Lược sử vấn đề
Lý do chọn đề tài
Tối ưu hóa, là một ngành của Toán học, có rất nhiều ứng dụng hiệu quả và rộng rãi trong quy hoạch tài nguyên, thiết kế chế tạo máy, điều khiển tự động, quản trị kinh doanh, kiến trúc đô thị, công nghệ thông tin, trong việc tạo nên các hệ hỗ trợ ra quyết định trong quản lý và phát triển các hệ thống lớn.
Do đó mô hình và các phương pháp tối ưu đóng vai trò quan trọng trong toán ứng dụng Nhu cầu học tập, giảng dạy ở bậc sau đại học và nghiên cứu ứng dụng các phương pháp tối ưu ngày càng được quan tâm và phát triển ở hầu hết các trường đại học ở Việt Nam và trên thế giới Cùng với việc nghiên cứu lý thuyết, việc nghiên cứu ứng dụng toán học để phân tích và giải quyết các bài toán nảy sinh từ thực tiễn luôn là vấn đề thời sự.
Bổ đề Farkas được đưa ra đầu tiên vào năm 1894 bởi nhà toán học và vật lý học người Hungary - Gyula Farkas khi ông nghiên cứu bài toán moment trong cơ khí Những dạng mở rộng của Bổ đề Farkas trong không gian vô hạn chiều hoặc cho hệ phi tuyến thường được thiết lập trong điều kiện chính quy nào đó Mặt khác, trong những năm gần đây đã xuất hiện một số dạng mở rộng Bổ đề Farkas không có điều kiện chính quy gọi là các bổ đề Farkas dạng tiệm cận Tuy nhiên, vẫn còn nhiều vấn đề, câu hỏi mở chưa được giải chẳng hạn như Bổ đề Farkas có thể được thiết lập cho các hệ bất đẳng thức liên quan hàm hợp, cho các hệ liên quan đến các hàm vectơ Các kết quả này nếu thiết lập được thì sẽ hữu ích trong việc nghiên cứu lớp bài toán liên quan hàm hợp hoặc bài toán tối ưu vectơ.
Từ nhận định trên, trong luận án này chúng tôi đặt kế hoạch nghiên cứu vấn đề sau: đối ngẫu mạnh cho bài toán tối ưu vectơ sử dụng bổ đề Farkas.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Ý nghĩa khoa học: Đề tài cung cấp một số dạng mở rộng của bổ đề Farkas cho hệ hàm vectơ và ứng dụng các kết quả này vào việc nghiên cứu kết quả đối ngẫu mạnh cho bài toán tối ưu vectơ với nghiệm hữu hiệu yếu. Ý nghĩa thực tiễn: Nhiều bài toán trong kinh tế có mô hình toán là bài toán tối ưu vectơ Đề tài cung cấp cơ sở lý thuyết giúp ích cho các nhà toán học thiết kế được các thuật toán để giải các lớp bài toán nêu trên.
Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm các tài liệu liên quan, đọc hiểu, phân tích, tổng hợp và trình bày lại.
Giới thiệu vấn đề
Chúng ta xét bài toán tối ưu vectơ có dạng:
(VP) WInf {F (x) : x ∈ C, G(x) ∈ −S}. trong đó X, Y, Z là các không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, F : X →
Y ∪ {+∞ Y } và G : X → Z ∪ {+∞ Z } là các ánh xạ chính thường, C là một tập con lồi, đóng, không rỗng của X, và S là nón lồi, đóng trong Z ChoA := C ∩ G −1 (−S) và giả sử A ∩ dom F 6= ∅ Trong luận văn này, chúng ta xét bài toán (VP) với dữ liệu(F ; G, C ).
Trong trường hợp đặc biệt Y =R, bài toán (VP) quy về bài toán vô hướng
Nhiều bài toán đối ngẫu của (VP) được định nghĩa trong các công trình khác nhau (xem [4, 8, 9, 11, 12, 16, 15, 22, 23, 26, 29, 31, 33]) Tuy nhiên rất nhiều trong số đó, bài toán đối ngẫu này khi quy về trường hợp đặc biệt Y =R chỉ dẫn tới kết quả là bài toán đối ngẫu Lagrange của (P):
Do đó, các kết quả đối ngẫu mạnh đưa ta trở lại với đối ngẫu Lagrange mạnh cho (P) Trong [9, trang 338, 373], tác giả đã giới thiệu một vài dạng bài toán đối ngẫu cho các bài toán tối ưu đa trị mà khi Y = R quay về vài dạng bài toán đối ngẫu Fenchel cho (P) Tuy nhiên, chỉ một vài bài toán đối ngẫu cho (VP) trong các tài liệu mà có thể dẫn tới kết quả là các bài toán đối ngẫu Fenchel hoặc Fenchel-Lagrange cho (P) dưới đây:
[−f ∗ (x ∗ ) − i ∗ C (u ∗ ) − (λG) ∗ (−x ∗ − u ∗ )], trong đó i C là hàm chỉ của C.
Khó khăn lớn nhất cho các lớp bài toán vectơ là các biểu diễn của epigraph của các ánh xạ liên hợp (trong trường hợp này là các hàm đa trị) trở nên rất phức tạp và sẽ cực kỳ khó để thu được một vài dạng đơn giản như đối với bài toán vô hướng (P).
Mục tiêu của luận văn này là giới thiệu một cách giải quyết khó khăn vừa nêu và từ đó đề xuất những cách biểu diễn mới của các epigraph của các ánh xạ liên hợp Từ đó định nghĩa một số dạng bài toán đối ngẫu cho (VP) (còn được gọi là những toán đối ngẫu Lagrange và Fenchel-Lagrange cho (VP)) mở rộng bài toán đối ngẫu (D 2 ) và(D 3 ) sang hệ các hàm vectơ Nói cách khác, các bài toán đối ngẫu Lagrange và Fenchel-Lagrange trong trường hợp Y =R sẽ trở thành các bài toán đối ngẫu tương ứng (D 1), (D 2), và (D 3) cho (P).
Luận văn này được trình bày theo các chương mục sau:
CHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị.
CHƯƠNG 2: Các bổ đề cơ bản.
CHƯƠNG 3: Epigraph của ánh xạ liên hợp.
CHƯƠNG 4: Bổ đề Farkas mở rộng cho các hệ vectơ.
CHƯƠNG 5:Đối ngẫu Lagrange và Fenchel-Lagrange cho bài toán tối ưu vectơ.
Kế tiếp sẽ là phần kết luận và tiếp theo là danh mục các tài liệu tham khảo.
Trong chương này sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi, tối ưu lồi, đã được được chứng minh trong các tài liệu tham khảo.
Tập lồi
Định nghĩa 1.1.1: Tập A ⊂ X gọi là tập lồi trong X nếu với mọi x, y ∈ A, mọi λ ∈ [0, 1] thì: λx + (1 − λ)y ∈ A.
Nhận xét: Giao của một họ các tập lồi là một tập lồi Ta gọi bao lồi của một tập A ⊂ X, ký kiệu co(A), là giao của tất cả các tập lồi chứa A Từ định nghĩa ta có co(A) là tập lồi bé nhất chứa A Ta có: co(A) =
A là tập lồi khi và chỉ khi A =co(A).
Nhận xét: Nếu hai tậpA, B là tập lồi thì với mọi α ∈R các tập A + B, αA cũng lồi.
Tập affine
Định nghĩa 1.2.1: Tập U ⊂ X dược gọi là tập affine nếu
Nhận xét: Giao của một họ các tập affine cũng là một tập affine.
Cho tập A ⊂ X, ta gọi bao affine của A, ký hiệu aff(A), là giao của mọi tập affine chứa A Từ định nghĩa ta có aff(A) là tập affine bé nhất chứa A Tập A gọi là một đa tạp affine khi và chỉ khi Af(A) hay:
Nón lồi
Một tập K ⊂ X gọi là một nón trong X nếu
Khi K là tập lồi trong X thì nón K được gọi là nón lồi.
Nhận xét: Giao của một họ các nón lồi là một nón lồi.
Ta gọi bao nón lồi của một tập K ⊂ X, ký hiệu coneK, là giao của tất cả các nón lồi chứa K K là nón lồi khi và chỉ khi K =cone(K), nghĩa là:
Nếu K 1 , K 2 là các nón lồi thì K 1 + K 2 =co(K 1 ∪ K 2 ).
Gọi S là một nón lồi trên Z, nghĩa là S là một tập lồi và:
Khi đó Z sẽ được sắp thứ tự bằng quan hệ sau: u6S z ⇔ z − u ∈ S, ∀u, z ∈ Z.
Nón đối ngẫu của S, ký hiệu S + được định nghĩa là:
Hàm lồi
Định nghĩa hàm lồi
Cho X là một không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff và f : X →R Các tập hợp: domf := {x ∈ X, f (x) < +∞} , epif := {(x, γ) ∈ X ×R |f (x) 6 γ } , được gọi lần lượt là miền hữu hiệu và epigraph của f Hàm f được gọi là chính thường nếu: domf 6= ∅ và f(x) > −∞, với mọi x ∈ X Hàm f được gọi là hàm lồi nếu epif là tập lồi trong X ×R.
Các phép toán trên hàm lồi
a f 1 , f 2 là các hàm lồi chính thường thì λ 1 f 1 + λ 2 f 2 , với λ 1 , λ 2 > 0 cũng lồi. b Bao lồi của f, ký hiệu cof được định nghĩa như sau: cof (x) := inf x∈X {γ ∈R |(x, γ) ∈ co(epi f )}
Các định lý tách
Định nghĩa 1.5.1 Cho hai tập C và D khác rỗng, ta nói siêu phẳng a T x = α tách C và D nếu a T x6 α 6 a T y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D
Ta nói siêu phẳng a T x = α tách chặt C và D nếu A T x = α tách C và D nếu a T x < α < a T y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D.
Ta nói siêu phẳng a T x = α tách mạnh C và D nếu sup x∈C a T x < α < inf y∈D a T y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D. Định lý 1.5.1 (Định lý tách 1.) Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong R n sao cho C ∩ D = ∅ Khi đó có một siêu phẳng tách C và D. Định lý 1.5.2 (Định lý tách 2.) Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng sao cho C ∩ D = ∅ Giả sử có ít nhất một tập là com-pắc Khi đó hai tập này có thể tách mạnh được bởi một siêu phẳng.
Hàm liên hợp
Cho X là không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff và hàm f : X →R ∪ {+∞} Hàm f ∗ : X ∗ →R ∪ {+∞}, f ∗ (x ∗ ) = sup x∈X
{hx ∗ , xi − f(x)} , được gọi là liên hợp Fenchel của hàm f Khi f chính thường ta có: f ∗ (x ∗ ) = sup x∈domf
{hx ∗ , xi − f(x) } Liên hợp của hàm h: X ∗ →R ∪ {+∞} cũng được định nghĩa tương tự h ∗ (x) = sup x ∗ ∈X ∗
Ánh xạ và Nón của các Toán tử dương
Cho F : X → Y • là một ánh xạ Miền, dom F, và K- epigraph của F, epi K F, được định nghĩa lần lượt: dom F := {x ∈ X : F (x) 6= +∞ Y }, epi K F := {(x, y) ∈ X × Y : F (x)5K y}.
F được gọi là chính thường nếu dom F 6= ∅ và −∞ Y ∈ / F (X) F được gọi là K-lồi (tương tự, K-epi đóng) nếu epi K F là một tập con lồi của X × Y (tương tự,epi K F là tập con đóng của không gian tích X × Y, [7], [30, Definition 5.1]).
Khái niệm K-epi đóng mở rộng khái niệm nltd của một hàm thực Ánh xạ F được gọi là K-nltd dương nếuy ∗ ◦F là nltd với mọiy ∗ ∈ K + (xem [5], [6, Definition 2.16]) 1 Theo [30, Định lý 5.9], mọi ánh xạ K-nltd dương làK-epi đóng nhưng điều
1 Khái niệm này được sử dụng trong [7] và [25] như “star K-là nltd”. ngược lại thì không đúng Hơn nữa, khi Y =R, ba khái niệm nltd ,R+-nltd dương, và R+-epi đóng là trùng nhau.
Ký hiệu L(X, Y ) cho không gian của tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X đếnY vớitôpô hội tụ từng điểm, nếu(L i ) i∈I ⊂ L(X, Y )vàL ∈ L(X, Y ),L i → Ltrong L(X, Y ) nghĩa là L i (x) → L(x) trong Y với mọi x ∈ X Phần tử không của L(X, Y ) là 0 L Cho S là nón lồi không rỗng trong Z Cần nhớ rằng nón của các toán tử dương(xem [3, 27]) được định nghĩa bởiL + (S, K) := {T ∈ L(Z, Y ) : T (S) ⊂ K } Khi
Y =R, nón này trở thành nón đối ngẫu dương S + := {z ∗ ∈ Z ∗ : hz ∗ , si ≥ 0, ∀s ∈ S} của S.
Các ánh xạ liên hợp của các hàm vectơ Khái niệm ánh xạ liên hợp của một ánh xạ sau đây được suy ra từ khái niệm tương ứng cho ánh xạ đa trị trong [9,Definition 7.4.2] và [31, Definition 3.1].
CÁC BỔ ĐỀ CƠ BẢN
Thứ tự trên Y
Cho X, Y, Z là các không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff và các không gian đối ngẫu tôpô của chúng được ký hiệu lần lượt bởi X ∗ , Y ∗ và Z ∗ Tôpô duy nhất chung ta xét đến trên các không gian đối ngẫu là tôpô yếu* Đối với tập
U ⊂ X, int U, cl U, bd U, co U, lin U, aff U, và cone U lần lượt ký hiệu cho phần trong, bao đóng, biên, bao lồi, bao tuyến tính, bao affine , và bao nón của U Với mỗi x ∈ X, ta ký hiệu N X (x) là tập tất cả các lân cận củax trong X Giả sử rằng
W là một không gian con tôpô của X Với A ⊂ W, ký hiệuint W A cho phần trong của A ứng với tôpô cảm sinh trong trong W Cho K là nón lồi, đóng và chính thường trong Y với phần trong không rỗng, tức là, int K 6= ∅ Cần chú ý là
K + int K = int K (2.1) tương đương với y ∈ K y + y 0 ∈ / K
Thứ tự yếu sinh bởi một nón lồi: Infimum yếu và Supremum yếu.Ta định nghĩa thứ tự yếu trong Y được sinh bởi K như sau: với mọi y 1 , y 2 ∈ Y, y 1 < K y 2 ⇐⇒ y 1 − y 2 ∈ − int K (2.3)
Trong Y ta cũng xét đến thứ tự thường gặp được sinh bởi nón K, 5K, được định nghĩa bởi y 1 5K y 2 khi và chỉ khi y 1 − y 2 ∈ −K, với y 1 , y 2 ∈ Y.
Ta mở rộng Y bằng cách thêm vào phần tử lớn nhất +∞ Y và phần tử bé nhất
−∞ Y ứng với thứ tự < K , các phần tử này không thuộc vào Y, và ta ký hiệu
Y • := Y ∪ {−∞ Y , +∞ Y } Ta giả sử rằng −∞ Y < K y < K +∞ Y với mọi y ∈ Y và
Các tổng (−∞ Y ) + (+∞ Y ) và (+∞ Y ) + (−∞ Y ) không được xét đến trong luận văn này.
Các khái niệm sau là những trọng tâm trong luận văn. Định nghĩa 2.1.1 ([9, Định nghĩa 7.4.1], [31]) Cho M ⊂ Y •
(a) Phần tử v ¯ ∈ Y • được gọi là phần tử Infimum yếu củaM nếu với mọi v ∈ M ta có v 6< K v ¯ và nếu với mọi v ˜ ∈ Y • sao cho v < ¯ K v ˜, thì tồn tại v ∈ M thoả mãn v < K v ˜ Tập tất cả các phần tử thập phân yếu của M được ký hiệu bởiWInf M và được gọi là infimum yếu của M.
(b) Phần tửv ¯ ∈ Y • được gọi làphần tử Supremum yếu củaM nếu với mọiv ∈ M ta có v ¯ 6< K v và nếu với mọi v ˜ ∈ Y • sao cho v < ˜ K v ¯, thì tồn tại v ∈ M thoả mãn ˜ v < K v Tập tất cả các phần tử supremum yếu của M được ký hiệu bởi WSup M và được gọi là supremum yếu của M.
(c) Minimum yếu của M là tập WMin M = M ∩ WInf M và các phần tử của nó là các phần tử minimum yếu của M.
(d) Maximum yếu của M là tập WMax M = M ∩ WSup M và các phần tử của nó là là các phần tử maximum yếu củaM.
Mệnh đề 2.1.1 Cho ∅ 6= M ⊂ Y • Ta có:
(i) WSup M 6= {+∞ Y } khi và chỉ khi Y \ (M − int K ) 6= ∅.
(ii) Với mọi y ∈ Y, WSup(y + M ) = y + WSup M.
Giả sử rằng M ⊂ Y và WSup M 6= {+∞ Y } thì ta có:
(iv) Phân hoạch sau đây của Y thỏa
(vi) WSup(WSup M + WSup N ) = WSup(M + WSup N ) = WSup(M + N ).
(vii) Nếu 0 Y ∈ N ⊂ −K thì WSup(M + N ) = WSup M.
Cụ thể, ta có WSup(M − K ) = WSup(M − bd K) = WSup M.
Chứng minh Các khẳng định (i) - (v) được trích từ [12] và [16] trong khi (vi) được trích từ [9, Mệnh đề 7.4.3] (xem thêm [31, Mệnh đề 2.6]).
(vii) Nếu 0 Y ∈ N ⊂ −K thì dễ thấy rằng M + N − int K = M − int K Từ (v), ta được WSup(M + N ) = WSup M Hơn nữa, vì 0 Y ∈ − bd K ⊂ −K, lấy N = − bd K và N = −K Ta được WSup(M − K ) = WSup(M − bd K) = WSup M.
Mệnh đề 2.1.2 Cho ∅ 6= M ⊂ Y • Khi đó, chỉ xảy ra một trong ba trường hợp sau: WSup M = {+∞ Y }, WSup M = {−∞ Y }, và ∅ 6= WSup M ⊂ Y.
Chứng minh Giả sử rằngWSup M 6= {+∞ Y }và WSup M 6= {−∞ Y } Từ định nghĩa 2.1.1 (b), nếu M 3 +∞ Y thì WSup M = {+∞ Y } và WSup{−∞ Y } = {−∞ Y } Giả sử rằng M 63 +∞ Y và M 6= {−∞ Y }, từ đó suy ra ∅ 6= M \ {−∞ Y } ⊂ Y (lưu ý rằng
M 6= ∅) Mặt khác, từ Định nghĩa 2.1.1 (b) ta cóWSup M = WSup M \ {−∞ Y } Do vậy, thay thế M bởi M \ {−∞ Y } nếu cần, ta có thể giả sử rằng ∅ 6= M ⊂ Y. Áp dụng Mệnh đề 2.1.1(iii) và (v) (lưu ý rằng WSup M 6= {+∞ Y }), ta được WSup M 6= ∅ và WSup M ⊂ Y.
Chú ý 2.1.1 Cần chú ý rằng WInf M = − WSup(−M ) với mọi M ⊂ Y • Do vậy,các Mệnh đề 2.1.1 và 2.1.2 vẫn thỏa mãn khi WSup, +∞ Y , K, và int K lần lượt được thay thế bằng WInf, −∞ Y , −K, và − int K.
Ánh xạ liên hợp và tính chất
Định nghĩa 2.2.1 Với F : X → Y ∪ {+∞ Y }, ánh xạ đa trị F ∗ : L(X, Y ) ⇒ Y • được xác định bởi F ∗ (L) := WSup{L(x) − F (x) : x ∈ X}được gọi là ánh xạ liên hợp của F K- epigraph và miền xác định của F ∗ lần lượt là, epi K F ∗ :=
Nếu F : X → Y ∪ {+∞ Y } là ánh xạ chính thường thì epi F ∗ là tập con đóng của L(X, Y ) × Y (xem [12, Lemma 3.5]) Hơn nữa, ta có tính chất quan trọng sau đây của epi K F ∗ (xem [13, Theorem 3.1]) :
Với tập con D ⊂ X, ánh xạ chỉ I D X : X → Y • xác định bởi I D X (x) = 0 Y nếu x ∈ D và I D X (x) = +∞ Y trong trường hợp còn lại Nón K trong Y là cố định trong xuyên suốt luận văn, để đơn giản hoá, từ bây giờ ta sẽ viết epi F và epi F ∗ lần lượt thay cho epi K F và epi K F ∗ Tương tự, ta sẽ viết I D thay cho I D X nếu như không gây ra sự khó hiểu.
Thứ tự trên các tập con của Y
Trong phần này, ta giới thiệu không gian được sắp thứ tự (P p (Y ) • ,4K ) và cấu trúc (P p (Y ) ∞ ,4K , ]) với một thứ được gọi là “tổng-WS" Các khái niệm mới của epigraph mở rộng của ánh xạ liên hợp và một toán tử mới trên các tập này, được gọi là tổng- Tiếp theo, ta chứng minh hai bổ đề cơ bản (đóng vai trò như những công cụ chủ yếu để thu được các kết quả) Bổ đề 2.6.3 thiết lập mối quan hệ giữa epigraph "thường" (định nghĩa trong Phần 2.1) của liên hợp của một tổng của hai ánh xạ và tổng- của hai epigraph mở rộng của các liên hợp của hai ánh xạ đó. Không gian được sắp thứ tự (P p (Y ) • ,4K ).Cho P 0 (Y • )là tập hợp tất cả các tập con không rỗng của Y • Thứ tự “4K” trên P 0 (Y • ) được định nghĩa [16] như sau, với M, N ∈ P 0 (Y • ),
M 4K N ⇐⇒ (v 6< K u, ∀u ∈ M, ∀v ∈ N ) (2.6) Mệnh đề 2.3.1 (i) Với mọi ∅ 6= M, N ⊂ Y, ta có:
(ii) Với mọi M ∈ P 0 (Y • ), ta có WInf M 4K M và M 4K WSup M.
(iii) Nếu M ⊂ N ⊂ Y • thì WSup M 4K WSup N.
Tiếp theo ta chứng minh M 4K N ⇐⇒ M ∩ (N + int K) = ∅ Thật vậy, ta có:
(ii) Lấy u ∈ WInf M và v ∈ M Theo Định nghĩa 2.1.1 (a), vì u ∈ WInf M nên v ≮K u, ∀u ∈ WInf M, ∀v ∈ M Suy ra,WInf M 4K M Chứng minhM 4K WSup M hoàn toàn tương tự.
(iii) Nếu M = ∅ hoặc WSup N = {+∞} thì kết luận hiển nhiên đúng.
Giả sử M 6= ∅ và WSup N 6= {+∞ Y } Vì WSup M ∈ Y • và WSup N ⊂ Y • Theo Mệnh đề 2.1.1(iv), ta được (WSup N ) ∩ (N − int K) = ∅.MàM ⊂ N nên(WSup N ) ∩ (M − int K) = ∅.Theo Mệnh đề 2.1.1(iii), ta có(M −int K) = (WSup M − int K).Suy ra,WSup N ∩(WSup M −int K ) = ∅ Theo 2.3.1(i), suy raWSup M 4K WSup N.
Tập con U ⊂ Y được gọi là(Y, K)-một tập con kiểu phân hoạch của Y nếu phân hoạch sau của Y thỏa mãn:
Ký hiệu P p (Y ) cho tập hợp tất cả (Y, K)- tập con kiểu phân hoạch của Y và tập
Dễ thấy, nếu M ⊂ Y • thì ± WSup M ∈ P p (Y ) • , ± WInf M ∈ P p (Y ) • và (theo (2.6)), với mọi U ∈ P p (Y ), ta có U 4K {+∞ Y } và {−∞ Y }4K U Hơn nữa, (P p (Y ) • ,4K ) là một không gian được sắp thứ tự [16], tức là P p (Y ) • được sắp một phần theo thứ tự đó với các tính chất sau: phản xạ, phản xứng, và bắc cầu.
Mệnh đề 2.3.2 Cho U, V ∈ P p (Y ) • Khi đó
(i) Kết luận hiển nhiên đúng nếuU, V là{+∞ Y }hoặc{−∞ Y } Giả sửU, V ∈ P p (Y ) • và U, V ⊂ Y Ta có phân hoạch sau:
Vì U ⊂ V, ta có (U − int K ) ⊂ (V − int K) và (U + int K ) ⊂ (V + int K) Do đó,
(ii) Lấy U ∈ P p (Y ) Dễ thấy rằng U + K ⊃ U ∪ (U + int K ) Tiếp theo, ta cần chứng minh (U + K) ∩ (U − int K ) = ∅ Thật vậy, giả sử điều ngược lại là (U + K) ∩ (U − int K) 6= ∅ Khi đó, tồn tại u, v ∈ U, k ∈ K, và k 0 ∈ int K sao cho u + k = v − k 0
Do đó, u = v − k 0 − k ∈ U ∩ (U − int K ), mâu thuẫn với phân hoạch (2.7) Vì vậy, (U + K ) ∩ (U − int K) = ∅ Theo phân hoạch (2.7) suy ra U + K ⊂ U ∪ (U + int K).
Ta đã chứng minh được biểu thức (2.8) Biểu thức (2.9) được chứng minh hoàn toàn tương tự.
Cấu trúc (P p (Y ) ∞ , 4 K , ])
Cấu trúc (P p (Y ) ∞ ,4K , ]) Ta giới thiệu một dạng mới của “tổng" của hai tập (được gọi là“tổng-WS") trên tập hợp P p (Y ) ∞ := P p (Y ) ∪ {{+∞ Y }}, đây là một trong các công cụ chính để thu được các kết quả trong những phần tiếp theo. Định nghĩa 2.4.1 Cho U, V ∈ P p (Y ) ∞ , tổng-WS của U và V, được ký hiệu bởi
U ] V, là tập từ P p (Y ) ∞ và xác định bởi
(i) Phân hoạch sau của Y thỏa:
(i) Chứng minhY = (U − int K) ∪ (U + K) Với U, V ∈ P p (Y ) Ta có phân hoạch sau:
= (U − int K) ∪ (U + K) (theo Mệnh đề 2.3.2(ii))
Chứng minh Y = (U − K) ∪ (U + int K ) Với U, V ∈ P p (Y ) Ta có phân hoạch sau:
= (U − K) ∪ (U + int K) (theo Mệnh đề 2.3.2(ii))
Theo Mệnh đề 2.3.1(i) ta cóU 4K V ⇐⇒ V ∩ (U − int K) = ∅.Mà Y = (U − int K) ∪ (U + K ) nên V ⊂ U + K Suy ra, U 4K V ⇐⇒ V ⊂ U + K.
Theo Mệnh đề 2.3.1(i) ta có U 4K V ⇐⇒ U ∩ (V + int K) = ∅ Mà Y = (V − K) ∪(V + int K) nên U ⊂ V − K Suy ra, U 4K V ⇐⇒ U ⊂ V − K.
(iii) Vì U ∈ P p (Y ), Y \ (U − int K ) 6= ∅ (do (2.7)) Do đó, theo Mệnh đề 2.1.1(i), WSup U 6= {+∞ Y } Theo Mệnh đề 2.1.1(v), WSup U = cl(U − int K) \ (U − int K). Mặt khác, bởi U + int K mở,U − K đóng (xem (i)) Giờ ta đi chứng minh U − K là tập con đóng nhỏ nhất của Y có chứa U − int K Giả sử rằng M là một tập con đóng có chứa U − int K, ta sẽ chứng minh M ⊃ U − K Lấy w ∈ U − K. Khi đó, lấy u ∈ U và k ∈ K sao cho w = u − k Chọn k 0 ∈ int K Dễ thấy rằng w n := u − k − n 1 k 0 ∈ U − K − int K = U − int K ⊂ M với mọi n ∈N ∗ và w n → w Do tính đóng của M, w ∈ M và cl(U − int K) = U − K Vì vậy, theo Mệnh đề 2.1.1(v),
WSup U = cl(U − int K ) \ (U − int K) = (U − K) \ (U − int K).
Kết hợp với (2.9) Suy ra WSup U = U ∪ (U − int K) \ (U − int K) = U (lưu ý rằng
U ∩ (U − int K ) = ∅) Chứng minh biểu thức WInf U = U cũng tương tự.
Giờ ta đưa ra một vài tính chất của (P p (Y ) ∞ ,4K , ]).
Mệnh đề 2.4.1 Cho U, V, W, U 0 , V 0 ∈ P p (Y ) ∞ , y ∈ Y Ta có
(iv) Nếu U 4K V thì U ] W 4K V ] W (tương thích của tổng ] với 4K),
(vi) y ∈ (U ] V ) + K khi và chỉ khi tồn tại W 0 ∈ P p (Y ) sao cho U 4K W 0 và y ∈ W 0 ] V.
(i) Theo Định nghĩa 2.4.1 ta có
= WSup U (theo Mệnh đề 2.1.1 (vii))
(ii) Theo Định nghĩa 2.4.1 ta có
(iii) Theo Mệnh đề 2.1.1(vi) và (9), ta có:
(iv) V ] W := WSup(V + W ) = {+∞ Y } Giả sử rằng WSup(V + W ) ⊂ Y Do đó,
= ⇒ WSup(U + W )4K WSup(V + W − K ) ( Mệnh đề 2.3.1(iii)).
Theo Mệnh đề 2.1.1(vii), WSup(U + V − K ) = WSup(U + V ) Do vậy, WSup(U +
(v) Vì U 4K V suy ra U ] U 0 4K V ] U 0 Và U 0 4K V 0 suy ra V ] U 0 4K V ] V 0 Theo tính chất bắc cầu của 4K ta được U ] U 0 4K V ] V 0
(vi) Nếu y ∈ (U ] V ) + K thì có k ∈ K sao cho (xem Mệnh đề 2.1.1(ii)) y ∈ (U ] V ) + k = WSup(U + V ) + k = WSup(U + V + k) = (k + U ) ] V.
Do vậy, nếu ta đặt W 0 = k + U thì W 0 ∈ P p (Y ), y ∈ W 0 ] V, và W 0 ⊂ U + K Theo
Ngược lại, nếu tồn tại W 0 ∈ P p (Y ) sao cho U 4K W 0 thì U ] V 4K W 0 ] V (theo (iv)) Do vậy, nếu y ∈ W 0 ] V nghĩa là W 0 ] V 6= {+∞} Do đó, theo Bổ đề 2.4.1(ii)
Epigraph mở rộng của các ánh xạ liên hợp và tổng- của chúng 20
chúng Định nghĩa 2.5.1 (a) K- epigraph mở rộng của ánh xạ liên hợp F ∗ là
EpiF ∗ := {(L, U) ∈ L(X, Y ) × P p (Y ) : L ∈ dom F ∗ , F ∗ (L)4K U} (2.11) (b) Với M 1 , M 2 ⊂ L(X, Y ) × P p (Y ), tổng- của hai tập này xác định như sau:
Cụ thể, nếu F, G : X → Y • thì tổng- của EpiF ∗ và EpiG ∗ là
Hiểu một cách đơn giản rằng epigraph mở rộng của F ∗ , EpiF ∗ , là “ epigraph" của
F ∗ , được xét đến như một đơn ánh F ∗ : L(X, Y ) → (P p (Y ),4K ) và “ epigraph" ở đây được hiểu theo cách tương tự như hàm thực. Để ý rằng từ định nghĩa của tổng- và Mệnh đề 2.4.1, tổng- có tính giao hoán và kết hợp trên L(X, Y ) × P p (Y ).
Chú ý rằng Epi F ∗ ⊂ L(X, Y ) × P p (Y ) trong khi epi F ∗ ⊂ L(X, Y ) × Y Ta định nghĩa ánh xạ đa trị Ψ như sau: Ψ : L(X, Y ) × P p (Y )⇒ L(X, Y ) × Y
Với M, N, Q, M i ⊂ L(X, Y ) × P p (Y ), với mọii ∈ I (I là một tập chỉ số bất kỳ), thỏa mãn
Quan hệ giữa Epi F ∗ và epi F ∗ được trình bày trong mệnh đề tiếp theo.
Mệnh đề 2.5.1 Cho F : X → Y • là một ánh xạ chính thường Thì Ψ(Epi F ∗ ) = epi F ∗
Chứng minh ⊂ )Giả sử (L, y) ∈ Ψ(Epi F ∗ ) Khi đó, tồn tại U ∈ P p (Y ) sao cho (L, U ) ∈ Epi F ∗ và y ∈ U Vì (L, U) ∈ Epi F ∗ , ta có F ∗ (L) 4K U Theo Bổ đề 2.4.1(ii) ta có U ⊂ F ∗ (L) + K Do vậy, y ∈ U ⊂ F ∗ (L) + K Suy ra (L, y) ∈ epi F ∗
⊃ ) Giả sử (L, y) ∈ epi F ∗ Khi đó y ∈ F ∗ (L) + K Vì WInf K = cl(K + int K) \ (K + int K) = K \ (int K) = bd K ⊂ K, y + WInf K ⊂ F ∗ (L) + K Suy ra (L, y + WInf K) ∈ Epi F ∗ Dễ thấy rằng y ∈ y + WInf K và y + WInf K ∈ P p (Y ) Do vậy, (L, y) ∈ Ψ(Epi F ∗ ).
Kết hợp hai chứng minh trên, ta được điều phải chứng minh.
Chú ý 2.5.1 Quay lại với trường hợp vô hướng,khi Y = R và K = R+, ta có
P p (Y ) = R trong khi thứ tự “4K” (xem (2.6)) và tổng “]” (xem (2.10)) lần lượt trở thành thứ tự thường “≤” và tổng thường “+” trên tập của các số thực mở rộng.
Do vậy, L(X, Y ) × P p (Y ) = X ∗ ×R và tổng- được định nghĩa trong (2.12) trở thành tổng Minkowski thường gặp của hai tập con trongX ∗ ×R Trong trường hợp đặc biệt này, ánh xạF trở thành một hàm thực mở rộng, và ánh xạ liên hợpF ∗ trở thành hàm liên hợp thường gặp theo nghĩa của giải tích lồi Vì vậy, K- epigraph và K- epigraph mở rộng của các ánh xạ liên hợp trở thành epigraph thường gặp theo nghĩa của giải tích lồi Ánh xạ Ψ (xác định bởi (2.13)) trong trường hợp này là ánh xạ đồng nhất của X ∗ ×R Nói cách khác, nếu M 1 , M 2 ⊂ X ∗ ×R, ta có Ψ(M 1 M 2 ) = Ψ(M 1 + M 2 ) = M 1 + M 2
Các bổ đề cơ bản
Cho F 1 , F 2 : X → Y • là ánh xạ K-lồi chính thường Ta nói rằng điều kiện chính quy (C 0 ) thỏa cho F 1 và F 2 (trong thứ tự) ta có:
(C 0 ) ∃b x ∈ dom F 1 : F 2 là liên tục tại b x
Bổ đề 2.6.1 (Bổ đề cơ bản 1) Cho F 1 , F 2 : X → Y • là các ánh xạ K-lồi chính thường, M ⊂ Y không rỗng Giả sử điều kiện (C 0 ) thoả cho F 1 và F 2 Nếu ¯ y ∈ Y \ [M + ( ¯ L − F 1 − F 2 )(X) − int K] với L ¯ ∈ L(X, Y ), thì tồn tại L 1 , L 2 ∈ L(X, Y ) sao cho L 1 + L 2 = ¯ L, WSup[M + (L 1 −
F 1 )(X) + (L 2 − F 2 )(X)] 6= {+∞} và ¯ y / ∈ M + (L 1 − F 1 )(X) + (L 2 − F 2 )(X) − int K (2.18) Chứng minh Ta đặt
•Bước 1 Đầu tiên ta chứng minh rằng cób y ∈ Y sao cho(b y−int K ) ×{0 X } ⊂ int ∆ Chọn k ¯ ∈ int K, dễ thấy rằng F 2 (b x) + ¯ k − K ∈ N Y (F 2 ( b x)) Do vậy, bởi (C 0 ), ta có
Ta lấy b y := m + ¯ L( b x) − F 1 ( b x) − F 2 ( b x) − k ¯ với m ∈ M thì: by ∈ m + ¯ L(b x) − F 1 ( b x) − F 2 ( b x + u) − K, ∀u ∈ U
•Bước 2 Ta chứng minh rằng(¯ y, 0 X ) 6∈ int ∆ Giả sử điều ngược lại đúng, khi đó tồn tạiV ∈ N Y (0 Y )sao cho(¯ y+V ) ×{0 X } ⊂ ∆ Lấy ¯ k ∈ V ∩int K, ta được(¯ y+¯ k, 0 X ) ∈
∆ Do đó tồn tạix ¯ ∈ dom F 1 và x ¯ 0 ∈ dom F 2 sao cho y ¯ + ¯ k ∈ L(¯ ¯ x) − F 1 (¯ x) − F 2 (¯ x 0 ) − K và x ¯ = ¯ x 0 , mâu thuẫn với giả định y ¯ ∈ Y \ [M + ( ¯ L − F 1 − F 2 )(X) − int K ].
• Bước 3 Ứng dụng của định lý phân tách lồi Bởi tính lồi của M, F 1 và F 2 , dễ thấy rằng ∆ là một tập con lồi của Y × X Hơn nữa, từ các bước 1 và 2ta được int ∆ 6= ∅ và (¯ y, 0 X ) 6∈ int ∆ Theo định lý tách tập lồi ([32, Theorem 3.4]) áp dụng vào các tập lồi {(¯ y, 0 X )} và ∆ suy ra, sự tồn tại của một hàm khác không (y 0 ∗ , u ∗ 0 ) ∈ Y ∗ ×X ∗ thoả mãn y 0 ∗ (¯ y) < y ∗ 0 (y) + u ∗ 0 (u), ∀(y, u) ∈ int ∆, (2.20)
Lấyk 0 ∈ int K Theo Bước 1, cób y ∈ Y sao cho(b y−int K) ×{0 X } ⊂ int ∆ Mặt khác, do [11, Lemma 2.1(i)], cúà > 0 sao choy ¯ − àk 0 ∈b y − int K Do đú,(¯ y − àk 0 , 0 X ) ∈ int ∆, cựng với (2.20), dẫn tới y 0 ∗ (¯ y) < y ∗ 0 (¯ y − àk 0 ), or y 0 ∗ (k 0 ) < 0, và (2.22) thỏa.
• Bước 4 Định nghĩa L 1 , L 2 và theo (2.18) Lấy k 0 ∈ int K sao cho y 0 ∗ (k 0 ) = −1 (khả dĩ do (2.22)) Ta định nghĩa
L 2 (u) = u ∗ 0 (u)k 0 , ∀u ∈ X và L 1 = ¯ L − L 2 dễ thấy rằng L 1 , L 2 ∈ L(X, Y ), L 1 + L 2 = ¯ L, và y 0 ∗ ◦ L 2 = −u ∗ 0 Do đó, (2.21) có thể được viết như sau y 0 ∗ (¯ y) ≤ y 0 ∗ (y − L 2 (u)) với mọi (y, u) ∈ ∆, hay một cách tương đương, y ∗ 0 (y − L 2 (u) − y) ¯ ≥ 0với mọi (y, u) ∈ ∆ Do vậy, theo (2.22), y − L 2 (u) − y ¯ 6∈ int K, do đó ¯ y / ∈ y − L 2 (u) − int K, ∀(y, u) ∈ ∆ (2.23)
Vì (m + ¯ L(x) − F 1 (x) − F 2 (x 0 ), x − x 0 ) ∈ ∆ với mọi m ∈ M, x ∈ dom F 1 , và x 0 ∈ dom F 2 , từ (2.23) ta có ¯ y / ∈ M + ¯ L(x)−F 1 (x)−F 2 (x 0 )−L 2 (x−x 0 )−int K, ∀(m, x, x 0 ) ∈ M × dom F 1 × dom F 2 , chính là (2.18) và bổ đề đã được chứng minh.
Bổ đề 2.6.2 Cho F 1 , F 2 , F 3 : X → Y • là ánh xạ chính thường Ta có:
(iii) Ψ (Epi F 1 ∗ Epi F 2 ∗ Epi F 3 ∗ ) ⊂ Ψ (Epi(F 1 + F 2 ) ∗ Epi F 3 ∗ )
(i) Lấy(L i , U i ) ∈Epi F i ∗ ,i = 1, 2 Ta cần chứng minh(L 1 +L 2 , U 1 ]U 2 ) ∈Epi(F 1 +F 2 ) ∗ , hay tương đương với,
Thật vậy, vì (L i , U i ) ∈Epi F i ∗ , với i = 1, 2 Ta có F i ∗ (L i ) 4K U i Do đó, theo Mệnh đề 2.4.1(v)), ta được
= WSup[(L 1 − F 1 )(X) + (L 2 − F 2 )(X)] (theo Mệnh đề 2.1.1(vi))
Do đó, theo Mệnh đề 2.3.1(iii), ta có
(F 1 + F 2 ) ∗ (L 1 + L 2 )4K F 1 ∗ (L 1 ) ] F 2 ∗ (L 2 ) Theo tính bắc cầu của 4K ta được
Suy ra, chứng minh (i) hoàn tất.
Epi F 1 ∗ Epi F 2 ∗ ⊂Epi(F 1 + F 2 ) ∗ Theo (2.14), Ψ(Epi F 1 ∗ Epi F 2 ∗ ) ⊂ Ψ(Epi(F 1 + F 2 ) ∗ ) Mặt khác, theo Mệnh đề 2.5.1 Ψ(Epi(F 1 + F 2 ) ∗ ) = epi(F 1 + F 2 ) ∗
Do đó, Ψ(Epi F 1 ∗ Epi F 2 ∗ ) ⊂ epi(F 1 + F 2 ) ∗ Suy ra, chứng minh (ii) hoàn tất.
Epi F 1 ∗ Epi F 2 ∗ ⊂Epi(F 1 + F 2 ) ∗ Theo (2.15) ta được,
Epi F 1 ∗ Epi F 2 ∗ Epi F 3 ∗ ⊂Epi(F 1 + F 2 ) ∗ Epi F 3 ∗
Theo (2.14), Ψ(Epi F 1 ∗ Epi F 2 ∗ Epi F 3 ∗ ) ⊂ Ψ(Epi(F 1 + F 2 ) ∗ Epi F 3 ∗ ) Suy ra, chứng minh (iii) hoàn tất.
Bổ đề 2.6.3 (Bổ đề cơ bản 2) Cho F 1 , F 2 , F 3 : X → Y • là ánh xạ K-lồi, chính thường và giả sử điều kiện (C 0 ) thỏa cho F 1 và F 2 Khi đó, ta có:
(ii) Ψ (Epi(F 1 + F 2 ) ∗ Epi F 3 ∗ ) = Ψ (Epi F 1 ∗ Epi F 2 ∗ Epi F 3 ∗ )
(iii) Nếu ta giả sử thêm rằng một trong các điều kiện sau thỏa mãn
(C 0 0 ) ∃˜ x ∈ dom F 1 ∩ dom F 2 : F 3 liên tục tại x ˜,
(C 0 00 ) ∃¯ x ∈ dom F 3 : F 1 và F 2 liên tục tại x ¯, thì epi(F 1 + F 2 + F 3 ) ∗ = Ψ (Epi(F 1 + F 2 ) ∗ Epi F 3 ∗ )
(i) Theo Bổ đề 2.6.2(ii), Ψ(Epi F 1 ∗ Epi F 2 ∗ ) ⊂ epi(F 1 + F 2 ) ∗
Do đó ta chỉ cần chứng minh epi(F 1 + F 2 ) ∗ ⊂ Ψ(Epi F 1 ∗ Epi F 2 ∗ ) Lấy ( ¯ L, y) ¯ ∈ epi(F + I A ) ∗ Khi đó, theo (2.5), ¯ y / ∈ ( ¯ L − F 1 − F 2 )(X) − int K.
Theo Bổ đề cơ bản 1 (Bổ đề 2.5.1) vào trường hợp mà trong đó M = {0 Y }, tồn tại
L 1 , L 2 ∈ L(X, Y ) sao cho L 1 + L 2 = L và ¯ y / ∈ (L 1 − F 1 )(X) + (L 2 − F 2 )(X) − int K (2.26) Kết hợp điều này cùng với Mệnh đề 2.1.1(i), suy ra
6= {+∞ Y } (2.27) Theo (iii), và (vi) của Mệnh đề 2.1.1,
Kết hợp điều này với (2.26), ta thu được y / ¯ ∈ F 1 ∗ (L 1 ) ] F 2 ∗ (L 2 ) − int K.
Vì tổng-WS thuộc P p (Y ) ∞ , Theo (2.27) ta có, F 1 ∗ (L 1 ) ] F 2 ∗ (L 2 ) ∈ P p (Y ) Do đó, theo Bổ đề 2.4.1(i), ta được y ¯ ∈ F 1 ∗ (L 1 ) ] F 2 ∗ (L 2 ) + K Theo Mệnh đề 2.4.1(vi), tồn tạiV ¯ ∈ P p (Y )sao choy ¯ ∈ F 1 ∗ (L 1 )] V ¯ và F 2 ∗ (L 2 )4K V ¯ Do vậy, lấyU ¯ = F 1 ∗ (L 1 )] V ¯ ∈
Do đó, ( ¯ L, y) ¯ ∈ Ψ(Epi F 1 ∗ Epi F 2 ∗ ) và (i) đã được chứng minh.
(i) Theo Bổ đề 2.6.2(iii),ta được Ψ (Epi F 1 ∗ Epi F 2 ∗ Epi F 3 ∗ ) ⊂ Ψ (Epi(F 1 + F 2 ) ∗ Epi F 3 ∗ )
Do đó, ta chỉ cần chứng minh Ψ (Epi(F 1 + F 2 ) ∗ Epi F 3 ∗ ) ⊂ Ψ (Epi F 1 ∗ Epi F 2 ∗ Epi F 3 ∗ ) (2.28)
(α) lấy ( ¯ L, y) ¯ ∈ Ψ (Epi(F 1 + F 2 ) ∗ Epi F 3 ∗ ) Khi đó, có ( ˜ L, U ˜ ) ∈ Epi(F 1 + F 2 ) ∗ và (L 3 , U 3 ) ∈Epi F 3 ∗ sao cho
Vì ( ˜ L, U ˜ ) ∈ Epi(F 1 + F 2 ) ∗ và (L 3 , U 3 ) ∈ Epi F 3 ∗ , ta được (F 1 + F 2 ) ∗ ( ˜ L) 4K U ˜ và
F 3 ∗ (L 3 )4K U 3 Theo Mệnh đề 2.4.1(v), suy ra
(β) Vìy ¯ ∈ U ˜ ] U 3 (xem (2.29)), U ˜ ] U 3 6= {+∞ Y }, từ (2.30) ta có (F 1 + F 2 ) ∗ ( ˜ L) ]
F 3 ∗ (L 3 ) 6= {+∞ Y }, và do đó U ˜ ] U 3 ⊂ Y và (F 1 + F 2 ) ∗ ( ˜ L) ] F 3 ∗ (L 3 ) ⊂ Y Từ (2.30) và Mệnh đề 2.3.1(i) ta có
[(F 1 + F 2 ) ∗ ( ˜ L) ] F 3 ∗ (L 3 ) − int K ] ∩ [ ˜ U ] U 3 ] = ∅ (2.31) (γ) Từ (2.29), (2.31) ta có ¯ y 6∈ (F 1 + F 2 ) ∗ ( ˜ L) ] F 3 ∗ (L 3 ) − int K (2.32) Mặt khác, từ Mệnh đề 2.1.1 (vi) và (iii) (xem thêm (2.29))
= WSup h WSup(˜ L−F 1 −F 2 )(dom F 1 ∩ dom F 2 ) + WSup( L 3 −F 3 )(dom F 3 ) i
= WSup( ˜ L−F 1 −F 2 )(dom F 1 ∩ dom F 2 ) + WSup(L 3 −F 3 )(dom F 3 )−int K
Kết hợp điều này và (2.32) suy ra ¯ y ∈ / ( ˜ L 1 − F 1 − F 2 )(dom F 1 ∩ dom F 2 ) + (L 3 − F 3 )(dom F 3 ) − int K, or, ¯ y ∈ / ( ˜ L 1 − F 1 − F 2 )(X) + (L 3 − F 3 )(dom F 3 ) − int K (2.33)
(δ) do Bổ đề cơ bản 1 (với M = (L 3 − F 3 )(dom F 3 )), tồn tại L 1 , L 2 ∈ L(X, Y ) sao cho L 1 + L 2 = ˜ L ( cùng với (2.29), L 1 + L 2 + L 3 = ¯ L) và ¯ y / ∈ (L 1 − F 1 )(X) + (L 2 − F 2 )(X) + (L 3 − F 3 )(dom F 3 ) − int K.
( lưu ý rằng (2.33) ta có WSup[(L 1 − F 1 )(X) + (L 2 − F 2 )(X) + (L 3 − F 3 )(dom F 3 )] 6= {+∞ Y }) Suy ra y / ¯ ∈ F 1 ∗ (L 1 ) ] F 2 ∗ (L 2 ) ] F 3 ∗ (L 3 ) − int K Bằng các lập luận tương tự như trong chứng minh của (4.4), tồn tại V ¯ ∈ P p (Y ) sao cho y ∈ V ¯ và ( ¯ L, V ¯ ) ∈
Epi F 1 ∗ Epi F 2 ∗ Epi F 3 ∗ có nghĩa là( ¯ L, y) ¯ ∈ Ψ (Epi F 1 ∗ Epi F 2 ∗ Epi F 3 ∗ ) và (2.28) đã được chứng minh.
(iii) Đầu tiên, lưu ý rằng từ (ii) ta được Ψ (Epi F 1 ∗ Epi F 2 ∗ Epi F 3 ∗ ) = Ψ (Epi(F 1 + F 2 ) ∗ Epi F 3 ∗ ) (2.34)
Giả sử rằng (C 0 0 )thỏa Khi đó áp dùng (i) vào hai ánh xạF 1 + F 2 và F 3 (lần lượt đóng vai trò của F 1 và F 2 ), ta được Ψ (Epi(F 1 ∗ + F 2 ) ∗ Epi F 3 ∗ ) = epi(F 1 + F 2 + F 3 ) ∗ , cùng với (2.34), chứng minh cho (2.25).
Trong trường hợp khi (C 0 00 ) thỏa, ta áp dụng (i) vào các ánh xạ F 3 và F 1 + F 2 Khi đó, các phương trình (2.25) được suy ra bởi các lập luận tương tự như trên.
EPIGRAPHS CỦA CÁC ÁNH XẠ LIÊN HỢP
Cho X, Y, Z là các không gian vectơ tôpô lồi địa phương K, S lần lượt là các nón lồi không rỗng trong Y và Z, với int K 6= ∅ Biết rằng (F ; G, C ) là bộ ba được xác định bởi bài toán (VP) như trong Chương 0 với giả định rằng A ∩ dom F 6= ∅, khi A := C ∩ G −1 (−S) là tập phương án của (VP).
Trong phần này, ta thiết lập các kết quả chính của luận văn: biểu diễn của epigraph của ánh xạ liên hợp F + I A , epi(F + I A ) ∗ , theo epigraph của các ánh xạ liên hợp của các thành phần F, G và I C
Các tập ràng buộc chất lượng
Với bộ ba (F ; G, C ), ta đặt
Epi(T ◦ G) ∗ , và xét các tập sau:
A i = Ψ(A i ), i = 1, 2, 3, (3.1) trong đó Ψ là ánh xạ được định nghĩa trong (2.13) Trong trường hợp đặc biệt
Y = R, và K = R+, các tập A i , i = 1, 2, 3 trở thành các tập phổ biến xuất hiện trong lý thuyết tối ưu lồi vô hướng(xem Chú ý 3.2.1 phía dưới).
Bổ đề 3.1.1 Ta có: epi(F + I A ) ∗ ⊃ [
Chứng minh Chứng minh (3.2) Lấy (L, y) ∈S
T ∈L + (S,K) epi(F + I C + T ◦ G) ∗ Thì tồn tại T 0 ∈ L + (S, K) sao choy ∈ (F + I C + T 0 ◦ G) ∗ (L) + K Do đó, tồn tại k 0 ∈ K sao cho y − k 0 ∈ (F + I C + T 0 ◦ G) ∗ (L) = WSup{L(x) − F (x) − (T 0 ◦ G)(x) : x ∈ C} Theo định nghĩa WSup, ta có:
Nếu x ∈ A, thì −(T 0 ◦ G)(x) ∈ K (do T 0 ∈ L + (S, K) ) Kết hợp với (2.1) ta được
L(x) − F (x) − y / ∈ int K, ∀x ∈ A, điều này tương đương với y + (F + I A )(x) − L(x) ∈ − / int K, ∀x ∈ X
(L, y) ∈ epi(F + I A ) ∗ Chứng minh biểu thức (3.3) Từ định nghĩa của A 1, A1 , ta có
Do đó (3.3) được chứng minh.
Mệnh đề 3.1.1 Ta có A 3 ⊂ A 2 ⊂ A 1 ⊂ epi(F + I A ) ∗
Chứng minh Từ Bổ đề 2.6.2(i) ta cóA 3 ⊂A 2 ⊂A 1 Theo (2.14), ta đượcΨ(A 3 ) ⊂ Ψ(A 2 ) ⊂ Ψ(A 1 ) Suy ra A 3 ⊂ A 2 ⊂ A 1 Mặt khác, theo Bổ đề 3.1.1,
T ∈L + (S,K) epi(F + I C + T ◦ G) ∗ ⊂ epi(F + I A ) ∗ , (3.4) và chứng minh được hoàn tất. Ở phần còn lại, ta giả sử rằng F là K-lồi, G là S-lồi, và C là một tập con lồi của X Xét các điều kiện chính quy sau:
(C 2 ) ∃x 2 ∈ C ∩ dom G : F là liên tục tại x 2.
Các phép biểu diễn của epi(F + I A ) ∗
Định lý 3.2.1 (Biểu diễn của epi(F + I A ) ∗ ) Ta có,
(a) Nếu (C 1 ) thỏa mãn thì epi(F + I A ) ∗ = A 1 ,
(b) Nếu (C 1 ) và (C 2 ) thỏa mãn thì epi(F + I A ) ∗ = A 2 ,
(c) Nếu (C 1 ), (C 2 ), và (C 3 ) thỏa mãn thì epi(F + I A ) ∗ = A 3
Chứng minh (a) Theo [12, Theorem 4.3] ta có: epi(F + I A ) ∗ = [
Mặt khác, theo Bổ đề 3.1.1
Suy ra epi(F + I A ) ∗ = A 1 , (b) Đầu tiên, nếu (C 1 ) thỏa thì theo (a), ta có epi(F + I A ) ∗ = A 1 = [
Thêm nữa, nếu (C 2 ) thỏa, thì (C 0 ) thỏa với F 1 = I C + T ◦ G và F 2 = F Từ Bổ đề cơ bản 2 (Bổ đề 2.6.3(i)), với T ∈ L + (S, K), epi(F + I C + T ◦ G) ∗ = Ψ
= A 2 (c) Đầu tiên, nếu (C 1 ) và (C 2 ) thỏa, thì theo (b) epi(F + I A ) ∗ = A 2 = [
Với mọi T ∈ L + (S, K), nếu (C 3 ) thỏa thì (C 0 ) thỏa mãn với I C và T ◦ G cũng thỏa mãn Do đó, theo Bổ đề 2.6.3(ii) Ψ (Epi F ∗ Epi(I C + T ◦ G) ∗ ) = Ψ
Kết hợp (3.6) và (3.7), ta thu được epi(F + I A ) ∗ = [
= Ψ(A3 ) = A 3 , qua đó chứng minh hoàn tất.
Chú ý 3.2.1 Cần chú rằng khi quay lại với trường hợp mà Y = R và K = R + , nón L + (S, K) trở thành S + , P p (Y ) =R, K- epigraph mở rộng của các ánh xạ liên hợp thu gọn thành epigraph của các hàm thực mở rộng, tổng- trở thành tổng thường gặp của hai tập con trong X ∗ ×R trong khi ánh xạ Ψ là ánh xạ đồng nhất củaX ∗ ×R (xem Ghi chú 2.5.1) Do đó, theo Định lý 3.2.1, (và dưới vài điều khiện chính quy phù hợp), các tập A i , i = 1, 2, 3, trở thành các tập đã biết biểu diễn cho epi(F + I A ) ∗ trong định lý của tối ưu lồi (vô hướng) (xem, [7, 9, 18, 19, 20, 24, 25], và các tham khảo trong đó), trong trường hợp này (Y = R), ta sẽ dùng các chữ cái in thường cho các hàm thực mở rộng (ví dụ, f, i C , i −S thay cho F, I C , I −S ):
Trong hai phần tiếp theo, ta sẽ đưa ra một vài ứng dụng của các biểu diễn thiết lập Trong phần này, đầu tiên để thiết lập các đặc điểm của vài dạng tương đương của các bất đẳng thức vectơ (còn được gọi là các kết quả vectơ Farkas-type), và thứ hai để giới thiệu các dạng khác nhau của các bài toán đối ngẫu (được gọi là bài toán đối ngẫu Lagrange và Fenchel-Lagrange) cho các bài toán tối ưu vectơ và thiết lập các kết quả đối ngẫu mạnh hoặc đối ngẫu mạnh ổn định cho các cặp bài toán gốc- đối ngẫu này của các bài toán.
BỔ ĐỀ FARKAS MỞ RỘNG CHO CÁC HỆ VECTƠ
Cho (F ; G, C ) là bộ ba xác định bài toán (VP) với tập phương án A như trong Phần 2 Với mỗi (L, y) ∈ L(X, Y ) × Y, ta xét bất phương trình vectơ dạng:
F (x) − L(x) 6< K −y, ∀x ∈ A, điều này tương đương với:
Ta nêu ra một vài điều kiện cần và đủ để (α)thỏa mãn Mỗi cặp tương đương như vậy thường được gọi là một phiên bản bổ đề Farkas vectơ Một phiên bản của bổ đề Farkas vectơ được gọi là ổn định nếu nó thỏa mãn với mọi (L, y) ∈ L(X, Y ) × Y.Chúng ta sẽ bắt đầu với trường hợp tổng quát.
Bổ đề Farkas cho hệ vectơ tổng quát
Xét các khẳng định sau:
(β 3 ) ∃L 0 , L 00 ∈ L(X, Y ), ∃T ∈ L + (S, K) : F ∗ (L 0 )]I C ∗ (L 00 )](T ◦G) ∗ (L−L 0 −L 00 ) ⊂ Y và y − F ∗ (L 0 ) − I C ∗ (L 00 ) − (T ◦ G) ∗ (L − L 0 − L 00 ) ∈ − / int K, Định lý 4.1.1 (Các đặc điểm của bổ đề Farkas về vectơ ổn định) Cho i = 1, 2, 3, xét các khẳng định sau:
Chứng minh Ta sẽ đi chứng minh cho trường hợp phức tạp nhất,i = 3, các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự.
• Bây giờ, ta đi chứng minh
Chứng minh chiều “⇒” trong (4.2) Giả sử rằng (β 3 ) thỏa mãn Khi đó, tồn tại
L 0 , L 00 ∈ L(X, Y )và T ∈ L + (S, K) sao choF ∗ (L 0 ) ] I C ∗ (L 00 ) ] (T ◦ G) ∗ (L − L 0 − L 00 ) ⊂ Y và y / ∈ F ∗ (L 0 ) + I C ∗ (L 00 ) + (T ◦ G) ∗ (L − L 0 − L 00 ) − int K Theo Mệnh đề 2.1.1(iii),
Do đó, y / ∈ F ∗ (L 0 ) ] I C ∗ (L 00 ) ] (T ◦ G) ∗ (L − L 0 − L 00 ) − int K Theo Bổ đề 2.4.1(i),ta có y ∈ F ∗ (L 0 ) ] I C ∗ (L 00 ) ] (T ◦ G) ∗ (L − L 0 − L 00 ) + K Theo Mệnh đề 2.4.1(vi), tồn tại V ∈ P p (Y ) sao cho (T ◦ G) ∗ (L − L 0 − L 00 )4K V và y ∈ F ∗ (L 0 ) ] I C ∗ (L 00 ) ] V Đặt
Chứng minh chiều“⇐” trong (4.2) Giả sử rằng (L, y) ∈ A 3 Khi đó tồn tại
U ∈ P p (Y )sao cho(L, U) ∈A 3 và y ∈ U Vì(L, U ) ∈A 3 nên tồn tại(L 0 , U 0 ) ∈Epi F ∗ , (L 00 , U 00 ) ∈Epi I C ∗ , (L − L 0 − L 00 , W ) ∈Epi(T ◦ G) ∗ , sao cho U = U 0 ] U 00 ] W Khi đó,
F ∗ (L 0 ) 4K U 0 , I C ∗ (L 00 ) 4K U 00 , (T ◦ G) ∗ (L − L 0 − L 00 ) 4K W Do đó, theo Mệnh đề 2.4.1 (v) ta được
Suy ra M 6= {+∞ Y } Mà M thuộc về P p (Y ) ∞ , nên M ⊂ Y Do vậy, từ (4.5) suy ra M 4K U.Theo Mệnh đề 2.3.1(i) U ∩ (M − int K) = ∅ ta được y / ∈ M − int K (vì y ∈ U) cũng có nghĩa là (β 3 ) thỏa mãn.
Cuối cùng, từ (4.1) và (4.2) , ta được
⇐⇒ (b 3 ), chính là điều phải chứng minh.
Chú ý 4.1.1 Theo Bổ đề 3.1.1, (a 1 ) ⇔ (b 1 ) là [12, Mệnh đề 5.1] ((a)⇔(c)), với
V = L(X, Y ) và W = Y Các đặc trưng của Bổ đề Farkas vectơ được cho trong Định lý 4.1.1 với i = 2, 3 đều là mới Hơn nữa, từ Ghi chú 3.2.1 , ta sẽ chỉ ra rằng Định lý 4.1.1 khi áp dụng cho trường hợp vô hướng (Y =R và K =R + ), mở rộng một vài kết quả đã biết trong các tài liệu , chẳng hạn như [19, 20] Hệ quả tiếp theo (xem thêm Ghi chú 4.1.2).
Nhắc lại A 0 i , i = 1, 2, 3, là các tập xác định trong Ghi chú 3.2.1.
Hệ quả 4.1.1 Cho f : X → R là một hàm chính thường, G : X → Z ∪ {+∞ Z } là một ánh xạ chính thường, và C là một tập con lồi không rỗng của X sao cho
A ∩ dom F 6= ∅ ( A := C ∩ G −1 (−S)) Xét các khẳng định sau:
Chứng minh KhiY =RvàK =R + , ta có, với mỗii = 1, 2, 3,A itrở thànhA 0 i (xem Ghi chú 3.2.1),(α)trở thành (α 0 ), trong khi (β i )trở thành (β i 0 ) Do đó[(a 0 i ) ⇔ (b 0 i )], i = 1, 2, 3 theo Định lý 4.1.1.
Chú ý 4.1.2 Trong trường hợp Y =R và K =R + , nếu giả sử rằng C là một tập con lồi đóng của X, f là một hàm nltd là lồi chính thường, và G là một ánh xạ
S-lồi chính thường và S-nltd dương Khi đó, theo [7, Phần 8], ta có epi(f + i A ) ∗ = cl[epi f ∗ + epi i ∗ C + [ z ∗ ∈S + epi(z ∗ ◦ G) ∗ ].
Do vậy, trong trường hợp này, Hệ quả 4.1.1 với i = 1 chính là [17, Hệ quả 6.14].
Hơn nữa, lưu ý rằng (a 0 3 ) tương đương với điều kiện rằng tập epi f ∗ + epi i ∗ C + S z ∗ ∈S + epi(z ∗ ◦ G) ∗ là đóng-yếu* Đây chính là điều kiện (CC) được giới thiệu trong [19, 20] Hơn nữa, theo Mệnh đề 3.1.1, nếu (a 0 3 )thì (a 0 1 ) và (a 0 2 )thỏa Do vậy,
Bổ đề 4.1.1 có thể được xem như là các phiên bản mở rộng của [19, Hệ quả 5.2] và [20, Hệ quả 6.2] Do đó, Định lý 4.1.1 là một phiên bản mở rộng vectơ của Bổ đề Farkas mới được nhắc đến trong [19] và [20] ở hai phương diện: Đầu tiên, các phiên bản Farkas trong Định lý 4.1.1 mở rộng kết quả dạng Farkas trong hai bài viết trên từ các hệ vô hướng thành các hệ có liên quan đến hàm hợp vectơ; thứ hai, chúng mở rộng kết quả Farkas-type thành các kết quả dạng Farkas ổn định.
Bổ đề Farkas cho các hệ vectơ lồi
Hệ quả 4.2.1 (Bổ đề vectơ lồi Farkas) Cho F là một ánh xạ K-lồi chính thường,
G là một ánh xạ S-lồi chính thường, và C là một tập con lồi không rỗng của X. Các khẳng định sau đây thỏa:
(i) Nếu (C 1 ) thỏa thì (b 1 ) thỏa mãn,
(ii) Nếu (C 1 ) và (C 2 ) thỏa thì (b 2 ) thỏa mãn,
(iii) Nếu (C 1 ), (C 2 ) và (C 3 ) thỏa thì (b 3 ) thỏa mãn, trong đó (b i ), i = 1, 2, 3 là các khẳng định trong Định lý 4.1.1.
Chứng minh Đây là các hệ quả của các Định lý 3.2.1 và 4.1.1.
Chuyển sang trường hợp vô hướng, tức là Y =Rvà K =R + , các điều kiện (C 1 ) và (C 2 ) lần lượt trở thành các điều kiện dưới đây:
Hệ quả tiếp theo được suy ra từ hệ quả 4.2.1.
Hệ quả 4.2.2 ( dạng Farkas lồi ) Cho f : X → R là một hàm lồi chính thường,
G : X → Z ∪ {+∞ Z } là một ánh xạ S- lồi chính thường, và C là một tập con lồi không rỗng của X sao cho A ∩ dom F 6= ∅ ( A := C ∩ G −1 (−S)) Các khẳng định sau thỏa:
(i) Nếu (C 1 0 ) thỏa thì (b 0 1 ) thỏa mãn,
(ii) Nếu (C 1 0 ) và (C 2 0 ) thỏa thì (b 0 2 ) thỏa mãn,
(iii) Nếu (C 1 0 ), (C 2 0 ) và (C 3 ) thỏa thì (b 0 3 ) thỏa mãn, trong đó (b 0 i ), i = 1, 2, 3 là các khẳng định trong Hệ quả 4.1.1.
Chương 5 ĐỐI NGẪU LAGRANGE VÀ
FENCHEL-LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ
Xét bài toán tối ưu vectơ như trong phần 2
(VP) WInf{F (x) : x ∈ C, G(x) ∈ −S} với tập phương án A := C ∩ G −1 (−G) không rỗng.
Các dạng đối ngẫu cho bài toán tối ưu vectơ và đối ngẫu yếu
Bài toán đối ngẫu Lagrange của (CVP) được xác định bởi [16] là:
WInf x∈C [F (x) + (T ◦ G)(x)], hoặc, có thể viết tương đương
Bây giờ ta đề xuất hai dạng bài toán đối ngẫu mới “Fenchel-Lagrange" của(VP):
Cần chú ý rằng khi quay lại bài toán vô hướng, tức là, khi Y = R và (VP) trở thành vô hướng (P), hai bài toán đối ngẫu cuối cùng chính là bài toán đối ngẫu Fenchel-Lagrange(D 2 )và(D 3 )của (P) được nhắc đến trong phần Giới thiệu (Phần 2), điều này giải thích vì sao chúng tôi gọi tên 2 bài toán đối ngẫu này như thế Định nghĩa 5.1.1 Ta nói “đối ngẫu mạnh thỏa đối với cặp (VP) − (VD 1 )” nếu WInf(VP) = WMax(VD 1 ) 1
Ta ký hiệu(VP L )bài toán(VP)bị nhiễu bởi một toán tử tuyến tínhL ∈ L(X, Y ), tức là
Khi đó bài toán đối ngẫu Lagrange của (VP L ) sẽ được ký hiệu bởi (VD L 1 ) Ta nói rằngđối ngẫu mạnh ổn định thỏa mãn đối với cặp(VP)− (VD 1 )nếu đối ngẫu mạnh thỏa đối với cặp (VP L ) − (VD L 1 ) với mọiL ∈ L(X, Y ) Khái niệm đối ngẫu mạnh ổn định tương ứng với các cặp bài toán gốc- đối ngẫu (VP) − (VD 2 ) và (VP) − (VD 3 ) sẽ được hiểu theo cách tương tự.
Bổ đề 5.1.1 WSup(VD L i ) = WSup{−y : (L, y) ∈ A i } với mọi L ∈ L(X, Y ) và i ∈ {1, 2, 3}, trong đó A i là các tập định nghĩa trong (3.1).
Chứng minh Ta đi chứng minh cho trường hợp i = 3, tức là, WSup(VD L 3 ) = WSup{−y : (L, y) ∈ A 3 } Các trường hợp khác chứng minh tương tự Ta có:
1 Quan sát thấy rằng khi WInf(VP) = WMax(VD 1 ), ta có WSup(VD 1 ) = WMax(VD 1 ) (xem Proposition 2.3.2 (i)), và do đó, (VD 1 ) đạt được tại mọi giá trị từ WSup(VD 1 ).
(trong đó đẳng thức thứ ba được suy ra từ Mệnh đề 2.1.1(vii)) Mặt khác, vì
⇐⇒ y / ∈ F ∗ (L + L 0 ) ] I C ∗ (L 00 ) ] (T ◦ G) ∗ (−L 0 − L 00 ) − int K với L 0 , L 00 ∈ L(X, Y ) và T ∈ L + (S, K) (theo Bổ đề 2.4.1(i))
⇐⇒ y / ∈ F ∗ (L + L 0 ) + I C ∗ (L 00 ) + (T ◦ G) ∗ (−L 0 − L 00 ) − int K với L 0 , L 00 ∈ L(X, Y ) và T ∈ L + (S, K) (theo Mệnh đề 2.1.1(iii))
Do đó, WSup(VD L 3 ) = WSup{−y : (L, y) ∈ A 3 } và ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 5.1.1 (Đối ngẫu yếu) Với mọi L ∈ L(X, Y ), ta có
WSup(VD L 3 )4K WSup(VD L 2 )4K WSup(VD L 1 )4K WInf(VP L ).
Chứng minh Để ý rằng(VD 1 )chính là bài toán (DVP)trong [16] Do đó, theo [16, Theorem 5] (áp dụng cho trường hợp đặc biệt trong đó tập bất định là tập đơn tử) ta được:
Theo Mệnh đề 3.1.1, ta có A 3 ⊂ A 2 ⊂ A 1 Hơn nữa, theo Mệnh đề2.3.1(iii), nếu A 3 ⊂ A 2 ⊂ A 1 ⊂ Y • , thì
Theo Bổ đề 5.1.1 ta có WSup(VD L i ) = WSup{−y : (L, y) ∈ A i } với mỗi i = 1, 2, 3. Suy ra
WSup(VD L 3 )4K WSup(VD L 2 )4K WSup(VD L 1 )
WSup(VD L 3 )4K WSup(VD L 2 )4K WSup(VD L 1 )4K WInf(VP L ).
Kết quả chính của phần này về đối ngẫu mạnh ổn định cho (VP) được trình bày trong định lý tiếp theo.
Đối ngẫu mạnh và đối ngẫu mạnh ổn định cho bài toán tối ưu vectơ sử dụng các dạng bổ đề Farkas vectơ
ưu vectơ sử dụng các dạng bổ đề Farkas vectơ Định lý 5.2.1 (Nguyên lý cho đối ngẫu mạnh ổn định của (VP)) Cho i = 1, 2, 3, xét các khẳng định sau:
(c i ) Đối ngẫu mạnh ổn định thỏa cho cặp (VP) − (VD i ).
Chứng minh Ta chỉ chứng minh[(a 3 ) ⇔ (c 3 )] Chứng minh tương tự cho các trường hợp i = 1, 2 Lấy L ∈ L(X, Y ) Với mỗi L 0 , L 00 ∈ L(X, Y ) và T ∈ L + (S, K), Đặt
[(a 3 ) ⇒ (c 3 )] Giả sử rằng (a 3 ) thỏa Lấy L ∈ L(X, Y ), ta đi chứng minh
• Bước 1 Do (VP) là khả thi, WInf(VP L ) 6= {+∞ Y } Nếu WInf(VP L ) = {−∞ Y } do Mệnh đề 5.1.1, WSup(VD L 3 ) = {−∞ Y }, vì thế, K L (L 0 , L 00 , T ) = {−∞ Y } với mọi
L 0 , L 00 ∈ L(X, Y ) và T ∈ L + (S, K) Do đó, WMax(VD L 3 ) = {−∞ Y } = WInf(VP L ), và (5.3) thỏa.
• Bước 2 Giả sử rằng WInf(VP L ) ⊂ Y Vì WInf(VP L ) ∈ P p (Y ), ta có
WInf(VP L ) = WSup[WInf(VP L )] (xem Bổ đề 2.4.1(iii))
= WSup[−(F + I A ) ∗ (L) − K] (xem Mệnh đề 2.1.1(vii))
Theo Bổ đề 5.1.1, WSup(VD L 3 ) = WSup{−y : (L, y) ∈ A 3 }, kết hợp với (5.4) và (5.2), suy ra
WInf(VP L ) = WSup(VD L 3 ) = WSup N L (5.5)
• Bước 3 Giờ ta đi chứng minh rằng WInf(VP L ) ⊂ N L Lấy y ∈ WInf(VP L ) = WInf[(F − L)(X)] Theo Mệnh đề 2.1.1(iv) (xem thêm Ghi chú 2.1.1) y / ∈ (F − L)(X) + int K, tương đương với
F (x) − L(x) − y / ∈ − int K, ∀x ∈ A. Đây là (α) trong Phần 3 với y được thay bởi −y Vì (a 3 ) thỏa mãn, theo Bổ đề Farkas vectơ ổn định (Định lý 4.1.1 với i = 3) tồn tại L ¯ 0 , L ¯ 00 ∈ L(X, Y ) và
F ∗ (L + L 0 ) ] I C ∗ (L 00 ) ] (T ◦ G) ∗ (−L 0 − L 00 ) ⊂ Y (5.6) và −y / ∈ F ∗ (L + ¯ L 0 ) + I C ∗ ( ¯ L 00 ) + ( ¯ T ◦ G) ∗ (− L ¯ 0 − L ¯ 00 ) − int K, có nghĩa là −y / ∈
Mặt khác, vìy ∈ WInf(VP L ) = WSup N L (xem (5.5)), ta cóy 6< K y 0 với mọiy 0 ∈ N L , do đó y / ∈ K L ( ¯ L 0 , L ¯ 00 , T ¯ ) − int K (5.8)
Vì K L ( ¯ L 0 , L ¯ 00 , T ¯ ) ∈ P p (Y ) (xem (5.6)) Phân hoạch của Y có dạng:
Cùng với (5.7) và (5.8), suy ra y ∈ K L ( ¯ L 0 , L ¯ 00 , T ¯ ) hay y ∈ N L Do đó WInf(VP L ) ⊂
• Bước 4 Từ Bước 3 và Bước 4 (xem thêm (5.2))
WInf(VP L ) = N L ∩ WSup N L = WMax N L = WMax(VD L 3 ), cũng chính là (5.3).
[(c 3 ) ⇒ (a 3 )] Giả sử rằng (c 3 ) thỏa mãn, tức là (5.3) thỏa với mọi L ∈ L(X, Y ).
Ta chứng minh (a 3 ) epi(F + I A ) ∗ = A 3 Thật vậy, theo Mệnh đề 3.1.1 ta được
A 3 ⊂ epi(F + I A ) ∗ Ta chỉ cần chứng minh epi(F + I A ) ∗ ⊂ A 3 (5.9)
Lấy (L, y) ∈ epi(F + I A ) ∗ Khi đó y ∈ (F +I A ) ∗ (L)+K = WSup[(L−F )(A)]+K = − WInf(F −L)(A)+K = −WInf(VP L )+K.
Mặt khác, vì (c 3 ) thỏa mãn, ta có
WInf(VP L ) = WMax(VD L 3 ) = WMax N L ⊂ N L
Do vậy, y ∈ −N L + K và có L ¯ 0 , L ¯ 00 ∈ L(X, Y ) và T ¯ ∈ L + (S, K) sao cho y ∈ −K L ( ¯ L 0 , L ¯ 00 , T ¯ ) + K
Suy ra, (L, y) ∈ epi(F + I A ) ∗ thì (L, y) ∈ A 3 và (5.9) được suy ra Chứng minh hoàn tất.
Hệ quả 5.2.1 (Đối ngẫu mạnh ổn định I) Giả sử F là K-lồi, G là S-lồi, và C lồi Khi đó, các khẳng định sau vẫn thỏa mãn:
(i) Nếu (C 1 ) thỏa thì đối ngẫu mạnh ổn định thỏa mãn đối với cặp (VP) − (VD 1 ).
(ii) Nếu (C 1 ) và (C 2 ) thỏa thì đối ngẫu mạnh ổn định thỏa mãn đối với các cặp (VP) − (VD 1 ) và (VP) − (VD 2 ).
(iii) Nếu (C 1 ), (C 2 ) và (C 3 ) thỏa thì đối ngẫu mạnh ổn đinh thỏa mãn đối với ba cặp (VP) − (VD i ), i = 1, 2, 3.
Chứng minh Suy ra từ Định lý 5.2.1 và 3.2.1.
Chú ý 5.2.1 Định lý 5.2.1 và Hệ quả 5.2.1 cho trường hợp i = 1 là các phiên bản ổn định của [16, Các Hệ quả 1 và 3] (với tập bất định là tập đơn tử) Kết qủa cho các trường hợp khác (tức là, i = 2, 3), theo kiến thức của tác giả, là mới Do đó,Định lý 5.2.1 và Hệ quả 5.2.1 với i = 2, 3, có thể là phiên bản đầu tiên của các kết quả đối ngẫu Fenchel-Lagrange cho các bài toán vectơ mở rộng các kết quả đối ngẫu (xem [7] và [19], và các tài liệu tham khảo trong đó) cho bài toán tối ưu vô hướng (xem các Hệ quả 6.2 và 6.3 phía dưới).
Cần chú ý rằng khi Y =R và K =R+ bài toán (VP) trở thành (P), trong khi các bài toán đối ngẫu (VD i ), i = 1, 2, 3, trở thành các bài toán đối ngẫu(D 1 ), (D 2 ), và (D 3 ) trong Chương 2(Giới thiệu) Chú ý rằng (D 1 ) và (D 2 ) lần lượt là (D C L ) và (D C F L ), trong [7] trong khi (D 1 ) và (D 3 ) là các bài toán (LDQ) và (FLDQ) được đề xuất trong [19] cho trường hợp khi Y =Rvà K =R + Hai hệ quả tiếp theo là các phiên bản ổn định (mở rộng) của các kết quả tương ứng trong [7] và trong [19]. Chúng lần lượt là các hệ quả trực tiếp của Định lý 5.2.1 và Hệ quả 5.2.1.
Hệ quả 5.2.2 Cho f : X → R ∪ {+∞} , A 0 i là các tập được định nghĩa trong Ghi chú 3.2.1, và i C là hàm chỉ thông thường của tập C Với mỗi i = 1, 2, 3, xét các khẳng định sau:
Hệ quả 5.2.3 Giả sử rằng f lồi, rằng G là S-lồi, và rằng C lồi Các khẳng định sau đây thỏa:
(i) Nếu (C 1 0 ) thõa thì (c 0 1 ) thỏa mãn,
(ii) Nếu (C 1 0 ) và (C 2 0 ) thỏa thì (c 0 1 ) và (c 0 2 ) thỏa mãn,
(iii) Nếu (C 1 0 ), (C 2 0 ) và (C 3 ) thỏa thì (c 0 1 ), (c 0 2 ), và (c 0 3 ) thỏa mãn, trong đó (c 0 1 ), (c 0 2 ), và (c 0 3 ) các các khẳng định trong Hệ quả 5.2.2, và (C 1 0 ), (C 2 0 ) là các điều kiện chính quy được giới thiệu trong Phần 3.2.
Chú ý 5.2.2 (a)Điều kiện (C 1 0 ) và (C 2 0 ) chính là điều kiện(RC 1 L ) và (RC 1 F L ) trong[7], và do đó Hệ quả 5.2.3 (i)-(ii) mở rộng và có thể được xem như “phiên bản đối ngẫu mạnh ổn định" của đối ngẫu mạnh được cho trong [7, Các định lý 3.4 và 3.6].
(b) Nhớ rằng khi C là một tập con lồi của X, f là một hàm lồi, nltd và G là một ánh xạ S-lồi và S-nltd dương, (a 0 3 ) tương đương với (CC) trong [19, 20], và (a 0 1 ) và (a 0 2 ) thỏa bất cứ khi nào (a 0 1 ) thỏa mãn (xem Ghi chú 4.1.2) Do vậy, Hệ quả 5.2.2 bao hàm [19, các hệ quả 4.5, 4.6, 4.7] và [20, các hệ quả 6.4, 6.5] (phiên bản không ổn định) và [20, Định lý 6.2, 6.3] (phiên bản ổn định).
(c) Dưới giả thiết về tính đóng và lồi như trong (b), (a 0 1 ) tương đương với
S z ∗ ∈S + epi(f + i C + z ∗ ◦ G) ∗ là đóng-yếu*, do đó Hệ quả 4.1.1, cùng với Hệ quả 5.2.2, cho trường hợp i = 1 trở lại với [21, Hệ quả 5].
(d) Cuối cùng, cần phải nhấn mạnh rằng (với kiến thức của tác giả)không một kết quả đối ngẫu nào cho các bài toán vectơ tồn tại trong bài có thể bao hàm cả(c 0 2 ), (c 0 3 ) (khi quay lại trường hợp Y =R).
Qua luận văn này, tác giả thực sự được làm quen với công tác nghiên cứu khoa học một cách nghiêm túc và có hệ thống Tác giả học tập được các phương pháp nghiên cứu qua việc đọc tài liệu và thảo luận trong nhóm sinh hoạt do Thầy hướng dẫn tổ chức, hiểu được các công cụ của Giải tích lồi trong việc nghiên cứu tính giải được của bài toán tối ưu hàm lồi, cụ thể là đối ngẫu mạnh cho bài toán tối ưu vectơ sử dụng bổ đề Farkas.
Tác giả đã đầu tư tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, chứng minh chi tiết và vận dụng những kiến thức tích lũy được trong quá trình học tập để hoàn thành luận văn Tuy nhiên, với kiến thức còn hạn chế của bản thân, tác giả rất mong được học hỏi nhiều hơn nữa qua sự chỉ bảo của Quý Thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp.
[1] N Dinh and D H Long , "New Representations of Epigraphs of Conjugate mappings and Lagrange, Fenchel-Lagrange duality for vector optimization problems", Optimization, 2021
[2] N Dinh and D H Long, "A Perturbation Approach to Vector Optimization Problems: Lagrange and Fenchel-Lagrange Duality", Optimization, 2021
[3] C D Aliprantis and O Burkinshaw, Positive operators Cambridgr, MA: Academic Press; 1985
[4] M Bhatia "Higher order duality in vector optimization over cones," Optim. Chot., vol.6, pp 17-30, 2012
[5] A A Auslender & J P Crouzeix Lecture Notes: "Vector variational princi- ples towards asymptotically well behaved vector convex functions." Départe- ment de Mathématiques Appliquées, Université Blaise Pascal, France, 2000.
[6] S Bolintinéanu "Vector Variational Principles; ε-Efficiency and Scalar Sta- tionarity," J Convex Anal., vol 8, pp 71-85, 2001
[7] R I Botá.Conjugate Duality in Convex Optimization Berlin: Springer-Verlag, 2010
[8] R I Botá, S M Grad and G Wanka, "A general approach for studying duality in multiobjective optimization," Math Meth Oper Res., vol 65, no 3, pp 417-
[9] R I Botá, S M Grad and G Wanka, Duality in Vector Optimization Berlin: Springer, 2009
[10] R I Botá, S M Grad and G Wanka, "New regularity conditions for Lagrange and Fenchel–Lagrange duality in infinite dimensional spaces," Math Inequal Appl., vol 12, no 1, pp 171-189, 2009
[11] M J Cánovas, N Dinh, D H Long and J Parra, (2020) "A new approach to strong duality for composite vector optimization problems," Optimization [Online] Available: https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/02331934.2020.1745796
[12] N Dinh, M A Goberna, D H Long and M A López, "New Farkas-type results for vector-valued function: A non-abstract approach,"J Optim Theory Appl., vol 182, pp 4-29, 2019
[13] N Dinh, M A Goberna, M A López and T H Mo, "Farkas-type results for vector-valued functions with applications," J Optim Theory Appl., vol 173, pp 357-390, 2017
[14] N Dinh, M A Goberna, M A López and T H Mo, "Robust optimization revisited via robust vector Farkas lemmas,"Optimization, vol 66, pp 939-963, 2017
[15] N Dinh and D H Long, "Sectional convexity của epigraphs of conjugate mappings with applications to robust vector duality,"Acta Mathematica Viet- namica., vol 45, pp 525 - 553, 2020
[16] N Dinh and D H Long, "Complete characterizations of robust strong duality for robust vector optimization problems," Vietnam J Math., vol 46, pp 293-
[17] N Dinh and T H Mo, "Qualification conditions and Farkas-type results for systems involving composite functions," Vietnam J Math., vol 40, pp 407-
[18] N Dinh, T H Mo, G Vallet and M Volle, "A unified approach to robust Farkas-type results with applications to robust optimization problem, "SIAM
[19] N Dinh, T T A Nghia and G Vallet, "A closedness condition and its appli- cations to DC programs with convex constraints," Optimization, vol 59, pp. 541-560, 2010
[20] N Dinh, G Vallet and T T A Nghia, "Farkas-type results and duality for
DC programs with convex constraints," J Convex Anal., vol 15, pp 1-27, 2008
[21] N Dinh, G Vallet and M Volle, "Functional inequalities and theorems of the alternative involving composite functions," J Global Optim., vol 59, pp. 837-863, 2014
[22] S M Grad and E L Pop, "Vector duality for convex vector optimization problems means of the quasi-interior of the ordering cone," Optimization., vol 63, pp 21-37, 2014
[23] J Jahn Vector optimization Berlin: Springer, 2004
[24] V Jeyakumar, "The strong conical hull intersection property for convex pro- gramming," Math Program., vol 106, pp 81-92, 2006
[25] V Jeyakumar, W Song, N Dinh and G M Lee, "Stable strong duality in convex optimization," Applied Mathematics Report AMR 05/22, University of New South Wales, 2005
[26] A A Khan, C Tammer, and C Zăalinescu Set-valued Optimization Berlin: Springer, 2015
[27] M A Krasnosel’skij, J A Lifshits and A V Sobolev, Positive Linear Sys- tems: The Method of Positive Operators (Sigma Series in Applied Mathematics 5) Berlin: Heldermann, 1989
[28] D Kuroiwa, "The natural criteria in set-valued optimization," S¯urikaisekikenky¯usho K¯oky¯uroku., vol 1031, pp 85-90, 1998
[29] A L¨ohne and C Tammer, "A new approach to duality in vector optimization," Optimization., vol 56, pp 221-239, 2007
[30] D T Luc Theory of vector optimization Berlin: Springer, 1989
[31] T Tanino, "Conjugate duality in vector optimization," J Math Anal Appl., vol 167, pp 84-97, 1992
[32] W Rudin Functional Analysis, 2nd ed New York: McGraw-Hill, 1991
[33] C Zălinescu, "Duality for vectorial nonconvex optimization convexification and applications," An Stiint Univ Al I Cuza Iasi Sect I a Mat., vol 29, no 3, pp 15-34, 1983