Đặng Văn Vinh các thầy đã nhiệt tình giảngdạy, định hướng và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập chương trình Cao họcToán Ứng dụng, cũng như trong quá trình thực hiện và hoàn thành luận
Ma trận nửa xác định dương, xác định dương
Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1 [1] Ma trận vuông thực A cấp n × n được gọi là ma trận đối xứng nếuA T = A haya ij = a ji , với i = 1 n, j = 1 n. Định nghĩa 1.1.2 [1] Ma trận vuông thực A cấp n × n, được gọi là ma trận trực giao nếu A −1 = A T
Từ định nghĩa, ta có: AA −1 = AA T ⇐⇒ AA T = I. Định nghĩa 1.1.3 [1] Ma trận A được gọi là chéo hóa được nếu ma trận A đồng dạng với ma trận chéo Tức là tồn tại ma trận P khả nghịch và ma trận chéo D sao cho A = P DP −1
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Định nghĩa 1.1.4 [1] Ma trận A được gọi là chéo hóa trực giao được nếu tồn tại ma trậnP và ma trận chéo D sao cho A = P −1 DP = P T DP.
Định nghĩa ma trận nửa xác định dương: Ma trận A nửa xác định dương khi và chỉ khi tích vô hướng của nó với mọi vectơ khác không đều dương Định lý trên cho ta biết rằng phép đồng dạng trực giao bảo toàn tính nửa xác định dương, cụ thể nếu A nửa xác định dương thì P^TAP cũng nửa xác định dương, với P là ma trận trực giao.
Ax = λx, x ∈C n , x ̸= 0, λ ∈ C (1.1) thì λ được gọi là trị riêng của A và x được gọi là vector riêng của A ứng với trị riêng λ. Định lý 1.1.2 [1] Mọi ma trận đối xứng thực A có thể đưa về dạng đường chéo nhờ phép biến đổi trực giao Hay tồn tại ma trận trực giao P sao cho P T AP có dạng đường chéo, tức là P T AP = diag(λ 1 , λ 2 , , λ n ), trong đó λ i là các trị riêng của ma trận A. Định nghĩa 1.1.6 [1] Cho hai ma trận A và B, ma trận A và B được gọi là đồng dạng nếu có một ma trận S không suy biến sao cho B = S −1 AS Kí hiệu: A ∼ B
ChoH là không gian Hilbert phứcn−chiều vàM n là không gian những ma trận với các phần tử phức Tích vô hướng của hai véc-tơ x và y được ký hiệu là D x, y E Định nghĩa 1.1.7 [3] Ma trận A = (a ij ) n×n được gọi là nửa xác định dương (kí hiệu A⩾ 0 ) nếu
Trần Nhật Minh 5 và được gọi là xác định dương (kí hiệu A > 0) nếu như
Ma trận nửa xác định dương sẽ trở thành ma trận xác định dương khi và chỉ khi nó khả nghịch. Định nghĩa 1.1.8 [2] Ma trận Hermit là ma trận vuông phức A = (a ij ) n×n sao cho A = A T = A ∗ , có nghĩa là a ij = a ji (1.4)
Một số tính chất của ma trận nửa xác định dương, xác 1.1.2 định dương
Tiếp theo, chúng ta nhắc lại một số tính chất của ma trận nửa xác định dương và xác định dương [3]
1 Ma trận A nửa xác định dương khi và chỉ khi A là ma trận Hermit và tất cả trị riêng của nó là số không âm Ma trận A xác định dương khi và chỉ khi A là ma trận Hermit và tất cả trị riêng của nó dương.
2 Ma trận A nửa xác định dương khi và chỉ khi A là ma trận Hermit và tất cả những định thức con chính là số không âm Ma trận A xác định dương khi và chỉ khi A là ma trận Hermit và tất cả những định thức con chính của nó dương.
3 Ma trận A nửa xác định dương khi và chỉ khi A = B ∗ B với B là một ma trận
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ nào đó Ma trận A xác định dương khi và chỉ khi A = B ∗ B với B là ma trận không suy biến.
4 Ma trận A nửa xác định dương khi và chỉ khi A = B 2 với B là một ma trận nào đó Ma trận B như thế là duy nhất Ta ký hiệu B = A 1/2 và gọi nó là căn bậc hai của ma trận A Ma trận A xác định dương khi và chỉ khi B xác định dương.
5 Ma trận nghịch đảo của ma trận xác định dương cũng là ma trận xác định dương.
Mệnh đề 1.1.3 Cho A là ma trận đối xứng thực Các khẳng định sau là tương đương:
2 Tồn tại ma trận U sao cho A = U T U
4 Các định thức con chính của ma trận A đều dương
Ta chứng minh từ (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1) và từ (2) ⇒ (3) ⇒ (1)
(1) ⇒ (2): Ma trận A được viết lại thành A = U DU T , với U là ma trận trực giao, D là ma trận chéo Các phần tử trên đường chéo của ma trận D là các trị
Trần Nhật Minh 7 riêng của ma trận A, vì vậy ta có thể viết D = C 2 với C là ma trận chéo Nên
(3) ⇒ (1): Nếuv là một vector riêng của A với trị riêng λ thì 0v T Av > λv T v hay λ > 0
(2) ⇒ (4): Cho B là ma trận con được tạo ra từ ma trận A bằng cách xóa các cột trong S. det(B ) = det(V T V ) = (det(V )) 2 ≥ 0
Giả thiết A có vectơ riêng v và trị riêng λ < 0 Sử dụng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được nếu A có một trị riêng không dương thì det(A) không dương Ngược lại, ta chọn vectơ riêng u vuông góc với vectơ riêng v có trị riêng μ không dương.
Chọn s ∈ R, vector w = v + su có ít nhất tọa độ 0, được gọi là i th
Nếu A ′ là ma trận từ A bằng cách bỏ cột thứ i và hàng i, w ′ được tạo nên từ w, ta cú (w ′ )A ′ w ′ = w T Aw = λ + s 2 à < 0.
Nên A ′ không xác định (đã chứng minh (1) ⇔ (3)) Áp dụng qui nạp, ta được điều phải chứng minh ■
Nón của những ma trận nửa xác định dương, xác định dương 9
Nón của những ma trận nửa xác định dương, xác định dương
1.1 Ma trận nửa xác định dương, xác định dương Để chuẩn bị kiến thức cho luận văn, chúng ta sẽ nhắc lại một số tính chất cơ bản của ma trận xác định dương.
1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 [1] Ma trận vuông thực A cấp n × n được gọi là ma trận đối xứng nếuA T = A haya ij = a ji , với i = 1 n, j = 1 n. Định nghĩa 1.1.2 [1] Ma trận vuông thực A cấp n × n, được gọi là ma trận trực giao nếu A −1 = A T
Từ định nghĩa ma trận nghịch đảo, ma trận A khả nghịch nếu và chỉ khi A^T là ma trận vuông khả nghịch Định nghĩa ma trận chéo hóa được: Ma trận A chéo hóa được nếu tồn tại ma trận P khả nghịch và ma trận chéo D sao cho A = P^-1DP.
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Định nghĩa 1.1.4 [1] Ma trận A được gọi là chéo hóa trực giao được nếu tồn tại ma trậnP và ma trận chéo D sao cho A = P −1 DP = P T DP.
Bổ đề 1.1.1 [1] Cho A là ma trận chéo hóa trực giao và P là ma trận trực giao. Khi đó, nếu A nửa xác định dương thì ma trận P T AP cũng nửa xác định dương. Định nghĩa 1.1.5 [1] Cho ma trận A, nếu λ và vector x thỏa phương trình
Ax = λx, x ∈C n , x ̸= 0, λ ∈ C (1.1) thì λ được gọi là trị riêng của A và x được gọi là vector riêng của A ứng với trị riêng λ. Định lý 1.1.2 [1] Mọi ma trận đối xứng thực A có thể đưa về dạng đường chéo nhờ phép biến đổi trực giao Hay tồn tại ma trận trực giao P sao cho P T AP có dạng đường chéo, tức là P T AP = diag(λ 1 , λ 2 , , λ n ), trong đó λ i là các trị riêng của ma trận A. Định nghĩa 1.1.6 [1] Cho hai ma trận A và B, ma trận A và B được gọi là đồng dạng nếu có một ma trận S không suy biến sao cho B = S −1 AS Kí hiệu: A ∼ B
ChoH là không gian Hilbert phứcn−chiều vàM n là không gian những ma trận với các phần tử phức Tích vô hướng của hai véc-tơ x và y được ký hiệu là D x, y E Định nghĩa 1.1.7 [3] Ma trận A = (a ij ) n×n được gọi là nửa xác định dương (kí hiệu A⩾ 0 ) nếu
Trần Nhật Minh 5 và được gọi là xác định dương (kí hiệu A > 0) nếu như
Ma trận nửa xác định dương sẽ trở thành ma trận xác định dương khi và chỉ khi nó khả nghịch. Định nghĩa 1.1.8 [2] Ma trận Hermit là ma trận vuông phức A = (a ij ) n×n sao cho A = A T = A ∗ , có nghĩa là a ij = a ji (1.4)
Một số tính chất của ma trận nửa xác định dương, xác 1.1.2 định dương
Tiếp theo, chúng ta nhắc lại một số tính chất của ma trận nửa xác định dương và xác định dương [3]
1 Ma trận A nửa xác định dương khi và chỉ khi A là ma trận Hermit và tất cả trị riêng của nó là số không âm Ma trận A xác định dương khi và chỉ khi A là ma trận Hermit và tất cả trị riêng của nó dương.
2 Ma trận A nửa xác định dương khi và chỉ khi A là ma trận Hermit và tất cả những định thức con chính là số không âm Ma trận A xác định dương khi và chỉ khi A là ma trận Hermit và tất cả những định thức con chính của nó dương.
3 Ma trận A nửa xác định dương khi và chỉ khi A = B ∗ B với B là một ma trận
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ nào đó Ma trận A xác định dương khi và chỉ khi A = B ∗ B với B là ma trận không suy biến.
4 Ma trận A nửa xác định dương khi và chỉ khi A = B 2 với B là một ma trận nào đó Ma trận B như thế là duy nhất Ta ký hiệu B = A 1/2 và gọi nó là căn bậc hai của ma trận A Ma trận A xác định dương khi và chỉ khi B xác định dương.
5 Ma trận nghịch đảo của ma trận xác định dương cũng là ma trận xác định dương.
Mệnh đề 1.1.3 Cho A là ma trận đối xứng thực Các khẳng định sau là tương đương:
2 Tồn tại ma trận U sao cho A = U T U
4 Các định thức con chính của ma trận A đều dương
Ta chứng minh từ (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1) và từ (2) ⇒ (3) ⇒ (1)
(1) ⇒ (2): Ma trận A được viết lại thành A = U DU T , với U là ma trận trực giao, D là ma trận chéo Các phần tử trên đường chéo của ma trận D là các trị
Trần Nhật Minh 7 riêng của ma trận A, vì vậy ta có thể viết D = C 2 với C là ma trận chéo Nên
(3) ⇒ (1): Nếuv là một vector riêng của A với trị riêng λ thì 0v T Av > λv T v hay λ > 0
(2) ⇒ (4): Cho B là ma trận con được tạo ra từ ma trận A bằng cách xóa các cột trong S. det(B ) = det(V T V ) = (det(V )) 2 ≥ 0
(4) ⇒ (1): Dùng qui nạp chứng minh Giả sử A có vector riêng v và trị riêng λ < 0 Nếu A có một trị riêng ≤ 0 thì det(A) ≤ 0 Ngược lại, chọn vector riêng u trực giao với vector riờng v với trị riờng à ≤ 0.
Chọn s ∈ R, vector w = v + su có ít nhất tọa độ 0, được gọi là i th
Nếu A ′ là ma trận từ A bằng cách bỏ cột thứ i và hàng i, w ′ được tạo nên từ w, ta cú (w ′ )A ′ w ′ = w T Aw = λ + s 2 à < 0.
Nên A ′ không xác định (đã chứng minh (1) ⇔ (3)) Áp dụng qui nạp, ta được điều phải chứng minh ■
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
1.2 Nón của những ma trận nửa xác định dương, xác định dương
1.2.1 Các định nghĩa cơ bản về nón Định nghĩa 1.2.1 [4] Cho E là một không gian Banach Tập hợp đóng, lồi, khác rỗngP của không gian Banach E được gọi là nón nếu thỏa mãn các tính chất sau:
Mỗi nónP trong không gian BanachE xác định được một quan hệ thứ tự từng phần, có nghĩa là x⩽ y nếu y − x ∈ P.
Ngoài ra chúng tôi biểu thị x ≪ y nếu y − x ∈ P ◦ với P ◦ = {x ∈ P : x là điểm bên trong của P }. Định nghĩa 1.2.2 [4] Cho nón P chứa các điểm bên trong của P Nếu P khác rỗng thìP được gọi là nón đặc (solid cone). Định nghĩa 1.2.3 [4] Nón P của không gian Banach E được gọi là nón chuẩn nếu tồn tại hằng số dương N > 0 sao cho từ 0⩽ x ⩽ y suy ra ∥x∥≦ N ∥y∥
Bổ đề 1.2.1 [4] Nón P là nón chuẩn khi và chỉ khi nếu x n ⩽ y n ⩽ z n , (n =
1, 2, 3, ) và x n → x, z n → x khi n → ∞ suy ra y n → x, khi n → ∞.
Nón của những ma trận nửa xác định dương, xác định 1.2.2 dương
Gọi M n×n (R ) là một tập hợp tất cả các ma trận đối xứng thực cấp n × n Như vậy, M n×n (R ) là một không gian Banach và được sắp xếp một phần bởi nón P, trong đó P là tập hợp tất cả những ma trận nửa xác định dương cấp n × n trong
M n×n (R ) Hơn nữa, P là một nón chuẩn [3].
Ngoài ra, chúng tôi biểu thị P ◦ = {x ∈ P : x là điểm bên trong của P }, là tập hợp tất cả ma trận xác định dương cấp n × n.
Chúng ta định nghĩa mối quan hệ thứ tự từng phần như sau:
X ⩽ Y ⇔ Y − X ∈ P, có nghĩa là Y − X là ma trận nửa xác định dương.
X < Y ⇔ Y − X ∈ P , ◦ có nghĩa là Y − X là ma trận xác định dương.
Bổ đề 1.2.2 [18] Nếu 0 < X ⩽ Y (0 < X < Y ), thì 0 < X a ⩽ Y a (0 < X a < Y a ) với mọi a ∈ (0, 1], X, Y ∈ P Tương tự, nếu 0 < X ⩽ Y (0 < X < Y ), thì 0 < Y a ⩽
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HAI DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN PHI TUYẾN 13
Giới thiệu hai dạng phương trình ma trận phi tuyến
Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu hai dạng phương trình ma trận phi tuyến sau:
M i (2.2) với p, m, j là những số nguyên dương, 1 ≤ j ≤ m, A, B là những ma trận xác định dương và M i (i = 1, 2, , m) là những ma trận thực vuông cấp n × n không suy biến.
Với mọi ma trận xác định dương M, N chúng ta định nghĩa trung bình nhân
TrầnNhậtMinh 13 củaM và N như sau
Khái niệm trung bình nhân với hai ma trận xác định dương được Pusz và Woronowicz đưa ra trong [7] Rõ ràng, M #N là một ma trận xác định dương nếu
M, N là các ma trận xác định dương.
Theo như chúng ta đã biết, trung bình nhân có nhiều ứng dụng trong bất đẳng thức ma trận, tối ưu nửa xác định, hình học, xử lý tín hiệu số, xem [8, 9, 10, 11,
12, 13] và các tài liệu tham khảo khác.
Phương trình ma trận phi tuyến với trung bình nhân cũng xuất hiện trong một số ứng dụng Dường như, một số phương trình ma trận phi tuyến không có quan hệ với trung bình nhân, nhưng nghiệm của những phương trình này có quan hệ chặt chẽ với trung bình nhân Ví dụ, Lim và cộng sự trong [14] lần đầu tiên giới thiệu một số tính chất của trung bình nhân √ abcho các số thực dươnga và b Một trong những tính chất đó là √ ab là nghiệm xác định dương duy nhất của phương trình x 2 = ab hoặc phương trình tương đương xa −1 x = b Sau đó, họ đã mở rộng khái niệm này sang cho các ma trận xác định dương và chứng minh rằng phương trình ma trận phi tuyến
XA −1 X = Q (2.4) có một nghiệm xác định dương duy nhất A#Qvới A và Q là các ma trận xác định
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ dương Trong [15], Lim đã chỉ ra rằng phương trình ma trận phi tuyến
X = Q + CX − 1C có nghiệm xác định dương duy nhất X = 1 / 2Q + Q# / (Q + 4CQ − 1C) Công thức nghiệm này chứa trung bình nhân, tương tự như phương trình ma trận phi tuyến trong nghiên cứu của Lim và cộng sự [16].
X = B#(A + X) có một nghiệm xác định dương duy nhất X = 1 2 (B + B#(B + 4A)) Lee và cộng sự trong [17] đã chứng minh rằng phương trình ma trận phi tuyến
X p = A + M T (X#B )M luôn có một nghiệm xác định dương duy nhất bằng cách sử dụng các tính chất của mê-tríc Thompson và định lý điểm bất động Banach. Đặc biệt, Duan và cộng sự trong [18] đã thảo luận về phương trình ma trận phi tuyến
A ∗ i X δ i A i = Q và đưa ra sự tồn tại của một nghiệm xác định dương duy nhất bằng cách sử dụng các toán tử đơn điệu và đơn điệu hỗn hợp sử dụng nón chuẩn.
Lấy cảm hứng từ các công trình được đề cập ở trên, chúng tôi sẽ nghiên cứu các định lý điểm bất động khác nhau cho các toán tử đơn điệu và đơn điệu hỗn
Trần Nhật Minh 15 hợp sử dụng nón chuẩn để chỉ ra sự tồn tại và tính duy nhất của các nghiệm xác định dương cho các phương trình ma trận phi tuyến (2.1) và (2.2) Hơn nữa, chúng tôi sử dụng phương pháp lặp nhiều bước để tính gần đúng nghiệm xác định dương duy nhất của các phương trình này.
Trung bình nhân
Hơn 2500 năm trước, người Hy Lạp cổ đại đã xác định một danh sách gồm mười loại số trung bình Tất cả các số trung bình này được xây dựng bằng cách sử dụng các tỉ lệ hình học Chủ yếu gồm 3 loại chính là trung bình toán học, trung bình nhân và trung bình điều hòa Trung trung bình nhân được sử dụng giới hạn cho các số dương và các hàm dương Trung bình nhân với tham số t của hai số dương a và b được định nghĩa là a 1−t b t với t ∈ [0, 1] Với t = 1/2, trung bình nhân
(standard geometric mean) của a và b là p
(ab). Giả sử a, b là hai số nguyên dương Ta đã biết trung bình số học, trung bình nhân, trung bình điều hòa củaa, b lần lượt là các đại lượng
Một cách tổng quát, hàm số M : R ∗ + ×R ∗ + → R ∗ + có thể xem là hàm trung bình nếu các tính chất sau đây được thỏa mãn với mọi số dương a, b:
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Giữa trung bình cộng, trung bình nhân và trung bình điều hòa ta có bất đẳng thức quen thuộc sau
Bây giờ ta sẽ mở rộng khái niệm trung bình của các số nguyên dương cho trường hợp các ma trận xác định dương Rõ ràng một hàm ma trận được coi là trung bình nếu nó thỏa mãn một số tính chất nhất định tương tự như hàm trung bình của các số nguyên dương Tính chất 5 được viết dưới dạng tương đương là
Một cách tự nhiên, hàm ma trận M : P n × P n → P n được xem là hàm trun bình nếu các tính chất sau đây được thỏa mãn với mọi ma trận xác định dương A, B :
5 M (X ∗ AX, X ∗ BX) = X ∗ M (A, B)X với mọi ma trận X khả nghịch.
Có thể mở rộng định nghĩa trung bình số học và trung bình điều hòa của hai số nguyên dương sang ma trận xác định dương một cách hợp lý để có được hai khái niệm mới gọi là trung bình số học và trung bình điều hòa của hai ma trận xác định dương.
Mặc dù định nghĩa G(A, B) = A 1/2 B 1/2 có vẻ hợp lý trong một số trường hợp, nhưng nó lại không phù hợp với trường hợp tổng quát Lý do là ma trận thu được theo định nghĩa này không phải lúc nào cũng đối xứng Vì vậy, cần phải có một định nghĩa khác cho G(A, B) để đảm bảo tính đối xứng của ma trận.
2 cũng không hợp lý vì tính chất 1 không phải lúc nào cũng xảy ra Đối với hai ma trận đường chéo A > 0, B > 0 thì có thể định nghĩa G(A, B ) = A 1 2 B 1 2
Năm 1970, Kubo và Ando nghiên cứu về trung bình toán tử tuyến tính dương [6], nghiên cứu này được quan tâm và thu hút nhiều nhà khoa học, sau đó đến năm 1975, Pusz và Woronowicz [7] mở rộng và đưa ra giá trị trung bình nhân cho hai ma trận đối xứng xác định dương A và B là:
A♯B = A 1/2 (A −1/2 BA −1/2 ) 1/2 A 1/2 Định lý 2.2.1 A♯B là nghiệm xác định dương duy nhất của phương trình Riccati
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
A −1/2 là trung bình nhân của hai ma trận xác định dương A và B Trong đó: A 1/2 BA 1/2 đối xứng, xác định dương A 1/2 BA 1/2 T
Bổ đề 2.2.2 (Bất đẳng thức Lowner-Hein) [14] Giả sử hai ma trận A và B thỏa bất đẳng thức 0⩽ A ⩽ B và tồn tai số thực a (với 0 < a < 1 ) Khi đó A a ⩽ B a
Bổ đề 2.2.3 [13] Cho các ma trận C, D, C ′ , D ′ ∈ P, nếu C ′ ≤ C, D ′ ≤ D thì
Giả sử D = D ′ , cần chứng minh: C ′ ♯D ≤ C♯D
Xét C ′ ♯D − C♯D C ′ ♯D − C♯D là ma trận xác định dương nên:
⇒ (M 1 ) T (C ′ ♯D − C♯D) M 1 = (M 1 ) T P DP T M 1 = (P M 1 ) T D P T M 1 với (P M 1 ) T D P T M 1 là ma trận xác định dương.
Bổ đề 2.2.4 Cho các ma trận C, D ∈ P, t > 0, (tC )♯D = t 1/2 (C♯D)
Chứng minh Đầu tiên, vì C ∈ P, tồn tại một ma trận trực giao U sao cho
U T CU = D C trong đó D C = diag (λ 1 , λ 2 , , λ n ) , với λ 1 , λ 2 , , λ n là các giá trị riêng của C. Chúng ta biết λ i > 0 và λ i là các số thực (i = 1, 2, , n), và C = U D C U T Khi đó, chúng ta lấy B = U D
C U T , và thu được B 2 = C Có nghĩa là, B = C 1 2 Hơn nữa, đặt A = U D −
C U T , ta được AB = BA = I và do đó A = C − 1 2 Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng (tC)#D = t 1 2 (C#D) Ta có
Nói một cách tổng quát hơn, chúng tôi thu được (tC ) r = t r C r cho bất kỳ t > 0 và r ∈ R Ngay lập tức, chúng tôi có
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Phương trình ma trận phi tuyến dạng I
Cho A, B ∈ P, p, m là các số nguyên dương và M i (i = 1, 2, 3, , m) là các ma trận thực không suy biến cấp n × n Xét phương trình ma trận phi tuyến
Chúng ta cần tìm nghiệm xác định dương của phương trình này Khi đó, chúng ta sẽ thu được định lý sau. Định lý 2.3.1 Phương trình (2.5) luôn có một nghiệm xác định dương duy nhất
Chứng minh Đầu tiên, ta nhận thấy P là một nón đặc, chuẩn Rõ ràng, phương trình (2.5) tương đương với phương trình toán tử sau
T : P → P là toán tử được xác định theo công thức trên Tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh rằng toán tử T là toán tử tăng Với mọi X 1 , X 2 ∈ P, X 1 ⩽ X 2 , theo Bổ đề (2.2.2) và (2.2.3), chúng ta nhận được
Bằng một phép tính đơn giản và từ Bổ đề (2.2.2), (2.2.4), chúng tôi chỉ ra rằng với
Trần Nhật Minh 21 bất kỳ X ∈ P, t ∈ (0, 1), tồn tại một hằng số r ∈ (0, 1) với rp ≥ 1 2 sao cho
Nói một cách ngắn gọn, phương trình (2.5) có nghiệm xác định dương duy nhất
X ∗ trong P vì toán tử T thỏa mãn tất cả các giả thuyết của Bổ đề (1.2.4) Định lý đã được chứng minh.
Bây giờ chúng ta tìm nghiệm xấp xỉ với nghiệm xác định dương duy nhất của phương trình (2.5) bằng phương pháp lặp nhiều bước theo công thức sau
Dãy ma trận {X k } xác định bởi công thức (2.6) hội tụ đến ma trận X* duy nhất thỏa mãn phương trình (2.5) Ma trận X* này là nghiệm xác định dương duy nhất của phương trình (2.5) với điều kiện ban đầu là X 1 , X 2 , , X m ∈ P.
Chứng minh Vì phương trình (2.5) có nghiệm xác định dương duy nhất X ∗ , nên tồn tại một hằng số dương 0 < a < 1 sao cho với dãy các ma trận ban đầu
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Cho k = sm + i, (i = 1, 2, 3, , m), trong đó s là một số nguyên không âm Chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau: a δ s X ∗ ⩽ X k ⩽ a −δ s X ∗ (2.8) trong đó δ ∈ (0, 1) với δ ≥ 2p 1 Ta chứng minh bất đẳng thức trên bằng quy nạp toán học Với s = 0, thì bất đẳng thức (2.8) đúng do ta có bất đẳng thức (2.7). Giả sử rằng bất đẳng thức (2.8) đúng với s = q − 1, trong đó q là một số nguyên dương, tức là, với, k = (q − 1)m + i, (i = 1, 2, 3, , m), ta có a δ s X ∗ ≤ X k ≤ a −δ s X ∗ (2.9)
Khi đó, chúng ta chứng minh bất đẳng thức (2.8) vẫn đúng với s = q Bằng cách sử dụng (2.6, 2.8) và Bổ đề (2.2.2, 2.2.3, 2.2.4), chúng ta có thể nhận được
Tương tự, chúng tôi có
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ và
Bằng cách sử dụng một cách tương tự, chúng tôi nhận được a δ q X ∗ ≤ X qm+i ≤ a −δ q X ∗ (i = 3, 4, , m)
Vì vậy, bất đẳng thức (2.8) đúng với mọi s Dễ dàng chứng minh a δ s → 1, a −δ s → 1 khi s → ∞ Ngay lập tức, chúng ta có X k → X ∗ , k → ∞ từ Bổ đề (1.2.1)
Phương trình ma trận phi tuyến dạng II
Chop, m, jlà các số nguyên dương với1 ≤ j ≤ m, A, B ∈ P vàM i (i = 1, 2, 3, , m) là ma trận thực cấp n × n không suy biến Xét phương trình ma trận phi tuyến
M 2 (2.10) và chúng ta phải tìm nghiệm là một ma trận xác định dương Khi đó, chúng ta thu được định lý sau.
Trần Nhật Minh 25 Định lý 2.4.1 Phương trình (2.10) luôn có một nghiệm xác định dương duy nhất
Chứng minh. Đầu tiên, chú ý rằng P là một nón đặc, chuẩn Xét toán tử sau
Rõ ràng, T : P × P → P Tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh rằng toán tử T là đơn điệu hỗn hợp Với mọi X 1 , X 2 , Y 1 , Y 2 , ∈ P, X 1 ⩽ X 2 , Y 2 ⩽ Y 1, theo Bổ đề (2.2.2, 2.2.3), chúng ta nhận được
Bằng một phép tính đơn giản và từ Bổ đề (2.2.2, 2.2.4), chúng tôi chỉ ra rằng với mọiX ∈ P, 0 < a < b < 1, t ∈ [a, b], tồn tại một hằng số β ∈ (0, 1)với βp ≥ 1 2 sao cho
Như vậy, phương trình (2.10) có nghiệm xác định dương duy nhất X ∗ trong P vì toán tử T thỏa mãn tất cả các giả thuyết của Bổ đề (1.2.5).
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Bây giờ chúng ta xấp xỉ nghiệm xác định dương duy nhất của phương trình (2.10) bằng phương pháp lặp nhiều bước
(2.12) trong đó X 1 , X 2 , X m ∈ P là dãy các ma trận ban đầu Đối với dãy ma trận {X k } được tạo bởi (2.12), chúng ta có định lý quan trọng sau đây. Định lý 2.4.2 Đối với bất kỳ X 1 , X 2 , , X m ∈ P, dãy ma trận {X k } được tạo bởi (2.12) hội tụ đến nghiệm xác định dương duy nhất X ∗ của phương trình (2.10).
Chứng minh Vì phương trình (2.10) có nghiệm xác định dương duy nhấtX ∗ , nên tồn tại một hằng số dương0 < a < 1sao cho ma trận ban đầuX 1 , X 2 , X m ∈ P thỏa aX ∗ ≤ X i ≤ a −1 X ∗ , (i = 1, 2, 3, , m) (2.13) Cho k = sm + i, (i = 1, 2, 3, , m), trong đó s là một số nguyên không âm Chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau: a δ s X ∗ ≤ X k ≤ a −δ s X ∗ (2.14) trong đó δ ∈ (0, 1) với δ ≥ 2p 1 Ta chứng minh bất đẳng thức trên bằng quy nạp toán học Đối với s = 0, thì bất đẳng thức (2.14) đúng do ta có bất đẳng thức (2.13) Giả sử rằng bất đẳng thức (2.14) đúng với s = q − 1, trong đó q là một số nguyên dương, tức là, với k = (q − 1)m + i, (i = 1, 2, 3, , m), ta có a δq−1 X ∗ ≤ X (q−1)m+i ≤ a −δ q−1 X ∗ (2.15)
Khi đó, chúng ta chứng minh bất đẳng thức (2.14) vẫn đúng với s = q Bằng cách sử dụng (2.12, 2.15), Bổ đề (2.2.2, 2.2.3, 2.2.4), chúng ta nhận được
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Tương tự vậy, chúng ta có:
Tương tự, chúng ta nhận được a δ q X ∗ ≤ X qm+i ≤ a −δ q X ∗ (i = 3, 4, , m)
Vì vậy, bất đẳng thức (2.14) áp dụng cho bất kỳ s nào Dễ dàng chứng minh a δ s → 1, a −δ s → 1 khi s → ∞ Ngay lập tức, chúng ta có X k → X ∗ , k → ∞ từ bổ đề (1.2.1) Định lý đã được chứng minh.
Trong chương này, chúng ta đã nghiên cứu hai dạng của phương trình ma trận phi tuyến (2.5) và (2.10) liên quan đến trung bình nhân Như chúng ta đã biết,việc nghiên cứu các phương trình ma trận với trung bình nhân vẫn còn rất ít Vì vậy, nó là đáng giá để thảo luận về các phương trình ma trận (2.5) và (2.10) Để chứng minh sự tồn tại nghiệm xác định dương duy nhất của các phương trình này,chúng ta sử dụng một số định lý điểm bất động cho các toán tử đơn điệu và đơn điệu hỗn hợp trong không gian Banach có sắp xếp thứ tự từng phần và một số tính chất của nón Hơn nữa, chúng ta có thể xây dựng một dãy lặp nhiều bước để tính gần đúng nghiệm xác định dương duy nhất của các phương trình ma trận phi tuyến
MỘT THUẬT TOÁN ĐỂ TÍNH
TRUNG BÌNH NHÂN CỦA HAI
MA TRẬN HERMIT XÁC ĐỊNH DƯƠNG THÔNG QUA DẤU CỦA
Như đã đề cập trong chương 2, trung bình nhân xuất hiện trong biểu thức nghiệm của một số phương trình ma trận phi tuyến Do đó, trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu một thuật toán để tìm trung bình nhân của hai ma trận Hermit xác định dương thông qua ứng dụng của hàm dấu của ma trận. Được biết, trung bình số học - trung bình nhân là sốagm(a, b) của hai số (không âm) a và b được xác định bằng cách chọn giá trị ban đầu bằng a 0 = a và b 0 = b và sau đó lặp lại a k+1 = 1 2 [a k + b k ] b k+1 = √ a k b k , k = 0, 1, 2,
TrầnNhậtMinh 31 cho đến khia k = b k đến độ chính xác mong muốn Các dãy thu được {a k } , {b k } hội tụ với nhau Lưu ý rằng trong (3.1), √ a k b k là trung bình nhân của hai số dươnga k vàb k trên mỗi chu kỳ tính toán Mặc dù công thức lặp lại này khá dễ dàng và đáng tin cậy đối với hai đại lượng vô hướng, nhưng việc mở rộng nó cho ma trận vuông và ma trận không suy biến không phải là một nhiệm vụ dễ dàng Trong chương này, chúng ta quan tâm đến trường hợp ma trận của hai ma trận xác định dương Hermit vuông. Định nghĩa đúng về trung bình nhân của ma trận GM(A, B) của hai ma trận xác định dương A và B có thể được biểu diễn bằng
Với ma trận vuông M cho trước sao cho nó không có giá trị riêng thực không dương, M 1/2 là kí hiệu nghiệm duy nhất của phương trình ma trận bậc hai
Định nghĩa trung bình nhân của ma trận được đưa ra trong công thức (3.2) do Pusz và Woronowicz đề xuất vào những năm 1970 Giá trị riêng của ma trận M xác định trong công thức (3.3) nằm nửa mặt phẳng bên phải Bên cạnh định nghĩa này, còn có một số định nghĩa khác để tính trung bình nhân của nhiều ma trận như công trình của Lawson-Lim Lý thuyết trung bình nhân với chỉ hai ma trận đã được phát triển tương đối hoàn thiện, tuy nhiên với số ma trận tham gia lớn hơn 2 thì việc tính trung bình nhân trở nên phức tạp hơn.
Một công thức biến thể cho trường hợp vô hướng của trung bình nhân có thể
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ được biểu diễn như sau gm(a, b) = √ ab
Như có thể thấy trong (3.4), việc tính trung bình nhân vô hướng hoàn toàn liên quan đến căn bậc hai của đại lượng vô hướng dương a và nghịch đảo của nó Một định nghĩa tương tự và quan trọng cho trung bình nhân của ma trận đã được Bhatia phát triển và đề xuất trong [3] như sau:
A 1/2 (3.5) với A, B là hai ma trận xác định dương Hermit.
Trong chương này, chúng ta sẽ kết hợp phương pháp Newton tìm nghiệm của phương trình phi tuyến và phương pháp dạng Chebyshev-Halley để đưa ra một công thức lặp nhanh để giải các phương trình phi tuyến Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình phi tuyến và việc tính toán một số hàm ma trận đặc biệt Điều này sẽ minh họa cách các thuật toán mới có thể được xây dựng và triển khai Việc triển khai công thức lặp được thực hiện bằng phần mềm tính toán hình thức Mathematica Ngoài ra, chúng ta sẽ thảo luận về tính ổn định của sơ đồ tính toán Lưu ý rằng ý tưởng tính toán trung bình nhân bằng cách sử dụng hàm dấu hiệu cũng có thể được tìm thấy trong [21] Cuối cùng,
Trần Nhật Minh 33 chúng ta sẽ hiển thị các kết quả số và nêu bật lợi ích của kỹ thuật được đề xuất.
Xây dựng phương pháp mới
Được biết, một cách phổ biến để cải thiện tốc độ hội tụ của các phương pháp lặp khi giải các phương trình phi tuyến là kết hợp các sơ đồ đã được phát triển trước đó Do đó, trước tiên chúng ta hãy kết hợp phương pháp Newton vào một phương pháp đặc biệt của sơ đồ lặp kiểu Chebyshev-Halley [22] để tạo ra một lược đồ lặp mới như sau: y k = x k − f (x k ) f ′ (x k ) x k+1 = y k −
(3.6) trong đó L k = f ′′ (y k ) f (y k ) /f ′ (y k ) 2 Định lý 3.1.1 Cho α ∈ D là số không đơn giản của hàm đủ khả vi f : D ⊆R → R trong khoảng mở D, chứa x 0 là giá trị gần đúng ban đầu của α Khi đó, biểu thức lặp (3.6) không nhớ thỏa mãn phương trình sai số dưới đây e k+1 =
Việc chứng minh định lý này dựa trên khai triển chuỗi Taylor của phương pháp lặp (3.6) trong lân cận của nghiệm trong lần lặp thứ k Các bước của chứng minh của định lý này tương tự như các bước được thực hiện trong [23].
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Xây dựng một thuật toán cho trung bình nhân
Nhiều hàm ma trận quan trọng như căn bậc hai ma trận, nghĩa là, nghiệm của phương trình ma trận (3.3) và hàm dấu ma trận là nghiệm của phương trình ma trận sau:
X 2 = I (3.8) có thể được tính toán gần đúng bằng các hàm lặp ma trận.
Để thiết kế thuật toán hiệu quả cho định nghĩa quan trọng của trung bình nhân (3.5), cần tính toán đồng thời cả căn bậc hai của ma trận A (A^1/2) và nghịch đảo của ma trận A (A^-1/2).
Với mục đích này, chúng tôi áp dụng công thức giải phương trình phi tuyến mới (3.6) để giải phương trình ma trận (3.8) Ứng dụng này sẽ mang lại phép lặp ma trận sau ở dạng nghịch đảo như sau:
Để xác định dấu của ma trận X với các phần tử không âm bằng cách sử dụng (3.9), cần thiết phải liên hệ với bản dạng quan trọng [24]:- Định nghĩa về dấu của ma trận: Nếu tất cả các phần tử trên đường chéo chính của 1 ma trận là dương thì ma trận đó được gọi là ma trận dương hoặc có dấu dương Ngược lại, nếu tất cả các phần tử trên đường chéo chính của 1 ma trận là âm thì ma trận đó được gọi là ma trận âm hoặc có dấu âm.
Trần Nhật Minh 35 cho biết mối quan hệ quan trọng giữa căn bậc hai của ma trận A 1/2 và hàm dấu ma trận.
Bổ đề 3.2.1 ChoA = [a i,j ] n×n không có giá trị riêng trênR − Khi đó, dãy{X k } k=∞ k=0 được tạo bởi (3.9) bằng cách sử dụng X 0 =
là ổn định tiệm cận.
Chứng minh Gọi ∆ k là một nhiễu số được giới thiệu ở lần lặp k của (3.9). Chúng ta thu được
Lưu ý tính giao hoán không áp dụng với X k và ∆ k Để thuận tiện, danh tính sau sẽ được sử dụng (đối với ma trận bất kỳ không suy biến B và ma trận C):
(B + C) −1 ≈ B −1 − B −1 CB −1 (3.13) Đơn giản biểu thức chúng ta được
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ trong đó S 2 = I, S −1 = S, và với k đủ lớn, giả sử X k ≈ S Sau một số biến đổi đại số và sử dụng ∆ k+1 = X k+1 − X k+1 ≈ X k+1 − S, chúng ta kết luận rằng
2 S∆ k S (3.15) Áp dụng (3.15) liên tục đến khi k = 0, chúng ta có:
Từ (3.16), chúng ta có thể kết luận rằng sai số tại lần lặpk + 1 bị chặn Điều này cho phép kết luận rằng sai số ở một bước nhất định bị chặn ở các bước tiếp theo.
Do đó, dãy {X k } được tạo bởi (3.9) là ổn định tiệm cận. Định lý 3.2.2 [19] Cho A = [a i,j ] n×n không có giá trị riêng trên R − Nếu X 0 =
, thì phương pháp lặp (3.9) hội tụ S = sign
Chứng minh Sự hội tụ của các lần lặp hợp lý có thể được phân tích theo sự hội tụ của các giá trị riêng của ma trận X k Lý do cho điều này là nếu X có phân tích Jordan X = ZJ Z −1 , thì R(X) = ZR(J)Z −1 Cho A có dạng Jordan chính tắc được sắp xếp là Z −1 AZ = Λ, trong đó Z là ma trận không suy biến Theo [21], ta có sign(Λ) = sign Z −1 AZ
= Z −1 sign(A)Z (3.17) Nếu chúng ta định nghĩa D k = Z −1 X k Z, thì từ công thức lặp (3.9), chúng ta thu
(3.18) Lưu ý rằng nếu D 0 là ma trận đường chéo thì dựa trên một chứng minh quy nạp, tất cả các ma trận D k cũng là ma trận chéo Từ (3.18), đủ để chứng minh rằng {D k } hội tụ đến sign(Λ), để đảm bảo sự hội tụ của dãy tạo bởi (3.9).
Chúng ta có thể viết (3.18) dưới dạng n các phép lặp vô hướng không liên kết để giải g(x) = x 2 − 1 = 0, cho bởi d i k+1 = 48d i k + 272d i k + 272d i k 5 + 48d i k 7
7 + 148d i k 2 + 330d i k 4 + 148d i6 k + 7d i8 k (3.19) trong đó d i k = (D k ) i,i và 1 ≤ i ≤ n Từ (3.18) và (3.19), là đủ để nghiên cứu sự hội tụ của d i k đến sign (λ i ), với mọi 1 ≤ i ≤ n.
Từ (3.19) và vì các giá trị riêng của A không phải là các số phức ảo thuần túy, chúng ta có sign (λ i ) = s i = ±1 Do đó, chúng ta thu được d i k+1 − 1 d i k+1 + 1 = − −1 + d i k 6
= 1 = |sign (λ i )| Điều này cho thấy rằng d i k là hội tụ Bây giờ, có thể dễ dàng kết luận rằng lim k→∞ D k = sign(Λ) Cuối cùng, chúng ta có k→∞ lim X k = Z k→∞ lim D k
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Định lý đã được chứng minh.
Phép lặp (3.9) yêu cầu một phép nghịch đảo của ma trận trước các bước tính toán và thu được cả A 1/2 và A −1/2 Việc thực hiện các bước lặp (3.9) để tính các căn bậc hai đòi hỏi một sự chú ý để tiết kiệm nhiều công sức Vì tất cả các ma trận trung gian đều là ma trận thưa (ít nhất một nửa số phần tử của ma trận bằng0), nên người ta có thể chỉ cần sử dụng kỹ thuật xấp xỉ thưa để tiết kiệm bộ nhớ và thời gian.
Lưu ý rằng để tính căn bậc hai của ma trận A −1/2 BA −1/2 1/2
, chúng tôi đã sử dụng phương pháp Jordan chính tắc.
Thực hành sử dụng phần mềm Mathematica
Chúng ta kiểm tra công thức lặp (3.9) được ký hiệu là PM bằng cách sử dụng
(3.23) được xem xét Phương pháp này tạo ra các dãy {Y k } và {Z k } hội tụ tương ứng đến
Chúng tôi nhận xét rằng bước con thứ nhất và thứ hai của (3.6) dẫn đến phương pháp Newton bậc hai (NM) và phương pháp Chebyshev-Halley bậc ba (CHM) cho
Trần Nhật Minh 39 dấu của ma trận [21] như sau:
Ví dụ 3.3.1 Xét ma trận A =
, khi đó giá trị chính xác của trung bình nhân ma của hai ma trận A, B được xác định trong [24]:
Cách tiếp cận được đề xuất hội tụ về ma trận lời giải trong 2 lần lặp, điều này cho thấy sự hội tụ hoàn toàn nhanh chóng.
Ví dụ 3.3.2 Xét hai ma trận Hermit xác định dương như sau:
Chúng ta so sánh các phương pháp khác nhau và thu được kết quả số bằng cách sử dụngl ∞ cho tất cả các chuẩn với kiện dừng ∥X k+1 − X k ∥ ∞ / ∥X k+1 ∥ ∞ ≤ ϵ = 10 −5 trong hình 3.2 Như có thể thấy, kết quả số hài hòa với các khía cạnh lý thuyết và cho thấy sự hội tụ nhanh chóng đối với phương pháp đề xuất (3.9).
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Kết Luận
Dựa trên sơ đồ Newton và phương pháp Chebyshev-Halley, chúng ta đã phát triển một phương pháp lặp với bậc sáu hội tụ để giải các phương trình phi tuyến. Sau đó, phương pháp tìm hàm dấu ma trận đã được mở rộng để tính căn bậc hai của ma trận và nghịch đảo của nó Quy trình này được tuân theo để xây dựng một thuật toán nhanh chóng để tìm trung bình nhân của hai ma trận Hermit xác định dương Chúng tôi cũng đã nghiên cứu sự ổn định tiệm cận của kỹ thuật được đề xuất. Để minh họa cho kỹ thuật mới, một số ví dụ số đã được trình bày Các kết quả tính toán đã chứng minh hành vi hội tụ mạnh mẽ và hiệu quả của phương pháp được đề xuất.
Chúng ta có nhận xét rằng trong nhiều ứng dụng số cần độ chính xác cao trong tính toán Kết quả của các tính toán số cho thấy rằng các phương pháp hiệu quả bậc cao như (3.9) được kết hợp với số học có độ chính xác cao là rất hữu ích, vì chúng làm giảm số lần lặp lại một cách rõ ràng.
Hình 3.2: Biểu đồ log để so sánh số lần lặp lại trong Ví dụ 3.3.2.
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Trong luận văn chúng tôi nghiên cứu hai dạng phương trình ma trận với trung bình nhân:
M i T X −1 #B M i (3.27) Dựa trên định lý điểm bất động đối với toán tử đơn điệu và đơn điệu hỗn hợp trong không gian Banach được sắp xếp thứ tự từng phần bởi nón của nhưng ma trận xác định dương, chúng ta thu được nghiệm xác định dương duy nhất.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ trình bày một dãy các bước lặp để giải các phương trình ma trận Phương pháp này giúp tìm nghiệm xấp xỉ của nghiệm dương duy nhất xác định của phương trình ma trận.
Trong luận văn còn trình bày được một thuật toán tính trung bình nhân của hai ma trận Hermit xác định dương.
Luận văn này giúp phát triển lý thuyết phương trình ma trận có trung bình nhân và có thể tạo tiền đề để phát triển ứng dụng của lý thuyết này trong lượng tử, lập trình tối ưu Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên, giảng viên và cộng đồng nghiên cứu trong lĩnh vực này.
[1] D V Vinh, Giáo trình Đại số tuyến tính, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2020.
[2] F H D Petx, Introduction to Matrix Analysis and Applications.
Springer,2014 [3] R Bhatia, Positive Definite Matrices, Princeton University Press, 2007
[4] D Guo, and V Lakshmikantham, Nonlinear Problems in Abstract Cones.Academic Press, New York, 1988
[5] X Duan, andA Liao, "Onthe existence of Hermitian positivedefinite solutions of the matris equation X s + A ∗ X −t A = Q," Linear Algebra Appl., vol 429,pp.673-687, 2008
[6] F Kubo, and T Ando,"Means of positive linear operator," Math.
[7] W Pusz, and S L Woronowicz, Functional calculus for sesquilinear forms and the purification map, vol 8, no.2, pp 159-170, 1975.
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
[8] T Ando, "Concavity of certain mapsonpositive definitematrices and applications to hadamard products," Linear Algebra Appl.,vol 26, pp. 203-241, 1979.
[9] T Ando, "On the arithmetic-geometric-harmonic meaninequalities for positivedefinitematrices," Linear Algebra Appl., vol 52-53, pp 31-37, 1983.
[10] U E.Nesterov,andM J.Todd, "Self-scaled barriers and interior-point methods for convex programming," Math Oper Res., vol 22,pp 1-42,
[11] G.Corach,H.Porta, L.Recht Geodesicsand operatormeans in thespace of positive operators, Int J Math 4 (1993) 193-202
[12] C Jung,H Lee,and T.Yamazaki, "Ona new construction of geometric mean of n-operators," Linear Algebra Appl., vol 431, pp 1477-1488, 2009.
[13] Z R.Shang, K Huo, W.J Liu, Y Sun, and Y.L Wang,"Knowledg e-aidedcovariance estimatevia geometric mean for adaptivedetection," Digit Signal Process., vol 97, p 102616,2020
[14] J D Lawson, and Y Lim, "Thegeometric mean matrices metricsand more," Am Math Mon.,vol 108, pp 797-812, 2001.
[15]Y Lim,"The inversemean problemof geometric and contraharmonic means," Linear Algebra Appl.,vol 408, pp 221-229, 2005.
Pm i=1A ∗ i [16] C Jung, H M Kim, Lim, "Onthe solution of the nonlinear matrixequa- tion X n = f(X), Linear Algebra Appl.,vol 430, pp 2042-2052, 2009.
[17] H Lee, H M Kim, andJ Meng, "On the nonlinear matrix equation X p i (X♯ t B)M i ," M J Comput Appl Math., vol 373, p.112380, 2020.
[18] X Duan, A Liao, and B Tang, "On the nonlinear matrix equation X−
X δ i A i = Q," Linear Algebra Appl., vol 429, pp 110-121, 2008.
[19] F Soleymani, M Sharifi, S Shateyi, and F K Haghani, "An Algorithm for computing Geometri Mean of two Hermitian Positive Definite Matrices via Matrix Sign," Corporation Abstract and Applied
Analysis, vol 2014, Article ID 978629, 6 pages Doi.org/10.1155
[20] D A Bini and B Iannazzo, "A note on computing matrix geometric means," Advances in Computational Mathematics, vol 35, no 2–4, pp. 175–192, 2011.
[21] N J Higham, Functions of Matrices: Theory and Computation, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Pa, USA, 2008.
[22] J M Gutierrez and M A Hernandez, "Afamily of Chebyshev-Halley type methods in Banach spaces," Bulletin of the Autralian Mathematical Society, vol 55, no 1, pp 113–130, 1997
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
[23] F Soleymani, S.Shateyi, and G.Ozkum, "An iterative solver in the presence and absence of multiplicity for nonlinear equations," The
Scientific world Journal, vol 2013, Article ID 837243, 9 pages, 2013.
[24] B Iannazzo, "The geometric mean of two matrices from a computational viewpoint." Internet: http://arxiv.org/abs/1201.0101