NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: PHAN THANH QUẢNG Phái: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 12 -03 – 1962 Nơi sinh: Hải Phòng Chuyên ngành: Toán giải tích ứng dụng MSHV : 02404572 I- T
Khái niệm hệ động lực–Tính điều khiển–Kiến thức liên quan 4
Khái niệm hệ động lực 4
Trong lý thuyết điều khiển chúng ta tổng quát chú ý đến thuộc tính của 1 hệ thống Khi hệ thống chịu tác động của r đại lượng nhập u i (i =1 r), còn gọi là tín hiệu điều khiển, sẽ ảnh hưởng đến trạng thái của hệ được đặc trưng bằng n biến trạng thái x 1 ,x 2 , ,x n và m đại lượng xuất của hệ y 1 ,y 2 , ,y m
Trong dạng phương trình, mô hình toán học của hệ thống là:
Trong đó : A, B,C là những ma trận thay đổi theo t
A là ma trận [nxn] , B là ma trận [nxr] , C là ma trận [mxn]
Trong lý thuyết điều khiển, các câu hỏi tiêu biểu là:
- Hệ thống có thể được dẫn dắt từ một trạng thái ban đầu bất kỳ x0 đến một trạng thái cần thiết bất kỳ hay không ? (Tính điều khiển được)
- Có tồn tại một chiến lược điều khiển tối ưu cho hệ thống điều khiển được ? Nếu có tồn tại thì có là duy nhất hay không và bằng cách nào có thể tổng hợp được chúng ?
- Khi nào thì hệ thống được điều khiển là ổn định ?
- Nếu biết các đại lượng xuất y, các giá trị của trạng thái x có được biết ? (tính quan sát được)
Ta sẽ trả lời một số câu hỏi trên Chúng ta sẽ chứng minh rằng một hệ thống tuyến tính thì tính điều khiển được luôn tồn tại Chúng ta cũng sẽ đề cập rằng với hệ thống tuyến tính thì luôn tồn tại một chiến lược điều khiển tối ưu cho hệ và nó là duy nhất
Hệ thống được gọi là hệ động lực nếu có:
- Hệ thống ở trạng thái đầu x(t0) được tác động điều khiển ở thời điểm t2 sẽ có trạng thái trùng với trạng thái hệ có trạng thái đầu x(t1) và có tác động điều khiển ở thời điểm t2 Định nghĩa nêu trên của hệ động lực là trùng với định nghĩa hệ động lực là hệ thống được mô tả bằng hệ phương trình vi phân
Hệ động lực theo phương trình (I.1) sẽ có nghiệm là:
Khi hệ bất biến theo thời gian thì
Hệ thống được gọi là có tính ổn định nếu mà:
Với mỗi trạng thái đầu được tác động điều khiển thì trạng thái cuối là bị chặn Tính ổn định cho hệ thống bất biến theo thời gian là:
- Là ổn định nếu các giá trị riêng λ i của A thỏa : Re(λ i )≤0
- Là ổn định tiệm cận nếu Re(λ i )0 if 0) k=-1 neáu a x io ' =b * 0 i (khi a l io ' 0 đủ nhỏ Sẽ tồn tại ε > 0 0 sao cho với bất kỳεứ , 0 < ε ≤ ε 0 , điều khiển
_ u(.)xây dựng được là chấp nhận được do điều khiển tựa {u(.),s0 π }là không suy biến Tính số gia của tiêu chuẩn chất lượng trên các điều khiển u(.) _ , u(.), dựa vào (II.21), (II.24) , (II.31), (II.30), ta nhận được:
Bất đẳng thức trên mâu thuẫn với tính tối ưu của điều khiển u (.) Điều này có nghĩa là giả thiết của ta là sai Tức là: k 0
* k0 0, khi u u Δ ≥ 2 Giả sử tồn tại chỉ số k 0 ∈K H sao cho: k0 k0
= = = ∈ = = ∈ (II.32) Ở đây chọn ω = ±ε k 0 sao cho ω k 0 và Δ k0 luôn cùng dấu Điều khiển u(.) _ thoả điều kiện (II.7) và ràng buộc (II.6) nếu: k k k k k K k K k k K h(t ) u h(t )u 0
∑ (II.33) Chú ý đến (II.32), ta tính ma trận Jacobi của hệ phương trình (II.33) đối với
(ω ∈ π ; s , ∈ π ) Nó trùng với P Do P không suy biến nên theo mệnh đề về hàm ẩn, phương trình (II.33) có thể giải theo (ω k ;k∈K 0 π ; s p ( i ) ,i∈I 0 π ) khi có ε >0 đủ nhỏ Sẽ tồn tại ε > 0 0 sao cho với bất kỳε, 0< ε ≤ ε 0 , điều khiển
_ u(.)xây dựng được là chấp nhận được do điều khiển tựa {u(.),s0 π }là không suy biến Tính số gia của tiêu chuẩn chất lượng trên các điều khiển u(.) _ , u(.), dựa vào (II.21), (II.24) , (II.32), (II.33), ta nhận được:
J(u) k 0 O( ) 0 Δ = Δ ε + ε > khi ε >0 đủ nhỏ Bất đẳng thức trên mâu thuẫn với tính tối ưu của điều khiển u(.) Điều này có nghĩa là giả thiết của ta là sai Tức là:
3 Giả sử tồn tại chỉ số k 0 ∈K H sao cho : k 0 0, khi uk 0 =0 Δ >
= = = ∈ = = ∈ (II.34) Điều khiển u(.) _ thoả điều kiện (II.7) và ràng buộc (II.6) nếu: k k k k k K k K k k K h(t ) u h(t )u 0
∑ (II.35) Chú ý đến (II.34), ta tính ma trận Jacobi của hệ phương trình (II.35) đối với
(ω ∈ π ; s , ∈ π ) Nó trùng với P Do P không suy biến nên theo mệnh đề về hàm ẩn, phương trình (II.14) có thể giải theo (ω k , k K∈ 0 π ; s p(i) ,i I∈ 0 π ) khi có ε >0 đủ nhỏ Sẽ tồn tại ε > 0 0 sao cho với bất kỳε, 0< ε ≤ ε 0 , điều khiển
_ u(.)xây dựng được là chấp nhận được do điều khiển tựa {u(.),s0 π }là không suy biến Tính số gia của tiêu chuẩn chất lượng trên các điều khiển u(.) _ , u(.), dựa vào (II.21), (II.24), (II.34), (II.35), ta nhận được: ΔJ(u)= Δ ε + k 0 O( )ε >0 khi ε >0 đủ nhỏ
Bất đẳng thức trên mâu thuẫn với tính tối ưu của điều khiểnu(.) Điều này có nghĩa là giả thiết của ta là sai Tức là: Δ k 0 ≤0, khi u k 0 =0
Các trường hợp phá vỡ điều kiện (II.25) còn lại được phân tích tương tự
2) Quan hệ (II.26) được rút ra trực tiếp từ (II.25):
Thật vậy, giả sử tồn tại chỉ số i ∈ { 0,1, , r } sao cho t p (i 1) + −t q (i ) ≥2h * Xem xét thời điểm t bất kỳ từ ⎡⎣t q (i) +h , t * p (i 1) + −h * ⎤⎦ Cho rằng vào thời điểm t có tác động điều khiển với cường độ bằng 0, ta gộp t vào T u Điều khiển mới là chấp nhận được Ta tạo lại các khối và từ quan hệ (II.25) ta thu được Δ − (t) 0≤
3) Giả sử quan hệ (II.27) không được thoả mãn
3.1 Chính xác hơn, giả sử tồn tại chỉ số i0∈I \ 1, r ;H { } sao cho δ > i 0 0 Cho 1 số gia ( ,s)ω với
Do điều khiển u(.) là chấp nhận được nên với u(.) _ điều kiện (II.7) và ràng buộc (II.6) sẽ được thoả mãn nếu: k k k k k k k K k K k k Ko h(t s )(u ) h(t )u 0
Khi ε >0 đủ nhỏ, phương trình (II.37) cũng như phương trình (II.35) là giải được đối với (ω k , k K∈ 0 π ; s p(i) ,i I∈ 0 π ) và điều khiển u(.) _ là chấp nhận được do tính không suy biến của ma trận P và điều khiển tựa {u(.),s0 π }
Từ (II.21), (II.24), (II.36), (II.37) kéo theo:
Bất đẳng thức mâu thuẫn với tính tối ưu của điều khiển u(.)
Tương tự nếu δ i 0 h * sao cho δ > 1 0 Cho 1 số gia ( ,s)ω với:
Do điều khiển u (.) là chấp nhận được nên với u(.) _ điều kiện (II.7) và ràng buộc (II.6) sẽ được thoả mãn nếu: k k k k k k k k K k K k K h(t s )(u ) h(t )u 0
Khi ε > 0 đủ nhỏ, phương trình (II.39) là giải được đối với
(ω ∈ π ; s , ∈ π )và điều khiển u(.) _ là chấp nhận được do tính không suy biến của ma trận P và của điều khiển tựa {u(.),s0 π }
Từ (II.21), (II.24), (II.38), (II.39) kéo theo:
Bất đẳng thức mâu thuẫn với tính tối ưu của điều khiển u(.)
Tương tự nếu δ 1 khi có ε > 0 đủ nhỏ Tóm lại :
3.3 Giả sử tồn tại chỉ số 1 I∈ H t 1 = h * sao cho δ > 1 0 Cho 1 số gia ( ,s)ω với:
Do điều khiển u(.) là chấp nhận được nên với u(.) _ điều kiện (II.7) và ràng buộc (II.6) sẽ được thoả mãn nếu: k k k k k k k k K k K k K h(t s )(u ) h(t )u 0
Khi ε > 0 đủ nhỏ, phương trình (II.41) là giải được đối với
(ω ∈ π ; s , ∈ π )và điều khiển u(.) _ là chấp nhận được do tính không suy biến của ma trận P và của điều khiển tựa {u(.),s0 π }
Từ (II.21), (II.24), (II.40), (II.41) kéo theo:
J(u) 1 O( ) 0 Δ = δ ε + ε > khi có ε >0 đủ nhỏ Bất đẳng thức mâu thuẫn với tính tối ưu của điều khiển u(.) Tức là:
1 0, 1 IH t1 h* δ ≤ ∈ 3.4 Giả sử tồn tại chỉ số r∈I H t k* < t * sao cho δ > r 0 Cho 1 số gia ( ,s)ω với :
Do điều khiển u(.) là chấp nhận được nên với u(.) _ điều kiện (II.7) và ràng buộc (II.6) sẽ được thoả mãn nếu: k k k k k k k k K k K k Ko h(t s )(u ) h(t )u 0
Khi ε > 0 đủ nhỏ, phương trình (II.43) là giải được đối với
(ω ∈ π ; s , ∈ π )và điều khiển u(.) _ là chấp nhận được do tính không suy biến của ma trận P và của điều khiển tựa {u(.),s0 π }
Từ (II.21), (II.24), (II.42), (II.43) kéo theo:
Bất đẳng thức mâu thuẫn với tính tối ưu của điều khiển u(.)
Tương tự nếu δ r 0 đủ nhỏ, phương trình (II.47) là giải được đối với
(ω ∈ π ; s , ∈ π )và điều khiển u(.) _ là chấp nhận được do tính không suy biến của ma trận P và của điều khiển tựa {u(.),s0 π }
Từ (II.21), (II.24), (II.46), (II.47) kéo theo :
J(u) r O( ) 0 Δ = −δ ε + ε > khi có ε >0 đủ nhỏ Bất đẳng thức mâu thuẫn với tính tối ưu của điều khiển u(.) Tức là:
* r 0, r IH tk* t δ ≥ ∈ Các trường hợp (II.27) không được thoả mãn còn lại cũng xử lý tương tự
4) Giả sử (II.11) không được thoả mãn
4.1 Để xác định, giả sử tồn tại các chỉ số
Cho một số gia ( ,s)ω thoả các điều kiện:
(II.48) Đối với u(.) _ , điều kiện (II.7) và (II.6) sẽ có dạng: k k k k k k k k K k K k K h(t s )(u ) h(t )u 0
Khi ε > 0 đủ nhỏ, phương trình (II.49) là giải được đối với
(ω ∈ π ; s , ∈ π )và điều khiển u(.) _ được xây dựng là chấp nhận được do tính không suy biến của ma trận P và của điều khiển tựa {u(.),s0 π }
Từ (II.21), (II.24), (II.48), (II.49) kéo theo : i0 j0
J(u) O( ) 0 Δ = δ + ε + ε > khi có ε > 0 đủ nhỏ Bất đẳng thức cuối mâu thuẫn tính tối ưu của điều khiển u(.) Tức là:
4.2 Giả sử tồn tại các chỉ số
Cho một số gia ( ,s)ω thoả các điều kiện:
(II.50) Đối với u(.) _ , điều kiện (II.7) và (II.6) sẽ có dạng: k k k k k k k k K k K k Ko h(t s )(u ) h(t )u 0
Lập luận tuơng tự có điều khiển u(.) _ được xây dựng là chấp nhận được do tính không suy biến của ma trận P và của điều khiển tựa {u(.),s0 π }
Từ (II.21), (II.24), (II.50), (II.51) kéo theo: i0 j0
J(u) O( ) 0 Δ = −δ − ε + ε > khi có ε >0 đủ nhỏ Bất đẳng thức cuối mâu thuẫn tính tối ưu của điều khiển u(.) Tức là:
4.3 Giả sử tồn tại các chỉ số
Cho một số gia ( ,s)ω thoả các điều kiện:
(II.52) Đối với u(.) _ , điều kiện (II.7) và (II.6) sẽ có dạng: k k k k k k k k K k K k K h(t s )(u ) h(t )u 0
Lập luận tương tự có điều khiển u(.) _ được xây dựng là chấp nhận được do tính không suy biến của ma trận P và của điều khiển tựa { u (.), s 0 π }
Từ (II.21), (II.24), (II.52), (II.53) kéo theo :
J(u) rj0 O( ) 0 Δ = δ ε ++ ε > khi có ε >0 đủ nhỏ Bất đẳng thức cuối mâu thuẫn tính tối ưu của điều khiển u(.) Tức là: rj r { }
4.4 Giả sử tồn tại các chỉ số
1 I,∈ j ∈K \ q(1) , voi t > h sao cho δ − < 0 Cho một số gia ( ,s)ω thoả các điều kiện:
(II.54) Đối với u(.) _ , điều kiện (I.7) và (I.6) sẽ có dạng: k k k k k k k k K k K k K h(t s )(u ) h(t )u 0
Lập luận tương tự có điều khiển u(.) _ được xây dựng là chấp nhận được do tính không suy biến của ma trận P và của điều khiển tựa {u(.),s0 π }
Từ (II.21), (II.24), (II.54), (II.55) kéo theo :
− Δ = −δ ε + ε > khi có ε >0 đủ nhỏ Bất đẳng thức cuối mâu thuẫn tính tối ưu của điều khiển u(.) Tức là:
Tương tự cho các trường hợp (II.28) không được thoả mãn còn lại
5) Giả sử λ m+1 < 0 trong trường hợp ràng buộc (II.6) là tích cực:
Ta cho 1 số gia ( ,s)ω thoả điều kiện: k H p ( i ) q ( i ) H p (i ) q ( i ) 0
Các thành phần còn lại (ω k , k K∈ 0 π ; s p(i) ,i I∈ 0 π )được xác định từ phương trình : k k k k k k k k K k K k K h(t s )(u ) h(t )u 0
Do P không suy biến nên (II.57) là giải được đối với (ω k , k K∈ 0 π ; s p(i) ,i I∈ 0 π )khi ε > 0 đủ nhỏ Sẽ tồn tại ε > 0 0 sao cho với bất kỳεứ , 0< ε ≤ ε 0 , điều khiển
_ u(.)được xây dựng sẽ là chấp nhận được do tính không suy biến của điều khiển tựa
Chú ý đến (II.21) , (II.24) , (II.56), (II.57), ta tính số gia của tiêu chuẩn chất lượng theo ủieàu khieồn u(.) _ , u(.):
J(u) m 1 + O( ) 0 Δ = −λ ε + ε > khi ε >0đủ nhỏ Bất đẳng thức trên mâu thuẫn với tính tối ưu của điều khiển u(.) Điều này có nghĩa là λ m+1 ≥0 ( giả thiết λ m+1 < 0 là không đúng) Định lý I hoàn toàn được chứng minh
Chú ý 2 : Phép chứng minh định lý I cũng làm rõ ý nghĩa vật lý của Δ k , δ i , δ ij + và λ m 1 + : Δ k - tốc độ ban đầu của sự thay đổi tiêu chuẩn chất lượng khi tăng cường độ u k ; δi - tốc độ ban đầu của sự thay đổi tiêu chuẩn chất lượng khi dịch chuyển sang phải khối T i ; ij δ+- tốc độ ban đầu của sự thay đổi tiêu chuẩn chất lượng khi dịch chuyển sang phải phần T ij
+ của lát cắt thứ j của khối i (khi i ∈ I 0 π , cả khốiT i cũng dịch chuyển để thoả mãn ràng buộc (I.7)) m 1 + λ - tốc độ ban đầu của sự thay đổi tiêu chuẩn chất lượng khi tăng tổng các cường độ k k K u
- Quan hệ (II.8) thể hiện điều kiện tối ưu của cường độ xung ;
- Biểu thức (II.9) mô tả điều kiện không có xung mới giữa các khối cách nhau tương đối xa;
- Điều kiện (II.10) đặc trưng tính tối ưu của vị trí các khối;
- Điều kiện (II.11) biểu thị về tính tối ưu của thành phần các khối;
- Biểu thức (II.12) thể hiện điều kiện tối ưu của toàn thể các xung trong trường hợp ràng buộc (I.6) là tích cực
Chú ý 4 : Theo chú ý 1 và định lý 1 sau này ta có thể chỉ xem xét các điều khiển tối ưu của bài toán (I.1) –(I.8) thoả các điều kiện:
+ + Δ ≤ ∈⎡ ⎣ + − ⎤ ⎦ − ≥ ∈ Địnhlý 2 : (điều kiện đủ của tính tối ưu)
Giả sử {u(.),s0 π }là điều khiển tựa không suy biến của (II.1) – (II.8) Trong trường hợp ràng buộc tích cực, điều khiển u(.) là tối ưu, nếu thoả mãn các điều kiện sau:
Từ công thức sai phân tiêu chuẩn chất lượng (II.24):
Theo chứng minh định lý 1, nhận thấy rằng:
- Nếu điều khiển u(.) thoả (II.59) thì k k k k K
- Nếu điều khiển u(.) thoả (II.58) thì
- Nếu điều khiển u(.) thoả (II.60) thì m 1 k k K
Do đó, sai phân tiêu chuẩn chất lượng thoả
Nên điều khiển u(.) là tối ưu Định lý 2 chứng minh xong.
Phương pháp giải bài toán 49
Cấu trúc và véc tơ xác định điều khiển tối ưu 49
Định nghĩa 1 : Bài toán (I.1) > (I.8) được gọi là đơn giản nếu đối với điều khiển tối ưu của nó u (t), t 0 ∈T, được xác định bởi tập u (.) 0 ={(t , u ), 0 k 0 k k∈K 0 }, tồn tại một tựa s 0 0 π ={I , K , i 0 0 i ∈I , K 0 0 0 π , I 0 0 π }, sao cho cặp { u (.), s 0 0 0 π } là điều khiển tựa không suy biến với:
0 Δk - đánh giá cường độ u 0 k khi có tựa s 0 0 π
Giả sử bài toán (I.1) > (I.8) là đơn giản Ký hiệu qua:
⎝ ⎠ là véctơ thế, đồng quỹ đạo, đồng điều khiển và các véctơ đánh giá ứng với điều khiển tựa {u (.), s 0 0 0 π } Để đơn giản hoá cách trình bày, ta coi là 1 vàr 0 ∈ I 0 0 π Ta xét tập các chỉ số:
0 H H H s , π K , + K , − K , (III.2) vôí K H + 0 = { k ∈ K : 0 H Δ > 0 k 0 } , K H − 0 = { k ∈ K : 0 H Δ < 0 k 0 , } Điều khiển tối ưu u (t), t 0 ∈T, sẽ được xây dựng một cách duy nhất theo tập (III.2) và theo véc tơ:
Tập (III.2) được gọi là cấu trúc của điều khiển tối ưu, còn véc tơ θ 0 - véc tơ chủ đạo của điều khiển tối ưu
Các phần tử của cấu trúc (III.2) chính là các số nguyên, có nghĩa là thông tin này về điều khiển tối ưu là rời rạc Do đó để nhận dạng chính xác nó ta chỉ cần các giá trịgần đúng nào đó Δ(.), ,δ δ ± , của đồng điều khiển Δ 0 (.) và của các véc tơ đánh giá δ 0 , δ ± 0
Véctơ θ 0 chứa thông tin liên tục về điều khiển tối ưu u (t), t 0 ∈T Giá trị chính xác của nó không thể được xây dựng nếu ta chỉ biết các giá trị gần đúng
Do vậy, phương pháp sẽ được đề nghị để giải bài toán (I.1) Ỉ (I.8) sau đây bao goàm hai chu trình:
Chu trình đầu là chu trình thiết lập và phân tích lời giải của bài toán tựa – nhằm phát hiện cấu trúc (III.2) và xây dựng giá trị gần đúng θ của véc tơ θ 0
Chu trình hai , chu trình hoàn chỉnh : xuất phát từ cấu trúc đã biết của (III.2) và giá trị xấp xỉ θ, tính giá trị của θ 0 với độ chính xác tùy ý.
Chu trình hoàn chỉnh 50
Giả sử cho tập chỉ số: s , 0 π K , H + K , H − K , * H (III.4) và véc tơ:
Ta xây dựng điều khiển giả u(t / ), tθ ∈T, được xác định bởi tập
⎪⎩ j p ( i ) * i t ( )θ = t + −( j p(i))h , j∈K , i∈I Điều khiển giả u(t / ), tθ ∈T , sẽ tương ứng với một quỹ đạo duy nhất x(t / ), tθ ∈T, được gọi là quỹ đạo giả: k
0 k k t ( ) t x(t / ) F(t, 0)x F(t, t ( ))bu ( ). θ ≤ θ = + ∑ θ θ Đồng quỹ đạo ψ(t / ), tθ ∈T , tương ứng với véc tơ thế
Ta xây dựng đồng điều khiển:
(III.5e) và xây dựng tổng cường độ v( )θ : k k K v( ) u ( )
∈ θ =∑ θ Chu trình hoàn chỉnh sẽ tìm lời giải:
(III.5f) của hệ phương trình hoàn chỉnh sau:
Ký hiệu ma trận Jacobi của hệ phương trình hoàn chỉnh là Q( )θ Chú ý đến (III.1) , ta có:
Ta nhận thấy là do điều kiện (III.1), mỗi hàng của ma trận M 0 π và M H có đúng một phần tử dạng Δ(t ( ) / ) k θ θ , còn các phần tử còn lại của hàng sẽ bằng 0
Hệ (III.6) có thể giải được bằng phương pháp Newton nếu: i) Có xấp xỉ ban đầu đủ tốt θ của nghiệm θ * ii) Ma trận Q( )θ không suy biến trong lân cận θ * Điều kiện i) được đảm bảo bởi chu trình TỰA Còn về điều kiện ii) , có thể chứng minh ủieàu sau:
Nếu Δ(t ( ) / ) k θ θ ≠ 0 , k∈K , * H va α ≠ i 0, i∈I H thì ma trận Q( )θ sẽ không suy biến khi và chỉ khi ma trận sau không suy biến:
Từ bổ đề này kéo theo: ẹũnh lyự 1: det Q( )θ ≠ 0 neáu :
Trong một vài trường hợp có thể có các điều kiện tương đối đơn giản về tính không suy bieán cuûa Q( )θ : ẹũnh nghúa 2:
Bài toán (I.1) – (I.8) được gọi là đặc biệt đơn giản nếu nó là đơn giản và
Giả sử bài toán (I.1) – (I.8) là đặc biệt đơn giản Khi ấy để ma trận Q( )θ không suy biến, điều kiện đủ là tất cả các số α i , i∈I, có cùng dấu và α i ≠ 0, i∈I H
Lưu ý 1: Ơ' phần đầu chu trình hoàn chỉnh coi như đã biết cấu trúc của điều khiển tối ưu Tuy nhiên trong một vài trường hợp có thể bắt đầu chu trình này với một cấu trúc (III.4) nào đó Cấu trúc này không nhất thiết phải trùng với cấu trúc của điều khiển tối ưu Khi đó trong chu trình hoàn chỉnh, cấu trúc sẽ thay đổi Ví dụ, trong quá trình giải hệ phương trình hoàn chỉnh, có thể phát hiện ra là có một lát cắt j nào đó j∈{p(i), , q(i) 1− } của một khối i nào đó, p(i)h * Ký hiệu Δ = −h h h * >0 Xét bài toán qui hoạch tuyến tính: k k k K k k k K
∑ ≤ Bài toán này được gọi là bài toán tựa của bài toán ban đầu (I.1) – (I.8) Tập
T0được gọi là lưới của các thời điểm cho phép của bài toán (IV.2)
Giả sử là (IV.1) có lờigiải.Khi đó, không làm mất tính tổng quát, có thể giả sử là bài toán (IV.2) sẽ có lời giải Ta có thể giải nó bằng một trong các phương pháp caáu truùc
2 Giả sử u(.) = { (t , u ), k k k ∈ K = { 1, , k * } , u k ≠ 0, k ∈ K } là lời giải bài toán tựa (IV.2) Ta đưa vào thêm một tham số h 0 nữa của thuật giải : h * ≤h 0 h * ) Để đơn giản cách viết, lời giải của bài toán này cũng sẽ được ký hiệu làu(.) Như vậy, tập các thời điểm đặt xung T u sẽ được phân chia thành các khoái T i :
1) Khoảng cách giữa hai khối kề cận là lớn hơn h 0
2) Khoảng cách giữa hai thời điểm kề cận bất kỳ trong mỗi khối bằng h *
3 Xét chỉ số bất kỳ i∈I Ta xây dựng bài toán tựa mới dạng (IV.2), thay khối T i bằng khối Ti + ={ tk + Δh / 2, k∈Ki }.(hoặc bằng khối
T = (T \ T )∪T + (hoặc T 0 =(T \ T ) u i ∪T i − ) Ta giải bài toán tựa này và ký hiệu lời giải của nó qua u(.) {(t , u ), k k k K {1, , k * }, u k 0, k K}
− ≤ thì ta giữ khối T i và sẽ quay trở về điểm 3 cho chỉ số khác i ' ∈ I \ i { }
> thì thay khối T i bằng khối T i + (hoặc khối T i − ) và trở về mục 3 cho các chỉ số i '∈I khác
Lặp lại mục 3 cho ∀ ∈i I Kết quả là ta sẽ thu được điều khiển u(.) _ Nếu h / 2 h* Δ > Δ , với Δh * - thông số của phương pháp, thì sẽ quay về mục 2 với u(.) _ là u(.) mới và Δ = Δh h / 2 Nếu Δh / 2≤ Δh * , thì ta chuyển sang chu trình hoàn chỉnh
Nếu sau khi chuyển tới chu trình hoàn chỉnh qua 4-5 bước lặp mà không thu được hội tụ cấp hai, thì có thể trở về mục 1 sau khi giảm thông số h, hoặc trở về mục 2 sau khi giảm thông số h 0
Lưu ý 1 : Trong mục 3 có thể đồng thời xem xét vài chỉ số i∈I
Lưu ý 2 : Sau mục 2 có thể chọn tựa s 0 π và kiểm tra tính tối ưu của các khối T i , i∈I Sau đó sử dụng kết quả kiểm tra điều kiện tối ưu để trở về mục 3
Lưu ý 3 : Về nguyên tắc, ta có thể chuyển sang chu trình hoàn chỉnh vào bất kỳ thời điểm nào Nếu nó hội tụ ta sẽ thu được kết quả cuối cùng Trong trường hợp ngược lại ta sẽ trở về bài toán tựa.
Thuật toán chính và chương trình 57
Thuật toán chính điều khiển xung tối ưu 57
+ Giải ma trận nghiệm cơ bản F t, ( ) τ , t ∗ > ≥ τ ≥ t 0
Có thể tính F t, ( ) τ bằng cách sau:
- Tính ma trận nghịch đảo ( SI A − ) − 1
- Lấy phép biến đổi Laplace ngược F t ( ) = L -1 ( SI - A ) − 1
Hoặc cũng có thể tính:
+ Nhập ma trận thông số đầu ra H m n ( × ) (rankH m n= < ) + Tính ma trận hàm ( )
+ Tính ma trận đạo hàm h t ( )
+ Lập ma trận hàng cỡ 1 N× :
+ Chạy chương trình con quy hoạch tuyến tính tìm nghiệm tối ưu ứng với các thời điểm đã biết trong tập T u
Bước 3: Phân chia khối tập T u
+ Nếu t k 1 + − ≤t k h 0 thay t k 1 + = +t k h ∗ (khi đó tk+1 và tk thuộc cùng một khoái) đồng thời xây dựng các tập (ma trận hàng)
(Ti chứa các thời điểm cùng một khối thứ i, Ki là tập các chỉ số k của các thời điểm thuộc khối Ti , tập I là số các khối)
+ Chạy chương trình con quy hoạch tuyến tính tìm nghiệm tối ưu ứng với các thời điểm đã biết trong tập T u
- Tăng mỗi phần tử tập T i thành: t k = +t k Δh k K∈ i
- Chạy chương trình con quy hoạch tuyến tính tìm nghiệm tối ưu ứng với các thời điểm đã biết trong tập T u
- Nếu J u 1 ( ) < J: giảm mỗi phần tử tập Ti thành t k = −t k Δh k K∈ i
- Lập ma trận: MH =(m ;k K ;i Ik i ∈ ∗ H ∈ 0 π )
= ⎜⎝ ′ α ⎟⎠ + Kiểm tra tính không suy biến của ma trận Q ( ) θ :
0,i I t 0,k K khi K I m 1 bằng phương pháp Newton ( )
+ Lưu t ( ) k i 1 + vào Tu Lưu u ( ) k i 1 + vào U đến bước 6
+ Tính c t ,c t , ,c t( ) ( ) 1 2 … ( ) N (t1, t2, , tN là các phần tử của Tu)
+ Gọi chương trình con thuật toán biến đổi thích nghi tìm lời giải tối ưu bài toán trên
+ Lưu các u k vào ma trận hàng U
Thuật toán chính chi tiết điều khiển xung tối ưu 62
+ Tính ma trận chuyển vị của c: c' 1 n ( × )
+ Tính ma trận nghiệm cơ bản:
+ Nhập ma trận thông số đầu ra H m n m 1 n và kiểm tra ( × )( + < ) rankH m nhử sau:
- Xoá H, chờ nhập lại ma trận H
- Neáu rankH m- Thông báo: “Ma trận H đạt yêu cầu”
( ) = ( ) ∗ = − 1 ( ) ∗ ( ) = t ∗ ( ) h t HF t ,t b HF t F t b HF F t b + Tính ma trận đạo hàm: h t ( )
+ Tính hằng số hàm mục tiêu:
+ Nhập N (số tự nhiên) (sao cho h t h
- Khởi tạo ma trận T 1 N u ( × ) =zeros 1 N ( × )
- Gán T ku ( ) =tk = kh End
– Khởi tạo ma trận K 1 N ( × ) = zeros 1 N ( × )
End + Lập ma trận hàng K 1 N0 ( × )
+ Chạy chương trình con kiểm tra hệ phương trình ( )
+ Chạy chương trình con tìm ma trận vuông cấp r của ma trận H t
+ Chạy chương trình con giải hệ phương trình tuyến tính r phương trình r ẩn tìm nghiệm ban đầu chấp nhận được của bài toán QHTT
+ Gọi chương trình con thuật toán biến đổi thích nghi tìm lời giải tối ưu bài toán QHTT sau:
+ Gán J J u = ( ) ; gán uk vào ma trận U + In ra J , U
Bước 3: Phân chia khối tập T u
+ Gán T 1( ) =T 1 , gán i 1, j 1u ( ) = + Cho k từ 1 tới N 1−
+ Chạy chương trình con kiểm tra hệ phương trình ( )
+ Chạy chương trình con tìm ma trận vuông cấp r của ma trận H t
+ Chạy chương trình con giải hệ phương trình tuyến tính r phương trình r ẩn tìm nghiệm ban đầu chấp nhận được của bài toán QHTT
+ Gọi chương trình con thuật toán biến đổi thích nghi tìm lời giải tối ưu bài toán QHTT; gán J J u = ( )
– Chạy chương trình con kiểm tra hệ phương trình ( )
– Chạy chương trình con tìm một ma trận vuông cấp r của H t
– Chạy chương trình con giải hệ phương trình tuyến tính r phương trình, r ẩn tìm nghiệm chấp nhận được ban đầu của bài toán QHTT
– Chạy chương trình con thuật toán biến đổi thích nghi tìm nghiệm tối ưu của bài toán QHTT
– Cho i từ 1 tới l (số phần tử của T i )
Bước 5: (Chu trình hoàn chỉnh)
– Gán số phần tử của K t : a lengthK= t
– Tạo ma trận P cỡ ( (m 1) m 1) + × + ) =zeros((m 1) (m 1)) + × +
– Tạo ma trận hàng E 1 (m 1) ( × + ) =zeros(1 (m 1)) × +
– Cho j từ 1 đến số phần tử của K t
– Gán C i số phần tử K′o π ( + o π )=A End
+ Tính Δ ( ) t k (lưu vào ma trận hàng Δ)
+ Tính Δ ( ) k (lưu vào ma trận Δ)
– Tạo ma trận cột δ × = (r 1 zeros(r 1) ) ×
– Tạo ma trận cột q (m 1) 1 zeros((m 1) 1) ( + × = ) + ×
– Gán l số phần tử của I= H =length I( ) H – Tạo ma trận P m l zeros(m l) H ( × = ) ×
– Gán a length K= ( ) t – Cho i từ 1 tới a
– Tạo thêm dòng m 1+ cho ma trận P
– Gán l số phần tử của K= ∗ H =length K( ) ∗ H
– Tạo ma trận P m lH ∗ ( × = ) zeros(m 1)×
– Gán l số phần tử của K= ∗ H =length K( ) ∗ H
– Tạo ma trận P m lH ∗ ( × = ) zeros(m 1)×
– Tạo thêm dòng m 1+ cho ma trận P H ∗
– Gán m 0 – Tạo ma trận M l ,l′ o π ( 2 1 )=zeros(l ,l ) 2 1
+ Lập ma trận MH = (m ,k K ,i Iki ∈ ∗ H ∈ o π )
– Gán max max K= ( ) i – Gán min min K = ( ) i – Cho t từ 1 tới l 1
– Gán M t,lH ( ) =m 2 – Nếu min K> hoặc k max>
End End + Lập ma trận α = o π diag (α ∈ i ,i I o π )
+ Lập ma trận α =H diag(α ∈i,i IH )
End End + Tính det Q (kiểm tra tính không suy biến của ma trận Q) + Nếu det Q 0= , Thông báo: “Ma trận Q ( ) θ suy biến)
+ Giải hệ phương trình hoàn chỉnh:
- Thông báo “Nghiệm hoàn chỉnh là”
Chửụng trỡnh con kieồm tra heọ phửụng trỡnh ( )
– Tính vectô (m 1 : h t × ) ( ) 1 – Gán cột thứ i của Ht: H it ( ) =h t ( ) 1
– Gán cột thứ i của Ht+ :H i t + ( )=h t ( ) 1
- Tạo thêm dòng thứ m +1 cho ma trận H t
- Tạo thêm dòng thứ m +1 cho ma trận H t +
– Gán cột thứ i của dòng thứ m +1 của H : t H m 1,it ( + ) =1
– Gán cột thứ i của dòng thứ m +1 của H : t + H t + (m 1,i+ )=1 End
- Tính hạng ma trận H ; gán t r rankH 1 = t
- Tính hạng ma trận H t + ; gán r 2 =rankH t +
- Nếu r r 1 < 2 và t v≥ * /ε : thông báo “Hệ vô nghiệm – nhập lại H, hoặc b, hoặc A, hoặc g”
- Quay lại đầu chương trình con (bước 1)
- Nếu r r 1 = 2 ; gán r r r= = 1 2 Thông báo “Hệ có nghiệm”
Chương trình con tìm một ma trận con vuông cấp r của ma trận H t :
– Tạo ma trận hàng P 1 N ( × ) = zeros 1 N ( × )
– Tạo ma trận hàng Q 1 m ( × ) =zeros 1 m ( × )
– Gán j 0; t 0; l 0 = = – Tạo ma trận H r N2 ( × ) =zeros r N( × )
– Bước 3: Thực hiện một hoán vị trên dãy M ∗
– Bước 5: Thực hiện một hoán vị trên dãy N ∗
– Tạo ma trận hàng H (m 1) N 1 ( + × ) =zeros (m 1) N ( + × )
– Tạo ma trận hàng H (m 1) (N 1) 1 + ( + × + )=zeros (m 1) (N 1) ( + × + )
– Tạo ma trận hàng P 1 (m r 1)1 ( × − + ) =zeros 1 (m r 1)( × − + )
– sort P( ) 1 (sắp xếp các phần tử của P1 theo thứ tự tăng dần)
– Gán l1 = l –t1 – Xóa dòng H l1 ( ) 1 – Xóa dòng H l1 + ( ) 1
– Tạo ma trận hàng Q 1 (N r)1 ( × − ) =zeros 1 (N r)( × − )
– sort( )Q1 (sắp xếp các phần tử của Q1 theo thứ tự tăng dần)
– Nếu det H 1 =0 và t n! 1= − quay lại bước 3
– Bước 11: Thông báo “Đã tìm xong ma trận con cấp r”
– Sort D: (Sắp xếp theo thứ tự tăng dần)
– Xóa cột một ma trận D
Chương trình con giải hệ phường trình tuyến tính r phương trình, r ẩn tìm nghiệm ban đầu chấp nhận được của bài toán quy hoạch tuyến tính:
– Gán R 100= , t 0= , j 0 – Gán max u= * ; min 0 – Tạo ma trận U 1 r1 ( × = ) zeros 1 r( × )
– Nếu maxU 1 ≤u ∗ và min U 1 ≥0 đến bước 6
– Nếu maxU 1 >u ∗ hoặc min U 1 u ∗ , gán max max U= 1
– Nếu min U 1 u ∗ hoặc min U 1 1 và min min U< 1
– Gán max max U= 1 ; min min U= 1 quay lại bước 4
– Nếu j N r= − và max u> ∗ hoặc min 0< : thông báo: “Không tìm được nghiệm chấp nhận được, nhập lại g hoặc u ∗ , v ∗ ”
– Thông báo: “Đã tìm được nghiệm chấp nhận được”
– Bước 8: (Gán các u k vào ma trận U)
– Bước 9: Tính các hệ số c t ,c t , ,c t( ) ( ) 1 2 … ( ) N và gán vào ma trận C:
– Khởi tạo ma trận hàng C 1 N ( × ) = 0
- Tính tích hai ma trận: J u( )=∑C t u( ) k k = ×C U
- Thông báo “phương án chấp nhận được là”
- Thông báo “giá trị hàm mục tiêu của phương án chấp nhận được là”
Chương trình con thuật toán biến đổi thích nghi giải bài toán QHTT chính tắc
+ Gán f 0+ Tạo vectơ cột g m 1,1+ ( + )=zeros m 1,1( + )
+ Tạo dòng m 1+ cho ma trận H m 1 n t ( + < )
– Gán cột thứ i của H t + bằng cột thứ i của H t
+ Gán vectơ tựa Io 1 π =[ ](rỗng)
+ Gán bước lặp it 0+ Gán k length I= ( ) o 1 π =length J ( ) o π
+ Tạo ma trận nghịch đảo Ao − 1 π =zeros k,k( )
– Xoá cột C 01 ( ) 1 của C 1 (gán cột C 01 ( ) 1 = [])
+ Tạo vectơ cột χ = JH zeros k ,1 ( 1 )
+ Tạo vectơ cột χ Jo π (k ,1 zeros k ,1 2 )= ( 2 )
– NếuΔ ( )01 =0gánχ JH ( )j = ngẫu nhiên giữa d và d và gán = 0 ∗ ∗ χ( ) 1
– Xóa dòng thứ 0 2 của vectơ g 1
– Xóa dòng thứ 0 2 của ma trận B
– Xóa cột thứ O 3 của ma trận B
– Tính tích hai ma trận: dòng thứ 0 2 ma trận B (J) ∗χ
– Nếu η < η 2 , gán η = η 2 , gán i 0 =0 2 , gán j 0 =0, gán i 1 =i
+ Nếu α = 0 0 thì giả phương án χ ( ) j chính là phương án tối ưu Kết thúc thuật toán Sang bước cuối cùng 19
(ở đây B i ,J( 0 ) là dòng thứ i 0 của ma trận B)
Bước 8: (Tính hàm mục tiêu đối ngẫu)
– Xóa dòng thứ O 1 của ma trận B
– Xóa cột thứ O 2 của ma trận B
– Tạo ma trận trống E k k( 2 × 3 ) =zeros(k ,k )2 3
– Gán ξ = k * dòng thứ j 1 của ma trận E (tức E(j ) 1 )
– Tạo ma trận trống E k k ( 1 × 3 ) =zeros(k ,k ) 1 3
– Tạo ma trận trống F k k( 1 × 2 ) =zeros(k ,k )1 2
– Tạo ma trận trống G k k ( 2 × 3 ) =zeros(k ,k ) 2 3
– Gán O1 = O – t1 – Xóa dòng thứ O 1 của ma trận B
– Xóa cột thứ O 2 của ma trận B
– Xóa dòng O 1 của ma trận B
– Xóa cột thứ O 2 của ma trận B
– Xóa dòng O 3 của ma trận B
– Xóa cột thứ O 4 của ma trận B
– Gán G B – Tạo vectơ ξ JH (1 k× 3 ) =zeros(1,k )3
– Gán ξ JH = k * dòng thứ i 1 của ma trận D (D i ( ) 1 )
– Nếu σ < σ j jmin gán σ jmin = σ j và gán j min =O 1 End
Bước 12: Tính lại đồng phương án
+ Nếu α