Lý thuyết ma trận xác định dương
Các định nghĩa cơ bản
Định nghĩa 1.1.1 Ma trận A T = (a ij ) n×m được gọi là chuyển vị của ma trận
A = (a ij ) m×n từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma trận A thành cột của ma trận chuyển vị.
Định nghĩa 1.1.2 Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông B sao cho AB = BA = I Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A.
AA −1 = A −1 A = I Định nghĩa 1.1.3 Ma trận A cấpn × n được gọi là ma trận đối xứng nếu A T = A haya ij = a ji , với i = 1 n, j = 1 n.
A T là ma trận chuyển vị của ma trận A. Định nghĩa 1.1.4 Ma trận vuông A n×n , được gọi là ma trận trực giao (ma trận vuông góc) nếu A −1 = A T
Từ định nghĩa, ta có: AA −1 = AA T ⇐⇒ AA T = I
Ma trận A là trực giao khi tích của nó và chuyển vị A T bằng ma trận đơn vị I cấp n Ma trận A chéo hóa được nếu có thể biến đổi thành ma trận chéo bằng cách nhân với ma trận khả nghịch P và ma trận chéo D Trường hợp đặc biệt, ma trận A chéo hóa trực giao nếu có thể chuyển đổi thành ma trận chéo bằng cách nhân với ma trận trực giao sang trái và phải Ma trận chuyển vị liên hợp A ¯ ′ là chuyển vị của ma trận A, trong đó mỗi phần tử được thay thế bằng số phức liên hợp của nó.
Kí hiệu: A ¯ ′ = A ∗ Định nghĩa 1.1.8 Ma trận U, được gọi là ma trận Unita nếu I = U ∗ U.
Trong đóI là ma trận đơn vị, U ∗ là ma trận chuyển vị liên hợp của U.
Nếu U là ma trận Unita thì U khả nghịch. detU = ±1, trong đó, detU là định thức của ma trận U vì:
1 = detI = det(U ∗ U ) = detU ∗ detU = (detU ) 2 Định nghĩa 1.1.9 Ma trận thỏa điều kiện A = ¯ A ′ được gọi là ma trận Hermite. Định nghĩa 1.1.10 Cho ma trận A, nếu λ và vector x thỏa phương trình
Ax = λx, x ∈C n , x ̸= 0, λ ∈ C (1.1) λ được gọi là trị riêng của A x được gọi là vector riêng của A ứng với trị riêng λ.
Ma trận đối xứng thực A có thể đưa về dạng đường chéo thông qua phép biến đổi trực giao Điều này có nghĩa là luôn tồn tại một ma trận trực giao T sao cho khi nhân T chuyển vị với AT, ta thu được ma trận đường chéo dạng diag(λ1, λ2, , λn), trong đó λi là các trị riêng của A.
Trong đó λ i là các trị riêng của ma trận A. Định nghĩa 1.1.11 Cho hai ma trận A và B, ma trận A và B được gọi là đồng dạng (A similar to B) nếu có một ma trận T sao cho B = T −1 AT.
Định nghĩa 1.1.12 Cho tập hợp V khác rỗng Các phần tử của tập V qui ước gọi là các vector Trong V xác định hai phép toán: phép cộng hai vector và phép nhân hai vector với một số α ∈K.
Tập hợp V với hai phép toán trên được gọi là không gian vector trên tập K Kí hiệu Kk gv, nếu 10 tiên đề sau thỏa:
5 Trong V tồn tại vector được gọi là vector không.
6 ∀x ∈ V, ∃x 1 ∈ V thỏa x + x 1 = 0 Vector x 1 được gọi là vector đối của vector x và được kí hiệu là −x
7 ∀x ∈ V, ∃x 1 ∈ V thỏa x + x 1 = 0 Vector x 1 được gọi là vector đối của vector x và được kí hiệu là −x
Trong không gian vector thực V, tích vô hướng của hai vectơ x và y được ký hiệu là 1.x và thỏa mãn các tiên đề sau:- Phân phối theo phép cộng: 1.(x + y) = 1.x + 1.y với mọi x, y thuộc V- Tính giao hoán: 1.x = 1.y với mọi x, y thuộc V- Nhân với số thực dương: 1.(αx) = α.(1.x) với mọi x thuộc V, α là số thực dương- Đơn vị: 1.x = x với mọi x thuộc V
Tích vô hướng của hai vectorx và y được Kí hiệu: (x, y) :
4 ∀x, y, z ∈ V : (x + y, z) = (x, z) + (y, z) Định nghĩa 1.1.14 Không gian vector thực hữu hạn chiều được trang bị tích vô hướng được gọi là Không gian Euclide.
Cho V là không gian Euclide.
1 Độ dài vector x ∈ V là đại lượng ∥x∥=p
2 Mỗi vector trong không gian n chiều coi là một điểm Khoảng cách giữa hai vector x và y là Khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn bởix và y là đại lượng: d(x, y ) = ∥x − y∥=p
(x − y, x − y) Định nghĩa 1.1.15 Cho hai vector x, y ∈ R n , với x = (x 1 ; x 2 ; ; x n ), y = (y 1 ; y 2 ; ; y n ) Tích vô hướng chính tắc của hai vector x và y trên R n là:
Ví dụ 1.1.4 Cho hai vector u = (1; 2), v = (2; −1) trong R 2
Tích vô hướng của hai vectơ u và v là −12 Theo Định nghĩa 1.1.16, đối với ma trận vuông A cỡ n x n, tất cả các định thức con dọc theo đường chéo chính lần lượt được gọi là định thức con chính cấp 1, 2, , n.
Các định thức con chính:
là ma trận đối xứng xác định dương.
Các trị riêng λ 1 = 2, λ 2 = 3/2, λ 3 = 4/3 không âm Định thức của các ma trận con không âm:
Ma trận xác định dương
Định nghĩa 1.1.17 Không gian Hibert Hcó các vector n chiều, ma trậnA là ma trận vuông cấp n với các phần tử là số thực hoặc số phức.
Ma trận A là xác định dương trên H nếu ⟨x, Ax⟩ > 0, ∀x ̸= 0.
Mệnh đề 1.1.2 Cho A là ma trận đối xứng Các khẳng định sau là tương đương:
(2) Tồn tại ma trận U sao cho A = U T U
(4) Các định thức con chính của ma trận A đều dương
Ta chứng minh từ (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1) và từ (2) ⇒ (3) ⇒ (1)
(1) ⇒ (2): Ma trận A được viết lại thành A = U DU T , với U là ma trận trực giao, D là ma trận chéo Các phần tử trên đường chéo của ma trận D là các trị riêng của ma trận A, vì vậy ta có thể viết D = C 2 với C là ma trận chéo Nên
(3) ⇒ (1): Nếuv là một vector riêng của A với trị riêng λ thì 0v T Av > λv T v hay λ > 0
(2) ⇒ (4): Cho B là ma trận con được tạo ra từ ma trận A bằng cách xóa các cột trong S. det(B ) = det(V T V ) = (det(V )) 2 ≥ 0
(4) ⇒ (1): Dùng qui nạp chứng minh Giả sử A có vector riêng v và trị riêng λ < 0 Nếu A có một trị riêng ≤ 0 thì det(A) ≤ 0 Ngược lại, chọn vector riêng u trực giao với vector riờng v với trị riờng à ≤ 0.
Chọn s ∈ R, vector w = v + su có ít nhất tọa độ 0, được gọi là i th
Nếu A ′ là ma trận từ A bằng cách bỏ cột thứ i và hàng i, w ′ được tạo nên từ w, ta cú (w ′ )A ′ w ′ = w T Aw = λ + s 2 à < 0.
Nên A ′ không xác định (đã chứng minh (1) ⇔ (3)) Áp dụng qui nạp, ta được điều phải chứng minh ■ Định nghĩa 1.1.18 Cho ma trận A đối xứng xác định dương.
Ma trận B = P T AP được gọi là tương đẳng (congruent) với ma trận A, (ma trận P khả nghịch).
Tính chất 1.1.1 Ma trận đối xứng thực A là xác định dương khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một ma trận đối xứng thực xác định dương B sao cho B = A 1 2
Chứng minh: A 1 2 đối xứng xác định dương và A −1 2 đối xứng xác định dương
Ta có ma trận A, B đối xứng xác định dương
D có các phần tử trên đường chéo là các số dương
A 1 2 xác định dương vì có trị riêng dương
Vì detA 1 2 = det(P ).det(D 1 2 ).det(P −1 ) = det(D 1 2 )
⇒ A 1 2 khả nghịch (do các trị riêng khác 0)
đối xứng xác định dương
đối xứng xác định dương
đối xứng xác định dương Định lý 1.1.3 Cho A là ma trận nghịch đảo, phân tích Schur:
Tính chất 1.1.2 Giả sử A, B là hai ma trận đối xứng xác định dương Khi đó, ma trận khối
là xác định dương khi và chỉ khi A ≥ XB −1 X ∗
DoB là ma trận xác định dương nên ma trận
xác định dương khi và chỉ khi A − XB −1 X ∗ ≥ 0 hay A ≥ XB −1 X ∗
xác định dương khi và chỉ khi A ≥ XB −1 X ∗
Mệnh đề 1.1.4 Ma trận A và B đồng dạng nên A và B có cùng tập trị riêng Định lý 1.1.5 Cho ma trận I vuông cấp n, ma trận U unita cấp n rank
Chứng minh r(A.B) = r(A) nếu B khả nghịch r(cA) = r(A) nếu C khả nghịch r
= n Định nghĩa 1.1.19 Cho ma trận P khả nghịch cấp n Ma trận Q, R, S cấp n r
⇒ S = RP −1 Q Định lý 1.1.6 Cho ma trận A n×n đối xứng, có hạng 0 ≤ r ≤ n thì: r
Mệnh đề 1.1.7 Hai ma trận A và B đối xứng có cùng hệ số quán tính (tức là chỉ số dương, chỉ số âm quán tính của ma trận A và B bằng nhau, số các trị riêng dương, trị riêng âm của ma trận A và B bằng nhau)
Lý thuyết nón
Các định nghĩa cơ bản
Định nghĩa 1.2.1 Tập X là không gian metric nếu với mọi cặp phần tử x, y ∈ X luôn có số không âm ρ(x, y) ≥ 0 được gọi là khoảng cách giữa phần tử x, y thỏa các tính chất sau:
3 ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z)(x, y, z ∈ X) Định nghĩa 1.2.2 Không gian tuyến tính E được gọi là định chuẩn nếu ∀x ∈ E luôn có số không âm tương ứng∥x∥ ≥ 0, gọi là chuẩn của phần tửx, thỏa các tính chất sau:
Trong không gian định chuẩn E chúng ta đưa ra khoảng cách theo công thức ρ(x, y) = ∥x − y∥ Với khoảng cách này không gian này trở thành không gian mêtric Định nghĩa 1.2.3 Phần tử x của không gian metric X được gọi là giới hạn của dãy các phần tử (x n ) ⊂ X, nếu như dãy số ρ(x n , x) → 0 khi n → ∞.
Trong trường hợp này ta viết x = lim n→∞ x n Định nghĩa 1.2.4 Dãy(x n ) của không gian metricX được gọi là dãy cơ bản nếu
∀ε > 0tồn tạiN = N (ε) > 0, sao cho∀n, m > N luôn có bất đẳng thứcρ(x n , x m ) < ε. Mọi dãy hội tụ (x n ) ⊂ X là dãy cơ bản. Định nghĩa 1.2.5 Không gian metric(X)được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy cơ bản của nó đều hội tụ. Định nghĩa 1.2.6 Không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu không gian metricE là không gian đầy đủ. Định nghĩa 1.2.7 Hình cầu mở U(x 0 , ε) bán kính dương ε > 0 với tâm x 0 được gọi là lân cận của điểm x 0.
Kí hiệu: O(x 0 , ε) Định nghĩa 1.2.8 Điểm x 0 của không gian metric X được gọi là điểm trong của tập hợp M ⊂ X, nếu tồn tại một lân cận của x 0 sao cho O(x 0 , ε) ⊂ M Định nghĩa 1.2.9 Cho X, Y là hai không gian metric Nếu ứng với mỗi phần tử x ∈ X luôn tìm được một phần tử được xác định hoàn toàn y ∈ Y, thì đã xác định một ánh xạ hay một toán tử từ không gian metric X đến không gian metric Y. Ánh xạ (toán tử) được kí hiệu là: A : X → Y
Nếu Y = X, thì toán tử A : X → Y được xác định trong không gian metric X. Định nghĩa 1.2.10 Tập hợp F của không gian metric X chứa trong nó tất cả những điểm giới hạn của mình, được gọi là tập đóng. Định nghĩa 1.2.11 Tập hợp con S của không gian định chuẩnE được gọi là tập lồi nếu với hai phần tử bất kì a, b ∈ S thì đoạn [a, b] cũng thuộc S Định nghĩa 1.2.12 Tập hợp con S của không gian định chuẩnE được gọi là tập lồi nếu với hai phần tử bất kì a, b ∈ S thì phần tử (1 − λ)a + λb ∈ S, ∀λ ∈ [0; 1]
Hình 1.2: Các tập không lồi Định nghĩa 1.2.13 Tập hợp đóng P của không gian Banach E được gọi là nón nếu thỏa mãn các tính chất sau:
3 Nếu x ∈ P và x ̸= 0 thì phần tử −x / ∈ P
Với sự giúp đỡ của nón P trong không gian Banach E, chúng ta đưa ra thứ tự bộ phân theo qui tắc x⩽ y nếu y − x ∈ P
Dấu thứ tự bộ phận ⩽ có các tính chất tương tự dấu số học ≦ Nón P được gọi là đặc khi chứa các điểm bên trong Một nón P trong không gian Banach E được gọi là tái sản xuất nếu mọi phần tử x ∈ E có thể biểu diễn dưới dạng x = u − v, trong đó u, v ∈ P.
Chú ý: Mọi nón đặc P đều là nón tái sản xuất Trong không gian Banach vô hạn chiều tồn tại nón tái sản xuất nhưng không là nón đặc. Định nghĩa 1.2.16 Nón K của không gian Banach được gọi là nón chuẩn nếu tồn tại số cố định N > 0 sao cho từ 0⩽ x ⩽ y suy ra ∥x∥≦ N ∥y∥ Định nghĩa 1.2.17 Nón K của không gian Banach được gọi là nón chuẩn nếu tồn tại số dương δ sao cho ∥x + y∥ ≥ δ, ∀x, y ∈ P, ∥x∥ = 1, ∥y∥ = 1 Định nghĩa 1.2.18 Cho nón K ⊂ E được gọi là đúng toàn phần, nếu như đối với mọi dãy tăng bị chặn trên (x n ) ⊂ P x 1 ⩽ x 2 ⩽ ⩽ x n ⩽
∥x∥≦ L < ∞ (n ∈ N ) Định lý 1.2.1 Cho K là nón trong E Các khẳng định sau là tương đương:
2 Tồn tại hằng số γ > 0 sao cho
3 Tồn tại số dương N > 0, θ ≤ x ≤ y suy ra ∥x∥ ≤ N ∥y∥ nghĩa là chuẩn ∥.∥ là bán đơn điệu
4 Tồn tại chuẩn tương đương ∥.∥ 1 trên E sao cho θ ≤ x ≤ y suy ra ∥x∥ 1 ≤ ∥y∥ 1 , tức là ∥.∥ 1 đơn điệu ∥x∥ 1 Định nghĩa 1.2.19 Nón K được gọi là nón chuẩn tắc (normal cone), nếu tồn tại số α > 0 sao cho
Số nguyên dương nhỏ nhất thỏa tính chất trên được gọi là hằng số chuẩn tắc Nón P được gọi là nón chính qui nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên trong P đều hội tụ tại E.
Tức là: dãy {x n }(n ≤ 1) thỏa x 1 ≤ x 2 ≤ ≤ x n ≤ ≤ y ∈ E khi đó tồn tại x ∗ ∈ E sao cho ∥x n − x ∗ ∥ → 0
Mệnh đề 1.2.2 Mọi nón chính qui là nón chuẩn tắc Định nghĩa 1.2.21 Cho E là không gian Banach, P là một nón trong E sao cho phần trong của P khác rỗng Cho X là một tập hợp khác rỗng, ∀x, y, z ∈ X Ánh xạX × X → E là một metric nón nếu thỏa các tiên đề sau:
(X, d) được gọi là không gian metric nón. Định nghĩa 1.2.22 Cho F là tập hợp con của không gian vector định chuẩn E. Ánh xạ f : F → F được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số thực k ∈ [0, 1] sao cho
Rõ ràng, nếu ta chọnT x = xvới mọi x ∈ X thì ánh xạ T − co là ánh xạ co Banach.
Nón của ma trận xác định dương
Định nghĩa 1.2.23 Cho C ⊆R m là nón, ∀x, y ∈ C và ∀s, t ∈R với s, t ≥ 0, ta có sx + ty ∈ C.
Mệnh đề 1.2.3 Cho M n×n là không gian các ma trận đối xứng cấp n × n và
C ⊂ M n×n là tập hợp các ma trận xác định dương Khi đó:
2 Phần trong của C là tập các ma trận xác định.
Chứng minh: Nón của ma trận xác định dương
Gọi P = X ∈ M n×m là tập lồi đóng, X, A, B ∈ M n×m là các ma trận đối xứng, xác định dương. Ánh xạ A : P → P x → y = A(x), với x = A(x), x ∈ P, t ∈ [0, 1]
VìP là tập lồi đóng nên tX 1 + (1 − t)X 2 ∈ P Đặt X = tX 1 + (1 − t)X 2
P = A ∈ M nn với A là các ma trận đối xứng xác định dương.
Vậy P là nón chuẩn, cũng là nón của các ma trận đối xứng xác định dương ■
Ví dụ 1.2.1 Cho ma trận xác định dương A =
Ma trận A được minh họa ở hình sau:
Hình 1.3: Nón ma trận xác định dương A
Điểm bất động
Định nghĩa 1.2.24 Cho ánh xạ f : E → E Điểm x được gọi là điểm bất động đối với ánh xạ f nếu thỏa mãn f (x) = x Định lý 1.2.4 Cho F là tập hợp con của không gian định chuẩn E và ánh xạ f : E → E Nếu tập F đầy đủ và f là ánh xạ co thì f có duy nhất một điểm bất động và ∀a ∈ F, dãy số {u n }, n ∈ N xác định bởi {u 0 = a, ∀n ∈ N, u n+1 = u n } hội tụ đến điểm bất động.
1.Điểm bất động là duy nhất
Giả sử có hai điểm bất động là x và y.
2.Tồn tại điểm bất động
Ta có: u 0 = a u 1 = f(u 0 ) u 2 = f(u 1 ) ã ã ã u n+1 = f(u n ) = f n (u 0 ) Áp dụng dãy Cosi, ∀ε > 0, ∃n ε , ∀p, q > n ε , p > q, |u p − u q | < ε
1 − k d(u 1 − u 0 ) Định nghĩa 1.2.25 Cho P là tập hơp nón lồi của không gian vector định chuẩn
E Ta định nghĩa một mối quan hệ ≤ đối với nón P như sau: x ≤ y ⇔ (y − x) ∈P
Mệnh đề 1.2.5 Quan hệ ≤ là một quan hệ thứ tự trên E Định lý 1.2.6 Cho (X, d) là một không gian metric nón đầy đủ, P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và T là một ánh xạ co trên X.
Khi đó, toán tử T xác định trong không gian Banach E có duy nhất một điểm bất động trong X, và với mọi x thuộc X, dãy lặp (T ^ n (x)) hội tụ đến điểm bất động duy nhất đó Toán tử T được gọi là đơn điệu trên tập hợp M nếu với mọi x, y thuộc M sao cho x bé hơn hoặc bằng y thì Tx bé hơn hoặc bằng Ty.
1 Là toán tử tăng nếux 1 ≤ x 2 , (x 1 , x 2 ∈ D), T x 1 ≤ T x 2 ,
2 Là toán tử tăng ngặt nếu x 1 < x 2 , (x 1 , x 2 ∈ D), T x 1 < T x 2
3 Là toán tử tăng mạnh nếu x 1 < x 2, (x 1 , x 2 ∈ D), T x 1 ≪ T x 2 trường hợp P ˚ ̸= Θ
Tương tự, toán tử T giảm:
1 Là toán tử giảm nếu x 1 ≤ x 2 , (x 1 , x 2 ∈ D), T x 1 ≥ T x 2 ,
2 Là toán tử giảm ngặt nếu x 1 < x 2 , (x 1 , x 2 ∈ D), T x 1 > T x 2
3 Là toán tử giảm mạnh nếux 1 < x 2 , (x 1 , x 2 ∈ D), T x 1 ≫ T x 2 trường hợp P ˚ ̸= Θ Định lý 1.2.7 Cho u 0 , v 0 ∈ E, u 0 < v 0 và A = [u 0 , v 0 ] −→ E là toán tử tăng Giả sử rằng A = [u 0 , v 0 ] là tập đóng của E Nên A có ít nhất một điểm cố định trong [u 0 , v 0 ]. Định nghĩa 1.2.28 Cho D là tập con của E, toán tử T : D × D → E T là toán tử đơn điệu hỗn hợp (mixed monotone) nếu T (x, y) tăng đối với x và giảm đối với y, nghĩa là:
PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN 26
Trung bình nhân có trọng số
Hơn 2500 năm trước, người Hy Lạp cổ đại đã xác định một danh sách gồm mười loại số trung bình Tất cả các số trung bình này được xây dựng bằng cách sử dụng các tỉ lệ hình học Chủ yếu gồm 3 loại chính là trung bình toán học, trung bình nhân và trung bình điều hòa Trung trung bình nhân được sử dụng giới hạn cho các số dương và các hàm dương Trung bình nhân với tham số t của hai số dương a và b được định nghĩa là a 1−t b t với t ∈ [0, 1] Với t = 1/2, trung bình nhân
(standard geometric mean) của a và b là p
Vào năm 1970, Kubo và Ando đã tiến hành nghiên cứu về trung bình toán tử tuyến tính dương, một chủ đề nhận được sự chú ý đáng kể Nghiên cứu này thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học, góp phần mở đường cho những nghiên cứu sâu hơn về lĩnh vực toán học này.
1975, Pusz và Woronowicz [6] mở rộng và đưa ra giá trị trung bình nhân cho hai ma trận đối xứng xác định dương A và B là:
Sau đó, trung bình nhân được nhiều quan tâm nghiên cứu và được mở rộng thành trung bình nhân có trọng số [3].
2.1.1 Trung bình nhân có trọng số A♯ t B
Cho P là nón lồi, xác định dương, hai ma trận A, B ∈P, t ∈R. Định nghĩa 2.1.1 Đường cong t 7→ A♯ t B, là đường trắc địa giữa hai ma trận xác định dương A và B trong đa tạp Riemannian với Riemannian metric ds = ∥A −1/2 dAA −1/2 ∥ 2 = (tr(A −1 dA) 2 ) −1/2 Định nghĩa 2.1.2 Trung bình nhân trọng số t, (0 < t < 1) của hai ma trận xác định dương A và B là
Hình 2.1: Trung bình nhân có trọng số A♯ t B
Nếu t = 0, ta có A♯ t B = A, nếu t = 1, ta có A♯ t B = B, trường hợp t = 1 2 ,
2 B là điểm giữa của đường trắc địa giữa A và B.
Ví dụ 2.1.1 Cho hai ma trận xác định dương A và B, t = 1 3
Bổ đề 2.1.1 Cho các ma trận A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ∈ P n , A 1 ♯ t B 1 ≤ A 2 ♯ t B 2 khi và chỉ khi
Ma trận A là tổng của hai ma trận xác định dương sau:
Bổ đề 2.1.2 Cho các ma trận C, D ∈ P n , s > 0, (sC)♯ t D = s 1−t (C♯ t D)
= ⇒ (sC)♯ t D = (sC) 1 2 ((sC ) −1 2 D(sC) −1 2 ) t (sC) 1 2 = s 1−t (C♯ t D)
Bổ đề 2.1.3 Bất đẳng thức Lowner-Heinz Giả sử hai ma trận A và B thỏa bất đẳng thức 0 ≤ A ≤ B và tồn tại số thực a (với 0 < a < 1) Thì A a ≤ B a
Sử dụng Bổ đề 2.1.2, ta có A ≤ B và I ≤ I
Lý thuyết trung bình nhân có trọng số được tham khảo trong tài liệu [3].
Từ những chứng minh ở Định lý 2.3.4, ta nhận thấy rằng sX♯ t B = s 1−t X♯ t B,với mọi s ∈ (0, 1) Dùng quan sát đơn giản này với toán tử đơn điệu của hàm t 1/p thì T (sX) ≥ s r T (X) khi r ∈ (0, 1) sao cho r ⩽ (1 − t)/p Đối với trung bình nhân có trọng số A♯ t B là a 1−t b t , với a và b không âm. Theo định nghĩa entropy [10] T r(A 1−t 2t BA 1−t 2t ) t , ta có trung bình nhân có trọng số tổng quát đối xứng (A 1−t 2t BA 1−t 2t ) t
((sA) 1−t 2t B (sA) 1−t 2t ) t = s 1−t (A 1−t 2t BA 1−t 2t ) t (2.1) Đây cũng chính là công thức trung bình nhân tổng quát của hai ma trận A và B.
Giới thiệu Phương trình ma trận
Cho M n là đại số các ma trận cấp n × n trên trường số phức C, P n là nón của các ma trận xác định dương trongMn Cho hàmf là hàm có giá trị thực, ma trận Hermitian A ∈Mn, và hàm số f (A) là hàm đại số.
Cho A, B là hai ma trận xác định dương, giá trị trung bình nhân của hai ma trậnA và B được xác định bởi công thức A♯B = A 1/2 (A −1/2 BA −1/2 ) 1/2 A 1/2 lần đầu được đưa ra trong nghiên cứu của Pusz và Woronowicz [6], cũng chính là nghiệm xác định dương duy nhất của phương trình Riccati:
Trung bình nhân có vai trò quan trọng trong lý thuyết trung bình các toán tử, bất đẳng thức toán tử và lập trình tối ưu (semidefinite programming).
Theo nghiên cứu của Lim [7] về nghịch đảo của trung bình nhân và trung bình phản điều hòa (contraharmonic mean) Sử dụng phương trình (2.2), Lim cho thấy rằng nếu A ≤ B thì phương trình ma trận X = A + 2BX −1 B có nghiệm duy nhất là:
Một nghiên cứu khác của Lim và cộng sự [8] về phương trình ma trận phi tuyến
Phương trình ma trận trên có nghiệm xác định dương duy nhất là X = 1 2 (B + B♯(B + 4A)).
Gần đây, Lee và cộng sự [9] nghiên cứu phương trình ma trận sau:
Họ sử dụng lý thuyết Thompson metric và định lý điểm bất động của không gian Banach Họ chứng minh được rằng phương trình 2.3 có nghiệm xác định dương duy nhất.
Nghiên cứu của Zhai và Jin [11] về hai phương trình ma trận phi tuyến sau:
Trong đó: p, m, j là các số nguyên dương sao cho i⩽ j ⩽ m
A, B là hai ma trận xác định dương
M i (i = 1, 2, m) là ma trận thực không suy biến.
Với Riemannian metric δ(A, B) = ∥log((A −1 B)∥ 2 Trong đó ∥X∥ 2 = (T r(X 2 )) 1/2 ,
X là ma trận Hermitian (ma trận tự điều chỉnh), tập hợp Pn trở thành đa tạp Riemannian Như vậy, trung bình nhân có trọng số A♯ t B là trung điểm của đường cong trắc địa:
A♯ t B = A 1/2 (A −1/2 BA −1/2 ) t A 1/2 , t ∈ [0, 1] nối hai điểmA và B lại với nhau.
Từ những nghiên cứu trên, nhận thấy đây là vấn đề lý thuyết mới có nhiều ứng dụng trong tương lai, trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu về các phương trình ma trận phi tuyến như sau:
Trong đó: p, m, là các số nguyên dương
A, B là hai ma trận xác định dương cấp n × n
Các ma trận không suy biến cấp n × n được biểu diễn dưới dạng Mi (i = 1, 2, m) Các phương trình 2.4 và 2.5 đã được chứng minh là có nghiệm duy nhất xác định dương, thể hiện trong Định lý 2.3.4 và Định lý 2.3.7.
Nếu A = 0, phương trình (2.4) trở thành phương trình:
Phương trình này được Lim và Palfia nghiên cứu [12], và đã chứng minh được phương trình X = 1 n
Pn i=1 X♯ t A i có nghiệm xác định dương duy nhất.
Phương pháp lặp nhiều bước được sử dụng cho các phương trình trên để chứng minh rằng dãy ma trận hội tụ về nghiệm xác định dương duy nhất Định lý 2.3.5 và Định lý 2.3.8 đối với các phương trình (2.4) và (2.5).
Hơn nữa, dựa vào những kết quả nghiên cứu đạt được trên ,chúng tôi đã mở rộng thêm một số kết quả mới cho phương trình ma trận đối với trường hợp trung bình nhân trọng số tổng quát: (A 1−t 2t BA 1−t 2t ) t , được xác định dựa theo định nghĩa của sandwiched quasi relative entropy: T r(A 1−t 2t BA 1−t 2t ) t [13].
Phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số
Cho A, B ∈ P n , m là số nguyên dương m > 2 và p ≥ 1, M 1 , M 2 ∈M n là các ma trận không suy biến Xét phương trình ma trận:
X p = A + M 1 T (X♯ t B)M 1 + M 2 T (X♯ t B)M 2 (2.6) Định lý 2.3.1 Phương trình ma trận 2.6 có nghiệm xác định dương duy nhất X ∗ thuộc P n
Chứng minh Phương trình ma trận 2.6 tương đơơng với toán tử sau:
Cho X 1 , X 2 ∈ P n , < X 1 ⩽ X 2 Trước hết, nếu toán tử T (X) tăng và thỏa điều kiện của Bổ đề 2.3.3 thì
Từ Bổ đề 2.1.3 và bổ đề 2.1.2, với mọi X ∈ P n , s, t ∈ (0, 1), p ∈ [1, +∞), tồn tại r ∈ (0, 1) với rp + t ≥ 1 sao cho
Vì rp ≥ 1 − t và rp > 0, s ∈ (0, 1), ta có s rp ≤ s 1−t < 1, nên:
Vậy, phương trình 2.6 có nghiệm xác định dương duy nhất X ∗ thuộc P n thỏa
Bổ đề 2.3.2. Định nghĩa 2.3.1 Cho T : P n → P n là một toán tử, toán tử T tăng nếu0 ≤ x ≤ y suy ra T x ≤ T y
Bổ đề 2.3.2 Cho toán tửT : P n → P n là một toán tử tăng Giả sử tồn tạir ∈ (0, 1) sao cho
Thì T có điểm bất động duy nhất x ∗ ∈ P n
Bổ đề 2.3.3 Nếu 0 < A ≤ B (0 < A < B), thì 0 < A a ≤ B a (0 < A a < B a ), ∀a ∈ (0, 1], A, B ∈ P n Tương tự, nếu 0 < A ≤ B(0 < A < B), thì 0 < A a ≤ B a (0 < A a 2vàp ≥ 1, M 1 , M 2 , , M n ∈
Mn là các ma trận không suy biến.
M i T (X♯ t B)M i (2.9) có nghiệm xác định dương duy nhất X ∗ thuộc P n
Chứng minh Xét toán tử sau:
Nếu toán tử T (X)tăng và thỏa điều kiện của Bổ đề 2.3.3, thì toán tử có điểm bất động duy nhất X ∗ ∈ P n Nên phương trình (2.16) có nghiệm xác định dương duy nhất X ∗ ∈ P n
Cho0 < X 1 ⩽ X 2 Theo tính đơn điệu của trung bình nhân có trọng số♯ t, chúng ta có X 1 ♯ t B ⩽ X 2 ♯ t B,nên:
Vì p ≥ 1, hàm t 1/p là toán tử đơn điệu trên khoảng (0, ∞) Từ bất đẳng thức 2.10 và bổ đề 2.3.2, ta có:
Nghĩa là, hàm T (X) tăng Cho X ∈ P n t ∈ (0, 1) và p ≥ 1, tồn tại r ∈ (0, 1)sao cho r⩽ (1 − t)/p hoặc rp + t ≥ 1.
Rõ ràng, với mọi s ∈ (0, 1) ta có (sX)♯ t B = s 1−t X♯ t B.
Vìrp ≥ 1 − t, s ∈ (0, 1), ta có s rp ⩽ s 1−t < 1 , nên:
Dựa vào tính đơn điệu toán tử của hàm t 1/p , từ bất đẳng thức (2.11) , ta được:
Do đó, phương trình (2.16) có nghiệm xác định dương duy nhất X ∗ thuộc P n ■Cho X 1 , X 2 , , X n (i = 1, 2, n) ∈ P n là các ma trận khởi tạo trong P n Xét phương pháp lặp nhiều bước cho phương trình (2.16)
M i T (X l+i ♯ t B)M i ) 1/p , l = 0, 1, 2 (2.13) Định lý sau sẽ cho thấy rằng dãy ma trận {X k } được tạo ra bởi sự hội tụ của phương trình (2.13) sẽ hội tụ về X ∗ Định lý 2.3.5 Cho X 1 , X 2 , , X n ∈ P n , dãy ma trận {X k } hội tụ về nghiệm xác định dương duy nhất X ∗ của phương trình (2.9).
Chứng minh Cho các ma trận X 1 , X 2 , , X n (i = 1, 2, n) và X ∗ , tồn tại a ∈ (0, 1) sao cho aX ∗ ≤ X i ≤ a −1 X ∗ , i = 1, 2, 3, m (2.14)
Trước tiên, ta cần chứng minh rằng với bất kìb ∈ N, a r q X ∗ ≤ X k ≤ a r q X ∗ , k = bm + i, i = (1, 2, 3, m) (2.15)
Với r ∈ (0, 1), r ≥ 1−t p Hiển nhiên rằng lim b → ∞ a r b = lim b → ∞ a −r b = 1 và theo định lý Squeeze trong nón chuẩn P n , suy ra dãy {X k } hội tụ đến X ∗
Ta sử dụng phương pháp qui nạp toán học chứng minh phương trình (2.15) Với b = 0, bất đẳng thức (2.15) được rút gọn thành bất đẳng thức (2.14) Gỉa sử rằng (2.15) đúng với b = q − 1 với một số nguyên dương q nào đó nghĩa là k = (q − 1)m + i, (i = 1, 2, 3, , m), tức là, a r q−1 X ∗ ≤ X (q−1)m+i ≤ a −r q−1 X ∗ (2.16)
Chứng minh bất đẳng thức là đúng với b = q Sử dụng 2.13 , 2.16, Bổ đề 2.1.3, 2.3.6, 2.1.2, chúng ta nhận được:
Từ chứng minh của Định lý 2.3.4 cho thấy ánh xạT (X)tăng Nên, từ phương trình (2.16) ta được:
Mặt khác, vì a −r q−1 ≥ 1 trái ngược với bất đẳng thức (2.11), do đó (2.12) cũng tương tự Sử dụng tính đơn điệu của hàmT (X), ta có:
Từ (2.17) và (2.18), suy ra được: a r q X ∗ ⩽ X qm+i⩽ a −r q X ∗
Nên (2.15) đúng, dãy {X k } hội tụ về X ∗ ■
+Pm i=j+1M i T (X −1 ♯ t B)M i Định nghĩa 2.3.2 Giả sử D ⊂ E, thìD × D ⊂ E × E Cho T : D × D → E là một toán tử, T là toán tử đơn điệu hỗn hợp nếu x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ∈ D với x 1 ≤ x 2 , y 1 ≥ y 2 suy ra T (x 1 , y 1 ) ≤ T (x 2 , y 2 ) x ∗ là điểm bất động của toán tử T nếu x ∗ thỏa x ∗ =
Bổ đề 2.3.6 Cho T : P n × P n → P n là toán tử đơn điệu hỗn hợp Giả sử rằng với mọi 0 < a < b < 1, tồn tại hằng số β = β(a, b) ∈ (0, 1) sao cho
Khi đó T có điểm bất động duy nhất x ∗ ∈ P n Định lý 2.3.7 Cho A, B ∈ P n và M i (i = 1, 2, m) là các ma trận không suy biến trong M n Cho m là số nguyên dương lớn hơn 2, p ≥ 1, j là số nguyên, 1 ≤ j ≤ m. Khi đó, phương trình ma trận phi tuyến:
M i T (X −1 ♯ t B)M i (2.19) có nghiệm xác định dương duy nhất X ∗ trong P n
Chứng minh Xét toán tử sau:
Rõ ràng, toán tử T : P n × P n → P n , nếu toán tử T thỏa bất đẳng thức ở Bổ đề 2.3.6, thì T có nghiệm là điểm bất động duy nhất X ∗ ∈ P n Nên phương trình (2.19) có nghiệm xác định dương duy nhất X ∗ ∈ P n
Hàm trung bình nhân có trọng số T p (X, Y) đơn điệu tăng theo X và đơn điệu giảm theo Y, nghĩa là T p (X, Y) là hàm đơn điệu hỗn hợp Đối với p ≥ 1, hàm t 1/p là toán tử đơn điệu trên khoảng (0, ∞) Do đó, hàm T (X, Y) = (T p (X, Y) 1/p ) cũng là hàm đơn điệu hỗn hợp.
Thứ hai, cho t ∈ (0, 1) và p ≥ 1, tồn tại r ∈ (0, 1) sao cho r ≤ (1 − t)/p hoặc rp + t ≥ 1 Cho X ∈ P n Dựa vào tính đơn điệu của toán tử hàm t 1/p , ta có:
Nên, phương trình (2.19) có nghiệm xác định dương duy nhất, X ∗ trong P n , ánh xạT (X, Y ) thỏa tất cả các giả thiết của Bổ đề 4.
Tương tự như trường hợp của (2.13), có thể sử dụng phương pháp lặp nhiều bước để tìm nghiệm hệ phương trình (2.19)
M i T (X l+i −1 ♯ t B)M i ) 1/p , l ∈ N (2.21) trong đó, X 1 , X 2 , , X n ∈ P n là các ma trận ban đầu.
Phần chứng minh định lý sau tương tự như ở Định lý 2.3.5 Định lý 2.3.8 Cho các ma trận X 1 , X 2 , , X n ∈ P n , dãy ma trận {X k } được tạo ra bởi (3) hội tụ về nghiệm xác định dương duy nhất X ∗ của phương trình (2.19)
Vì phương trình (2.19) có nghiệm xác định dương duy nhấtX ∗ , nên tồn tại số thực
0 < a < 1 sao cho các ma trận ban đầu X 1 , X 2 , , X n ∈ P n thỏa aX ∗ ≤ X i ≤ a −1 X ∗ , i = 1, 2, 3, , m (2.22) a r b X ∗ ≤ X k ≤ a −r b X ∗ , k = bm + i, (i = 1, 2, 3, , m) (2.23)
Với r ∈ (0, 1), r ≥ 1−t Bất đẳng thức (2.22) đúng với b = 0 Giả sử (2.23) đúng với b = q − 1, với q là số nguyên dương nghĩa là k = (q − 1)m + i, (i = 1, 2, 3, , m), thì (2.24) được suy ra.
Sử dụng phương pháp qui nạp toán học chứng minh bất đẳng thức 2.23 đúng với b = q.
Dùng 2.21, 2.24, Bồ đề 2.1.3, 2.1.2, ta có:
Tương tự, chúng ta có:
Suy ra X qm+i = T (X (q−1)m+i , X (q−1)m+i ) Từ chứng minh của Định lý (2.3.7), ánh xạT là đơn điệu hỗn hợp.
Mặt khác, vì a −r q−1 ≥ 1, ngược lại với bất đẳng thức (??) Sử dụng tính đơn điệu hỗn hợp của T, chúng ta được kết quả:
Từ (2.25) và (2.26), dẫn đến: a r q X ∗ ⩽ X qm+i ⩽ a −r q X ∗
Vậy (2.23) là đúng và X k hội tụ về X ∗
Nhận xét
Từ những chứng minh ở Định lý 2.3.4, ta nhận thấy rằng sX♯ t B = s 1−t X♯ t B, với mọi s ∈ (0, 1) Dùng quan sát đơn giản với toán tử đơn điệu của hàm t 1/p thì
T (sX) ≥ s r T (X) khi r ∈ (0, 1) sao cho r⩽ (1 − t)/p Đối với trung bình nhân trọng số tổng quát A♯ t B của hai ma trận,có công thức ở dạnga 1−t b t , với a và b không âm Ta mở rộng cho trường hợp tổng quát đối xứng cho hai ma trận xác định dương A và B, xây dựng trọng số mới là (A 1−t 2t BA 1−t 2t ) t theo định nghĩa entropy T r(A 1−t 2t BA 1−t 2t ) t như phương trình sau:
((sA) 1−t 2t B (sA) 1−t 2t ) t = s 1−t (A 1−t 2t BA 1−t 2t ) t (2.27) Ánh xạX 7−→ X 1−t 2t BX 1−t 2t tăng trongX, trong khi đó, ánh xạX 7−→ X t−1 2t BX t−1 2t giảm trong X Vì vậy, sử dụng các chứng minh của Định lý 2.3.4 và Định lý 2.3.5 ta có hai hàm sau:
Cả hai toán tử đều tăng và tăng hỗn hợp Đồng thời hai toán tử trên cũng thỏa các điều kiện của Bổ đề 2.3.3 và Bổ đề 2.3.6.
Do đó, các định lý 2.4.1, 2.4.2 bên dướới là đúng. Định lý 2.4.1 Cho A, B ∈ P n , m là số nguyên dương n > 2 và p ≥ 1.Các ma trận không suy biến M 1 , M 2 , , M n trong M n , phương trình ma trận:
M i T (X 1−t 2t BX 1−t 2t ) t M i (2.28) có nghiệm xác định dương duy nhất X ∗ thuộc P n Định lý 2.4.2 Cho A, B ∈ P n và M i (i = 1, 2, n) là các ma trận không suy biến trongM n Chom là số nguyên dương lớp hơn2, p ≥ 1và số nguyên dương1 ≤ j ≤ m.
M i T (X t−1 2t BX t−1 2t ) t M i (2.29) có nghiệm xác định dương duy nhất X ∗ thuộc P n
Tính đơn điệu của ánh xạ T ˆ 1 (X) có thể chứng minh sự hội tụ của dãy ma trận {X k } bằng phương pháp lặp nhiều bước như sau:
Trong đó, X 1 , X 2 , , X m ∈ P n là các ma trận ban đầu.
Tính đơn điệu hỗn hợp (mixed monotone) của T ˆ 2 (X, Y ) cũng chứng minh sự hội tụ của dãy về điểm bất động.
(2.31) Trong chương này chúng ta biết được hai định lý quan trọng trong lý thuyết Phương trình ma trận trung bình nhân với trọng số t 2.3.4, 2.3.5 Ở chương này ta cũng thấy được Phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số tổng quát của các ma trận đối xứng xác định dương, tương ứng với hai định lý mới khác nhau là các định lý 2.4.1, 2.4.2.
Với các thay đổi về điều kiện, định lý, tính chất của Phương trình ma trận, hướng nghiên cứu mở mới được mở ra với nhiều khía cạnh thú vị Điều này mở ra một hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết Phương trình ma trận.
ỨNG DỤNG 49
Giới thiệu Qubit
Quantum bit, viết tắt là Qubit là một khái niệm cơ bản và quan trọng nhất trong lĩnh vực khoa học thông tin lượng tử Qubit được định nghĩa là một đối tượng dùng để truyền tải thông tin trên nền tảng lý thuyết thông tin lượng tử và tính toán trên máy tính lượng tử Thuật ngữ này được đề xuất bởi Benjamin Schumacher trong bài báo của ông về mã hóa lượng tử vào năm 1993.
Qubit được dùng trong việc tạo ra máy tính lượng tử có tốc độ nhanh nhất thế giới, là thiết bị tính tooán sử dụng trực tiếp các hiệu ứng cơ học lượng tử như tính chồng chập và vướng víu lượng tử để thực hiện các phép toán trên dữ liệu đầu vào. Máy tính lượng tử lần đầu được Yuri Manin đưa ra vào năm 1980. Đến năm 2014, tính tooán lượng tử vẫn còn sơ khai, được thực hiện các phép lượng tử trên một số nhỏ Qubit Máy tính lượng tử qui mô lớn có khả năng giải quyết các vấn đề phức tạp nhanh hơn máy tính cổ điển nhờ sử dụng thuật tooán Shor hoặc hệ lượng tử nhiều hạt Qubit được xây dựng như là một đối tượng toán học với những tính chất đặc biệt, là một hệ lượng tử có hai mức được biểu diễn trong không gian Hilbert hai chiều.
Các trạng thái |0⟩ và |1⟩ của Qubit tương ứng với các giá trị nhị phân 0 và 1 của bit cổ điển Các trạng thái này tạo thành một cơ sở tính toán Điểm khác biệt quan trọng chính là bit cổ điển chỉ có thể biểu diễn tại một thời điểm duy nhất một trạng thái 0 hoặc 1.
Ngoài ra, Qubit còn có tính chất vật lý Tùy vào hệ đang xét mà Qubit sẽ được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau (xem bảng dưới).
Bảng 3.1: Các hình thái vật lý của Qubit
Hệ lượng tử Tính chất vật lý |0⟩ |1⟩
Photon Phân cực tuyến tính Ngang Dọc
Photon Phân cực tròn Trái Phải
Hạt nhân nguyên tử Spin Lên Xuống
Nguyên tử 2 mức năng lượng Trạng thái năng lượng Trạng thái cơ bản Trạng thái kích thích
Mối nối Josephson Điện tích N cặp đồng N+1 cặp đồng
Mạch siêu dẫn Từ thông Lên Xuống
Qubit còn được biểu diễn bằng quả cầu Bloch Vị trí của mỗi qubit được xác định rõ ràng thông qua các tham số θ và φ.
Với θ, γ và φ là các số thực, biểu thức cho Qubit có dạng:
Ứng dụng đo lường độ trung thực các trạng thái lượng tử
lượng tử Độ trung thực của hai trạng thái lượng tử được ứng dụng trong xây dựng hệ thống Qubit siêu dẫn trao đổi thông tin lượng tử hiệu suất rất cao Năm 2010, Matsumoto đã giới thiệu hàm để đo độ trung thực cho hai trạng thái lượng tử. Ứng dụng đo lường độ trung thực các trạng thái lượng tử được Sam Cree và Jamie Sikora nghiên cứu vào tháng 01 năm 2021.
Các trạng thái lượng tử được mô tả bởi ma trận mật độ ρ, trong đó giá trị riêng của ρ là {p i }, tương ứng với các trạng thái |ψ i ⟩ của hạt lượng tử Xác suất tìm thấy hạt lượng tử trong mỗi trạng thái |ψ i ⟩ bằng với giá trị riêng tương ứng p i của ρ.
3.2.1 Hàm trung thực lượng tử Matsumoto Định nghĩa 3.2.1 Hàm trung thực lượng tử Matsumoto (Matsumoto fidelity):
Trong không gian trạng thái lượng tử, hai ma trận trạng thái ρ và σ có thể được trung bình hóa để tạo thành một ma trận trạng thái mới ρ♯σ Ma trận này là điểm giữa trên đường trắc địa nối giữa ρ và σ trong không gian trạng thái Ngoài ra, trung bình nhân có trọng số ρ♯ t σ cũng có thể được tính toán, cung cấp một cách linh hoạt hơn để kết hợp các trạng thái lượng tử.
2 σ = ρ♯σ cũng là trung bình nhân của hai ma trận ρ và σ.
F M (ρ, σ)là phương trình ma trận với trung bình nhân trọng sốt, trường hợpt = 1 2 Đây là trường hợp đặc biệt của phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số (2.6).
Tính chất 3.2.1 Một số tính chất của hàm trung thực lượng tử Matsumoto:
3 F M (ρ, σ) = 1 khi và chỉ khi ρ = σ Độ trung thực lượng tử Matsumoto được thiết lập dưới dạng lập trình tối ưu, cho phép thực hiện các bước tính toán và phân tích Lập trình tối ưu (Semidefinite Programming, được viết tắt là SDP) là một loại bài toán tối ưu hóa Đã có vô số các ứng dụng trong nghiên cứu lý thuyết lượng tử, bao gồm hình học lồi, nhiệt động lực học, lý thuyết độ phức tạp tính toán, thuyết mật mã, vướng víu lượng tử, và vô vàng các ứng dụng khác.
Không gian của các ma trận bán xác định dương được thể hiện ở dạng nón như hình sau:
Hình 3.2: Không gian của các ma trận bán xác định dương
-Màu cam: thể hiện các trạng thái lượng tử thích hợp
-Màu xanh: là đường trắc địa từ ρ đến σ
Hình 3.2 là không gian của ma trận bán xác định dương được thể hiện dưới dạng hình nón biên trong không gian Hermitian các ma trận n × n Các ma trận xác định dương tạo thành phần bên trong của hình nón và các ma trận trên biên (giá trị riêng có thể thay đổi từ 0 sang số âm do nhiễu bên trong , sẽ bị đẩy ra bên ngoài hình nón, tức là không còn thuộc miền nón) Trục trung tâm là cực đại của trạng thái hỗn hợp.
Các đường trắc địa này là đường cong hướng về phía dưới của vết (bên trái trong hình) Độ trung thực lượng tử Matsumoto, ký hiệu là F M - là vết của điểm giữa 0 và 1 của đường trắc địa. Đây là không gian Riemannian metric duy nhất bất biến, với tensor metric g được xác định tại ma trận M bởi: g(ρ, σ)| M = T r(M −1 ρM −1 σ) (3.2) ρ, σ, M là các ma trận xác định dương.
Trong không gian metric, trung bình nhân của hai ma trận ρ và σ là điểm giữa của đường trắc địa nối ρ và σ Theo hình minh họa 3.2, đường trắc địa này hướng về phía đỉnh của nón (ma trận M = 0) Độ trung thực lượng tử Matsumoto cho thấy các trạng thái lượng tử gần nhau có đường trắc địa không lệch quá xa.
Từ phương trình (3.2), tham số hóa các ma trận xác định dương cấp 2 × 2. ρ(α, r, θ, ϕ) = e iϕσ z e iθσ y
Phương trình (3.2) trở thành: ds 2 = T r(ρ −1 dρρ −1 dρ) = dα 2 + dr 2 + sin 2 r(dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ) (3.4)
(r, θ, ϕ) có thể được xem là không gian Hypebol ba chiều, nghĩa là biểu diễn hình học của ma trận xác định dương 2 × 2 với metric R × H 3 r là tham số hóa độ thuần khiết của trạng thái Trạng thái đạt thuần khiết khi r → ∞, các trạng thái trộn lẫn đạt cao nhất khi r = 0. α là trạng thái lượng tử
√ 2 ) suy ra (ρ(α q (r), r, θ, ϕ)) có vết T r là 1.Tọa độ góc θ và ϕ tương ứng trong quả cầu Bloch 3.1. sinh 2 r là một đường cong ngắn hơn nếu uốn cong về phía trong thấp hơn r. Minh họa đường trắc địa ở hình 3.3:
Hình 3.3: Minh họa hình học của Độ trung thực lựợng tử Matsumoto
Giải thích 3.3: Hai Qubit có trạng thái thuần khiết, với tọa độ bán kính r và tọa độ góc ϕ (Được minh họa cụ thể ở Quả cầu Bloch 3.1 ) Tuy nhiên, không giống như quả cầu Bloch, chỉ có đường màu cam (tại r = r 0) thể hiện các trạng thái lượng tử hợp lệ với vết 1 mà tất cả các điểm khác trong biểu đồ là các ma trận xác định dương 2 × 2 không có vết Không gian Hypebol nên đường trắc địa nhỏ nhất là giữa ρ 1 và ρ 2 (màu xanh) không phải là đường thẳng, mà là đường cong hướng vào trong. Độ trung thực lượng tử Matsumoto làexp(r mid − r 0 ), là vết của điểm giữa đường trắc địa (r = r mid ).
Khi các trạng thái tiến đến độ thuần khiết, r 0 phân kỳ đến vô cùng, r mid vẫn cố định, do đó, vết sẽ tiến về 0, ∆ϕ nhỏ.
Ứng dụng toán tử lượng tử Tsallis entropy
Phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số t ̸= 1 2 được nghiên cứu và ứng dụng trong toán tử lượng tử Tsallis entropy [16].
Với hai trạng thái lượng tử bất kì ρ và σ, toán tử lượng tử Tsallis entropy được định nghĩa là:
Cho hai ma trận xác định dươngA, B ∈ P , t ∈ [0, 1], toán tử lượng tử Tsallis entropy được định nghĩa là:
Hình 3.4: Code Matlab toán tử lượng tử Tsallis entropy Ứng dụng này hiện còn đang mở và cũng là cơ hội nghiên cứu cho bước phát triển mới trong tính tooán lượng tử.
Nhận xét
Các ứng dụng ở chương này được trích dẫn từ các tài liệu [15], [2], và [16].
Vì sự hạn chế về các điều kiện chủ quan cũng như khách quan trong thời gian thực hiện luận văn, các ứng dụng này chưa phản ánh hết ứng dụng thực tế củaPhương trình ma trận Tuy nhiên nó cũng giúp chúng ta có cái nhìn khá gần gũi,hữu ích về ứng dụng lý thuyết Phương trình ma trận trong đời sống nhất là trong lĩnh vực lượng tử.
Trong luận văn chúng tôi nghiên cứu hai vấn đề chính của bài toán Phương trình ma trận:
1/ Phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số.
2/ Ứng dụng. Đặc biệt, chúng tôi trình bày rõ ràng và chi tiết các kết quả của bài toán nghiên cứu Phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số Bài toán này mới được các tác giả Lê Xuân Đại, Đinh Trung Hòa, Lê Công Trình và Phạm Tuấn Cường nghiên cứu, bước đầu có một số kết quả quan trọng [14]. Ứng dụng của lý thuyết Phương trình ma trận đã được nghiên cứu bởi rất nhiều nhà khoa học trong nước và ngoài nước, như đo lường độ trung thực các trạng thái lượng tử của nhóm của Sam Cree và Jamie Sikora[15], lượng tử Tsallis entropy của nhóm Sejong Kim và Hosoo Lee [16], Fumio Hai Denes Pets [2] và nhiều ứng dụng của các nhóm nghiên cứu khác.
Luận văn này giúp phát triển lý thuyết Phương trình ma trận trường hợp trung bình nhân có trọng số và có thể tạo tiền đề để phát triển ứng dụng của lý thuyết này trong lượng tử, lập trình tối ưu và một số lĩnh vực khác.Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên, giảng viên và cộng đồng nghiên cứu trong lĩnh vực này.
Lý thuyết Phương trình ma trận là một hướng nghiên cứu rất rộng lớn,chúng ta có thể xét các bài toán Phương trình ma trận với các loại trung bình khác như: trung bình điều hòa, trung bình ngược, Trong tương lai,chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu các bài toán khác của phương trình ma trận.
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC
1 X D Le, T C Phạm , T H V Nguyen, V V Dang and N M Tran,
"Study on Some matrix equation involving the weighted geometric mean andTheir application," Kalpa Publications in Enginering, vol 4, pp 50-61, Jan.2022.
[1] V V Dang, Giáo trình Đại số tuyến tính Việt Nam: Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2020.
[2] F H D Petx (2013, April) Introduction to Matrix Anal- ysis and Applications (2 nd edition) [Online] 22(3) Available: http://springer.com/series/223
[3] R Bhatia, Positive Definite Matrices United Kingdom: Princeton Uni- versity Press, 2007.
[4] Le "Fixed point of monotonic Conus," B.A thesis, University of Varon- het, Russia, 2006.
[5] D Guo and V Lakshmikantham, Nonlinear Problems in AbstractCones. New York: Academic Press, 1988.
[6] W Pusz and S L Woronowicz, "Functional calculus for sesquilinear forms and the purification map," Mathematical Physic, vol 8, no 2, pp. 159-170, Oct 1975.
[7] Y Lim "Inverse mean problem of geometric and contraharmonic means," Linear Algebra Appl., vol 4, no 8, pp 221-229, Aug 2005.
[8] C Jung et al., "On the solution of the nonlinear matrix equation X n f(X)," Linear Algebra Appl., vol 4, no 30, pp 2042-2052, Apr 2009.
[9] H Lee et al., "On the nonlinear matrix equation X p = A +
Pm i=1M i T (X♯ t B)M i ," M.J Comput Appl Math., vol 3, no 73, pp.112-124, Jan 2020.
[10] E H Lieb and M B Ruskai, "Proof of the strong subadditivity of quantum-mechanical entropy With an appendix by B Simon,"J Math. Phys, vol 14, no 12, pp 1938-1941, Nov 2003.
[11] C Zhai and Z Jin, "Solvability for two forms of nonlinear matrix equa- tions," Bull Iran Math Soc., vol 4, no 7, pp 1107-1120, Jul 2020.
[12] Y Lim and M Pálfia, "Matrix power means and the Karcher mean," Journal of Functional Analys, vol 262, no 4, pp 1498-1514, Feb 2012.
[13] M Wilde et al., "Strong converse for the classical capacity of entanglement- breaking and Hadamard channels via a sandwiched Renyi relative entropy," Comm Math Phys, vol 14, no 21, pp 593-622, Jun. 2013.
[14] T H Dinh et al., (2021, Oct) "Some matrix equation involving the weighted geometric mean." Adv Oper Theory [Online] 7(2) Available: https://doi.org/10.1007/s43036-021-00165-y
[15] S Cree and J Sikora, "A fidelity measure for quantum states based on the matrix geometric mean," arXiv:2006.06918, Sep 2021.
[16] S Kim and H Lee, "Relative operator entropy related with the spectral geometric mean," Analysis and Mathematical Physics, vol 5, no 3, Sep