Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng: Ứng dụng lý thuyết tối ưu và lý thuyết trò chơi vào bài toán thủy điện

TÊN ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỐI ƯU VÀ LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI VÀOBÀI TOÁN THỦY ĐIỆN NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:• Mô tả bài toán điều tiết tối ưu nhà máy thủy điện.• Mô hình hóa và giải số bài to

Bài toán tối ưu

Các khái niệm cơ bản

minf(x), với điều kiện x ∈ D (P1) hoặc maxf(x), với điều kiện x ∈ D (P2) trong đó D ⊂ R n được gọi là tập nghiệm chấp nhận được hay tập ràng buộc và f là hàm mục tiêu Mỗi điểm x ∈ D được gọi là một nghiệm chấp nhận được hay một phương án chấp nhận được. Điểm x ∗ ∈ D mà f(x ∗ ) ≤ f(x), ∀x ∈ D được gọi là nghiệm tối ưu, hoặc nghiệm tối ưu toàn cục, hoặc nghiệm cực tiểu toàn cục, hay đơn giản là nghiệm của bài toán (P 1 ). Điểm x ∗ ∈ D được gọi là nghiệm cực tiểu toàn cục chặt nếu f(x ∗ ) < f(x), ∀x ∈ D và x 6= x ∗ Không phải bài toán (P1) nào cũng có nghiệm cực tiểu toàn cục và nếu bài toán có nghiệm cực tiểu toàn cục thì chưa chắc có nghiệm cực tiểu toàn cục chặt.

Giá trị tối ưu (hay giá trị cực tiểu) của bài toán (P 1 ) được kí hiệu là minx∈D f(x) hoặc min{f(x)|x ∈ D}. Điểm x ∗ ∈ D được gọi là nghiệm tối ưu địa phương, hoặc nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán (P 1 ) nếu tồn tại ε -lân cận B(x ∗ , ε) của điểm x ∗ ∈ D sao cho f(x ∗ ) ≤ f(x), ∀x ∈ B(x ∗ , ε) ∩ D, trong đóB(x ∗ , ε) := {x ∈ R n | ||x−x ∗ || < ε}. Điểm x ∗ ∈ D được gọi là nghiệm tối ưu địa phương chặt, hoặc nghiệm cực tiểu địa phương chặt của bài toán (P 1 ) nếu tồn tại ε -lân cận B(x ∗ , ε) của điểm x ∗ ∈ D sao cho f(x ∗ ) < f(x), ∀x ∈ B(x ∗ , ε)∩D và x 6= x ∗

Các khái niệm tương tự cũng được định nghĩa cho bài toán (P 2 ).

Nhận xét: Bài toán (P1) tương đương với bài toán max−f(x), với điều kiện x ∈ D theo nghĩa tập nghiệm tối ưu của hai bài toán này là trùng nhau và giá trị tối ưu ngược dấu.

Điều kiện tồn tại nghiệm

Mục đích của Quy hoạch toán học là nghiên cứu các tính chất của tập nghiệm và xây dựng các thuật toán để tìm nghiệm của bài toán tối ưu Câu hỏi đầu tiên đặt ra là "bài toán cần giải có nghiệm tối ưu hay không?".

Xét bài toán tối ưu: minf(x), với điều kiện x ∈ D (P 1 ) trong đó D ⊂R n và f(x) là một hàm thực xác định trên một tập mở chứa D Khi đó một trong bốn khả năng sau có thể xảy ra:

- Bài toán (P 1 ) không có phương án chấp nhận được, tức là D = ∅;

- Bài toán có nghiệm tối ưu;

- Bài toán không có nghiệm tối ưu và giá trị hàm mục tiêu giảm vô hạn trên tập chấp nhận được D, tức là giá trị tối ưu inf{f(x)|x ∈ D}= −∞;

- Bài toán không có nghiệm tối ưu và giá trị tối ưu inf{f(x)|x ∈ D} là hữu hạn.

Như vậy, trừ trường hợp tập chấp nhận được bằng rỗng, giá trị tối ưu của bài toán (P 1 ) luôn tồn tại nhưng nghiệm tối ưu thì không nhất thiết tồn tại Việc tìm kiếm điều kiện đảm bảo để bài toán có nghiệm tối ưu là quan trọng.

Cho hàm số f xác định trên tập mở X ⊂ R n Hàm f được gọi là liên tục tại điểm x 0 ∈ X nếu với mỗi ε > 0 cho trước, tồn tại δ > 0 sao cho f(x)−f(x 0 )

< δ Nói cách khác hàm f liên tục tại x 0 ∈ X nếu với mọi dãy x k ⊂ X hội tụ đến x 0 , ta có f(x k ) →f(x 0 ).

Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (tương ứng, nửa liên tục trên) tại điểm x 0 ∈ X nếu với mỗi ε > 0 cho trước, tồn tại δ > 0 sao cho f(x) ≥ f(x 0 )−ε (tương ứng, f(x) ≤f(x 0 ) +ε) với mọi x 0 ∈ X thỏa mãn x−x 0

Nhận xét: Nếu f nửa liên tục dưới tại x 0 thì −f nửa liên tục trên tại x 0

Hàm f vừa nửa liên tục trên, vừa nửa liên tục dưới tại x 0 thì liên tục tại điểm đó.

Hàm f được gọi là liên tục (tương ứng, nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên) trên X nếu nó liên tục (tương ứng, nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên) tại mọi điểm của X. Định lý 1.1 ([10] trang 20) Cho D là tập compact khác rỗng Khi đó: i) Nếu hàm f nửa liên tục dưới trên D thì bài toán (P 1 ) có nghiệm tối ưu, ii) Nếu hàm f nửa liên tục trên trên D thì bài toán (P 2 ) có nghiệm tối ưu, Chứng minh.

Do tính tương tự, ta chỉ cần chứng minh (i) Giả sử giá trị tối ưu của bài toán (P 1 ) là t 0 = inff(D) Theo định nghĩa

(x) ≥t 0 , ∀x∈ D (1.1) và tồn tại dãy x k ⊂ D sao cho lim k→∞f(x k ) = t 0 Do D là tập compact nên có một dãy con của dãy x k hội tụ đến một điểm x 0 ∈ D Để đơn giản, ta có thể giả thiết rằng lim k→∞x k = x 0 ∈ D Do f nửa liên tục dưới tại x 0 ∈ D nên f(x 0 ) ≤ lim k→∞f(x k ) = t 0 Kết hợp điều này với (1.1) ta có: t0 = inf f(D) =f(x 0 ), chứng tỏ rằng x 0 là nghiệm tối ưu của bài toán (P1).

Hệ quả 1.1 (Định lý Weierstrass) Nếu tập D compact và hàm f liên tục trên D thì cả hai bài toán (P 1 ) và (P 2 ) đều có nghiệm tối ưu.

Chứng minh Hàm liên tục là hàm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới.

Kết luận của Hệ quả được suy trực tiếp từ Định lý 1.1.

Phân loại bài toán tối ưu

Để tiện cho việc nghiên cứu, người ta thường chia các bài toán tối ưu thành một số lớp dựa trên tính chất của hàm mục tiêu và tập chấp nhận được.

• Quy hoạch tuyến tính: Hàm mục tiêu f(x) là hàm tuyến tính và tập chấp nhận được là tập lồi đa diện.

• Quy hoạch nguyên: Tập chấp nhận được có cấu trúc rời rạc

• Quy hoạch phi tuyến: Hàm mục tiêu hoặc một trong các hàm ràng buộc không phải là hàm afin Trong các bài toán tối ưu phi tuyến có hai lớp đặc biệt quan trọng, đó là Quy hoạch lồi và Quy hoạch lõm.

• Quy hoạch động: Bài toán Quy hoạch động xét các đối tượng là các quá trình có thể chia ra thành nhiều giai đoạn hoặc các quá trình phát triển theo thời gian Nhiều bài toán quy hoạch động có thể đưa về bài toán quy hoạch tuyến tính cỡ lớn.

• Quy hoạch đa mục tiêu: Bài toán có có nhiều hàm mục tiêu mà ta phải cực tiểu hóa (cực đại hóa) đồng thời.

• Ngoài ra còn có Quy hoạch ngẫu nhiên, Quy hoạch tham số

Hàm lồi

Định nghĩa 1.1 Cho x 1 , x 2 là hai điểm trong R n Đường thẳng qua x 1 và x 2 là tập các điểm x = λx 1 + (1−λ)x 2 = x 2 +λ(x 1 −x 2 ) với λ ∈ R Tập M ⊂R n được gọi là tập afin nếu M chứa trọn cả đường thẳng đi qua hai điểm bất kì của M, nghĩa là ∀x 1 , x 2 ∈ M, λ ∈ R⇒ λx 1 + (1−λ)x 2 ∈ M. Định nghĩa 1.2 Tập M ⊂ R n được gọi là tập lồi nếu M chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó, tức là ∀x 1 , x 2 ∈ M, λ ∈ [0; 1] ⇒ λx 1 + (1−λ)x 2 ∈ M. Định nghĩa 1.3.Hàm số có dạng f(x) =hc, xi+α, trong đó vectơ c ∈ R n và α ∈ R cho trước được gọi là hàm afin. Định nghĩa 1.4 Cho hàm f xác định trên tập lồi X ⊆ R n Ta gọi f là hàm lồi nếu f(λx 1 + (1 − λ)x 2 ) 6 λf(x 1 ) + (1 − λ)f(x 2 ) với bất kì x 1 , x 2 ∈ X và số thực λ ∈ [0; 1] Hàm f được gọi là hàm lồi chặt nếu f(λx 1 + (1−λ)x 2 ) < λf(x 1 ) + (1−λ)f(x 2 ) với bất kì x 1 , x 2 ∈ X, x 1 6= x 2 và λ ∈ (0; 1).

Miền xác định hữu hiệu của hàm f là domf := {x∈ X|f(x) < +∞}.

Epigraph (tương ứng Hypograp) của hàm f, kí hiệu epi(f) (tương ứng hypo(f)) được định nghĩa như sau: epi(f) := {(x, ξ) ∈ X ×R|ξ > f(x)} ⊂ R n+1 hypo(f) := {(x, ζ) ∈ X ×R|ζ 6 f(x)} ⊂ R n+1

Hàm f : X →R∪ {+∞} có thể được mở rộng thành một hàm lồi trên toán không gian R n bằng cách đặt f(x) = +∞ nếu x /∈ domf Vì vậy để đơn giản ta thường xét f là hàm lồi trên R n

Hàm f được gọi là hàm lõm (tương ứng, hàm lõm chặt) trên tập lồi X nếu −f là hàm lồi (tương ứng, hàm lồi chặt).

Mệnh đề 1.1.([10] trang 200) Cho hàm số f xác định trên tập lồi khác rỗng X ⊆ R n Khi đó: i) Hàm f là hàm lồi khi và chỉ khi epi(f) là tập lồi. ii) hàm f là hàm lõm khi và chỉ khi hypo(f) là tập lồi.

Mệnh đề 1.2 ([10] trang 201) i) Nếu hàm số f xác định trên tập lồi X ⊆ R n là hàm lồi thì tập mức dưới L α (f) := {x ∈ X|f(x) 6 α} là tập lồi với mọi α ∈ R. ii) Nếu hàm số f xác định trên tập lồi X ⊆ R n là hàm lõm thì tập mức trên L α (g) := {x ∈ X|g(x) > α} là tập lồi với mọi α ∈ R.

Các phép toán về hàm lồi

Định nghĩa 1.5 Cho hàm số f 1 xác định trên tập lồi X 1 ⊆ R n , hàm số f 2 xác định trên tập lồi X 2 ⊆ R n và số thực λ > 0 Các phép toán λf1, f1 +f2, max{f 1 , f2} được định nghĩa như sau:

Mệnh đề 1.3.([10] trang 202) Cho hàm số f 1 xác định trên tập lồi X 1 ⊆

R n , hàm số f 2 xác định trên tập lồi X 2 ⊆R n và các số thực α > 0, β > 0.

Khi đó các hàm λf 1 , f 1 +f 2 , max{f 1 , f 2 } là lồi trên X 1 ∩ X 2

Tính liên tục của hàm lồi

Một hàm lồi f xác định trên tập lồi X ⊆ R n không nhất thiết là hàm liên tục Tuy nhiên khi X là tập lồi mở ta có kết quả sau: Định lý 1.2 ([10] trang 202)Nếu f là hàm lồi xác định trên tập lồi mở X ⊆ R n thì f liên tục trên tập X.

Nhận xét 1.1.([10] trang 202) Sự gián đoạn của hàm lồi chỉ có thể xảy ra tại biên của tập xác định.

Đạo hàm theo hướng của hàm lồi

Định nghĩa 1.6 Cho hàm f xác định trên R n và một vectơ d ∈ R n \{0}.

Giới hạn lim t→0 + f (x 0 +td)−f (x 0 ) t nếu tồn tại (hữu hạn hoặc vô cùng) được gọi là đạo hàm theo hướng d của hàm f tại điểm x 0 ∈ R n , và kí hiệu là f 0 (x 0 , d) Nếu vectơ d = e i trong đó e i = (0, , 1

Dễ thấy nếu f(x) là hàm một biến thì (x 0 ,1) = lim t→0 + f (x 0 +t)−f (x 0 ) t f + 0 (x 0 ) trong đó f + 0 (x 0 ) là đạo hàm phải của f tại x 0 và f 0 (x 0 ,−1) t→0lim + f (x 0 +t.(−1))−f (x 0 ) t = lim t→0 − f (x 0 +t)−f(x 0 )

−t = −f − 0 (x 0 ) với f − 0 (x 0 ) là đạo hàm trái của f tại x 0 Mệnh đề 1.4.([10] trang 203) Cho hàm số f xác định trên R n và điểm x 0 ∈ R n Nếu f khả vi tại x 0 thì f 0 (x 0 , d) = h∇f(x 0 ), di, ∀d ∈ R n \{0}.

Nhận xét 1.2 Đạo hàm theo hướng của hàm f phản ảnh tốc độ biến thiên của hàm f tại x0 theo hướng đó. Định lý 1.3.([10] trang 204)Nếu f : X → R∪ {+∞} là một hàm lồi xác định trên tập lồi X ⊆ R n thì nó có đạo hàm theo mọi hướng d ∈ R n \{0} tại mọi điểm x 0 ∈ domf và f 0 (x 0 , d) 6 f(x 0 +d)−f(x 0 ).

Hệ quả 1.2 Nếu f là hàm lồi khả vi xác định trên tập lồi mở X thì f có đạo hàm theo mọi hướng d ∈ R n \{0} tại mọi điểm x 0 ∈ domf và h∇f(x 0 ), di = f 0 (x 0 , d) 6 f(x 0 +d)−f(x 0 ).

Tiêu chuẩn nhận biết hàm lồi khả vi

Định lý 1.4.([10] trang 205) Cho f là một hàm khả vi xác định trên tập lồi mở X ⊆R n , khi đó: i) Hàm f là hàm lồi trên X khi và chỉ khi f(y)−f(x) > h∇f(x), y −xi,

∀x, y ∈ X. ii) Hàm f là hàm lõm trên X khi và chỉ khi f(y)−f(x) 6 h∇f(x), y −xi,

Với hàm một biến f xác định trên tập lồi X ⊆ R n ta đã biết: f là hàm lồi trên X khi và chỉ khi f 00 (x) > 0 với mọi x ∈ X Ví dụ như hàm f(x) =e x lồi trên R Tương tự ta có: Định lý 1.5.([10] trang 205) Cho f là một hàm khả vi hai lần trên tập lồi mở X ⊆R n , khi đó: i) Hàm f là hàm lồi trên X khi và chỉ khi ma trận Hesse ∇ 2 f(x) là nửa xác định dương trên X, tức với mỗi x ∈ X, y T ∇ 2 f(x)y >0, ∀y ∈ R n Hàm f là hàm lồi chặt trên X khi và chỉ khi ma trận Hesse ∇ 2 f(x) là xác định dương trên X, tức là: x ∈ X, y T ∇ 2 f(x)y > 0,∀y ∈ R n \{0} ii) Hàm f là hàm lõm trên X khi và chỉ khi ma trận Hesse ∇ 2 f(x) là nửa xác định âm trên X, tức với mỗi x ∈ X, y T ∇ 2 f(x)y 6 0, ∀y ∈ R n

Hàm f là hàm lõm chặt trên X khi và chỉ khi ma trận Hesse ∇ 2 f(x) là xác định âm trên X, tức là: x ∈ X, y T ∇ 2 f(x)y < 0,∀y ∈ R n \{0}

Hệ quả 1.3.([10] trang 206) Cho hàm toàn phương f(x) = 1 2 hx, Qxi+ hx, ai+α, trong đó Q là ma trận đối xứng cấp n×n Khi đó: i) Hàm f là hàm lồi (tương ứng, lồi chặt) trên R n nếu Q là ma trận nửa xác định dương (tương ứng, xác định dương) ; ii) Hàm f là hàm lõm (tương ứng, lõm chặt) trên R n nếu Q là ma trận nửa xác định âm (tương ứng, xác định âm).

Ví dụ 1.1 Cho f(x 1 , x 2 ) = 2x 2 1 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 Ta có:

Vì ma trận Hesse ∇ 2 f(x) xác định dương nên hàm f đã cho là hàm lồi chặt trên R 2

Bài toán quy hoạch phi tuyến không ràng buộc

Bài toán quy hoạch phi tuyến không ràng buộc được phát biểu như sau: minf(x) với điều kiện x ∈ R n (B krb ) trong đó f : R n → R là hàm phi tuyến. Định lý 1.6.([10] trang 208) (Điều kiện bậc nhất) Cho hàm f xác định, khả vi trên R n Nếu x ∗ ∈ R n là nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán (B krb ) thì ∇f(x ∗ ) = 0. Định lý 1.7.([10] trang 209) Cho f là hàm lồi khả vi trên R n Khi đó x ∗ ∈ R n là nghiệm cực tiểu toàn cục của bài toán (B krb ) khi và chỉ khi

Nhận xét 1.3.Nếu A là ma trận cấpn×nđối xứng, nửa xác định dương, b ∈ R n và c ∈ R thì hàm toàn phương f(x) = 1 2 x T Ax−b T x+c là hàm lồi khả vi Trong trường hợp này, vì ∇f(x) = Ax−b nên theo định lý 1.6 việc giải bài toán quy hoạch lồi min{f(x)|x ∈ R n } tương đương tìm nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính Ax= b Định lý 1.8 ([10] trang 209)(Điều kiện bậc 2) Giả sử hàm số f liên tục khả vi hai lần trên R n i) Nếu x ∗ ∈ R n là điểm cực tiểu địa phương của f trên R n thì ∇f(x ∗ ) = 0 và ∇ 2 f(x ∗ ) nửa xác định dương ii) Ngược lại nếu ∇f(x ∗ ) = 0 và ∇ 2 f(x ∗ ) xác định dương thì x ∗ là điểm cực tiểu địa phương chặt của f trên R n

Ví dụ 1.2 Tìm điểm cực tiểu địa phương của hàm số: f(x 1 , x 2 ) =x 3 1 + x 2 2 −6x 1 −2x 2 + 12 Giải.

! Giải hệ ∇f(x) = 0 ta được hai điểm dừng x 1 √ 2 1

! là ma trận xác định dương nên x 1 là điểm cực tiểu địa phương chặt của hàm f trên R 2 Do ∇ 2 f(x 2 ) không là ma trận nửa xác định dương cũng không là ma trận nửa xác định âm nên x 2 không là điểm cực đại địa phương, cũng không là điểm cực tiểu địa phương của hàm f trên R 2 Ví dụ 1.3 Giải bài toán tối ưu không ràng buộc (B krb ) với hàm mục tiêu f(x1, x2) =x 2 1 +x1x2 +x 2 2 + 2(x1 +x2 −3).

Giải hệ∇f(x) = 0ta được điểm dừngx ∗ 

! là ma trận đối xứng, xác định dương nên ∇ 2 f(x) = 2 1

!là hàm lồi chặt, điểm dừng x ∗ là nghiệm cực tiểu của bài toán.

Bài toán quy hoạch phi tuyến có ràng buộc

Điều kiện tối ưu

Định nghĩa 1.7 Cho dãy {x q } ⊂ R n hội tụ đến x 0 ∈ R n Ta nói dãy{x q } hội tụ đến x 0 theo hướng v ∈ R n , kí hiệu {x q } −→ v x 0 , nếu tồn tại dãy số dương {t q }, limt q = 0 sao cho x q = x 0 +t q v +o(t q ).

Nói cách khác {x q } −→ v x 0 , nếu tồn tại dãy số dương {t q }, limtq = 0 sao cho lim x q −x t 0 q = v. Định nghĩa 1.8 Cho X ⊂ R n Tập tất cả các hướng v ∈ R n , sao cho có một dãy {x q } ⊂ X hội tụ đến x 0 ∈ R n theo hướng v ∈ R n tạo thành một nón Ta gọi đó là nón tiếp xúc với X tại x 0 ∈ X, kí hiệu là T(X, x 0 ), cụ thể T(X, x 0 ) := {v ∈ R n |∃{x q } ⊂ X sao cho {x q } −→ v x 0 }. Định lý 1.9 ([10] trang 245) i) Giả sử f khả vi trên một tập mở chứa X Nếu x ∗ ∈ X là nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán (B rb ) thì h∇f(x ∗ ), vi > 0, ∀v ∈ T(X, x ∗ ); ii) Ngược lại nếux ∗ ∈ X thỏa điều kiệnh∇f(x ∗ ), vi > 0, ∀v ∈ T(X, x ∗ )\{0} thì x ∗ là nghiệm tối ưu địa phương chặt của bài toán (B rb ).

Ví dụ 1.4 Xét bài toán min{f(x 1 , x 2 ) = x 2 1 −4x 2 2 |x 2 1 +x 2 2 6 1}.

Tập chấp nhận được của bài toán là hình tròn đóng B(0,1) có tâm O và bán kính 1.

Ta có:∇f(x) = (2x 1 −8x 2 ) T , điểm dừngx 0 = (0, 0) T Vìx 0 ∈ intB(0,1) nên T(B(0,1), x 0 ) = R 2 và

= 0, v ∈ T(B(0,1), x 0 ) Tuy nhiênx 0 không phải nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán vìf(0,±ε) −ε 2 < 0, ∀ε.

Hệ quả 1.4 ([10] trang 246) Giả sử x ∗ ∈ intX và x ∗ là điểm cực tiểu địa phương của bài toán (B rb ) Khi đó ∇f(x ∗ ) = 0. Định lý 1.10.([10] trang 247) Cho f là một hàm lồi khả vi trên một mở chứa tập lồi X ⊂ R n Điều kiện cần và đủ để x ∗ ∈ X là điểm cực tiểu toàn cục của bài toán quy hoạch lồi min{f(x)|x ∈ X} là h∇f(x ∗ ), vi >

Hệ quả 1.5.([10] trang 247) Cho f là một hàm lồi khả vi trên một tập mở chứa tập lồi X ⊂ R n Điểm x ∗ ∈ X là điểm cực tiểu toàn cục của bài toán quy hoạch lồi min{f(x)|x ∈ X} khi và chỉ khi h∇f(x ∗ ), x−x ∗ i >

0, ∀x ∈ X. Xét bài toán quy hoạch phi tuyến minf(x) với điều kiện x ∈ X(B 1 rb ) trong đó X ⊂R n là tập nghiệm của hệ

(gi(x) 6 0, i = 1, , m h j (x) = 0, j = 1, , k với f, gi, hj là các hàm khả vi trên R n Nhận xét 1.4. i) Nếu g i (x), i= 1, , m là các hàm lồi và h j (x), j = 1, , k là các hàm afin thì X là tập lồi, đóng Nếu thêm điều kiện f là hàm lồi thì bài toán (B 1 rb ) là bài toán quy hoạch lồi ii) Do mọi hàm afin đều là hàm lồi nên quy hoạch tuyến tính là một trường hợp riêng của quy hoạch lồi.

Cho x 0 ∈ X là một nghiệm chấp nhận được của bài toán (B 1 rb ) Đặt I(x 0 ) := {i ∈ {1, , m}|g i (x 0 ) = 0} là tập các chỉ số của các ràng buộc g i (x) = 0, i = 1, , m thỏa mãn chặt tại x 0

Kí hiệu S(x 0 ) là tập hợp các vectơ v thỏa mãn hệ tuyến tính sau:

Nhận xét 1.5 Với mọi x 0 ∈ X, ta có T(X, x 0 ) ⊆ S(x 0 ) Định nghĩa 1.9.Ta nói điều kiện chính quy (regular condition) được thỏa mãn tại x 0 nếu T(X, x 0 ) =S(x 0 ) Định lý 1.11.([10] trang 250) Ta nói điều kiện chính quy được thỏa mãn tại x 0 nếu có một trong các điều kiện sau: i) Các hàm h j (x), j = 1, , k và g i (x), i = 1, , m đều là các hàm afin ii) Các hàm h j (x), j = 1, , k là afin; các hàm g i (x), i = 1, , m là lồi và điều kiện Slater sau đây thỏa:

∃x ∈ R n : g i (x) < 0, i= 1, , m và h j (x), j = 1, , k iii) Các vectơ {∇g i (x 0 ), i ∈ I(x 0 )} và {∇h j (x 0 ), j = 1, , k} độc lập tuyến tính. Điều kiện thứ nhất hoặc thức 2 của Định lý 1.10 đảm bảo điều kiện chính quy thỏa mãn tại mọi điểm chấp nhận được của bài toán đang xét mà không cần chỉ rõ điểm x 0 nào, còn điều kiện thứ ba đòi hỏi phải biết điểm x 0 Định lý 1.12.([10] trang 250) (Định lý Karush-Kuhn-Tucker ) Cho các hàm f, gi, i = 1, , m và hj, j = 1, , k là các hàm khả vi liên tục trên một tập mở chứa X Giả sử x ∗ là nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán (B 1 rb ) và điều kiện chính quy được thỏa mãn tại x ∗ Khi đó điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (điều kiện KKT) sau đúng: i) g i (x ∗ ) 60, i= 1, , m và h j (x ∗ ) = 0, j = 1, , k ii) Tồn tại cỏc số λi > 0, i = 1, , m và cỏc số àj, j = 1, , k sao cho

Ví dụ 1.5 Xét bài toán min{−(x 2 1 + 4x 2 2 )|x 1 61}

Bài toán này có m = 1, k = 0 và hàm mục tiêu f(x) = −(x 2 1 + 4x 2 2 ) là hàm lõm chặt Vì g 1 = x 1 −1 là hàm afin nên điều kiện chính quy được thỏa mãn tại mọi điểm chấp nhận được.

! Điều kiện KTT tương ứng của bài toán này là:

Giải hệ này ta được hai điểm KTT là (0,0) ứng với λ1 = 0 và (1,0) ứng với λ2 = 2 (0,0) là nghiệm cực đại toàn cục và (1,0) không là điểm cực đại hay cực tiểu địa phương.

Bài toán Quy hoạch toàn phương

Bài toán Quy hoạch toàn phương được phát biểu như sau: min f(x) = 1 2 x T Qx+c T x, với điều kiện Ax 6 b.

Trong đó: Q là ma trận cấp n×n đối xứng và nửa xác định dương, A là ma trận m×n ; b ∈ R m ;c, x ∈ R n

Theo Định lý 1.11, thay vì giải bài toán này, ta giải hệ KKT

Ví dụ 1.6 Giải bài toán minf, f(x) = 1 2 x 2 1 + 5x1 + 4x2 Với các ràng buộc x1 > 0; x2 > 0; x1 + 2x2 > 13; 2x1 + 5x2 6 100; 3x1 + 4x2 6 80.

Bài toán được viết lại: min 1 2 x 1 x 2

L= zeros(2,1); options=optimset(’Algorithm’,’interrior-point-convex’);

[x, f val]=quadrog(H,f,A,b,[ ],[ ], options)Sau khi chạy phần mềm, ta được kết quả (0; 6.5), f val = 26.

Chương 2 ĐIỀU TIẾT TỐI ƯU HỒ THỦY ĐIỆN ĐẠI NINH

Giới thiệu nhà máy thủy điện Đại Ninh

Nhà máy thủy điện Đại Ninh nằm trên địa bàn 2 tỉnh Lâm Đồng và Bình Thuận, bắt đầu hoạt động từ năm 2008, là nhà máy thủy điện có công suất phát điện đứng thứ 5 ở Việt Nam.

Hình 2.1: Cửa xả tràn nhà máy thủy điện Đại Ninh

Phân loại nhà máy thủy điện:

Nhà máy thủy điện gồm các loại: nhà máy thủy điện chiến lược đa mục tiêu; nhà máy thủy điện bậc thang; nhà máy thủy điện có hồ chứa điều tiết trên 1 tuần; nhà máy thủy điện có hồ chứa điều tiết từ 2 ngày đến 1 tuần; nhà máy thủy điện có hồ chứa điều tiết dưới 2 ngày. Đại Ninh là nhà máy thủy điện chiến lược đa mục tiêu.

Một số thông tin cơ bản:

• Mực nước chết 860 m, dung tích chết V C = 68 triệu m 3

• Mực nước dâng bình thường (MNDBT) 880 m, dung tích hồ ứng với MNDBT là V DBT = 320 triệu m 3

• Lưu lượng nước thiết kế qua tất cả các turbin là 55 m 3 /s phục vụ cho hai tổ máy phát điện

• Tổng công suất lắp đặt là 300 MW (mỗi tổ máy 150 MW).

• Dòng chảy sinh thái tối thiểu (dòng chảy tràn): 0,7 m 3 /giây Mô hình điều tiết hiện tại: Dùng biểu đồ điều phối

Hình 2.2: Biểu đồ điều phối hồ chứa thủy điện Đại Ninh

(Nguồn: Nhà máy thủy điện Đại Ninh)

Sản lượng điện những năm gần đây Chỉ tiêu công suất phát điện hằng năm: 1 200 000 000 KWh.

Trong 7 năm vừa qua, chỉ có 2 năm nhà máy đạt hoặc vượt chỉ tiêu.

Số liệu doanh thu và công suất phát điện nhà máy thủy điện Đại Ninh trong thời gian 20 ngày, từ ngày 01/12/2014 đến ngày 20/12/2014:

- Sản lượng điện: 29,7 triệu kWh.

Sơ đồ của một nhà máy thủy điện:

Năm Sản lượng điện (KWh)

Hình 2.3: Sơ đồ nhà máy thủy điện(Nguồn: www.mathworks.com)

Tính toán xác định chế độ vận hành tối ưu nhà máy thủy điện Đại Ninh ngắn hạn

Mô hình toán

Luận văn sử dụng số liệu của nhà máy thủy điện Đại Ninh tháng 12 năm 2014.

Công thức tính lượng điện năng sản xuất trong thời gian 1 giờ (Từ thời điểm t−1 đến thời điểm t) ([21])

E(t) =Q tur (t).(k 1 V (t)+V 2 (t−1) + k 2 ) (2.1)Từ (2.1) ta được công thức tổng lượng điện năng sản xuất được trong N giờ:

Q tur (t) (đơn vị: m 3 /s) là lưu lượng nước qua turbin trong thời gian [t−1; t]; k1 = 6.10 −9 , k2 = 3,5 là các hằng số phụ thuộc vào đặc tính nhà máy;

V(t) là dung tích hố chứa tại thời điểm t được tính theo công thức:

Q in (t) (đơn vị: m 3 /s) là lưu lượng nước vào hồ trong khoảng thời gian [t−1; t], đây là một trong những dữ liệu đầu vào của bài toán,

Q spill (t) (đơn vị: m 3 /s) là lưu lượng nước chảy tràn về dòng chảy sinh thái trong khoảng thời gian [t−1; t].

• Lưu lượng nước thỏa các điều kiện:

• Dung tích hồ chứa ban đầu: V0 = 304 000 000 (m 3 ) (2.7)

Các điều kiện trên được đặt ra do đặc tính của hồ chứa và của nhà máy, điều kiện (2.6) đảm bảo cho nhà máy hoạt động ổn định.

Trong mục này chúng tôi giải bài toán tối ưu nhà máy thủy điện Đại Ninh trong 20 ngày (NH0 giờ) đầu tháng 12 năm 2014.

Bài toán 2.1 Tối đa công suất phát điện của nhà máy trong 20 ngày Bài toán cực đại hóa biểu thức (2.2), tức là bài toán cực tiểu hóa f(x) được phát biểu như sau: minf(x),với f(x) =hc ∗ , xi

R 2N , x = (x 1 x 2 x N x N +1 x 2N ) T ∈ R 2N , x 1 , x 2 , , x N lần lượt là lưu lượng nước (m 3 /s) qua turbin giờ thứ 1, thứ 2, thứ N; x N +1 , x N +2 , , x 2N lần lượt là lưu lượng nước (m 3 /s) chảy tràn giờ thứ

V in (t) (đơn vị: m 3 ) là thể tích nước vào hồ trong khoảng thời gian [t−1; t] , V in (t) = 3600.Q in (t),

V out (t) (đơn vị: m 3 ) là thể tích nước ra khỏi hồ trong khoảng thời gian [t−1; t] , Vout(t) = 3600.(Qtur(t) +Qspill(t))

V(t) =V 0 +V in (1)−V out (1) +V in (2)−V out (2) + +V in (t)−V out (t). Đặt: V ∗ (t) =V 0 +V in (1) +V in (2) + +V in (t) (V t ∗ là thể tích hồ tại thời điểm t nếu không kể đến lượng nước ra khỏi hồ).

Bài toán 2.1 là bài toán Quy hoạch toàn phương: minf(x),với f(x) = 1 2 x T Qx+ hc, xi.

R 2N , x = (x 1 x 2 x N x N +1 x 2N ) T ∈ R 2N , Ta viết lại các ràng buộc để có thể sử dụng phần mềm Matlab giải Bài toán 2.1.

- Ràng buộc (2.5) được viết lại là: x t +x t+N ≥ 1⇔ −x t −x t+N ≤ −1 (t= 1, , N) (2.9) - Ràng buộc (2.6) được viết lại là:

−x t +xt+1 −xt+N +xt+1+N ≤ 1 (t= 1, , N) (2.10) và xt −xt+1+ xt+N −xt+1+N ≤1 (t = 1, , N) (2.11) - Ràng buộc (2.8):

Các ràng buộc (2.9), (2.10), (2.11), (2.12), (2.13) được viết lại dưới dạng ma trận Ax6 b, trong đó:

A là ma trận cấp 5N ×2N , b ∈ R 5N theo thứ tự gồm N số -1, 2N số 1, N số 320000000−V 0

Ràng buộc (2.14) có nghĩa là tổng lưu lượng nước ra khỏi hồ (bao gồm lưu lượng nước qua turbin và lưu lượng nước chảy tràn) bằng tổng lưu lượng nước vào hồ trong N giờ, là hằng số (là dữ liệu đầu vào của bài toán).

Cuối cùng là ràng buộc:

Như vậy ta đã mô hình hóa bài toán thực tế trở thành một bài toán quy hoạch toàn phương cỡ lớn có thể giải bằng Matlab Bài toán 2.1 với các ràng buộc:

Ta sử dụng lệnh: x = quadprog(Q, c, A, b, A eq , b eq , l b , u b ).

Trong đó c, A, b đã xác định ở trên.

Q in (t); l b = (0 0 0) T ∈ R 2N ;u b = (55 55 55 inf inf inf) T (N số 55, N kí hiệu inf ).

Kết quả tính toán

Chúng tôi sử dụng phần mềm Matlab với chức năng giải Bài toán quy hoạch toàn phương cỡ lớn trên Code được trình bày ở Phụ lục Kết quả tính toán là lưu lượng nước qua turbin, lưu lượng nước chảy tràn từng giờ, dung tích hồ theo thời gian thể hiện qua biểu đồ nhằm phục vụ việc điều khiển, giám sát hoạt động của nhà máy.

Bài toán 2.1 Tối đa công suất phát điện của nhà máy trong 20 ngàyBài toán này có ý nghĩa như sau: Dung tích hồ thủy điện đầu và cuối chu kỳ bằng nhau, sản lượng điện sản xuất được cao nhất sẽ có lợi cho nền kinh tế Trong thời gian tháng 12 năm 2014, giá mỗi KWh bán ra của nhà máy thủy điện Đại Ninh không đổi (550 đồng/KWh), nên đây cũng là phương án điều tiết tối đa doanh thu của nhà máy.

Kết quả chạy phần mềm Matlab được mô tả bởi các biểu đồ sau:

- Phương án điều khiển lưu lượng nước qua turbin tối ưu:

Hình 2.4: Biểu đồ tối ưu lưu lượng nước cho Bài toán 2.1

Trong 3 ngày đầu tiên, nhà máy giảm dần lưu lượng nước qua turbin từ mức 55 m 3 /s còn 20 m 3 /s và giữ nguyên lưu lượng nước qua turbin cho đến hết ngày thứ 20 Lượng nước xả bỏ bằng không.

- Tương ứng với phương án điều khiển lưu lượng nước qua turbin là quỹ đạo dung tích hồ chứa như sau:

Hình 2.5: Biểu đồ tối ưu dung tích hồ chứa cho Bài toán 2.1

Trong 3 ngày đầu tiên, dung tích hồ giảm từ 3,04 triệu m 3 còn 3,01 triệu m 3 , sau đó tăng dần về mức nước ban đầu.

- Khi đó biểu đồ doanh thu của nhà máy:

Hình 2.6: Biểu đồ doanh thu của nhà máy thủy điện Đại NinhBiểu đồ này giúp cho việc kiểm soát doanh thu của nhà máy Đường màu đỏ là doanh thu lý thuyết nếu lưu lượng nước vào hồ đúng bằng lưu lượng nước qua turbin, nó có giá trị tham khảo Doanh thu tối ưu trong 20 ngày đạt 17,7 tỷ đồng (so với mức thực tế đạt được là 16,3 tỷ đồng) Công suất phát điện: 32,2 triệu KWh (so với mức thực tế đạt được là 29,7 triệuKWh) Doanh thu và công suất phát điện của nhà máy có thể tăng 8,6 phần trăm so với thực tế, đồng thời nhà máy hoạt động khá ổn định nếu điều khiển nhà máy theo phương án trên.

Tính toán xác định chế độ vận hành tối ưu nhà máy thủy điện Đại Ninh dài hạn

Mô hình toán

Luận văn sử dụng số liệu của nhà máy thủy điện Đại Ninh trong các năm 2011, 2012, 2013.

Công thức tính lượng điện năng sản xuất trong thời gian 1 giờ (Từ điểm t-1 đến thời điểm t):

Từ (2.1) ta được công thức tổng lượng điện năng sản xuất được trong N giờ.

Chúng tôi giải bài toán vận hành tối ưu nhà máy thủy điện Đại Ninh trong 1 năm So với bài toán 2.1 thì bài toán ở mục này có: N60 giờ (so với NH0 giờ) và khác nhau ở giá trị V 0 Ở mục bài toán 2.1, V 0 = 304 000 000, là dung tích hồ vào đầu tháng 12 năm 2014 Trong các bài toán ở đây, V 0 = 85 000 000 là dung tích hồ vào thời điểm đầu các năm 2011, 2012 và 2013.

Hàm mục tiêu và các ràng buộc không khác bài toán 2.1.

Kết quả tính toán

Sử dụng phần mềm Matlab với phương pháp tương tự như ở bài toán 2.1, ta được phương án điều khiển tối ưu nhà máy thủy điện Đại Ninh ở mỗi năm, phụ thuộc vào điều kiện thủy văn Kết quả được trình bày dưới dạng biểu đồ lưu lượng nước qua turbin và lưu lượng nước chảy tràn như sau:

Bài toán 2.2 Điều khiển tối ưu nhà máy thủy điện Đại Ninh năm 2011 Lưu lượng nước (m 3 /s) về hồ Đại Ninh theo từng tháng trong năm 2011:

Với giả thiết lưu lượng nước về hồ Đại Ninh mỗi giờ trong mỗi tháng đều bằng mức trung bình tháng, ta có kết quả tính sau:

Hình 2.7: Biểu đồ điều khiển tối ưu nhà máy thủy điện Đại Ninh năm

Bài toán 2.3 Điều khiển tối ưu nhà máy thủy điện Đại Ninh năm 2012 Lưu lượng nước (m 3 /s) về hồ Đại Ninh theo từng tháng trong năm 2012:

Bài toán 2.4 Điều khiển tối ưu nhà máy thủy điện Đại Ninh năm 2013 Lưu lượng (m 3 /s) về hồ Đại Ninh theo từng tháng trong năm 2013:

Nhận xét về phương pháp điều tiết tối ưu hồ thủy điện Đại Ninh theo năm:

- Các tháng từ tháng 12 năm trước đến tháng 6: Nhà máy hoạt động ổn định với lưu lượng nước qua turbin trung bình: 10 đến 30 m 3 /s tùy thuộc vào năm nhiều nước hay năm ít nước Năm 2011 là năm ít nước, lưu lượng nước qua turbin trung bình trong các tháng này là 13 m 3 /s; Năm 2012 và 2013 có lượng nước về hồ trung bình, lưu lượng nước trung bình qua turbin trong các tháng này khoảng 20-24 m 3 /s Với lưu lượng nước qua turbin dưới 27 m 3 /s nhà máy chỉ cần hoạt động 1 trong 2 tổ máy và duy tu, bảo dưỡng tổ máy còn lại.

- Từ đầu tháng 7 đến giữa tháng 9, lưu lượng nước qua turbin tăng dần.

- Tháng 9 nhà máy hoạt động hết công suất thiết kế, lưu lượng nước qua turbin trung bình trong tháng 9: 40 đến 55 m 3 /s.

- Từ giữa tháng 9 đến cuối tháng 11, lưu lượng nước qua turbin giảm dần.

- Với phương án điều tiết như trình bày ở trên, ta thấy rằng lượng nước xả bỏ hầu như không có.

LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI VÀ ỨNG DỤNG VÀO VIỆC CHÀO GIÁ

CỦA NHÀ MÁY THỦY ĐIỆN

Giới thiệu lý thuyết trò chơi

Lý thuyết trò chơi nghiên cứu các tình huống ra quyết định có liên quan tới nhiều bên và các quyết định của mỗi bên ảnh hưởng tới lợi ích và quyết định của các bên khác.

Một số phương pháp phân loại trò chơi:

• Căn cứ vào khả năng hợp đồng và chế tài hợp đồng của những người chơi thì có thể chia trò chơi thành hai loại: trò chơi hợp tác và trò chơi bất hợp tác.

• Căn cứ vào thông tin và vào thời gian hành động của những người chơi Căn cứ vào thông tin thì các trò chơi có thể chia thành trò chơi với thông tin đầy đủ trò chơi với thông tin không đầy đủ Trò chơi với thông tin đầy đủ là trò chơi mà mỗi người chơi có thể tính toán được kết quả của tất cả những người còn lại Căn cứ vào thời gian hành động lại có thể chia trò chơi thành hai loại, trò chơi tĩnh và trò chơi động.

Trò chơi ở đây dùng để chỉ các tình huống vẫn thường diễn tra trong đời sống xã hội, trong lĩnh vực kinh tế, chính trị, quân sự, ngoại giao, văn hóa, có tính chất cạnh tranh.

Cân bằng Nash

Trò chơi dạng chuẩn tắc là một ma trận cho biết thông tin về các đấu thủ, chiến lược, và cơ chế thưởng phạt.

Trong trò chơi dạng chuẩn tắcG = {S 1 , S2, , Sn;u1, u2, , un}, trong đó S i và u i lần lượt là không gian chiến lược và độ thỏa dụng (mức độ hưởng thụ) của người chơi thứ i, tổ hợp chiến lược (s ∗ 1 , s ∗ 2 , , s ∗ n ) là một cân bằng Nash nếu, với mỗi người chơi i nào đó, s ∗ i (chiến lược do người thứ i lựa chọn) là phản ứng tốt nhất của người chơi này đối với các chiến lược của (n−1) người chơi còn lại (s ∗ 1 , s ∗ 2 , , s ∗ i−1 , s ∗ i+1 , , s ∗ n ), (ký hiệu là s ∗ −i ) Tức là: u i (s ∗ i , s ∗ −i ) > u i (s i , s ∗ −i )

Nhận xét: s ∗ i là nghiệm của bài toán tối ưu max s i ∈S i u i (s i , s ∗ −i ) Một chiến lược được gọi là áp đảo, thống trị khi nó là cách thức hành động tối ưu, bất chấp các đối thủ sử dụng chiến lược của họ ra sao Cân bằng Nash thì không nhất thiết phải luôn là một cân bằng ở trạng thái chiến lược thống trị.

Ta có thể minh họa cân bằng Nash thông qua ví dụ nổi tiếng "tình thế tiến thoái lưỡng nan của hai người tù" Hai kẻ bị bắt A và B, bị hỏi cung cách ly và đứng trước các lựa chọn:

- Nếu cả hai im lặng (không khai báo) thì cả hai sẽ bị kết án tù giam 3 năm;

- Nếu một kẻ khai báo và kẻ kia không khai thì kẻ khai báo được thả còn kẻ không khai báo bị kết án tù giam 8 năm;

- Nếu cả hai đều khai báo, mỗi kẻ lĩnh án 5 năm tù Hai người sẽ quyết định ra sao trong tình huống này? Ta thấy rằng, chiến lược "khai báo" sẽ mang lại lợi ích nhiều nhất trong tất cả các trường hợp.

Thật vậy, nếu A nghĩ rằng B im lặng, thì tốt nhất là nên "phản bội" B để được thả ngay, tức là khai báo Vẫn tiếp tục như vậy, khi A cho rằng B khai báo, lúc này, tốt nhất cũng phải là khai báo, vì nếu không, sẽ chịu hình phạt ở mức cao nhất là 8 năm tù Kết quả, chiến lược tối ưu đạt được luôn luôn phải là khai báo, bất chấp chúng ta bắt đầu suy luận từ A hay từ B Có thể biểu diễn các lựa chọn này qua ma trận dưới đây(số thứ nhất trong cặp số là lợi ích của A, số thứ hai là lợi ích của B). Ở đây hai cân bằng Nash xuất hiện là EN 1 =(IM LẶNG, IM LẶNG) vàE N2 =(KHAI BÁO, KHAI BÁO) Dựa trên cách lập luận ở trên, chúng ta loại E N 1 do tính không chắc chắn của cân bằng này.

Trong thực tế, các trò chơi có sự tổ chức, hợp tác với nhau, số người chơi đông Lúc này việc tìm ra trạng thái cân bằng Nash rất phức tạp.

Robert Axelrod qua các thực nghiệm với trò chơi hợp tác (nhiều người chơi; chơi nhiều vòng; mỗi chiến lược được sử dụng tại mỗi vòng để chống lại các chiến lược khác; người chơi vòng này biết được chiến lược của các đối thủ ở vòng chơi trước) đã kết luận những người chơi ít có tư tưởng hợp tác là những người có kết quả thấp nhất Ông vạch ra 4 đặc tính của một chiến lược hiệu quả như sau:

• Không là người gây hấn đầu tiên

• Độ lượng vị tha (chơi hợp tác nấu đối thủ muốn hợp tác)

• Tôn trọng đối thủ khi cho rằng họ cũng có khả năng nhận thức chính mình

Chứng thực cho 4 đặc tính này là tính vượt trội của chiến lược "ăn miếng trả miếng" Chiến lược này được tổ chức như sau: chơi hợp tác vòng đầu tiên; tiếp theo, chơi đúng chiến lược mà đối thủ vừa sử dụng ở vòng trước đó; và cứ tiếp tục như vậy cho đến lúc chấm dứt cuộc chơi thì sẽ giành được kết quả tốt Điểm mấu chốt mang lại giá trị cho chiến lược ăn miếng trả miếng nằm ở việc bắt đối thủ phải liên tục quan tâm đến chiến lược hợp tác, thay vì sử dụng chiến lược gây hấn, cạnh tranh Vì nếu không,anh ta sẽ bị trả đũa ngay trong vòng chơi kế tiếp.

Vài nét về thị trường điện cạnh tranh ở Việt Nam

Thị trường điện đã và đang phát triển rộng rãi trên thế giới, thị trường điện không chỉ dừng lại ở phạm vi lãnh thổ của một quốc gia mà đã có những thị trường điện liên quốc gia, trao đổi mua bán điện giữa các nước trong một khu vực Hiện nay có rất nhiều thị trường điện vận hành thành công tại Mỹ, Châu Âu Các nước trong khu vực ASEAN như Singapore,Philipine, Thái Lan, Malaysia đã có những bước đi tích cực trong việc xây dựng thị trường cạnh tranh của mỗi nước tiến tới việc hình thành thị trường điện khu vực ASEAN trong tương lai.

Tại Việt Nam, từ ngày 01/07/2005 thị trường điện nội bộ Tổng công ty Điện lực Việt Nam đã được hình thành với 8 nhà máy tham gia, tạo nền tảng cho các bước phát triển thị trường điện trong các giai đoạn tiếp theo.

Ngày 26/01/2006 Thủ tướng chính phủ ký quyết định số 26/2006/QĐ- TTG phê duyệt lộ trình, các điều kiện hình thành và phát triển các cấp độ thị trường điện lực tại Việt Nam.

Mục đích hình thành thị trường điện Việt Nam:

• Từng bước phát triển thị trường điện lực cạnh tranh một cách ổn định, xóa bỏ bao cấp trong ngành điện, tăng quyền lựa chọn nhà cung cấp điện cho khách hàng sử dụng điện

• Thu hút vốn đầu tư từ mọi thành phần kinh tế trong và ngoài nước tham gia hoạt động điện lực, giảm dần đầu tư của Nhà nước cho ngành điện;

• Tăng cường hiệu quả hoạt động sản xuất kinh doanh của ngành điện, giảm áp lực tăng giá điện

• Đảm bảo cung cấp điện ổn định, tin cậy và chất lượng ngày càng cao

• Đảm bảo phát triển ngành điện bền vững

Hiện nay, đang thực hiện thị trường phát điện cạnh tranh hoàn chỉnh có các đặc điểm:

• Thực hiện thị trường phát điện cạnh tranh hoàn chỉnh sau khi các điều kiện tiên quyết cho bước này đã được đáp ứng.

• Cho phép các nhà máy điện độc lập (IPP) không thuộc sở hữu của EVN tham gia chào giá để bắt đầu thị trường phát điện cạnh tranh hoàn chỉnh (theo mô hình một người mua duy nhất); các đơn vị phát điện sẽ bán điện lên thị trường thông qua các hợp đồng và chào giá cạnh tranh trên thị trường giao ngay

Mỗi nhà máy điện phải có chiến lược chào giá trong thị trường điện nhằm mục tiêu: Chủ động tối đa trong kế hoạch phát điện; tận dụng được các cơ hội phát triển và tối đa hóa doanh thu và lợi nhuận Nhà máy điện nộp bản chào giá theo từng giờ, bản chào giá bao gồm các khoảng công suất phát điện và giá chào Cơ quan chức năng sẽ huy động các nhà máy có mức giá từ thấp đến cao cho đến khi cân bằng tổng nhu cầu phụ tải và công suất phát điện trên toàn thị trường Nếu giá chào quá thấp thì Nhà máy bị lỗ, ngược lại nếu giá chào quá cao thì nhiều khả năng không được phát điện.

Áp dụng lý thuyết trò chơi trong chào giá điện 43 1 Hàm chi phí phát điện, chi phí biên, hàm mục tiêu 43 2 Áp dụng lý thuyết trò chơi vào việc chào giá điện 43

3.4.1 Hàm chi phí phát điện, chi phí biên, hàm mục tiêu

Chi phí phát điện của mỗi nhà máy điện được mô tả bằng một hàm số bậc hai:

Trong đó: C i là chi phí phát điện của nhà máy i (VNĐ)

P: công suất (MWh) a i , b i , c i : các hệ số chi phí của nhà máy i.

Chi phí biên là mức thay đổi chi phí khi nhà máy tăng sản lượng điện thêm một đơn vị Chi phí biên bằng đạo hàm của hàm chi phí. λi(P) = 2aiP +bi (3.2)

Kết hợp đặc tính chi phí biên của các nhà máy, ta có thể tạo được đặc tính chi phí biên tương đương của mọi nhà máy, để tổ hợp tất cả các nhà máy như là một nhà máy Từ đặc tính chi phí biên tổng hợp chúng ta có thể xác định chính xác công suất phân bổ tối ưu, chi phí biên và tổng chi phí phát điện thấp nhất tương ứng với từng nhu cầu phụ tải.

Hàm lợi nhuận hay hàm mục tiêu của nhà máy i là hiệu số giữa doanh thu và chi phí:

Trong đó: π i là giá bán điện của nhà máy i trên 1 đơn vị công suất phát điện.

3.4.2 Áp dụng lý thuyết trò chơi vào việc chào giá điện

Hiện nay, đối với các nhà máy thủy điện, nguyên tắc phân bố công suất theo biểu đồ phụ tải là sau khi trừ đi phần công suất phát tối thiểu bắt buộc của nhà máy thủy điện dòng sông và các tổ máy phục vụ tưới tiêu; tiếp đến là huy động để phủ đỉnh, vận hành tối ưu hệ thống.

Ta có thể chứng minh: Một nhà máy có thể tối đa hóa lợi nhuận khi chi phí biên và giá thành sản phẩm bằng nhau, khi đó hàm lợi nhuận đạt cực đại (theo Lý thuyết chi phí cận biên) Từ đó, ta thừa nhận các công ty phát điện chào giá bán điện bằng với chi phí biên với các giới hạn

P min , P max trong mỗi giờ Khi điều chỉnh độ dốc đặc tính chi phí biên (tức là điều chỉnh hệ số a i trong hàm chi phí) các nhà máy phát điện sẽ có một chi phí biên hay giá chào mới, bài toán sẽ có một phân bổ công suất mới.

Với phương pháp xác định này, các nhà máy có chi phí biên thấp sẽ được ưu tiên huy động trước, các nhà máy có chi phí biên cao có thể không được huy động Như vậy các nhà máy điện phải có chiến lược chào giá hợp lý.

Nếu chào giá quá cao, công suất huy động thấp có thể lợi nhuận sẽ thấp, ngược lại, chào giá quá thấp, công suất huy động cao nhưng lợi nhuận cũng không cao Mặt khác quyết định chào giá của một nhà máy không những chỉ ảnh hướng đến lợi nhuận của nhà máy đó mà còn ảnh hưởng đến lợi nhuận của các nhà máy khác, giống như một trò chơi.

Việc chào giá điện là để Cục điều tiết điện lực phân bố công suất phát điện của các nhà máy sao cho đạt lợi ích kinh tế cao nhất Điều kiện phân bố tối ưu công suất là chi phí biên của tất cả các nhà máy điện tham gia thị trường bằng nhau: λ 1 = λ 2 = = λ n

Khi đó thị trường phát điện đạt cân bằng Nash. Để tìm lời giải cho toàn bộ hệ thống đòi hỏi phải có thông tin về tất cả các nhà máy điện trên toàn quốc. Ở đây chúng tôi xét một ví dụ minh họa:

Ví dụ 3.1: Hai nhà máy thủy điện Đa Nhim và Đaị Ninh lần lượt có hàm chi phí phát điện như sau:

Tổng công suất cần huy động từ cà 2 nhà máy là 350 MWh Mỗi nhà máy được phân bổ bao nhiêu MWh để tổng chi phí của 2 nhà máy là nhỏ nhất biết cả hai nhà máy đều chào giá điện bằng với chi phí biên mỗi nhà máy Giải Chi phí biên của mỗi nhà máy là: λ DN h (P 1 ) = (4,6.P 1 + 321).10 3 λ DN i (P 2 ) = (3,6.P 2 + 353).10 3

Phương án chào giá của nhà máy thủy điện Đa Nhim: Giá mỗi MWh (ngàn đồng) điện ứng với công suất phát điện P (MWh) là: 4,6.P 1 + 321.

Phương án chào giá của nhà máy thủy điện Đại Ninh: Giá mỗi MWh(ngàn đồng) điện ứng với công suất phát điện P (MWh) là: 3,6.P 2 + 353.

Với điều kiện λ DN h (P 1 ) = λ DN i (P 2 ) và điều kiện cân bằng công suất ta được hệ phương trình:

Ta được nghiệm của hệ phương trình: P 1 = 157,6; P 2 = 192,4.

Phân tích ví dụ Với nghiệm nhận được, kết quả: Chi phí phát điện, giá bán điện, doanh thu, lợi nhuận của mỗi nhà máy trong 1 giờ là:

Nhà máy Chi Phí Giá 1 MWh Doanh thu Lợi nhuận Đa Nhim 111739448 1045960 164843296 53103848 Đại Ninh 139485168 1045640 201181136 61695968

Tổng chi phí 2 nhà máy: 251224616 đồng.

Tổng doanh thu 2 nhà máy: 366024432 đồng.

• Để làm rõ phương án trên đảm bảo tổng chi phí phát điện của 2 nhà máy là nhỏ nhất, ta xét 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1 Tăng công suất phát điện cho nhà máy Đa Nhim lên 170 MWh, giảm công suất phát điện của nhà máy Đại Ninh còn 180 MWh.

Trường hợp 2 Giảm công suất phát điện cho nhà máy Đa Nhim xuống 145 MWh, tăng công suất phát điện của nhà máy Đại Ninh lên 205 MWh.

Như vậy ở cả hai trường hợp 1 và 2 trên, tổng chi phí của 2 nhà máy đều tăng và tổng doanh thu 2 nhà máy đều tăng (tức là số tiền phải trả cho cùng một công suất phát điện là 350MWh tăng) gây lãng phí cho các nhà máy và cho xã hội.

Nhận xét: Bài toán phân bổ công suất phát điện ở ví dụ 3.1 có thể xem là bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến: f(P 1 , P 2 ) 2,3.P 1 2 + 321.P 1 + 4023).10 3 + 1,8.P 2 2 + 353.P 2 + 4936 với điều kiện P 1 ≥ 0, P 2 ≥ 0, P 1 + P 2 = 350 Nghiệm nhận được cũng là kết quả trên Trường hợp bài toán có hơn 2 biến, ta có thể giải bằng phương pháp nhân tử Lagrange.

• Để chứng thực rằng nghiệm nhận được ở trên là cân bằng Nash, ta xét 2 trường hợp: một trong hai nhà máy phá vỡ thế cân bằng bằng cách tăng giá hoặc giảm giá bán điện, tức là tăng hay giảm hệ số a trong hàm chi phí Trong thực tế hàm chi phí của nhà máy đó không thay đổi (Tức là thay đổi "giả tạo" để chào với giá cao hơn hay thấp hơn chi phí biên)

Trường hợp 3 Nhà máy Đại Ninh thay đổi hàm chi phí, hệ số a tăng từ 1,8 lên 2, hàm chi phí mới của nhà máy Đại Ninh là:

Trong khi đó nhà máy Đa Nhim không thay đổi hàm chi phí, tức là không thay đổi chiến lược chào giá điện:

Ta được hệ phương trình:

P 1 = 166,5 P 2 = 183,5 Nhà máy Đại Ninh tăng giá chào, nên bị giảm công suất phát điện.

Khi đó ta được chi phí, giá điện, doanh thu, lợi nhuận của 2 nhà máy như sau:

Trường hợp 4 Nhà máy Đại Ninh thay đổi hàm chi phí, hệ số a giảm từ 1,8 xuống 1,6, hàm chi phí mới của nhà máy Đại Ninh là:

Trong khi đó nhà máy Đa Nhim không thay đổi hàm chi phí, tức là không thay đổi chiến lược chào giá điện:

Ta được hệ phương trình:

P 1 = 147,7 P 2 = 202,3 Nhà máy Đại Ninh giảm giá chào, nên được tăng công suất phát điện.

Khi đó ta được chi phí, giá điện, doanh thu, lợi nhuận của 2 nhà máy như sau:

Nhận xét 2 trường hợp 3 và 4:

- Trường hợp 3: Lợi nhuận của cả 2 nhà máy đều tăng, tuy nhiên tổng chi phí phát điện của cả 2 nhà máy tăng gây lãng phí cho xã hội, doanh thu tăng đột biến, người sử dụng điện phải trả giá cao, gây ảnh hưởng tiêu cực đến nền kinh tế Hai nhà máy được tăng lợi nhuận nhưng không bền vững Điều này tương tự như ví dụ "tình thế tiến thoái lưỡng nan của hai người tù" khi cả hai đều không khai báo Nhà quản lý cần để ý tình huống các nhà máy điện bắt tay nhau cùng tăng giá chào bán điện để có biện pháp ngăn chặn.

- Trường hợp 4: Lợi nhuận của cả 2 nhà máy đều giảm, tổng chi phí phát điện của cả 2 nhà máy tăng gây lãng phí.

• Để thấy rõ lợi ích của việc áp dụng đồng thời: Điều tiết tối ưu, Lý thuyết trò chơi và Lý thuyết chi phí cận biên trong việc chào giá ta xét Trường hợp 5 như sau:

Tiêu đề	Ứng dụng lý thuyết tối ưu và lý thuyết trò chơi vào bài toán thủy điện
Tác giả	Nguyễn Ngọc Bảo
Người hướng dẫn	TS. Lê Xuân Đại
Trường học	Đại học Quốc gia TP. HCM
Chuyên ngành	Toán Ứng dụng
Thể loại	Luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2015
Thành phố	TP. Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	64
Dung lượng	687,4 KB