Ánh xạ khả vi và iểm tới hạn của ánh xạ khả vi
Phép vi phôi ược ịnh nghĩa như sau: ịnh nghĩa 1.1 Giả sử X, Y là tập mở trong R n , và q ∈ N∪ {∞} Gọi f : X →Y là phép vi phôi lớp C q từ X ến Y nếu nó là song ánh, f ∈ C q (X, Y), và f −1 ∈ C q (Y, R n ).
Ta có thể gọi phép vi phôi lớp C 0 là phép ồng cấu hoặc bản ồ tôpô ặt
Diff q (X, Y) :f : X → Y;f là một phép vi phôi lớp C q a tạp con của R n ược ịnh nghĩa như sau: ịnh nghĩa 1.2 Một tập con M trong R n ược gọi là một a tạp con lớp C q m - chiều của R n nếu, với mọi x0 ∈ M, có một lân cận mở U của x 0 trong R n , một tập mở V trong R n và một φ ∈ Diff q (U, V) sao cho φ(U ∩M) = V ∩(R m × {0}).
Các a tạp con một và hai chiều của R n lần lượt ược gọi là các ường cong (ược nhúng) trong R n và là các mặt (ược nhúng) trong
R n a tạp con của R n có chiều n−1 ược gọi là siêu mặt (ược nhúng) trong R n
Ví dụ 1.1 Dưới ây là một số ví dụ về a tạp con của R n :
Hình 1.3: a tạp hai chiều dải Mobius.
Giả sử M là tập con của R n và p ∈ M Gọi iM : M →R n , x 7→x là phép nhúng của M vào R n Gọi φ là bản ồ (ịa phương) m-chiều lớp
- U := dom(φ) là lân cận mở của p trong M;
- φ là phép ồng phôi của U lên tập mở V := φ(U) của R m ;
- g := iM ◦φ −1 là một phép dìm lớp C q
Tập V là miền tham số và g là tham số hoá của U trong φ Ta có thể viết (φ, U) cho φ và (g, V) cho g Một atlas m-chiều C q là một họ
{φα;³ ∈ A} của biểu ồ m-chiều lớp C q của M, nghĩa là M = S αUα. Khi ó, x 1 , , x m
:= φ(p) là tọa ộ ịa phương của p ∈ U trong biểu ồ φ.
Dưới ây là ịnh nghĩa về không gian tiếp tuyến: ịnh nghĩa 1.3 Giả sử M là a tạp con C q m-chiều của R n ; q ∈ N × ∪{∞}, p∈ M và (φ, U) là bản ồ (chart) của M quanh p; (g, V) là tham số hóa thuộc (φ, U) Khi ó, không gian tiếp xúc TpM của M tại iểm p là ảnh của T ϕ(p) V dưới T ϕ(p) g, và do ó TpM = im T ϕ(p) g
Các phần tử của TpM ược gọi là vectơ tiếp xúc của M tại p
Mệnh ề 1.1 (xem Th10.6 [9]) Với mọi p ∈ M, ta có:
Nói cách khác, với mọi (v)p ∈ TpM ¢ TpR n , có một ường C 1 trong R n i qua pchứa trong M và có(v)p là vectơ tiếp xúc của nó tại p Mọi vectơ tiếp xúc của một ường như vậy ều thuộc TpM.
Trong luận văn này các a tạp khả vi ược xem là các a tạp con của R N ịnh nghĩa 1.4 Cho M, N là hai a tạp khả vi có số chiều lần lượt là m, n Ánh xạf : M → N gọi là ánh xạ khả vi lớp C k nếu f liên tục và với mọi bản ồ khả vi (Uα, ³)trên M và(Vβ, ´) trênN màUα∩f −1 (Vβ) ̸= ∅ thì ánh xạ: ´ ◦f ◦³ −1 : ³ Uα∩f −1 (Vβ)
→´(Vβ ∩f (Uα)) ³(p) 7→´(f(p)) là ánh xạ khả vi lớp C k Các ánh xạ ´ ◦f ◦³ −1 gọi là các biểu thức tọa ộ ịa phương của f. ịnh nghĩa 1.5 Ánh xạ f : M → N ược gọi là vi phôi lớp C k nếu f là song ánh và f, f −1 là các ánh xạ khả vi lớp C k Ánh xạ khả vi là một khái niệm quan trọng trong phân tích toán học và ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như ại số tuyến tính, tính toán vi phân, ịnh lý hàm ẩn, vật lý và kỹ thuật Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ xét ến iểm tới hạn của ánh xạ khả vi. ịnh nghĩa 1.6 Vi phân của ánh xạ f tại iểm p là ánh xạ df(p) : TpM → Tf (p)N v 7→ df(p)(v) ược xác ịnh như sau: nếu v là véc-tơ tiếp xúc với ường cong x(t) tại x(t0) = p thì df(p)(v) là véc-tơ tiếp xúc với ường cong f(x(t)) tại f(p) =f (x(t0)).
Ví dụ 1.2 Cho M là a tạp M x ∈ R 3 :f1(x) = f2(x) = 0 Xét ường cong φ(t) ¢ M, φ(0) = x0.
Suy ra ù∇f1(x0), vð = 0. Ở õy ù , ð kớ hiệu tớch vụ hướng trong R 3
Tương tự df 2(x) = df 2(φ(t)) = 0 ta ược ù∇f 2 (x0), vð = 0.
Vậy Tx 0M v ∈ R 3 ,ù∇f 1 (x0), vð = 0,ù∇f 2 (x0), vð = 0 iểm tới hạn của một ánh xạ khả vi ược ịnh nghĩa như sau: ịnh nghĩa 1.7 Cho một ánh xạ khả vi f : R m → R n , các iểm tới hạn của f là các iểm của R m trong ó hạng của ma trận Jacobian của f không phải là cực ại Ảnh của một iểm tới hạn dưới f ược gọi là giá trị tới hạn Một iểm trong phần bù của tập hợp các giá trị tới hạn ược gọi là một giá trị chính quy Theo ịnh lý Sard, tập hợp các giá trị tới hạn của một ánh xạ khả vi có ộ o bằng không. ịnh lý 1.1(ịnh lý Sard) Cho ánh xạ f : R n → R m là C k với k lần khả vi liên tục, k g max{n−m+ 1,1} Cho X∈ R m là tập iềm tới hạn của f sao cho x ∈ R n tại ó ma trận Jacobi của f có rank < n Khi ó ảnh f(x) có ộ o Lebesque bằng 0 trong R m
Các ịnh nghĩa này mở rộng cho các ánh xạ khả vi giữa các a tạp khả vi như sau Cho f :V → W là một ánh xạ khả vi giữa hai a tạp V và W có số chiều tương ứng m và n Trong lân cận của một iểm p của
Điểm p là điểm tới hạn của f nếu φ(p) là điểm tới hạn của Ä ◦f ◦φ −1 Định nghĩa này không phụ thuộc vào sự lựa chọn bản đồ vì ánh xạ chuyển đổi là phép vi phân, ma trận Jacobian của chúng khả nghịch và việc nhân chúng không làm thay đổi hạng của ma trận Jacobian của Ä ◦f ◦φ −1.
Các khái niệm về a tạp khả vi phức, ánh xạ khả vi, iểm tới hạn của các ánh xạ giữa các a tạp phức ược ịnh nghĩa hoàn toàn tương tự.
Ví dụ 1.3 Cho M x ∈ R 3 : f1(x) =f2(x) = 0 là a tạp khả vi Xét ánh xạ sau: à: M →R x 7→ ∥xưu∥ 2 dà : TxM →T à(x) R, trong ó u ∈ M là một iểm cho trước.
Theo Vớ dụ 1.2 ta cú: Tx 0M = {v : ù∇fi(x), vð = 0,}.
Gọi x(x1, x2, x3) là iểm tới hạn nếu ù∇à(x), vð = 0.
Do hai hệ phương trình trên có chung tập nghiệm do ó chúng có số chiều bằng nhau Vậy ta cú thể biểu diễn ∇à(x) như sau:
∇à(x) =ẳ 1 ∇f 1 (x) +ẳ 2 ∇f 2 (x), ∀ẳ 1 , ẳ 2 ∈ R. Hơn nữa, các iểm tới hạn x ∈ C 3 : f1(x) = f2(x) = 0
Do ú tồn tại cỏc hệ số ẳ1, ẳ2 ∈ R sao cho u−x = ẳ1∇f 1 (x) +ẳ2∇f 2 (x). Vậy các iểm tới hạn là nghiệm của hệ Lagrange sau:
Lược ồ Newton và thể tích trộn
Lược ồ Newton ược ịnh nghĩa như sau: ịnh nghĩa 1.8 Ta xét f ∈ C[x1, x2, , xn] là các a thức với giá
Khi ó, lược ồ Newton của f ược ịnh nghĩa là bao lồi của tập
Ví dụ 1.4 Dưới ây là một số ví dụ về lược ồ Newton:
Hình 1.4: Lược ồ Newton N (f ) của hàm f (x 1 , x 2 ) = 8x 2 + x 1 x 2 − 24x 2 2 − 16x 2 1 + 220x 2 1 x 2 − 34x 1 x 2 2 − 84x 3 1 x 2 + 6x 2 1 x 2 2 − 8x 1 x 3 2 + 8x 3 1 x 2 2 + 8x 3 1 + 18x 3 2
Hình 1.5: Lược ồ Newton của hàm f = 1 − xy 3 + y 3 x + 2y 2 − 4x 5
Trong hình học Mảng tạp, thể tích Mảng tạp (Mixed Volume) là một khái niệm cốt lõi liên quan đến thể tích của các Mảng tạp lồi trong không gian Euclid Để hiểu sâu hơn, định nghĩa về Tổng Minkowski đóng vai trò quan trọng Tổng Minkowski, ký hiệu là A + B, của hai tập hợp vectơ A và B trong không gian Euclid được hình thành bằng cách cộng từng vectơ trong A với từng vectơ trong B.
A+ B = {a+b|a ∈ A, b ∈ B}. ịnh nghĩa 1.10 ChoK 1 , K 2 , , Kr là các tập lồi trong R n và xét hàm số f (ẳ1, , ẳr) = Voln(ẳ1K1 +ã ã ã+ẳrKr), ẳi g 0 với Voln là viết tắt của thể tích n- chiều với ối số của nó là tổng Minkowski của các hình lồi
Ki Khi ó f là một a thức thuần nhất bậc n, vì vậy có thể ược viết là f (ẳ1, , ẳr) Xr j 1 ,ããã ,j n =1
V (Kj 1, , Kj n)ẳj 1ã ã ãẳj n, trong ú cỏc hàm V là ối xứng ối với một hàm cú chò số cụ thể là j ∈ {1, , r} n , thì hệ số V (Kj 1, , Kj n) ược gọi là thể tích trộn của
Cho m là một số nguyên dương Vì thể tích trộn MV (K1, , Km) là một hàm không âm của các a diện K1, , Km trong R m ược ặc trưng bởi ba tính chất sau:
(1) Nếu K1 = ã ã ã = Km = K, và Vol(K) là thể tớch Euclid của K, thỡ
(2) Nếu à là hoán vị của {1, , m}, thì
. (3) Nếu K 1 ′ là một a diện khác trong R m , thì
Thể tích trộn có thể phân tích thành tích khi a diện có một phép tam giác phân nhất ịnh (xem [[10]] [Lem.6]) Với số nguyên dương b, ta ký hiệu [0, be i ] có ộ dài b theo trục thứ i trong R m Với mỗi 1 f j f m, ặt Ãj : R m → R m−1 là phép chiếu theo hướng tọa ộ j.
Bổ ề 1.2 Cho Q1, , Qm−1 ÂR m là cỏc a ònh, b là số nguyờn dương và 1f j f m Khi ó
MV (Q1, , Qm−1,[0, be j ]) = bMV (Ãj(Q1), , Ãj(Qm−1)).
Chứng minh Xét một hệ g1, , gm của các a thức tổng quát với các a diện Newton tương ứng là Q1, , Qm−1,[0, be j ].
Vì gm là a thức một biến bậc b trong xj, nên gm(xj) = 0 có b nghiệm. Với mỗi nghiệm x ∗ j , nếu ta thay xj = x ∗ j vào g 1 , , gm−1, thì ta thu ược các a thức tổng quát với các a diện Newton Ãj(Q1), , Ãj(Qm−1).
Do ó, ta có MV (Ãj (Q1), , Ãj(Qm−1)) nghiệm cho hệ ban ầu cho mỗi b nghiệm của gm(xj) = 0.
Tập ại số và tính chất giao hoành của hai tập ại số
Tập ại số là một trong những ối tượng ược nghiên cứu cơ bản trong Hình học ại số Tập ại số ban ầu ược ịnh nghĩa là tập nghiệm của hệ phương trình a thức với hệ số số thực hoặc số phức Cụ thể, một tập ại số là một tập ược xác ịnh bởi:
M = {x∈ R n : P1(x) = = Pn(x) = 0}, với P1, , Pn là các a thức nào ó.
Ví dụ 1.5 Dưới ây là một số ví dụ về tập ại số:
X (x1, x2, x3) : −2x 2 1 −2x 2 2 + 5 = 0, x 2 1 x 2 3 = 0 ¢ R 3 Tiếp theo ta xem xét giao của các a tạp khả vi với nhau Ta bắt ầu với ịnh nghĩa về hai không gian véc-tơ có tính hoành (transverse). ịnh nghĩa này mở rộng một cách tự nhiên cho các giao iểm của a tạp con bằng cách coi các không gian tiếp xúc của các a tạp con là không gian véc-tơ. ịnh nghĩa 1.11 Cho F và G là các không gian véc-tơ con của không gian véc-tơ E Khi ó, F và G ược gọi là có tính hoành (transverse) 33nếu
Lưu ý: Tính giao hoành phụ thuộc vào số chiều của F, G và E Nếu tổng số chiều của F và G nhỏ hơn số chiều của E, thì F và G không thể giao hoành.
N gọi là có tính giao hoành (intersect transversally) nếu tại mọi iểm x ∈ M ∩N thì
Ví dụ 1.6 Dưới ây là các ví dụ về a tạp giao hoành và a tạp không giao hoành.
Hình 1.6: a tạp giao hoành và không giao hoành.
Hình 1.7: Hai a tạp y = x và y = x 2 giao hoành tại 2 iểm A(1; 1) và B(0; 0).
Hình 1.8: Hai a tạp x = y 2 và y = x 2 giao hoành tại 2 iểm C(1; 1) và D(0; 0).
Hình 1.9: Tại iểm E(0; 0) hai a tạp y = 0 và y = x 2 giao không hoành.
Chương này trình bày kết quả chính của luận văn Trong chương này chúng tôi nghiên cứu hàm khoảng cách từ một iểm cho trước ến một tập ại số và bài toán ếm số iểm tới hạn của hàm ó.
ịnh nghĩa bậc khoảng cách Euclid
ịnh nghĩa 2.1 Cho trước một iểm c = (c1, c2, , cn) trong không gian Euclid R n , xét hàm fc : R n → R ược xác ịnh bởi fc(x) P(xi −ci) 2 , x = (x1, x2, , xn) Cho X là một tập ại số trong R n Khi ó, với iểm c tổng quát , hàm khoảng cách fc| X :X →R , của hàm số fc trên X có hữu hạn iểm tới hạn Số iểm tới hạn phức không phụ thuộc vào iểm tổng quát c và ược gọi là bậc khoảng cách Euclid của tập X, ký hiệu là EDD(X).
Với (u, v) tổng quát trong R 2 dễ thấy hình X chứa ba iểm (x, y) có ường tiếp tuyến vuông góc với (u−x, v−y).
X = V R x 2 1 x 2 2 −3x 2 1 −3x 2 2 + 5 ¢ R 2 và iểm u(0.025,0.2) có 12 iểm tới hạn của hàm khoảng cách dX Do ó bậc khoảng cách Euclid của X bằng 12.
Mối liên hệ giữa số nghiệm của một hệ a thức và thể tích trộn ược cho bởi ịnh lý Bernstein dưới ây. ịnh lý 2.1(xem [11, 12]) Cho g 1 , , gm ∈ C[x 1 , , xm] là m a thức với a diện Newton Q1, , Qm ặt #V C × (g1, , gm) là số nghiệm của g1 = ã ã ã = gm = 0 trong (C ì ) m , ược tớnh bằng cỏc bội ại số của chỳng. ịnh lý Bernstein khẳng ịnh rằng
#V C × (g 1 , , gm) f MV (Q 1 , , Qm) và dấu bằng xảy ra khi gi là tổng quát ối với giá của nó.
Ta cũng có ịnh lý khác của Bernstein. ịnh lý 2.2(xem [11, 12]) Cho G = (g1, , gm) là một hệ các a thức Laurent với các biến x1, , xc Với mỗi 1 f i f m, ặt Ai là giá của gi và Qi = conv (A i )là a diện Newton của nó Thì
#V C × (g1, , gm) < MV (Q1, , Qm) khi và chò khi tồn tại0 ̸= w ∈ Z m sao cho hệ mặt Gw := ((g1) w , ,(gm) w )
Bậc khoảng cách Euclid của siêu mặt ại số
Cho f ∈ C[x1, , xm] là một đa thức có giá trị A ⊂ Nn, tức là tập hợp các số mũ của các đơn thức của f Giả sử rằng 0 ∈ A Kí hiệu ∂iA ⊂ Nn là giá trị của đạo hàm riêng ∂if Với w ∈ Z n , hàm tuyến tính x 7→ w u, x đạt giá trị nhỏ nhất trên A và trên ∂iA.
Ký hiệu EDD(f) là bậc khoảng cách Euclid của siêu mặtf = 0 Khi ó EDD(f) ược ánh giá như sau: ịnh lý 2.3(xem[8]) Nếu f là một a thức có giá A chứa 0, thì
EDD(f) f MV (P, P1, , Pn), trong ó P là a diện Newton của f và Pi là a diện Newton của ∂if − ẳ(ui −xi) với 1 f i f n Ngoài ra, tồn tại một tập con mở trự mật U gồm các a thức có giá A sao cho khi f ∈ U bất ẳng thức trên trở thành một ẳng thức với u ∈ C n tổng quát, mỗi nghiệm của Lf,u ều xảy ra mà không có bội. ịnh lý 2.4(xem[8]) Giả sử f là tổng quát với giá A sao cho 0∈ A và u ∈ R n là tổng quát Với bất kỳ véc-tơ khác không w ∈ Z n+1 thì hệ mặt (Lf,u) w không có nghiệm trong (C × ) n+1 ặt 1 f m f n và a = (a1, , am) là một véc-tơ các số nguyên dương Xét hình hộp chữ nhật
B(a) := [0, a1]ì ã ã ã ì[0, am]. ó là tổng Minkowski của các khoảng:
Thể tớch Euclid của nú là a1ã ã ãam, là tớch của ộ dài cỏc cạnh của nú. Hình hộp trên có thể nhúng trong R m+1 dưới dạng {0} ×B(a).
GọiPi(a) là bao lồi của B(a1, , ai −1, , am) và e 0 + [0,e i ] ặt
P yr(a) là hình chóp có áy là B(a) và khối chóp e 0 , ây là bao lồi của
B(a)vàe 0 Với mỗi j = 1, , m, chúng ta có phép chiếuÃj : R m → R m−1 dọc theo tọa ộ thứ j, sao cho Ãj(a) = (a 1 , , aj−1, a j+1 , , am) Khi ó Ãj(B(a)) =B(Ãj(a)).
Bổ ề sau ược suy ra trực tiếp từ ịnh nghĩa.
Bổ ề 2.5 Cho a = (a1, , am) và 1f i, j fm Khi ó: Ãj(Pi(a))
Pi(Ãj(a)) nếu i ̸= j, Pyr (Ãj(a)) nếu i = j.
Bổ ề 2.6 Ta có MV (Pyr(a), P1(a), , Pm(a)) = 1 +E(a).
Chứng minh Ta sẽ sử dụng ịnh lý Bernstein ể chò ra rằng tồn tại một hệ a thức tổng quát có giá
Pyr(a), P 1 (a), , Pm(a) có 1 +E(a) nghiệm trong (C × ) m+1 , trong ó a = (a 1 , , am) là một véc-tơ các số nguyên dương.
Một đa thức tổng quát bậc a với hệ số Newton P(y(a)) có dạng y^a + f, trong đó f có hệ số Newton B(a) và c ≠ 0 Ở đây, y là một biến có số mũ e ≥ 0 Chia cho c, giả sử rằng đa thức là monic theo y.
Tương tự, vì Pi(a) là bao lồi của
B(a1, , ai −1, , am) và e 0 + [0,e i ], nên một a thức tổng quát có giá Pi(a) có thể ược giả sử có dạng ẳℓi(xi) +fi(x), trong ó fi có a diện Newton
ℓi(xi) := ci +xi là một a thức tuyến tính trong xi với ci ̸= 0.
Do ó, chúng ta có thể giả sử rằng một hệ a thức tổng quát với giá ã cho có dạng ẳ−f, ẳℓ1(x1) +f1, , ẳℓm(xm) + fm, (2.1) trong ó f là một a thức tổng quát với a giác Newton B(a) và với mỗi 1 f i f m, fi là một a thức tổng quát với a diện Newton
B(a 1 , , ai−1, , am) Ta chứng minh rằng1 +E(a) là số các nghiệm chung trong (C × ) n+1 của các a thức trong (2.1) Sử dụng a thức ầu tiờn ể loại ẳ khỏi phần cũn lại cho thấy việc giải hệ (2.1) tương ương với việc giải hệ
F : f 1 + ℓ 1 (x 1 )f, , fm+ℓm(xm)f, (2.2) với các biến x 1 , , xm, vì z 7→ (f(z), z) là song ánh giữa nghiệm z của (2.2) và nghiệm của (2.1) Ta chò ra rằng số cỏc nghiệm chung của (2.2) là 1 +E(a), khi f, f1, , fm là tổng quát theo các a diện Newton của chúng.
Không giống như hệ (2.1), hệ F không ược cho giá tổng quát Tuy nhiờn, ta sẽ chò ra rằng khụng cú hệ mặt nào cú nghiệm Khi ú, theo ịnh lý của Bernstein, số nghiệm của nó là thể tích trộn tương ứng.
Vì B(a1, , ai −1, , am) ¢ B(a) nên a diện Newton củafi+ℓi(xi)f là B(a) + [0,e i ] Do ó, thể tích trộn tính ược là
|I|!Y i∈I ai = 1 +E(a). ể thấy iều này, ầu tiên hãy quan sát ẳng thức thứ hai là ịnh nghĩa của E(a) ối với ẳng thức ầu tiên, ta xét việc mở rộng thể tích trộn bằng cách sử dụng tính "a tuyến tính" iều này sẽ có các tổng ược lấy theo chò số là cỏc tập hợp con I của {1, , m}, ta chọn B(a) ở các vị trí trong I và [0,e j ] khi j /∈ I Áp dụng Bổ ề 1.2 cho thấy tổng này là MV (B(aI), , B(aI)), khi chiếu a từ tọa ộ j /∈ I sẽ cho aI.
Số hạng này là |I|!Q i∈I ai, theo tính chuẩn hóa của thể tích trộn.
Bề mặt Newton B(a) là một hình hộp chữ nhật xác định bởi vector w khác không Bề mặt này có các mặt được xác định bởi véc tơ w thuộc tập {-1, 0, 1}^m với w không bằng 0 Hình hộp chữ nhật B(a) có các tọa độ thứ i xác định như sau.
[0, ai] nếu wi = 0, và ai nếu wi = −1.
Theo cách tương tự, ta ặt
, và ịnh nghĩa tương tự (B(a) + [0,e j ]) w cho mỗi j = 1, , m Do ó,
Vì ℓj = cj +xj, ta cũng có
ℓj (xj), nếu wj = 0, xj, nếu wj = −1. a diện Newton của fi có tọa ộ thứ i là khoảng [0,(ai−1)] và với j ̸= i thỡ tọa ộ thứ j của nú là khoảng [0, aj] a diện Newton của ℓiãf khỏc ở chỗ tọa ộ i của nó là khoảng [0,(ai+ 1)] Ta có
(fi) w + ciãfw nếu wi = 1, (fi) w +ℓiãfw nếu wi = 0, xiãfw nếu wi = −1, và với fi tổng quát (fi) w ̸= 0 khi wi ̸= 1.
Gọi ³ là số tọa ộ của w bằng 0, ´ là số tọa ộ bằng 1 và ặt à := n−³−´, là số tọa ộ của w bằng−1 Cỏc mặt của (B(a) + [0,e j ]) w ược xác ịnh bởi w có số chiều ³ (vì (2.3)), do ó hệ mặt Fw của (2.2) là một hệ phương trỡnh của ³ biến ầu tiờn giả sử rằng à > 0 Vỡ trờn (C × ) n mỗi biến xi khác không, hệ mặt Fw tương ương với fw,{(fi) w | wi ̸= −1}.
Vì ây là những giá trị khác không và có giá tổng quát, ồng thời có ³ +´ + 1> ³ trong số chúng, nên ta thấy rằng Fw không có nghiệm.
Nếu à = 0 thỡ ´ > 0 Xột họ con Fb của cỏc hệ dạng (2.2) trong ú f = 0, nhưng fi vẫn là tổng quát Sau ó, hệ mặt Fw tương ương với hệ
{(fi) w |wi ̸= −1} của các a thức ³+´ > ³ khác 0 và giá tổng quát, do ó Fbw không có nghiệm.
Vì iều kiện Fw không có nghiệm là iều kiện mở trong không gian của tất cả các hệ (2.1), iều này ngụ ý rằng ối với một hệ tổng quát (2.1) với hệ tương ứng F (2.2), không có hệ mặt Fw nào có nghiệm iều này hoàn thành chứng minh bổ ề.
Tiếp theo ta tính EDD(f) khi a diện Newton của f là hình hộp chữ nhật
B(a) := [0, a1]ì ã ã ã ì[0, an] với a := (a1, , an) là các số nguyên dương Với mỗi 1f k fn, gọi ek(a) := X
1fi 1 0 Vỡ wI ãan = 0 với mọi a ∈ H w nên ta có wi = 0.
Vì wi = 0 nên (L f,u ) w bao gồm các phương trình (2.6), (2.7), (2.8), (2.11), (2.12), (2.14), (2.15), (2.17), (2.18) Ta xét lần lượt ba trường hợp vk < 0, vk > 0, vk = 0 với k = 1,2.
Giả sử rằngvk < 0và(ẳ1, ẳ2, x1, x2, x3) ∈ (C ì ) 5 là nghiệm của(L f
Ta có ui−xi = 0 với mọi i ∈ I, ta kết luận rằng xI = uI Vì f1w, f2w ∈
C[xI] là tổng quát có giá H w và u 1 , u 2 cũng tổng quát nên ta không có f1(uI) = f2(uI) = 0 Do ó (L f
1 ,f 2 ,u) w không có nghiệm khi vk < 0.Trường hợp 2.2.
Giả sử rằng vk > 0 Khi ó hệ con của (L f
1 ,f 2 ,u) w bao gồm f1w, f2w và cỏc phương trỡnh cú chò số trong I là
Vì f 1 w, f 2 w ∈ C[xI], hệ (2.19) suy ra siêu mặt V ( C × ) I f 1,2w ¢ (C × ) I là kì dị Tuy nhiên, vì f1w, f2w tổng quát nên V ( C × ) I (f1,2w) phải trơn Do ó
1 ,f 2 ,u) w không có nghiệm khi vk > 0.
Khi vk = 0, hệ con của (L f
1 ,f 2 ,u) w bao gồm f1w, f2w và các phương trình cú chò số I: ui −xi−ẳ1∂i(f1w)−ẳ2∂i(f2w) = 0 với i ∈ I. ây là hệ (L f
1 ,f 2 ,u) w trongC λ ×C I cho các iểm tới hạn của khoảng cách Euclid từ uI ∈ C I ến VC I (f1,2w) ¢ C I Do ó (L f
1 ,f 2 ,u) w là hệ tam giác (dạng ma trận tam giác); thật vậy:
Vì ∂jf1w = ∂jf2w = 0 với j ∈ J nên các phương trình còn lại không phụ thuộc vào uI và f1w, f2w.
= 0, nếu a ∈ H \H w , thỡ w ã a > 0 Nếu a ∈ gw, thỡ aj = 0 với j ∈ J ta ó xỏc ịnh h ∗ j = min{wãa | a ∈ ∂jH } Hơn nữa, nếu a ∈ ∂jH thì a+ej ∈ H , nên suy ra a+ej ∈ H \H w Ta xét wã(a+ej) > 0
⇒wãa > −wj, suy ra rằng h ∗ j > −wj.
Khi wj ⩾ 0 với mọi j ∈ J, ta thu ược h ∗ j > 0 với mọi j ∈ J Do ó các phương trình (2.11), (2.12), (2.14), (2.15), (2.17), (2.18) không xảy ra do mâu thuẫn với vk + h k j ∗
Cho i ∈ I là một chò số với wi < 0 Giả sử rằng hệ mặt (L f
1 ,f 2 ,u) w có nghiệm; nờn phương trỡnh (2.4) của (u 1 −xi−ẳ 1 ∂if 1 −ẳ 2 ∂ 1 f 2 ) w khụng xảy ra Như vậy một trong bốn phương trình sau khả năng xảy ra
< 0. Vì wi > 0, h 1 i ∗ f wi +v1 < v1 và h 2 i ∗ f wi +v2 < v2. Theo Bổ ề 2.9, ta có h 1 ∗
Do ú, chò một trong bốn phương trỡnh cú khả năng xảy ra với i ∈ I. ó là
= 2wi +v2 và wi < 0, (−ẳ1∂if1 −ẳ2∂if2) w nếu
(2.20) Trường hợp này tiếp tục chia I thành các tập hợp L và M, trong ó
Với l ∈ L, ta có ẳ1∂lf1w+ẳ2∂lf2w = 0.
Suy ra rằng với m ∈ M, ta có
Với M = ∅, thì L = I và hệ con của (L, f1, f2, u)w bao gồm f1w, f2w và phương trình (2.16) không có nghiệm như chúng ta ã thấy.
Với M ̸= ∅, gọi w ′ := min{w i | i ∈ I} thì w ′ < 0 Hơn nữa, từ hệ (2.20), nếu m ∈ M thì ta có wm = 1
Vậy, wm = w ′ , với mỗi m ∈ M Giả sử rằng (ẳ 1 , ẳ 2 , x 1 , x 2 , x 3 ) là nghiệm của (L f
Theo Bổ ề 2.10, ta thu ược: h 1 ∗ ãf1w(x) = X i∈I wixi∂i(f1w) (x) = −1 ẳ1 w ′ X m∈M x 2 m , h 2 ∗ ãf2w(x) = X i∈I wixi∂i(f2w)x= −1 ẳ2 w ′ X x 2 m
Vì ẳ1 ̸= 0, ẳ 2 ̸= 0 và w ′ ̸= 0 nên ta có
Gọi Q là dạng bậc hai này Khi ó iểm xI nằm trên cả (f1w, f2w) và
∂lf1w(xI) = ∂lf2w(xI) = ∂lQ = 0, với l ∈ L và
2∂mf2w(xI) = ẳ2∂mQ, với m ∈ M nên ta thấy rằng các siêu mặt giao không hoành tại xI Nhưng iều này mâu thuẫn với f1w, f2w là tổng quát Do ó, không có nghiệm nào cho hệ mặt (L f
1 ,f 2 ,u) w = 0. ịnh lý 2.13 Cho hai a thức f1, f2 ∈ R[x1, x2, x3] Nếu giá H của các a thức f1, f2 chứa 0 và f1, f2 ủ tổng quát và u ∈ C 3 cũng tổng quát, thì
EDD(f1, f2) = M V (P1, P2, P1 ′ , P2 ′ , P3 ′ ), trong ó P1, P2 là các a diện Newton của f1, f2 và P i ′ là các a diện Newton của ui −xi−ẳ1∂if1 −ẳ2∂if2, với i = 1,2,3.
L f,u (ẳ, x) = 0 có hữu hạn iểm tới hạn và nằm trong (C × ) 5 nên theo ịnh lý 2.1 khi m = 5, số iểm tới hạn của L f
M V (P1, P2, P1 ′ , P2 ′ , P3 ′ ) Chúng ta sử dụng ịnh lý 2.2khi
1 ,f 2 ,u và m = 5. iều này chò ra rằng ối với hai a thức tổng quỏt f1, f2 thỡ tất cả cỏc nghiệm của L f
1 ,f 2 ,u(ẳ, x) = 0 nằm trong (C ì ) 5 Tuy nhiên theo ịnh lý 2.12, hệ mặt L f
1 ,f 2 ,u(ẳ, x) = 0 khụng cú nghiệm trong (C × ) 5 Trong trường hợp này, số iểm tới hạn của hệ
Trong khi số nghiệm của hệ L f 1 ,f 2 ,u (ẳ, x) = 0 bằng bậc khoảng cỏch Euclid nên ta thu ược
Luận văn nghiên cứu bậc khoảng cách Euclid của các tập ại số, cụ thể, ó là số iểm tới hạn phức của hàm khoảng cách từ một iểm cho trước ến tập ại số ang xét Trong luận văn này ã ưa ra một chặn trên cho bậc khoảng cách Euclid của một ường cong trong không gian
