Bài tập Đại số 11 Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân32624

Chương 3: Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC A LÝ THUYẾT Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực sau:  Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n =  Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k  1), chứng minh mệnh đề với n = k + Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) với với số nguyên dương n  p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k  p phải chứng minh mệnh đề với n = k + B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Chứng minh tính chất số học quy nạp Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên dương n số n - chia hết cho Ví dụ 2: Giả sử a nghiệm phương trình x - x + = Chứng minh với số tự nhiên n bn = a n + n số nguyên a Dạng2: Chứng minh đẳng thức quy nạp Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên dương n ta có a) 1.2 + 2.5 + + n(3n - 1) = n (n + 1) ổ ổ ửổ n+ ữ ữỗỗ1- ửổ ữỗỗ1- ữ ỗỗ1b) ỗỗ1- ữ ữ= ữ ữ ữ ữỗ ứố ữỗ 16 ứ ữ çè (n + 1) ø çè øè ÷ 2(n + 1) Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức quy nạp Ví dụ 1: Chứng minh với số tự nhiên n>1 ta có: 1 1 13 + + + + > n+ n+ n+ 2n 24 Ví dụ 2: Cho n số dương x1 , x2 xn (n ³ 2) Chứng minh bất đẳng thức: (1 + x1 )(1 + x2 ) (1 + xn ) > + x1 + x2 + + xn C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Chứng minh tính chất số học, đại số quy nạp Bài 1: chứng minh ng thc sau ( n ẻ Ơ * ) a) 11n - chia hết cho 10 b) 33n+ - 26n - 27 chia hết cho 169 ThuVienDeThi.com Chương 3: Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân n5 n n3 n Bài 2: Chứng minh với số nguyên dương n, số số nguyên + + 30 1 Bài 3: Cho số thực a cho a + số nguyên Chứng minh a n + n số nguyên với số a a nguyên dương n Bài 4: Chứng minh với số nguyên dương n ln có số ngun dương k cho n < k < 2n Bài 5: Chứng minh số tập tập có n phần thử ( n ³ ) 2n n(n - 3) Bài 6: Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh ( n ³ ) Bài 7: Giả sử cos j số hữu tỉ Chứng minh với số nguyên dương n cos nj số hữu tỉ Bài 8: Với số tự nhiện n ³ , ta đặt an = + + + ( n dấu căn) Chứng minh p an = 2.cos n+ Chứng minh đẳng thức quy nạp Bài 9: Chứng minh với số nguyên dương n ta có: a) 1.4 + 2.7 + 3.10 + + n(3n + 1) = n(n + 1) b) + + + + (2n - 1) = n n(4n - 1) c) + + + + (2n - 1) = 1 1 n d) + + + + = 1.4 4.7 7.10 (3n - 2)(3n + 1) 3n + n(3n - 1) e) + + + + (3n - 2) = n - f) + + + + 3n- = Bài 10: Giả sử x ¹ Chứng minh với n nguyên dương ta có: 2 2 2n 2n+ + + + + = + n n+ 1+ x 1+ x2 1+ x4 x - 1- x 1+ x2 Bài 11: Chứng minh với n ³ , ta có: ỉ ưỉ ưỉ ỉ ÷ - 2n + ỗỗ1ỗỗ1- ữ ỗỗ1- ữ a) çç1- ÷ ÷= ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ứố ữỗ 25 ứ ữ ỗố (2n - 1) ứ ỗố ứố ữ 2n - (- 1) n- n(n + 1) b) - + - + (- 1) n = 1 1 1 c) 1- + - + = + + + 2n + n + n + 2n n d) 1.3.5 (2n - 1).2 = (n + 1)(n + 2) 2n Bài 12: Chứng minh với số nguyên dương n ta có: p 2p np np (n+1)p sin + sin + + sin = 2sin sin 3 6 2 n- Chứng minh bất đẳng thức quy nạp ThuVienDeThi.com Chương 3: Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân Bài 12: Chứng minh bất đẳng thức sau quy nạp với n>1; a) 1.2.3 n > 2n- với n>2 1 n+ b) + + + + > n n 4n (2n)! Bài 13: Chứng minh với số tự nhiên n>1, ta có < n + (n !) Bài 14: Chứng mnh với số nguyên dương n, ta có: x2 + x + + x < x + ( n dấu ) §2 DÃY SỐ A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Một hàm số u xác định tập ¥ * số nguyên dương gọi dãy s vụ hn Kớ hiu u : Ơ * đ ¡ Đặt un = u (n) Ta gọi un số hạng tổng quát ( hay số hạng thứ n) dãy số n a u (n) Cách cho dãy số:  Cho công thức số hạng tổng quát  Cho công thức truy hồi  Cho cách mô tả Dãy số tăng, dãy số giảm:  (un) dãy số tăng  un+1 > un với  n  N* u  un+1 – un > với  n  N*  n1  với n  N* ( un > 0) un  (un) dãy số giảm  un+1 < un với n  N*  un+1 – un< với  n  N*  un1 un Dãy số bị chặn:  (un) dãy số bị chặn  M  R: un  M, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m  R: un  m, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N* B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Tìm số hạng dãy số Ví dụ 1: Cho dãy (un) xác định un = a) Hãy viết số hạng dãy số b) Tìm cho un = 2n + n2 + ìï ïï ï Ví dụ 2: Cho dãy (un) xác định un = ïí ïï ïï ïỵ 2n n chẵn n- n- n leû n+ ThuVienDeThi.com  với n  N* (un > 0) Chương 3: Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân a) Viết số hạng dãy số; b) Chứng minh số hạng dãy số khác nhau.s Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định un = cos np a) Viết số hạng dãy số b) Chứng minh dãy số nhận hữu hạn giá trị Dạng2: Tìm cơng thức tổng qt dãy số ïì a1 = Ví dụ 1: Cho dãy số (an ) xác định ïí Chứng minh an = 5.3n- với n ïïỵ an+ = 3an , n ³ ìï a1 = 1 Ví dụ 2: Cho dãy số (an ) xác định ïí Chứng minh an = - - n + 3n- ïïỵ an+ = 3an + 2n, n ³ 2 Ví dụ 3: Dạng 3: Xét tính tăng giảm dãy số Ví dụ 1: Xét tính tăng giảm dãy số (un) cho công thức sau: 3- n 3n - 2n - n+ a) un = b) un = c) un = d) un = n +1 2n + n+ n Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu dãy số (un): 5n (- 1)n a) un = b) un = n(n + 1) n+ Dạng 4: Xét tính bị chặn dãy số Ví dụ 1: Chứng minh dãy số sau bị chặn: 3n + (- 1)n+ 2n + a) un = b) un = 2n + n+ 2n + n 2n + + 2n - 2n + Ví dụ 2: Xét tính bị chặn trên, bị chặn bị chặn dãy số sau đây: 1 a) un = 2sin(n + 1) - 3cos n b) un = + + + 1.2 2.3 n(n + 1) 1 c) un = 2n + d) un = + + + n ( n + 1) n ( n + 2) c) un = d) un = Dạng 5: Một số tính chất khác dãy số ThuVienDeThi.com n ( n + n) Chương 3: Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân ìï u1 = 1, u2 = ïï Ví dụ 1: Cho dãy số (un ) thỏa mãn í + un + ïï un+ = un ïïỵ a) Tính số hạng dãy số b) Chứng minh dãy (un ) tuần hoàn, nghĩa tồn số tự nhiên p khác cho un+ p = un , " n 3n - n a) Tìm giá trị nguyên dương n cho un - < 0,1 ; Ví dụ 2: Cho dãy số (un ) xác định công thức un = un - < 0, 01 b) Chứng minh với số e> ln có số N cho với n>N un - < e Ví dụ 3: C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Xác định số hạng dãy số Bài 1: Viết số hạng dãy số sau: (- 1) n + n 2p n 3n n a) un = b) un = c) un = sin d) un = 2n + 2n - 2n + ìï u = - 2, u = 2 Bài 2: Cho dãy số (un) xác định ïí ïï un+ = 2un - 7un- ỵ a) Hãy viết số hạng dãy số b) Chứng minh dãy số có vơ số số hạng âm vơ số số hạng dương ïìï 2n + ïï n + n chaün Bài 3: Cho dãy số (un) xác định un = ïí ïï 2n -1 n lẻ ïï ïỵ n a) Viết số hạng dãy số; b) Tìm m, n ( m khác n) cho um = un pn Bài 4: Cho dãy số (un) xác định công thức un = sin a) Hãy viết số hạng dãy số; b) Chứng minh tập giá trị dãy số hữu hạn Bài 5: Cho dãy số (an) xác định sau: an số dư số tự nhiên n phép chia cho a) Tính số hạng dãy số; b) Chứng minh am = an m - n M6 Xác định công thức dãy số Bài 6: xác định công thức tổng quát dãy số (un) trường hợp sau a) u1 = 2, un+ = 4un b) u1 = - 3, un+ = un + ìï u1 = ï Bài 7: Cho dãy số (un) xác định ïí Chứng minh rằng: un = (3n- + n) ïï un+ = 3un + 1- 2n , n ³ ïỵ ThuVienDeThi.com Chương 3: Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân Xét tính đơn điệu dãy số Bài 8: Xét tính đơn điệu dãy số sau: (- 1)n n n+ 3n - a) un = 3n2 - n b) un = c) un = d) un = 2n + n+ 2n + Bài 9: xét tính đơn điệu dãy số cho công thức sau: n+ n a) un = b) un = 2+ n n + n+ 1 1 c) un = (n > 1) d) un = - n - n n Bài 10: Xét tính tăng giảm dãy số cho công thức sau” 1 1 1 a) un = + + + + b) un = + + + n 2n 2n + 3n ỉ n ưỉ ỉ 2n n n+ 2n ÷ ÷ çç n + ÷ çç c) un = d) un = ỗỗ + + + ữ ữ ữ ữ ữ ố ữ ỗ2 + n ứố ỗn + ứ ỗ2n + ứ ố 2+ n n+ 2n + ìï u 1= - Bài 11: Cho dãy số (un) xác định công thức ïí ïïỵ un+ = un + a) Chứng minh dãy số (un) tăng; b) Xác định n cho un > 10000 ìï u 1= ï Bài 12: Cho dãy số (un) xác định công thức ïí ïï un+ = un ỵï a) Chứng minh dãy số (un) tăng; b) Xác định n cho un > 10000 Bài 13: Cho dãy số (un) (vn) xác định cơng thức: un = n + Xét tính tăng giảm dãy số Bài 14: Xét tính bị chặn dãy số: a) un = n+ 2- n c) un = + (- 1)n Bài 15: Xét tính bị chặn dãy số n + , = n n +1 2 Xét tính bị chặn dãy số n+ n + n+ 1 d) un = + cos n n b) un = æ n2 + 3n = u b) c) un = ççn çè n+ n Bài 16: Xét tính bị chặn dãy số 3n3 - np np a) un = b) un = sin + cos n 1 1 c) un = 2n + d) un = + + + + n 2n 2n + 2n + 3n a) un = ThuVienDeThi.com 1ư ÷ ÷ ø 2÷ n d) un = 2n 2n - Chương 3: Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân ìï u1 = ï Bài 17: Cho dãy số (un ) xác định ïí ïï un+ = 2un + ïỵ a) Chứng minh dãy số (un) bị chặn số 3; b) Chứng minh dãy số (un) tăng Một số tính chất khác dãy số Bài 18: Cho dãy số (an) xác định : a1 = 1, am+ n = am + an + mn với m, n a) Chứng minh an+ = an + n + n(n + 1) b) Chứng minh an = với n ìï ïï u1 = Bài 19: Cho dãy số (un) xác định í 2007 ïï ïỵ nun+ = (n + 1)un + n a) Chứng minh un = + n- 2007 b) Tính tổng u1 + u2 + + un Bài 20: Cho dãy số (un) xác định un = 3 ( n dấu ) a) Chứng minh u = 3un- n b) Chứng minh un+ = 3n+ với n ³ u1 u2 .un 4n - 2n a) Chứng minh dãy (un) tăng bị chặn b) Xác định n cho - un < 1000 ìï a1 = 1, a2 = - Bài 22: Cho dãy số (an) xác định ïí Chứng minh ïïỵ an+ = 5an+ + 6an , n = 1,2 Bài 21: Cho dãy số un = an = - n 13 (- 1)n 7 §3 CẤP SỐ CỘNG A LÝ THUYẾT Định nghĩa: (un) cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* un  u1  (n  1)d Số hạng tổng quát: với n  uk 1  uk 1 (d: công sai) với k  Tính chất số hạng: uk  Tổng n số hạng đầu tiên: Sn  u1  u2   un  ThuVienDeThi.com n(u1  un ) = n 2u1  (n  1)d  Chương 3: Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Xác định yếu tố cấp số cộng Ví dụ 1: Cho cấp số cộng 2, 5, 8, 11,… Hãy tính a1 , d , a10 , S10 Ví dụ 2: Xác định số hạng đầu công sai cấp số cộng (un) biết: a) u7 = 27, u15 = 59 b) u9 = 5u2 , u13 = 2u6 + Ví dụ 3: Xác định số hạng công sai cấp số cộng trường hợp sau: 152 , S21 = 3S10 Ví dụ 4: Cho cấp số cộng (un) có tổng n số hạng Sn = 3n + n2 a) S12 = 34, S18 = 45 b) S16 = a) Tính S10 b) Xác định số hạng u1, công sai d số hạng thứ n cấp số cộng Ví dụ 5: Tổng số hạng liên tiếp cấp số cộng tổng bình phương số Xác định số hạng cơng sai cấp số cộng Ví dụ 6: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u4 + u8 + u12 + u16 = 16 Tính u1 + u2 + + u19 Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên n biết: n- n- + + + = 2007 a) + + + + 3n - = 155 b) n n n 14 Dạng2: Chứng minh dãy số cấp số cộng Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định công thức un = 5n - Chứng minh dãy (un) cấp số cộng Ví dụ 2: Cho dãy số (an) xác định an+ = 3an - an- + 3, với n ³ Chứng minh dãy số (bn) xác định bn = 2an - an- cấp số cộng Xác định số hạng công sai cấp số cộng Ví dụ 3: Chứng minh tam giác ABC cot,cot B,cot C theo thứ tự lập thành cấp số cộng a2 , b2 , c tạo thành cấp số cộng Dạng 3: Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số cộng Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (an) Chứng minh hệ thức sau đây: 1 a) an = (an- k + an+ k ),với n>k b) S4 n - S2 n = S6 n Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (an) Chứng minh rằng: (q - r )a p + (r - p)aq + ( p - q)ar = Ví dụ 3: Cho cấp số cộng (an) Chứng minh rằng: 1 n- + + + = a1a2 a2 a3 an- 1an a1an C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Xác định yếu tố cấp số cộng Bài 1: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 4, d = - Tính u10 , S10 , u20 , S20 ThuVienDeThi.com Chương 3: Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân Bài 2: Xác định số hạng công sai cấp số cộng biết: a) u6 = 16, u11 = 32 b) u3 + u7 = 20, u6 + u12 = 15 u12 19 = , u + u3 = u6 Bài 3: Xác định số hạng đầu công sai cấp số cộng trường hợp sau: a) u5 = 10, S10 = b) S5 = 24, S20 = - 11 c) u4 + u5 + u6 = 24, u7 + u8 = 12 d) S20 S10 S5 = = Bài 4: Một cấp số cộng (un) có u1 = - 3, u2 = 35 c) S20 = 2S10 , S15 = 3S5 a) Tìm cơng sai cấp số cộng d) b) Tính u15 , S15 Bài 5: Một cấp só cộng (un) có tổng n số hạng Sn cho công thức Sn = 3n + 2n2 Hãy xác định số hạng tổng quát un cấp số cộng Bài 6: a) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng tổng bình phương chúng 77 b) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 25 tổng bình phương chúng 165 25 Bài 7: Bốn số nguyên lập thành cấp số cộng có tổng 30 tổng nghịch đảo chúng Hãy tìm 36 số Bài 8: Năm số lập thành cấp số cộng, tổng số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm tổng số hạng thứ hai thứ tư Hãy tìm cấp số cộng S u n2 Bài 9: Cho cấp số cộng biết n = (m ¹ n) Tính tỉ số 2007 Sm m u1945 Bài 10: Một cấp số cộng hữu hạn có số hạng đầu 2, số hạng cuối 29 tổng tất số hạng 155 Hãy tính cơng sai cấp số cộng Bài 11: Tìm số tự nhiên n cho a) + + + + 3n - = 590 b) (2n + 1) + (2n + 2) + + 3n = 2265 Bài 12: Tính tổng sau đây: a) S = + + + + 2n b) S = (2n)2 - (2n - 1)2 + (2n - 2)2 - (2n - 3)2 + + 42 - 32 + 22 - 12 Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số cộng Bài 13: Cho cấp số cộng (an) Chứng minh hệ thức sau: a) a1 + an = ak + an- k + với k=1,2,3, n b) Sn+ + 3Sn+ = 3Sn+ + Sn ; c) 2(S3n - Sn ) = S4 n Bài 14: Cho số a,b,c lập thành cấp số cộng Chứng minh hệ thức sau: a) a2 + 2bc = c + 2ab b) 8b3 - a3 - c3 = 6abc Bài 15: Cho cấp số cộng (an) có số hạng có số hạng số dương Chứng minh rằng: 1 1 æ1 1 ÷ ÷ a) + + + = ççç + + + ÷ ÷ a1 + a3 a3 + a5 a2 n- + a2 n+ ỗốa2 a4 a2 n ứ ThuVienDeThi.com Chng 3: Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân 1 + + + = b) a1 + a2 a2 + a3 an- + an n- a1 + an Chứng minh dãy số cấp số cộng Bài 16: Chứng minh dãy số cho công thức sau cấp số cộng Tính tổng n số hạng cấp số cộng a) un = 4n + b) un = - n + Bài 17: Cho dãy số (an) thỏa mãn hệ thức an - an+ + = với n ³ n(n + 1) (n ³ 1) lập thành cấp số cộng n b) Tìm số hạng tổng quát dãy (an) biết a1=2 a) Chứng minh dãy số bn = an - §4 CẤP SỐ NHÂN A LÝ THUYẾT Định nghĩa: (un) cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* Số hạng tổng quát: un  u1.q n 1 (q: công bội) với n  Tính chất số hạng: uk2  uk 1.uk 1 Tổng n số hạng đầu tiên:  Sn  nu1  n  S  u1 (1  q )  n 1 q với k  với q  với q  B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Xác định yếu tố cấp số nhân Ví dụ 1: Cho cấp số nhân 2, 6, 18, 54, 162… Tính u1 , q, u10 , S10 Ví dụ 2: Xác định số hạng đầu công bội cấp số nhân (un) biết: a) u7 = - 5, u10 = 135 b) u10 = 32 3, u15 = 16u7 Ví dụ 3: Xác định số hạng đầu cơng bội cấp số nhân trường hợp sau: ìï u - u = 54 ìï u + u + u = 35 2 a) ïí b) ïí ïï u5 - u3 = 108 ïï u4 + u5 + u6 = 180 ỵ ỵ b a Vi dụ 4: Cho a,b dương Hãy thêm số hai số vaø để cấp số nhân a b Ví dụ 5: Hãy tìm số x,y cho x,y,12 lập thành cấp số nhân x,y,9 lập thành cấp số cộng Ví dụ 6: Tìm giá trị x cho ba số cos( x Ví dụ 7: Tính tổng sau: p ),sin x ,cos( x + 10 ThuVienDeThi.com p ) lập thành cấp số nhân Chương 3: Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân a) S = + + 52 + + 5n 1 1 b) T = - + - + + (- 1)n n 2 2 c) R = + 2.3 + 3.3 + + 2007.32006 a a a b b b b Ví dụ 8: Cho hai tổng Sn = a + + + + n ; Tn = b - + - + + (- 1)n n Tìm điều kiện a 4 2 b cho tòn n để Sn = Tn Dạng 2: Chứng minh dãy số cấp số nhân n ỉ1 ÷ Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định công thức un = 3ỗỗ ữ vi mi n ẻ Ơ * Chng minh rng dóy (un) ữ ữ ỗ2 ứ ố cấp số nhân Ví dụ 2: Cho dãy (an) xác định a1 = 2, an+ = + 4an a) Chứng minh dãy số (bn) xác định bn = an + cấp số nhân b) Tìm cơng thức tổng quát an Ví dụ 3: Chứng minh rằng: a) Nếu a,b,c lập thành cấp số nhân ab,b2, cb lập thành cấp số nhân b) Nếu số dương a,b,c,d lập thành cấp số nhân số ab , bc , cd lập thành cấp số nhân Dạng 3: Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số nhân Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (an) Chứng minh rằng: a1 an = ak an- k + với a £ k £ n, k Ỵ ¥ * , n Ỵ ¥ * Ví dụ 2: Cho a,b,c số hạng liên tiếp cấp số nhân Chứng minh rằng: a) (a + b + c)(a - b + c) = a2 + b2 + c b) a2 + 4c - 4ab + 8bc = (a - 2b - 2c) C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Xác định yếu tố cấp số nhân Bài 1: Xác định số hạng công bội cấp số nhân biết: ìï u + u + u = 91 a) u3 = 16, u6 = - 128 b) ïí ïï u3 + u5 = 30 ỵ ìï u - u + u = - 85 c) ïí d) u7 - u5 = 11, S12 = 80 ïï u1 + u7 = - 425 ỵ Bài 2: Cho dãy số a,b,c lập thành cấp số nhân Tìm a,b,c biết: ìï 1 ïï + + = 14 ìï abc = 64 ï ï a) í b) ïí a b c 3 ïïỵ a + b + c = 584 ïï ïï ab + bc + ca = 108 ïỵ Bài 3: a) Cho cấp số nhân a,b,c Tìm a,b,c biết a