Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng: Phương trình vi phân có chậm và ứng dụng trong nghiên cứu các bài toán về dân số

tháng, năm sinh: 27-01-1991 Noi sinh: Binh Dinh Chuyén nganh: Toán ứng dụng MN: 60 46 01 12 L TÊN ĐÈ TÀI: Phương trình vi phân có chậm và ứng dụng trong nghiên cứu các bài toán về dân số

Giới thiệu một số ứng dung cơ ban của phương trình vi phân

Sơ lược về phương trình vi phân có chậm

Hiện nay, để phù hợp với mô hình thực tế trong vật lý, kĩ thuật, sinh học, y hoc , đôi khi ta cần thay đổi phương trình vi phân thường bằng phương trình vi phân có chậm để thể hiện sự phụ thuộc # vào các giá trị trong quá khứ của biến trạng thái x(t) Khi đó, phương trình vi phân thường (PTVPT) sẽ được chuyển thành phương trình vi phân có chậm (PTVPCC) như sau:

#(†) = ƒŒ,x(£ — m), ,#(f — T„)), t> to, với 7; > 0, Vt > to,2 = 1, ,n được gọi là các chậm

Dạng tổng quát nhất của các mô hình còn được thể hiện qua PTVPCC như sau:

% = f(t, x), (1.1) trong đú, x, = ô(t+ 0), 6 € [—r,0], là một hàm thuộc khụng gian cỏc hàm liờn tục từ [—r, 0| vào IR” Ký hiệu: C = Co(|—r, 0], R”) ƒ: — R” là hàm cho trước, với QC Rx C.

Luận văn cao học Một số tính chất của phương trình vi phân có chậm:

Khi đó, bài toán giá trị ban đầu là : x(t) = f(t,a,), t > to,

#ọ = #(fo + 8) = ð2(0) trong đó, (0) € C biểu diễn trang thái ban đầu hoặc trang thái dữ liệu gốc.

Một số tính chất của phương trình vi phân có chậm

Nghiệm PTVPCC không được xác định bởi trạng thái ban đầu của nó tại một thời điểm nào đó, mà trạng thái ban đầu được xác định là một hàm số liên tục trên đoạn [—7, 0].

Và cách tốt nhất dé biết được là ta đi xét PTVP tuyến tính bậc 1 Ta xét bài toán giá trị ban đầu bậc 1 như sau:

= =kz, ô(0)=1 (1.3) có nghiệm là x(t) = exp(kt) (1.4)

Theo quy luật thi việc xét tại x(0) = 1 cho phép ta có thé dự toán ở bất kỳ thời điểm t nào.

Tuy nhiên, đối với PTVPCC, ta có thể xét như sau: ni” he — 7); a(t)=1 kh —7r0, Khi đó, T(t)x liên tục tới (t,2) € R* x X,

Ta gọi T(t), t > 0 là hệ động luc học (liên tục) Định nghĩa 2.4 Mot điểm C € X được gọi là điểm cân bằng của quá trinh u nếu U(o,t)C = C,voit € Rt.

Tính ồn định Lyapunov trong phương trình vi phan có chậm

2.4.1 Định nghĩa cơ bản về tính ổn định Định nghĩa 2.5 Nghiệm tầm thường của phương trinh (1.1) được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t —+ +oo nếu:

Ve > 0,to > 0, đổ = d(to,€) > 0, sao cho ||| < 6 = ||x,(t, d)|| < e,† < to.

Dinh nghĩa 2.6 Nghiệm tam thường của phương trình (1.1) được gọi la on định đều khi t —y +00 nếu số ồ trong định nghĩa trên không phụ thuộc vido to.

HV: Lê Nguyễn Hạnh Vy 18 GVAD: TS Lê Xuân Dai

Luận văn cao học Hệ động lực học và sự bất biến Định nghĩa 2.7 Nghiệm tầm thường của phương trình (1.1) được gọi là én định tiệm cận theo Lyapunov khi t —+ +o néu:

1 Nghiệm tam thường la ổn định,

2, IA= Alto) > 0, VOEC, ld < AS lim |Jlz(e,ð)|| =0.

#—>+œ Định nghĩa 2.8 Nghiệm tam thường của phương trình (1.1) được gọi là on định tiệm cận đều theo Lyapunov khi t —> +oo nếu:

1 Nghiệm tam thường là ổn định đều, 2 A>0 (không phụ thuộc ào to)

2.4.2 Định nghĩa cơ bản về tính ổn định Lyapunov Định nghĩa 2.9 Xét phương trình (1.1) Ham kha vi liên tục V : R* x C —> R được gọi là ham Lyapunov nếu ton tại các hằng số a,b,c > 0 théa man: i) alzŒ)|ẽ < V(t, 21) < dai’,

Dinh nghĩa 2.10 Nếu ánh ra VỀ : Rt x C —> R liên tục x(to, 6) là nghiệm của phương trinh (1.1) thỏa man điều kiện ban đầu (to,@), ta đặt:

Ham V(t, @) gọt la dao ham trên, bên phai theo t của ham V(t, @) dọc theo nghiệm của hé (1.1).

2.4.3 Định lý về tinh ồn định Lyapunov

Xột phiếm hàm Lyapunov V(t) = V(t,@) xỏc định trờn miền R x C, ƒ(Œ,ứ) là hoàn toàn liên tục trên miền R x C và ƒ(,0) = 0 Ký hiệu:

K = {ulu: R* —> R”,u liên tục không giảm và (0) = 0, u(s) > 0 với s > 0}. Định lý 2.3 Giá sử ton tại ham liên tục Lyapunov thỏa man điều kiện:

Luận văn cao học Hệ động lực học và sự bất biến

1 V(t,0) =0, 2 u(|loll) < Vite), — uới u liên tục, không giam u(0) = 0, u(s) > 0 uới s > 0, 3 V(,ử) 0 tồn tại ổ = ð(ứ,Ê) > 0 sao cho: lúll < ð(2,Ê) => V(ứ,ứ) < ule)

Lấy + = x(o,¢) là nghiệm của (1.1) sao cho với ||@|| < 6 ta sẽ chứng minh:

||z/(ơ, @)l| < e, Vt> ứ (2.2) Gia sử (2.2) khụng xảy ra, tức là dk > ứ sao cho nghiệm #;(ứ, ở) với ||j|| < 6 thỏa món:

Từ điều kiện (3.) và cú tớnh liờn tục V(t) = V{(Ê,zz(ứ, ở)) nờn V(t) giảm theo t vag < ‡ < ẩ, ta có:

Suy ra ule) R* liên tục va không giảm,u(s) > 0,v(s) > 0 vdi s > 0, va u(0) = 0(0) = w(s) = 0 Những phát biểu sau là đúng:

(i) Nếu ham V: R x C —+R thỏa mãn u(ứ(0)|) < Vữ,ứ) < vel),

V(t,6) < —w(|9(0))), thi nghiệm x = 0ệ là ổn định đều.

(it) Nếu thêm ào (i), „im u(s) = +00, thì nghiệm của (1.1) là bị chăn đều (túc là với bat kia > 0, ton tai 8 = địa ) ỳ Jư(ỉ, @)(t)| SB,

(iii) Nếu thêm vao (i), w(s) > 0 vdi s > 0, thi nghiệm x = 0 là én định tiệm cận đều.

Chứng minh (1) (On định đều) Cho bất ki e > 0, tồn tai 6 = ð(£), 0 < 6 < £ sao cho

V(t,2,(0,¢)) ơ Vỡ thế, V{,z;(ơ,ứ)) < V{(ứ,ứð) < 0(ð) < u(e) dẫn đến hoặc tương đương với

Vậy nghiệm là ổn định đều.

(ii) (Bi chặn đều) Vì u(s) —> co khi s —> 0, với a > 0 tùy ý, thì tồn tại 6 = B(a) sao cho:

Nếu || < a, theo chứng minh trên của (i) thì ¿(|z(ơ,@)Œ|) < u(8), voit > ơ.

(iii) (On định tiệm cận đều) Giả sử e = 1,69 = 6(1), trong đó 6(.) xác định như trong (i) Với

0 0 sao cho, với || < 60, |+;¿(ứ, @) < e,t > ơ +t.

Mặt khác, e > 0,6 = d(e) ta có: lứoll < ở => llz,(ơ.ở)||, — với mọi Ê > ơ,ơ ER

Gia sử rằng có nghiệm x = x(a, ở) ||@|| < 69 thỏa mãn ||z;|| > ð, với t € [o,o + TỊ,T7' > 2r Vì mỗi khoảng chiều dài r chứa s thỏa |z(s)| < 6, tồn tại day (t,) sao cho: |x(t,)| > 4, trong đó ơ+(2k— 1)r 5 ÿCủ LÍ; 5 stk + oF];

Chú ý:f¿,¡ — th > r Vì, vậy, ta có thé giả sử rằng L > 2 Vì vậy:

Dat K = K (dq, L) là số nguyên thỏa:

( điều này không thể xảy ra) Vỡ vậy, nếu typ = 2r(K + 1) thỡ với |lo|| < d0, ||z¿(ứ, @) < €,t > o + to.

Ta chứng minh được nghiệm tầm thường 2 = 0 của phương trình (2.1) là ổn định tiệm cận đều.

Ví dụ 1 Ta zét phương trinh Lotka- Volterra uô hướng tổng quát uới phân phối có cham:

0 trong đú, /;(ỉ),¿ = 1,2 khụng giảm và

+,0,b,ec var là những hằng số không âm.

Ví dụ 2 Theo phương trình vi dụ trên, uới H¿,¡ = 1,2 không giảm va H(0*) — H¿(—r) 1, 2= 1,2, y,a,b,c var là những hằng số không âm Ta đặt z* = y/(q + c— b) Lay

HV: Lê Nguyễn Hanh Vy 22 GVHD: TS Lê Xuân Dai

Luận văn cao học Tính ổn định theo hàm Lyapunov

Do đó, nếu a > b + e thà x(t) = +* là on định tiệm cận toàn cục uới moi ";(8),¡ = 1,2 va tới điều kiện ban dau @ thỏa man 6(0) > 0,¢€ C.

Theo nguyên ly Argument đối với ví du trên có thé mở rộng cho phương trình phát triển loài có chậm đơn tổng quát như sau : a(t) = a(t)g(2(t), 21), trong đú, ứ là vi phõn liờn tục lấy vi phan theo x(t) và 2; Gia sử, tồn tại hằng số dương +” thỏa mãn: g(a", x") = 0.

Tính ồn định toàn cục cho mô hình nhiều loài

Giả sử, ta cú mụ hỡnh n loài trong mụi trường mở, và tỉ lệ tăng trưởng mỗi loài cho ù lần loài tại thời gian t là F;(t, z;¿), trong đó x(t) = (zi(), z„(#, z¡)) là mật độ của loài thứ i tai thời gian t Khi đó, ta có hệ phương trình vi phân có chậm n :

Trong ứng dụng, ta thường thực hiện theo kiểu Lotka-Volterra chung sau với sự tăng tưởng của đa loài trong môi trường mở

G,(,u¿(.)) = ri(t) — a,(t ) fr ui(t + O)dpi(t, 0) + 0) f t+ 9)dụu;;(t, 9) (2.5) trong đó, u(t) = (uiŒ), , „()), ri(t), a;(t) là những hàm liên tục xác định dương: u(t, ), uij(t,.) có sự biên thiên khác nhau, va 7; là hằng số dương, 7,7 =1, ,n Chú ý: (2.4) là trường hợp đặc biệt của (2.3).

Tính ổn định theo hàm Lyapunov

Xét mô hình con mồi - ` săn ` sau:

#(†) = x(t)[a — bz(†) — cy(t i ki (0 a — fi ko(@)y(t — 0)d6). y(t) = y(t)[-d + nb — qU() — fy ka(@)a(t — 0)d0 — fy ka(0)( — 9)d0)| trong đóa, b,c, d,p,q,r là những hang số he va " 0 €]0,r], ¿ =1, , 4 thỏa mãn những giả thiết sau:

(H2) k¿(ỉ) < 0 và liờn tục với ỉ € (0,r), lim #¿(ỉ) và lim #¿(6) đều ton tại

(H3) k/(@) > 0 và liờn tục với ỉ € (0,r) Những giả định cho rằng những ảnh hưởng chậm trễ giảm một cách dần dần trong không gian có mức độ vừa phải khi di chuyển ngược thời gian và những ảnh hưởng đó không đỏng kể sau thời gian r Cho Í 2 k;(0)dỉ tồn tại b,e,D,g tương ứng, với Ă = 1, 2, 3, 4 Ta thêm giả thiết sau:

(H4) a(p +p) > (b+b)d Dé cho (2.6) có trạng thái on định dương (x*, y*), trong đó

Thường thi ta giả sử rằng dữ liệu ban đầu cho (2.6) có từ C([-r, 0], f2)

Dinh lý 2.5 ({1]) Gia sử (x(t), y(t)) là nghiệm của (2.6) uới đã liệu ban đầu thỏa man +(0)

(Hỗ) pew '(k3(0))* < 2br-Tk{(@) va cp *(Rš(0))2 < 2qr* ky (8)

Chứng minh Với b và q là hang số dương, dé dàng thay rằng nghiệm (x(t), y(t)) của hệ (2.6) dương va bị chặn Cho u(t) = x(t) — +”, v(t) = y(t) — `, hệ (2.6) trở thành iu(t) = (u(t) + +#*){—bu() — cv(t) — fo kị(6)u(£ — 8)đ60 — fr k2(0)0(t — 0)40}

0Œ) = (v(t) + y*){pult) — qu) + fo ka(0)u(£— 0)40 — fr ka(O)v(t — 9)đ6}

—cy*In(w(0) + y*) — Đ fl kị(0 ALL, ú( J?dứ (2.9)

HV: Lê Nguyễn Hạnh Vy 24 GVHD: TS Lê Xuân Dai

Tach 2 tích phân cuối cùng thành 4 số hạng va tích hợp chúng lại, dan đến dang sau:

+ 5 lim #/(0 Lf ð(=) s)ds]2 + cw(0 for 1(0)us(—0)d0

Ef men eco LỆ 63 s)dsÌ”

5H otf 6(- s)ds] lim ki (6 "mm s)dsÌ” +o iim ki,(0 [ws s)ds}?

Rừ rang, (H5) cho rằng V{(ứ,) = 0 nếu và chỉ nếu ở(s),(s) = 0, với s € [—r, 0], và

V{(ứ,ỳ) < 0 thỡ khỏc.Khi đú, ta cú : Jim (u(t), v(t) = (0,0) (Dinh lý được chứng minh) i

Chú ý Dinh lý có giá trị đúng nếu (H2) -(H3) với kạ,k¿ được thay thế bởi giả thiết yờu hơn, như &a(ỉ), k3(@) vi phõn liờn tục với ỉ € (0,7)

Khi k3(@), k4(0) không thỏa (H2) và (H3), ta có định ly sau.

Dinh lý 2.6 Giả sử (2.6) thỏa mãn (H1) va (H2), kị(6), k2(8) thỏa (H2) - (H3) uới bat đẳng thúc đúng trong (H3), va ks(0),ka() vi phân liên tục trên (0, r) Giả sử hơn thế nữa, tới 0 € (0,r),

(H6) (2(0))2/k2@) < 2b” k›()|ch¿() — pÀa(0)) =o, (E(0) (H7) ( : kj(0) Ễ b < Ap(> + 2/2710) ) e ¡ |ek2(0)—pks(0)]ˆ , [ek (0)? x (SE se + E710 Tpke (Oy )

Khi đó, jim (z), 0) = (47,9) Chứng minh Chứng minh này hầu như đều giống với Dinh lý (2.5), trừ khi ta định nghĩa như sau:

Ta có thể thấy rằng

V(b.) = [Peo yp — “poco? — Barco otf os s)ds]?

— yoo ụ U(—s)ds]?}db NO otf b(—s)ds] + (ck(8) — phạ(6))0(0)

< Lf ot-syas — exsout Í ó[~9)44]jd

+ 5 lim K(0 LỆ e-sa SP +5 lim ky(6 LỆ 63 s)ds|?

Biểu thức bậc hai bên trong {.} đầu tiên rõ a không dương Biểu thức trong {.} thứ hai thì cũng là phương trình bậc hai trong (0 ).[ƒb ó( s)ds], và fy —s)ds] Bằng cách thực hiện bình phương 3 lần với biểu thức trong hai {.} , ta thấy (H7) và " >0, k(0) > 0 cho ta V{(ó,) = 0 nếu và chỉ nếu ¢(s), @(s) không đồng nhất trên Fr, 0| a

Ta xét hệ thứ nguyên n như sau:

Trong đó i,j =1, ,,e:, pi, $i; là những hằng số và k,;(0) thỏa (H1) - (H3) va

Mặc khác, ta giả sử rằng (2.10) có trang thái ổn định dương duy nhất (z7, ,#?) Cho uj(t) = ;(f) — xỹ, ¿—= 1, ,m Hệ (2.10) trở thành: j=l j=1 79 Cho ¢(s) + 27 € C([—r,0|,RT) sao cho ¢(0) + 2* > 0,7 =1, ,n Định nghĩa:

V(ỉi, , ễn) = Yale (0) + 27) — aja; ln(@;(0) + +7) wl

‘Ta có: Ứ(ði ớu) = ` Xem: he ku(9)9;(~9)48))

— 5 { ` dĂQĂj ú;(0 )ỉ;(0 )+ ằ Qj ú;(0 i=1 j=l J—1.7Z: x ! Sig hij (0); (—0)d0 + * sgk (0 if’ o;(—s)ds]?

Chương 3 Ứng dụng phương trình vi phan có ee? © chậm giải các bài toán m6 hình phát triên On định dân so

Một trong những mô hình đầu tiên nói lên sự kết hợp chặt chẽ tính tác động qua lại giữa kẻ săn môi và con môi được đưa ra vào năm 1925 bởi nhà sinh vật học người Mỹ Alfred Lotka và nhà toán học người Y Vito Volterra Không giống như mô hình dân số theo thuyết Man-tuýt và Logie, mô hình Lotka-Volterra dựa vào phương trình vi phân rất sâu sắc Mô hình Lotka-Volterra mô tả sự tác động qua lại giữa hai loài trong một hệ sinh thái, kể săn môi và con môi Khi ta xét 2 loài, mô hình sẽ được giải quyết bởi 2 phương trình, một là mô tả sự thay doi số lượng con mồi, hai là mô tả sự thay đổi số lượng của kẻ săn mồi Vì mô hình này được nghiên cứu bằng một mô hình đơn giản trong mô hình dân số 2 loài, nên nó quan trọng trong mô hình khoa học.

Trong mô hình Lotka-Volterra, giả sử rằng tỉ lệ tử vong của con môi phụ thuộc vào số lượng kẻ săn môi Số lượng kẻ săn môi lớn hơn thì số lượng con môi hi sinh sẽ nhiều hơn Theo hướng khác, kể săn môi có ưu thé hơn nếu số lượng con môi có nhiều Mô hình Lotka-Volterra cũng chi là mô hình phan hồi, số lượng con môi có ảnh hưởng tích cực đến mật độ kẻ săn môi, nhưng trái lại cũng ảnh hưởng tiêu cực đến mật độ con môi.

Luận văn cao học Mô hình Lotka - Volterra có chậm

3.2 Mô hình Lotka - Volterra có cham:

3.2.1 Mô hình động vật ăn thịt con mồi Lotka - Volterra có chậm đơn:

Ta xét hệ động vật ăn thịt con môi Lotka - Volterra với có chậm rời rac đơn có dang sau ([5]):

Trong đó: x(t), y(t) là mat độ dân số của con mồi và kẻ săn mồi tai thời điểm t tương ứng. r,a,b,c,d,7 là những hằng số đương Nếu hệ (3.1) không có điểm cân bằng dương thì điểm cân bằng giới hạn Ep = (r/a,0) là on định tiệm cận toàn cục so với điền kiện ban đầu:

Trong đó: ¢ € C(Í—7,0|, Rt), Rt = {x : 2 > 0} va |/¢|| = maz{|o(6)|: 6 € [-7, 0Ì} Nếu

Thi (3.1) có điểm cân bằng dương E* = (z*,*), trong đó a = dc, y =(r—ad/c)/b, (3.4)

Nếu 7 = 0 và đ/e < r/a thi E* là ổn định tiệm cận toàn cục so với hình nón tuyệt đối với intRy = {(z,):z > 0, > 0}.

Nếu 7 > 0 thì E* chưa chắc là ổn định địa phương.

Dễ dàng ta thấy rằng tồn tại 7„ = 7„(r,ứ,b,e, đ) > 0 sao cho nếu 7 < 7, thỡ E* ổn định địa phương và nếu 7 > 7, thì E* không ổn định.

Thật vay, ta cũng biết rằng 7 > 7, với 1 số điều kiện dam bao sự tồn tại của nghiệm chu kỳ dương cho dang tổng quát của hệ động vật ăn thịt con môi có chậm Tuy nhiên, cho đến nay những nhà nghiên cứu có kinh nghiệm vẫn chưa ra được kết quả thứ nhất là tính ổn định tiệm cận toàn cục của điểm cân bằng dương E* khi 7 đủ nhỏ hoặc thứ hai là cho kết quả sự hội tụ đối với E*khi 7 nhỏ tùy ý.

Cấu trúc của hàm Lyapunov được chia làm các phần chủ yếu như sau:

Giả sử rằng với (3.3), thì (3.1) có điểm cân bằng dương E* = (z*,*), với z* = d/c va y* = (r —ad/c)/b Dat tị = (— a) /a",

Khi đó, (3.1) có thé được viết lại như sau: t1(Ð) = —a*~!x(t)(Au,(t) + Buúa()), (3.7) tig(t) = Cy**y(t)ur(t — 7).

Nghiệm của (3.5) hoặc (3.6) tồn tại duy nhất và đương Vt > 0 Ton tại hằng số M >

0 sao cho nghiệm của (3.1) và (3.2) thỏa mãn: lim supz(t) R*,7r > 0 là Lipschitzian, trong đó C C(z,0j,R”) là tập những hàm số liên tục xác định trên [r, 0] với chuẩn ||¢|| = qnax |o(6)|, va

|.| là chuẩn bat kỳ trong R”.

Bo đề 3.1 Cho 61(.) va wo(.) là những hàm 0ô hướng liên tục không âm sao cho w;(0) = 0,1 1,2, , @2(r) >0 uớir > 0, lim œ¡1(r) = +oo va V:C —> R là ham vi phân v6 hướng liên

#——>Œ©° tục Với tập S của nghiệm (3.10) thỏa man:

Khi đó x = 0 la ổn định tiệm can đối uới tap S, nghĩa là những nghiệm bi chan trong S hội tu đến x = 0 khi t —> co

Cho m, n, p, q, ứ là những hằng số dương và w, @ là hai biến số dương thỏa món:

Bồ dé 3.2 Cho w= m+(n+q)o+[(m + 2p + (n+ qỡ))“— 4(m+p)(p+q)]2, khí đó nghiệm tối uu lan = Qu!

Chứng minh Thay w = ứ/(8 — ứ) vào (3.13), ta cú: y= max {min | a mo mi ony

Ta thay rằng với 6 > o, f là ham tăng hoàn toàn trong khi g là ham giảm hoàn toàn ƒ(ứ) Cho f(8) = (3.15)

0 < g(a) = 1/(qo) Vì vay, nghiệm của (3.14) so với 8 > o là nghiệm duy nhất của f(8)=9(8), B>e, (3.16) đó là nghiệm tong quát 8, của

=1 + (n + p)ứ + [(m+2p+ (n + g)ứ)” —4(m + p)(p + go)]"”?, Khi đó, ta có được: 8 = sete, n= m | |

Trong phan này, ta sẽ đưa ra cách xây dung ham Lyapunov thích hợp với chiều dài 7 có chậm đủ nhỏ, ta cần tìm vùng G xác định rõ ràng trong lân cận của điểm cân bằng dương E*, tồn tại tập con của điểm hấp dẫn E* Ta không đặt thành phương trình với kết quả ổn định tiệm cận địa phương, trong đó điểm hấp dẫn cho trạng thái ổn định tiệm cận địa phương phải dam bảo cho sự tồn tại của an.

Ta sử dụng hệ (3.7) cho sự phân tích dưới đây Với t > 0 thì 1 + u,(t) > 0, i = 1, 2.

Xét hàm vô hướng Vo(t), được xác định như sau:

Vo(t) = Wa(w),02()) = In(1 + w(t) + aln(1 + úa())), (3.18)

Trong đó, a là hằng số đương, giá trị đó được xác định sau Để thuận tiện, ta đặt :

Khi đó, ta có Vo = z¡ + az Dễ dang ta thay được rang: d (1

Fi (512) = VoVo = (41 + @Za2)(—Au — Bug + aCuy(t — T)).

Trên cơ sở lập luận rằng: w(t —7) = u(t) — / ul (s)ds (3.20)

—œBzzua + a?C zu, — œC(2q + a2z2) fi ui(s)ds

Ta chon a = AC", ta có:

(s97) = —œzzua — Bzqua — aC(z + as;) | u;(s)ds (3.21)

Nhận xét: với u; zZ 0, zu; > 0 Thật vậy, zou, trở thành dạng giống như số hạng ui.

Diéu kiện này —œzzu¿ trong (3.21) để vận dụng vào việc kiểm tra của điều kiện sau như Uy Ug, 24a, Uy 22, và, 2122 Dé kiểm tra những điều kiện này gần như ta cần làm rõ điều kiện sau:

—u? hoặc — z¡u hoặc — z? Nó sẽ được hoàn thành bằng hàm vô hướng Vì sau:

VỊ = Vi(ur(t), ua()) = uy — 4 + Blue — 22), (3.22)

Trong đó 8 là hằng số dương được xác định sau Ta có:

Vv, = — Aus — Huua + BCug c — [ ui(s)ds t—r

= -Au{ + (6C — B)uqua — BCug [ u1(s)ds, tor

GV twV\)' = —oaBzzua — wAui + [w(8C — B)ui — Bzn]ua

Quan sát ta thay rằng ơx = II.

Và bằng những thao tác tương tự cho những điều kiện tích phân khác, ta thu được: aC(a taza) | 2(s)[Au(s) + Bua(s)ids + 8C; | 2(s)[Auy(s) + Bua(s)|ds t t

< gaC(A + B)zit + sa2C(A + B)zšr + suu8C(A + Đ)uùr

Vì vậy, sư + wl) < -aBzu, — tuAu2 + [w(8C — B}ui — Bzq]ua 1 /

+ Q | #7(s)u2(s)ds, (3.24) t Ÿ—T Để xác định được biểu thức bên phải ở bất đăng thức trên, ta cần kiểm tra hai điều kiện tích phan trước Ta xét:

= V2(¢1, 62) = pf as fio" 1 +ói())Ó1( lo TR 1+ d1(v))¢o(v)]*dv,

=> ¿= Pf as si }U1(U 28+ 9 Ƒ_ as [ov V (3.25)

Vo = Px? (t)u?(t)r — P [ # (s)uy(s)ds + Qa? (t)us(t)r — Q [ 3 (s)u2(s) ds (3.26)

Ta cần xỏc định ham Lyapunov V trong {(Â1, úa) : ụi € C([—7, 0è, R), úa(6) = ứ(0),90 € [—r,0|} khi:

+ sa((4A + B)z‡r + sa GA + B)z‡r + su8CtA + B)ufT + Pzˆ(f)u2(Đ)x + Qa? (t)u5(t)r (3.28) Nhấc lại z; = In(1 + u;) với ¡ = 1, 2 Ta xây dựng : £u¡ = €¡(uj)}u¡ = Z¡ — Uj, (3.29)

Thay zĂ = uj + Ê;u¿ và x = #ứ”(1 + uị) vào trong (3.28), ta được:

Vo < -aBu3)— œBszu2 — toAu? + [w(8C — B)ui — Bui]u¿

+ Px*?*(1 + rị)“uƒT + Qz*ˆ( + uy)?usr

—aBegus + [w(8C — B) — Bluyug — Beyuyus + sac(4A + B)(Qe, +e7)rus + sa GA + B)(Qe, + €3)rus1 1

Chú ý rằng hai điều kiện ban đầu và điều kiện thứ tư không liên quan đến £¡ va € và khi uy, ue rất nhỏ, e, €2 cũng rất nhỏ Vì vậy, để có biểu thức phủ định trên xác định cho giá trị tối thiểu Uy, U2 thì hệ số của 2 điều kiện ban đầu âm hoặc dương.

Ta nhắc lại a = AC! và 8,w được xác định Một cách chọn rõ ràng là để loại trừ điều kiện thứ 4 bởi giá trị phù hợp của 8 và w Có thể dễ dàng hơn bằng việc sử dung giá trị 8, w sao cho: 8 > BƠ”! và w = BC~1/(8— BC) Dé có hệ số âm cho hai điều kiện đầu tiên, ta phải có 7 nhỏ hơn ngưỡng giá tri 7, tức là:

Thay biểu thức P và Q trong (3.23) vào (3.31), ta được:

2Aw } œŒ{(I+ B) +z*2ỞA(œ~1)]| +z*?CAu8 Rõ ràng, cách chọn của 8 và w là giá trị cực đại của 7 với điều kiện 8 > ĐT”! và w = BƠT†/(8— BC) Do đó, bo đề (3.2) có thé được ứng dụng vào và cách chọn duy nhất của ỉđ*,0* cú thể được thực hiện để tim ra giỏ trị cực đại của 7, mà ta sẽ đưa ra bởi 7* trong phần sau Ta giả sử rằng ỉ = 8* và w = w* ở biểu thức của V trong (3.27).

Bang cách van dụng giá trị 7", từ (3.30), ta có:

— aBegus — Beyuytg + sac(4 + B)(2zị +£17)Tuƒ1

+ sa Œ(A + B)(Qeq + £3)Tuậ + Px*? (Qu, + u})Tu? 1

+ Q#+* (Qu, + ‡)ruọ (3.32) Bay giờ, ta chứng minh kết quả chớnh ở dang tổng quỏt khi ||uo|| = max{|ui(ỉ)|,ỉ € [—7, 0], |a¿a(0)|}.

Dinh lý 3.1 ([ã|) Cho hệ (3.1), gid sử rằng T < T*; khi đó, ton tại hằng số 6 dương sao cho nếu ||ug|| < ð thà nghiệm (u\(),ua(E)) của (3.7) dan đến (0, 0) Tương đương, nghiệm (x(t), y(t)) của hệ ban dau (3.1) dần đến (x*, y*).

Chứng minh Sử dụng 2uqua < uz + us và (3.32), ta có:

V < —w*A (1-5) — set + SO(A + B)(e2 + er + Pe (2u + dŸ)r| tổ - B

IIn(1 + wu) — ul < g hel < Jul? 8

Giả sử rang |u;| < 1/4 Do đó, ta có Je;| < |uil, e? < Z]uil < Jus] va ut < |ui| Cho ||u|| max{|w|, |ua|} Khi đó, ta thu được:

Ai =uửA (1 — ) — lạ + sac(4 + B)r+ sPa"*r })241|, (3.35) r B 3

Ay = aB € — =) — lap +> + sa Œ(A + B)r + 3Qx**r B 3

2w* A(1 — T/T") 2aB(1 — 7T/T*) dq = 3.37 pm | B+3aC(A+ B)r +~6P+*'r` (2œ + 1)B + ọa2Œ(A + B)r + 6Q+*ŸT (3:37) xác định am Theo bo đề (3.1), ta có, lim u(t) =0, i = 1,2.

Do đó, lim z(t) = 2* và lim y(t) = y* Vay, ta cần tim 6 sao cho nếu ||¿(0)|| < 6 thi t—oo t—>+00 l|¿(£)|| < d9 với mọi t > 0 Ta giả sử: ơ ẽ (3.38)

Ta có ||u(£)|| < ổo với t > 0 Mặt khác, tồn tại tp > 0, sao cho ||u(to)|| = do và ||u(#)|| < do với

Tuy nhiên, với t € [0,fo), ta có |)u(t)|| < dp Vì vay V{(u¿) < 0, tức là với t € [0, to), ta được:

Bởi tinh liên tục cua V, ta có:

V (ui) < V(uo) < b, Nó mâu thuẫn với (3.39) Ngoài ra, khi V liên tục, hiển nhiên tồn tại 0 < 6 < dp sao cho:

Ss = (G1, 62) : ụi € C([—7, 0], R), úa2(0) = ú2(0),0 € [—7, 0], max |Jới |, |ứ2(0)| < ð C'S.

Day là giá trị mong muốn cho 6 trong định lý này Vậy, định lý được chứng minh a

Dinh ly 3.2 (|5) Giá sur < TỶ trong hệ (3.1) Cho 69 được xác định trong (3.37).

Khi đó, ||zo — x*|| < z*ð va |u(0) — y*| < `, túc là: lim (x(t), y(t) = @*,0). t— +00

HV: Lê Nguyễn Hanh Vy 36 GVAD: TS Lê Xuân Dai

Chứng minh Vì ð < 1/4, với |||] < 1/4, ta có:

Ngoài ra |z(0)| = a*|1 + ¢1(0)| < #*5/4 Nên, ta có ( sử dung fds [ dv = 41?)

= {Pasar eer PrQrj+wi+sy) jae,

Và giá tri L được xác định bởi (3.38) thỏa man: h?>u”min{1,8ỉ 5 5 05 = 2.” min{1,ỉđ}ð4, Do đó, nếu : ló|?< Sw* min{1, 25 8 }ổậ/ E [q+a)?+(P+9)z?] +u*(I tớ) = Ae. thì ó € S Rõ rang, nếu 6 = min{A'/*d9, 4} thì Ss C 5, trong đó Ss được xác định như trong định lý (3.1) Dinh lý được chứng minh Ta thay rằng |luo|| < 6 tương đương với ||zo—#*|| < z*ử và |y(0) — z#| < yŠ =

Vi du: Xét hệ như trong (3.1)

Trong đó a = b =c = x* = y* =1 Sau khi thực hiện việc thay đổi biến, ta có: z = 1+, yTa cú trong trường hợp (3.7) với A= B= C =1 Vay,a= AC! va P=(Q=1+šsu*ỉ' và

Theo bo dé (3.2) ta thay rang:

Dat f(8) = ứ(8), ta thu được #*? = $+ $v6, w* = 4+(2V6 — 3), và 7" = š(v6— 2)(> 0.2).

Vì vậy, d9 được xác định bởi (3.37) là:

Nếu 7 rat nhỏ, thì số thứ hai là số nhỏ hơn và nó sẽ giữ giá trị của dg Sau khi ước lượng đơn thì ta có giá trị của A được xác định bởi (3.40) :

Vì vậy giá trị của ở có thể được xác định bởi min{A1⁄2ðẹ,1/4} Nếu giả sử 7 = 7*/2 thi dp = V6/12 và A = 256(2V6 — 3)/[25(279 + 103v6)] ~ 0.037 Khi đó, 6 + 0.039.

1.08 possesses a TT TC CC TC Củ CC CC CC

Hình 3.2: Biểu đồ pha mô hình Lotka - Volterra có chậm đơn

Kết luận: Khi các giá trị hằng số của hệ thay đổi thì số lượng tăng trưởng của từng loài thay đổi theo Từ đó, chúng ta xác định được thời gian có chậm 7 ảnh hưởng đến sự tăng