Lịch sử các phép chứng minh và một số áp dụng của bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân

52 Lịch sử các chứng minh của bất đẳng thức giữa trung bình cộng vàtrung bình nhân 112.1 Các chứng minh trước năm 1901.. Nhằm “kíchhoạt” niềm say mê bất đẳng thức cho học sinh, và cũng x

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Người hướng dẫn: TS MAI THÀNH TẤN

Bình Định - Năm 2023

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Mục lục

1.1 Trung bình cộng 1

1.2 Trung bình nhân 5

1.3 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân 5

2 Lịch sử các chứng minh của bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân 11 2.1 Các chứng minh trước năm 1901 11

2.2 Các chứng minh được công bố giữa năm 1901 đến 1934 15

2.3 Các chứng minh được công bố giữa năm 1935 đến 1965 18

2.4 Các chứng minh được công bố giữa năm 1966 đến 1970 26

2.5 Các chứng minh được công bố giữa năm 1971 đến 1988 29

2.6 Các chứng minh được công bố sau năm 1988 40

3 Các ứng dụng của bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân 44 3.1 Các bài toán về tính toán 45

3.2 Các bài toán về tập hợp 45

3.3 Chứng minh các bất đẳng thức khác 46

1

Bất đẳng thức là một trong những vấn đề hay và khó nhất của chương trình toánphổ thông bởi nó có mặt ở hầu hết các lĩnh vực của toán học và nó đòi hỏi phải cómột vốn kiến thức tương đối vững vàng trên tất cả các lĩnh vực Mỗi người chúng tanói chung và những người yêu toán nói riêng, dù ít dù nhiều thì cũng từng đau đầutrước một bài toán về bất đẳng thức khó và cũng từng có một cảm giác tự hào vàphấn khích khi chính mình chứng minh được một bất đẳng thức nào đó Nhằm “kíchhoạt” niềm say mê bất đẳng thức cho học sinh, và cũng xuất phát từ niềm say mê củachính bản thân mình, tôi thực hiện nghiên cứu đề tài về bất đẳng thức, cụ thể là vềcác chứng minh bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân (còn được gọi tắt làbất đẳng thức AM - GM) và ứng dụng của nó Bên cạnh đó, lịch sử cũng cho thấy đã

có nhiều nhà toán học có những đóng góp quan trọng cho những cách chứng minh nàynhư Maclaurin, Cauchy, Liouville, cùng với đó là sự ứng dụng rộng rãi của nhữngchứng minh này trong việc giải toán từ sơ cấp đến cao cấp và đặc biệt là trong các

đề thi học sinh giỏi các cấp Chính vì thế, tôi nhận thấy việc nghiên cứu về các chứngminh bất đẳng thức AM – GM có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Nó giúp tôi có cái nhìntốt hơn trong việc định hướng ôn tập và hơn hết là “kích hoạt” niềm say mê ở lĩnh vựcnày cho học sinh Vậy nên tôi lựa chọn đề tài “Lịch sử các phép chứng minh và một số

áp dụng của bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân” cho đề án thạc sĩ củamình

Bất đẳng thức giữa các giá trị trung bình: trung bình cộng và trung bình nhân làmột trong những bất đẳng thức kinh điển và quen thuộc của toán học, có nhiều mởrộng và áp dụng vào các chương trình bồi dưỡng nâng cao toán phổ thông cho họcsinh Có nhiều khoá luận đã tập trung tìm hiểu chuyên sâu về các dạng mở rộng vàcác ứng dụng của bất đẳng thức này Tuy nhiên, tôi nhận thấy rằng, việc tìm hiểu lịch

i

sử các chứng minh đi kèm với sự đa dạng về kỹ thuật và các kiến thức liên quan cũnggiúp ích nhiều trong việc bồi dưỡng chuyên môn của một giáo viên toán bậc trung họcphổ thông Có nhiều tài liệu trên thế giới chứng minh về bất đẳng thức AM – GMtrong nhiều lĩnh vực toán học, trong đó có cuốn sách Handbook of Means and TheirInequalities của P.S.Bullen [1] – có đề cập đến một số cách chứng minh bất đẳng thứctrung bình cộng – trung bình nhân và được tôi chọn làm tài liệu tham khảo chính.Ngoài ra, một số mở rộng kinh điển và các ứng dụng từ bất đẳng thức này cũng đượctôi quan tâm tìm hiểu và tuyển chọn

Ngoài mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được bố cục thành 3 chương:Chương 1:

Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về trung bình cộng, trung bình nhân và bấtđẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân như định nghĩa, định lý và cáctính chất của chúng

Chương 2:

Trình bày về lịch sử các chứng minh của bất đẳng thức trung bình cộng và trungbình nhân, các chứng minh sẽ được trình bày theo thứ tự ra đời của chúng Gồm có:Các chứng minh được công bố trước năm 1901, các chứng minh được công bố giữanăm 1901 đến 1934, các chứng minh được công bố giữa năm 1935 đến 1965, các chứngminh được công bố giữa năm 1966 đến 1970, các chứng minh được công bố giữa năm

1971 đến 1988 và các chứng minh được công bố sau năm 1988

Chương 3:

Trình bày về các ứng dụng của bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân,cũng như cho thấy tầm quan trọng của chúng trong các bài toán tính toán thôngthường, các bài toán về tập hợp, về xác suất, hay áp dụng vào để chứng minh các bấtđẳng thức khác,

Đề án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy T.S Mai Thành Tấn,người luôn nhắc nhở, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đểtôi có thể hoàn thành đề án này Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy côtrong khoa Toán và Thống kê, phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Quy Nhơn,đặc biệt là quý thầy cô đã trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học toán khóa 24 Cuốicùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn ủng hộ,

giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi về mọi mặt trong suốt thời gian tôi học thạc sĩ cũng nhưhoàn thành đề án này Trong thời gian ngắn hoàn thành đề án, chắc chắn không tránhđược được những sai sót cũng như thiếu sót Rất mong nhận được những góp ý, phêbình quý báu của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp.

số a và b, (a + b)/2 được biết và sử dụng bởi người Babylon vào năm 7000 trước côngnguyên, và xảy ra ở một số bối cảnh trong các tác phẩm của trường phái Pitago, thế

kỷ thứ sáu - thứ năm trước công nguyên Aristotle, cũng trong thế kỷ thứ sáu trướccông nguyên, đã sử dụng trung bình cộng nhưng không đặt cho nó cái tên này Mộtcách giải thích khác nảy sinh từ việc hình dung phép cộng là sự tiếp giáp của hai đoạnthẳng Khi đó, câu hỏi được đặt ra là đoạn thẳng nào khi tiếp giáp với chính nó sẽ tạo

ra độ dài bằng với độ dài tiếp giáp của hai đoạn thẳng đã cho Ý tưởng của trung bìnhcộng cũng được tìm thấy trong khái niệm trọng tâm được sử dụng bởi Heron, và trước

đó bởi Archimedes vào thế kỷ thứ ba trước công nguyên

Trong ký hiệu được giới thiệu trong Định nghĩa 1.1.1, bộ số n có thể được thay thếbằng một số công thức cụ thể như An(a1, , an), hoặc An(ai, 1 ≤ i ≤ n) Hơn nữanếu n = 2 hậu tố được bỏ qua trừ khi nó thì cần thiết để tránh nhầm lẫn Do đó ta sẽ

1

viết A(a), khi n = 2 Khi không bị nhầm lẫn thì a, hoặc chỉ số dưới n, hoặc cả hai cóthể được bỏ qua.

Quy ước 1: Nếu a là một bộ n số với n ≥ 2, và nếu 1 ≤ m ≤ n, Am(a) được viết là

Nếu a ≤ b thì An(a) ≤ An(b) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

(Re) Tính phản xạ

Nếu a là hằng, tức là ai = a, 1 ≤ i ≤ n, thì An(a) = a

(Sy) Tính đối xứng

An(a1, , an) không đổi nếu hoán vị các phần tử của a

Nhận xét 1.1.3 Rõ ràng là bất đẳng thức 1.1.2 khẳng định cho tên gọi của giá trịtrung bình Nếu các bất đẳng thức là “nghiêm ngặt”, thì tính chất (In) sẽ được gọi làtính nội hàm nghiêm ngặt

Nhận xét 1.1.4 Khái niệm “đơn điệu” cũng có thể được xem xét một cách chặt chẽ,đơn điệu nghiêm ngặt, khi các đẳng thức không xảy ra

Tiếp theo, ta đi xét một khái niệm tổng quát của số trung bình: trung bình cộng

có trọng số Định nghĩa số trung bình cộng cho bộ n số a chứa trọng số w như sau.Định nghĩa 1.1.5 Cho hai bộ số a, w, trung bình cộng có trọng số của a với trọng

(Sy*) Tựa đối xứng: An(a; w) không đổi nếu a và w được hoán vị đồng thời, tức là:

An(a; w) = An(w; a)Chú ý 1.1.6 Từ nay ta sẽ kí hiệu Wn là tổng của các phần tử trong bộ số w chotrước

Nhận xét 1.1.7 Tên gọi trung bình cộng thường sẽ đề cập đến (1.1.3), công thức(1.1.1) là trung bình cộng với các trọng số bằng nhau

Tính nội bộ của bất đẳng thức trong (1.1.2) cho trung bình cộng có trọng số đượcđưa ra trong kết quả sau.

Bổ đề 1.1.8 (a) Nếu a, b và w là các bộ n số với các phần tử khác 0, thì

min a.b−1
≤ An(a; w)

An(b; w) ≤ max a.b−1
(b) Nếu Wn = 1 và n ≥ 2, thì

max a − An(a; w) ≥ min w

mwibi ≤ aiwi ≤ M wibi, 1 ≤ i ≤ n,tính tổng trên theo i, khi đó ta được điều phải chứng minh

(b) Gọi S(a) là hiệu giữa vế trái và vế phải của bất đẳng thức trong bổ đề 1.1.12 (b),

ta phải chứng minh rằng S(a) ≥ 0 Đặt w = min w, và không mất tính tổng quátgiả sử rằng a đang giảm Khi đó,

Vì vậy S(a) = a1− An(a; w′), trong đó w′i = wi+ n+1−2in+1 w, 1 ≤ i ≤ n, và wn′ = 1

Do đó bởi (1.1.2), S(a) ≥ 0 ta có điều phải chứng minh

1.2 Trung bình nhân

Trung bình nhân là một giá trị trung bình quen thuộc đã được sử dụng trong mộtthời gian dài Giống như trung bình cộng, nó xuất hiện một cách tự nhiên trong nhiềubài toán đại số và hình học đơn giản, một số trong số đó được tìm thấy ở các côngtrình của Euclid Cái tên hình học có lẽ dựa trên bức tranh của người Hy Lạp về phépnhân hai số dưới dạng tính diện tích hình chữ nhật Sau đó, người ta đặt ra câu hỏi sốnào nhân với chính nó sẽ tạo ra một hình vuông có cùng diện tích với hình chữ nhật

có được bằng cách nhân hai số đã cho

Định nghĩa 1.2.1 Nếu a = (a1, , an) là một bộ n số dương thì trung bình nhâncủa a là

Gn(a.b; w) = Gn(a; w)Gn(b; w), (1.2.3)(Gn(a; w))r = Gn(ar; w) , với mọi r ∈ R (1.2.4)Nhận xét 1.2.4 Một trường hợp đặc biệt đơn giản của (1.2.3) là:

của n số dường như lần đầu tiên xuất hiện trên báo in vào thế kỷ 19, trong các ghi chú

về khóa học của Cauchy được đưa ra tại Ecole Royale, mặc dù một số kết quả trước

đó của Newton cũng có liên quan đến bất đẳng thức này

Định lý 1.3.1 (Bất đẳng thức AM - GM) Cho hai bộ n số dương a và w Khi đó

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi các thành phần trong bộ số a đều bằng nhau

Trước khi chứng minh Định lý 1.3.1, ta sẽ xét một số bổ đề sau đây

Đầu tiên ta xét (GA) trong dạng đơn giản nhất, và đưa ra một số chứng minh vềkết quả rất cơ bản này

Bổ đề 1.3.2 Nếu a và b là các số thực dương thì

√

ab ≤ a + b

2 .Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bổ đề 1.3.3 Nếu a, b là các số thực dương, khi đó bất đẳng thức

aαbβ ≤ αa + βb

sẽ đúng trong các trường hợp sau:

(a) α và β dương và có tổng bằng 1

(b) α < 0 hoặc α > 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bây giờ ta chứng minh Định lý 1.3.1 có thể được suy ra từ trường hợp trọng sốbằng nhau

Bổ đề 1.3.4 Chỉ cần chứng minh Định lý 1.3.1 cho trường hợp các trọng số bằngnhau

Chứng minh Thật vậy, giả sử Định lý 1.3.1 đã được chứng minh với bộ trọng số là các

số bằng nhau w, các đối số số học đơn giản ngay lập tức dẫn đến trường hợp trọng sốhữu tỷ, khi đó (GA) với số thực tổng quát w theo sau bởi một đối số giới hạn

Để hoàn thành chứng minh, cần chỉ ra rằng nếu a không phải là hằng thì (GA) lànghiêm ngặt

Giả sử rằng không phải tất cả các trọng số đều hữu tỷ và viết wi = ui+ vi, trong

Bây giờ ta đưa ra một kết quả nổi tiếng của Cauchy Nó cho phép chứng minh Định

lý 1.3.1 được rút gọn thành trường hợp của các bộ số với n thuộc dãy tăng nghiêmngặt nào đó, thường là nk = 2k, k ∈ N∗, và là một phần của chứng minh (GA) củaCauchy

Bổ đề 1.3.5 Nếu Định lý 1.3.1 đã được chứng minh cho một số nguyên dương cụ thểthì nó đúng với mọi số nguyên dương nhỏ hơn

Chứng minh Theo Bổ đề 1.3.4 chỉ cần xét Định lý 1.3.1 trong trường hợp các trọng

số bằng nhau là đủ Giả sử kết quả đúng khi n = m, với k ∈ N∗, 1 ≤ k < m và a làmột k-bộ số dương Định nghĩa m-bộ số b bởi

Hoặc Gk(a) ≤ A = Ak(a), và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a là hằng.

Nhận xét 1.3.6 Theo Bổ đề 1.3.5 để chứng minh bất đẳng thức (GA) chỉ cần chứngminh rằng nếu 0 < n1 < n2 < , limk→∞nk= ∞ thì giả thiết về tính đúng của (GA)với n = nk suy ra tính đúng của nó với n = nk+1 Ta có thể hình thức hóa điều nàythành nguyên lý quy nạp toán học Cauchy

Định lý 1.3.7 (Nguyên lý quy nạp Cauchy) Giả sử n0 ∈ N∗ và P (n) là một mệnh đềchứa biến theo số nguyên n ≥ n0 sao cho:

(a) P (n0) đúng

(b) Nếu P (k) đúng với một vài k ≥ n0 thì tồn tại một số nguyên nk> k sao cho P (nk)đúng

(c) Nếu P (k) đúng với bất kỳ k > n0 thì P (k − 1) đúng

Khi đó P (n) đúng với mọi n ≥ n0

Trước khi chuyển sang các chứng minh của (GA) ta đưa ra một số dạng đặc biệtđơn giản của bất đẳng thức đó có các ứng dụng hình học thú vị

Bổ đề 1.3.8 Định lý 1.3.1 tương đương với một trong hai điều sau

(a) Nếu a là một bộ số sao choQn

i=1bi = 1, và do đó bởi (a)Pn

i=1bi ≥ n Điều này theo định nghĩa của b chỉ

Do đó hoặc (a) hoặc (b) là đủ để suy ra bất đẳng thức (GA) trong trường hợp trọng

số bằng nhau, mà theo Bổ đề 1.3.4 là đủ để chứng minh bổ đề này

Nhận xét 1.3.9 Cả hai kết quả đều cổ điển và các chứng minh có thể được tìm thấy

ở nhiều nơi

Cả hai phần của bổ đề này đều có những diễn giải hình học đơn giản

Hệ quả 1.3.10 (a) Trong tất cả n-hình hộp có thể tích đã cho, hình hộp có chu vinhỏ nhất là n-hình lập phương

(b) Trong tất cả n-hình hộp có chu vi đã cho, hình hộp có thể tích lớn nhất là n-hìnhlập phương

Hệ quả 1.3.11 Trong tất cả các phép chia của khoảng [0, 1] thành n khoảng con, phépchia thành các khoảng con bằng nhau là phép chia có tích các khoảng là lớn nhất

Bổ đề 1.3.12 (a) Trong trường hợp n = 3 bất đẳng thức (GA) tương đương với mệnhđề: Trong tất cả các tam giác có chu vi cho trước, tam giác đều có diện tích lớnnhất

(b) Trong trường hợp n = 3 bất đẳng thức (GA) với bốn bộ số, tổng của ba bộ số bất

kỳ trong số đó lớn hơn bộ số thứ tư thì tương đương với mệnh đề: Trong tất cả các

tứ giác nội tiếp có chu vi đã cho, hình vuông có diện tích lớn nhất

Chứng minh (a) Gọi a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, s = (a + b + c)/2

là nửa chu vi của nó, khi đó theo công thức của Heron, diện tích của nó là A =ps(s − a)(s − b)(s − c) Khi tam giác đều thì diện tích này là A0 = s2/3√

3 Theo(GA) trong trường hợp n = 3 và trọng số bằng nhau,

Ngược lại nếu a1, a2, a3 là ba số dương bất kỳ, định nghĩa a, b, c bởi a1 =

s − a, a2 = s − b, a3 = s − c, trong đó s như trên là (a + b + c)/2 Khi đó các phéptính đơn giản cho thấy s = a1+a2+a3nên a = s−a1 = a2+a3, b = a3+a1, c = a1+a2

là dương và hơn nữa a + b − c, b + c − a, c + a − b cũng dương, 2a3, 2a1, 2a2 tương

ứng sao cho a, b, c là các cạnh của một tam giác Bây giờ sử dụng các bất đẳngthức trên, ta được

G3(a1, a2, a3) =  A

√s

2/3

≤ A√0s

2/3

= s/3 = A3(a1, a2, a3) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, hoặc a1 = a2 = a3

(b) Gọi a, b, c, d là các cạnh của một tứ giác nội tiếp, s = (a + b + c + d)/2 là nửachu vi của nó, khi đó theo công thức của Brahmagupta, diện tích của nó là A =p(s − a)(s − b)(s − c)(s − d) Khi tứ giác là hình vuông thì diện tích này là A0 =

s2/4 Lưu ý rằng 4− bộ số a1 = s − a, a2 = s − b, a3 = s − c, a4 = s − d có tínhchất cần có trong các giả thiết - tổng của ba bộ số bất kỳ lớn hơn bộ số thứ tư -

áp dụng trọng số bằng nhau (GA) trong trường hợp đặc biệt này để có được

a1 = s − a, a2 = s − b, a3 = s − c, a4 = s − d, trong đó s như trên là (a + b + c + d)/2.Khi đó các phép tính đơn giản cho thấy 2s = a1+ a2+ a3+ a4 nên 2a = 2s − 2a1 =

a2+a3+a4−a1 > 0 và tương tự b, c và d đều dương Hơn nữa a+b+c−d = 2a4 > 0,

b + c + d − a = 2a1 > 0, c + d + a − b = 2a2, d + a + b − c = 2a3 sao cho a, b, c, d làcác cạnh của một tứ giác nội tiếp Bây giờ sử dụng các bất đẳng thức trên

G4(a1, a2, a3, a4) = A1/2 ≤ A1/20 = s/2 = 2s/4 = A4(a1, a2, a3, a4)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d, hoặc a1 = a2 = a3 = a4

Lưu ý rằng Bổ đề 4 cho thấy (GA) với các trọng số bằng nhau và một bộ số đãcho suy ra trường hợp tổng quát cho cùng bộ số hoàn thành chứng minh

Chương 2

Lịch sử các chứng minh của bất

đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân

Trong chương này, chúng tôi trình bày lại các chứng minh định lý AM-GM, trongphạm vi được biết đến, sắp xếp theo thứ tự thời gian Có khoảng bảy mươi bốn chứngminh được đưa ra trong tài liệu tham khảo [ ], nhưng trong đề án này, chúng tôi lựachọn một số chứng minh cho các dạng bất đẳng thức AM-GM tiêu biểu

2.1 Các chứng minh trước năm 1901

(i) Chứng minh của Maclaurin vào khoảng năm 1729

Chứng minh Giả sử rằng 0 < a1 ≤ a2 ≤ ≤ an, a1 ̸= an Nếu a1 và an được thay thếbằng (a1+ an) /2 thì số trung bình cộng tương ứng A không thay đổi, nhưng dễ dàngthấy rằng số trung bình nhân G được tăng lên Nếu bộ số a được biến đổi sao cho Akhông đổi và trong số các bộ số như vậy a′ là bộ số sao cho G đạt giá trị cực đại, lậpluận trên cho thấy a′ phải là một hằng Do đó giá trị cực đại của G đạt được khi tất

cả các số hạng của a bằng nhau và giá trị cực đại này bằng A

Về sự tồn tại của a′ mà G đạt giá trị cực đại đã được coi là hiển nhiên trong chứngminh của Maclaurin Bước bị thiếu này sau đó được được Hardy bổ sung bằng một

11

trong hai lập luận sau đây:

(a) Sử dụng một điều hiển nhiên rằng một hàm liên tục, ϕ, được xác định trên mộttập hợp compact K, đạt giá trị cực đại trên tập hợp đó Trong trường hợp này,nếu x = (x1, , xn),

(b) Sau k bước trong chứng minh của Maclaurin, ta ký hiệu bộ số kết quả bởi a(k) vàgiả sử nó tăng dần Rõ ràng

a(k)1 ≤ a(k+1)1 ≤ ≤ a(k+1)n ≤ a(k)n

Do đó limk→∞ak

1 và limk→∞ank đều tồn tại, ký hiệu lần lượt là a, A Không khó

để nhận thấy rằng sau n bước, sự khác biệt tối đa trong dãy đã được giảm đi ítnhất một nửa; tức là

a(n)n − a(n)1 ≤ an− a1

2

và vì vậy limk→∞a(k)n − a(k)1 = 0, hoặc A = a

(ii) Chứng minh của Cauchy vào năm 1821

Chứng minh Chứng minh cơ bản này phụ thuộc vào một lập luận quy nạp phức tạp

và bao gồm việc chứng minh (GA) cho tất cả các số nguyên n có dạng 2k, k ∈ N∗.Giả sử kết quả đã được biết cho k = m và cho a = (a1, , a2m) , b = (b1, , b2m)

và C = (c1, , c2m+1) = (a, b) = (a1, , a2m, b1, , b2m) Bây giờ

G2m+1(c) =pG2m(a)G2m(b),

≤pA2m(a)A2m(b), (theo giả thiết quy nạp) (2.1.1)

≤ A (A2m(a), A2m(b)) theo (GA) cho trường hợp n = 2, Bổ đề 1.3.3 (2.1.2)

= A2m+1(c)

Đẳng thức xảy ra ở (2.1.1), theo giả thiết quy nạp, khi và chỉ chi a và b đều làhằng, lần lượt ký hiệu là a và b, và tại (2.1.2), bằng nhau khi và chỉ khi a = b, điều đó

có nghĩa là dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi c là hằng

Giả sử (GA) đúng với tất cả các số nguyên nhỏ hơn n và đặt a = (a1, , an−1, x),

n−1

− Gn−1 n−1(a)

Điều này cho thấy rằng f′ tăng, hơn nữa f′ = 0 khi x = x′, tại đó x′ = nGn−1(a) −(n − 1)An(a) Do đó f có một điểm cực tiểu duy nhất tại x′, và giá trị của điểm cựctiểu này là f (x′) = (n − 1)Gn−1n−1(a) (An−1(a) − Gn−1(a)), và theo giả thiết quy nạp

f (x′) ≥ 0

Vì vậy f ≥ 0, điều này hoàn thành chứng minh trừ trường hợp bằng nhau Để

f (x) = 0 ta cần cả x = x′ và f (x′) = 0 Theo giả thiết quy nạp f (x′) = 0 khi và chỉkhi a1 = = an−1 = a, khi đó x′ = a và chứng minh được hoàn thành

(iii) Chứng minh của Thacker năm 1851

Chứng minh Chứng minh quy nạp này dựa trên bất đẳng thức Bernoulli

Bổ đề 2.1.1 (Bất đẳng thức Bernoulli) Nếu x ≥ −1, x ̸= 0, và nếu 0 < α < 1 thì(1 + x)α < 1 + αx Nếu α > 1 hoặc α < 0, tất nhiên là khi x ̸= −1, thì bất đẳng thứcngược lại với bất đẳng thức Bernoulli vẫn đúng

≥ a1Gn−1n−1(a) = Gnn(a), (sử dụng giả thiết quy nạp)

Hơn nữa, bất đẳng thức này là nghiêm ngặt trừ khi a là hằng

(iv) Chứng minh của Hurwirtz năm 1891

Chứng minh Nếu f là một hàm bất kì n biến, đặt P = (f (a1, , an)) = P!f (ai 1, , ain),tổng tất cả các giá trị của f theo các hoán vị của bộ (a1, , an) Ta xét minh hoạ cho

hai trường hợp đặc biệt như sau:

ϕk = P an−k1 + + an−k2
(a1− a2) a3a4 ak+1
Khi đó, dễ dàng nhận thấy, ϕk= P an−k−11 + + an−k−12
(a1− a2)2a3a4 ak+1
,

và vì vậy nếu a là bộ các số dương và không phải là bộ hằng, ϕk > 0, 1 ≤ k ≤ n − 1trong khi nếu a là hằng thì ϕk= 0, 1 ≤ k ≤ n − 1 Hay

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a là hằng

Nhận xét 2.1.3 Chứng minh này thú vị vì đây là lần đầu tiên nó đưa ra giá trị chínhxác của hiệu An(an) − Gn(an)

(v) Chứng minh của Crawford năm 1900

Chứng minh Đây là một biến thể của chứng minh (i), có thể thấy là phức tạp hơnnhưng phép chứng minh sử dụng nhiều các phép tính cơ bản

Giống như chứng minh (i), cho bộ số a sao cho 0 < a1 ≤ ≤ an, a1 ̸= an và địnhnghĩa a′ bằng cách thay đổi a1 thành An(a) = A và an thành a1+ an− A, phần cònlại của ai′ = ai Khi đó An(a′) = A và

Nhận xét 2.1.4 Một chứng minh tương tự đã được xây dựng bằng cách định nghĩa

a′1 = Gn(a) = G, và an = a1a2/G Ý tưởng trong chứng minh này đã được sử dụnglàm cơ sở cho một phương pháp chung để tạo ra các bất đẳng thức khác

(vi) Chứng minh của Chrystal năm 1900

Chứng minh Một lần nữa cho bộ số a tăng dần và không đổi, và giả sử (GA) đúngvới mọi số nguyên nhỏ hơn n Khi đó:

(vii) Chứng minh của Polya năm 1910

Chứng minh Nếu a là một bộ số không đổi, định nghĩa bộ số b bởi ai = (1 + bi) An(a; w), 1 ≤

i ≤ n Khi đó b không phải là bộ số 0 vàPn

i=1wibi = 0, và

(viii) Chứng minh của Dorrie năm 1921

Chứng minh Nếu a là một bộ số không đổi, n ≥ 3 và Qn

i=1ai = 1, thì có ít nhất mộtphần tử lớn hơn 1 và ít nhất một phần tử nhỏ hơn 1, giả sử a2 < 1 < a1 Khi đó

Điều này tương đương với bất đẳng thức (GA)

(ix) Chứng minh của Carr năm 1926

Chứng minh Sau đây là một chứng minh quy nạp đơn giản

Gn(a) = G1/n−1n (a)an−2/n−1n
1/n−1Gn−2/n−1n−1 (a)

Những phép tính đơn giản dẫn đến Gn(a) ≤ An(a)

(x) Chứng minh của Stefensen năm 1930

Chứng minh Đầu tiên ta có bổ đề đơn giản sau

Bổ đề 2.2.1 Nếu a, b là các bộ số tăng dần và a ≤ b, thì (Pn

i=1ai) (Pn

i=1bi) khônggiảm khi hoán vị ak và bk; hơn nữa nó được tăng lên trừ khi ak = bk, hoặc với mọi

i ̸= k, ai = bi Điều này ngay lập tức được suy ra

bi−

n

X

i=1 i̸=k

ai







Sử dụng bổ đề 2.2.1 ta có chứng minh sau của (GA)

Giả sử rằng a là bộ số không tăng liên tục, thì theo bổ đề 2.2.1, ta có

(xi) Chứng minh của Nagell năm 1932

Chứng minh Giả sử rằng a là một bộ số giảm dần, đặt

∆ = n ( An(a) − Gn(a))và

(xii) Chứng minh của Hardy, Littlewood & Polya năm 1934

Chứng minh Giả sử rằng (GA) đã được chứng minh với các số nguyên nhỏ hơn n, thì

(xiii) Chứng minh của Hardy, Littlewood & Polya năm 1934

Chứng minh Sử dụng tính lồi chặt chẽ của hàm mũ ta có:

Gn(a; w) = exp (An(log a; w))

< An(exp ◦ log a; w)

= An(a; w)

2.3 Các chứng minh được công bố giữa năm 1935

đến 1965

(xiv) Chứng minh của Bohr năm 1935

Chứng minh Xét khai triển của exy và xkk!yk trong lũy thừa của y Không quá quantrọng việc không có hệ số của lần khai triển đầu tiên là ít hơn hệ số tương ứng của lầnthứ hai Sau đó khá dễ dàng để thấy rằng điều tương tự cũng đúng với khai triển củahai hàm exp (yPn

i=1xi) và (

Q n i=1 x i)kynk(k!) n , đều thông dụng như kết quả của hàm số củakhai triển trên

So sánh với các hệ số của ynk trong 2 phương trình ta được

Nhận xét 2.3.1 Chứng minh của Bohr không đưa ra những trường hợp đẳng thức,nhưng lập luận đơn giản sau bởi Dinghas giúp hoàn thiện chứng minh Coi như hàmkhông âm d(x) = An(x) − Gn(x) khi đó ∂d/∂xi = (1 − Gn/xi) /n, 1 ≤ i ≤ n Bây giờgiả sử rằng đối với một hằng x ta có d(x) = 0 Chọn i sao cho xi = min x, khi đó

∂d/∂xi âm và vì vậy nếu xi tăng nhẹ thì d âm, đó là một sự mâu thuẫn

(xv) Chứng minh của Walsh năm 1943

Trước hết ta xét bổ đề sau

Bổ đề 2.3.2 Nếu a và w là các bộ số thì

Hoặc tương đương

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a là hằng

Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp, trường hợp n = 1 là tầm thường Vế trái của(2.3.1) bằng

≥ Wn−12 + 2wn Wn−1+ w2n= Wn2.Trường hợp này của đẳng thức dễ dàng được chứng minh

Bây giờ ta chuyển sang chứng minh của Walsh về trường hợp trọng số bằng nhaucủa (GA) sử dụng 2.3.1

Chứng minh Giả sử a không phải là hằng Dễ dàng nhận thấy rằng

Vì vậy

Pn i=1an i

Pn i=1an−1i >

1n

an−1i ≥ (n − 1)

n

Y

i=1 i̸=k

(xvi) Chứng minh của Nanjundiah năm 1952

Chứng minh Cho các bộ số a, w định nghĩa các bộ số b, c như sau:

An(c; w) − Gn(c; w) ≥ An(b; w) − Gn(c; w) = 0

Điều này hoàn thành chứng minh vì rõ ràng ta có thể xác định a từ c, vì vậy c cóthể là một bộ số bất kì, trường hợp để dấu “=” xảy ra được suy ra ngay lập tức

(xvii) Chứng minh của Jacobsthal 1952

Chứng minh Đây là một chứng minh quy nạp đơn giản

= Gn(a)

(xviii) Chúng minh của Devide năm 1956

Chứng minh Nếu a là một bộ số không cố định, bộ số b được xác định bởi ai+ bi =

An(a), khi Bn = 0 Dễ dàng suy ra các đẳng thức sau

Br(br+1+ + bn) = −Br2, 1 ≤ r ≤ n − 1, (2.3.4)

và đặt a để có được các tính chất sau:

Bn = 0; b1b2 < 0; Brbr+1 ≤ 0, 2 ≤ r ≤ n − 1 (2.3.5)Điều này là khả thi vì từ (2.3.4) không phải tất cả Brbj, r + 1 ≤ j ≤ n, đều dương.Các đẳng thức sau cũng có thể được kiểm tra:

Brbr+1 = (An(a) − Br) ar+1− An(a) (An(a) − Br+1) , 1 ≤ r ≤ n − 1,

(xix) Chứng minh của Blanusa năm 1956

Chứng minh Nếu a là một bộ số tăng thì (GA) tương đương với

thỏa mãn đối với quy nạp, nghĩa là chỉ ra (2.3.6) vẫn đúng với n được thay bằng (n+1),

để chứng minh điều này

(xx) Chứng minh của Bellman năm 1957

Chứng minh này sử dụng phương pháp quy hoạch động, sơ lược như sau