ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
TP HỒ CHÍ MINH, tháng 07 năm 2021
Trang 2CÔNG TRÌNH NÀY ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐH QUỐC GIATP.HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Định
Cán bộ chấm phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI
Cán bộ chấm phản biện 2: PGS.TS NGUYỄN HUY TUẤN
Luận văn Thạc sĩ này được bảo vệ tại trường Đại học Bách khoa, ĐH QuốcGia Tp.HCM (Online trên Google Meet) ngày 22 tháng 7 năm 2021
Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ )1 Chủ tịch: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY
2 Thư ký: TS NGUYỄN TIẾN DŨNG3 Phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI
4 Phản biện 2: PGS.TS NGUYỄN HUY TUẤN5 Ủy viên: TS HỒ ĐẮC NGHĨA
Xác nhận của chủ tịch hội đồng đánh giá luận văn và trưởng khoa quản lýchuyên ngành sau khi luận văn đã chỉnh sửa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
TRƯỞNG KHOA KHOAHỌC ỨNG DỤNG
Trang 3Đại Học Quốc GiaTP.HCMTrường Đại Học Bách Khoa
Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt NamĐộc lập - Tự do - Hạnh phúc
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨHọ và tên học viên: Lê Trần Nhã Thi
Ngày, tháng, năm sinh: 18/8/1994Chuyên ngành: Toán ứng dụng
MSHV: 1770362Nơi sinh: Ninh ThuậnMã số: 60460112
I TÊN ĐỀ TÀI: Đối ngẫu mạnh cho bài toán tối ưu vectơ sử dụng bổđề Farkas.
II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG- Kiến thức chuẩn bị.
- Bổ đề Farkas mở rộng cho các hệ vectơ.
- Đối ngẫu Lagrange và Fenchel-Lagrange cho bài toán tối ưu vectơ.III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 20.11.2020
IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 22.05.2020V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: GS.TSKH Nguyễn Định
Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2021
TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin kính gửi đến Thầy, GS.TSKH Nguyễn Định lời cảm ơnsâu sắc nhất về sự tận tình hướng dẫn của Thầy đối với tôi trong toàn bộ thờigian làm luận văn.
Tôi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy TS Đặng Hải Long vì sự tậntâm giảng dạy, sự nhiệt tình chỉ bảo tôi và các bạn trong nhóm Seminar hoànthành luận văn một cách tốt nhất.
Xin chân thành cảm ơn đối với các Thầy Khoa Toán ứng dụng, trường ĐạiHọc Bách Khoa TP Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt nhiều kiếnthức quý báu trong suốt thời gian tôi học lớp Cao học tại trường.
Xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp Cao học Giải tích K17, cũngnhư các anh chị và các bạn trong nhóm seminar do các Thầy hướng dẫn phối hợptổ chức, đã cùng tôi trao đổi và đóng góp nhiều ý kiến để hoàn thành luận vănnày.
Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2021
Lê Trần Nhã Thi
Trang 6and Fenchel-Lagrange dual problems for (VP), go back to Lagrange dual problem,and Fenchel-Lagrange dual problems for scalar problems, and the resulting dual-ity results cover, and in some setting, extend the corresponding ones for scalarproblems in the literature.
Trang 7LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn về đề tài “Đối ngẫu mạnh cho bài toán tối ưuvectơ sử dụng bổ đề Farkas” là công trình nghiên cứu cá nhân của tôi trong thờigian qua Kết quả nghiên cứu là do tôi tự tìm hiểu, phân tích một cách kháchquan, trung thực, có nguồn gốc rõ ràng và chưa được công bố dưới bất kỳ hìnhthức nào Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm nếu có sự không trung thực trongthông tin sử dụng trong công trình nghiên cứu này.
Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2021
Lê Trần Nhã Thi
Trang 8Mục lục
0.1 Lược sử vấn đề 1
0.1.1 Lý do chọn đề tài 1
0.1.2 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2
0.1.3 Phương pháp nghiên cứu 2
0.2 Giới thiệu vấn đề 2
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 51.1 Tập lồi 5
2.2 Ánh xạ liên hợp và tính chất 13
Trang 92.3 Thứ tự trên các tập con của Y 142.4 Cấu trúc (Pp(Y )∞,4K, ]) 162.5 Epigraph mở rộng của các ánh xạ liên hợp và tổng- của chúng 202.6 Các bổ đề cơ bản 22
3.1 Các tập ràng buộc chất lượng 303.2 Các phép biểu diễn của epi(F + IA)∗ 32
4.1 Bổ đề Farkas cho hệ vectơ tổng quát 364.2 Bổ đề Farkas cho các hệ vectơ lồi 40
5.1 Các dạng đối ngẫu cho bài toán tối ưu vectơ và đối ngẫu yếu 425.2 Đối ngẫu mạnh và đối ngẫu mạnh ổn định cho bài toán tối ưu vectơ
sử dụng các dạng bổ đề Farkas vectơ 45
Trang 10Do đó mô hình và các phương pháp tối ưu đóng vai trò quan trọng trong toánứng dụng Nhu cầu học tập, giảng dạy ở bậc sau đại học và nghiên cứu ứng dụngcác phương pháp tối ưu ngày càng được quan tâm và phát triển ở hầu hết cáctrường đại học ở Việt Nam và trên thế giới Cùng với việc nghiên cứu lý thuyết,việc nghiên cứu ứng dụng toán học để phân tích và giải quyết các bài toán nảysinh từ thực tiễn luôn là vấn đề thời sự.
Bổ đề Farkas được đưa ra đầu tiên vào năm 1894 bởi nhà toán học và vật lýhọc người Hungary - Gyula Farkas khi ông nghiên cứu bài toán moment trong cơkhí Những dạng mở rộng của Bổ đề Farkas trong không gian vô hạn chiều hoặccho hệ phi tuyến thường được thiết lập trong điều kiện chính quy nào đó Mặtkhác, trong những năm gần đây đã xuất hiện một số dạng mở rộng Bổ đề Farkaskhông có điều kiện chính quy gọi là các bổ đề Farkas dạng tiệm cận Tuy nhiên,
Trang 11vẫn còn nhiều vấn đề, câu hỏi mở chưa được giải chẳng hạn như Bổ đề Farkas cóthể được thiết lập cho các hệ bất đẳng thức liên quan hàm hợp, cho các hệ liênquan đến các hàm vectơ Các kết quả này nếu thiết lập được thì sẽ hữu ích trongviệc nghiên cứu lớp bài toán liên quan hàm hợp hoặc bài toán tối ưu vectơ.
Từ nhận định trên, trong luận án này chúng tôi đặt kế hoạch nghiên cứu vấnđề sau: đối ngẫu mạnh cho bài toán tối ưu vectơ sử dụng bổ đề Farkas.
0.1.2Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Ý nghĩa khoa học: Đề tài cung cấp một số dạng mở rộng của bổ đề Farkascho hệ hàm vectơ và ứng dụng các kết quả này vào việc nghiên cứu kết quả đốingẫu mạnh cho bài toán tối ưu vectơ với nghiệm hữu hiệu yếu.
Ý nghĩa thực tiễn: Nhiều bài toán trong kinh tế có mô hình toán là bài toántối ưu vectơ Đề tài cung cấp cơ sở lý thuyết giúp ích cho các nhà toán học thiếtkế được các thuật toán để giải các lớp bài toán nêu trên.
0.1.3Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm các tài liệu liên quan, đọc hiểu, phân tích, tổng hợp và trình bày lại.
và giả sử A ∩ dom F 6= ∅ Trong luận văn này, chúng ta xét bài toán (VP) với dữliệu(F ; G, C).
Trang 12Trong trường hợp đặc biệt Y =R, bài toán (VP) quy về bài toán vô hướng(P)inf{f (x) : x ∈ C, G(x) ∈ −S},
trong đó f : X →R∞:=R∪ {+∞}.
Nhiều bài toán đối ngẫu của (VP) được định nghĩa trong các công trình khácnhau (xem [4, 8, 9, 11, 12, 16, 15, 22, 23, 26, 29, 31, 33]) Tuy nhiên rất nhiềutrong số đó, bài toán đối ngẫu này khi quy về trường hợp đặc biệt Y =R chỉ dẫn
tới kết quả là bài toán đối ngẫu Lagrange của (P):
đối ngẫu Fenchel cho (P) Tuy nhiên, chỉ một vài bài toán đối ngẫu cho (VP)trong các tài liệu mà có thể dẫn tới kết quả là các bài toán đối ngẫu Fenchel hoặcFenchel-Lagrange cho (P) dưới đây:
[−f∗(x∗) − (iC+ λG)∗(−x∗)],(D3)sup
Mục tiêu của luận văn này là giới thiệu một cách giải quyết khó khăn vừa nêuvà từ đó đề xuất những cách biểu diễn mới của các epigraph của các ánh xạ liênhợp Từ đó định nghĩa một số dạng bài toán đối ngẫu cho (VP) (còn được gọi là
Trang 13những toán đối ngẫu Lagrange và Fenchel-Lagrange cho (VP)) mở rộng bài toánđối ngẫu (D2) và(D3) sang hệ các hàm vectơ Nói cách khác, các bài toán đối ngẫuLagrange và Fenchel-Lagrange trong trường hợp Y =R sẽ trở thành các bài toán
đối ngẫu tương ứng (D1), (D2), và (D3) cho (P).
Luận văn này được trình bày theo các chương mục sau:CHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị.
CHƯƠNG 2: Các bổ đề cơ bản.
CHƯƠNG 3: Epigraph của ánh xạ liên hợp.
CHƯƠNG 4: Bổ đề Farkas mở rộng cho các hệ vectơ.
CHƯƠNG 5: Đối ngẫu Lagrange và Fenchel-Lagrange cho bài toán tối ưu vectơ.Kế tiếp sẽ là phần kết luận và tiếp theo là danh mục các tài liệu tham khảo.
Trang 14A là tập lồi khi và chỉ khi A =co(A).
Nhận xét: Nếu hai tập A, B là tập lồi thì với mọi α ∈R các tập A + B, αA cũnglồi.
Định nghĩa 1.2.1: Tập U ⊂ X dược gọi là tập affine nếu
∀x, y ∈ U, ∀λ ∈R⇒ λx + (1 − λ)y ∈ U
Trang 15Nhận xét: Giao của một họ các tập affine cũng là một tập affine.
Cho tập A ⊂ X, ta gọi bao affine của A, ký hiệu aff(A), là giao của mọi tậpaffine chứa A Từ định nghĩa ta có aff(A) là tập affine bé nhất chứa A Tập A gọilà một đa tạp affine khi và chỉ khi A=aff(A) hay:
Trang 161.4.2Các phép toán trên hàm lồi
a f1, f2 là các hàm lồi chính thường thì λ1f1+ λ2f2, với λ1, λ2 > 0 cũng lồi.b Bao lồi của f, ký hiệu cof được định nghĩa như sau:
Định lý 1.5.1 (Định lý tách 1.) Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong Rn
sao cho C ∩ D = ∅. Khi đó có một siêu phẳng tách C và D.
Trang 17Định lý 1.5.2 (Định lý tách 2.) Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng saocho C ∩ D = ∅. Giả sử có ít nhất một tập là com-pắc Khi đó hai tập này có thểtách mạnh được bởi một siêu phẳng.
Cho F : X → Y• là một ánh xạ Miền, dom F, và K- epigraph của F, epiKF,được định nghĩa lần lượt:
dom F := {x ∈ X : F (x) 6= +∞Y}, epiKF := {(x, y) ∈ X × Y : F (x)5Ky}.F được gọi là chính thường nếu dom F 6= ∅ và −∞Y ∈ F (X)/ F được gọi là K-lồi(tương tự, K-epi đóng) nếu epiKF là một tập con lồi của X × Y (tương tự,epiKF
là tập con đóng của không gian tích X × Y, [7], [30, Definition 5.1]).
Khái niệm K-epi đóng mở rộng khái niệm nltd của một hàm thực Ánh xạ F
được gọi là K-nltd dương nếuy∗◦F là nltd với mọiy∗ ∈ K+(xem [5], [6, Definition2.16])1 Theo [30, Định lý 5.9], mọi ánh xạ K-nltd dương làK-epi đóng nhưng điều
1Khái niệm này được sử dụng trong [7] và [25] như “star K-là nltd”.
Trang 18ngược lại thì không đúng Hơn nữa, khi Y =R, ba khái niệm nltd , R+-nltd dương,và R+-epi đóng là trùng nhau.
Ký hiệu L(X, Y ) cho không gian của tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X
đếnY với tôpô hội tụ từng điểm, nếu(Li)i∈I ⊂ L(X, Y )vàL ∈ L(X, Y ),Li→ Ltrong
L(X, Y ) nghĩa là Li(x) → L(x) trong Y với mọi x ∈ X Phần tử không của L(X, Y )
là 0L Cho S là nón lồi không rỗng trong Z Cần nhớ rằng nón của các toán tửdương (xem [3, 27]) được định nghĩa bởiL+(S, K) := {T ∈ L(Z, Y ) : T (S) ⊂ K} Khi
Y =R, nón này trở thành nón đối ngẫu dương S+:= {z∗∈ Z∗ : hz∗, si ≥ 0, ∀s ∈ S}
của S.
Các ánh xạ liên hợp của các hàm vectơ Khái niệm ánh xạ liên hợp của mộtánh xạ sau đây được suy ra từ khái niệm tương ứng cho ánh xạ đa trị trong [9,Definition 7.4.2] và [31, Definition 3.1].
Trang 19U ⊂ X, int U, cl U, bd U, co U, lin U, aff U, và cone U lần lượt ký hiệu cho phầntrong, bao đóng, biên, bao lồi, bao tuyến tính, bao affine , và bao nón của U Vớimỗi x ∈ X, ta ký hiệu NX(x) là tập tất cả các lân cận củax trong X Giả sử rằng
W là một không gian con tôpô của X Với A ⊂ W, ký hiệuintW A cho phần trongcủa A ứng với tôpô cảm sinh trong trong W Cho K là nón lồi, đóng và chínhthường trong Y với phần trong không rỗng, tức là, int K 6= ∅ Cần chú ý là
K + int K = int K. (2.1)tương đương với
y ∈ Ky + y0∈ K/
⇒ y0 ∈ int K/ (2.2)Thứ tự yếu sinh bởi một nón lồi: Infimum yếu và Supremum yếu Ta định nghĩathứ tự yếu trong Y được sinh bởi K như sau: với mọi y1, y2∈ Y,
y1 <K y2 ⇐⇒ y1− y2 ∈ − int K. (2.3)
Trang 20Trong Y ta cũng xét đến thứ tự thường gặp được sinh bởi nón K, 5K, được địnhnghĩa bởi y15Ky2 khi và chỉ khi y1− y2 ∈ −K, với y1, y2∈ Y.
Ta mở rộng Y bằng cách thêm vào phần tử lớn nhất +∞Y và phần tử bé nhất
−∞Y ứng với thứ tự <K, các phần tử này không thuộc vào Y, và ta ký hiệu
Y• := Y ∪ {−∞Y, +∞Y} Ta giả sử rằng −∞Y <K y <K +∞Y với mọi y ∈ Y và
M ⊂ Y,
−(+∞Y) = −∞Y,−(−∞Y) = +∞Y,(+∞Y)+y = y +(+∞Y) = +∞Y,∀y ∈ Y ∪{+∞Y},(−∞Y)+y = y +(−∞Y) = −∞Y,∀y ∈ Y ∪{−∞Y},
(a) Phần tử v ∈ Y¯ • được gọi là phần tử Infimum yếu của M nếu với mọi v ∈ M
ta có v 6<K v¯ và nếu với mọi v ∈ Y˜ • sao cho v <¯ K v˜, thì tồn tại v ∈ M thoả mãn
v <K v˜ Tập tất cả các phần tử thập phân yếu của M được ký hiệu bởiWInf M vàđược gọi là infimum yếu của M.
(b) Phần tửv ∈ Y¯ •được gọi là phần tử Supremum yếu củaM nếu với mọiv ∈ M
ta có v 6<¯ K v và nếu với mọi v ∈ Y˜ • sao cho v <˜ K v¯, thì tồn tại v ∈ M thoả mãn
v <K v Tập tất cả các phần tử supremum yếu của M được ký hiệu bởi WSup M
và được gọi là supremum yếu của M.
(c) Minimum yếu của M là tập WMin M = M ∩ WInf M và các phần tử của nólà các phần tử minimum yếu của M.
(d) Maximum yếu của M là tập WMax M = M ∩ WSup M và các phần tử củanó là là các phần tử maximum yếu của M.
Trang 2136 errors195 warnings
Mệnh đề 2.1.1 Cho ∅ 6= M ⊂ Y• Ta có:
(i) WSup M 6= {+∞Y} khi và chỉ khi Y \ (M − int K) 6= ∅.
(ii) Với mọi y ∈ Y, WSup(y + M ) = y + WSup M.Giả sử rằng M ⊂ Y và WSup M 6= {+∞Y} thì ta có:
(iii) WSup M − int K = M − int K.
(iv) Phân hoạch sau đây của Y thỏa
Y = (M − int K) ∪ WSup M ∪ (WSup M + int K).(v) WSup M = cl(M − int K) \ (M − int K).
(vi) WSup(WSup M + WSup N ) = WSup(M + WSup N ) = WSup(M + N ).(vii) Nếu 0Y ∈ N ⊂ −K thì WSup(M + N ) = WSup M.
Cụ thể, ta có WSup(M − K) = WSup(M − bd K) = WSup M.
Chứng minh Các khẳng định (i) - (v) được trích từ [12] và [16] trong khi (vi) đượctrích từ [9, Mệnh đề 7.4.3] (xem thêm [31, Mệnh đề 2.6]).
(vii) Nếu 0Y ∈ N ⊂ −K thì dễ thấy rằng M + N − int K = M − int K Từ (v), tađược WSup(M + N ) = WSup M Hơn nữa, vì 0Y ∈ − bd K ⊂ −K, lấy N = − bd K
và N = −K Ta được WSup(M − K) = WSup(M − bd K) = WSup M.
Mệnh đề 2.1.2 Cho ∅ 6= M ⊂ Y• Khi đó, chỉ xảy ra một trong ba trường hợpsau: WSup M = {+∞Y}, WSup M = {−∞Y}, và ∅ 6= WSup M ⊂ Y.
Chứng minh Giả sử rằngWSup M 6= {+∞Y}và WSup M 6= {−∞Y} Từ định nghĩa2.1.1 (b), nếu M 3 +∞Y thì WSup M = {+∞Y} và WSup{−∞Y} = {−∞Y} Giảsử rằng M 63 +∞Y và M 6= {−∞Y}, từ đó suy ra ∅ 6= M \ {−∞Y} ⊂ Y (lưu ý rằng
Trang 22M 6= ∅) Mặt khác, từ Định nghĩa 2.1.1 (b) ta cóWSup M = WSup M \ {−∞Y} Dovậy, thay thế M bởi M \ {−∞Y} nếu cần, ta có thể giả sử rằng ∅ 6= M ⊂ Y.
Áp dụng Mệnh đề 2.1.1(iii) và (v) (lưu ý rằng WSup M 6= {+∞Y}), ta được
WSup M 6= ∅ và WSup M ⊂ Y.
Chú ý 2.1.1 Cần chú ý rằng WInf M = − WSup(−M ) với mọi M ⊂ Y• Do vậy,các Mệnh đề 2.1.1 và 2.1.2 vẫn thỏa mãn khi WSup, +∞Y, K, và int K lần lượtđược thay thế bằng WInf, −∞Y, −K, và − int K.
Định nghĩa 2.2.1 Với F : X → Y ∪ {+∞Y}, ánh xạ đa trị F∗: L(X, Y ) ⇒ Y•
được xác định bởi F∗(L) := WSup{L(x) − F (x) : x ∈ X} được gọi là ánh xạ liên hợpcủa F K- epigraph và miền xác định của F∗ lần lượt là,
epiKF∗ :=(L, y) ∈ L(X, Y ) × Y : y ∈ F∗(L) + K ,domF∗ :=L ∈ L(X, Y ) : F∗(L) 6={+∞Y} .
Nếu F : X → Y ∪ {+∞Y} là ánh xạ chính thường thì epi F∗ là tập con đóng của
L(X, Y ) × Y (xem [12, Lemma 3.5]) Hơn nữa, ta có tính chất quan trọng sau đâycủa epiKF∗ (xem [13, Theorem 3.1]) :
(L, y) ∈ epiKF∗ ⇐⇒ [F (x) − L(x) + y /∈ − int K, ∀x ∈ X]. (2.5)Với tập con D ⊂ X, ánh xạ chỉ IDX: X → Y• xác định bởi IDX(x) = 0Y nếu x ∈ D
và IDX(x) = +∞Y trong trường hợp còn lại Nón K trong Y là cố định trong xuyênsuốt luận văn, để đơn giản hoá, từ bây giờ ta sẽ viết epi F và epi F∗ lần lượt thaycho epiKF và epiKF∗ Tương tự, ta sẽ viết ID thay cho IDX nếu như không gây rasự khó hiểu.
Trang 232.3Thứ tự trên các tập con của Y
Trong phần này, ta giới thiệu không gian được sắp thứ tự (Pp(Y )•,4K) và cấutrúc (Pp(Y )∞,4K, ]) với một thứ được gọi là “tổng-WS" Các khái niệm mới củaepigraph mở rộng của ánh xạ liên hợp và một toán tử mới trên các tập này, đượcgọi là tổng- Tiếp theo, ta chứng minh hai bổ đề cơ bản (đóng vai trò như nhữngcông cụ chủ yếu để thu được các kết quả) Bổ đề 2.6.3 thiết lập mối quan hệ giữaepigraph "thường" (định nghĩa trong Phần 2.1) của liên hợp của một tổng của haiánh xạ và tổng- của hai epigraph mở rộng của các liên hợp của hai ánh xạ đó.
Không gian được sắp thứ tự (Pp(Y )•,4K) Cho P0(Y•)là tập hợp tất cả các tậpcon không rỗng của Y• Thứ tự “4K” trên P0(Y•) được định nghĩa [16] như sau,với M, N ∈ P0(Y•),
M 4KN⇐⇒(v 6<K u, ∀u ∈ M, ∀v ∈ N ) (2.6)Mệnh đề 2.3.1 (i) Với mọi ∅ 6= M, N ⊂ Y, ta có:
M 4KN⇐⇒N ∩ (M − int K) = ∅⇐⇒M ∩ (N + int K) = ∅.(ii) Với mọi M ∈ P0(Y•), ta có WInf M 4KM và M 4KWSup M.(iii) Nếu M ⊂ N ⊂ Y• thì WSup M 4KWSup N.
Chứng minh.
(i) Ta có:
M 4KN⇐⇒v 6<K u, ∀u ∈ M, ∀v ∈ N⇐⇒v /∈ u − int K, ∀u ∈ M, ∀v ∈ N⇐⇒N ∩ (M − int K) = ∅
Trang 24Do đó, M 4KN⇐⇒N ∩ (M − int K) = ∅.
Tiếp theo ta chứng minh M 4KN⇐⇒M ∩ (N + int K) = ∅ Thật vậy, ta có:
M 4KN⇐⇒v 6<K u, ∀u ∈ M, ∀v ∈ N⇐⇒u /∈ v + int K, ∀u ∈ M, ∀v ∈ N⇐⇒M ∩ (N + int K) = ∅
(ii) Lấy u ∈ WInf M và v ∈ M Theo Định nghĩa 2.1.1 (a), vì u ∈ WInf M nên
v ≮K u, ∀u ∈ WInf M, ∀v ∈ M Suy ra,WInf M 4KM Chứng minhM 4KWSup M
hoàn toàn tương tự.
(iii) Nếu M = ∅ hoặc WSup N = {+∞} thì kết luận hiển nhiên đúng.
Giả sử M 6= ∅ và WSup N 6= {+∞Y} Vì WSup M ∈ Y• và WSup N ⊂ Y• TheoMệnh đề 2.1.1(iv), ta được (WSup N ) ∩ (N − int K) = ∅.MàM ⊂ N nên(WSup N ) ∩(M − int K) = ∅. Theo Mệnh đề 2.1.1(iii), ta có(M − int K) = (WSup M − int K).Suyra,WSup N ∩(WSup M −int K) = ∅ Theo 2.3.1(i), suy raWSup M 4KWSup N.
Tập con U ⊂ Y được gọi là(Y, K)-một tập con kiểu phân hoạch của Y nếu phânhoạch sau của Y thỏa mãn:
Y = (U − int K) ∪ U ∪ (U + int K). (2.7)Ký hiệu Pp(Y ) cho tập hợp tất cả (Y, K)- tập con kiểu phân hoạch của Y và tập
Trang 25(i) Nếu U ⊂ V thì U = V,
(ii) Nếu U ∈ Pp(Y ) thì
U + K = U ∪ (U + int K), (2.8)
U − K = U ∪ (U − int K). (2.9)Chứng minh.
(i) Kết luận hiển nhiên đúng nếuU, V là{+∞Y}hoặc{−∞Y} Giả sửU, V ∈ Pp(Y )•
và U, V ⊂ Y Ta có phân hoạch sau:
Y = (U − int K) ∪ U ∪ (U + int K) = (V − int K) ∪ V ∪ (V + int K).
Vì U ⊂ V, ta có (U − int K) ⊂ (V − int K) và (U + int K) ⊂ (V + int K) Do đó,
V ⊂ U Suy ra, U = V.
(ii) Lấy U ∈ Pp(Y ) Dễ thấy rằng U + K ⊃ U ∪ (U + int K) Tiếp theo, ta cần chứngminh (U + K) ∩ (U − int K) = ∅ Thật vậy, giả sử điều ngược lại là (U + K) ∩ (U −int K) 6= ∅ Khi đó, tồn tại u, v ∈ U, k ∈ K, và k0 ∈ int K sao cho u + k = v − k0.Do đó, u = v − k0− k ∈ U ∩ (U − int K), mâu thuẫn với phân hoạch (2.7) Vì vậy,
(U + K) ∩ (U − int K) = ∅ Theo phân hoạch (2.7) suy ra U + K ⊂ U ∪ (U + int K).
Ta đã chứng minh được biểu thức (2.8) Biểu thức (2.9) được chứng minh hoàntoàn tương tự.
2.4Cấu trúc (Pp(Y )∞, 4K, ])
Cấu trúc (Pp(Y )∞,4K, ]) Ta giới thiệu một dạng mới của “tổng" của hai tập(được gọi là“tổng-WS") trên tập hợp Pp(Y )∞ := Pp(Y ) ∪ {{+∞Y}}, đây là mộttrong các công cụ chính để thu được các kết quả trong những phần tiếp theo.Định nghĩa 2.4.1 Cho U, V ∈ Pp(Y )∞, tổng-WS của U và V, được ký hiệu bởi
U ] V, là tập từ Pp(Y )∞ và xác định bởi
U ] V := WSup(U + V ). (2.10)
Trang 26Bổ đề 2.4.1 Cho U, V ∈ Pp(Y ) Thì
(i) Phân hoạch sau của Y thỏa:
Y = (U − int K) ∪ (U + K) = (U − K) ∪ (U + int K),(ii) U 4KV ⇐⇒ V ⊂ U + K
⇐⇒ U ⊂ V − K,
(iii) WSup U = WInf U = U.Chứng minh.
(i) Chứng minhY = (U − int K) ∪ (U + K) Với U, V ∈ Pp(Y ) Ta có phân hoạch sau:
Y = (U − int K) ∪ U ∪ (U + int K) (theo (2.7))
= (U − int K) ∪ [U ∪ (U + int K)]
= (U − int K) ∪ (U + K) (theo Mệnh đề 2.3.2(ii))Do đó, Y = (U − int K) ∪ (U + K).
Chứng minh Y = (U − K) ∪ (U + int K) Với U, V ∈ Pp(Y ) Ta có phân hoạch sau:
Y = (U − int K) ∪ U ∪ (U + int K) (theo (2.7))
= [(U − int K) ∪ U ] ∪ (U + int K)
= (U − K) ∪ (U + int K) (theo Mệnh đề 2.3.2(ii))Do đó, Y = (U − K) ∪ (U + int K).
Trang 27(iii) Vì U ∈ Pp(Y ), Y \ (U − int K) 6= ∅ (do (2.7)) Do đó, theo Mệnh đề 2.1.1(i),
WSup U 6= {+∞Y} Theo Mệnh đề 2.1.1(v), WSup U = cl(U − int K) \ (U − int K).Mặt khác, bởi U + int K mở,U − K đóng (xem (i)) Giờ ta đi chứng minh U − K
là tập con đóng nhỏ nhất của Y có chứa U − int K Giả sử rằng M là một tậpcon đóng có chứa U − int K, ta sẽ chứng minh M ⊃ U − K Lấy w ∈ U − K.Khi đó, lấy u ∈ U và k ∈ K sao cho w = u − k Chọn k0 ∈ int K Dễ thấy rằng
wn := u − k −n1k0 ∈ U − K − int K = U − int K ⊂ M với mọi n ∈N∗ và wn → w Dotính đóng của M, w ∈ M và cl(U − int K) = U − K Vì vậy, theo Mệnh đề 2.1.1(v),
WSup U = cl(U − int K) \ (U − int K) = (U − K) \ (U − int K).
Kết hợp với (2.9) Suy ra WSup U = U ∪ (U − int K) \ (U − int K) = U (lưu ý rằng
U ∩ (U − int K) = ∅) Chứng minh biểu thức WInf U = U cũng tương tự.Giờ ta đưa ra một vài tính chất của (Pp(Y )∞,4K, ]).
(i) Theo Định nghĩa 2.4.1 ta có
U ] (− bd K) = WSup(U − bd K)
Trang 28= WSup U (theo Mệnh đề 2.1.1 (vii))
= U(ii) Theo Định nghĩa 2.4.1 ta có
U ] V := WSup(U + V ) = WSup(V + U ) = V ] U(iii) Theo Mệnh đề 2.1.1(vi) và (9), ta có:
(U ] V ) ] W= WSup(WSup(U + V ) + W ) = WSup(U + V + W ) = U ] (V ] W ).(iv) V ] W := WSup(V + W ) = {+∞Y} Giả sử rằng WSup(V + W ) ⊂ Y Do đó,
V, W ⊂ Y Vì U 4KV, ta có U ⊂ Y và
U ⊂ V − K ( Bổ đề 2.4.1(ii))
=⇒ U + W ⊂ V + W − K
=⇒ WSup(U + W )4KWSup(V + W − K) ( Mệnh đề 2.3.1(iii)).
Theo Mệnh đề 2.1.1(vii), WSup(U + V − K) = WSup(U + V ) Do vậy, WSup(U +W )4KWSup(V + W ) Nói cách khác, U ] W 4KV ] W.
(v) Vì U 4KV suy ra U ] U0 4KV ] U0 Và U0 4KV0 suy ra V ] U0 4KV ] V0.Theo tính chất bắc cầu của 4K ta được U ] U04KV ] V0.
(vi) Nếu y ∈ (U ] V ) + K thì có k ∈ K sao cho (xem Mệnh đề 2.1.1(ii))
Trang 292.5Epigraph mở rộng của các ánh xạ liên hợp và tổng- củachúng
Định nghĩa 2.5.1 (a) K- epigraph mở rộng của ánh xạ liên hợp F∗ là
EpiF∗:= {(L, U ) ∈ L(X, Y ) × Pp(Y ) : L ∈ dom F∗, F∗(L)4KU }. (2.11)(b) Với M1, M2 ⊂ L(X, Y ) × Pp(Y ), tổng- của hai tập này xác định như sau:
M1M2:= {(L1+ L2, U1] U2) : (L1, U1) ∈ M1, (L2, U2) ∈ M2}. (2.12)Cụ thể, nếu F, G : X → Y• thì tổng- của EpiF∗ và EpiG∗ là
EpiF∗ EpiG∗= {(L1+ L2, U1] U2) : (L1, U1) ∈EpiF∗, (L2, U2) ∈EpiG∗}.
Hiểu một cách đơn giản rằng epigraph mở rộng của F∗, EpiF∗, là “ epigraph" của
F∗, được xét đến như một đơn ánh F∗: L(X, Y ) → (Pp(Y ),4K) và “ epigraph" ởđây được hiểu theo cách tương tự như hàm thực.
Để ý rằng từ định nghĩa của tổng- và Mệnh đề 2.4.1, tổng- có tính giao hoánvà kết hợp trên L(X, Y ) × Pp(Y ).
Chú ý rằng Epi F∗ ⊂ L(X, Y ) × Pp(Y ) trong khi epi F∗ ⊂ L(X, Y ) × Y Ta địnhnghĩa ánh xạ đa trị Ψ như sau:
Ψ : L(X, Y ) × Pp(Y )⇒L(X, Y ) × Y
(L, U )7→ Ψ(L, U ) := {L} × U. (2.13)Với M, N, Q, Mi⊂ L(X, Y ) × Pp(Y ), với mọii ∈ I (I là một tập chỉ số bất kỳ), thỏamãn
M ⊂ N=⇒Ψ(M ) ⊂ Ψ(N ), (2.14)
M ⊂ N=⇒M Q ⊂ N Q, (2.15)[
(MiN ) = [Mi
!
Trang 30Chứng minh ⊂ )Giả sử (L, y) ∈ Ψ(Epi F∗) Khi đó, tồn tại U ∈ Pp(Y ) sao cho
(L, U ) ∈ Epi F∗ và y ∈ U Vì (L, U ) ∈ Epi F∗, ta có F∗(L) 4KU Theo Bổ đề2.4.1(ii) ta có U ⊂ F∗(L) + K Do vậy, y ∈ U ⊂ F∗(L) + K Suy ra (L, y) ∈ epi F∗.
⊃ ) Giả sử (L, y) ∈ epi F∗ Khi đó y ∈ F∗(L) + K Vì WInf K = cl(K + int K) \(K + int K) = K \ (int K) = bd K ⊂ K, y + WInf K ⊂ F∗(L) + K Suy ra (L, y +WInf K) ∈ Epi F∗ Dễ thấy rằng y ∈ y + WInf K và y + WInf K ∈ Pp(Y ) Do vậy,
(L, y) ∈ Ψ(Epi F∗).
Kết hợp hai chứng minh trên, ta được điều phải chứng minh.
Chú ý 2.5.1 Quay lại với trường hợp vô hướng,khi Y = R và K = R+, ta có
Pp(Y ) = R trong khi thứ tự “ 4K” (xem (2.6)) và tổng “]” (xem (2.10)) lần lượttrở thành thứ tự thường “≤” và tổng thường “+” trên tập của các số thực mở rộng.Do vậy, L(X, Y ) × Pp(Y ) = X∗×R và tổng- được định nghĩa trong (2.12) trở
thành tổng Minkowski thường gặp của hai tập con trongX∗×R Trong trường hợp
đặc biệt này, ánh xạF trở thành một hàm thực mở rộng, và ánh xạ liên hợpF∗ trởthành hàm liên hợp thường gặp theo nghĩa của giải tích lồi Vì vậy, K- epigraphvà K- epigraph mở rộng của các ánh xạ liên hợp trở thành epigraph thường gặptheo nghĩa của giải tích lồi Ánh xạ Ψ (xác định bởi (2.13)) trong trường hợp nàylà ánh xạ đồng nhất của X∗ ×R Nói cách khác, nếu M1, M2 ⊂ X∗ ×R, ta cóΨ(M1M2) = Ψ(M1+ M2) = M1+ M2.
Trang 312.6Các bổ đề cơ bản
Cho F1, F2: X → Y• là ánh xạ K-lồi chính thường Ta nói rằng điều kiện chínhquy (C0) thỏa cho F1 và F2 (trong thứ tự) ta có:
(C0)∃bx ∈ dom F1: F2 là liên tục tại bx.
Bổ đề 2.6.1 (Bổ đề cơ bản 1) Cho F1, F2: X → Y• là các ánh xạ K-lồi chínhthường, M ⊂ Y không rỗng Giả sử điều kiện (C0) thoả cho F1 và F2 Nếu
y ∈ m + ¯L(bx) − F1(bx) − F2(bx + u) − K,∀u ∈ U
=⇒by − k ∈ m + ¯L(bx) − F1(bx) − F2(bx + u) − K,∀k ∈ int K, ∀u ∈ U=⇒ (by − k, −u) ∈ ∆,∀k ∈ int K, ∀u ∈ U ( (2.19))
=⇒ (by − int K)×(−U ) ⊂ ∆=⇒ (y − int K)×{0X} ⊂ int ∆.
Trang 32•Bước 2 Ta chứng minh rằng(¯y, 0X) 6∈ int ∆ Giả sử điều ngược lại đúng, khi đótồn tạiV ∈ NY(0Y)sao cho(¯y+V )×{0X} ⊂ ∆ Lấy¯k ∈ V ∩int K, ta được(¯y+¯k, 0X) ∈∆ Do đó tồn tạix ∈ dom F¯1 và x¯0 ∈ dom F2 sao cho y + ¯¯k ∈ ¯L(¯x) − F1(¯x) − F2(¯x0) − K
và x = ¯¯x0, mâu thuẫn với giả định y ∈ Y \ [M + ( ¯¯L − F1− F2)(X) − int K].
• Bước 3 Ứng dụng của định lý phân tách lồi Bởi tính lồi của M, F1 và F2,dễ thấy rằng ∆ là một tập con lồi của Y × X Hơn nữa, từ các bước 1 và 2tađược int ∆ 6= ∅ và (¯y, 0X) 6∈ int ∆ Theo định lý tách tập lồi ([32, Theorem 3.4]) ápdụng vào các tập lồi {(¯y, 0X)} và ∆ suy ra, sự tồn tại của một hàm khác không
• Bước 4 Định nghĩa L1, L2 và theo (2.18) Lấy k0 ∈ int K sao cho y0∗(k0) = −1
(khả dĩ do (2.22)) Ta định nghĩa
L2(u) = u∗0(u)k0, ∀u ∈ X và L1= ¯L − L2.
dễ thấy rằng L1, L2 ∈ L(X, Y ), L1+ L2= ¯L, và y0∗◦ L2 = −u∗0 Do đó, (2.21) có thểđược viết như sau y0∗(¯y) ≤ y0∗(y − L2(u)) với mọi (y, u) ∈ ∆, hay một cách tươngđương, y∗0(y − L2(u) − ¯y) ≥ 0với mọi (y, u) ∈ ∆. Do vậy, theo (2.22), y − L2(u) − ¯y 6∈int K, do đó
y /∈ y − L2(u) − int K,∀(y, u) ∈ ∆. (2.23)