TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2021 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Trang 2CÔNG TRÌNH NÀY ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐH QUỐC GIA TP.HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học 1: TS LÊ XUÂN ĐẠI
Cán bộ hướng dẫn khoa học 2: TS PHẠM TUẤN CƯỜNG
Cán bộ chấm nhận xét 1: TS Nguyễn Bá Thi
Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS TS Nguyễn Huy Tuấn
Luận văn thạc sĩ này được bảo vệ tại trường Đại học Bách Khoa, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 12 năm 2021 (trực tuyến)
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn bao gồm:
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của các thành viên Hội đồng đánh giá luận văn)
1 Chủ tịch: PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY 2 Thư ký: TS Đặng Văn Vinh
3 Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi
4 Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn 5 Ủy viên: TS Cao Thanh Tình
Xác nhận của chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã chỉnh sửa (nếu có)
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN
Trang 3Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh
Trường Đại học Bách Khoa
Cộng hoà Xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên: TRẦN NHẬT MINH Ngày, tháng, năm sinh: 29/12/1982 Chuyên ngành: Toán Úng dụng
II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 04/07/2020
III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 12/2021
IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS LÊ XUÂN ĐẠI, TS PHẠM TUẤN CƯỜNG
TP Hồ Chí Minh, ngày tháng năm
Cán bộ hướng dẫn 1 Cán bộ hướng dẫn 2 Chủ nhiệm bộ môn
TS Lê Xuân Đại TS Phạm Tuấn Cường TS Nguyễn Tiến Dũng
Trưởng Khoa Khoa học Ứng dụng
PGS TS Trương Tích Thiện
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Lời cảm ơn đầu tiên tôi xin chân thành gửi tới Thầy, TS Lê Xuân Đại,TS Phạm Tuấn Cường, TS Đặng Văn Vinh các thầy đã nhiệt tình giảngdạy, định hướng và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập chương trình Cao họcToán Ứng dụng, cũng như trong quá trình thực hiện và hoàn thành luận vănnày.
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các Thầy Cô trong bộ môn Toán Ứngdụng, khoa Khoa học Ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốcgia thành phố Hồ Chí Minh, những người đã truyền thụ kiến thức giúp tôicó một nền tảng tri thức khoa học để thực hiện luận văn và hoàn tất khóahọc.
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những người bạn ở lớp Cao học ToánỨng dụng khóa 2018, đã có rất nhiều hỗ trợ, giúp đỡ tôi trong quá trình họctập và thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân trong gia đìnhtôi, đã luôn đồng hành, động viên, chia sẻ khó khăn và tạo những điều kiệntốt nhất cho tôi trong học tập và làm việc.
Sau cùng, tôi xin trân trọng tiếp nhận tất cả những đánh giá và góp ý quýbáu của quý Thầy Cô, các bạn bè và đồng nghiệp cũng như tất cả những aicó quan tâm đến luận văn này, giúp tôi có được cơ hội bổ sung kiến thức đểhoàn thiện những hạn chế và thiếu sót khó tránh khỏi trong quá trình thựchiện luận văn.
Rất trân trọng và xin chân thành cảm ơn.
Tp.HCM, ngày tháng năm 2021Người thực hiện Luận văn
Trần Nhật Minh
i
Trang 5Trong luận văn chúng tôi nghiên cứu phương trình ma trận phi tuyến với trungbình nhân và một số ứng dụng của nó.
Dựa trên định lý điểm bất động đối với toán tử đơn điệu và đơn điệu hỗn hợptrong không gian Banach được sắp xếp thứ tự từng phần bởi nón của nhưng matrận xác định dương, chúng ta thu được nghiệm xác định dương duy nhất.
Hơn nữa, trong luận văn này, chúng ta sẽ Xây dựng dãy các bước lặp cho cácphương trình ma trận để tìm ra nghiệm xấp xỉ với nghiệm xác định dương duynhất của phương trình ma trận.
Trong luận văn còn trình bày được một thuật toán tính trung bình nhân củahai ma trận Hermit xác định dương.
Nội dung luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến Thức Chuẩn Bị trình bày về các khái niệm cơ bản, các định lýliên quan đến lý thuyết ma trận xác định dương, nón, điểm bất động, trung bìnhnhân.
Chương 2: Phương pháp giải hai dạng phương trình ma trận phi tuyến trình bàyđịnh lý về sự tồn tại nghiệm duy nhất của phương trình ma trận với trung bìnhnhân và phương pháp xây dựng dãy lặp để tìm nghiệm xấp xỉ với nghiệm xác địnhdương duy nhất của phương trình ma trận.
Chương 3: Một thuật toán để tính trung bình nhân của hai ma trận xác địnhdương Hermit thông qua dấu của ma trận.
Trang 6oper-In addition, an iterative sequence can be given to approximate the unique itive definite solution by employing a multi-step stationary iterative method
pos-In this thesis an algorithm for computing geometric mean of two Hermitianpositive definite matrices is illustrated.
Thesis content includes 3 chapters:
Chapter 1: Preparatory knowledge introduces some basic concepts, theoremsrelated to the theory of positive definite matrices, fixed point, cone of positivedefinite matrices.
Chapter 2:Solvability for two forms of nonlinear matrix Equations study somenonlinear matrix equations involving the Geometric Mean.
Chapter 3: An algorithm for computing Geometric mean of two Hermitian itive Definite Matrices via Matrix Sign.
Pos-iii
Trang 7Tôi tên: Trần Nhật Minh, MSHV: 1870586, là học viên cao học chuyênngành Toán Ứng dụng khóa 2018 - 2020 của trường Đại học Bách KhoaTp.Hồ Chí Minh.
Xin cam đoan toàn bộ những gì trình bày trong luận văn này là do chínhtôi thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Lê Xuân Đại khoa KhoaHọc Ứng Dụng trường Đại Học Bách Khoa - Đại học Quốc gia Tp Hồ ChíMinh và TS Phạm Tuấn Cường khoa khoa học cơ bản, trường Đại học mỏđịa chất Hà Nội.
Trong toàn bộ luận văn, hầu hết các kết quả nghiên cứu từ các công trìnhkhoa học của các tác giả khác, khi tôi thu thập, chọn lọc để trình bày, tríchdẫn hoặc tham khảo, tôi đều có ghi rõ địa chỉ để người đọc tham chiếu.
Tôi xin cam đoan về những gì đã nêu trên đây là sự thật và xin chịu toànbộ trách nhiệm về những gian dối về tác quyền nếu có trong luận văn này.
TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2021Người thực hiện luận văn
Trần Nhật Minh
Trang 82.2 Trung bình nhân 16
2.3 Phương trình ma trận phi tuyến dạng I 21
2.4 Phương trình ma trận phi tuyến dạng II 25
Trang 9
31 NHÂN CỦA HAI MA TRẬN HERMIT XÁC ĐỊNH DƯƠNG THÔNG QUA DẤU CỦA MA TRẬN 283.1 Xây dựng phương pháp mới 34
3.2 Xây dựng một thuật toán cho trung bình nhân 35
Trang 10Danh sách hình vẽ
3.1 Thuật toán 393.2 Biểu đồ log để so sánh số lần lặp lại trong Ví dụ 3.3.2 39
vii
Trang 11Ký hiệu Ý nghĩa
NTập các số tự nhiên (Tập các số tự nhiên khác không)Mn (N∗)Đại số các ma trận trên trường số phức
ZTập các số nguyênRTập các số thựcCTập các số phức
PNón của các ma trận xác định dươngEKhông gian Banach
∞Dương vô cùngA, BMa trận A, B
Mi(i = 1, 2, m)Ma trận không suy biến cấp n × n{Xk}Dãy ma trận Xk
xn, xm Dãy cơ bản xn, xm
A♯BTrung bình nhân của A và BA−1 Ma trận nghịch đảo của ma trận AATMa trận chuyển vị của ma trận AIMa trận đơn vị
A ∼ BMa trận A đồng dạng ma trận Br(A), rank(A)Hạng của ma trận
A > 0Ma trận A đối xứng xác định dươngdet(A)Định thức ma trận A
Trang 12Với mọi ma trận xác định dương M, N chúng ta định nghĩa trung bìnhnhân của M và N như sau
Như chúng ta đã biết, trung bình nhân có nhiều ứng dụng trong bấtđẳng thức ma trận, tối ưu nửa xác định, hình học, xử lý tín hiệu số, xem[8, 9, 10, 11, 12, 13] và các tài liệu tham khảo khác.
Phương trình ma trận phi tuyến với trung bình nhân cũng xuất hiện trongmột số ứng dụng Dường như, một số phương trình ma trận phi tuyến khôngcó quan hệ với trung bình nhân, nhưng nghiệm của những phương trình nàycó quan hệ chặt chẽ với trung bình nhân Ví dụ, Lim và cộng sự trong [14]lần đầu tiên giới thiệu một số tính chất của trung bình nhân √
ab cho các sốthực dươnga và b Một trong những tính chất đó là√
ab là nghiệm xác địnhdương duy nhất của phương trình x2 = ab hoặc phương trình tương đương
TrầnNhậtMinh 1
Trang 13định dương và chứng minh rằng phương trình ma trận phi tuyến
Ví dụ, trong [16], Lim và cộng sự đã chứng minh rằng phương trình matrận phi tuyến
X = B#(A + X)
có một nghiệm xác định dương duy nhất X = 12(B + B#(B + 4A)).
Lee và cộng sự trong [17] đã chứng minh rằng phương trình ma trận phituyến
Trang 14Nhận thấy đây là một vấn đề lý thuyết mới và sẽ có nhiều ứng dụngtrong tương lai nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu "SỰ TỒN TẠI NGHIỆMVÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH MATRẬN PHI TUYẾN" cho luận văn của mình.
Mục đích nghiên cứu:
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu hai vấn đề chính của bàitoán là phương trình ma trận phi tuyến với trung bình nhân và ứng dụng.
Đối tượng nghiên cứu:
Chúng tôi nghiên cứu trên các đối tượng: Ma trận xác định dương, Lý thuyếtĐịnh lý điểm bất động, nón của ma trận xác định dương, phương trình matrận với trung bình nhân.
Phương pháp nghiên cứu:
- Sử dụng các phương pháp của đại số hiện đại kết hợp với lý thuyết toántử trong không gian Banach có sắp xếp thứ tự từng phần để giải các phươngtrình ma trận phi tuyến.
- Đọc, phân tích tìm hiểu rõ các chứng minh của các định lý trong tài liệutham khảo.
Nội dung và phạm vi của vấn đề sẽ nghiên cứu:
Ngoài phần lời mở đầu và kết luận, chúng tôi chia luận văn thành ba chương.Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: ở đây nêu lên các định nghĩa quan trọngcủa lý thuyết ma trận xác định dương, nón, điểm bất động có liên quan đếnvấn đề nghiên cứu của đề tài.
Chương 2: Vận dụng lý thuyết ma trận xác định dương, định lý điểmbất động, nón của ma trận xác định dương để chứng minh phương trình matrận với trung bình nhân có nghiệm xác định dương duy nhất.
Chương 3: trình bày một thuật toán để tính trung bình nhân của haima trận xác định dương Hermit thông qua dấu của ma trận.
TrầnNhậtMinh 3
Trang 15Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Để chuẩn bị kiến thức cho luận văn, chúng ta sẽ nhắc lại một số tính chất cơ
bản của ma trận xác định dương.
Định nghĩa 1.1.1 [1] Ma trận vuông thực A cấp n × n được gọi là ma trận đối
xứng nếuAT = A hayaij = aji, với i = 1 n, j = 1 n.
Định nghĩa 1.1.2 [1] Ma trận vuông thực A cấp n × n, được gọi là ma trận trực
giao nếu A−1= AT
Từ định nghĩa, ta có: AA−1= AAT ⇐⇒ AAT= I.
Định nghĩa 1.1.3 [1] Ma trậnA được gọi là chéo hóa được nếu ma trận A đồng
dạng với ma trận chéo Tức là tồn tại ma trận P khả nghịch và ma trận chéo D
sao cho A = P DP−1.
Trang 16Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ
Định nghĩa 1.1.4 [1] Ma trậnA được gọi là chéo hóa trực giao được nếu tồn tại
ma trậnP và ma trận chéo D sao cho A = P−1DP = PTDP.
Bổ đề 1.1.1 [1] Cho A là ma trận chéo hóa trực giao và P là ma trận trực giao.
Khi đó, nếu A nửa xác định dương thì ma trận PTAP cũng nửa xác định dương.
Định nghĩa 1.1.5 [1] Cho ma trận A, nếu λ và vector x thỏa phương trình
Ax = λx, x ∈Cn, x ̸= 0, λ ∈ C (1.1)
thì λ được gọi là trị riêng của A và x được gọi là vector riêng của A ứng với trị
riêng λ.
Định lý 1.1.2 [1] Mọi ma trận đối xứng thực A có thể đưa về dạng đường chéo
nhờ phép biến đổi trực giao Hay tồn tại ma trận trực giao P sao cho PTAP có
dạng đường chéo, tức là PTAP = diag(λ1, λ2, , λn), trong đó λi là các trị riêng của
ma trận A.
Định nghĩa 1.1.6 [1] Cho hai ma trậnA và B, ma trận A và B được gọi là đồng
dạng nếu có một ma trận S không suy biến sao cho B = S−1AS Kí hiệu: A ∼ B
ChoH là không gian Hilbert phứcn−chiều vàMn là không gian những ma trận
với các phần tử phức Tích vô hướng của hai véc-tơ x và y được ký hiệu là Dx, y
Trang 17và được gọi là xác định dương (kí hiệu A > 0) nếu như
1 Ma trận A nửa xác định dương khi và chỉ khi A là ma trận Hermit và tất cả
trị riêng của nó là số không âm Ma trận A xác định dương khi và chỉ khi A
là ma trận Hermit và tất cả trị riêng của nó dương.
2 Ma trận A nửa xác định dương khi và chỉ khi A là ma trận Hermit và tất cả
những định thức con chính là số không âm Ma trận A xác định dương khi
và chỉ khi A là ma trận Hermit và tất cả những định thức con chính của nó
3 Ma trận A nửa xác định dương khi và chỉ khi A = B∗B với B là một ma trận
Trang 18Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ
nào đó Ma trận A xác định dương khi và chỉ khi A = B∗B với B là ma trận
không suy biến.
4 Ma trận A nửa xác định dương khi và chỉ khi A = B2 với B là một ma trận
nào đó Ma trận B như thế là duy nhất Ta ký hiệu B = A1/2 và gọi nó là căn
bậc hai của ma trận A Ma trận A xác định dương khi và chỉ khi B xác định
(1) ⇒ (2): Ma trận A được viết lại thành A = U DUT, với U là ma trận trực
giao, D là ma trận chéo Các phần tử trên đường chéo của ma trận D là các trị
Trang 19riêng của ma trận A, vì vậy ta có thể viết D = C2 với C là ma trận chéo Nên
det(B) = det(VTV ) = (det(V ))2 ≥ 0
(4) ⇒ (1): Dùng qui nạp chứng minh Giả sử A có vector riêng v và trị riêng
λ < 0 Nếu A có một trị riêng ≤ 0 thì det(A) ≤ 0 Ngược lại, chọn vector riêng u
trực giao với vector riêng v với trị riêng µ ≤ 0.
Chọn s ∈ R, vector w = v + su có ít nhất tọa độ 0, được gọi là ith.
Nếu A′ là ma trận từ A bằng cách bỏ cột thứ i và hàng i, w′ được tạo nên từ
w, ta có (w′)A′w′= wTAw = λ + s2µ < 0.
Nên A′ không xác định (đã chứng minh (1) ⇔ (3)) Áp dụng qui nạp, ta được
điều phải chứng minh ■
Trang 20Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ
định dương
Định nghĩa 1.2.1 [4] Cho E là một không gian Banach Tập hợp đóng, lồi, khác
rỗngP của không gian Banach E được gọi là nón nếu thỏa mãn các tính chất sau:
Định nghĩa 1.2.2 [4] Cho nón P chứa các điểm bên trong của P Nếu P khác
rỗng thìP được gọi là nón đặc (solid cone).
Định nghĩa 1.2.3 [4] Nón P của không gian Banach E được gọi là nón chuẩn
nếu tồn tại hằng số dương N > 0 sao cho từ 0⩽x⩽y suy ra ∥x∥≦N ∥y∥.
Bổ đề 1.2.1 [4] Nón P là nón chuẩn khi và chỉ khi nếu xn ⩽ yn ⩽ zn, (n =1, 2, 3, ) và xn → x, zn → x khi n → ∞ suy ra yn → x, khi n → ∞.
Trang 21Nón của những ma trận nửa xác định dương, xác định1.2.2
Gọi Mn×n(R) là một tập hợp tất cả các ma trận đối xứng thực cấp n × n. Như
vậy, Mn×n(R) là một không gian Banach và được sắp xếp một phần bởi nón P,
trong đó P là tập hợp tất cả những ma trận nửa xác định dương cấp n × n trong
Mn×n(R) Hơn nữa, P là một nón chuẩn [3].
Ngoài ra, chúng tôi biểu thị P = {x ∈ P : x◦ là điểm bên trong của P }, là tập
Định nghĩa 1.2.4 Trong không gian Banach E xác định toán tử A : E → E.
Điểm x∗ ∈ E được gọi là điểm bất động của toán tử A nếu Ax∗= x∗.
Trang 22Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ
Định nghĩa 1.2.5 Cho P là tập hơp nón lồi của không gian vector định chuẩn
E Ta định nghĩa một mối quan hệ ⩽ đối với nón P như sau:
x⩽y ⇔ y − x ∈ P
Mệnh đề 1.2.3 Quan hệ ⩽ là một quan hệ thứ tự từng phần trên E
Định nghĩa 1.2.6 [4] Toán tửT xác định trong không gian Banach E với nón P
được gọi là đơn điệu trên tập hợpM ⊂ P nếu ∀x, y ∈ M, 0⩽x⩽y suy ra T x⩽T y
Giả sử rằng P là một nón đặc, chuẩn, và P = {x ∈ P : x◦ là điểm bên trong của
Định nghĩa 1.2.7 [4] Giả sử rằng D ⊂ E, khi đó D × D ⊂ E × E Giả sử
T : D × D → E, chúng ta nói rằng T là toán tử đơn điệu hỗn hợp (mixed monotone)
nếu với mọi x1, x2, y1, y2∈ D với x1 ⩽x2, y1 ⩾y2, thì T (x1, y1) ≤ T (x2, y2).
TrầnNhậtMinh 11
Trang 23Định nghĩa 1.2.8 [4] Điểmx∗ là điểm bất động của toán tử T nếu nó thỏa mãn
x∗= T (x∗, x∗) , x∗ ∈ D.
Bổ đề 1.2.5 [4] Giả sử rằng P là một nón đặc, chuẩn, T :P × ˙◦ P →P◦ là một toán
tử đơn điệu hỗn hợp thỏa mãn: tồn tại một hằng số β = β(a, b) ∈ (0, 1) sao cho với
mọi 0 < a < b < 1, thỏa
T tx,1tx
⩾tβT (x, x), ∀x ∈P , a ≤ t ≤ b◦
Khi đó T có một điểm bất động duy nhất x∗ trong P◦.
Các lý thuyết về nón, ma trận xác định dương, điểm bất động rất đa dạng và
rất rộng Trong khuôn khổ của chương này chúng tôi chỉ nêu ra các khái niệm,
các định lý, tính chất, một số ví dụ có liên quan đến việc chứng minh và giải các
phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số Chúng ta có thể tìm hiểu
sâu hơn qua các tài liệu [1], [2], [3], [4]
Trang 24Chương 2
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HAI DẠNGPHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN PHITUYẾN
MiT X−1#BMi (2.2)
với p, m, j là những số nguyên dương, 1 ≤ j ≤ m, A, B là những ma trận xác định
dương và Mi(i = 1, 2, , m) là những ma trận thực vuông cấp n × n không suy
Với mọi ma trận xác định dương M, N chúng ta định nghĩa trung bình nhân
TrầnNhậtMinh 13
Trang 25củaM và N như sau
M #N := M1/2M−1/2N M−1/2
Khái niệm trung bình nhân với hai ma trận xác định dương được Pusz và
Woronowicz đưa ra trong [7] Rõ ràng, M #N là một ma trận xác định dương nếu
M, N là các ma trận xác định dương.
Theo như chúng ta đã biết, trung bình nhân có nhiều ứng dụng trong bất đẳng
thức ma trận, tối ưu nửa xác định, hình học, xử lý tín hiệu số, xem [8, 9, 10, 11,
12, 13] và các tài liệu tham khảo khác.
Phương trình ma trận phi tuyến với trung bình nhân cũng xuất hiện trong một
số ứng dụng Dường như, một số phương trình ma trận phi tuyến không có quan
hệ với trung bình nhân, nhưng nghiệm của những phương trình này có quan hệ
chặt chẽ với trung bình nhân Ví dụ, Lim và cộng sự trong [14] lần đầu tiên giới
thiệu một số tính chất của trung bình nhân √abcho các số thực dươnga và b Một
trong những tính chất đó là √ab là nghiệm xác định dương duy nhất của phương
trình x2 = ab hoặc phương trình tương đương xa−1x = b Sau đó, họ đã mở rộng
khái niệm này sang cho các ma trận xác định dương và chứng minh rằng phương
trình ma trận phi tuyến
có một nghiệm xác định dương duy nhất A#Qvới A và Q là các ma trận xác định
Trang 26Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ
dương Trong [15], Lim đã chỉ ra rằng phương trình ma trận phi tuyến
X = Q + CX−1C
có nghiệm xác định dương duy nhất X = 12 Q + Q# Q + 4CQ−1C bằng cáchbiến đổi về phương trình (2.4) Trong công thức nghiệm này, chúng ta cũng thấy
xuất hiện trung bình nhân Ví dụ, trong [16], Lim và cộng sự đã chứng minh rằng
phương trình ma trận phi tuyến
X = B#(A + X)
có một nghiệm xác định dương duy nhất X = 12(B + B#(B + 4A)) Lee và cộng sự
trong [17] đã chứng minh rằng phương trình ma trận phi tuyến
Xp = A + MT(X#B)M
luôn có một nghiệm xác định dương duy nhất bằng cách sử dụng các tính chất của
mê-tríc Thompson và định lý điểm bất động Banach.
Đặc biệt, Duan và cộng sự trong [18] đã thảo luận về phương trình ma trận phi
X −
A∗iXδiAi = Q
và đưa ra sự tồn tại của một nghiệm xác định dương duy nhất bằng cách sử dụng
các toán tử đơn điệu và đơn điệu hỗn hợp sử dụng nón chuẩn.
Lấy cảm hứng từ các công trình được đề cập ở trên, chúng tôi sẽ nghiên cứu
các định lý điểm bất động khác nhau cho các toán tử đơn điệu và đơn điệu hỗn
Trang 27hợp sử dụng nón chuẩn để chỉ ra sự tồn tại và tính duy nhất của các nghiệm xác
định dương cho các phương trình ma trận phi tuyến (2.1) và (2.2) Hơn nữa, chúng
tôi sử dụng phương pháp lặp nhiều bước để tính gần đúng nghiệm xác định dương
duy nhất của các phương trình này.
Hơn 2500 năm trước, người Hy Lạp cổ đại đã xác định một danh sách gồm
mười loại số trung bình Tất cả các số trung bình này được xây dựng bằng cách sử
dụng các tỉ lệ hình học Chủ yếu gồm 3 loại chính là trung bình toán học, trung
bình nhân và trung bình điều hòa Trung trung bình nhân được sử dụng giới hạn
cho các số dương và các hàm dương Trung bình nhân với tham số t của hai số
dương a và b được định nghĩa là a1−tbt với t ∈ [0, 1] Với t = 1/2, trung bình nhân
(standard geometric mean) của a và b là p(ab).
Giả sử a, b là hai số nguyên dương Ta đã biết trung bình số học, trung bình
nhân, trung bình điều hòa củaa, b lần lượt là các đại lượng
A(a, b) = a+b2
G(a, b) =√ab
H(a, b) =a−1+b2 −1
Một cách tổng quát, hàm số M : R∗+×R∗+ → R∗+ có thể xem là hàm trung bình
nếu các tính chất sau đây được thỏa mãn với mọi số dương a, b:
1 M (a, b) > 0.
Trang 28Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ
Giữa trung bình cộng, trung bình nhân và trung bình điều hòa ta có bất đẳng thức
quen thuộc sau
H(a, b) ≤ G(a, b) ≤ A(a, b)
Bây giờ ta sẽ mở rộng khái niệm trung bình của các số nguyên dương cho trường
hợp các ma trận xác định dương Rõ ràng một hàm ma trận được coi là trung bình
nếu nó thỏa mãn một số tính chất nhất định tương tự như hàm trung bình của
các số nguyên dương Tính chất 5 được viết dưới dạng tương đương là
M (¯xax, ¯xbx) = ¯xM (a, b)x∀x ∈C, x ̸= 0
Một cách tự nhiên, hàm ma trận M : Pn ×Pn → Pn được xem là hàm trun bình
nếu các tính chất sau đây được thỏa mãn với mọi ma trận xác định dương A, B :
1 M (A, B) > 0.
2 Nếu A ≤ B thì A ≤ M (A, B) ≤ B.
3 M (A, B) = M (B, A).
4 M (A, B) đơn diệu tăng theo A, B.
5 M (X∗AX, X∗BX) = X∗M (A, B)X với mọi ma trận X khả nghịch.
Trang 296 M (A, B) liên tục.
Có thể mở rộng khái niệm trung bình số học và trung bình điều hòa của hai số
nguyên dương sang cho trường hợp ma trận xác định dương một cách hợp lý
Tuy vậy, đối với trong trường hợp trung bình nhân thì không đơn giản Định
nghĩa G(A, B) = A12B12 sẽ không hợp lý vì ma trận này không phải luôn là ma
trận đối xứng Định nghĩaG(A, B) = A
Năm 1970, Kubo và Ando nghiên cứu về trung bình toán tử tuyến tính dương
[6], nghiên cứu này được quan tâm và thu hút nhiều nhà khoa học, sau đó đến
năm 1975, Pusz và Woronowicz [7] mở rộng và đưa ra giá trị trung bình nhân cho
hai ma trận đối xứng xác định dương A và B là:
A♯B = A1/2(A−1/2BA−1/2)1/2A1/2
Định lý 2.2.1 A♯B là nghiệm xác định dương duy nhất của phương trình Riccati
XA−1X = B