Bài tập Đại số 11 Chương III: Dãy số – cấp số37007

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG III DÃY SỐ – CẤP SỐ I Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực sau:  Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n =  Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k  1), chứng minh mệnh đề với n = k + Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) với với số nguyên dương n  p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k  p phải chứng minh mệnh đề với n = k + Baøi 1: Chứng minh với n  N*, ta có: n(n  1) a) + + … + n = 2  n(n  1)  c)    n     n(n  1)(n  2) e) 1.2  2.3   n(n  1)  3 3 Baøi 2: Chứng minh với n  N*, ta có: a) 2n  2n  (n  3) 1 c)      (n  2) n 22 n2 1   2 n e)  n Baøi 3: Chứng minh với n  N*, ta có: b) 12  22   n2  n(n  1)(2n  1) d) 1.4  2.7   n(3n  1)  n(n  1)2 f) 1 n     1.2 2.3 n(n  1) n  b) 2n2  2n  2n  1  d) 2n 2n  1 1 13     f) n 1 n  2n 24 (n > 1) a) n3  11n chia hết cho b) n3  3n2  5n chia hết cho c) 7.22 n2  32 n1 chia hết cho d) n3  2n chia hết cho e) 32 n1  2n2 chia hết cho f) 13n  chia hết cho n(n  3) Baøi 4: Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh Baøi 5: Dãy số (an) cho sau: a1  2, an1   an Chứng minh với n  N* ta có: an  cos  2n1 Trang 54 ThuVienDeThi.com với n = 1, 2, … Trần Sĩ Tùng Đại số 11 II Dãy số Dãy số u:฀ * ฀ Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … n  u(n) Dãy số tăng, dãy số giảm  (un) dãy số tăng  un+1 > un với  n  N* u  un+1 – un > với  n  N*  n1  với n  N* ( un > 0) un  (un) dãy số giảm  un+1 < un với n  N*  un+1 – un< với  n  N*  un1 un  với n  N* (un > 0) Dãy số bị chặn  (un) dãy số bị chặn  M  R: un  M, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m  R: un  m, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N* Baøi 1: Hãy viết số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: a) un  2n2  n 1  1 d) un      3 n n  (1)n 2n  c) un  e) un  n  cos2 n f) un  b) un  n 1 n2  (n  1)! 2n Baøi 2: Hãy viết số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: a) u1  2, un1  un  1 b) u1  15, u2  9, un2  un  un1 c) u1  0, un1  d) u1  1, u2  2, un2  un1  2un un  Baøi 3: Hãy viết số hạng đầu dãy số (un), dự đốn cơng thức số hạng tổng qt un chứng minh cơng thức qui nạp: a) u1  1, un1  2un  b) u1  3, un1   un2 c) u1  3, un1  2un d) u1  1, un1  2un  e) u1  1, un1  un  e) u1  ĐS: a) un  2n1  b) un  n  c) un  3.2n1 d) un  1 e) un  7n  f) un  u 1 , u n 1  n 2n1  2n1 Bài 4: Xét tính tăng, giảm dãy số (un) cho bởi: a) un  d) un  2n  3n  n2  n  b) un  4n  4n  e) un  n  cos2 n c) un  f) un  (1)n n2 2n n n 1 Baøi 5: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn dãy số (un) cho bởi: 2n  a) un  b) un  c) un  n2  n2 n(n  1) Trang 55 ThuVienDeThi.com Đại số 11 d) un  Trần Sĩ Tùng n2  2n n  n 1 e) un  n f) un  (1)n cos n2  2n  n  2n III Cấp số cộng Định nghĩa: (un) cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* Số hạng tổng quát: với n  un  u1  (n  1)d uk 1  uk 1 Tính chất số hạng: uk  Tổng n số hạng đầu tiên: Sn  u1  u2   un  (d: công sai) với k  n(u1  un ) = n 2u1  (n  1)d  Baøi 1: Trong dãy số (un) đây, dãy số cấp số cộng, cho biết số hạng đầu cơng sai nó: 3n  a) un = 3n – b) un  c) un  n2  3n n d) un  3n e) un  f) un   2 Bài 2: Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết: u  u  u  10 u  u  u  10  u  15 a)  b)  c)  u1  u6  17 u4  u6  26   u14  18 u  u  u  12 u  u  60 e)  72 15 f)  u1u2 u3  u4  u12  1170  Baøi 3: a) Giữa số 35 đặt thêm số để cấp số cộng b) Giữa số 67 đặt thêm 20 số để cấp số cộng Baøi 4: a) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 27 tổng bình phương chúng 293 b) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 22 tổng bình phương chúng 66 Bài 5: a) Ba góc tam giác vuông lập thành cấp số cộng Tìm số đo góc b) Số đo góc đa giác lồi có cạnh lập thành cấp số cộng có cơng sai d = 30 Tìm số đo góc c) Số đo góc tứ giác lồi lập thành cấp số cộng góc lớn gấp lần góc nhỏ Tìm số đo góc Baøi 6: Chứng minh số a, b, c lập thành cấp số cộng số x, y, z lập thành cấp số cộng, với: u  u  d)   u2 u7  75 a) x  b2  bc  c2 ; y  c2  ca  a2 ; z  a2  ab  b2 b) x  a2  bc; y  b2  ca; z  c2  ab Bài 7: Tìm x để số a, b, c lập thành cấp số cộng, với: a) a  10  x; b  x  3; c   x b) a  x  1; b  x  2; c  x  Bài 8: Tìm nghiệm số phương trình: x  15 x  71x  105  , biết nghiệm số phân biệt tạo thành cấp số cộng Baøi 9: Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây, … Hỏi có hàng? Trang 56 ThuVienDeThi.com Trần Sĩ Tùng Đại số 11 IV Cấp số nhân Định nghĩa: (un) cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* n 1 Số hạng tổng quát: un  u1.q Tính chất số hạng: uk2  uk 1.uk 1 Tổng n số hạng đầu tiên:  Sn  nu1  n  S  u1 (1  q )  n 1 q với n  với k  với q  với q  Bài 1: Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân, biết: u  u  72 u  u  u  65 a)  b)  u1  u7  325 u5  u3  144  u  u  u  14 d)   u1.u2 u3  64 (q: công bội) u1  u2  u3  21  e)  1     u u u 12  u  u  90 c)  u2  u6  240 u  u  u  u  30 f)  12 22 32 42 u1  u2  u3  u4  340 Baøi 2: a) Giữa số 160 chèn vào số để tạo thành cấp số nhân b) Giữa số 243 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân Bài 3: Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 19 tích 216 Bài 4: a) Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết công bội 3, tổng số số hạng 728 số hạng cuối 486 b) Tìm cơng bội cấp số nhân có số hạng đầu 7, số hạng cuối 448 tổng số số hạng 889 Baøi 5: a) Tìm góc tứ giác, biết góc lập thành cấp số nhân góc cuối gấp lần góc thứ hai b) Độ dài cạnh ABC lập thành cấp số nhân Chứng minh ABC có hai góc khơng q 600 Bài 6: Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số nhân, số hạng thứ hai nhỏ số hạng thứ 35, số hạng thứ ba lớn số hạng thứ tư 560 Baøi 7: Số số hạng cấp số nhân số chẵn Tổng tất số hạng lớn gấp lần tổng số hạng có số lẻ Xác định cơng bội cấp số 148 Bài 8: Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tổng số hạng đầu , đồng thời, theo thứ tự, chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng Bài 9: Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tăng số thứ hai thêm số tạo thành cấp số cộng, cịn sau tăng số cuối thêm chúng lại lập thành cấp số nhân Bài 10: Tìm số ba số đầu ba số hạng cấp số nhân, ba số sau ba số hạng cấp số cộng; tổng hai số đầu cuối 32, tổng hai số 24 Bài 11: Tìm số dương a b cho a, a + 2b, 2a + b lập thành cấp số cộng (b + 1)2, ab + 5, (a + 1)2 lập thành cấp số nhân 2 , , Baøi 12: Chứng minh số lập thành cấp số cộng số x, y, z lập yx y yz thành cấp số nhân Trang 57 ThuVienDeThi.com Đại số 11 Trần Sĩ Tùng BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài 1: Tính tổng : S  1.2  2.3   n(n  1) u1  Bài 2: Dãy số (un ) xác định công thức:  với n  un 1  3un  Chứng minh dãy số tăng phương pháp quy nạp u 1 Bài 3: Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u1  u n 1  n với n  a) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với n  ta có u n  n 1  b) Chứng minh dãy số (u n ) dãy giảm bị chặn Bài 4: Xét tính tăng, giảm dãy số (un ) với: 3n n  4n Bài 5: Cho dãy số (un) xác định u1 =2 un 1  un  với n  Chứng minh un = a) un  2 n b) un  với n  Có nhận xét dãy số ? Bài 6: Cấp số cộng: a) Tìm nghiệm phương trình: x –15 x  71x –105  Biết nghiệm tạo thành cấp số cộng b) Cho cấp số cộng biết tổng ba số hạng –6 tổng bình phương chúng 30 Hãy tìm cấp số cộng c) Cho phương trình x –(3m  4) x  (m  1)2  Định m dể phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 1 d) Cho số a, b, c thoả mãn tạo thành cấp số cộng Chứng minh , , ab ac bc a2 , b2 , c2 tạo thành cấp số cộng e) Nếu số thứ p, thứ q thứ r cấp số cộng a, b, c Chứng minh rằng: (q – r )a  (r – p)b  (p – q)c  f) Cho biết tổng n số hạng cấp số cộng Sn  n(5n –3) Tìm số hạng thứ p cấp số cộng g) Cho hai cấp số cộng có tổng n số hạng Sn  7n  Tn  4n  Tìm tỉ số u11 số hạng thứ 11 hai cấp số v11 Bài 7: Cấp số nhân: a) Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số nhân, biết số hạng thứ hai 16 tổng ba số hạng đầu 56 b) Một cấp số nhân (un ) có số hạng, biết công bội q  u1  u4  24 Tìm số hạng cấp số nhân Bài 8: Cấp số cộng – Cấp số nhân: a) Các số x  y, x  y, x  y , theo thứ tự lập thành cấp số cộng Đồng thời x  1, y  2, x  y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm x y b) Cho số có tổng 28 lập thành cấp số nhân Tìm cấp số nhân biết số thứ giảm ta số lập thành cấp số cộng c) Tìm hai số a b biết ba số: , a  , b theo thứ tự lập thành cấp số cộng ba số 1, a, b theo thứ tự lập thành cấp số nhân Trang 58 ThuVienDeThi.com Trần Sĩ Tùng Đại số 11 d) Ba số có tổng 217 coi ba số hạng liên tiếp CSN, số hạng thứ 2, thứ thứ 44 CSC Hỏi phải lấy số hạng đầu CSC để tổng chúng 280? e) Một CSC CSN có số hạng thứ 5, số hạng thứ hai CSC lớn số hạng thứ CSN 10, số hạng thứ Tìm cấp số ấy? n  5n 1    Bài 9: Cho dãy số (un) với un  n n Tính S10  5 u 1 u2  u10  Bài 10: Cho dãy số (un), kí hiệu tổng n số hạng Sn, xác định S n  n  3n a) Tính u1, u2, u3 b) Chứng minh dãy số cấp số cộng xác định số hạng tổng quát Bài 11: a) Trang 59 ThuVienDeThi.com ... thêm chúng lại lập thành cấp số nhân Bài 10: Tìm số ba số đầu ba số hạng cấp số nhân, ba số sau ba số hạng cấp số cộng; tổng hai số đầu cuối 32, tổng hai số 24 Bài 11: Tìm số dương a b cho a, a... 35, số hạng thứ ba lớn số hạng thứ tư 560 Baøi 7: Số số hạng cấp số nhân số chẵn Tổng tất số hạng lớn gấp lần tổng số hạng có số lẻ Xác định cơng bội cấp số 148 Bài 8: Tìm số hạng đầu cấp số nhân,... Tìm tỉ số u11 số hạng thứ 11 hai cấp số v11 Bài 7: Cấp số nhân: a) Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số nhân, biết số hạng thứ hai 16 tổng ba số hạng đầu 56 b) Một cấp số nhân (un ) có số hạng, biết