Bài tập Đại số 10 - Chương 3: Phương trình & hệ phương trình

Dưới đây là những biến đổi tương đương thường dùng cần nhớ là điều kiện của phương trình không bị thay đổi a Biến đổi đồng nhất ở hai vế b Cộng hay trừ vào hai vế cho cùng một biểu thức[r]

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa ĐẠI SỐ 10 Chương Phương Trình & Hệ Phương Trình www.saosangsong.com.vn/ SAVE YOUR TIME&MONEY SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILL SUIT YOUR PACE Lop10.com Chương 3.Phương trình và hệ phương trình §1 Đại cương phương trình A Tóm tắt giáo khoa Phương trình ẩn Phương trình ẩn là phương trình có dạng :f(x) = g(x) ;f(x) và g(x) là biểu thức x ; x là ẩn • x0 là nghiệm phương trình dẳng thức f( x0 ) = g( x0 ) đúng • Giải phương trình là tìm tất các nghiệm phương trình đó • Một phương trình không có nghiệm nào gọi là phương trình vô nghiệm Điều kiện phương trình Cho phương trình f(x) = g(x) Điều kiện để biểu thức f(x) ; g(x) có nghĩa gọi là điều kiện phương trình Phương trình tương đương Hai phương trình gọi là tương đương tập nghiệm chúng Phép biến đổi tương đương Để giải phương trình ta thừơng biến đổi phương trình này thành phương trình tương đương đơn giản Phép biến đổi này gọi là phép biến đổi tương đương Dưới đây là biến đổi tương đương thường dùng (cần nhớ là điều kiện phương trình không bị thay đổi ) a) Biến đổi đồng hai vế b) Cộng hay trừ vào hai vế cho cùng biểu thức c) Nhân hay chia hai vế với cùng biểu thức luôn có giá trị khác Chú ý ¾ Khi giải phương trình máy tính và nghiệm viết dạng thập phân ta có thể nghiệm gần đúng ¾ Khi giải phương trình f(x) = g(x) (1) mà ta không dùng biến đổi tương đương thì có thể dẫn đến phương trình h(x) = k(x) (2) đó tập nghiệm (2) chứa tập nghiệm (1) Khi đó (2) gọi là phương trình hệ (1) B.Giải toán Dạng toán 1:Tìm điều kiện phương trình Ví dụ 1:Tìm điều kiện phương trình sau: 1 (1) x2 −1 + = 3x + x−2 x−2 x 2x − x+ + =0 (2) x +1 x −1 Giải: a) điều kiện phương trình (1) là: x − ≠ ⇔ x ≠ b) điều kiện phương trình (2) là: x + ≠ và x − ≠ ⇔ x ≠ −1 và x ≠ Ví dụ 2:Tìm điều kiện phương trình sau: x − x − = x − − x − 2(1) x+ x−3 − = (2) 4− x Giải: a) điều kiện phương trình (1) là: x − ≥ ⇔ x ≥ www.saosangsong.com.vn Lop10.com Chương 3.Phương trình và hệ phương trình ⎧x −3 ≥ ⎧x ≥ ⇔⎨ ⇔3≤ x < b) điều kiện phương trình (2) là ⎨ ⎩x < ⎩4 − x > Dạng toán : Giải phương trình Để giải phương trình ta thường : a) Tìm điều kiện cuả phương trình b) Biến đổi tương đương phương trình này thành phương trình đơn giản và tìm nghiệm thỏa điều kiện phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình sau : a ) x + x − = + x − 2(1) 2x + +2= b) x + x +1 x +1 Giải : a) Điều kiện cuà phương trình (1) : x − ≥ ⇔ x ≥ (1) ⇔ x = nghiệm này không thỏa điều kiện phương trình Vậy phương trình (1) vô nghiệm b) Điều kiện phương trình (2) là : x+1 ≠ ⇔ x ≠ -1 (2) ⇔ x(x+1)+2+2(x+1) = 2x+4 (nhân 2vế với x+1 ≠ ) ⇔ x2 + x + + 2x + = x + ⇔ x2 + x = ⇔ x(x + 1) = phương trình này có nghiệm x = , x = -1 Nghiệm x = bị loại vì không thỏa điều kiện phương trình Vậy phương trình (2) có nghiệm là x = Ví dụ : Giải phương trình sau : x2 − 5x + = x + (1) a) 2x + b) x + x x − = − x + x (2) Giải : 2x + ) a) điều kiện phương trình (1) là: 2x + > ⇔ x > - (1) ⇔ x − x + = x + (nhân vế với ⇔ x2 − x = ⇔ x ( x − 7) = ⇔ x = ; x = Cả nghiệm này thỏa điều kiện phương trình (1) Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là : x = ; x = ⎧x −1 ≥ ⎧x ≥ ⇔⎨ ⇔ x =1 b)điều kiện phương trình (2) là : ⎨ x x 1 − ≥ ≤ ⎩ ⎩ Thế giá trị x = vào phương trình (2) ta đẳng thức đúng Vậy phương trình (2 ) có nghiệm là x = C Bài tập rèn luyện : 3.1 Giải phương trình sau: www.saosangsong.com.vn Lop10.com Chương 3.Phương trình và hệ phương trình a) x + x − = + x − c) x + − x = x3 + x − 3 = − x2 + x +1 x +1 x+2 x2 − d )x + = e) = x−4 x −3 x −3 x−4 b) x + 3.2 Giải phương trình sau : a) x − − x = x − + 3x b) x + x − = + − x 3.3 Tìm tập nghiệm phương trình sau: x + = x − 3(1) Hai phương trình này có tương đương không ? và x + = ( x − 3) (2) 3.4 Tìm tập nghiệm phương trình sau : x + = x + 2(1) và x + = ( x + 2) (2) Hai phương trình này có tương đương không ? D Hướng dẫn giải hay đáp số 3.1 a) x = b) x = c) vô nghiệm d) x = ; x = e) vô nghiệm 3.2 a) x = b) vô nghiệm 3.3 điều kiện phương trình (1) là : x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x + = ( x − 3) (1) ⇔ x + = x2 − 6x + ⇔ x2 − x = ⇔ x = 0; x = x = (loại) Tập nghiệm (1) là {7} Điều kiện phương trình (2) là x ∈ R Tập nghiệm (2) là {0, 7} Vậy phương trình này không tương đương 3.4 điều kiện hai phương trình này là : x ∈ R (1) ⇔ (2) ⇔ x + = x + x + ⇔ x = Tập nghiệm hai phương trình là {0} Hai phương trình này tương đương §2 Phương trình bậc Phương trình bậc hai A Tóm tắt giáo khoa Giải và biện luận phương trình dạng :ax+b=0 Cách giải và biện luận tóm tắt bảng sau : ax + b = a≠ a=0 −b a • b ≠ :vô nghiệm • b = :tập nghiệm là R Có nghiệm x = Phương trình bậc hai a) Định nghĩa và công thức nghiệm Phương trình bậc hai ẩn là phương trình có dạng : ax + bx + c = www.saosangsong.com.vn Lop10.com Chương 3.Phương trình và hệ phương trình Cách giải và công thức nghiệm phương trình này cho bảng sau : Biệt thức Δ = b − 4ac Δ≥0 ax + bx + c = Kết luận • Hai nghiệm phân biệt −b ± b − 4ac 2a −b Nghiệm kép x = 2a Vô nghiệm x1,2 = Δ=0 • Δ<0 • b) Định lý Viét và ứng dụng : Định lý : Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = có hai nghiệm x1 , x2 thì : b c S = x1 + x2 = − ; P = x1.x2 = a a Ưng dụng : Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là nghiệm phương trình x − Sx + P = : Chú ý : Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai • Nếu a + b + c = thì phương trình ax + bx + c = có nghiệm x1 = và nghiệm c là x2 = a • Nếu a – b + c = thì phương trình ax + bx + c = có nghiệm x1 = −1 và nghiệm c là x2 = − a c) Phương trình trùng phương : Đó là phương trình có dạng : ax + bx + c = Cách giải : Đặt y = x với điều kiện y ≥ ta phương trình bậc hai theo y , giải phươ ng trình này ta tìm y , từ đó suy x B Giải toán Dạng toán : Giải và biện luận phương trình ax+b = Ví dụ : Giải và biện luận phương trình : mx - 5m = 3x + (1) Giải : (1) ⇔ ( m − 3) x = 5m + 5m + m ≠3: x= m−3 m = : 0x = 19 vô nghiệm Vậy : • m ≠ : phương trình (1) có nghiệm là x = • m = : phương trình (1) vô nghiệm 5m + m−3 Ví dụ : Giải và biện luận phương trình : mx + = 2x + m (2) Giải : www.saosangsong.com.vn Lop10.com Chương 3.Phương trình và hệ phương trình (2) ⇔ (m − 2) x = m − m − (m − 2)( m + 2) = = m+2 m−2 m−2 m = : 0x = : phương trình có nghiệm là x ∈ R m ≠2:x = • • Ví dụ : Giải và biện luận phương trình : m x − m = x + (3) Giải: (3) ⇔ (m − 1) x = m + • m − ≠ ⇔ m ≠ ±1 : x = m +1 m +1 = = m − (m + 1)(m − 1) m − m − = ⇔ m = ±1 m = 1: x = <=> x ∈∅ m = −1: x = ⇔ x ∈ R • * m ≠ ±1 phương trình (3) có nghiệm là :x = Vậy : m −1 * m = : phương trình (3) vô nghiệm * m = -1 : phương trình (3) có nghiệm là x ∈ R Dạng toán : Giài và biện luận phương trình ax + bx + c = Ví dụ : Giải và biện luận phương trình sau : x − 2(2m + 1) x + 2m + = Giải : Δ / = (2m + 1) − 2(2m + 5) = 4m + 4m + − 4m − 10 = 4m -9 • Δ / < ⇔ m < : phương trình vô nghiệm • • 2m + = Δ / = ⇔ m = : phương trình có nghiệm kép x = Δ / > ⇔ m > : phương trình có hai nghiệm 2m + − 4m − : x1 = +1 11 = 2m + + 4m − Ví dụ : Giải và biện luận phương trình sau : mx − (2m − 1) x + m − = x2 = Giải : m = : phương trình thành x − = ⇔ x = m ≠ : Δ = (2m − 1) − 4m(m − 3) = 4m − 4m + − 4m + 12m = 8m + 1 • Δ < ⇔ m < − : phương trình vô nghiệm www.saosangsong.com.vn Lop10.com Chương 3.Phương trình và hệ phương trình • • 2(− ) − 2m − 1 = =5 Δ = ⇔ m = − phương trình có nghiệm kép x = 2m 2(− ) Δ > ⇔ m > − : phương trình có hai nghiệm x1 = m − − 8m + 2m − + 8m + ; x2 = 2m 2m Ví dụ : Cho phương trình : x − (2m + 1) x + m + m − = Chứng minh phương trình này luôn có hai nghiệm x1 , x2 Định m để hai nghiệm này thỏa điều kiện : x1 < < x2 Giải : Δ = (2m + 1) − 4(m + m − 2) = 4m + 4m + − 4m − 4m + = > 2m + − 2m + + Vậy phương trình luôn có hai nghiệm : x1 = = m − 1; x2 = = m + ( x1 < x2 ) 2 Theo đề bài ta phải có : m − < < m + ⇔ < m < Dạng toán :Phương trình đưa bậc ,bậc hai *Ví dụ : Giải và biện luận phương trình sau : 3x 3x a) x + m + (1) + = 2x + x +1 x +1 2 = m+2+ (2) b) x + x −1 x −1 Giải : a) điều kiện phương trình (1) là : x + ≠ ⇔ x ≠ −1 (1) ⇔ x = m + • Nếu m + ≠ −1 ⇔ m ≠ −4 nghiệm x = m+3 nhận • Nếu m + = −1 ⇔ m = −4 nghiệm x = m+3 không thỏa điều kiện phương trình nên bị loại Vậy : m ≠ −4 phương trình có nghiệm là x = m+3 m = - phương trình vô nghiệm b)điều kiện phương trình (2) là : x − > ⇔ x > (2) ⇔ x = m + • Nếu m + > ⇔ m > −1 nghiệm x = m+2 nhận • Nếu m + < ⇔ m < −1 nghiệm x = m+2 không thỏa điều kiện phương trình nên bị loại Vậy : m > -1 phương trình có nghiệm là x = m+2 m < -1 phương trình vô nghiệm *Ví dụ : Giải và biện luận phương trình sau : 3mx − 3m + (1) a) x + m + = x −1 x −1 5 b) x − 2mx + + = 3x + − m − 3m (2) x−2 x−2 Giải : Điều kiện phương trình (1) là : x − ≠ ⇔ x ≠ www.saosangsong.com.vn Lop10.com Chương 3.Phương trình và hệ phương trình (1) ⇔ ( x + m)( x − 1) + = 3mx − 3m + ⇔ x − x + mx − m = 3mx − 3m + ⇔ x − (2m + 1) x + 2m = ⇔ x1 = 1; x2 = 2m ( vì a + b + c = ) Nghiệm x1 = (loại vì không thỏa điều kiện phương trình (1) ) Nghiệm x2 = 2m nhận 2m ≠ ⇔ m ≠ Vậy : m ≠ phương trình (1) có nghiệm là x2 = 2m phương trình vô nghiệm m= b) Điều kiện phương trình (2) là : x − ≠ ⇔ x ≠ (2) ⇔ x − (2m + 3) x + m + 3m + = Ta có : Δ = (2m + 3) − 4(m + 3m + 2) = phương trình (2) luôn có hai nghiệm (2m + 3) − (2m + 3) + x1 = = m + 1; x2 = = m+2 2 Nghiệm x1 = m + nhận m + ≠ ⇔ m ≠ −1 Nghiệm x2 = m + nhận m + ≠ ⇔ m ≠ Vậy m ≠ và m ≠ phương trình (2) có hai nghiệm x1 = m + 1; x2 = m + m =1 phương trình (2) có nghiệm x2 = m + = m = phương trình (2) có nghiệm x1 = m + = Ví dụ :Giải phương trình sau : x2 − 4x + x = x − (2) c) x + = x + x − a) (1) b) +2 = x+2 x −4 x−2 (3) Giải : a) Điều kiện phương trình (1) là : x − ≠ ⇔ x ≠ ⇔ x ≠ ±2 (1) ⇔ x( x − 2) = + 2( x − 4) (nhân hai vế với ( x − ) ) ⇔ x2 − x = + x2 − ⇔ x + x − = ⇔ x1 = 1; x2 = −3 Cả hai nghiệm này thỏa điều kiện phương trình (1) Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là : x1 = 1; x2 = −3 b) Điều kiện phương trình (2) là : x − > ⇔ x > (2) ⇔ x − x + = x − (nhân hai vế với x − ) ⇔ x − x + = ⇔ x1 = 1; x2 = Nghiệm x1 = (loại vì không thỏa điều kiện phương trình (2) ) Vậy phương trình (2) có nghiệm là x2 = c) • Nếu x + > ⇔ x > −1: x + = x + phương trình (3) thành : x + = x + x − ⇔ x = ⇔ x1 = − 6; x2 = ( Nghiệm x1 = − loại vì không thỏa điều kiện x > - ) • Nếu x + ≤ ⇔ x ≤ −1: x + = −( x + 1) phương trình (3) thành : −( x + 1) = x + x − ⇔ x + x − = www.saosangsong.com.vn Lop10.com Chương 3.Phương trình và hệ phương trình Δ ' = + = Phương trình cóhai nghiệm là: x3 = −1 − 5; x4 = −1 + (nghiệm x4 = −1 + bị loại vì không thỏa điều kiện x ≤ −1 ) Vậy phương trình (3) có hai nghiệm là : x2 = 6; x3 = −1 − : Ví dụ : Giải phương trình sau : a ) 14 x + = x − 3x + 18 (1) b) x + x + 11 = x − (2) * c) x + + x − = x − (3) Giải : ⎧ 14 x + ≥ a) Điều kiện cuả phương trình (1) là ⎨ ⎩ x − 3x + 18 ≥ (1) ⇔ 14 x + = x − x + 18 ⇔ x − 17 x + 16 = ⇔ x = ; x = 16 (do a + b + c = 0) Các nghiệm này thoả điều kiện phương trình Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = ; x = 16 Chú ý : Ta cần kiểm tra các nghiệm này thỏa điều kiện 14x + ≥ Khi đó điều kiện x − x + 18 ≥ đương nhiên thỏa vì x − x + 18 = 14 x + ≥ b) Điều kiện phương trình (2) là : x + x + 11 ≥ Nếu x – < phương trình (2) vô nghiệm (vì vế trái là số không âm còn vế phải là số âm ) Nếu x − ≥ ⇔ x ≥ ta có : (2) ⇔ x + x + 11 = ( x − 2) ⇔ x + x + 11 = x − x + ⇔ x + x + = ⇔ x = −1; x = − (do a − b + c = 0) Cả nghiệm này không thỏa điều kiện x ≥ Vậy phương trình (2) vô nghiệm c) Nhận xét các giá trị -2 và làm các biểu thức ( x + ) và ( x + ) đổi dấu nên ta xét các trường hợp sau : • x ≤ −2: x + ≤ ; x − < ⇒ x + = −( x + 2); x − = −( x − 1) Phương trình (3) thành : - (x + ) – (x – 1) = 4x – ⇔ 6x = ⇔ x = ( loại vì x ≤ −2 ) • − < x ≤ 1: x + > ; x − ≤ ⇒ x + = x + 2; x − = −( x − 1) Phương trình (3) thành : x + – (x – 1) = 4x – Ù x = ⇔ x = (loại vì −2 < x ≤ ) • x > : x + > 0; x − > ⇒ x + = x + 2; x − = x − Phương trình (3) thành : x + + x – = 4x - ⇔ 2x = ⇔ x = (nhận vì thỏa x > ) Vậy phương trình (3) có nghiệm là x = Ví dụ : Giải phương trình sau : a) x − x + = (1) b) ( x − x) + 5( x − x) + = (2) c) ( x + x) − x − 12 x + = (3) Giải : www.saosangsong.com.vn Lop10.com 10 Chương 3.Phương trình và hệ phương trình a) Đặt t = x (t ≥ ) phương trình (1) thành : t − 4t + = ⇔ t1 = 1; t2 = • Với t1 = ⇔ x = ⇔ x = ±1 • Với t2 = ⇔ x = ⇔ x = ± Vậy phương trình (1) có nghiệm là : x = ±1 ; x = ± b) Đặt t = x − 2x phương trình (2) thành : t + 5t + = ⇔ t1 = −1; t2 = −4 • Với t1 = −1 ⇔ x − x = −1 ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = • Với t2 = −4 ⇔ x − x = −4 ⇔ x − x + = Phương trình vô nghịêm Vậy phương trình (2) cómột nghịêm x = c) (3) ⇔ ( x + x) − 6( x + x) + = Đặt t= x + x phương trình (3) thành : t − 5t + = ⇔ t1 = 2; t2 = • Với t1 = ⇔ x + x = ⇔ x + x − = ⇔ x1 = −1 − 3; x2 = −1 + • Với t2 = ⇔ x + x = ⇔ x + x − = ⇔ x3 = 1; x4 = −3 Vậy phương trình (3) có nghịêm : x1 ; x2 ; x3 ; x4 *Ví dụ : Cho phương trình x − (m + 5) x + 2m + = (1) Định m để phương trình này có nghiệm phân biệt Giải : Đặt t = x phương trìmh thành : t − (m + 5)t + 2m + = (2) Δ = (m + 5) − 4(2m + 6) = (m + 1) (m + 5) − (m + 1) (m + 5) + m + 1) (2) có hai nghiệm : t1 = = 2; t2 = = m+3 2 Với nghiệm t > ta có hai nghiệm x : x = ± t Vậy phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⎧⎪t2 > ⎧m + > ⎧ m > −3 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎩ m ≠ −1 ⎩m + ≠ ⎩⎪t2 ≠ Bốn nghiệm này là : x = ± ; x = ± m + Dạng toán : Định lý Viét và ứng dụng Ví dụ : a) Tìm hai cạnh hình chữ nhật biết chu vi 36m,diện tích 800m b) Tính giá trị cuả biểu thức sau : E = x12 + x2 ; F = (3 x1 − x2 )(3 x2 − x1 ) với x1 ; x2 là nghiệm phương trình x + x − = Giải : a) Goị x,y là hai cạnh hình chữ nhật (x > 0;y > ) ta có: ⎧ x + y = 18 ⎨ ⎩ x y = 800 Vậy x , y là nghiệm phương trình t − 18t + 800 = ⇔ t = 8; t = 10 Hai cạnh hình chữ nhật là 8m và 10m ⎧ ⎪ x1 + x2 = − b) Phương trình cho luôn có nghiệm x1 ; x2 thoả ⎨ ⎪⎩ x1.x2 = −2 61 Mà E = ( x1 + x2 ) − x1 x2 nên E = (− ) − 2(−2) = www.saosangsong.com.vn Lop10.com 10 11 Chương 3.Phương trình và hệ phương trình F 2 = x1.x2 − x1 − x2 + x1 x2 = 13x1.x2 − 6( x1 + x2 ) + 12 x1.x2 600 = 25 x1 x2 − 6( x1 + x2 ) = 25(−2) − 6(− ) = *Ví dụ : Cho phương trình x − 2(m + 2) x + m − = Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả hệ thức (4 x1 + 1)(4 x2 + 1) = 18 (1) Giải : Điều kiện để phương trình có nghiệm là : Δ ' = (m + 2) − 8(m − 3) = m − 4m + 28 = (m − 2) + 24 > 0, ∀m Vậy phương trình luôn có nghiệm (1) ⇔ 16 x1.x2 + 4( x1 + x2 ) + = 18 m−3 2(m + 2) m + Mà x1 + x2 = = ; x1.x2 = 8 m−3 m+2 Nên (1) ⇔ 16( ) + 4( ) + = 18 ⇔ 2m − + m + + = 18 ⇔ m = Vậy m = thì bài toán thoả Dạng toán : Giải bài toán cách lập phương trình Ta thường phải thực các bước sau : Chọn ẩn số Điều kiện ẩn Lập phương trình Gỉai phương trình Chọn nghiệm thỏa điều kiện Ví dụ : Một nông dân có mảnh ruộng hình vuông Ông ta khai hoang mở rộng thêm thành mảnh ruộng hình chữ nhật , bề thêm 8m , bề thêm 12m Diện tích mảnh ruộng hình chữ nhật diện tích mảnh ruộng hình vuông 3136 m Hỏi độ dài cạnh mảnh ruộng hình vuông ban đầu bao nhiêu ? Giải : Gọi x (đơn vị đo là mét) là độ dài cạnh mảnh ruộng hình vuông Điều kiện là x > Hai cạnh mảnh ruộng hình chữ nhật là (x + ) ; ( x + 12 ) Diện tích hình chữ nhật này ( x +8 ).( x+12 ) Diện tích mảnh ruộng hình vuông là : x Theo giả thiết , tacó : ( x + 8).( x + 12) − x = 3136 ⇔ x + x + 12 x + 96 − x = 3136 ⇔ 20 x = 3040 ⇔ x = 157 Giá trị này thoả điều kiện x > nên nhận Vậy cạnh mảnh ruộng hình vuông ban đầu 157m Ví dụ : Một xe khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B cách 150km Khi xe tăng vận tốc vận tốc lúc là 25km Tính vận tốc lúc biết thời gian dùng để và là Giải : Gọi v là vận tốc lúc ( đơn vị là km/giờ ) Điều kiện là v > Vận tốc lúc là v + 25 150 Thời gian từ A đến B là : v 150 Thời gian từ B A là : v + 25 www.saosangsong.com.vn Lop10.com 11 12 Chương 3.Phương trình và hệ phương trình Thời gian và là nên ta có phương trình 150 150 + = ⇔ 30(v + 25) + 30v = v(v + 25) v v + 25 ⇔ v − 35v − 750 = ⇔ v = 50 ; v = −15 So với điều kiện , ta có : v = 50km Vậy vận tốc lúc là 50km/giờ C Bài tập rèn luyện : 3.5 Giải và biện luận phương trình sau : a) m(x -1) = x + b) m(mx-2) = 4x+4 c) x − 2mx + m − = d) (m − 1) x + (2m − 2) x + m + = Cho phương trình : mx + 2(2m + 1) x + 3m + = Chứng minh phương trình này luôn có nghiệm Giải phương trình: a) x x+3 + =6 x − x −1 c) x − = − x b) x − = 3− x d) x + 3x − = x + e) x + 12 = x + f ) x −1+ x − = g) x − x − x − x + = 2 3.8 Giải và biện luận phương trình sau : a) =m x −1 b) x−m x−2 + =2 x −1 x + 3.9 Cho phương trình : x − 2(m + 2) x + m + 4m + = Chứng minh phương trình Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả : này luôn có nghiệm < x1 < < x2 3.10 Cho phương trình : x − x − 2006 = Tính gíá trị biểu thức sau : 2 E = x1 + x2 ; F = (2 x1 + x2 )(2 x2 + x1 ) với x1 ; x2 là nghiệm phương trình cho 3.11 Cho phương trình x + x = mx + − m Định m để phương trình này có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa điều kiện x12 + x2 = 12 3.12 Cho biết phương trình x + px + = có hai nghiệm là a , b ; phương trình x + qx + = có hai nghiệm là b và c Chứng minh : ( b – a ) ( b – c ) = pq - 3.13 Một công ty dự định điều động số xe cùng loại để chuyển 22,4 hàng Nếu xe chở thêm tạ so với dự định thì số xe giảm Hỏi số xe công ty dự định điều động để chở hết số hàng trên là bao nhiêu ? 3.14 Chia 840 trái banh cho số trẻ em Nếu bớt em thì số em còn lại nhận nhiều 14 banh so với trước Tính số trẻ em D Hướng dẫn hay đáp số : www.saosangsong.com.vn Lop10.com 12 13 Chương 3.Phương trình và hệ phương trình 3.5 a) m = :vô nghiệm ; m ≠ nghiệm x = b) m ≠ ±2 nghiệm x = m+3 m −1 ; m = :vô nghiệm ; m = - : x ∈ R m−2 c) luôn có hai nghiệm x1 = m − m − m + 3; x2 = m + m − m + d) * m = phương trình thành :0x + = , vô nghiệm * m < : 2nghiệm x1 = m −1− 1− m m −1+ 1− m ; x2 = m −1 m −1 * m > : vô nghiệm ; m ≠ : Δ ' = m − m + > 0, ∀m luôn có nghiệm b) x = c) x ≤ d) x = a) nghiệm x = ; x = 2 e) x = ± m = : nghiệm là x = f) Viết phương trình thành dạng : ( x − + 1) = ⇔ x − + = ⇔ x = g) Đặt t = x − x + ≥ phương trình thành : t − 2t − = ⇔ t = −1(l ) ; t = Suy , phương trình cho có nghiệm là : x = ; x = -2 m ⎧m ≠ −2 4−m b) m = -2 hay m = : vô nghiệm ; ⎨ x= 2+m ⎩ m ≠1 a) m = : vô nghiệm ; m ≠ : nghiệm là x = + Δ ' = 1; x1 = m + 1; x2 = m + Ta phải có : < m + < < m + ⇔ −1 < m < 3.10 E = 4016 ; F = - 18.062 3.11 m = ; m = 12 Ta có : ( b – a ) ( b – c ) = ( b + a – 2a ) ( b + c – 2c) = ( b + a ) ( b + c ) – 2ab – 2ac - 2bc – 2ac + 4ac = ( - p ) (- q ) – 2ab – 2bc = pq – 3.13 32 xe 3.14 Số trẻ em là 20 §3 Phương trình và hệ phương trình bậc chứa nhiều ẩn A Tóm tắt giáo khoa 1.Phương trình bậc hai ẩn: • • Đó là phương trình có dạng : ax + by = c (x,y là ẩn ; a,b,c là số thực ) Nếu hai số x0 ; y0 cho đẳng thức ax0 + by0 = c đúng thì cặp ( x0 , y0 ) là nghiệm phương trình Một phương trình bậc hai ẩn có vô số cặp nghiệm ( x0 , y0 ) 2.Hệ phương trình bậc hai ẩn : ⎧ a1 x + b1 y = c1 a) Định nghĩa :Đó là hệ có dạng : ⎨ ⎩a2 x + b2 y = c2 www.saosangsong.com.vn Lop10.com 13 14 Chương 3.Phương trình và hệ phương trình Nếu cặp ( x0 , y0 ) đồng thời là nghiệm hai phương trình hệ thì cặp ( x0 , y0 ) là nghiệm hệ b) Cách giải : Ta thường dùng phương pháp cộng hay phương pháp để giải hệ phương trình bậc hai ẩn Chú ý : Ta có thể dùng định thức sau để gỉải hệ a1 b1 c b a c Dx = 1 Dy = 1 • D= a2 b2 c2 b2 a2 c2 • • D Dx ; y= y D D D = : hệ vô nghiệm có vô số nghiệm D ≠ :hệ có nghiệm : x = Hệ phương trình bậc ba a) Định nghĩa : Đó là hệ phương trình có dạng ⎧ a1 x + b1 y + c1 z = d1 ⎪ ⎨a2 x + b2 y + c2 z = d ⎪a x + b y + c z = d 3 ⎩ x , y , z là ẩn ; các số còn lại là số Bộ ba số ( x0 , y0 , z0 ) đồng thời là nghiệm ba phương trình thì ba số này là nghiệm hệ b) Cách giải :Ta thường dùng phương pháp khử bớt ẩn để đưa hệ hai ẩn Chú ý : Ta có thể dùng máy tính để giải hệ phương trình hai ba ẩn B Giải toán Dạng toán : Giải phương trình bậc hai ẩn Ví dụ : Giải các phương trình bậc hai ẩn sau : a) 2x - 3y = b) 2y = c) 3x = - Giải : a) Ta có : y = 2x − = x−3 3 x − 3) Chú ý : Biểu diễn tập nghiệm phương trình này mặt phẳng toạ độ chính là đường thẳng y = x − 3 5 b) Ta có : y = Phương trình có vô số nghiệm là : x ∈ R ; y = 2 −4 −4 Phương trình có vô số nghiệm là : y ∈ R ; x = c) Ta có : x = 3 Phương trình có vô số nghiệm là : ( x ∈ R ; y = *Ví dụ : Giải các phương trình bậc hai ẩn sau : a ) x + y = x, y ∈ N * b)6 x − y = x, y ∈ Z c )26 x + 25 y = 1000 x, y ∈ N * Giải : a) Ta có : y = - 2x +7 www.saosangsong.com.vn Lop10.com 14 15 Chương 3.Phương trình và hệ phương trình y ∈ N * ⇒ y > ⇔ −2 x + > ⇔ x < 7 ⇒ x = 1; x = 2; x = Suy : y = ; y = ; y = Vậy phương trình cho có ba nghiệm là : ( , ) ; ( , ) ; x ∈ N *; x < (3,1) Nếu x ∈ Z ⇒ y ∉ Z Vậy phương trình cho vô nghiệm 26 x Để y là số nguyên thì 26x phải chia hết chọ 25 mà 25 và 26 c) Ta có : y = 40 − 25 nguyên tố cùng nên x phải chia hết cho 25 : x = 25 , x = 50 , x = 75 Ta lại có y > nên x = 25 Vậy phương trình cho có nghiệm là ( 25 , 14 ) b) Ta có : y = 2x - Dạng toán : Giải hệ phương trình hai ẩn Ví dụ : Giải hệ phương trình sau : ⎧3x − y = −2 a) ⎨ ⎩ x + y = 14 ⎧2 ⎪⎪ x + y = b) ⎨ ⎪1 x − y = ⎪⎩ c) ⎧ 3x ⎪ x +1 − ⎪ ⎨ ⎪ 2x + ⎪⎩ x + =4 y+4 =9 y+4 Giải : ⎧ 3x − y = −2 a) Hệ cho ⇔ ⎨ (nhân vế cuả phương trình sau với 2) ⎩10 x + y = 28 ⎧3x − y = −2 (cộng hai phương trình trên vế với vế ) ⇔⎨ ⎩ 13x = 26 ⎧x = ⇔⎨ ⎩y = ⎧−4 x − y = −4 ⎧−4 x − y = −4 ⎧4 x + y = ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩ 4x − y = ⎩ −12 y = −2 ⎩4 x − y = ⎧ ⎪⎪ x = ⇔⎨ ⎪y = − ⎪⎩ ⎧ x +1 ≠ ⎧ x ≠ −1 ⇔⎨ c) điều kiện là : ⎨ ⎩ y ≠ −4 ⎩y + ≠ x Đặt u = Hệ thành : ;v= x +1 y+4 ⎧ x =2 ⎧⎪3u − 2v = ⎧ 3u − 2v = ⎧ x = −2 ⎧u = ⎪⎪ x + ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎩v =1 ⎪⎩ 2u + 5v = ⎩−19v = −19 ⎪ = ⎩ y = −4 ⎪⎩ y + * Ví dụ : Giải và biện luận hệ phương trình sau : ⎧2(m + 1) x − (5m − 2) y = 2(m − 3) ⎨ ⎩ (m + 1) x − 3(m − 1) y = m − b) Hệ cho www.saosangsong.com.vn Lop10.com 15 16 Chương 3.Phương trình và hệ phương trình Giải : 2(m + 1) −(5m − 2) = -6(m+1)(m-1) +(m+1)(5m-2) = (m+1)(-m+4) m +1 −3(m − 1) 2(m − 3) −(5m − 2) =(m-3)(-6m+6+5m-2) =(m-3)(-m+4) Dx = m−3 −3(m − 1) 2(m + 1) 2( m − 3) =2(m+1)(m-3) -2(m+1)(m-3) =0 Dy = m +1 m−3 ⎧m ≠ −1 hệ có nghiệm là : • D ≠ ⇔ (m + 1)(−m + 4) ≠ ⇔ ⎨ ⎩m≠4 D (m − 3)(−m + 4) m − x= x = = D (m + 1)(−m + 4) m + D y= y =0 D • D = ⇔ m = −1 ; m = ⎧ y = −8 * m = -1 hệ thành ⎨ : hệ vô nghiệm ⎩ y = −4 ⎧10 x − y = * m = hệ thành ⎨ : hệ có vô số nghiệm ⎩ 5x − y = Ta có : D = ⎧(m + 2) x + y = m − *Ví dụ : Cho hệ phương trình ⎨ ⎩ (m − 1) x − y = m + 15 Định m để hệ có nghiệm Cho biết thêm m là số nguyên , định m để hệ có nghiệm là số nguyên Giải : Ta tính các biểu thức : D ; Dx ; Dy D= Dx = m+2 = − m − − 2m + = −3m m − −1 m−3 = − m + − 2m − 30 = −3m − 27 m + 15 −1 m+ m−3 = (m + 17 m + 30) − (m − 4m + 3) = 21m + 27 m − m + 15 D ≠ ⇔ m ≠ : Hệ có nghiệm : Dx −3m − 27 ⎧ ⎪⎪ x = D = −3m = + m ⎨ ⎪ y = Dy = +21m + 27 = −7 − ⎪⎩ D −3m m là số nguyên Do đó m là ước số Vậy các Nghiệm này là số nguyên phân số m giá trị m là : ±1 ; ± ; ± Dy = Dạng toán :Giải hệ phương trình bậc ẩn www.saosangsong.com.vn Lop10.com 16 17 Chương 3.Phương trình và hệ phương trình Ví dụ : Giải hệ phương trình sau : ⎧ x − y + z = −2 ⎪ ⎨ −2 x + y + z = ⎪ 3x − y + z = ⎩ Giải : ⎧ x − y + z = −2 ⎪ Hệ cho ⇔ ⎨ − y + z = (khử x để hai phương trình dưới) ⎪ y − z = 14 ⎩ ⎧ x − y + z = −2 ⎪ ⇔ ⎨ − y + 5z = ⎪ 4z = ⎩ ⎧ x = 21 ⎪ ⇔⎨ y=9 ⎪ z=2 ⎩ Dạng toán : Giải bài toán cách lập hệ phương trình Ví dụ : Cho tam giác vuông : tăng các cạnh góc vuông lên 2cm và 3cm thì diện tích tam giác tăng lên 50c m ; giảm hai cạnh 2cm thì diện tích giảm 32 cm Tính hai cạnh góc vuông Giải : Goị x và y là chiều dàì hai cạnh góc vuông (đơn vị chiều dài là cm ; x , y > 0) Diện tích tam giác vuông là : xy Nếu tăng hai cạnh lên 2cm và 3cm thì diện tích là ( x + 2)( y + 3) Nếu giảm cạnh 2cm thì diện tích là ( x − 2)( y − 2) ⎧1 ⎪⎪ ( x + 2)( y + 3) = xy + 50 Theo giả thiết ta có hệ ⎨ ⎪ ( x − 2)( y − 2) = xy − 32 ⎪⎩ 2 ⎧3x + y = 94 ⎧ x = 30 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩ x + y = 32 ⎩ y=2 Ví dụ :Một ca nô chạy trên sông 21km trở tổng cộng 6giờ 30 phút Biết ca nô chạy xuôi dòng 7km tốn thời gian với chạy ngược dòng 6km Tính vận tốc ca nô và vận tốc dòng nước sông Giải : Gọi x , y là vận tốc ca nô và dòng nước (đơn vị là km/giờ) 21 Khi xuôi dòng vận tốc ca nô là :x + y và thời gian để 21km là x+ y 21 Khi ngược dòng vận tốc ca nô là :x - y và thời gian để 21km là : x− y Thời gian ca nô xuôi dòng 7km là : và thời gian ca nô ngược dòng 6km là x+ y x− y www.saosangsong.com.vn Lop10.com 17 18 Chương 3.Phương trình và hệ phương trình 21 13 ⎧ 21 ⎪x+ y + x− y = ⎪ Theo đề bài ta có hệ : ⎨ ⎪ = ⎪⎩ x + y x − y ⎧42u + 42v = 13 1 ;v = ) ⇔⎨ (với u = x+ y x− y ⎩ 7u = 6v ⎧ ⎧ ⎧ 13 x= ⎪⎪u = ⎪ ⎪ x y + = ⎪ ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⎨ ⎪v = ⎪x − y = ⎪y=1 ⎪⎩ ⎪⎩ ⎩⎪ 13 Vậy vận tốc ca nô là km/giờ vàvận tốc dòng nước là km/giờ 2 *Dạng toán : Giải hệ phương trình bậc hai Ta thường gặp các dạng giải phép phép đặt ẩn số phụ, thường là đặt S = x + y và P = xy.: *Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau : ⎧ 2x − y = a) ⎨ 2 ⎩ x − xy + y = 19 x + 3y = ⎧ b) ⎨ 2 ⎩2 x + xy − y + 18 = (Hệ gồm phương trình bậc và phương trình bậc hai ) Giải : a) Hệ phương trình cho tương đương hệ ⎧ y = 2x −1 y = 2x −1 ⎧ ⇔⎨ ⎨ 2 ⎩ x − x − = (*) ⎩ x − x(2 x − 1) + (2 x − 1) = 19 Phương trình (*) cho : x = - ; x = Với x = - , ta có : y = 2(-2)-1 = -5 ; với x = ; y = 2(3) - = Vậy hệ phương trình này có hai nghiệm là : ( - , - ) ; ( , ) b) Hệ phương trình cho tương đương hệ : ⎧ x = − 3y x = − 3y ⎧ ⇔⎨ ⎨ 2 ⎩ y − 27 y + 45 = (**) ⎩ 2(6 − y ) + 3(6 − y ) y − y + 18 = 15 Phương trình (**) cho :y = ; y = 15 15 −21 Với y = , ta có x = – 3(3) = -3 ; với y = ; x = − 3( ) = 4 −21 15 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm là : ( -3 , ) ; ( , ) 4 *Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau : ⎧ x+ y =4 ⎧ xy = x + y + 17 ⎪ a) ⎨ 1 16 b) ⎨ 2 ⎩ x + y = 65 ⎪x + y = ⎩ (các hệ phương trình này gọi là hệ phương trình đối xứng ) Giải : a) Đặt S = x + y ; P = xy hệ phương trình thành : www.saosangsong.com.vn Lop10.com 18 19 Chương 3.Phương trình và hệ phương trình ⎧ S =4 ⎧S = ⎪ ⎪ ⎨ S 16 ⇔ ⎨ ⎪P = ⎪⎩ P = ⎩ Vậy x , y là nghiệm phương trình : X − X + 7 =0⇔ X = ; X = 2 7 Do đó hệ có hai nghiệm là : ( , ) ; ( , ) 2 2 b) Tương tự trên , hệ phương trình thành : ⎧⎪ P = S + ⎧ S = −9 ⎧ S = 11 ⎪⎧ P = S + 17 hay ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎩ P = 28 ⎩ P=8 ⎩⎪ S − P = 65 ⎪⎩ S − S − 99 = • Với S = - ; P = x , y là nghiệm phương trình : X + X + = ⇔ X = −1 ; X = −8 Tương ứng hệ có hai nghiệm là : ( -1 , - ) ; ( - , - ) • Với S = 11 ; P = 28 : x , y là nghiệm phương trình : X − 11X + 28 = ⇔ X = ; X = Tương ứng hệ có hai nghiệm là : ( , ) ; ( , ) Tóm lại hệ có bốn nghiệm là : ( -1 , -8 ) ; ( -8 , -1 ) ; ( , ) ; ( , ) Chú ý : Với hệ phương trình đối xứng (là hệ mà các phương trình không đổi ta hoán vị hai ẩn x và y) , ta thường biến đổi thành hệ chứa S và P ( S = x + y ; P = xy ) Biết S và P ta tìm x , y C Bài tập rèn luyện 3.15 Giải phương trình sau a) 2x – y = ; x , y ∈ R * b) 3x – 2y = ; x , y ∈ Z 3.16 Giải hệ phương trình sau : ⎧5 x + y = 22 a) ⎨ ⎩ 5x − y = 17 Giải hệ phương trình sau : ⎧ ⎪ x + y + 2x + y = ⎪ a) ⎨ ⎪ − =1 ⎪⎩ x + y x + y ⎧ x − y = −2 b) ⎨ ⎩5 x + y = −12 ⎧2 ⎪ x − y − = −3 ⎪ b) ⎨ ⎪ 3+ =5 ⎪⎩ x y − 18 Giải hệ phương trình sau : ⎧ x + 2y + z = ⎪ a ) ⎨3 x − y + z = −4 ⎪ x + y − z = 16 ⎩ ⎧ x − y + z = 30 ⎪ b) ⎨ x + y + z = 16 ⎪4 x − y + z = 23 ⎩ 19 Một dung dịch 90% axít pha với nước tạo thành dung dịch 60 % axít Khi đổ thêm lít nước để pha loãng thì dung dịch thành 40 % axít Hỏi lượng nước đổ vào để dung dịch 90% axít xuống còn 60% axít là bao nhiêu ? 20 Nếu tử số cùa phân số tăng gấp đôi và mẫu số thêm thì giá trị phân số Nếu tử số thêm và mẫu số tăng gấp thì giá trị phân số Tìm phân số đó 24 D Hướng dẫn hay đáp số www.saosangsong.com.vn Lop10.com 19 20 Chương 3.Phương trình và hệ phương trình 15 a) x ∈ R , y = x − ; b) x = 2n ; y = 3n − , n ∈ Z ;y=2 17 a) x = y = 3.16 a) x = b) x = - 2; y = - b) x = ; y = 18 a) Hệ cho tương đương hệ ⎧ ⎧ ⎧ x= ⎪ 4x + y = ⎪ ⎪ 2x = ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ 2x + y = ⇔ ⎨ 2x + y = ⇔ ⎨ y = ⎪7 x + y − z = 16 ⎪7 x + y − z = 16 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪z = − ⎩ ⎩⎪ ⎩⎪ b) Hệ có vô số nghiệm 19 Gọi x (lít) là lượng nước có dung dịch 90 % axít và y (lít) là lượng nước đổ thêm Lượng axít có dung dịch là không đổi nên ta có phương trình 0,9x = 0,6(x+y) = 0,4(x+y+2) giải ta có : x = ; y = 20 Phân số phải tìm là 3 16 §4 Trắc nghiệm cuối chương A Câu hỏi x x Điều kiện phương trình này là = x −1 x − b x ≠1 c x≠2 d x ≠ và x ≠ 2 x = Nếu a là nghiệm phương trình thì (a + 2a ) : 2− x 2− x b 10 c d Một đáp số khác Cho phương trình x + a x≠0 Cho phương trình a 15 Cho phương trình : x+ 2− x = 4+ 2− x x + x2 + = + x2 + (1) (2) 3x − x − = −4 − x − (3) Trong phương trình này có bao nhiêu phương trình vô nghiệm a O b c d Cho phương trình m x + m = x + Phương trình này vô nghiệm m : a b c d Một đáp số khác Cho phương trình x − (3m + 1) x + 3m = Để phương trình này có hai nghiệm lớn thì m phải thỏa điều kiện nào đây 1 a m> b m < c m > − d m < −2 6 6 Cho phương trình bậc ẩn : 2x + y = và cặp số (2,-2) ;(5.-7) ; (1,1) ; (1,4 ) ; (3,3) Trong cặp số này có bao nhiêu cặp là nghiệm phương trình trên ? a b c.3 d Một đáp số khác www.saosangsong.com.vn Lop10.com 20