Bài tập Đại số 11 Chương 4: Giới hạn31616

Chương 4: Giới hạn §1: DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN Định nghĩa: lim un   un n  A LÝ THUYẾT: nhỏ số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ số hạng trở Một số dãy số có giới hạn thường gặp: 1 a) lim  b) lim c) lim  0 n n n  Định lí (về giới hạn kẹp): Cho hai dãy số (un ), (vn ) Nếu un  , n lim   lim un   Định lí 2: q   lim q n  B CÁC DẠNG BÀI TẬP: CM dãy số có giới hạn dựa vào ĐL kẹp dãy số có giới hạn đặc biệt Bài 1: CMR dãy số sau có giới hạn 0: 2n  a) un  b) un  c) un  n   n n 2 n2 Bài 2: CMR dãy số sau có giới hạn 0: 3n   3n n2  1 1 c) un      n 1 n  n  n n Bài 3: CMR dãy số sau có giới hạn 0: (1) n 1 a) un  b) un n3 cos(n  1) c) un  d) un n 1 Bài 4: CMR dãy số sau có giới hạn 0: sin(2n  1) n2  4.3n  2n d) un  n 1 3 a) un  b) un    n 1 n2  1 1 n n 1  n (1) n c) un  d) un  2n n4  Bài 5: Cho dãy số (un ) với lim un  CMR: a) un  n   n b) un  a) lim un  b) lim un2  n Bài 6: Cho hai dãy số (un ) (vn ) thỏa mãn lim un  (vn ) bị chặn CMR: lim un  §2: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định nghĩa: lim un  L  lim(un  L)  Một số định lý: A LÝ THUYẾT: ThuVienDeThi.com Chương 4: Giới hạn  Định lí 1: Giả sử lim un  L , đó:  lim un  L , lim un  L  Nếu un  0, n  L  lim un  L   Định lí 2: Giả sử lim un  L, lim  M , c  const  lim(un  )  L  M  lim(un  )  L  M  lim(un )  L.M , lim c.un  c.L u L  lim n  ( M  0) M Định lí 3: Cho dãy số (un ), (vn ), ( wn ) Nếu un   wn , n lim un  lim wn  L  lim  L Định lí 4: Dãy số tăng bị chặn có giới hạn Dãy số giảm bị chặn có giới hạn u Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 + u1q + u1q2 + … =  q  1 1 q B CÁC DẠNG BÀI TẬP:  Dạng 1: CM dãy số có giới hạn L Phương pháp: cm dãy (un ) có giới hạn L ta CM lim(un  L)  Ví dụ 1: Chứng minh 4n  2n  3n  2  a) lim b) lim 2n  3n  n  3 Dạng 2: Tìm giới hạn dãy số Ví dụ 1: Tìm giới hạn dãy số sau: 3n  2n  n  a) lim b) lim 2n  n n3 n  5n c) lim n 2.3  3.5n 3n  n  d) lim 2n  Ví dụ 2: Tìm giới hạn dãy số sau: a) un  n   n b) un  n   n Ví dụ 3: Tính giới hạn dãy số cho công thức sau:     2n  1   22   2n 1 a) un  b) un    32   3n 1 n 1 Dạng 3: CM dãy số có giới hạn dựa vào tính đơn điệu bị chặn dãy số u1   Ví dụ 1: Cho dãy số (un ) xác định bởi:  2un  CMR dãy số có giới hạn tìm giới hạn un 1  ThuVienDeThi.com Chương 4: Giới hạn n  1 Ví dụ 2: Cho dãy số (un ) xác định un  1   , n  1, 2,3 CMR: dãy số có giới hạn  n Dạng 4: Tính giới hạn dãy số dựa vào định lí kẹp Ví dụ 1: Tính giới hạn dãy số sau: n sin(3n) a) lim b) lim n n Ví dụ 2: Tính giới hạn 2n 2n   2n    a) lim   n  2n   n  n 1 n  n  2 n      b) lim         5.1     5.2    n  5.n   Dạng 5: Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn Ví dụ 1: Tính tổng sau đây: 1 a) S     n  3 b) S  x  x  x3  x   (1) n 1 x n  với x  C BÀI TẬP ÔN LUYỆN n Bài 1: Cho dãy số (un ) với un  Hãy tìm số nguyên dương N nhỏ cho un    với n2 n  N trường hợp sau  a)   0, 001 b)   0, 00001 Bài 2: CMR: 2n  2n  n  2 2 a) lim b) lim n 1 n  n 1 3n  5n 3 c) lim d) lim n n  5 n2  Bài 3: CMR: cos 3n   sin n   a) lim 1  b) lim  2   1   2 n  n2      n   (1) n  c) lim  d) lim    3  3  1      n 1  Bài 4: Tính giới hạn sau: 3n  n  n n n4 a) lim b) lim (n  3)(5  4n) n  4n n  n  2007 n  3n  Bài 5: Tính giới hạn sau: c) lim a) lim( n  n  n  1) b) lim n( n   n  3) ThuVienDeThi.com Chương 4: Giới hạn 2n   n 4n  Bài 6: Tính giới hạn sau: c) lim a) lim d) lim( n  2n  n  1) 8n  n  b) lim 5n  n 2n   n  n  4n3  3n n  2n   n n 1 Bài 7: Tính giới hạn sau: n 2n 4n n 1 c) lim d) lim a) lim(n  n  n ) b) lim(n   n3 ) c) lim(2n  2n  n ) d) lim Bài 8: Tính giới hạn sau: 3n 1  2n 1 a) lim n 5.3  4.2n 1 b) lim 9n  c) lim n 1 Bài 9: Tính giới hạn sau: n  sin 3n a) lim 2n  n(  n  n) 4n   2n 3n 1  2n 1  5n 5.5n  3.2n  3n 1 10n  d) lim n n 5 b) lim (1) n 1  2n 5n  cos n (n  1) d) lim cot n 2n  n sin(n3 ) 3n  Bài 10: Tính giới hạn sau:     n a) lim 2n  n  c) lim 1 1 c) lim     (1) n 1 n    25 Bài 11: Tính giới hạn dãy số sau: sin n a) un  n 2n  (1) n 1 c) un  cos n  3n Bài 12: Tính giới hạn sau n   a) lim      n n  n n  n  b) lim  2   (1  1) (2  1) (n  1)    1 b) lim      n.(n  1)   1.2 2.3 n 1   d) lim       n  n n n 2n  cos n 3n  sin n  cos n d) un  n sin 2n b) un  n n n   c) lim      n  2n   n  n 1 n  n      n  d) lim             n 1  ThuVienDeThi.com Chương 4: Giới hạn Bài 13: CM dãy số cho cơng thức sau có giới hạn: 1    a) un  2.5 3.6 (n  1)(n  4) 1 b) un     2 n n n  n 1 n  2n n 2 2 c) un          3 3 Bài 14: CMR dãy số sau có giới hạn tìm giới hạn 3a  a 2 , n  a) a1  1, an 1  n b) a1  4, an 1  n , n  a1   Bài 15: Cho dãy số cho  a   n   an  a) Chứng minh dãy (an ) tăng bị chặn b) Tính lim an u1  Bài 16: Cho dãy số cho  u   u n  ,  n 1 n a) CM dãy số tăng bị chặn b) Tính giới hạn dãy số Bài 17: CMR n 1 b) lim n    2 d) lim n  n a) lim n  c) lim n n  Bài 18: Tính tổng sau 1 1 1 (1) n a) S      n  b) S       n  4 3 3 n n 29 2 c) S      10 10 10 Bài 19: Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân lùi vô hạn biết 26   u1  u2  u3  45 u1u2u3   27 a)  b)  S  S    Bài 20:  a) Cho    k CMR:  sin   sin    sin n     sin  b) Cho     CMR:  tan   tan   tan    (1) n tan n    §3: DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN VƠ CỰC A LÝ THUYẾT: ThuVienDeThi.com 2cos  2sin(  ) Chương 4: Giới hạn Dãy số có giới hạn + ¥ : lim un    số hạng dãy số lớn số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng trở Dãy số có giới hạn - ¥ : lim un    số hạng dãy số nhỏ số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng tr i Chỳ ý: lim un = + Ơ đ lim(- un ) = - ¥ Một vài qui tắc tìm giới hạn vơ cực: o Qui tắc 1: lim un lim lim un      m lim un Dấu lim  L lim un      m lim un  L  Dấu L lim  0,  Dấu lim + -   o Qui tắc 2: o Qui tắc 3: lim un  m B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Chứng minh dãy số dần tới vơ cực Ví dụ 1: CMR dãy số sau có giới hạn + ¥ a) un = n 2n + b) un = n Dạng 2: Tính giới hạn vơ cực dãy số Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: 2n + n + a) lim 3n - Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: a) lim 2n + n + 3n - b) lim - 3n + 4n + 2n + b) lim( 3n + - 3n - 5) C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh rằng: a) lim(n + 1) = + ¥ Bài 2: Tính giới hạn sau: a) lim(- 2n3 + 12n + 5) b) lim n - = + ¥ b) lim 2n + n - 6 ThuVienDeThi.com c) lim n + = + ¥ Chương 4: Giới hạn c) lim 5n3 - 2n + n - Bài 3: Tính giới hạn sau: 2n3 + n - 3n + a) lim 3n - 2 3n + n + c) lim 2n + Bài 4: Tính giới hạn sau: a) lim n( n + - n + 2) d) lim 2n + 5n - n3 + n - 3n + 4n + 2 - 3n + 5n + d) lim 2n - n + b) lim b) lim( 3n + - 3n - 2) c) lim( 2n + - 2n - 1) n + 3n + - n n+ d) lim Bài 5: Tính giới hạn sau: a) lim c) lim 4n + n + 3n + b) lim 3n - - 3n + 2n - 3n + d) lim n4 + n2 + 3n + 2n - 3n + 2n - Bài 6: Tính giới hạn sau: n + 1- n + ổ ỗ 4n + n + - n ÷ ÷ d) lim ỗỗ ữ ữ 2n + ữ ỗố ứ a) lim( n + 3n + - n + 1) c) lim( n + 3n - - 4n + n - b) lim n + 1) Bài 7: Tính giới hạn sau: a) lim 3n + 2n - n 3n - b) lim c) lim 3n - n3 + 4n - n 3n - d) lim 4n + 3n - 2n + + 2n n+ n- n+ n §4: ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT: 1) Giới hạn hàm số điểm: a) Giới hạn hữu hạn: Giả sử (a;b) chứa x0, f(x) xác định (a;b), khơng xác định x0 ĐN: lim f ( x)  L  ( xn )  (a; b) \{x0 }, lim xn  x0  lim f ( xn )  L x  x0 b) Giới hạn vô cực: lim f ( x)    ( xn )  (a; b) \{x0 }, lim xn  x0  lim f ( xn )   x  x0 2) Giới hạn hàm số vô cực: a) Giả sử hàm số f(x) xác định (a; ) ĐN: lim f ( x)  L  ( xn )  (a; ) \{x0 }, lim xn    lim f ( xn )  L x  b) Tương tự cho định nghĩa: lim f ( x)  L , lim f ( x)   ,… x  x  3) Một số định lí giới hạn hữu hạn: a) Định lí 1: Giả sử lim f ( x)  L, lim g ( x)  M x  x0 x  x0 ThuVienDeThi.com Chương 4: Giới hạn   lim[ f ( x)  g ( x)]  L  M x  x0 lim[ f ( x).g ( x)]  L.M , lim[c f ( x)]  c.L x  x0 x  x0 f ( x) L ( M  0)  g ( x) M Nhận xét: lim ax n  ax0n  lim x  x0 x  x0 b) Định lí 2: Giả sử lim f ( x)  L Khi đó: x  x0    lim f ( x)  L x  x0 lim x  x0 f ( x)  L Nếu f ( x)  0, x  x0  L  0, lim f ( x)  L x  x0 c) Định lí 3: Giả sử ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định (a;b) chứa x0, khơng xác định x0  f ( x)  g ( x)  h( x), x  (a; b) \{x0 }  lim g ( x)  L  lim f ( x)  lim h( x)  L x  x0 x  x0  x  x0 B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tính giới hạn hàm số định nghĩa Ví dụ 1: Bằng định nghĩa, chứng minh rằng: a) lim(2 x + 1) = x® b) lim x® Ví dụ 2: Bằng định nghĩa, tính giới hạn sau: x- =- x - 3x + 2 2x - - x + 5x - 2 x + 3x - x+ c) lim d) lim xđ + Ơ x + x + x® ( x - 1) Dạng 2: Tính số giới hạn đơn giản hàm số thường gặp Ví dụ 1: Tính giới hạn hàm số sau: 2x + a) lim b) lim(3 x - x - 5) x® x® - 3 x + 3x- c) lim d) lim(3sin x + tan x) p x® 1 x® 3+ x- Dạng 3: Tính giới hạn hàm số x đ Ơ Vớ d 1: tớnh cỏc gii hn sau: 3x + x - x( x + 1)( x + 2) a) lim b) lim xđ + Ơ xđ + Ơ - x +2 x3 - x + a) lim (4 x + 3) x® - c) lim x® - ¥ 4x - x2 + 2x + b) lim xđ d) lim xđ + Ơ ThuVienDeThi.com 3x + 4x - Chương 4: Giới hạn Dạng 4: Tính giới hạn hàm số cách dùng định lí kẹp Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: ỉ 2ư a) lim ỗỗx.cos ữ ữ ữ xđ ỗ ố xứ b) lim xđ + Ơ c) lim x(sin x + cos x) sin x x d) lim x 1- sin(cos x) x® x® C BÀI TẬP ƠN LUYỆN Bài 1: Bằng định nghĩa, chứng minh rằng: 3x a) lim (2 x + 3) = b) lim = x® - x® 4x - Bài 2: Áp dụng định nghĩa tính giới hạn sau: x + x2 - 3x + x + - x + x2 a) lim b) lim c) lim x® - x + xđ xđ + Ơ x + x + x- 3x - d) lim x® - x + 1 , = Bài 3: Cho hàm số f ( x) = sin hai dãy số un = dần p x np + n 2p a) Tính giới hạn dãy số f (un ), f (vn ) b) Tồn hay không lim sin x® x Bài 4: Bằng cách chọn hai dãy số thích hợp, chứng minh hàm số sau khơng có giới hạn x dần 1 a) f ( x) = cos , x ® b) f ( x) = sin , x ® x x Tính giới hạn hàm số: 3x - x Bài 5: a) lim(2 x - x + 7) b) lim c) lim x - x x® - ( x - 1)(2 x + 5) x® - x® d) lim x x® x2 - 5x - - 2x - 3x + Bài 6: a) lim x® - x + 1 x b) lim x® 2x - 2x - x® - - x2 x - 3x Bi 7: a) lim xđ - Ơ x + x - x + 11 c) lim x® (4 - x ) b) lim 2+ d) lim Bài 8: a) lim x sin x® x 3x3 + x - x + xđ + Ơ x3 + x - 4x - d) lim (2 x - 1) x® b) lim xđ - Ơ cos x x+ ThuVienDeThi.com ổ3 c) lim x ỗỗ - 4ữ ữ ữ ỗốx xđ - ứ Chng 4: Gii hạn c) lim x sin(2 x x® p p ) d) lim(4 x - p )(sin x + cos x) xđ p Đ5: GII HN MT BấN A LÝ THUYẾT: 1) Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f(x) xác định ( x0 ; b) , lim f ( x)  L  ( xn )  ( x0 ; b), lim xn  x0  lim f ( xn )  L x  x0 2) Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f(x) xác định (a; x0 ) , lim f ( x)  L  ( xn )  (a; x0 ), lim xn  x0  lim f ( xn )  L x  x0  lim f ( x), lim f ( x) x  x0  x  x0 3) Nhận xét: lim f ( x)  L   x  x0 f ( x)  lim f ( x)  L  xlim x  x0  x0 B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tính giới hạn bên hàm số Ví dụ 1: Bằng định nghĩa, tính giới hạn bên hàm số sau: 2x2  x 1 3x  a) lim  b) lim x 1 x  ( 3)  x 1 x Ví dụ 2: Tính giới hạn bên sau: 3x  x 3x  3x  a) lim b) lim c) lim d) lim x 0 x 1 x  x 3 x  x 3 x  x Ví dụ 3: Tính giới hạn bên: x  3x 1 x a) lim b) lim x 0 x  x x 1  x  x  2 x  x  1, x  Ví dụ 4: Cho hàm số y  f ( x)   2 x  1, x  a) Tính lim f ( x) , lim f ( x) x 0 x 0 b) Tồn hay không giới hạn lim f ( x) x 0 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có giới hạn điểm Ví dụ 1: Tìm giá trị tham số a để: 3 x  1, x  a) f ( x)   có giới hạn x  2 x  a, x  3 x  ax, x  b) f ( x)   có giới hạn x  2ax  3, x  10 ThuVienDeThi.com Chương 4: Giới hạn 2 x  ax  b, x  1  Ví dụ 2: Tìm giá trị a b để hàm số f ( x)  4 x  2a, 1  x  có giới hạn x=-1 x=1 ax  bx, x   C BÀI TẬP ƠN LUYỆN Tính giới hạn bên Bài 1: Áp dụng định nghĩa giới hạn bên, tìm giới hạn sau: x 1 a) lim b) lim c) lim  x 1 x  x2  x x  ( 1)  x Bài 2: x 3 a) Cho hàm số f ( x)  Tính lim  f ( x) , lim  f ( x) x  ( 2) x  ( 2) x2 b) Cho hàm số f ( x)  x  ( 2) x2 x2  Tính lim f ( x) , lim f ( x) x  x  x2 Bài 3: Tính giới hạn sau x 1 x2 a) lim b) lim x2  x x2 x  Bài 4: Tính giới hạn sau 3x  x  a) lim x  x  x  c) lim d) lim  c) lim  x ( ) x2 x4  d) lim x 3 x2  5x  ( x  3) 3 x3  x  x  x  x  b) lim 3x  d) lim 4x2  x  3x  x  3x  x   x  x, x  Bài 5: Cho hàm số f ( x)   Tính lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x) x 1 x 1 x 1  x  5, x   4  x , x   Bài 6: Cho hàm số f ( x)   Tính lim f ( x) , lim f ( x) x 3 x 1  x , x 1  x  Bài 7: Cho hàm sô f ( x)   sin x Tính cos x lim f ( x) , lim f ( x)  x ( )  x ( ) Tìm điều kiện để hàm số có giới hạn cách tìm giới hạn bên Bài 8: Xác định giá trị a để 5 x  ax, x  a) Hàm số f ( x)   có giới hạn x=1 4 x  3, x   x2 , x  2  b) f ( x)   x  x  có giới hạn x=-2 ax  1, x  Bài 9: Tìm a, b cho: giới hạn x=-1 x=2 5 x  ax, x  2  có giới hạn x=-1 x=1 x 3,x 2ax a) Hàm số f ( x)    x b, 2x có1 2sin  §6: MỘT VÀI TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH bxQUY 1, x2  b) Hàm số f ( x)  4 cos  x  3a, 1  x  11  x ThuVienDeThi.com  tan  bx  4ax , x 1 Chương 4: Giới hạn A LÝ THUYẾT: Một vài qui tắc tìm giới hạn vơ cực:  Quy tắc 1: Giả sử lim f ( x)   , lim g ( x)  L  x  x0 x  x0 lim f ( x) Dấu L     x  x0 lim[ f ( x).g ( x)] x  x0  m  Quy tắc 2: Giả sử lim f ( x)  L  , lim g ( x)  0; g ( x)  0, x  x0 x  x0 x  x0 Dấu L Dấu g(x)     f ( x) x  x0 g ( x )  m lim  ; ;0  ;  -   Chú ý: Để khử dạng vô định ta thường sử dụng PP:  Phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng HĐT  Nhân liên hợp B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Các dạng vô định: Dạng 1: Tìm giới hạn hàm số có dạng 0 Ví dụ 1: Tính giới hạn sau x  3x  a) lim x 1 x  x x3  x  x  c) lim x 1 ( x  2)( x  x  3) Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: 2x   a) lim x 0 x  7x  c) lim x 3 3x  x Dạng 2: Tìm giới hạn hàm số có dạng Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: 3x  x  a) lim x  x  x  3x  c) lim x  x  x x  x  56 x 4 16  x xn 1 d) lim x 1 x  b) lim 5x   x 1 1 x 1 2x 1 d) lim x 1 6 x   b) lim    x3  3x  b) lim x  x  x  x  3x  d) lim x  x  x  12 ThuVienDeThi.com Chương 4: Giới hạn Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: 3x  x  a) lim x  x  x  11 c) lim x  x  3x  x3  x  b) lim x  x3  x  x 3x d) lim x2  x  x x  4x  4x  4x Dạng 3: Tìm giới hạn hàm số có dạng 0* Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: x2 a) lim  ( x  1) b) lim (3 x  1) x  x  ( 1) x 1 3x  Dạng 4: Tìm giới hạn hàm số có dạng    Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: x  20    a) lim   x2 x   x2   Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: a) lim ( x  x  x) x  Bài 1: Tính giới hạn sau:  x2 a) lim x2  x  3x  x2  x  x 2 x  x  x  Bài 2: Tính giới hạn sau: ( x  x  3)5 a) lim x 1 ( 2 x  x  x  1)10 c) lim x 200  x  x 1 x100  x  Bài 3: Tính giới hạn sau: 3 x a) lim x 81 x 9 c) lim  4x  x 3  8x  Bài 4: Tính giới hạn sau: c) lim  x5   x3 a) lim x 0 x   b) lim    x 1  x 1 x   b) lim ( x  x   x  x ) x  C BÀI TẬP ÔN LUYỆN x3  27 x 3 ( x  x  18)( x  3) b) lim x4  2x  x d) lim x b) lim x 1 ( x5  32)  80( x  2) x2 ( x  2) d) lim b) lim x 5  x  x2  x  x 0 x Bài 5: Tính giới hạn sau: 3x   x  x  10 d) lim x 0 b) lim x 0 c) lim x  x  x3  x  x  x3 d) lim x 1 3 x  3 x 3 x  3 x 1 2x  1 6x x xn 1 ( n  m) xm 1 13 ThuVienDeThi.com Chương 4: Giới hạn a) lim x  x 1 1 x 1 Bài 6: Tính giới hạn sau:   a) lim    x 1  x  x 1  Bài 7: Tính giới hạn sau: x 1 a) lim ( x   x) x  Bài 8: Tính giới hạn sau: 1 4x  1 6x a) lim x 0 x b) lim x 5 3x   x  3 x  3x    2x   b) lim   x 1 x  3 x     b) lim (2 x   x  3) x  x 1   x x 0 x b) lim §7: HÀM SỐ LIÊN TỤC 1) Hàm số liên tục điểm A LÝ THUYẾT:  Hàm số liên tục: Giả sử hàm số y=f(x) xác định (a;b) x0  (a; b) Hàm số f(x) liên tục x0  lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0  Hàm số không liên tục x0 gọi gián đoạn x0 2) Hàm số liên tục khoảng, đoạn:  Hàm số y=f(x) xác định khoảng (a;b) f(x) liên tục khoảng (a;b) f(x) liên tục điểm thuộc (a;b)  Hàm số y=f(x) xác định khoảng [a;b] f(x) liên tục khoảng [a;b] f(x) liên tục khoảng (a;b) lim f ( x)  f (a ), lim f ( x)  f (b) xa x b Chú ý:  +,-,*,/ hàm liên tục điểm hàm số liên tục điểm  Hàm sơ cấp: đa thức, phân thức, lượng giác liên tục khoảng xác định chúng 3) Tính chất hàm số liên tục  Định lí: Hàm số f(x) liên tục [a;b] f (a )  f (b)  M nằm f(a), f(b), c  (a; b) : f (c)  M  Hệ quả: Hàm số f(x) liên tục [a;b] f (a ) f (b)   c  (a; b) : f (c)  Nhận xét:  Dùng hệ để cm phương trình f(x)=0 có nghiệm (a;b)  Đồ thị hàm số liên tục đường liền nét B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số điểm, khoảng, đoạn Ví dụ 1: CMR hàm số sau liên tục điểm x0 a) y  x  x  b) y  x  Ví dụ 2: Xét tính liên tục hàm số sau điểm a) y  f ( x)  x  , x0  14 ThuVienDeThi.com Chương 4: Giới hạn , x0  2 2x 1 2 x  x  1, x  1 , x0  1 c) y  f ( x)   3  x, x  1 b) y  f ( x)   x  3x  , x 1  , x0  d) y  f ( x)   x  1  x, x   Ví dụ 3: Tìm khoảng, đoạn liên tục hàm số sau: a) y  f ( x)  x3  x  b) y  f ( x)  c) y  f ( x)  x  d) y  f ( x)  1 x 3x  x Ví dụ 4: Xác định giá trị a để hàm số sau liên tục điểm 4 x  1, x  2 a) y  f ( x)   điểm x0=-2 ax  x  1, x  2 a x   b) y  f ( x)   x điểm x0=0 , x   x  x Ví dụ 5: Xác định giá trị tham số để hàm số sau liên tục R 2 x  a, x  3 a) y  f ( x)    x  ax  1, x  3   ax x sin ,    b) y  g ( x)    3cos( x  ), x     Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm Ví dụ 1: CMR: a) Phương trình x3  x   có nghiệm khoảng (-1;0) b) Phương trình x3  x   có nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-2;2) Ví dụ 2: CMR: a) Phương trình ax  bx  c  0, với a  0, 2a  2b  6c  ln có nghiệm x0 thỏa mãn  x0  b) phương trình x3  x   có nghiệm x0 thuộc (0;1) thỏa mãn x0  C BÀI TẬP ƠN LUYỆN Xét tính liên tục hàm số Bài 1: Tìm điểm gián đoạn hàm số sau: 3x  4 x  a) f ( x)  b) f ( x)  2x  x cos x  15 ThuVienDeThi.com Chương 4: Giới hạn  6x 1 1 , x  0, x     x  sin x , x  c) f ( x)  1 , x  d) f ( x)   3 , x   x  , x 1    Bài 2: Xác định giá trị tham số để hàm số sau liên tục điểm 5 x  3a, x  1 a) y  f ( x)   liên tục x0=-1 3 x  2ax  4, x  1  x2  5x  , x2  b) y  f ( x)   x  liên tục x0=2 a ,x   Bài 3: Tìm khoảng liên tục hàm số sau: a) y  cos x  cot x b) y  sin x  tan x cos x 2 c) y  d) y  sin x  sin x Bài 4: Xét tính liên tục hàm số sau – vẽ đồ thị  x  x  4, x   x  x  1, x  a) f ( x)   b) f ( x)   2 x  3, x  2 x  1, x  Bài 5: Tìm giá trị tham số để hàm số sau liên tục R 4 x  a, x  1 3 x  6, x   a) f ( x)   b) f ( x)  2 x  1, 1  x  ax  x  1, x   x  bx  2, x   Bài 6: Xét liên tục hàm số sau:  3x  3 x  1, x  2 ,x     a) f ( x)   x  x b) f ( x)  4 x  3, 2  x  3 x  4, x   A, x     Chứng minh phương trình có nghiệm Bài 7: CMR phương trình sau có nghiệm  2007  2x 1 Bài 8: CMR phương trình sau ln có nghiệm với m a) x3  mx  x   m  b) m cos x  3(cos x  sin x)  Bài 9: CMR: a) Phương trình x3  x  31x  10  có nghiệm phân biệt b) Phương trình  x   x   x  có nghiệm Bài 10: CMR phương trình x 2 x   có nghiệm x0>0 nghiệm x0 thỏa mãn x0  Bài 11: CMR: a) phương trình x  36 x3  37 x   có nghiệm phân biệt b) x  a  x   a  x   a có nghiệm với a a) 5 x3  x   b) 6 x  16 ThuVienDeThi.com ... §3: DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN VƠ CỰC A LÝ THUYẾT: ThuVienDeThi.com 2cos  2sin(  ) Chương 4: Giới hạn Dãy số có giới hạn + ¥ : lim un    số hạng dãy số lớn số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng... ThuVienDeThi.com Chương 4: Giới hạn a) lim x  x 1 1 x 1 Bài 6: Tính giới hạn sau:   a) lim    x 1  x  x 1  Bài 7: Tính giới hạn sau: x 1 a) lim ( x   x) x  Bài 8: Tính giới hạn... số u1   Ví dụ 1: Cho dãy số (un ) xác định bởi:  2un  CMR dãy số có giới hạn tìm giới hạn un 1  ThuVienDeThi.com Chương 4: Giới hạn n  1 Ví dụ 2: Cho dãy số (un ) xác định un  1 