52 Lịch sử các chứng minh của bất đẳng thức giữa trung bình cộng vàtrung bình nhân 112.1 Các chứng minh trước năm 1901.. Nhằm “kíchhoạt” niềm say mê bất đẳng thức cho học sinh, và cũng x
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM NGUYỄN TÚ UYÊN ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC TÊN ĐỀ TÀI LỊCH SỬ CÁC PHÉP CHỨNG MINH VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN Ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 8460113 Khoá: 24 Người hướng dẫn: TS MAI THÀNH TẤN Bình Định - Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM NGUYỄN TÚ UYÊN LỊCH SỬ CÁC PHÉP CHỨNG MINH VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN Ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 8460113 Người hướng dẫn: TS MAI THÀNH TẤN Mục lục Mục lục 1 Mở đầu i 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Trung bình cộng 1 1.2 Trung bình nhân 5 1.3 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân 5 2 Lịch sử các chứng minh của bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân 11 2.1 Các chứng minh trước năm 1901 11 2.2 Các chứng minh được công bố giữa năm 1901 đến 1934 15 2.3 Các chứng minh được công bố giữa năm 1935 đến 1965 18 2.4 Các chứng minh được công bố giữa năm 1966 đến 1970 26 2.5 Các chứng minh được công bố giữa năm 1971 đến 1988 29 2.6 Các chứng minh được công bố sau năm 1988 40 3 Các ứng dụng của bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân 44 3.1 Các bài toán về tính toán 45 3.2 Các bài toán về tập hợp 45 3.3 Chứng minh các bất đẳng thức khác 46 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 1 Mở đầu Bất đẳng thức là một trong những vấn đề hay và khó nhất của chương trình toán phổ thông bởi nó có mặt ở hầu hết các lĩnh vực của toán học và nó đòi hỏi phải có một vốn kiến thức tương đối vững vàng trên tất cả các lĩnh vực Mỗi người chúng ta nói chung và những người yêu toán nói riêng, dù ít dù nhiều thì cũng từng đau đầu trước một bài toán về bất đẳng thức khó và cũng từng có một cảm giác tự hào và phấn khích khi chính mình chứng minh được một bất đẳng thức nào đó Nhằm “kích hoạt” niềm say mê bất đẳng thức cho học sinh, và cũng xuất phát từ niềm say mê của chính bản thân mình, tôi thực hiện nghiên cứu đề tài về bất đẳng thức, cụ thể là về các chứng minh bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân (còn được gọi tắt là bất đẳng thức AM - GM) và ứng dụng của nó Bên cạnh đó, lịch sử cũng cho thấy đã có nhiều nhà toán học có những đóng góp quan trọng cho những cách chứng minh này như Maclaurin, Cauchy, Liouville, cùng với đó là sự ứng dụng rộng rãi của những chứng minh này trong việc giải toán từ sơ cấp đến cao cấp và đặc biệt là trong các đề thi học sinh giỏi các cấp Chính vì thế, tôi nhận thấy việc nghiên cứu về các chứng minh bất đẳng thức AM – GM có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Nó giúp tôi có cái nhìn tốt hơn trong việc định hướng ôn tập và hơn hết là “kích hoạt” niềm say mê ở lĩnh vực này cho học sinh Vậy nên tôi lựa chọn đề tài “Lịch sử các phép chứng minh và một số áp dụng của bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân” cho đề án thạc sĩ của mình Bất đẳng thức giữa các giá trị trung bình: trung bình cộng và trung bình nhân là một trong những bất đẳng thức kinh điển và quen thuộc của toán học, có nhiều mở rộng và áp dụng vào các chương trình bồi dưỡng nâng cao toán phổ thông cho học sinh Có nhiều khoá luận đã tập trung tìm hiểu chuyên sâu về các dạng mở rộng và các ứng dụng của bất đẳng thức này Tuy nhiên, tôi nhận thấy rằng, việc tìm hiểu lịch i ii sử các chứng minh đi kèm với sự đa dạng về kỹ thuật và các kiến thức liên quan cũng giúp ích nhiều trong việc bồi dưỡng chuyên môn của một giáo viên toán bậc trung học phổ thông Có nhiều tài liệu trên thế giới chứng minh về bất đẳng thức AM – GM trong nhiều lĩnh vực toán học, trong đó có cuốn sách Handbook of Means and Their Inequalities của P.S.Bullen [1] – có đề cập đến một số cách chứng minh bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân và được tôi chọn làm tài liệu tham khảo chính Ngoài ra, một số mở rộng kinh điển và các ứng dụng từ bất đẳng thức này cũng được tôi quan tâm tìm hiểu và tuyển chọn Ngoài mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được bố cục thành 3 chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về trung bình cộng, trung bình nhân và bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân như định nghĩa, định lý và các tính chất của chúng Chương 2: Trình bày về lịch sử các chứng minh của bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân, các chứng minh sẽ được trình bày theo thứ tự ra đời của chúng Gồm có: Các chứng minh được công bố trước năm 1901, các chứng minh được công bố giữa năm 1901 đến 1934, các chứng minh được công bố giữa năm 1935 đến 1965, các chứng minh được công bố giữa năm 1966 đến 1970, các chứng minh được công bố giữa năm 1971 đến 1988 và các chứng minh được công bố sau năm 1988 Chương 3: Trình bày về các ứng dụng của bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân, cũng như cho thấy tầm quan trọng của chúng trong các bài toán tính toán thông thường, các bài toán về tập hợp, về xác suất, hay áp dụng vào để chứng minh các bất đẳng thức khác, Đề án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy T.S Mai Thành Tấn, người luôn nhắc nhở, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và thực hiện để tôi có thể hoàn thành đề án này Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô trong khoa Toán và Thống kê, phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt là quý thầy cô đã trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học toán khóa 24 Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn ủng hộ, iii giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi về mọi mặt trong suốt thời gian tôi học thạc sĩ cũng như hoàn thành đề án này Trong thời gian ngắn hoàn thành đề án, chắc chắn không tránh được được những sai sót cũng như thiếu sót Rất mong nhận được những góp ý, phê bình quý báu của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Trung bình cộng Định nghĩa 1.1.1 Nếu a = (a1, , an) là một bộ n số thực dương thì trung bình cộng của a là An(a) = a1 + + an = 1 n (1.1.1) n n ai i=1 Giá trị trung bình này là giá trị trung bình đơn giản nhất và cho đến nay là phổ biến nhất Trong thực tế đối với một người không phải là nhà toán học đây có lẽ là khái niệm duy nhất để tính trung bình cộng một tập hợp số Trung bình cộng của hai số a và b, (a + b)/2 được biết và sử dụng bởi người Babylon vào năm 7000 trước công nguyên, và xảy ra ở một số bối cảnh trong các tác phẩm của trường phái Pitago, thế kỷ thứ sáu - thứ năm trước công nguyên Aristotle, cũng trong thế kỷ thứ sáu trước công nguyên, đã sử dụng trung bình cộng nhưng không đặt cho nó cái tên này Một cách giải thích khác nảy sinh từ việc hình dung phép cộng là sự tiếp giáp của hai đoạn thẳng Khi đó, câu hỏi được đặt ra là đoạn thẳng nào khi tiếp giáp với chính nó sẽ tạo ra độ dài bằng với độ dài tiếp giáp của hai đoạn thẳng đã cho Ý tưởng của trung bình cộng cũng được tìm thấy trong khái niệm trọng tâm được sử dụng bởi Heron, và trước đó bởi Archimedes vào thế kỷ thứ ba trước công nguyên Trong ký hiệu được giới thiệu trong Định nghĩa 1.1.1, bộ số n có thể được thay thế bằng một số công thức cụ thể như An (a1, , an), hoặc An (ai, 1 ≤ i ≤ n) Hơn nữa nếu n = 2 hậu tố được bỏ qua trừ khi nó thì cần thiết để tránh nhầm lẫn Do đó ta sẽ 1 2 viết A(a), khi n = 2 Khi không bị nhầm lẫn thì a, hoặc chỉ số dưới n, hoặc cả hai có thể được bỏ qua Quy ước 1: Nếu a là một bộ n số với n ≥ 2, và nếu 1 ≤ m ≤ n, Am(a) được viết là Am(a) = a1 + + am m Quy ước 2: Các ký hiệu khác nhau được giới thiệu ở trên sẽ được áp dụng trong các ngữ cảnh khác nhau xuyên suốt luận văn này Quy ước 3: Tất cả các bộ số sẽ dương trừ khi có phát biểu cụ thể khác, tức là nếu a là một bộ số thì trừ khi có phát biểu khác, a ∈ (R∗+)n Một số tính chất cơ bản về số trung bình của bộ các số dương a được liệt kê trong định lý sau Định lý 1.1.2 Nếu h, a, a + h, b là các bộ n số và λ > 0 thì số trung bình A tương ứng có các tính chất sau: (Ad) Tính phân phối An(a + b) = An(a) + An(b) (As) Tính kết hợp An(a) = An ( Am, , Am, am+1, , an) , 1 ≤ m ≤ n (Co) Tính liên tục lim An(a + h) = An(a) (Ho) Tính thuần nhất h→0 An(λa) = λAn(a), λ > 0 (In) Tính nội bộ min a ≤ An(a) ≤ max a (1.1.2) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a là hằng, tức là các thành phần của a không đổi (Mo) Tính đơn điệu Nếu a ≤ b thì An(a) ≤ An(b) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b 3 (Re) Tính phản xạ Nếu a là hằng, tức là ai = a, 1 ≤ i ≤ n, thì An(a) = a (Sy) Tính đối xứng An (a1, , an) không đổi nếu hoán vị các phần tử của a Nhận xét 1.1.3 Rõ ràng là bất đẳng thức 1.1.2 khẳng định cho tên gọi của giá trị trung bình Nếu các bất đẳng thức là “nghiêm ngặt”, thì tính chất (In) sẽ được gọi là tính nội hàm nghiêm ngặt Nhận xét 1.1.4 Khái niệm “đơn điệu” cũng có thể được xem xét một cách chặt chẽ, đơn điệu nghiêm ngặt, khi các đẳng thức không xảy ra Tiếp theo, ta đi xét một khái niệm tổng quát của số trung bình: trung bình cộng có trọng số Định nghĩa số trung bình cộng cho bộ n số a chứa trọng số w như sau Định nghĩa 1.1.5 Cho hai bộ số a, w, trung bình cộng có trọng số của a với trọng số w là An(a; w) = w1a1 + + wnan = 1n wiai, (1.1.3) w1 + + wn W n i=1 ở đây Wn = w1 + · · · + wn Có thể dễ dàng kiểm tra rằng giá trị trung bình với trọng số có tất cả các tính chất được liệt kê trong Định lý 1.1.2 ngoại trừ tính chất (Sy) Thay vào đó, giá trị trung bình này có tính chất sau: (Sy*) Tựa đối xứng: An(a; w) không đổi nếu a và w được hoán vị đồng thời, tức là: An (a; w) = An (w; a) Chú ý 1.1.6 Từ nay ta sẽ kí hiệu Wn là tổng của các phần tử trong bộ số w cho trước Nhận xét 1.1.7 Tên gọi trung bình cộng thường sẽ đề cập đến (1.1.3), công thức (1.1.1) là trung bình cộng với các trọng số bằng nhau 4 Tính nội bộ của bất đẳng thức trong (1.1.2) cho trung bình cộng có trọng số được đưa ra trong kết quả sau Bổ đề 1.1.8 (a) Nếu a, b và w là các bộ n số với các phần tử khác 0, thì min a.b−1 ≤ An(a; w) ≤ max a.b−1 An(b; w) (b) Nếu Wn = 1 và n ≥ 2, thì min w √ai − √aj 2 max a − An(a; w) ≥ n + 1 1≤i