toán (𝜉, 𝜂, 𝜏) như sau:
Thế các phương trình (3.21) đến (3.23) và biểu thức (3.24), ta được ma trận Jacobian dùng để biến đổi tọa độ giữa miền vật lý và miền tính toán:
Với 𝜁 𝑥 và 𝑧 𝑏𝑥 là đạo hàm theo x của 𝜁 và 𝑧 𝑏 Các phương trình chủ đạo (3.1) đến (3.3) được biến đổi trong miền tính toán như sau:
Biên di động tại bề mặt nước được xác định trực tiếp từ miền vật lý (𝑥, 𝑧, 𝑡) bằng cách sử dụng vận tốc theo phương ngang biến đổi ngược lại từ vận tốc tính được từ miền tính toán:
Lưới sai phân
Các phương trình chủ đạo đã biến đổi cùng các điều kiện biên liên quan được giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn theo lưới sai phân ở Hình 3.3 Áp suất P là các
18 điểm tại tâm các ô lưới, các thành phần vận tốt u và w là các điểm tại cạnh các ô lưới
Các phương trình (3.26) đến (3.29) sử dụng sai phân trung tâm để khai triển đối với các điểm lưới, (𝑖, 𝑗), (𝑖 + 1
2) và được giải bằng cách lấy sai phân nửa ẩn
Sơ đồ tính
Sơ đồ quá trình mô phỏng tính toán được trình bày như trong Hình 3.4
Hình 3.4 Sơ đồ quá trình mô phỏng tính toán
PHƯƠNG PHÁP SỐ
Trình tự tính toán và lưới tính toán của mô hình số
Mô hình được giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn với các phương trình và điều kiện biên đã biến đổi ở Chương 3 Các bước của quá trình tính toán ở mỗi thời điểm như sau:
- Bước 1: Tính toán sơ bộ cao trình mặt thoáng
- Bước 2: Xác định trường áp suất trên toàn miền tính toán
- Bước 3: Xác định các thành phần vận tốc tương ứng
- Bước 4: Tính toán lại cao trình mặt thoáng
Tùy thuộc vào vị trí của các điểm nút trong lưới số để khai triển sai phân các phương trình áp suất P, các thành phần vận tốc theo phương ngang u và phương đứng w cũng khác nhau
Hình 4.1 Phân loại các điểm nút lưới
Phân loại cái nút trong lưới được thể hiện như trong Hình 4.1 Trong đó, P là các điểm tại tâm ô lưới, u và w là các điểm tại cạnh ô lưới Tại các biên của miền tính toán, các điểm lưới ảo được thiết lập để có thể lấy sai phân phương trình áp suất tại các điểm kề biên Những điểm nút không có trong lưới sẽ được lấy trung bình từ giá trị của các điểm nút liền kề
Thiết lập công thức tính toán cao trình mặt nước
Cao trình mặt nước tại biên phía biển được tính theo lý thuyết sóng Cnoidal bậc 3 hoặc lý thuyết sóng Stokes bậc 5 tùy thuộc vào tham số Ursell tính được
Cao trình mặt nước tại các điểm lưới còn lại được tính một cách gần đúng bằng sơ đồ sai phân hiện phương trình sau:
Lấy tích phân và rời rạc phương trình (4.1) tại nút i trên trục 𝜉, ta được:
𝑗 𝑚𝑎𝑥 −1 𝑗=2 ) = 0 (4.2) Suy ra cao độ mặt thoáng trong miền tính toán tại bước thời gian n+1 là:
Khi đã có sự thay đổi mực nước 𝜁(𝑥, 𝑡), sử dụng phép biến đổi tọa độ (3.22) để xác định giá trị 𝜂 Thế 𝜂 vào các biểu thức trong ma trận Jacobian (3.25), kết hợp với việc sử dụng sơ đồ sai phân trung tâm để tính giá trị các đạo hàm 𝜁 𝑥 Từ đó, các đạo hàm 𝜂 𝑥 , 𝜂 𝑧 , 𝜂 𝑡 trong phương trình biến đổi được xác định tại thời điểm bắt đầu của mỗi bước thời gian tính toán.
Thiết lập công thức tính toán áp suất
Tiến hành lấy sai phân trung tâm phương trình (3.27) tại điểm (𝑖 + 1 2 , 𝑗), ta được:
Lấy sai phân trung tâm phương trình (3.28) tại điểm (𝑖, 𝑗 + 1 2 ), ta được:
2 Δ𝜂 2 Những điểm không có trong lưới được xác định bằng cách lấy trung bình giá trị ở các điểm lưới lân cận như sau:
Giá trị vận tốc tại bước thời gian n+1 là:
Các giá trị 𝜂 𝑥 và 𝜂 𝑧 được tính toán tại bước thời gian n+1 Gọi các điểm nằm trong các biên giới hạn của mô hình là các nút phía trong, các điểm phía ngoài gọi là các nút phía ngoài Vận tốc trong phương trình (4.10) và (4.11) được tính từ giá trị áp suất P từ các phương trình áp suất ứng với các điểm nút này
4.3.1 Phương trình tính áp suất cho các nút phía trong 4.3.1.1 Điểm nút loại P1
Biến đổi phương trình liên tục (3.2) qua hệ tọa độ tính toán:
Lấy sai phân phương trình liên tục trên xung quanh điểm (𝑖, 𝑗) tại bước thời gian n+1, ta được:
Những điểm không có trên lưới được xác định bằng cách lấy trung bình giá trị ở các điểm lưới lân cận:
2,𝑗−1) Đem thay vào phương trình (4.18), ta được:
2) = 0 (4.22) Đem thay vào phương trình (4.10), (4.11) ta có giá trị u, w tại bước thời gian n+1 như sau:
Thế vào phương trình (4.22), ta được phương trình áp suất xung quanh nút (i, j):
Các hệ số 𝑎 𝑖,𝑗,𝑚 được xác định như sau:
16Δ𝜂 Giá trị 𝑏 𝑖,𝑗 được xác định như sau:
Tại biên đáy ta có: u = w = 0
28 Biến đổi phương trình liên tục tương tự như đối với nút loại P1, ta có:
2= 0 (4.30) Phương trình áp suất xung quanh nút (i, j):
𝑎 𝑖,𝑗,14 𝑃 𝑖+1,𝑗+1 + 𝑎 𝑖,𝑗,15 𝑃 𝑖+1,𝑗+2 = 𝑏 𝑖,𝑗 (4.31) Các hệ số 𝑎 𝑖,𝑗,𝑚 được xác định như sau:
16Δ𝜂 Giá trị 𝑏 𝑖,𝑗 được xác định như sau:
Tại mặt nước điều kiện biên đối với vận tốc theo phương ngang u là:
𝜕𝜂 = 0) Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn cho phương trình trên:
Thế phương trình (4.32), (4.33) vào phương trình (4.22), ta được:
Phương trình áp suất tại nút (i, j):
Các hệ số 𝑎 𝑖,𝑚 được xác định như sau:
Giá trị 𝑏 𝑖,𝑗 được xác định như sau:
4.3.2 Phương trình tính áp suất cho các nút phía ngoài 4.3.2.1 Điểm nút loại P4
Biến đổi phương trình (3.10) ta được điều kiện biên đáy của áp suất trong miền tính toán:
Lấy sai phân phương trình (4.36) tại điểm (𝑖, 3
Biến đổi phương trình (4.37) tương tự như đối với nút P1 ta có phương trình áp suất tại nút (i,j):
Các hệ số a được xác định như sau:
32 Giá trị 𝑏 𝑖,𝑗 được xác định như sau:
Tại bề mặt thoáng, sử dụng điều kiện biên cho áp suất 𝑃 = 0 ta có phương trình áp suất tại nút (i,j):
𝑎 𝑖,𝑗,9 𝑃 𝑖,𝑗 − 1 + 𝑎 𝑖,𝑗,10 𝑃 𝑖,𝑗+1 = 𝑏 𝑖,𝑗 (4.39) Các hệ số a được xác định như sau:
𝑎 𝑖,𝑗,10 = 1 Giá trị 𝑏 𝑖,𝑗 được xác định như sau:
Tại biên phía biển, điều kiện áp suất phân bố đều theo phương 𝑥 được áp dụng:
𝜕𝑥 = 0 Biến đổi phương trình trên sang miền tính toán:
Lấy sai phân phương trình (4.40) tại điểm (𝑖 + 1
4Δ𝜂 (𝑃 𝑖,𝑗+1 + 𝑃 𝑖+1,𝑗+1 − 𝑃 𝑖,𝑗−1 − 𝑃 𝑖+1,𝑗−1 ) = 0 (4.41) Phương trình áp suất tại nút (i,j):
Các hệ số a được xác định như sau:
4Δ𝜂 Giá trị 𝑏 𝑖,𝑗 được xác định như sau:
𝑏 𝑖,𝑗 = 0 Các hệ số còn lại có giá trị bằng 0
Biến đổi phương trình (3.18) sang miền tính toán, ta được:
Vế phải quá nhỏ nên được lược bỏ, phương trình (4.43) trở thành:
Lấy sai phân phương trình (4.43) tại điểm (𝑖 + 1
) 𝑖− 1 2,𝑗 4Δ𝜂 (𝑃 𝑖−1,𝑗+1 + 𝑃 𝑖,𝑗+1 − 𝑃 𝑖−1,𝑗−1 − 𝑃 𝑖,𝑗−1 ) = 0 (4.45) Phương trình áp suất tại nút (i,j):
34 Các hệ số a được xác định như sau:
4Δ𝜂 Giá trị 𝑏 𝑖,𝑗 được xác định như sau:
𝑏 𝑖,𝑗 = 0 Các hệ số còn lại có giá trị bằng 0
4.3.3 Phương trình tuyến tính giải hệ các phương trình áp suất
Từ các phương trình áp suất đã thiết lập trong phần 4.2.2 ta có hệ phương trình tuyến tính như sau:
Trong đó: {A} là ma trận hệ số
{B} là vectơ các giá trị đã biết {P} là vectơ áp suất cần tìm
Ma trận {A} có bề rộng là L dải = 2nz + 3, với nz là tổng số nút theo phương đứng
Hệ phương trình tuyến tính trên có số ẩn số là rất lớn Phương pháp truy đuổi và khử dần được sử dụng để phép tính nhanh hơn và đạt hiệu quả cao.
Thiết lập công thức tính toán vận tốc
35 Sau khi xác định được các giá trị áp suất tại từng ô lưới, ta có thể dễ dàng tính toán được các thành phần vận tốc tại các điểm lưới trong lưới số
4.4.1 Vận tốc tại các nút loại V1
Các thành phần vận tốc theo phương ngang 𝑢 và vận tốc theo phương đứng 𝑤 được tính theo phương trình (4.10) và (4.11)
4.4.2 Vận tốc tại các nút phía ngoài
Vận tốc tại các nút ảo ngoài miền tính toán, được xác định bằng cách sử dụng các điều kiện biên kết hợp với các giá trị vận tốc tại các nút phía trong (loại V1) đã được tính toán
Tại biên đáy điều kiện không trượt được áp dụng như sau:
𝑢 𝑏 = 𝑤 𝑏 = 0 Vận tốc theo phương ngang tại các nút ảo phía dưới biên đáy biển là:
Phương trình liên tục (3.26) trở thành:
Vận tốc ảo theo phương đứng tại các nút ảo phía dưới biên đáy biển, được xác định bằng cách lấy sai phân trung tâm phương trình (4.50) tại điểm (𝑖, 3
Tại mặt thoáng điều kiện kiện không có ứng suất cắt được giả định như sau:
36 Vận tốc theo phương ngang tại các nút ảo phía trên mặt thoáng được xác định bằng cách lấy sai phân trung tâm phương trình (4.53) tại điểm (𝑖, 𝑗 𝑚𝑎𝑥 − 1
2 ,𝑗 𝑚𝑎𝑥 −1 (4.55) Điều kiện động học được áp dụng tại mặt thoáng trong miền tính toán là:
Vận tốc theo phương đứng tại các nút ảo phía trên mặt thoáng được xác định bằng cách lấy sai phân trung tâm phương trình (4.56) tại điểm (𝑖, 𝑗 𝑚𝑎𝑥 − 1
2 ,𝑗 𝑚𝑎𝑥 −1) (4.58) Thế vào phương trình (4.57), ta được:
Vận tốc theo phương ngang tại các nút ảo phía ngoài biên phía biển là:
Với vận tốc theo phương đứng, điều kiện không dốc được áp dụng:
Suy ra phương trình tương ứng trong miền tính toán:
Lấy sai phân phương trình (4.63) tại điểm ( 3 2 , j), ta được:
2) = 0 (4.64) Sắp xếp lại phương trình trên theo dạng tuyến tính: a 𝑗,1 𝑤 𝑖,𝑗− 1
Các hệ số a được xác định như sau: a 𝑗,1 (𝜂 𝑥 )3 2,𝑗+ 1
4Δ𝜂 Giá trị 𝑏 𝑗 được xác định như sau:
Từ phương trình (4.65) ta được hệ phương trình tuyến tính cho vận tốc theo phương đứng tại các nút ảo phía ngoài biên phía biển như sau:
Giải hệ phương trình này ta xác định được vận tốc ảo w
Biên phía bờ là mặt thẳng đứng không thấm
Vận tốc theo phương ngang tại biên phía bờ trong miền tính toán:
𝑢(𝜂, 𝑡) = 0 (4.67) Ðối với vận tốc theo phương đứng ta có:
Do 𝑤 = 0 tại đáy nên giả thiết w phân bố tuyến tính theo chiều cao thẳng đứng từ biên đáy lên đến mặt thoáng w s
Tính toán lại cao trình mặt thoáng
38 Sau khi có được giá trị vận tốc ở thời điểm mới, mặt thoáng tại bước thời gian n+1 được tính toán lại bằng cách sử dụng công thức Crank-Nicolson áp dụng cho phương trình (4.2):
Trong đó 𝜁 𝑖 ∗ là cao trình mặt thoáng được tính toán sơ bộ ban đầu dựa trên phương trình (4.3)
Sau khi hoàn tất lời giải trong miền tính toán, các kết quả giá trị p, u, w tại mỗi điểm nút trong miền tính toán sẽ được biến đổi ngược trở lại ứng với vị trí thực của điểm nút trong miền vật lý theo các phương trình sau:
Với j max là chỉ số j (theo phương thẳng đứng) lớn nhất
