Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng: Thuật toán sinh lưới đa giác và ứng dụng để giải phương trình đạo hàm riêng

NGUYỄN THỊ KIM DUYÊN

THUẬT TOÁN SINH LƯỚI ĐA GIÁC

VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠOHÀM RIÊNG

POLYGONAL MESH GENERATION ALGORITHMAND ITS APPLICATION TO SOLVE PARTIAL

DIFFERENTIAL EQUATION

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNGMã số: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN THỊ KIM DUYÊN

THUẬT TOÁN SINH LƯỚI ĐA GIÁC

VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠOHÀM RIÊNG

POLYGONAL MESH GENERATION ALGORITHMAND ITS APPLICATION TO SOLVE PARTIAL

DIFFERENTIAL EQUATION

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNGMã số: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Cán bộ hướng dẫn khoa học 1: TS.ĐẶNG LÊ QUANG

Cán bộ hướng dẫn khoa học 2: TS.LÊ XUÂN ĐẠI

Cán bộ chấm phản biện 1: TS.NGUYỄN BÁ THI

Cán bộ chấm phản biện 2: PGS.TS.NGUYỄN HUY TUẤN

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQGTP HCM ngày 27 tháng 12 năm 2021

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

1 Chủ tịch: PGS.TS.NGUYỄN ĐÌNH HUY

2 Thư ký: TS.ĐẶNG VĂN VINH

3 Phản biện 1: TS.NGUYỄN BÁ THI

4 Phản biện 2: PGS.TS.NGUYỄN HUY TUẤN

5 Ủy viên: TS.CAO THANH TÌNH

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyênngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS.TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: NGUYỄN THỊ KIM DUYÊN Mã số học viên: 2070238Ngày, tháng, năm sinh: 21/12/1995 Nơi sinh: TP Hồ Chí MinhChuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112

I TÊN ĐỀ TÀI: THUẬT TOÁN SINH LƯỚI ĐA GIÁC VÀ ỨNGDỤNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:- Kiến thức cơ sở.

- Xậy dựng thuật toán sinh lưới đa giác từ lưới tam giác.- Giải phương trình Laplace với lưới đa giác.

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ:

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ:

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1: TS Đặng Lê Quang.CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2: TS Lê Xuân Đại.

Tp HCM, Ngày tháng năm

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2(Họ tên và chữ ký) (Họ tên và chữ ký)

TS ĐẶNG LÊ QUANG TS LÊ XUÂN ĐẠI

TRƯỞNG BM TOÁN ỨNG DỤNG TRƯỞNG KHOA(Họ tên và chữ ký) (Họ tên và chữ ký)

TS NGUYỄN TIẾN DŨNG PGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN

Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy Đặng Lê Quang và thầy LêXuân Đại, người đã nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luậnvăn Bên cạnh đó, tôi cũng xin chân thành cám ơn gia đình tôi, ba mẹ vàanh hai đã luôn ủng hộ tôi trên con đường học tập.

Tôi xin gửi lời cảm ơn các thầy, cô trong Bộ môn Toán Ứng Dụng,Khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốcgia Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoànthành luận văn của mình.

Cuối cùng, trong quá trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của tất cả thầy cô trong Hộiđồng.

Tp Hồ Chí Minh, 16 tháng 11 năm 2021Tác giả

Nguyễn Thị Kim Duyên

Nội dung của luận văn gồm hai vấn đề chính như sau:

1 Thuật toán sinh lưới đa giác từ lưới tam giác.2 Áp dụng lưới đa giác để giải phương trình Laplace.

In this thesis, there are two main problems as follow:

1 Algorithm which generates a polygonal mesh.

2 Solving the Laplace equation with a polygonal mesh.

Tôi tên là Nguyễn Thị Kim Duyên, mã học viên: 2070238, học viêncao học chuyên ngành Toán Ứng Dụng thuộc Bộ môn Toán ứng dụng,Khoa Khoa học ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa - Đại học quốc giaThành phố Hồ Chí Minh Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kết quảtham khảo từ các công trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, các vấnđề trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện dưới sự hướngdẫn của TS.Đặng Lê Quang và TS Lê Xuân Đại và tôi hoàn toàn chịutrách nhiệm tính trung thực về đề tài nghiên cứu này.

Tp Hồ Chí Minh, ngày 16 tháng 11 năm 2021Học viên thực hiện

Nguyễn Thị Kim Duyên

2.2 Thành lập cơ sở dữ liệu 10

2.3 Mô tả chi tiết với các đối tượng 11

Chương 3 THUẬT TOÁN SINH LƯỚI ĐA GIÁC 153.1 Phương pháp luận 15

3.2 Sinh lưới tam giác 18

3.3 Sinh lưới đối ngẫu 19

3.3.1 Nút đối ngẫu 20

3.3.2 Cạnh đối ngẫu 21

3.4 Sự lựa chọn điểm điều khiển 233.5 Lưới đa giác trên những miền hình học khác nhau 253.6 Thời gian sinh lưới 28Chương 4 ỨNG DỤNG LƯỚI ĐA GIÁC GIẢI MỘT SỐ

4.1 Phương trình Laplace cơ bản 294.2 Ứng dụng của phương trình laplace trong mô phỏng tính toán

chất lưu 35

Phương pháp thể tích hữu hạn (Finite Volumn Method (FVM)) là mộttrong những phương pháp số được sử dụng phổ biến để tìm nghiệm xấp xỉcho hầu hết các phương trình đạo hàm riêng Đặc biệt,phương pháp nàytìm nghiệm xấp xỉ rất tốt cho các phương trình trong lĩnh vực cơ học chấtlưu Hơn nữa, phương pháp này được hầu hết các công ty phần mềm môphỏng lớn trên thế giới ưa chuộng như ANSYS (FLUENT), SIEMENS(STAR-CCM+)

Hầu hết các lý thuyết trước đây đều xây dựng cơ sở lý thuyết tốt cholưới tam giác (tetrahedral) hay lưới tứ giác (quadrilaterals) trong bài toánhai chiều [1], [2], [3] Lưới tam giác và lưới hình chữ nhật còn có thể đượcdễ dàng tạo ra một cách tự động Tuy nhiên, việc sinh lưới tự động trênnhững miền tính toán phức tạp thì kết quả bài toán thu được không đượctốt.

Lưới tam giác phù hợp cho những bài toán có miền tính toán phức tạp,dễ dàng hiệu chỉnh lưới Ngoài những mặt tích cực trên, lưới tam giácvẫn còn tồn tại một số bất cập Việc áp dụng tính toán trên lưới tam giácthì tốn kém chi phí, loại lưới này không được sử dụng trong tính toán ởnhững miền gần lớp biên Hơn nữa, với lưới tam giác, mỗi phần tử chỉ cónhiều nhất là 3 phần tử kế bên, tính chất này gây khó khăn trong việctính toán phần tử gradient trong phương trình dạo hàm riêng Vì vậy,khi sử dụng lưới tam giác, các nhà khoa học luôn phải đối mặt với nhữngvấn đề liên quan đến sự hội tụ của bài toán, khả năng thu được nghiệmxấp xỉ tốt nhất.

Trong một số nghiên cứu gần đây, lưới hình chữ nhật (quadrilateralmesh) được sử dụng và cho kết quả xấp xỉ tốt, nghiệm dễ dàng hội tụ.

tính toán phức tạp, hơn nữa việc hiệu chỉnh lưới trở nên rất khó khăn.Lưới đa giác được đề xuất như là một phương pháp nhằm hạn chếnhững điểm không tốt của lưới tam giác và phát huy những điểm mạnhcủa lưới hình chữ nhật Lưới đa giác được ứng dụng trong bài toán môphỏng trong lĩnh vực sản xuất ô tô, hàng không, kĩ thuật xây dựng, [11] Lưới đa giác có số đỉnh và số cạnh bất kì, tính chất này khiến lưới phùhợp cho các miền hình học phức tạp Lưới đa giác được sử dụng linh hoạthơn lưới tam giác, ít vi phạm các tiêu chuẩn thiếu đối xứng (skewness)của lưới Vì vậy, lưới đa giác được mong đợi sẽ cho kết quả tính toán tốtnhư lưới hình chữ nhật Một ưu điểm khác của lưới đa giác chính là tínhchất sau: một phần tử có thể liên kết được rất nhiều phần tử khác nhau,việc này rất có lợi cho việc tính toán phần tử gradient [4].

Trong những năm 1992, Ghosh và Mukhopadhyay [9] sử dụng lưới đagiác với phương pháp phần tử hữu hạn trong việc tính toán mô phỏngvật liệu sắt đa tinh thể Vào năm 2000, W Oaks và S Paoletti [8] đềxuất một thuật toán sinh lưới đa giác đều từ lưới hình hộp chữ nhật Tuynhiên, trong nghiên cứu này, thuật toán sinh lưới khá phức tạp và khôngcó tính ứng dụng cao trong một vài miền tính toán.

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu một thuật toán để sinh lướiđa giác từ một một lưới tam giác bất kì, kèm theo lớp biên, và sau cùngchúng tôi sẽ giải một phương trình đạo hàm riêng Laplace đơn giản trênlưới đa giác đã sinh ra Nội dung của luận văn gồm 4 chương:

Chương 1 cung cấp những khái niệm cơ bản về phương pháp thể tíchhữu hạn.

Chương 2 trình bày chi tiết về cách quản lý dữ liệu trong thuật toánsinh lưới.

Chương 3 trình bày về thuật toán sinh lưới đa giác, cách chọn điểm

Chương 4: Ở chương này, chúng tôi sẽ giải phương trình đạo hàm riêngtrên một miền hình chữ nhật đơn giản.

Mục đích nghiên cứu: Luận văn này nhằm nghiên cứu thuật toánsinh lưới đa giác từ lưới tam giác trên những miền hình học khác nhau.

Đối tượng nghiên cứu: Cách sinh lưới trên miền tính toán bất kìkèm theo lớp biên.

Phương pháp nghiên cứu: kế thừa và phát triển các kỹ thuật đã cócủa các tác giả đi trước.

Nội dung và phạm vi của vấn đề sẽ nghiên cứu: Ngoài phần lờimở đầu và kết luận, chúng tôi chia luận văn thành bốn chương.

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi xin nhắc lại một số kiến thức cơ sở củaphương pháp thể tích hữu hạn, nội dung của chương này được tham khảotừ [12] và [13].

1.1 Định nghĩa

Xét miền Ω được bao phủ bởi lưới tam giác, chúng tôi ký hiệu lưới nàylà lưới P, các phần tử lưới là Pj, j ∈ [j, J ], trong đó J là số phần tử củalưới ban đầu Từ lưới này chúng tôi sẽ sinh lưới đa giác D, các phần tửcủa lưới này là Di, i ∈ [1, I] Trong lưới đa giác này, chúng ta có các cạnh

Ak, k ∈ [1, K], K là số cạnh trong lưới, ứng với mỗi cạnh chúng ta sẽ cóvector pháp tuyến nk, và vecto tiếp tuyến là τk.

Chúng tôi sẽ gọi tên lưới ban đầu là T Với lưới T, chúng tôi thiết lậpmột số định nghĩa như sau: nút ban đầu, cạnh ban đầu, phần tử ban đầu.Bên cạnh đó, chúng tôi gọi lưới với các phần tử được sinh ra ứng vớicác phần tử trong lưới T là D Với lưới D, chúng tôi thiết lập một sốđịnh nghĩa như sau: nút đối ngẫu, cạnh đối ngẫu, phần tử đối ngẫu.

1.2 Phương pháp thể tích hữu hạn trên một lưới bất kì

Chúng tôi xin nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong phương phápthể tích hữu hạn.

Xét bài toán Laplace:

−∆u = f trên Ω, (1.1)Vì miền Ω được rời rạc thành những phần tử Di, nên chúng tôi sẽ xétbài toán trên những phần tử Di này.

Trên mỗi phần tử Di, chúng ta xét phương trình Laplace như sau:

−∆u = f trên Di (1.2)Lấy tích phân 2 vế ta được:

− 1|Di|

∇ · ∇udx = 1|Di|

∇ · ∇udx = 1|Di|

∇u ·ndS= 1

• d(xk,xi) là khoảng cách giữa 2 điểm điều khiển thứ k và thứ i.• Trong trường hợp i là phần tử nằm trên biên, giá trị của k là không

xác định, thì vị trí của điểm điều khiển xk được xác định bằng cáchlấy trung điểm của của cạnh Ak, nghĩa là:

xk = xm+xn

Với xm và xn là 2 điểm nằm trên cạnh Ak.

Tiếp theo, chúng ta xét vế phải biểu thức (1.2):

f dx = f (xi) (1.6)Với công thức rời rạc (1.4) và (1.6) ta được:

Với A ∈ MN ×N, B ∈RN,1, U ∈ B ∈RN,1

Aij = 1|Di|.

Với bài toán Laplace như trên, tùy theo điều kiện biên Diriclet hayNeumann, chúng ta sẽ có những cách xấp xỉ trên biên khác nhau.

• Với điều kiện Dirichlet, giả sử bài toán có điều kiện biên nhau:

u(x) = g(x) trên ∂Ω (1.10)giá trị uk được tính như sau:

• Với điều kiện Neumann, giả sử bài toán có điều kiện biên nhau:

∇u(x) = h(x) trên ∂Ω (1.12)thì ta có xấp xỉ như sau:

−(ui− uk)

d(xk,xi) = hk (1.13)

Với hk là giá trị trung bình của h trên cạnh Ak:

hk = 1|Ak|

|Ak|uk · τki (1.16)

Trong đó τki chính là vector tiếp tuyến của cạnh Ak.

1.4 Sự lựa chọn điểm điều khiển trong phương pháp thể tíchhữu hạn với lưới tam giác

Nếu như với một lưới cấu trúc, tất cả các phần tử là hình chữ nhậthoặc hình vuông thì chúng ta dễ dàng lấy điểm điều khiển của phần tửbằng cách chọn điểm trọng tâm của hình Tuy nhiên, với lưới tam giáchay lưới tứ giác thì việc chọn nút điều khiển để cho được kết quả xấp xỉtốt là điều hết sức khó khăn.

Nội dung mục này được tham khảo từ tài liệu [12].

Với mỗi phần tử Di, ta có cạnh Ak là cạnh chung giữa phần tử Di vàphần tử Dk (Hình 1.1) Một lưới được chấp nhận trong phương pháp thểtích hữu hạn nếu thõa các điều kiện sau đây:

• Đường thẳng nối 2 điểm điều khiển xi và xk phải luôn vuông góc vớicạnh Ak

Hình 1.1: Phần tử Di có cạnh chung Ak với phần tử Dk

Hình 1.2: Lưới được chấp nhận

Hình 1.3: Lưới không được chấp nhận

• Trong trường hợp phần tử Di có một cạnh nằm trên biên của Ω , thìhình chiếu vuông góc của điểm điều khiển xi phải đi qua cạnh Ak.

2.1 Các đối tượng hình học trong lưới

Thông tin về cấu trúc lưới cho chúng ta về cái nhìn tổng quát về lướicũng như về miền hình học tính toán đang xét Thông tin này nói về mốiquan hệ giữa các đối tượng trong lưới Trong tính toán một chiều các đốitượng sẽ chỉ là nút và cạnh Trong tính toán hai chiều, chúng ta sẽ quantâm đến ba đối tượng đó là: nút, cạnh và phần tử (face hoặc facets) Đặcbiệt, trong tính toán ba chiều, chúng ta cần phải quản lý dữ liệu cho 4

đối tượng: nút, cạnh, mặt (face hoặc facets), và phần tử (cell, volumes,regions hoặc solids), thuật ngữ "phần tử" cho lưới 2D khác với lưới 3D,"phần tử" trong 2 chiều là đối tượng được tạo ra bởi các cạnh, ngược lại"phần tử" trong 3 chiều là đối tượng được tạo ra bởi các mặt, các mặtnày được tạo ra bởi các cạnh Trong luận văn này, chúng tôi hướng đếnviệc sinh lưới đa giác trong miền tính toán hai chiều, do đó cơ sở dữ liệuđược thiết kế cho ba giá trị là nút, cạnh và phần tử.

2.2 Thành lập cơ sở dữ liệu

Mỗi đối tượng hình học được cấu thành từ đối tượng có cấp thấp hơnmột bậc Phần tử được tạo thành bởi các cạnh, cạnh được tạo thànhbởi 2 nút, và thông tin về 1 nút là tọa độ của nút này Mối quan hệ nàychính là nền tảng để chúng tôi thiết kế cấu trúc dữ liệu cho lưới Như

Hình 2.1: Mối liên hệ giữa các đối tượng

vậy, nhìn vào hình 2.1, chúng tôi thấy được rằng, trong lưới tính toán 2chiều, chúng ta có bốn mối quan hệ, ứng với mỗi mối quan hệ chúng tôisẽ tạo ra một mảng hai chiều (cấu trúc mảng hai chiều trong ngôn ngữlập trình C++,) để xử lý Mối quan hệ (1), (2) là mối quan hệ từ phầntử cấp cao đến phần tử cấp thấp, và mối quan hệ (3),(4) là mối quan hệtừ phần tử cấp thấp đến phần tử cấp cao.

Lưu ý rằng, chúng tôi không sử dụng mối quan hệ giữa các đối tượngcùng cấp với nhau nhằm làm giảm khối lượng lưu trữ tính toán Dựa vàohình 2.1, chúng tôi sẽ mô tả cách truy vấn dữ liệu như sau:

• Từ chỉ số của một cạnh, chúng tôi có thể biết được thông tin của hainút tạo ra cạnh này (quan hệ (1)).

• Từ thông tin về một nút, chúng tôi có thể truy vấn thông tin củamột cạnh được tạo thành bởi nút này (quan hệ (4)).

• Bên cạnh đó, thông qua chỉ số của phần tử chúng tôi biết được chỉsố của các cạnh tạo ra phần tử này.

• Tương tự như vậy, từ chỉ số của một cạnh, chúng tôi cũng sẽ truyvấn được thông tin về chỉ số của hai phần tử có chung cạnh này.Trong mục tiếp theo, chúng tôi sẽ mô tả chi tiết về các đối tượng dữ liệu(mảng 2 chiều) sẽ được sử dụng trong thuật toán.

2.3 Mô tả chi tiết với các đối tượng

Như đã đề cập trong mục trước, những mối quan hệ trong hình 2.1 sẽtrở thành một mảng hai chiều trong cấu trúc code Như vậy, chúng ta sẽkhởi tạo bốn mảng 2 chiều theo cấu trúc sau:

• Ứng với mối quan hệ (1), chúng tôi đặt tên là mảng 1, mảng nàychứa thông tin về chỉ số của các cạnh có chung một nút ( hình 2.2).Ví dụ, dòng thứ nhất của mảng sẽ chứa thông tin về các chỉ số củacác cạnh được tạo thành bởi nút 1 Một cách tổng quát, ta có dữ liệuở dòng thứ i sẽ chứa thông tin về chỉ số của các cạnh mà cạnh đóđược tạo thành bởi nút thứ thứ i.

• Ứng với mối quan hệ (4), chúng tôi đặt tên là mảng 2, mảng nàychứa thông tin về chỉ số của các nút có chung một cạnh (hình 2.3).

• Vê mối quan hệ (3), chúng tôi có mảng 4 để truy vấn thông tin vềcác phần tử có chung một cạnh bất kì trong lưới (hình 2.5) Chúngta sẽ biết được chỉ số của hai phần tử có chung cạnh i dựa vào thôngtin của dòng i.

Bên cạnh đó, chúng tôi cần khởi tạo một mảng chứa tọa độ của của cácnút trong lưới (tạm gọi là mảng 5) Ngoài ra , chúng tôi còn xây dựngcác mảng một chiều để đánh dấu các chỉ số trên biên cho phần tử, nútvà cạnh.

Trong thuật toán sinh lưới đa giác từ lưới tam giác, trong trường hợplưới ban đầu chứa lưới lớp biên (nghĩa là trong lưới vừa tồn tại lưới tam

Hình 2.3: Mảng 2

Hình 2.4: Mảng 3

Hình 2.5: Mảng 4

giác và lưới tứ giác) thì chung ta phải xây dựng một mảng một chiều đểphân biệt chỉ số giữa phần tử tam giác và phần tử tứ giác.

3.1 Phương pháp luận

Như đã đề cập từ trước, thuật toán này sinh lưới này được sinh ra từlưới tam giác có sẵn, do đó hình dạng của phần tử tam giác đóng vai tròquan trọng trong việc hình thành hình dạng của phần tử đa giác Mỗiphần tử đa giác trong lưới mới sẽ ứng với phần tử tam giác lúc đầu Chotrước một lưới 2D như hình 3.1, chúng ta thấy được sự tương quan giữalưới tam giác và lưới đa giác Đối với những phần tử nằm bên trong miềntính toán ta thấy được sự tương quan giữa các đối tượng trong lưới mộtcách rõ rệt: ứng với mổi điểm của lưới ban đầu ta sẽ sinh ra được mộtphần tử mới cho lưới mới, ứng với mỗi cạnh của lưới ban đầu chúng tasẽ có được một cạnh cho lưới lúc sau, và ứng với một phần tử của lưới

Hình 3.1: Lưới tam giác và sự tương ứng giữa lưới tam giác và lưới tứ giác [4]

đầu vào ban đầu sẽ sinh ra được một nút cho lưới đầu ra lúc sau Tuynhiên, sự sinh lưới trên những phần tử thuộc lớp biên của miền tính toánthì khác biệt so với các phần tử còn lại Chúng tôi xin phép mô tả thuậttoán sinh lưới đa giác từ lưới tam giác một cách tổng quát như sau [4]:

1 Các nút của lưới D được sinh ra bởi các nút điều khiển của lưới T.2 Phần sinh nút điều khiển cho lưới đa giác lúc sau trên biên có phần

khác biệt so với những nơi khác trên miền tính toán Trên các cạnhthuộc lớp biên của miền tính toán, các nút của lưới D chính là trungđiểm của các cạnh này.

3 Giao điểm của các biên thuộc miền tính toánΩ được xem như là mộtnút của lưới tam giác T và đồng thời cũng được gọi là nút của lướiđa giác D.

4 Với một cạnh bất kì không nằm trên biên của lưới của miền tính toán

Ω, ta có hai phần tử có chung cạnh này, nối hai điểm điều khiển của

hai phần tử này ta sẽ được một cạnh cho lưới D.

5 Đối với cạnh nằm trên biên của miền tính toán Ω, ta nối trung điểmcủa cạnh này và nút điều khiển trên phần tử chứa cạnh này để đượcthêm một cạnh mới cho lưới đa giác D.

6 Đồng thời, cạnh của lưới đa giác D cũng được tạo ra bằng cách nốitrung điểm của cạnh biên và nút điều khiển trên biên thuộc cạnhnày.

7 Các phần tử nằm bên trong của lưới đa giácD được tạo ra bằng cáchkết hợp những cạnh những cạnh đối ngẫu (được tạo ra từ bước 4).8 Bên cạnh đó, với những nút đối ngẫu trên cạnh biên đối ngẫu kết

hợp lại cũng sinh ra một phần tử đối ngẫu.

Như vậy, hình 3.1 cho ta thấy rằng, các nút đỗi ngẫu mới được tạo ra hầunhư đều bao quanh các nút ban đầu, mỗi cạnh ban đầu sẽ sinh ra mộtcạnh đối ngẫu và cạnh thuộc lớp biên của miền thì sẽ sinh ra ba cạnh đốingẫu, một nút ban đầu sẽ sinh ra được một phần tử đối ngẫu.

Chúng tôi có các kết luận như sau:

ned = nep + 2.nbEp, (3.2)

nvd = nf p + 2.nbEp (3.3)Trong đó:

• ned: Số cạnh trong lưới đối ngẫu

• nedp: Số cạnh trong lưới ban đầu.

• nbEp: Số cạnh trên lớp biên trong lưới ban đầu.

• nf d: Số phần tử trong lưới đối ngẫu

• nvp: Số nút trong lưới ban đầu.

• nf p: Số phần tử tam giác trong lưới ban đầu.

Trong trường hợp lưới ban đầu bao gồm cả lưới lớp biên, thì chúng tôicó kết luận như sau:

ned = nep + 2.ninterEp+ nqEp, (3.5)

nvd = nf p + 2.ninterEp+ nqV p, (3.6)Trong đó:

• ninterEp: số cạnh là cạnh chung giữa phần tử tam giác và tứ giác.

• nqEp: số cạnh thuộc phần tử tứ giác mà không phải là cạnh chunggiữa phần tử tam giác và tứ giác.

• nqV p: số nút trên thuộc phần tử tứ giác mà không nằm trên phần tửtam giác.

Bài [4] cho chúng ta biết rằng còn có một cách tạo ra lưới đa giác bằngcách sử dụng thêm trung điểm của cạnh ban đầu xem như là nút đốingẫu, tuy nhiên cách lấy này không cho được kết quả tốt khi làm xuấthiện một số hình dạnh của phần tử đa giác là hình lõm hình 3.2 Phầntử có dạng hình lõm thì không được ưa chuộng trong các phương pháptính, bởi vì nó cho sự xấp xỉ không tốt Hơn nữa, chúng gây khó khăntrong việc lập trình sinh lưới Tuy nhiên cách chọn này lại rất hữu íchtrong việc tạo lưới lớp biên trong mô hình tính toán 3 chiều - nơi mà đòihỏi ròi rạc mô hình tính toán tốt [4].

3.2 Sinh lưới tam giác

Như đã đề cập từ trước, chất lượng lưới ban đầu đóng vai trò quantrọng trong việc quyết định chất lượng lưới lúc sau Trong luận văn này,

Hình 3.2: Sự sinh lưới bằng cách lấy thêm trung điểm của cạnh ban đầu xem như là nút đối ngẫu

chúng tôi sử dụng lưới tam giác ban đầu là lưới được sinh ra từ phầnmềm ANSYS Workbench Chất lượng lưới sinh ra từ phần mềm này khátốt và được hầu hết các kĩ sư sử dụng chúng trong mô phỏng tính toáncơ học chất lưu

Sau khi sử dụng phần mềm ANSYS Workbench, thông tin về lưới đượclưu trong file.msh.

Cấu trúc file tử Ansys cho chúng tôi là mối quan hệ (1), (3), và thôngtin về tọa độ của các nút Việc sinh lưới đa giác từ lưới tam giác đòi hỏiphải có cấu trúc cơ sở dữ liệu như đã trình bày ở mục 2.3, do đó chúngtôi phải đi qua bước tiền xử lý để có được đầy đủ các thông tin cần thiếtcho việc sinh lưới đối ngẫu.

3.3 Sinh lưới đối ngẫu

Trong mục này chúng tôi xin trình bày cách tạo ra các nút, cạnh vàphần tử cho lưới đối ngẫu Trong luận văn này, chúng tôi xin đi thẳng