Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng: Tối ưu hóa vector với cấu trúc thứ tự thay đổi trong điều trị xạ trị

ĐỖ THÀNH ĐẠI

TỐI ƯU HÓA VECTOR VỚI CẤU TRÚC THỨTỰ THAY ĐỔI TRONG ĐIỀU TRỊ XẠ TRỊ

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNGMÃ SỐ: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCMCán bộ hướng dẫn khoa học: TS HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS NGUYỄN BÁ THI

Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS.TS NGUYỄN HUY TUẤN

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQGTp HCM ngày 27 tháng 12 năm 2021 (trực tuyến)

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:1 Chủ tịch: PGS.TS Nguyễn Đình Huy.

2 Thư ký: TS Đặng Văn Vinh.3 Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi.

4 Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn.5 Ủy viên: TS Cao Thanh Tình.

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyênngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: ĐỖ THÀNH ĐẠI Mã số học viên: 1970347Ngày, tháng, năm sinh: 03/01/1996 Nơi sinh: Vĩnh PhúcChuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112I TÊN ĐỀ TÀI: TỐI ƯU HÓA VECTOR VỚI CẤU TRÚC THỨ TỰ

THAY ĐỔI TRONG ĐIỀU TRỊ XẠ TRỊ

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:- Kiến thức cơ sở.

- Bài toán cường độ chùm tia với cấu trúc thứ tự thay đổi.- Điều kiện tối ưu của bài toán xấp xỉ đa mục tiêu.

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 20/08/2020

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 20/11/2021

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM.

Tp HCM, Ngày 27 tháng 12 năm 2021

(Họ tên và chữ ký) (Họ tên và chữ ký)

TS HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM TS NGUYỄN TIẾN DŨNG

TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG(Họ tên và chữ ký)

PGS.TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN

Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn đến Cô hướng dẫn TS Huỳnh ThịHồng Diễm, người đã nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luậnvăn.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến bố mẹ, gia đình và bạn bè củamình, những người đã luôn ở bên cạnh động viên, tạo mọi điều kiện tốtnhất cho tôi suốt thời gian học tập, nghiên cứu.

Tôi xin gửi lời cảm ơn các thầy, cô trong Bộ môn Toán Ứng Dụng,khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ ChíMinh đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận văn của mình.

Cuối cùng, trong quá trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của tất cả mọi người.

Tp Hồ Chí Minh, 27 tháng 12 năm 2021Tác giả

Đỗ Thành Đại

Trong luận văn này, chúng tôi giới thiệu về ánh xạ nón giá trị trongmục tiêu điều trị ung thư Chúng tôi xét một công thức toán học cho tốiưu cường độ chùm tia được trang bị cấu trúc thứ tự Ngoài ra chúng tôiđưa ra điều kiện cần cho nghiệm của bài toán xấp xỉ vector với nón thứtự tổng quát và đề xuất cấu trúc thứ tự thay đổi Cuối cùng chúng tôitính chi tiết các điều kiện cần tối ưu cho nghiệm của mô hình toán tốiưu cường độ chùm tia trong điều trị xạ trị.

In this thesis, we introduce an appropriate cone-valued mapping basedon the goal of cancer treatment We consider a mathematical formulationof beam intensity optimization equipped with this ordering structure Inaddition, we investigate necessary optimality conditions for solutions of avector-valued approximation problem with respect to a general orderingcone and the proposed variable ordering structure as well Finally, we cal-culate in detail necessary optimality conditions for solutions of the mathe-matical model of beam intensity optimization in radiotherapy treatment.

Tôi tên là Đỗ Thành Đại, mã học viên: 1970347, học viên cao họcchuyên ngành Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố HồChí Minh khóa 2019 - 2021 Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kết quảtham khảo từ các công trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, các côngviệc trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện dưới sự hướngdẫn của TS Huỳnh Thị Hồng Diễm và tôi hoàn toàn chịu trách nhiệmtính trung thực về đề tài nghiên cứu này.

Tp Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 12 năm 2021Học viên thực hiện

Đỗ Thành Đại

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU vii

1.1 Lý do chọn đề tài 41.2 Giới thiệu về kỹ thuật xạ trị điều biến cường độ - IMRT 51.3 Bài toán cường độ chùm tia với cấu trúc thứ tự thay đổi 5

Chương 2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 82.1 Quan hệ thứ tự trên không gian tuyến tính 82.2 Các tính chất nón 112.3 Cấu trúc trội thay đổi trong so sánh các vector 142.4 Một số khái niệm liên quan đến cấu trúc thứ tự thay đổi 162.5 Nón pháp tuyến và đối đạo hàm 192.6 Chuẩn vector và dưới vi phân 22

Chương 3 BÀI TOÁN CƯỜNG ĐỘ CHÙM TIA VỚI

CẤU TRÚC THỨ TỰ THAY ĐỔI 24

3.2 Hình thành công thức cường độ chùm tia trong điều trị xạ trị 26

Chương 4 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NGHIỆM CỦA

BÀI TOÁN XẤP XỈ ĐA MỤC TIÊU 304.1 Điều kiện tối ưu cho nghiệm không trội của bài toán xấp xỉ

ứng với cấu trúc thứ tự tổng quát 304.2 Điều kiện tối ưu cho nghiệm của bài toán xấp xỉ vector ứng

với cấu trúc thứ tự được đề xuất 32

Chương 5 ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU TRỊ XẠ TRỊ 43

D∗F (¯x, ¯y) Đối đạo hàm Fréchet của F tại (x, ¯¯ y)

X∗ Không gian đối ngẫu topo của X

D∗F (¯x, ¯y) Đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (x, ¯¯ y)

Min(S, R) Tập các điểm cực tiểu của S với R

Max(S, R) Tập các điểm cực đại của S với R

Trong cuộc sống, một cá nhân, hay một tổ chức thường bị đặt vào tìnhhuống phải lựa chọn phương án tối ưu để giải quyết một vấn đề nào đó.Khi ấy chúng ta phải tiến hành thu thập, phân tích và chọn lựa thôngtin nhằm tìm ra một giải pháp tốt nhất để hành động Các phương án đềxuất ấy có thể giải quyết một hay nhiều vấn đề cùng một lúc tùy thuộcvào tình huống và yêu cầu đặt ra của chúng ta Trong toán học có rấtnhiều lý thuyết cơ sở làm nền tảng giúp tìm ra một phương án tối ưu đểgiải quyết vấn đề như: lý thuyết thống kê, lý thuyết quyết định, lý thuyếttối ưu, vận trù học, Do tính ưu việt và hiệu quả, tối ưu đa mục tiêu làmột trong những lý thuyết toán học ngày càng được ứng dụng rộng rãitrên nhiều lĩnh vực như: kỹ thuật công nghệ, y tế, hàng không, thiết kế,tài chính, .

Tối ưu đa mục tiêu có nghĩa là tìm phương án tốt nhất theo một nghĩanhất định nào đó để đạt được (cực đại hay cực tiểu) nhiều mục tiêu cùngmột lúc và một phương án như vậy thì ta gọi là phương án lý tưởng.Trong một bài toán tối ưu đa mục tiêu thường thì các mục tiêu xung độtvới nhau nên việc cố gắng làm “tăng” giá trị cực đại hay cực tiểu mộtmục tiêu có thể sẽ làm “giảm” giá trị cực đại hay cực tiểu của các mụctiêu khác nên việc tồn tại phương án lý tưởng là rất hiếm Vì vậy cáchtốt nhất là tìm một phương án nhằm thỏa mãn tất cả các yêu cầu cácmục tiêu trong một mức độ chấp nhận được và phương án như thế gọi làphương án thỏa hiệp của các hàm mục tiêu.

Và trong nhiều bài báo gần đây, bài toán điều trị xạ trị điều biến cườngđộ trong lĩnh vực y tế được nghiên cứu như các bài toán tối ưu đa tiêuchí liên quan đến nón thứ tự không đổi Trong các bài toán này, mục tiêu

dụng phụ Tuy nhiên, từ góc độ thực tế, sẽ thuận tiện hơn nếu xét cácbài toán này với một cấu trúc thứ tự thay đổi.

Mục đích nghiên cứu:

Trong luận văn này, chúng tôi giới thiệu một ánh xạ nón thích hợp dựatrên mục tiêu điều trị ung thư Chúng tôi xét một công thức toán học vềtối ưu cường độ chùm tia xạ trị được trang bị cấu trúc thứ tự Ngoài ra,chúng tôi khảo sát các điều kiện cần cho nghiệm của bài toán xấp xỉ giátrị vector với nón thứ tự và cấu trúc thứ tự thay đổi Cuối cùng, chúngtôi tính toán chi tiết điều kiện cần cho nghiệm của mô hình toán tối ưucường độ chùm tia trong điều trị xạ trị.

Đối tượng nghiên cứu:

Bài toán tối ưu vector với cấu trúc thứ tự thay đổi.Bài toán tối ưu chùm tia trong điều trị xạ trị.

Phương pháp nghiên cứu:

Chúng tôi kế thừa và phát triển các kỹ thuật đã có của các tác giả đitrước.

Nội dung và phạm vi của vấn đề sẽ nghiên cứu:

Ngoài phần lời mở đầu và kết luận, chúng tôi chia luận văn thành nămchương.

Chương 1: Chúng tôi giới thiệu về các kỹ thuật xạ trị tiên tiến đặcbiệt là kỹ thuật xạ trị điều biến liều IMRT Đồng thời giới thiệu bài toáncường độ chùm tia với cấu trúc thứ tự thay đổi.

Chương 2: Chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở gồm có: các kháiniệm về nón và cấu trúc thứ tự thay đổi, nón pháp tuyến, đối đạo hàm,chuẩn vector và dưới vi phân.

Chương 3: Chúng tôi trình bày về bài toán thứ tự thay đổi thích hợpvới điều trị xạ trị từ đó hình thành công thức cường độ chùm tia trong

Chương 4: Chúng tôi trình bày về điều kiện tối ưu cho nghiệm khôngtrội trong trường hợp cấu trúc thứ tự tổng quát.

Chương 5: Ứng dụng cho điều trị xạ trị.

Trên thế giới, bên cạnh kỹ thuật xạ trị thường quy (2D, 3D theo hìnhdạng khối u), các kỹ thuật xạ trị mới như xạ trị điều biến liều (IntensityModulated Radiation Therapy - IMRT ), xạ trị dưới hướng dẫn hìnhảnh (Image Guided Radiation Therapy - IGRT), xạ trị quay điều biếnthể tích (Volume Modulated Arc Therapy - VMAT, Rapid Arc), xạ phẫu(stereotatic radiosurgery), xạ trị hạt nặng ( proton therapy), đang đượcứng dụng một cách rộng rãi.

Chính vì vậy việc nghiên cứu và tối ưu chùm tia bức xạ trong xạ trị làrất quan trọng Việc ứng dụng bài toán tối ưu vector trong thay đổi cấutrúc thứ tự chùm tia bức xạ là rất cần thiết Giúp các bác sĩ tối ưu lượng

bức xạ đi vào cơ quan khối u và giảm lượng bức xạ tới các cơ quan xungquanh bình thường.

Điều trị xạ trị điều biến cường độ (IMRT) là kỹ thuật xạ trị tiên tiếnchính xác cao bằng máy gia tốc tuyến tính do máy tính điều khiển đểcung cấp liều bức xạ chính xác cho khối u ác tính hoặc các khu vực cụthể bên trong khối u IMRT cho phép liều bức xạ chính xác và phù hợphơn so với kỹ thuật xạ trị 2D, 3D và 3D-CRT Hơn nữa, IMRT cho phépchiếu xạ liều bức xạ cao hơn vào khối u trong khi giảm liều thấp dướingưỡng cho phép lên các cơ quan lành, cho nên kỹ thuật IMRT mang lạikết quả điều trị tốt hơn và giảm tác dụng phụ hơn so với các kỹ thuậtthông thường Hiện nay, IMRT đang được sử dụng rộng rãi để điều trịung thư tuyến tiền liệt, đầu và cổ, và ung thư não.

Bài toán tính toán cường độ chùm tia bức xạ dựa trên quy định vềliều lượng tia trong khối thể tích mục tiêu và các cấu trúc quan trọngxung quanh được gọi là quy hoạch ngược Bài toán này được mô hình hóadưới dạng tối ưu đa tiêu chí với hàm mục tiêu phụ thuộc vào mục tiêu cụthể mà người lập phác đồ điều trị muốn đạt được Nói chung, mức liềulượng bức xạ trong cơ quan ung thư nên được gần đến liều mong muốnđồng thời tránh bức xạ ở các cơ quan bên ngoài khối u (các cơ quan quantrọng) càng nhiều càng tốt Bài toán ngược này liên quan đến nón cốđịnh được nghiên cứu bởi một số tác giả và có thể được chia thành hailoại: quy hoạch phi tuyến đa mục tiêu và quy hoạch tuyến tính đa mụctiêu [4] Tuy nhiên từ góc độ thực tế, bài toán ngược này có thể được coinhư một bài toán tối ưu đa tiêu chí liên quan đến cấu trúc thứ tự thay

đổi [5].

Như ta đã biết, trong điều trị ung thư phổi thì phổi là cơ quan nhạycảm nhất với tổn thương do xạ trị Liều lượng bức xạ truyền đến phổi bịgiới hạn bởi tủy sống và tim (các cơ quan quan trọng) Do đó, để giảmảnh hưởng của bức xạ lên các cơ quan này thì liều lượng bức xạ truyềnđến tủy sống và tim phải được giảm thiểu Đường cong đáp ứng liều lượngbức xạ mô tả sự thay đổi tác dụng trên một cơ quan do các mức liều khácnhau được phân phối đến cơ quan đó Giả sử rằng các đường cong đápứng liều cho phổi, tủy sống và tim trong điều trị ung thư phổi là minhhọa trong Hình 1.

Hình 1 Đường cong đáp ứng liều cho phổi, tủy sống và tim trong điềutrị ung thư phổi.

Các đường cong này có thể được sử dụng để ước tính ngưỡng liềulượng bức xạ cho từng cơ quan Dưới ngưỡng đó các cơ quan không bịảnh hưởng bởi bức xạ Theo quan điểm trong toán học, nó là một liều

lượng nếu dưới đáp ứng thì bằng không và trên đáp ứng thì khác không,xem [7, 12] Trong trường hợp này, giả định rằng θ1, θ2 và θ3 tương ứnglà ngưỡng liều lượng bức xạ của phổi, tủy sống và trái tim Xét ba kếhoạch (phương án) điều trị (A1,B1, C1), (A2, B2,C2) và (A3,B3, C3) với

Ai, Bi, Ci lần lượt là liều đưa đến phổi, tủy sống và tim, i = 1, 2, 3 Từquan điểm thực tế, nếu phản ứng của cơ quan về sự thay đổi liều lượng làtương đối nhỏ, thì sự gia tăng của liều lượng được phân phối đến cơ quanđó để cải thiện giá trị cho cơ quan khác được ưu tiên, xem [5] Chi tiếthơn, chúng ta không chỉ muốn cải thiện mức liều trong phổi, tuỷ sống vàtim mà còn để tăng liều truyền đến tủy sống từ B1 đến B2 để giảm sốliều trong tim, ví dụ, từ C1 đến C2 Lý do là một sự cải thiện lớn về ảnhhưởng trên tim đạt được bằng cách thay đổi liều thành C2 trong khi tácđộng lên phổi và tủy sống bị thay đổi nhẹ.

Giả định rằng tất cả các kế hoạch điều trị là một tập con của R3 vàxét một nón lồi kín (đóng) C ⊂ R3 Giả sử rằng chúng ta rút ra mộtmô hình toán học cho bài toán này liên quan đến tập C Ta ký hiệu

(A2, B2, C2) ≤C (A1, B1, C1) nếu d := (A1, B1, C1) − (A2, B2, C2) ∈ C Vì

C là hình nón nên λd ∈ C với mọi λ > 0 và do đó nếu (A3, B3, C3) thỏamãn(A2, B2, C2) − (A3, B3, C3) = βd với β > 0 thì ta có (A3, B3, C3) ≤C(A2, B2, C2) tức là (A3, B3, C3) “tốt hơn” so với (A2, B2, C2) Mặt khác,khi nhìn vào đường cong đáp ứng liều lượng của tủy sống, sự gia tăngảnh hưởng đến tủy sống phần lớn bằng cách thay đổi liều từ B2 đến B3.Do đó, (A3, B3, C3) có thể không phải là giải pháp ưa thích theo quanđiểm thực tế Do đó, việc lựa chọn nón thứ tự thay đổi tùy thuộc vàoliều lượng thực tế trong trường hợp này có vẻ thích hợp hơn.

Chương 2

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số cơ sở và khái niệm cầnthiết sẽ được sử dụng trong suốt luận văn này Đầu tiên, chúng ta nhắclại các khái niệm về quan hệ hai ngôi cũng như các định nghĩa nón trênkhông gian tuyến tính Phần 2.1, 2.2 nhắc lại về quan hệ thứ tự trênkhông gian tuyến tính, minh họa cách sử dụng cấu trúc trội thay đổi đểso sánh vector hoặc tập hợp Đặc biệt, chúng tôi nhắc lại một số quanhệ tập hợp, được nghiên cứu gần đây trong [18], và các mối quan hệ củachúng Phần 2.3, 2.4 các khái niệm liên quan đến cấu trúc trội và cấutrúc thứ tự thay đổi Phần 2.5, 2.6 trình bày các khái niệm và tính chấtcủa giới hạn nón pháp tuyến, đối đạo hàm, chuẩn vector và dưới vi phân.

Ta giả sử trong phần này X là một không gian tuyến tính Khi X đượctrang bị với một topology ta ký hiệu là X∗ là không gian topo đối ngẫucủa X và w∗ là topo yếu trên X∗ Trong phần sau, ta đưa ra một kháiniệm cổ điển của quan hệ hai ngôi.

Định nghĩa 2.1.1 Cho A ⊆ X và A 6= ∅, tập hợp các cặp phần tử cóthứ tự của A được định nghĩa như sau:

A × A := {(x1, x2)|x1, x2 ∈ A}.

Một tập con không trống R của A × A được gọi là quan hệ hai ngôitrên A Ký hiệu là x1Rx2 nếu (x1, x2) ∈ R.

Một số tính chất quan trọng của quan hệ hai ngôi được định nghĩa nhưsau:

Định nghĩa 2.1.2 Cho R là một quan hệ hai ngôi trên A Khi đó R

(i) tiền thứ tự nếu nó có tính phản xạ và bắc cầu;

(ii) thứ tự từng phần nếu nó có tính phản xạ, bắc cầu và phản đốixứng;

(iii) tương đương nếu nó có tính phản xạ, bắc cầu và đối xứng;(iv) thứ tự tuyến tính hoặc thứ tự toàn phần nếu R là thứ tự từngphần và hai điểm bất kỳ nào của A có thể so sánh được, tức là với mọi

Khi đó, R là thứ tự tuyến tính trên A nhưng không phải tương đương.

Khi quan hệ R là tiền thứ tự (hoặc là thứ tự từng phần), ta nói rằng

A là tập tiền thứ tự (hoặc thứ tự từng phần tương ứng) Ngoài ra, khônggian tuyến tính thứ tự từng phần là một không gian tuyến tính đượctrang bị thứ tự từng phần.

Định nghĩa 2.1.5 ChoR là một quan hệ hai ngôi trên không gian tuyếntính X, ta nói rằng R là tương thích (compatible) với cấu trúc tuyếntính của X nếu hai tính chất sau luôn đúng:

Nhận xét 2.1.7 (a) Nếu quan hệ hai ngôi R là phản đối xứng, thìx ∈ S¯

là điểm cực tiểu (cực đại) khi và chỉ khi

S Do đó, x ∈ Min(A, R) (¯¯ x ∈ Max(A, R)) khi và chỉ khi x ∈ Min(S, R)¯

(c) Khi R là một thứ tự từng phần trên A, một tập con khác trống S

của A có thể có không, một hoặc một vài điểm cực đại Tuy nhiên, nếu

R là một thứ tự tuyến tính, thì mọi tập con S của A có nhiều nhất mộtđiểm cực tiểu (cực đại) Chẳng hạn, tập A trong Ví dụ 2.1.4 chỉ có mộtđiểm cực tiểu, đó là (0, 0).

Trong phần này , ta nhắc lại một lớp quan hệ được xác định bởi nóntrong một không gian tuyến tính Các quan hệ này tương thích theo Địnhnghĩa 2.1.5 Chúng ta bắt đầu với định nghĩa của một nón như sau:

Định nghĩa 2.2.1 ([6, Definition 2.1.11]) Cho Y là một không giantuyến tính Một tập C ⊂ Y được gọi là nón nếu λc ∈ C với mọi c ∈ C

và với mọi λ ∈ R+.

Tất nhiên, nếu C là một nón và C 6= ∅, thì 0 ∈ C Một số tính chấtcủa C được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 2.2.2 ([6, Definition 2.1.11]) Cho C là một nón trong Y.Ta nói rằng C là:

(a) lồi nếu ∀x1, x2 ∈ C : x1 + x2 ∈ C;

(b) không tầm thường hoặc chính thường nếu C 6= ∅, C 6= {0Y}

C2 := (x, y) ∈ R2 | x1 ≤ 0, x1 ≤ x2

là nón chính thường, lồi, có đỉnh nhưng không phải tái tạo Ngoài ra,

C1∪ C2 là nón chính thường có đỉnh nhưng không phải nón lồi hoặc nóntái tạo.

Bắt đầu từ [8, Lemma 1.11] một nón C trong không gian tuyến tínhlồi khi và chỉ khi thỏa mãn điều kiện sau

Rõ ràng nếu U là cơ sở của nón lồi chính thường C thì cone(U ) = C.

Một nón mà được coi là một cơ sở thì được gọi là cơ sở Ngoài ra, mộtnón lồi chính thường với cơ sở thì có đỉnh Nếu S là lồi thì khẳng địnhsau luôn đúng

core S = {s ∈ S | cone(S − s) = Y }.

Ngoài ra, khi S là nón lồi và core S 6= ∅, nó thỏa mãn core S =

Mệnh đề 2.2.5 Cho C là một nón lồi trong không gian tuyến tính Y

với phần trong không trống Khi đó, int C = C + int C.

Định lý sau đây trình bày các mối quan hệ giữa quan hệ hai ngôi vànón Xem phần chứng minh cho kết quả này trong [6, Theorem 2.1.13].

Định nghĩa 2.2.6 ([6, Theorem 2.1.13]) ChoY là một không gian tuyếntính và cho C là một nón trong Y Khi đó quan hệ hai ngôi ≤C được chobởi

là phản xạ và thỏa mãn (2.1) và (2.2) Hơn nữa, C là lồi khi và chỉ khi

≤C là bắc cầu, và C có đỉnh khi và chỉ khi ≤C là phản đối xứng Ngượclại, nếu R là một quan hệ phản xạ trên X thỏa mãn (2.1) và (2.2), khiđó tập

là một nón và R =≤C.

Quan sát từ kết quả trên khi ∅ 6= C ⊂ Y quan hệ ≤C định nghĩa bởi(2.3) là một tiền thứ tự khi và chỉ khi C là một nón lồi Ngoài ra, ≤C làmột thứ tự từng phần khi và chỉ khi C là nón lồi có đỉnh.

Nhận xét 2.2.7 Tập C1 và C2 trong Ví dụ 2.2.3 là các nón thứ tự trongR2, trong khi tập C1 ∪ C2 không phải là nón thứ tự.

Khi Y được trang bị với quan hệ hai ngôi ≤C, trong đó C là nón lồichính thường có đỉnh và đóng, chúng ta có định nghĩa nghiệm hữu hiệuPareto của tập cho trong [6].

Định nghĩa 2.2.8 Cho ∅ 6= A ⊆ Y, C ⊂ Y là một nón lồi chính thườngcó đỉnh và đóng Ta nói rằng y ∈ A¯ là điểm hữu hiệu Pareto của A

với nón thứ tự C nếu không có điểm khác y ∈ A\{¯y} sao cho y ≤C y¯,tương đương với

Định nghĩa, sự tồn tại và các điều kiện tối ưu cần thiết cho nhiều loạiđiểm hữu hiệu Pareto đã được nghiên cứu trong nhiều ấn phẩm Đặc biệt,

[2] đã suy ra các điều kiện tối ưu cần thiết cho các điểm hữu hiệu nàymà không giả định độ nhọn về nón thứ tự.

Trong phần này, chúng tôi minh họa cách các cấu trúc trội thay đổiđược sử dụng để so sánh các vectơ trong một tập hợp và các tập trong mộthọ các tập Các phương pháp này sẽ được sử dụng để xác định nghiệmcho các bài toán tối ưu tập với cấu trúc trội thay đổi Trong tối ưu vectorcổ điển, một trường hợp đặc biệt của tối ưu tập, người ta định nghĩa cáckhái niệm tối ưu dựa trên thứ tự từng phần Tuy nhiên, trong nhiều bàitoán thực tế, cần phải xét các khái niệm tổng quát để so sánh một phần

đầu phần này bằng cách nhắc lại các khái niệm về cấu trúc trội Các kháiniệm này được giới thiệu lần đầu bởi Yu [17] để nghiên cứu bài toán raquyết định với hàm mục tiêu f : X → Y là hàm vector Trong bài toánnày, X ⊂ Rn là tập các quyết định có thể xảy ra, được gọi là không gianquyết định và Y ⊂ Rp Đưa ra hai kết quả y1 và y2 trong Y, y1 6= y2,chúng tôi ký hiệu y1  y2 nếu y1 được ưu tiên hơn y2.

Định nghĩa 2.3.1 ([17, Definition 5.1]) Một vector khác không d ∈ Rp

là một yếu tố trội của y ∈ Y nếu y0 = y + d thì y  y0 Tập cácyếu tố trội của y, cùng với vector không, sẽ được ký hiệu là D(y) Họ

Để đơn giản, cấu trúc trội sẽ được ký hiệu là D(·)

Để đưa ra các khái niệm của nghiệm cho tối ưu vector với cấu trúctrội, ta cần các phương pháp để so sánh các điểm Có hai phương phápđược giới thiệu bởi Chen [3] và Yu [17] như sau: Cho D : Y ⇒ Y là mộtánh xạ đa trị sao cho với mọi y ∈ Y, D(y) là tập không trống Ta xét hai

quan hệ hai ngôi sau trong đó D(·) có liên quan:

xem [17, Definition 5.2] Vài năm sau, Bergstresser, Charnes và Yu [19]đã đưa ra các khái niệm không trội cho trường hợp mà cấu trúc trội tạimỗi điểm không phải là nón lồi nhưng là một tập lồi.

Phương pháp thứ hai được sử dụng bởi Chen, Huang và Yang [3] đểtìm điểm không trội (cực tiểu) y ∈ A¯ theo nghĩa sau:

∃y 6= ¯y, y ∈ A : y 2 y,¯ i.e.,, A ∩ (¯y − D(¯y)\{0}) = ∅ (2.7)xem [3, Definition 1.13] Trong Phần 2.4, chúng ta sẽ nghiên cứu sâu hơnvề các tính chất và quan hệ giữa các điểm không trội và điểm cực tiểucủa một tập nhất định.

Định nghĩa 2.3.2 ([5, Definition 1.8]) Cho Y là không gian tuyến tínhtopo, D : Y ⇒ Y là ánh xạ đa trị sao cho D(y) là một nón lồi chínhthường, đóng với mọi y ∈ Y Ánh xạ nón D(·) được gọi là ánh xạ thứ tựnếu các điểm trong không gian Y được so sánh sử dụng quan hệ hai ngôi2.4 hoặc 2.5 Ta nói rằng D(·) xác định (cấu trúc) thứ tự thay đổi trên

Nhận xét 2.3.3 Nếu với mọi y ∈ Y, D(y) = C, trong đó C là một nónlồi, thì cả hai quan hệ 2.4 và 2.5 giảm xuống quan hệ ≤C cho bởi 2.3.

Một số quan hệ giữa các tính chất của D(·) và quan hệ hai ngôi 2.4 và2.5 được cho như sau.

Mệnh đề 2.3.4 ([5, Lemma 1.10]) Let D : Y ⇒ Y là một ánh xạ thứtự trên một không gian tuyến tính Y.

(a) Quan hệ hai ngôi 2.4 và 2.5 là phản xứng.(b) Quan hệ hai ngôi 2.4 là bắc cầu nếu

(c) Quan hệ hai ngôi 2.5 là bắc cầu nếu

Trong phần này, ta xét một số khái niệm liên quan đến cấu trúc thứtự thay đổi trong Rn, đây là nội dung chính mà ta sẽ sử dụng đến trongkhóa luận này Một tập Q ⊂ Rn được gọi là nón nếu với mọi q ⊂ Q

và với mọi λ ≥ 0 thì λq ⊂ Q Nón Q được gọi là lồi nếu Q + Q ⊆ Q.Ngoài ra, nón Q được gọi là có đỉnh nếu Q ∩ (−Q) = {0} và Q làchính thường nếu Q 6= Rn và Q 6= {0} Cho một nón Q ⊂ Rn ta đặt

một tập không trống A ⊆Rn, ta định nghĩa:

Bao affine của A được định nghĩa như sau:

đến một mô hình tối ưu cường độ chùm tia được trang bị cấu trúc thứtự thay đổi Để giới thiệu về cấu trúc thứ tự thay đổi và một số kết quảgần đây trong lĩnh vực này ta có thể đọc các tài liệu [1, 2, 3, 5, 16, 17].

Định nghĩa 2.4.1 (Cấu trúc thứ tự thay đổi,[5]) Cho K : Rn

⇒ Rn làmột ánh xạ đa trị sao cho với mọi y ∈ Rn, K(y) là một nón lồi chínhthường Khi đó với mọi y1,y2 ∈ Rn, ta định nghĩa:

Định nghĩa 2.4.2 Cho A là một tập con khác rỗng của Rn, ¯a ∈ A, và

⇒ Rn là một ánh xạ đa trị có giá trị là nón, ta có:

(i) ¯ là điểm không trội của A với K (·) nếu không có a ∈ A \ {¯a}

sao cho a ≤N ¯, tức là a ∈ a + K (a)¯ hoặc tương đương với ¯a /∈

(ii) ¯ là điểm cực tiểu của A với K (·) nếu không có a ∈ A \ {¯a} sao cho

a ≤P ¯, tức là ¯a ∈ a + K (¯a), hoặc tương đương với ({¯a} − K (¯a)) ∩

A = {¯a} Tập hợp tất cả các điểm cực tiểu của A với K (·) được ký

Nhận xét 2.4.3.

(i) Rõ ràng, khi K (·) = C trong đó C là nón lồi, đóng và có đỉnh của

Rn, các khái niệm về điểm không trội và điểm cực tiểu là giống nhau.Trong trường hợp này, ta gọi chúng là các điểm hữu hiệu Pareto của tập

A trong Rn đối với nón C.

(ii) [5, Lemma 2.15] Một điểm ¯ là một điểm cực tiểu của A với K (·) khivà chỉ khi nó là một điểm hữu hiệu của A trong Rn đối với nón K (¯a).

Bây giờ ta xét bài toán tối ưu vectơ với một cấu trúc thứ tự thay đổivà một vài khái niệm cho nghiệm của nó trong không gian gốc.

Cho f : Rm → Rn là một ánh xạ liên tục, Ω ⊆ Rm là một tập đóngkhác trống và K : Rn

Xét bài toán tối ưu vectơ (PK) và x ∈ Ω¯ Ta có:

(i) x¯ là nghiệm không trội của bài toán (PK) nếu f (¯x) là điểm khôngtrội của tập f (Ω).

(ii) x¯ là nghiệm cực tiểu của bài toán (PK) nếu f (¯x) là điểm cực tiểucủa tập f (Ω).

Nhận xét 2.4.5.

(i) Khi K (·) = C trong đó C là nón lồi đóng và có đỉnh của Rn, cáckhái niệm về nghiệm không trội và nghiệm cực tiểu là giống nhau Trong

trường hợp này, ta gọi chúng là các nghiệm hữu hiệu Pareto của bài toán

Trong phần này, ta trình bày các định nghĩa của nón pháp tuyến vàđối đạo hàm, được dùng trong điều kiện tối ưu của bài toán tối ưu vectơvới cấu trúc thứ tự thay đổi Nhắc lại các khái niệm giới hạn của ánh xạđa trị Cho F : Rm ⇒ Rn là một ánh xạ đa trị với miền xác định và đồthị được định nghĩa như sau