Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng: Phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐH QUỐC GIA TP.HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS LÊ XUÂN ĐẠI

Cán bộ chấm phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI

Cán bộ chấm phản biện 2: TS NGUYỄN HUY TUẤN

Luận văn thạc sĩ này được bảo vệ tại trường Đại học Bách Khoa, ĐH Quốc giaTp.Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 12 năm 2021

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn bao gồm:

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của các thành viên Hội đồng đánh giá luận văn.)1 Chủ tịch: PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

2 Thư ký: TS ĐẶNG VĂN VINH3 Phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI4 Phản biện 2: TS NGUYỄN HUY TUẤN5 Ủy viên: TS CAO THANH TÌNH

Xác nhận của chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và trưởng Khoa quản lý chuyênngành sau khi luận văn đã chỉnh sửa (nếu có).

PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUYPGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN

Trường Đại học Bách KhoaĐộc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: NGUYỄN THỊ HỒNG VÂNMSHV: 1970748Ngày, tháng, năm sinh: 30.12.1985Nơi sinh: Tiền GiangChuyên ngành: Toán Ứng dụngMã ngành: 8460112

I TÊN ĐỀ TÀI: PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN VỚI TRUNG BÌNHNHÂN CÓ TRỌNG SỐ VÀ ỨNG DỤNG

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG- Kiến thức chuẩn bị

- Phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số- Ứng dụng

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ:06/09/2021III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 12/2021

IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:TS LÊ XUÂN ĐẠI

Tp Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 01 năm 2021

TRƯỞNG KHOA

Lời cảm ơn đầu tiên tôi xin chân thành gửi tới Thầy TS Lê Xuân Đại,TS Đặng Văn Vinh, TS Phạm Tuấn Cường đã nhiệt tình giảng dạy, địnhhướng và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập chương trình Cao học ToánỨng dụng, cũng như trong quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn này.Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các Thầy Cô trong Bộ môn Toán Ứngdụng, khoa Khoa học Ứng Dụng, Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốcgia thành phố Hồ Chí Minh, những người đã truyền thụ kiến thức giúp tôicó một nền tảng tri thức khoa học để thực hiện luận văn và hoàn tất khóahọc.

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những người bạn ở lớp Cao học ToánỨng Dụng các khóa 2018, 2019, 2020 đã có rất nhiều hỗ trợ, giúp đỡ tôi trongquá trình học tập và thực hiện luận văn.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân trong gia đìnhtôi, đã luôn đồng hành, động viên, chia sẻ khó khăn và tạo những điều kiệntốt nhất cho tôi trong học tập và làm việc.

Cuối cùng, tôi xin trân trọng tiếp nhận tất cả những đánh giá và góp ýquý báu của quý Thầy Cô, các bạn bè và đồng nghiệp cũng như tất cả nhữngai có quan tâm đến luận văn này, giúp tôi có được cơ hội bổ sung kiến thứcđể hoàn thiện những hạn chế và thiếu sót khó tránh khỏi trong quá trìnhthực hiện luận văn.

Rất trân trọng và xin chân thành cảm ơn.

Thành phố Hồ Chí Minh, 12 2021Người thực hiện Luận văn

Nguyễn Thị Hồng Vân

Xây dựng bước lặp cho các phương trình ma trận để tìm ra dãy hội tụ về nghiệmxác định dương duy nhất.

Nội dung luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 là Kiến thức chuẩn bị trình bày về các khái niệm cơ bản, các định lýliên quan đến lý thuyết ma trận xác định dương, nón, điểm bất động, trung bìnhnhân có trọng số.

Chương 2 là Phương trình ma trận nói về phương trình ma trận với trung bìnhnhân có trọng số.

Chương 3 là Ứng dụng nêu ra ứng dụng của phương trình ma trận với trungbình nhân có trọng số.

Thesis content includes 3 chapters:

Chapter 1 is Preparatory knowledge presenting basic concepts, theorems relatedto the theory of positive definite matrices, fixed point, cone of positive definitematrices.

Chapter 2 is the Matrix Equations talking about Some Matrix Equations volving The Weighted Geometric Mean.

In-Chapter 3 is the Matrix Equations Applications which shows the use of MatrixEquations Involving The Weighted Geometric Mean.

Tôi tên Nguyễn Thị Hồng Vân, MSHV: 1970748, là học viên cao họcchuyên ngành Toán Ứng dụng khóa 2019-2021 của trường Đại học BáchKhoa TP Hồ Chí Minh

Xin cam đoan toàn bộ những gì trình bày trong luận văn này là do chínhtôi thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Lê Xuân Đại, khoa Khoahọc Ứng dụng trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia Thành phố HồChí Minh.

Trong toàn bộ luận văn, hầu hết các kết quả nghiên cứu từ các công trìnhkhoa học của các tác giả khác, khi tôi thu thập, chọn lọc để trình bày, tríchdẫn hoặc tham khảo, tôi đều có ghi rõ địa chỉ để người đọc tham chiếu.

Tôi xin cam đoan về những gì đã nêu trên đây là sự thật và xin chịu toànbộ trách nhiệm về những gian dối về tác quyền nếu có trong luận văn này.

TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2021Người thực hiện luận văn

Nguyễn Thị Hồng Vân

Mục lục

2.1.1 Trung bình nhân có trọng số A♯tB 27

2.1.2 Nhận xét 29

2.2 Giới thiệu Phương trình ma trận 30

2.3 Phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số 33

2.3.2 Phương trình Xp = A + Pj

i=1MiT(X♯tB)Mi+ Pm

i=j+1MiT(X−1♯tB)Mi 40

2.4 Nhận xét 46

Chương 3 ỨNG DỤNG 493.1 Giới thiệu Qubit 49

3.2 Ứng dụng đo lường độ trung thực các trạng thái lượng tử 51

3.2.1 Hàm trung thực lượng tử Matsumoto 52

A♯BTrung bình nhân của A và B

A♯tBTrung bình nhân trọng số t của A và B

(A1−t2tBA1−t2t)tTrung bình nhân trọng số tổng quát t của A và BA−1 Ma trận nghịch đảo của ma trận A

AT Ma trận chuyển vị của ma trận A

A ∼ BMa trận A đồng dạng ma trận Br(A), rank(A)Hạng của ma trận

A > 0Ma trận A đối xứng xác định dươngdet(A)Định thức ma trận A

Tích

⟨u, v⟩Tích vô hướng của hai vector u, v

b→∞arb Giới hạn của arb khi b→∞

|0⟩Trạng thái Qubit ứng với giá trị nhị phân 0|1⟩Trạng thái Qubit ứng với giá trị nhị phân 1

θ, γ, φCác số thực trên các trục Ox, Oy, Oz của Quả cầu BlochT rVết của trạng thái lượng tử

ρ, σTrạng thái lượng tử Qubit

FM(ρ, σ)Hàm đo độ trung thực lượng tử Mastsumoto

Danh sách bảng

3.1Các hình thái vật lý của Qubit .50

1.1Các tập lồi 17

1.2Các tập không lồi 17

1.3Nón ma trận xác định dương A 21

2.1Trung bình nhân có trọng số A♯tB .27

2.2Trung bình nhân A♯B .28

3.1Quả cầu Bloch .51

3.2Không gian của các ma trận bán xác định dương .53

3.3Minh họa hình học của Độ trung thực lựợng tử Matsumoto 56

3.4Code Matlab toán tử lượng tử Tsallis entropy 58

4/ C.Jung, H.M Kim, Lim, On the solution of the nonlinear matrix tion Xn = f (X), Linear Algebra Appl (2009)

equa-Nhận thấy đây là một vấn đề lý thuyết mới và sẽ có nhiều ứng dụng trongtương lai nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu "PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬNVỚI TRUNG BÌNH NHÂN CÓ TRỌNG SỐ VÀ ỨNG DỤNG" cho luận văncủa mình.

Mục đích nghiên cứu:

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu hai vấn đề chính củabài toán là phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số và ứng dụng.

Đối tượng nghiên cứu:

Chúng tôi nghiên cứu trên các đối tượng: Ma trận xác định dương, Lý thuyếtĐịnh lý điểm bất động, nón của ma trận xác định dương, phương trình ma

Phương pháp nghiên cứu:

- Sử dụng các phương pháp của đại số hiện đại như : từ phương trình matrận với trung bình nhân mở rộng ra phương trình ma trận với trung bìnhnhân có trọng số tổng quát.

- Đọc, phân tích tìm hiểu rõ các chứng minh của các định lý trong tài liệutham khảo.

Nội dung và phạm vi của vấn đề sẽ nghiên cứu:

Ngoài phần lời mở đầu và kết luận, chúng tôi chia luận văn thành ba chương.

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: ở đây nêu lên các định nghĩa quan trọngcủa lý thuyết ma trận xác định dương, nón, điểm bất động có liên quan đếnvấn đề nghiên cứu của đề tài.

Chương 2: Vận dụng lý thuyết ma trận xác định dương, định lý điểmbất động, nón của ma trận xác định dương để chứng minh phương trình matrận với trung bình nhân có trọng số có nghiệm xác định dương duy nhất.

Chương 3: Nêu ra ứng dụng của phương trình ma trận với trung bìnhnhân có trọng số trong đo lường độ trung thực các trạng thái lượng tử vàtoán tử lượng tử Tsallis entropy.

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1Lý thuyết ma trận xác định dương

1.1.1Các định nghĩa cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 Ma trận AT = (aij)n×m được gọi là chuyển vị của ma trận

A = (aij)m×n từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma trận A thành cột củama trận chuyển vị.

Ví dụ 1.1.1 Cho A =

1 2 32 0 3

−→ AT=

1 22 03 3

Định nghĩa 1.1.2 Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trậnvuông B sao cho AB = BA = I Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của matrận A.

Định nghĩa 1.1.6 Ma trận Ađược gọi là chéo hóa trực giao được nếu tồn tại matrận P và ma trận chéo D sao cho A = P−1DP = PTDP.

Định nghĩa 1.1.7 Ma trận A¯′ = (¯aij)n×m được gọi là chuyển vị liên hợp của matrận A = (aij)m×n

Kí hiệu: A¯′= A∗

Định nghĩa 1.1.8 Ma trận U, được gọi là ma trận Unita nếu I = U∗U.Trong đóI là ma trận đơn vị, U∗ là ma trận chuyển vị liên hợp của U.

Nếu U là ma trận Unita thì U khả nghịch.

detU = ±1, trong đó, detU là định thức của ma trận U vì:

1 = detI = det(U∗U ) = detU∗.detU = (detU )2

Định nghĩa 1.1.9 Ma trận thỏa điều kiện A = ¯A′ được gọi là ma trận Hermite.

Định nghĩa 1.1.10 Cho ma trận A, nếu λ và vector x thỏa phương trình

Ax = λx, x ∈Cn, x ̸= 0, λ ∈ C (1.1)

λ được gọi là trị riêng của A

x được gọi là vector riêng của A ứng với trị riêng λ.

Ví dụ 1.1.2 Cho A =

1 65 2

và u =

, v =

Ta có: Au =

1 65 2

= −4

= −4u

u =

là vector riêng ứng với trị riêng λ = −4

Định lý 1.1.1 Mọi ma trận đối xứng thực A có thể đưa về dạng đường chéo nhờphép biến đổi trực giao Hay tồn tại ma trận trực giao T sao cho T′AT có dạngđường chéo, tức là T′AT = diag(λ1, λ2, , λn).

Trong đó λi là các trị riêng của ma trận A.

Định nghĩa 1.1.11 Cho hai ma trận A và B, ma trận A và B được gọi là đồngdạng (A similar to B) nếu có một ma trận T sao cho B = T−1AT.

Kí hiệu: A ∼ B

Ví dụ 1.1.3 Cho A =

4 3−1 1

B = T−1AT =

−1 −1−2 −1

4 3−1 1

−1 −1−2 −1

5 −1

Định nghĩa 1.1.12 Cho tập hợp V khác rỗng Các phần tử của tập V qui ướcgọi là các vector Trong V xác định hai phép toán: phép cộng hai vector và phépnhân hai vector với một số α ∈K.

Tập hợp V với hai phép toán trên được gọi là không gian vector trên tập K Kíhiệu Kkgv, nếu 10 tiên đề sau thỏa:

6 ∀x ∈ V, ∃x1∈ V thỏa x + x1= 0 Vector x1 được gọi là vector đối của vector x

Tích vô hướng của hai vectorx và y được Kí hiệu: (x, y) :

Cho V là không gian Euclide.

1 Độ dài vector x ∈ V là đại lượng ∥x∥=p(x, x)

2 Mỗi vector trong không gian n chiều coi là một điểm Khoảng cách giữa haivector x và y là Khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn bởix và y là đại lượng:

d(x, y) = ∥x − y∥=p(x − y, x − y)

Định nghĩa 1.1.15 Cho hai vector x, y ∈ Rn, với x = (x1; x2; ; xn),

y = (y1; y2; ; yn) Tích vô hướng chính tắc của hai vector x và y trên Rn là:

⟨x, y⟩ = x1y1+ x2y2+ + xnyn

Ví dụ 1.1.4 Cho hai vector u = (1; 2), v = (2; −1) trong R2

Tích vô hướng của 2 vector u, v là: −12

Định nghĩa 1.1.16 Cho ma trận vuông Ann Tất cả các định thức con được tạonên dọc theo đường chéo chính được gọi là định thức con chính cấp 1, 2, n.

A =

a11 a12 a1na21a22 a2n

· · · · .

an1 an2 ann

Các định thức con chính:

∆1 = |a11|∆2 =

a21 a22

a21 a22 a23a31 a32 a33

, , ∆n = det(A).

Ví dụ 1.1.5 A =

2 −10−12 −10 −12

= 3

det(B) = det(VTV ) = (det(V ))2 ≥ 0

(4) ⇒ (1): Dùng qui nạp chứng minh Giả sử A có vector riêng v và trị riêng

λ < 0 Nếu A có một trị riêng ≤ 0 thì det(A) ≤ 0 Ngược lại, chọn vector riêng u

trực giao với vector riêng v với trị riêng µ ≤ 0.

Chọn s ∈ R, vector w = v + su có ít nhất tọa độ 0, được gọi là ith.

Nếu A′ là ma trận từ A bằng cách bỏ cột thứ i và hàng i, w′ được tạo nên từ

w, ta có (w′)A′w′= wTAw = λ + s2µ < 0.

Nên A′ không xác định (đã chứng minh (1) ⇔ (3)) Áp dụng qui nạp, ta đượcđiều phải chứng minh ■

Định nghĩa 1.1.18 Cho ma trận A đối xứng xác định dương.

Ma trận B = PTAP được gọi là tương đẳng (congruent) với ma trận A, (matrận P khả nghịch).

Tính chất 1.1.1 Ma trận đối xứng thực A là xác định dương khi và chỉ khi tồntại duy nhất một ma trận đối xứng thực xác định dương B sao cho B = A12.

Chứng minh: A12 đối xứng xác định dương và A−12 đối xứng xác định dươngTa có ma trận A, B đối xứng xác định dương

Ví dụ 1.1.6 Ma trận D =

4 0 00 3 00 0 9

đối xứng xác định dương

20 00√

3 000 3

đối xứng xác định dương

0 3−1/2 000 9−1/2

đối xứng xác định dương

Định lý 1.1.3 Cho A là ma trận nghịch đảo, phân tích Schur:

A BCD

I0CA−1 I

0 D − CA−1B

Tính chất 1.1.2 Giả sử A, B là hai ma trận đối xứng xác định dương Khi đó,

ma trận khối

A XX∗ B

là xác định dương khi và chỉ khi A ≥ XB−1X∗

Chứng minh:Xét congurence

A XX∗ B

A XX∗ B

−XB−1 I

A − XB−1X∗ X − XB−1B

A − XB−1X∗ 0

DoB là ma trận xác định dương nên ma trận

A − XB−1X∗ 0

xác định

dương khi và chỉ khi A − XB−1X∗≥ 0 hay A ≥ XB−1X∗.

A XX∗ B

xác định dương khi và chỉ khi A ≥ XB−1X∗.

Mệnh đề 1.1.4 Ma trận A và B đồng dạng nên A và B có cùng tập trị riêng

Định lý 1.1.5 Cho ma trận I vuông cấp n, ma trận U unita cấp n

IUU∗ I

= n

Chứng minh

r(A.B) = r(A) nếu B khả nghịch

r(cA) = r(A) nếu C khả nghịch

IUU∗ I

= r

IUU∗ I

IOU∗ I

= r

O OU∗ I

IOưU∗ I

= r

O OU∗ I

= n

Định nghĩa 1.1.19 Cho ma trận P khả nghịch cấp n Ma trận Q, R, S cấp n

= n ⇔ S = RPư1Q

Chứng minh

= r

I0ưSư1R I

= r

P ư QSư1 0R S

I0ưSư1R I

= r

P ư QSư1R0

= n

⇒ P ư QSư1R = 0⇒ QSư1R = P⇒ S = RPư1Q

Định lý 1.1.6 Cho ma trận An×n đối xứng, có hạng 0 ≤ r ≤ n thì:

IUU∗ I

= n

Mệnh đề 1.1.7 Hai ma trận A và B đối xứng có cùng hệ số quán tính (tức làchỉ số dương, chỉ số âm quán tính của ma trận A và B bằng nhau, số các trị riêngdương, trị riêng âm của ma trận A và B bằng nhau)

1.2Lý thuyết nón

1.2.1Các định nghĩa cơ bản

Định nghĩa 1.2.1 Tập X là không gian metric nếu với mọi cặp phần tử x, y ∈ X

luôn có số không âm ρ(x, y) ≥ 0 được gọi là khoảng cách giữa phần tử x, y thỏa cáctính chất sau:

1 ρ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

2 ρ(x, y) = ρ(y, x)(x, y ∈ X)

3 ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z)(x, y, z ∈ X)

Định nghĩa 1.2.2 Không gian tuyến tính E được gọi là định chuẩn nếu ∀x ∈ E

luôn có số không âm tương ứng∥x∥ ≥ 0, gọi là chuẩn của phần tửx, thỏa các tínhchất sau:

1 ∥x∥ = 0 khi x = 0;

2 ∥αx∥ = |α|∥x∥(∀x ∈ E, α ∈R)

3 ∥x + y∥⩽∥x∥ + ∥y∥(∀x, y ∈ E)

Trong không gian định chuẩn E chúng ta đưa ra khoảng cách theo công thức

ρ(x, y) = ∥x − y∥ Với khoảng cách này không gian này trở thành không gian mêtric

Định nghĩa 1.2.3 Phần tử x của không gian metric X được gọi là giới hạn củadãy các phần tử (xn) ⊂ X, nếu như dãy số ρ(xn, x) → 0 khi n → ∞.

Trong trường hợp này ta viết x = lim

Định nghĩa 1.2.4 Dãy(xn) của không gian metricX được gọi là dãy cơ bản nếu

∀ε > 0tồn tạiN = N (ε) > 0, sao cho∀n, m > N luôn có bất đẳng thứcρ(xn, xm) < ε.Mọi dãy hội tụ (xn) ⊂ X là dãy cơ bản.

Định nghĩa 1.2.5 Không gian metric(X)được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy cơ bảncủa nó đều hội tụ.

Định nghĩa 1.2.6 Không gian định chuẩnE được gọi là không gian Banach nếukhông gian metricE là không gian đầy đủ.

Định nghĩa 1.2.7 Hình cầu mở U (x0, ε) bán kính dương ε > 0 với tâm x0 đượcgọi là lân cận của điểm x0.

Kí hiệu: O(x0, ε)

Định nghĩa 1.2.8 Điểm x0 của không gian metric X được gọi là điểm trong củatập hợp M ⊂ X, nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho O(x0, ε) ⊂ M

Định nghĩa 1.2.9 Cho X, Y là hai không gian metric Nếu ứng với mỗi phần tử

x ∈ X luôn tìm được một phần tử được xác định hoàn toàn y ∈ Y, thì đã xác định

một ánh xạ hay một toán tử từ không gian metric X đến không gian metric Y.Ánh xạ (toán tử) được kí hiệu là: A : X → Y

Nếu Y = X, thì toán tử A : X → Y được xác định trong không gian metric X.

Định nghĩa 1.2.10 Tập hợp F của không gian metric X chứa trong nó tất cảnhững điểm giới hạn của mình, được gọi là tập đóng.

Định nghĩa 1.2.11 Tập hợp conS của không gian định chuẩnE được gọi là tậplồi nếu với hai phần tử bất kì a, b ∈ S thì đoạn [a, b] cũng thuộc S

Định nghĩa 1.2.12 Tập hợp conS của không gian định chuẩnE được gọi là tậplồi nếu với hai phần tử bất kì a, b ∈ S thì phần tử (1 − λ)a + λb ∈ S, ∀λ ∈ [0; 1]

Hình 1.1: Các tập lồi

Hình 1.2: Các tập không lồi

Định nghĩa 1.2.13 Tập hợp đóng P của không gian Banach E được gọi là nónnếu thỏa mãn các tính chất sau:

Dấu thứ tự bộ phận ⩽ có những tính chất giống tính chất của dấu số học ≦

Định nghĩa 1.2.14 Nón P chứa các điểm bên trong, được gọi là nón đặc (solidcone)

Định nghĩa 1.2.15 Nón P của không gian Banach E được gọi là tái sản xuấtnếu mỗi phần tử x ∈ E được biểu diễn dưới dạng x = u − v, với u, v ∈ P.

Chú ý: Mọi nón đặc P đều là nón tái sản xuất Trong không gian Banach vô hạnchiều tồn tại nón tái sản xuất nhưng không là nón đặc.

Định nghĩa 1.2.16 Nón K của không gian Banach được gọi là nón chuẩn nếutồn tại số cố định N > 0 sao cho từ 0⩽x⩽y suy ra ∥x∥≦N ∥y∥.

Định nghĩa 1.2.17 Nón K của không gian Banach được gọi là nón chuẩn nếutồn tại số dương δ sao cho ∥x + y∥ ≥ δ,∀x, y ∈ P,∥x∥ = 1,∥y∥ = 1

Định nghĩa 1.2.18 Cho nón K ⊂ E được gọi là đúng toàn phần, nếu như đốivới mọi dãy tăng bị chặn trên (xn) ⊂ P x1 ⩽x2 ⩽ ⩽xn ⩽

∥x∥≦L < ∞(n ∈ N )

Định lý 1.2.1 Cho K là nón trong E Các khẳng định sau là tương đương:

1 K là nón chuẩn

2 Tồn tại hằng số γ > 0 sao cho

∥x + y∥ ≥ γmax{∥x∥, ∥y∥}∀x, y ∈ P

3 Tồn tại số dương N > 0, θ ≤ x ≤ y suy ra ∥x∥ ≤ N ∥y∥ nghĩa là chuẩn ∥.∥ làbán đơn điệu

4 Tồn tại chuẩn tương đương ∥.∥1 trên E sao cho θ ≤ x ≤ y suy ra ∥x∥1≤ ∥y∥1,tức là ∥.∥1 đơn điệu ∥x∥1

Định nghĩa 1.2.19 NónK được gọi là nón chuẩn tắc (normal cone), nếu tồn tạisố α > 0 sao cho

0 ≤ x ≤ y ⇒ ∥x∥ ≤ α∥y∥

Số nguyên dương nhỏ nhất thỏa tính chất trên gọi là hằng số chuẩn tắc.

Định nghĩa 1.2.20 NónP được gọi là nón chính qui (regular cone), nếu mọi dãytăng và bị chặn trên đều hội tụ trong E.

Tức là: dãy {xn}(n ≤ 1) thỏa x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ ≤ y ∈ E khi đó tồn tại x∗ ∈ E

sao cho ∥xn− x∗∥ → 0

Mệnh đề 1.2.2 Mọi nón chính qui là nón chuẩn tắc

Định nghĩa 1.2.21 Cho E là không gian Banach, P là một nón trong E sao chophần trong của P khác rỗng Cho X là một tập hợp khác rỗng, ∀x, y, z ∈ X Ánh

xạX × X → E là một metric nón nếu thỏa các tiên đề sau:

1 d(x, y) ≥ 0 và d(x, y) = 0 ⇔ x = y

2 d(x, y) = d(y, x)

3 d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

(X, d) được gọi là không gian metric nón.

Định nghĩa 1.2.22 Cho F là tập hợp con của không gian vector định chuẩn E.Ánh xạ f : F → F được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số thực k ∈ [0, 1] sao cho

Chứng minh: Nón của ma trận xác định dương

Gọi P = X ∈ Mn×m là tập lồi đóng, X, A, B ∈ Mn×m là các ma trận đối xứng, xác

định dương.Ánh xạ A : P → P

x → y = A(x), với x = A(x), x ∈ P, t ∈ [0, 1]

Gọi X1, X2∈ P

VìP là tập lồi đóng nên tX1+ (1 − t)X2∈ P

Đặt X = tX1+ (1 − t)X2

∀x ̸= 0 : xTXx > 0 → XT(tX − 1 + (1 − t)X2)X = txTX1x + (1 − t)xTX2x > 0P = A ∈ Mnn với A là các ma trận đối xứng xác định dương.

Vậy P là nón chuẩn, cũng là nón của các ma trận đối xứng xác định dương ■

Ví dụ 1.2.1 Cho ma trận xác định dương A =

x yy z

với (x ∈ (0, 1), y ∈

(−1, 1), z ∈ (0, 1))

Ma trận A được minh họa ở hình sau:

Hình 1.3: Nón ma trận xác định dương A

1.2.3Điểm bất động

Định nghĩa 1.2.24 Cho ánh xạ f : E → E Điểm x được gọi là điểm bất độngđối với ánh xạ f nếu thỏa mãn f (x) = x

Định lý 1.2.4 Cho F là tập hợp con của không gian định chuẩn E và ánh xạ

f : E → E Nếu tập F đầy đủ và f là ánh xạ co thì f có duy nhất một điểm bấtđộng và ∀a ∈ F, dãy số {un}, n ∈ N xác định bởi {u0= a, ∀n ∈ N, un+1= un} hội tụđến điểm bất động.

Chứng minh

1.Điểm bất động là duy nhấtGiả sử có hai điểm bất động là x và y.Xét d(x, y) = d(f (x), f (y) ≤ kd(x, y)d(x, y)(k − 1) ≥ 0 ⇒ d(x, y) = 0 ⇔ x = y.2.Tồn tại điểm bất động

Ta có: u0 = au1= f (u0)u2= f (u1)· · ·

un+1= f (un) = fn(u0)

Áp dụng dãy Cosi, ∀ε > 0, ∃nε, ∀p, q > nε, p > q, |up− uq| < ε

• d(un+1, un) = d(f (un), f (un−1)) ≤ kd(un, un−1) ≤ kkd(un−1, un−2) ≤ ≤ kn(u1−

• d(up+r, up) =≤ d(up+r, up+r−1) + d(up+r−1, up+r−1) + d(up+1, up)d(up+r, up) =≤ kr−1d(u1, u0) + kr−2d(u1, u0) + · · · + kd(u1, u0)= d(u1, u0)[kr−1+ kr−2+ + k] = k1 − k

Mệnh đề 1.2.5 Quan hệ ≤ là một quan hệ thứ tự trên E

Định lý 1.2.6 Cho (X, d) là một không gian metric nón đầy đủ, P là nón chuẩntắc với hằng số chuẩn tắc K và T là một ánh xạ co trên X.

Khi đó, T có duy nhất một điểm bất động trong X và với bất kì x ∈ X, dãy lặp

(Tn(x))+∞0 hội tụ đến điểm bất động.

Định nghĩa 1.2.26 Toán tử T xác định trong không gian Banach E với nón P

được gọi là đơn điệu trên tập hợpM ⊂ E nếu∀x, y ∈ M, x⩽y suy ra Ax ⩽Ay

Định nghĩa 1.2.27 Cho P là nón trên không gian Banach E, ≤ là thứ tự đượcđịnh nghĩa trong P D là tập con của E.

Toán tử T : D −→ E

1 Là toán tử tăng nếux1 ≤ x2, (x1, x2∈ D), T x1 ≤ T x2,

2 Là toán tử tăng ngặt nếu x1< x2, (x1, x2∈ D), T x1 < T x2

3 Là toán tử tăng mạnh nếu x1< x2, (x1, x2∈ D), T x1≪ T x2 trường hợp P ̸= Θ˚

Tương tự, toán tử T giảm:

1 Là toán tử giảm nếu x1≤ x2, (x1, x2∈ D), T x1≥ T x2,

2 Là toán tử giảm ngặt nếu x1 < x2, (x1, x2∈ D), T x1> T x2

3 Là toán tử giảm mạnh nếux1 < x2, (x1, x2 ∈ D), T x1 ≫ T x2 trường hợp P ̸= Θ˚

Định lý 1.2.7 Cho u0, v0 ∈ E, u0 < v0 và A = [u0, v0] −→ E là toán tử tăng Giảsử rằng A = [u0, v0] là tập đóng của E Nên A có ít nhất một điểm cố định trong

[u0, v0].

Định nghĩa 1.2.28 Cho D là tập con của E, toán tử T : D × D → E T là toántử đơn điệu hỗn hợp (mixed monotone) nếu T (x, y) tăng đối với x và giảm đối với

y, nghĩa là:

1 Nếux1 ≤ x2, (x1, x2∈ D) suy ra T (x1, y) ≤ T (x2, y) với y ∈ D

2 Nếuy1≤ y2, (y1, y2∈ D) suy ra T (x1, y) ≥ T (x2, y) với x ∈ D

Các lý thuyết về nón, ma trận xác định dương, điểm bất động rất đa dạng vàrất rộng Trong khuôn khổ của chương này chúng tôi chỉ nêu ra các khái niệm,các định lý, tính chất, một số ví dụ có liên quan đến việc chứng minh và giải các

phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số Chúng ta có thể tìm hiểusâu hơn qua các tài liệu [1], [2], [3], [4] , [5]

PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN

2.1Trung bình nhân có trọng số

Hơn 2500 năm trước, người Hy Lạp cổ đại đã xác định một danh sách gồmmười loại số trung bình Tất cả các số trung bình này được xây dựng bằng cách sửdụng các tỉ lệ hình học Chủ yếu gồm 3 loại chính là trung bình toán học, trungbình nhân và trung bình điều hòa Trung trung bình nhân được sử dụng giới hạncho các số dương và các hàm dương Trung bình nhân với tham số t của hai sốdương a và b được định nghĩa là a1−tbt với t ∈ [0, 1] Với t = 1/2, trung bình nhân(standard geometric mean) của a và b là p(ab).

Năm 1970, Kubo và Ando nghiên cứu về trung bình toán tử tuyến tính dương [?],nghiên cứu này được quan tâm và thu hút nhiều nhà khoa học, sau đó đến năm1975, Pusz và Woronowicz [6] mở rộng và đưa ra giá trị trung bình nhân cho haima trận đối xứng xác định dương A và B là:

A♯B = A1/2(A−1/2BA−1/2)1/2A1/2