Giới thiệu về kỹ thuật xạ trị điều biến cường độ - IMRT
Điều trị xạ trị điều biến cường độ (IMRT) là kỹ thuật xạ trị tiên tiến chính xác cao bằng máy gia tốc tuyến tính do máy tính điều khiển để cung cấp liều bức xạ chính xác cho khối u ác tính hoặc các khu vực cụ thể bên trong khối u IMRT cho phép liều bức xạ chính xác và phù hợp hơn so với kỹ thuật xạ trị 2D, 3D và 3D-CRT Hơn nữa, IMRT cho phép chiếu xạ liều bức xạ cao hơn vào khối u trong khi giảm liều thấp dưới ngưỡng cho phép lên các cơ quan lành, cho nên kỹ thuật IMRT mang lại kết quả điều trị tốt hơn và giảm tác dụng phụ hơn so với các kỹ thuật thông thường Hiện nay, IMRT đang được sử dụng rộng rãi để điều trị ung thư tuyến tiền liệt, đầu và cổ, và ung thư não.
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8
Quan hệ thứ tự trên không gian tuyến tính
Ta giả sử trong phần này X là một không gian tuyến tính Khi X được trang bị với một topology ta ký hiệu là X ∗ là không gian topo đối ngẫu của X và w ∗ là topo yếu trên X ∗ Trong phần sau, ta đưa ra một khái niệm cổ điển của quan hệ hai ngôi. Định nghĩa 2.1.1 Cho A ⊆ X và A 6= ∅, tập hợp các cặp phần tử có thứ tự của A được định nghĩa như sau:
Một tập con không trống R của A×A được gọi là quan hệ hai ngôi trên A Ký hiệu là x 1 Rx 2 nếu (x 1 , x 2 ) ∈ R.
Một số tính chất quan trọng của quan hệ hai ngôi được định nghĩa như sau: Định nghĩa 2.1.2 Cho R là một quan hệ hai ngôi trên A Khi đó R gọi là:
(ii) bắc cầu nếu ∀x 1 , x 2 , x 3 ∈ A : x 1 Rx 2 , x 2 Rx 3 ⇒x 1 Rx 3 ;
(iii) đối xứng nếu ∀x 1 , x 2 ∈ A : x 1 Rx 2 ,⇒x 2 Rx 1 ;
(iv) phản đối xứng nếu ∀x 1 , x 2 ∈ A : x 1 Rx 2 , x 2 Rx 1 ⇒ x 1 = x 2 Định nghĩa 2.1.3 Một quan hệ hai ngôi R trên A được gọi là
(i) tiền thứ tự nếu nó có tính phản xạ và bắc cầu;
(ii) thứ tự từng phần nếu nó có tính phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng;
(iii) tương đương nếu nó có tính phản xạ, bắc cầu và đối xứng; (iv) thứ tự tuyến tính hoặc thứ tự toàn phần nếu R là thứ tự từng phần và hai điểm bất kỳ nào của A có thể so sánh được, tức là với mọi x 1 , x 2 ∈ A hoặc x 1 Rx 2 hay x 2 Rx 1
Ví dụ 2.1.4 (i) Cho n ∈ N, n ≥ 2 Xét quan hệ hai ngôi R được định nghĩa trên R n như sau:
Rõ ràng R là một thứ tự từng phần nhưng nó không phải là tương đương hoặc thứ tự tuyến tính.
(ii) Cho A := {(a,2a)|a ∈ R + } và quan hệ hai ngôi R trên A được định nghĩa như sau:
Khi đó, R là thứ tự tuyến tính trên A nhưng không phải tương đương.
Khi quan hệ R là tiền thứ tự (hoặc là thứ tự từng phần), ta nói rằng
A là tập tiền thứ tự (hoặc thứ tự từng phần tương ứng) Không gian tuyến tính thứ tự từng phần là không gian tuyến tính được trang bị thứ tự từng phần Cho quan hệ hai ngôi R trên không gian tuyến tính X, R tương thích với cấu trúc tuyến tính của X nếu:- Tổng của hai phần tử bất kỳ trong X có quan hệ lớn hơn hoặc bằng quan hệ của từng phần tử.- Bội của mọi phần tử trong X có quan hệ lớn hơn hoặc bằng quan hệ của phần tử ban đầu.
Bây giờ ta định nghĩa điểm cực tiểu (cực đại) của tập A với quan hệ
R như sau: Định nghĩa 2.1.6 Giả sử R là quan hệ hai ngôi trên A Cho S là tập con không trống của A Một điểm x¯ ∈ S được gọi là:
(i) điểm cực tiểu của S với R nếu với mọi x ∈ S : xRx¯⇒ xRx¯ (ii) điểm cực đại của S với R nếu với mọi x ∈ S : ¯xRx ⇒ xR¯x.
Ta ký hiệu Min(S,R) và Max(S,R) là tập các điểm cực tiểu và cực đại tương ứng của S với R.
Nhận xét 2.1.7 (a) Nếu quan hệ hai ngôi R là phản đối xứng, thìx¯∈ S là điểm cực tiểu (cực đại) khi và chỉ khi
(b) Giả sử R là một quan hệ hai ngôi trên A và S là tập con không trống của A, khi đó R := R ∩(S ×S) là một quan hệ hai ngôi trên S.Ngoài ra, nếu R là một tiền thứ tự (thứ tự từng phần, thứ tự tuyến tính) trên A, thì R là một tiền thứ tự (thứ tự từng phần, thứ tự tuyến tính) trên
S Do đó, x¯ ∈ Min(A,R) (¯x ∈ Max(A,R)) khi và chỉ khi x¯ ∈ Min(S,R) (¯x ∈ Max(S,R) tương ứng ).
(c) Khi R là một thứ tự từng phần trên A, một tập con khác trống S của A có thể có không, một hoặc một vài điểm cực đại Tuy nhiên, nếu
R là một thứ tự tuyến tính, thì mọi tập con S của A có nhiều nhất một điểm cực tiểu (cực đại) Chẳng hạn, tập A trong Ví dụ 2.1.4 chỉ có một điểm cực tiểu, đó là (0,0).
Các tính chất nón
Trong phần này, chúng ta xét về lớp quan hệ được xác định bởi nón trong không gian tuyến tính Các quan hệ này thỏa mãn Điều kiện 2.1.5 Nón được định nghĩa như sau: Cho không gian tuyến tính Y, tập C ⊂ Y được gọi là nón nếu với mọi c thuộc C và mọi λ không âm, ta có λc cũng thuộc C.
Tất nhiên, nếu C là một nón và C 6= ∅, thì 0 ∈ C Một số tính chất của C được định nghĩa như sau: Định nghĩa 2.2.2 ([6, Definition 2.1.11]) Cho C là một nón trong Y.
(b) không tầm thường hoặc chính thường nếu C 6= ∅, C 6= {0 Y } và C 6= Y;
C 2 := (x, y) ∈ R 2 | x 1 ≤ 0, x 1 ≤ x 2 là nón chính thường, lồi, có đỉnh nhưng không phải tái tạo Ngoài ra,
C 1 ∪C 2 là nón chính thường có đỉnh nhưng không phải nón lồi hoặc nón tái tạo.
Bắt đầu từ [8, Lemma 1.11] một nón C trong không gian tuyến tính lồi khi và chỉ khi thỏa mãn điều kiện sau
(a) Cho C là nón lồi chính thường trong không gian tuyến tính Y Giả sử rằng U là tập con lồi khác trống của C Ta nói rằng U là cơ sở của C nếu với mỗi c ∈ C\ {0 Y } có một đại diện duy nhất của biểu thức c = λu cho λ > 0 và u ∈ U.
(b) Cho S ⊂ Y là một tập khác trống Ta ký hiệu cone(S) là nón tạo bởi S được định nghĩa như sau cone(S) := {λs | λ ≥ 0, s ∈ S}.
Rõ ràng nếu U là cơ sở của nón lồi chính thường C thì cone(U) = C. Một nón mà được coi là một cơ sở thì được gọi là cơ sở Ngoài ra, một nón lồi chính thường với cơ sở thì có đỉnh Nếu S là lồi thì khẳng định sau luôn đúng coreS = {s ∈ S | cone(S−s) =Y}.
Ngoài ra, khi S là nón lồi và core S 6= ∅, nó thỏa mãn coreS S + coreS, xem [8, Lemma 1.12].
Mệnh đề 2.2.5 Cho C là một nón lồi trong không gian tuyến tính Y với phần trong không trống Khi đó, intC = C + intC. Định lý sau đây trình bày các mối quan hệ giữa quan hệ hai ngôi và nón Xem phần chứng minh cho kết quả này trong [6, Theorem 2.1.13]. Định nghĩa 2.2.6 ([6, Theorem 2.1.13]) ChoY là một không gian tuyến tính và cho C là một nón trong Y Khi đó quan hệ hai ngôi ≤ C được cho bởi
≤ C := {(x, y) ∈ Y ×Y | y −x ∈ C} (2.3) là phản xạ và thỏa mãn (2.1) và (2.2) Hơn nữa, C là lồi khi và chỉ khi
≤ C là bắc cầu, và C có đỉnh khi và chỉ khi ≤ C là phản đối xứng Ngược lại, nếu R là một quan hệ phản xạ trên X thỏa mãn (2.1) và (2.2), khi đó tập
C := {y ∈ Y | 0 Y Ry} là một nón và R =≤ C
Quan sát từ kết quả trên khi ∅ 6= C ⊂ Y quan hệ ≤ C định nghĩa bởi (2.3) là một tiền thứ tự khi và chỉ khi C là một nón lồi Ngoài ra, ≤ C là một thứ tự từng phần khi và chỉ khi C là nón lồi có đỉnh.
Nhận xét 2.2.7 Tập C 1 và C 2 trong Ví dụ 2.2.3 là các nón thứ tự trong
R 2 , trong khi tập C 1 ∪ C 2 không phải là nón thứ tự.
Khi xét tập Y với quan hệ hai ngôi ≤C, trong đó C là nón lồi chính thường đóng đỉnh, ta có khái niệm nghiệm tối ưu Pareto của tập hợp con A theo nghĩa hữu hiệu do [6] định nghĩa như sau:Điểm y¯ ∈ A là nghiệm tối ưu Pareto của A theo nón thứ tự C nếu không tồn tại y ∈ A\{¯y} sao cho y ≤C y¯.
A∩(¯y −C) = {¯y}. Định nghĩa, sự tồn tại và các điều kiện tối ưu cần thiết cho nhiều loại điểm hữu hiệu Pareto đã được nghiên cứu trong nhiều ấn phẩm Đặc biệt,
[2] đã suy ra các điều kiện tối ưu cần thiết cho các điểm hữu hiệu này mà không giả định độ nhọn về nón thứ tự.
Cấu trúc trội thay đổi trong so sánh các vector
Trong phần này, chúng tôi minh họa cách các cấu trúc trội thay đổi được sử dụng để so sánh các vectơ trong một tập hợp và các tập trong một họ các tập Các phương pháp này sẽ được sử dụng để xác định nghiệm cho các bài toán tối ưu tập với cấu trúc trội thay đổi Trong tối ưu vector cổ điển, một trường hợp đặc biệt của tối ưu tập, người ta định nghĩa các khái niệm tối ưu dựa trên thứ tự từng phần Tuy nhiên, trong nhiều bài toán thực tế, cần phải xét các khái niệm tổng quát để so sánh một phần tử y ∈ Y với các điểm z ∈ Y với cấu trúc trội thay đổi Chúng tôi bắt đầu phần này bằng cách nhắc lại các khái niệm về cấu trúc trội Các khái niệm này được giới thiệu lần đầu bởi Yu [17] để nghiên cứu bài toán ra quyết định với hàm mục tiêu f : X → Y là hàm vector Trong bài toán này, X ⊂ R n là tập các quyết định có thể xảy ra, được gọi là không gian quyết định và Y ⊂ R p Đưa ra hai kết quả y 1 và y 2 trong Y, y 1 6= y 2 , chúng tôi ký hiệu y 1 y 2 nếu y 1 được ưu tiên hơn y 2 Định nghĩa 2.3.1 ([17, Definition 5.1]) Một vector khác không d ∈ R p là một yếu tố trội của y ∈ Y nếu y 0 = y + d thì y y 0 Tập các yếu tố trội của y, cùng với vector không, sẽ được ký hiệu là D(y) Họ {D(y) | y ∈ Y} được gọi là cấu trúc trội của bài toán ra quyết định. Để đơn giản, cấu trỳc trội sẽ được ký hiệu là D(ã) Để đưa ra các khái niệm của nghiệm cho tối ưu vector với cấu trúc trội, ta cần các phương pháp để so sánh các điểm Có hai phương pháp được giới thiệu bởi Chen [3] và Yu [17] như sau: Cho D : Y ⇒ Y là một ánh xạ đa trị sao cho với mọi y ∈ Y,D(y) là tập không trống Ta xét hai quan hệ hai ngụi sau trong đú D(ã) cú liờn quan: y 1 z ⇐⇒ z ∈ y+ D(y) (2.4) và y 2 z ⇐⇒ z ∈ y +D(z) (2.5)
Yu [17] sử dụng quan hệ thứ nhất để tìm phần tử không trội của một tập nhất định A với một ỏnh xạ nún D(ã) Núi cỏch khỏc, tỏc giả đó tỡm kiếm một điểm y¯∈ A sao cho
Với bất kỳ điểm y ∈ A, y không trội hơn y, nghĩa là giao của A và phần bù của tập lồi D(y) không chứa phần tử nào khác 0 Một số năm sau đó, Bergstresser, Charnes và Yu đã mở rộng khái niệm không trội sang trường hợp cấu trúc trội không phải là nón lồi tại mỗi điểm mà là một tập lồi.
Phương pháp thứ hai được sử dụng bởi Chen, Huang và Yang [3] để tìm điểm không trội (cực tiểu) y¯∈ A theo nghĩa sau:
∃y 6= ¯y, y ∈ A: y 2 y,¯ i.e.,, A∩(¯y − D(¯y)\{0}) =∅ (2.7) xem [3, Definition 1.13] Trong Phần 2.4, chúng ta sẽ nghiên cứu sâu hơn về các tính chất và quan hệ giữa các điểm không trội và điểm cực tiểu của một tập nhất định. Định nghĩa 2.3.2 ([5, Definition 1.8]) Cho Y là không gian tuyến tính topo, D : Y ⇒ Y là ánh xạ đa trị sao cho D(y) là một nón lồi chính thường, đúng với mọi y ∈ Y Ánh xạ nún D(ã) được gọi là ỏnh xạ thứ tự nếu các điểm trong không gian Y được so sánh sử dụng quan hệ hai ngôi 2.4 hoặc 2.5 Ta núi rằng D(ã) xỏc định (cấu trỳc) thứ tự thay đổi trờn Y.
Nhận xét 2.3.3 Nếu với mọi y ∈ Y,D(y) =C, trong đó C là một nón lồi, thì cả hai quan hệ 2.4 và 2.5 giảm xuống quan hệ ≤ C cho bởi 2.3.
Một số quan hệ giữa cỏc tớnh chất của D(ã) và quan hệ hai ngụi 2.4 và 2.5 được cho như sau.
Mệnh đề 2.3.4 ([5, Lemma 1.10]) Let D : Y ⇒ Y là một ánh xạ thứ tự trên một không gian tuyến tính Y.
(a) Quan hệ hai ngôi 2.4 và 2.5 là phản xứng.
(b) Quan hệ hai ngôi 2.4 là bắc cầu nếu
D(y +d) ⊆ D(y), với mọi y ∈ Y và với mọi d ∈ D(y).
(c) Quan hệ hai ngôi 2.5 là bắc cầu nếu
D(y −d) ⊆ D(y), với mọi y ∈ Y và với mọi d∈ D(y).
Một số khái niệm liên quan đến cấu trúc thứ tự thay đổi
Trong phần này, ta xét một số khái niệm liên quan đến cấu trúc thứ tự thay đổi trong R n , đây là nội dung chính mà ta sẽ sử dụng đến trong khóa luận này Một tập Q ⊂ R n được gọi là nón nếu với mọi q ⊂ Q và với mọi λ ≥ 0 thì λq ⊂ Q Nón Q được gọi là lồi nếu Q+ Q ⊆ Q. Ngoài ra, nón Q được gọi là có đỉnh nếu Q ∩ (−Q) = {0} và Q là chính thường nếu Q 6= R n và Q 6= {0} Cho một nón Q ⊂ R n ta đặt
Q + := {y ∗ ∈ R n |∀y ∈ Q : y ∗ (y) ≥ 0} là nón đối ngẫu dương của Q Cho một tập không trống A ⊆R n , ta định nghĩa: cone A:= {ta : t∈ R + , a ∈ A} trong đó R + = [0,∞)
Bao affine của A được định nghĩa như sau: aff A :( l X i=1 λ i x i |x i ∈ A, λ i ∈ R, l
) là tập affine nhỏ nhất chứa A Tập đóng của aff A trong R n được gọi là bao affine đóng của A và được định nghĩa là affA Phần trong tương đối
A của A là phần trong của A liên quan đến affA Luận văn này đề cập đến một mô hình tối ưu cường độ chùm tia được trang bị cấu trúc thứ tự thay đổi Để giới thiệu về cấu trúc thứ tự thay đổi và một số kết quả gần đây trong lĩnh vực này ta có thể đọc các tài liệu [1, 2, 3, 5, 16, 17]. Định nghĩa 2.4.1 (Cấu trúc thứ tự thay đổi,[5]) Cho K : R n ⇒ R n là một ánh xạ đa trị sao cho với mọi y ∈ R n , K(y) là một nón lồi chính thường Khi đó với mọi y 1 ,y 2 ∈ R n , ta định nghĩa: y 1 ≤ N,K y 2 nếu y 2 ∈ y 1 +K(y 1 ), (2.8) và y1 ≤ P,K y2 nếu y2 ∈ y1 +K(y2) (2.9)
Nếu các phần tử trong không gian R n được so sánh bằng mối quan hệ hai ngôi (2.8) hoặc (2.9) thì K được gọi là một cấu trúc thứ tự thay đổi trên
Y. Để thuận tiện, từ giờ ta viết ký hiệu ≤ N,K ,≤ P,K bằng công thức dễ hơn là ≤ N và ≤ P Trước khi trình bày định nghĩa cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu vector với cấu trúc thứ tự thay đổi, ta cần trình bày các định nghĩa về phần tử không trội và phần tử cực tiểu của các tập với cấu trúc thứ tự thay đổi. Định nghĩa 2.4.2 Cho A là một tập con khác rỗng của R n , ¯a ∈ A, và
K : R n ⇒ R n là một ánh xạ đa trị có giá trị là nón, ta có:
(i) ¯a là điểm khụng trội của A với K(ã) nếu khụng cú a ∈ A \ {¯a} sao cho a ≤ N ¯a, tức là a¯ ∈ a + K(a) hoặc tương đương với ¯a /∈ [ a∈A
({a}+ K(a)\ {0 R n }) Tập tất cả phần tử không trội của A với
K(ã) được ký hiệu là ND(A,K(ã)).
(ii) ¯a là điểm cực tiểu của A với K(ã) nếu khụng cú a ∈ A\ {¯a} sao cho a ≤ P ¯a, tức là ¯a ∈ a+K(¯a), hoặc tương đương với ({¯a} − K(¯a))∩
A = {¯a} Tập hợp tất cả cỏc điểm cực tiểu của A với K(ã) được ký hiệu Min(A,K(ã)).
(i) Rừ ràng, khi K(ã) = C trong đú C là nún lồi, đúng và cú đỉnh của
R n , các khái niệm về điểm không trội và điểm cực tiểu là giống nhau. Trong trường hợp này, ta gọi chúng là các điểm hữu hiệu Pareto của tập
(ii) [5, Lemma 2.15] Một điểm ¯a là một điểm cực tiểu của A với K(ã) khi và chỉ khi nó là một điểm hữu hiệu của A trong R n đối với nón K(¯a).
Bây giờ ta xét bài toán tối ưu vectơ với một cấu trúc thứ tự thay đổi và một vài khái niệm cho nghiệm của nó trong không gian gốc.
Cho f : R m → R n là một ánh xạ liên tục, Ω ⊆ R m là một tập đóng khác trống và K : R n ⇒ R n là một ánh xạ đa trị nón thứ tự Đặt f (Ω) := {f(x)|x ∈ Ω} Ta xét bài toán sau
K −min x∈Ωf(x) (P K ) Định nghĩa 2.4.4 (Nghiệm không trội và nghiệm cực tiểu của bài toán tối ưu vectơ với một cấu trúc thứ tự thay đổi)
Xét bài toán tối ưu vectơ (P K ) và x¯ ∈ Ω Ta có:
(i) x¯ là nghiệm không trội của bài toán (P K ) nếu f (¯x) là điểm không trội của tập f (Ω).
(ii) x¯ là nghiệm cực tiểu của bài toán (P K ) nếu f (¯x) là điểm cực tiểu của tập f (Ω).
(i) Khi K(ã) = C trong đú C là nún lồi đúng và cú đỉnh của R n , cỏc khái niệm về nghiệm không trội và nghiệm cực tiểu là giống nhau Trong trường hợp này, ta gọi chúng là các nghiệm hữu hiệu Pareto của bài toán
(ii) Nếu x¯∈ Ω là nghiệm cực tiểu của bài toán (P K ), thì nó cũng là nghiệm hữu hiệu Pareto của bài toán K(f (¯x)) - min
Nón pháp tuyến và đối đạo hàm
Trong phần này, ta trình bày các định nghĩa của nón pháp tuyến và đối đạo hàm, được dùng trong điều kiện tối ưu của bài toán tối ưu vectơ với cấu trúc thứ tự thay đổi Nhắc lại các khái niệm giới hạn của ánh xạ đa trị Cho F : R m ⇒ R n là một ánh xạ đa trị với miền xác định và đồ thị được định nghĩa như sau domF := {x ∈ R m |F(x) 6= ∅}. và gphF := {(u, v) ∈ R m ×R n |v ∈ F(u)}.
Ta ký hiệu giới hạn trên và giới hạn dưới của F khi x →x¯ lần lượt là lim sup x→¯ x
F(x) và lim inf x→¯ x F(x), được định nghĩa như sau:
Lim inf x→¯ x F(x) := {y ∈ R n |∀{x k } → x,¯ ∃y k ∈ F(x k ) với k ∈ N : y k → y khi k → ∞}. Định nghĩa 2.5.1 (Nón pháp tuyến, [11])Cho S là tập con khác rỗng của R n , với x ∈ S, > 0 Ta định nghĩa -nón pháp tuyến của S tại x là
Khi = 0, các phần tử thuộc vế phải của (2.10) được gọi là nón pháp tuyến Fréchet và tập hợp những phần tử đó được kí hiệu là Nˆ(S, x) là nón pháp Fréchet của S tại x.
Cho x¯ ∈ S, nón pháp tuyến (nón cơ sở, qua giới hạn, Mordukhovich) của S tại x¯ được định nghĩa như sau
Ta giới thiệu định nghĩa đối đạo hàm của một ánh xạ đa trị F : R m ⇒
Định nghĩa 2.5.2 (Đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich, [11]): Với ánh xạ f : R m → R n và ánh xạ đa trị K : R n ⇒ R n, định nghĩa sau đây được đưa ra:
Cho F : R m ⇒ R n là một ánh xạ đa trị và (¯x,y)¯ ∈ gphF Đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯x,y)¯ là ánh xạ đa trị Dˆ ∗ F(¯x,y) :¯ R n ⇒ R m được định nghĩa như sau:
Dˆ ∗ F(¯x,y)(y¯ ∗ ) := nx ∗ ∈ R m |(x ∗ ,−y ∗ ) ∈ Nˆ(gphF,(¯x,y))¯ o. Đối đạo hàm Mordukhovich củaF tại(¯x,y)¯ là ánh xạ đa trịD ∗ F(¯x,y) :¯
R n ⇒ R m được định nghĩa như sau:
Chúng tôi xin nhắc lại một vài kết quả của nón pháp với các tập đặc biệt của R n Các kết quả này được lấy từ Rockafellar và Wets [15], vì thế ta bỏ qua chứng minh chúng trong luận văn này.
Mệnh đề 2.5.3 (Nón pháp trên tập tích, [15, Theorem 6.41])
Cho Ci là các tập con đóng của R n i , i= 1, , k và R n = R n 1 × .×
R n k Nếu C = C 1 × .×C k , thì tại bất kì x¯ = (¯x 1 , ,x¯ k ) với x¯ i ∈ C i ,thỏa điều kiện sau
Mệnh đề 2.5.4 (Nón pháp với tập dạng hộp (boxes), [15, Example 6.10]) Giả sử rằng C = C 1 × .×C k với C i là một khoảng đóng trong R, i 1, , n Khi đó, với mọi x¯ = (¯x 1 ,x¯ 2 , ,x¯ n ) với x¯ i ∈ C i , ta có
[0,∞) nếu x¯i là điểm cuối bên phải của Ci, (−∞,0] nếu x¯i là điểm cuối bên trái của Ci, {0} nếu x¯ i là điểm trong của C i ,
Kết quả của Bao [2] trong không gian hữu hạn chiều nêu rằng, nếu y¯ là một nghiệm không trội của bài toán tối ưu vectơ (P K ) với y¯ = f(¯x), với x¯ là phương án không trội của bài toán (P K ), thì K(.) thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) Với mọi y ∈ R n ,K(y) là một nón lồi khác trống;
(c) Tồn tại duy nhất điểm y ∗ thỏa −y ∗ ∈ D ∗ K(¯y,0)(y ∗ ).
Hơn nữa, giả sử rằng D ∗ f(¯x)(0) ∩ (−N(Ω,x)) =¯ {0} Khi đó ta có y ∗ ∈ R n \{0} sao cho
Chuẩn vector và dưới vi phân 22 Chương 3 BÀI TOÁN CƯỜNG ĐỘ CHÙM TIA VỚI
Trong phần này, ta ký hiệu không gian tuyến tính của ánh xạ tuyến tính liên tục từ R m tới R n là L(R m ,R n ) Ta bắt đầu phần này bằng cách nhắc lại định nghĩa dưới vi phân và chuẩn vector của một hàm vector. Định nghĩa 2.6.1 (Chuẩn vector, [8]) Cho C là một nón lồi trong R n
Một ỏnh xạ ||| ã ||| : R m → C được gọi là một chuẩn vector nếu với mọi x, x 1 , x 2 ∈ R n và mọi λ ∈ R thỏa các điều kiện sau:
(iii) |||x 1 +x 2 ||| ∈ |||x 1 |||+|||x 2 ||| −C. Định nghĩa 2.6.2 (Dưới vi phân của hàm vector, [8]) Cho C ⊂ R n là một nón lồi, và f : R m → R n Với một x¯ ∈ R m bất kỳ, tập
∂f(¯x) := {T ∈ L(R m ,R n )|∀h ∈ R m : f(¯x+ h)−f(¯x)−T(h) ∈ C} được gọi là dưới vi phân của f tại x¯
Nhận xét 2.6.3 Ta trình bày trong phần sau dưới vi phân của một số hàm vector đặc biệt
(i) [8, Example 2.22] Với hàm chuẩn vector ||| ã ||| : R m → R n ,x¯ ∈ R m ta có:
∂|||¯x||| = {T ∈ L(R m ,R n )|T(¯x) = |||¯x|||,∀x ∈ R m : T(x) ∈ |||x||| −¯ C}, trong đó C là nón lồi có đỉnh trong R n
(ii) [6, Theorem 4.1.12] Cho A ∈ L(R m ,R n ) và A ∗ ký hiệu là toán tử liên hợp của A, a ∈ R n , x 0 ∈ R m Thì
∂||A(ã)−a||(x 0 ) = A ∗ T|T ∈ L(R n ,R), T(Ax 0 −a) = |Ax 0 −a| ,||T|| ∗ ≤1 trong đú || ã || là một chuẩn trong R n Để suy ra mối quan hệ giữa đối đạo hàm của một hàm vectơ và dưới vi phân vô hướng hóa của nó, chúng tôi xin nhắc lại tính chất Lipschitz của một ánh xạ được định nghĩa như sau. Định nghĩa 2.6.4 ([11]) Cho f :R m → R n là một ánh xạ vector
(i) f là Lipschitz trên U ⊂ R m nếu U ⊂domf, và tồn tại l ≥ 0 sao cho
(ii) f được gọi là Lipschitz địa phương tại x ∈ R m nếu có một lân cận
U x của x sao cho f là Lipschitz trên U x
(iii) f là Lipschitz địa phương trên tập con không trống D của R m nếu f là Lipschitz quanh mọi điểm x ∈ D
Ta biết rằng một hàm lồi chính thường f : R m → R là Lipschitz địa phương tại bất kỳ điểm trong nào của miền xác định f [14, Theorem
10.4] Ngoài ra, trong [10], các tác giả đã chứng minh rằng một hàm lồi vector từ một tập con lồi D của R m vào R n là Lipschitz địa phương trên rint D
Mệnh đề 2.6.5 ([11], Theorem 3.28) Cho f : R m → R n Khi đó, với mọi y ∗ ∈ R n , ta có:
D ∗ f(¯x)(y ∗ ) = ∂(y ∗ ◦f) (¯x) 6= ∅ nếu f là Lipschitz địa phương tại x¯.
BÀI TOÁN CƯỜNG ĐỘ CHÙM TIA VỚI CẤU TRÚC THỨ TỰ
Bài báo đề xuất một cấu trúc thứ tự linh hoạt để giải quyết các mục tiêu xung đột trong điều trị xạ trị nhiều cơ quan dựa trên liều lượng ngưỡng Từ cấu trúc này, các điều kiện cần thiết cho liều mục tiêu của bài toán cường độ chùm tia được xác định Liều mục tiêu được định nghĩa như một nghiệm cực tiểu (hoặc cực tiểu) của bài toán tối ưu xấp xỉ vectơ, được thảo luận chi tiết trong Chương 4.
3.1 Bài toán thứ tự thay đổi thích hợp với điều trị xạ trị
Như minh họa trong hình 2, để đưa ra mô hình toán cho tối ưu cường độ chùm tia, chùm tia được rời rạc hóa thành p bixels hoặc các chùm tia nhỏ (beamlets) Khối thể tích3D của bệnh nhân được chia thànhl voxels, bao gồm l T voxels khối u và l C voxels cơ quan quan trọng (l = l T +l C ) trong đó T đại diện cho khối u (tumor), C đại diện cho các cơ quan quan trọng (critical organs) Liều lượng đặt vào voxel i ở cường độ đơn vị đối với bixelj được ký hiệu là a ij ∈ R Ta giả sử rằng ma trận lắng đọng liều
A = a ij ∈ R l×p được đưa ra Ta ký hiệu cường độ chùm tia là x ∈ R p
Khi đó, cường độ chùm tia và liều lượng có mối quan hệ sau: d = Ax, trong đó d ∈ R l là vectơ liều lượng và phần tử d i tương ứng với liều lượng đặt vào voxel i Ta giả định rằng A có thể được phân hoạch và sắp xếp lại thành các ma trận con AT ∈ R l T ×p và AC ∈ R l N ×p mà các hàng tương ứng với các voxels khối u và bình thường Rõ ràng liều lượng phân phối đến khối u và các cơ quan quan trọng tương ứng là A T x và A C x A C x có thể được phân chia thành A C 1 x, , A C k x theo liều lượng truyền tới k cơ quan khác C 1 , , C k
Hình 2 Sự rời rạc hóa của bệnh nhân vào trong voxels và của chùm tia vào trong bixels.
Bởi vì các mô khác nhau có thể chịu đựng lượng bức xạ khác nhau, bác sĩ chuyên khoa điều trị xạ trị ung thư cần xác định “liều theo toa” bao gồm liều đích cho khối u T G ∈ R l T , giới hạn dưới và giới hạn trên của liều đối với voxels khối u T LB, T U B ∈ R l T , giới hạn trên của liều so với voxels bình thườngCU B.CU B có thể được chia thànhC 1 U B, C 2 U B, , C k U B theo các voxels tương ứng với các cơ quan quan trọng khác nhau Trong điều trị bức xạ, liều ngưỡng được định nghĩa là lượng bức xạ cần thiết để gây ra hiệu ứng mô cụ thể Như đã được trình bày trước đây, tối ưu vectơ đối với mô hình nón thứ tự thay đổi để điều trị xạ trị thích hợp hơn mô hình nón không đổi Vì vậy ta cần xây dựng một cấu trúc thứ tự phù hợp để tìm ra liều lượng mong muốn cho bài toán tối ưu cường độ chùm tia Từ góc độ thực tế, liều lượng phân phối đến cơ quan quan trọng nên được giảm xuống khi nó vượt quá liều ngưỡng của cơ quan đó hoặc ta có thể tăng liều này để cải thiện giá trị của một cơ quan quan trọng khác Điều này dẫn đến một cấu trúc thứ tự thay đổi trong không gian R n được xác định như sau:
Cho θ ∈ R n , với mọi y = (y 1 , y 2 , , y n ) ∈ R n ta đặt
Rõ ràng, với mỗi y ∈ R n , thoả mãn I > (y)∪I ≤ (y) = (1,2, , n).
Ta định nghĩa ánh xạ thứ tự thay đổi K : R n ⇒ R n như sau: y ∈ R n ,K(y) := {d ∈ R n |d i ≥0, i ∈ I > (y)} (3.1) Ánh xạ đa trị này sẽ được sử dụng trong phần sau để xây dựng công thức của bài toán cường độ trong điều trị xạ trị khi θ được chọn thích hợp.
3.2 Hình thành công thức cường độ chùm tia trong điều trị xạ trị
Ta bắt đầu phần này bằng cách trình bày công thức toán học về tối ưu cường độ chùm tia Liều ngưỡng của cơ quan quan trọng i, trong đó i thuộc {1, , k}.
Vì độ lệch từ liều phân phối cho cơ quan khối u đến liều đích luôn không âm và nên được giảm thiểu, ta đặt θ := (0, θ C 1 , , θ C k ) ∈ R k+1 Tập hợp các điều kiện ràng buộc cho cường độ chùm tia được cho bởi
Bằng cỏch sử dụng ỏnh xạ thứ tự thay đổi K(ã) được cho bởi (3.1) với n:= k+ 1, bài toán tìm cường độ chùm tia trong điều trị xạ trị giờ đây có thể được xây dựng như một trường hợp đặc biệt của (P K ) được giới thiệu trong Mục 2.1.
kA T x−T Gk ∞ kA C 1 xk ∞ kA C K xk ∞
Tiêu chí đầu tiên có thể được hiểu là độ lệch từ liều lượng quy định đến khối u kA C i xk ∞ là liều tới cơ quan quan trọng thứ i (i = 1, , k). Hàm mục tiêu có thể được xây dựng bằng cách sử dụng chuẩn Euclide, xem [9] Tuy nhiên, chuẩn này cho phép tính trung bình các sai lệch lớn trên một mô nhỏ bằng sai lệch nhỏ hoặc không trên một mô lớn Do đó, có vẻ hợp lý hơn khi sử dụng định mức tối đa.
Sau đây, chúng tôi trình bày một số tính chất của nón có thứ tự thay đổi K(ã) được cho bởi (3.1).
Mệnh đề 3.2.1 Xét cấu trúc thứ tự thay đổi K : R n ⇒ R n định nghĩa bởi (3.1) và cho Ω là tập con của R n Khi đó, ta có các khẳng định sau:
(i) Với mỗi y ∈ R n , K(y) là nón lồi đóng và R n + ⊆ K(y) Ngoài ra, K(y) có đỉnh khi và chỉ khi y i > θ i , ∀i = 1,2, , n.
(iii) Nếu y¯∈ Ω thỏa I > (¯y) 6= ∅, thì tồn tại e 6= 0 sao cho e ∈ \ y∈Ω
(iv) gphK là tập con đóng của R n ×R n
(i) Rõ ràng, với mọi y ∈ R n ta có K(y) là nón lồi và đóng K(y) có đỉnh khi và chỉ khi K(y)∩(−K(y)) ={0} Theo định nghĩa K(ã), ta cú
Do đó K(y) có đỉnh khi và chỉ khi I > (y) = {1,2, , n} Điều kiện này có nghĩa là y i > θ i ,∀i = 1,2, , n.
(ii) Từ y 1 − y 2 ∈ R n + nên y 1 i ≥ y i 2 với mọi y = 1,2, , n Vì thế, với mọi i ∈ I > (y 2 ) ta có y 1 i ≥ y i 2 > θ i , tức là i ∈ I > (y 1 ) Do đó,
(iii) Giả sử rằng i 0 ∈ I > (¯y), tức là y¯ i 0 > θ i 0 Từ định nghĩa của K(ã) nếu d = (d 1 , , d n ) ∈ (−K(¯y)) thì d i 0 ≤ 0 Lấy e := (e 1 , , e n ), trong đó ei > 0 với mọi i = 1,2, , n, tức là e ∈ R n + Vì R n + ⊆ \ y∈Ω
K(y) Vì e i 0 > 0, ta được e /∈ (−K(¯y)), do đó e ∈
(iv) Xét dãy y k , d k ⊂ gphK hội tụ tới (y, d) khi k → ∞ Ta cần chứng minh rằng y k , d k ∈ gphK Giả sử
Ta xét các trường hợp sau.
Trường hợp 1: I > (y) 6= ∅ Cho i ∈ I > (y) tùy ý Ta sẽ chứng minh rằng di ≥0.
Vì y i > θ i và y i k →y i khi k → ∞, nên ta có
∃k 0 ∈ N ∗ sao cho với mọi k ≥ k 0 : y i k > θ i Xét (y 1 k , y 2 k , , y k n , d k 1 , , d k n ) ∈ gphK, ta được d k i ≥ 0, ∀k ≥ k0.
Vì d k i → d i khi k → ∞ suy ra d i ≥ 0 với mọi i ∈ I > (y) Do dó (y, d) ∈ gphK
Trường hợp 2: I > (y) =∅, tức là y i ≤ θ i ,∀i = 1,2, , n Từ định nghĩa của K(ã) thỡ (y, d) ∈ gphK Chứng minh đó hoàn thành.
Chương 4 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO
NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN XẤP
4.1 Điều kiện tối ưu cho nghiệm không trội của bài toán xấp xỉ ứng với cấu trúc thứ tự tổng quát
Ta bắt đầu phần này bằng việc giới thiệu một bài toán xấp xỉ vector mà được xét như là một bài toán tổng quát của bài toán (P 1 )
Cho ánh xạ tuyến tính Ai từ Rm vào Rmi, ai ∈ Rmi (i = 1,2, , n), kãk i là chuẩn trong Rmi Xét tập đúng khác rỗng Ω ⊆ Rm và ánh xạ đa trị K: Rn ⇒ Rn thỏa mãn K(y) là một nón lồi và đóng với mọi y ∈ Rn Bài toán nghiên cứu là xác định tập hợp các điểm x* ∈ Ω sao cho:
Trong Mục 4.2, ta sẽ thảo luận về bài toỏn (P 2 ) cho trường hợp K(ã) được cho bởi (3.1) Bây giờ, ta phát biểu điều kiện cần cho nghiệm không trội của bài toán xấp xỉ vector (P 2 ). Định lí 4.1.1 Ta xét bài toán (P2) với ánh xạ đa trị K : R n ⇒ R n Giả sử rằng x¯ ∈ Ω là nghiệm không trội của (P 2 ) và y¯:= f(¯x) Giả sử rằng các điều kiện sau đây thỏa mãn:
(i) ∀y ∈ R n ,K(y) là một nón lồi khác trống.
(iii) Có một điểm duy nhất y ∗ thỏa mãn −y ∗ ∈ D ∗ K(¯y,0)(y ∗ ).
Khi đó tồn tại y ∗ ∈ R n \ {0} và tương ứng z ∗ ∈ (y ∗ +D ∗ K(¯y,0)(y ∗ )) và Ti ∈ L(R m i ,R) thỏa mãn Ti(Ai(¯x) − a i ) = |A i (¯x)−a i | i và
Chứng minh: Vì f là Lipschitz nên ta có:$|f(x, y) - f(x', y')| \leq L\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}$,trong đó L là hằng số Lipschitz.Theo Mệnh đề 2.6.5, ta có:$\partial_{x_i}f = \frac{\partial f}{\partial x_i},\quad \partial_{y_i}f = \frac{\partial f}{\partial y_i}$.Từ đó, suy ra:$|[\partial_{x_i}f(x, y)-\partial_{x_i}f(x', y')] - [\partial_{y_i}f(x, y)-\partial_{y_i}f(x', y')]| \leq L\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}$.
∀y ∗ ∈ R n ,∀¯x ∈ Ω : D ∗ f(¯x)(y ∗ ) =∂(y ∗ ◦f)(¯x) Điều này có nghĩa làD ∗ f(¯x)(0) = {0}và do đóD ∗ f(¯x)(0)∩(−N(Ω,x)) =¯ {0}. Áp dụng Định lý 2.5.5, tồn tại y ∗ ∈ R n \ {0} sao cho
0∈ D ∗ f(¯x)(y ∗ +D ∗ K(¯y,0)(y ∗ )) +N(Ω,x)¯ Tức là có một z ∗ ∈ (y ∗ + D ∗ K(¯y,0)(y ∗ )) thỏa mãn
Từ công thức đối đạo hàm của hàm chuẩn vector trong nhận xét 2.6.3, ta có:
∃T i ∈ L(R m i ,R), Ti(Ai(¯x)−a i ) = Ai(¯x)−a i i và kT i k i∗ ≤ 1,(i = 1, , n) sao cho
Tiếp theo, ta đưa ra một hệ quả của Định lý 4.1.1 liên quan đến một điều kiện cần tối ưu cho nghiệm Pareto của bài toán (P2) với nón cố định.