Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng: Phương trình tích phân kỳ dị và ứng dụng

Nếu bài toán giá trị ban đầu gốclà kernel thì phương trình tích phân gọi là phương trình tích phân kỳ dị tổng quát.Một trong các phương trình tích phân kỳ dị là phương trình tích phân kỳ

Các kiến thức chuẩn bị

Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Định nghĩa tích phân suy rộng

Khi định nghĩa tích phân Rb a f (x)dx ta giả thiết rằng: a) Đoạn [a, b] hữu hạn. b) Hàm dưới dấu tích phân f (x) bị chặn trong đoạn [a, b]. Nếu một trong hai điều kiện trên không thỏa thì tích phân trên được gọi là tích phân suy rộng.

1.2 Phân loại 1.2.1 Tích phân suy rộng loại 1

Nếu điều kiện a) không thỏa thì tích phân Rb a f (x)dx được gọi là tích phân suy rộng loại 1 (hay tích phân với cận vô hạn).

1.2.2 Tích phân suy rộng loại 2 Nếu điều kiện b) không thỏa, tức là hàm dưới dấu tích phân có gián đoạn vô hạn trong [a,b], thì tích phân Rb a f (x)dx được gọi là tích phân suy rộng loại 2 (hay tích phân của hàm không bị chặn).

Trong luận văn đề cập tích phân suy rộng loại 2.

1.2.3 Định nghĩa tích phân suy rộng loại 2 Giả sửf (x)xác định trong khoảng [a, b) , −∞ < a < b < +∞ nhưng không bị chặn tại b và trên mọi đoạn [a, b − η] , 0 < η < b − a, hàm f (x) khả tích.

Rb−η a f (x)dx tồn tại và hữu hạn, thì ta gọi giới hạn hữu hạn đó là tích phân suy rộng loại 2 của hàm f (x) và kí hiệu là Rb a f (x)dx. 1.2.4 Điểm kỳ dị

Nếu lim x→x + 0 f (x) = lim x→x − 0 f (x) = ∞ thì x 0 là điểm kỳ dị của f trên [a, b]

Tích phân suy rộng loại 2 là Rb a f (x)dx với f có ít nhất 1 điểm kỳ dị trên [a, b]

Cho f (x) khả tích trên [a + ε, b], với mọi ε > 0 đủ nhỏ, f kỳ dị tại a

Z b a+ε f (x)dx Cho f (x) khả tích trên [a, b − ε], với mọi ε > 0 đủ nhỏ, f kỳ dị tại b

Nếu f kỳ dị tại a và b

Nếu f kỳ dị tại x 0 ∈ (a, b) Z b a f (x)dx =

Ví dụ 1.2.4 a) Xét tích phân suy rộng loại 2, có điểm kỳ dị tại a

, α 6= 1 b) Xét tích phân suy rộng loại 2, có điểm kỳ dị tại b

1.3.1 Định nghĩa tích vô hướng [1]

Cho H là không gian vectơ trên C Một tích vô hướng trên H là một ánh xạ: ϕ : H × H → C (x, y) 7→ ϕ (x, y )

Thỏa mãn các tính chất sau: i) ϕ (x, x) > 0, ∀x 6= 0 và ϕ (0, 0) = 0 ii) ϕ (x, y) = ϕ (y, x), ∀x, y ∈ H iii)ϕ (λx, y) = λϕ (x, y ) , ∀x, y ∈ H, λ ∈ C iv) ϕ (x + y, z) = ϕ (x, z) + ϕ (y, z) , ∀x, y, z ∈ H Khi ánh xạϕ là một tích vô hướng trên H, ta có thể ký hiệu hx, yi ≡ ϕ (x, y). Không gian H với tích vô hướng h., i gọi là không gian tiền Hilbert.

Hay đơn giản, H là không gian tiền Hilbert.

- Từ ii) và iii) suy ra ϕ (x, λy) = λϕ (x, y) , ∀x, y ∈ H, λ ∈ C - Từ iii) và nhận xét trên suy ra ϕ (x, 0) = ϕ (0, x) = 0 (cho λ = 0) - Từ ii) và iv) suy ra ϕ (x, y + z) = ϕ (x, y) + ϕ (x, z) , ∀x, y, z ∈ H.

1.3.2 Định nghĩa không gian Hilbert [1]

Không gian tiền Hibert H được gọi là không gian Hilbert nếu H cùng với chuẩn sinh bởi tích vô hướng là không gian Banach.

Các ví dụ về không gian Hilbert [2] a) Không gian Euclide.

Xét trong K n (như các không gian định chuẩn), {a i } là cơ sở chính tắc, a i = (α i1 , α i2 , , α in ) , α ij = 1 nếu i = j và α ij = 0 nếu i 6= j thì tích vô hướng nói trên là: hx, yi = n

X i=1 x i y i , với x = (x 1 , x 2 , , x n ) , y = (y 1 , y 2 , , y n ) ∈ K n Tích vô hướng này sinh ra chuẩn kxk = n P i=1

. Do đó K n với tích vô hướng này chính là không gian Euclide. b)Không gian l 2

Theo bất đẳng thức Schwartz, với các dãy x = (x n ) , y = (y n ) ∈ l 2 ta có: k

P n=1 x n y n hội tụ vì nó hội tụ tuyệt đối. Đặt (x, y) 7→ hx, yi =

P n=1 x n y n , ta kiểm tra được hàm trên là tích vô hướng trên l 2

Tích vô hướng này sinh ra chuẩn kxk =

. Do đó, l 2 là một không gian Hilbert. c) Không gian L 2 (X).

Với mọi f, g ∈ L 2 (X), đặt hf, gi =R

X f g. Dễ dàng kiểm tra rằng (f, g) 7→ hf, gi là một tích vô hướng trong L 2 (X).

Tích vô hướng này sinh ra chuẩn kf k = R

. Do đó, L 2 (X) là một không gian Hilbert.

1.3.3 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz theo chuẩn.

Trong trường hợp không gian Euclide R n , bất đẳng thức này trở thành: n

1.3.4 Định nghĩa toán tử tuyến tính [3]

Cho các không gian tuyến tính X và Y trên trường K (K = R hoặc K = C). Ánh xạ L từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ L thỏa các điều kiện:

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính.

Khi toán tử L thỏa mãn điều kiện 1) thì L gọi là toán tử cộng tính.

Khi toán tử L thỏa mãn điều kiện 2) thì L gọi là toán tử thuần nhất.

Khi Y = K thì toán tử tuyến tính thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.

1.3.5 Định nghĩa toán tử Compact [1]

Ánh xạ tuyến tính f từ không gian chuẩn E đến không gian chuẩn F được gọi là toán tử compact nếu đối với hình cầu đơn vị đóng B trong E, ảnh f(B) là tập compact tương đối trong F.

Nếu f là toán tử compact thì: kf k = sup x∈B kf (x)k = sup kyk : y ∈ f (B) < ∞, vậy f liên tục.

Ví dụ về toán tử compact [2] a) Theo định lý Riesz, nếu E hoặc F hữu hạn chiều thì mọi ánh xạ tuyến tính liên tục E vào F là ánh xạ compact. b) Nếu E vô hạn chiều thì ánh xạ đồng nhất trên E liên tục nhưng không compact. c) Xét I = [a, b] Ký hiệu E = C (I) là không gian Banach các hàm liên tục trên I với chuẩn sup.

Cho (x, t) 7→ K (x, t) là một hàm liên tục trên I × I.

Với mọi ξ ∈ E, ký hiệu Ω (ξ) là hàm x 7→Rb a K (x, t) ξ (t) dt, x ∈ I.

Dễ dàng kiểm tra Ω (ξ) ∈ E, ξ → Ω (ξ) là ánh xạ tuyến tính từ E vào E.

Khi đó Ω là ánh xạ compact.

1.3.6 Định nghĩa toán tử liên hợp [3]

Ký hiệu L (E) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E với E là không gian Hilbert.

Với mọif ∈ L (E)ta gọig ∈ L (E)là toán tử liên hợp củaf nếuhf (x) , yi = hx, g (y)i với mọi x, y ∈ E.

Trong trường hợp này ta ký hiệu: g = f ∗ 1.3.7 Định nghĩa toán tử tự liên hợp [3]

Toán tử f ∈ L (E) được gọi là toán tử tự liên hợp nếu f = f ∗ , tức là: hf (x) , yi = hx, f (y)i ∀x, y ∈ E.

1.3.8 Định nghĩa toán tử đẳng cự, toán tử unita [3]

Giả sử E và F là các không gian định chuẩn Ánh xạ f ∈ L (E, F ) được gọi là toán tử đẳng cự nếu kf (x)k = kxk với mọi x ∈ E.

Ngoài ra nếu f là toàn ánh thì f được gọi là toán tử unita.

Cho hai không gian mêtric (X, d X ) và (X, d X ) với d X là mêtric trên X và d Y là mêtric trên Y, với α là số thực. f : X → Y là liên tục Holder nếu tồn tại hằng số K > 0 sao cho với mọi x 1 , x 2 ∈ X thì: d Y (f (x 1 ) , f (x 2 ))6 K(d X (x 1 , x 2 )) α

Ví dụ: f (x) = √ x là liên tục Holder với α6 1 2 1.5 Các loại đa thức 1.5.1 Đa thức Chebyshev loại 1 và loại 2. a) Đa thức Chebyshev loại 1

1.5.2 Đa thức Airfoil loại 1 và loại 2. a) Đa thức Airfoil loại 1 α n (x) = sin n + 1 2 cos −1 x

√ π sin cos 2 −1 x n = 0, 1, 2, , −1 6 x 6 1 b)Đa thức Airfoil loại 2 γ n (x) = cos n + 1 2 cos −1 x

1.6 Quy tắc cầu phương Gauss 1.6.1 Định nghĩa

Quy tắc cầu phương Gauss dùng để tính xấp xỉ tính phân:

X i=0 wi f (x i )Trong đóf (x i ) là giá trị của f (x) tại x i với x i được gọi là các điểm Gauss. wi là trọng số của hàm giá trị tại các điểm Gauss.

Nếu I =Rb a f (x)dx thì ta đổi biến đưa về dạng R1

−1 f (u)du, x = 1 2 (b + a) + 1 2 (b − a) u Nếu f (x) phân tích được dưới dạng: f (x) = w(x) g (x) với g (x) là đa thức xấp xỉ và w(x) là hàm trọng số đã biết thì:

Các hàm trọng số phổ biến: w(x) = 1 (Gauss - Legendre),w(x) = √ 1

1−x 2 (Gauss - Chebyshev), w(x) = (1 − x) α (1 + x) β , α, β > −1 (α, β là các hằng số), (Gauss - Jacobi),

Tên gọi của quy tắc cầu phương Gauss phụ thuộc vào tên của hàm trọng số như: quy tắc cầu phương Gauss - Chebyshev, quy tắc cầu phương Gauss - Legendre, quy tắc cầu phương Gauss - Jacobi,

Tất cả các dạng quy tắc cầu phương Gauss đều thỏa định lý 1.6.2 1.6.2 Định lý

Nếu q (x) là đa thức bậc N thỏa:

−1 q (x) p (x) x k dx = 0 với k là số nguyên, k ∈ [0, N − 1] và p là hàm trọng số.

X i=0 wi f (x i ) f (x) là đa thức bậc nhỏ hơn 2N. 1.7 Phương pháp Galerkin - Petrov Phương pháp Galerkin - Petrov là một phương pháp dùng tính toán nghiệm xấp xỉ của phương trình đạo hàm riêng, trong đó có chứa số hạng có bậc lẻ (odd order)

Ví dụ: phương trình vi phân có chứa số hạng có bậc lẻ (odd order) a (x) du dx + b (x) d 2 u dx 2 = f (x) , x ∈ (0, L) Trong đó: u (0) = u 0 , du dx x=L

Công thức Galerkin như sau:

0 b (x) dv dx du dx dx + b (x) v du dx L

Phương trình tích phân kỳ dị

Phương trình tích phân

2.1.1 Định nghĩa Phương trình tích phân là phương trình mà hàm cần tìm xuất hiện dưới dấu tích phân.

Ví dụ 2.1.1 Xét bài toán nhiệt ngược thời gian.

∂x 2 x ∈ R, t > 0 u (x, 0) = v (x) x ∈ R Nghiệm của bài toán trên là: u (x, t) =

Bài toán ngược Tìm v (x) = u (x, 0) biết:

Như vậy việc tìm v tức là giải một phương trình tích phân tuyến tính Av = f, và hàm exp h

2.1.2 Các dạng phương trình tích phân a) Phương trình tích phân tuyến tính Phương trình tích phân tuyến tính là phương trình tích phân có dạng Ly = f(x) với L là toán tử tuyến tính.

Giả sử K 1 (x, t) và f 1 (x) là các hàm số đã biết và ϕ 1 (x) là các hàm cần tìm.

Khi đó phương trình tích phân

K 1 (x, t) ϕ 1 (t) dt = f 1 (x) , a6 x 6 b là phương trình tích phân tuyến tính.

Ví dụ 2.1.2 b Giả sử K 2 (x, t) và f 2 (x) là các hàm số đã biết và ϕ 2 (x) là các hàm cần tìm.

Khi đó phương trình tích phân ϕ 2 (x) +

K 2 (x, t) ϕ 2 (t) dt = f 2 (x) , a6 x 6 b là phương trình tích phân tuyến tính. b) Phương trình tích phân phi tuyến Phương trình tích phân phi tuyến là phương trình tích phân với hàm cần tìm không thỏa tính chất tuyến tính.

Ví dụ 2.1.2 c Giả sử K 3 (x, t) và f 3 (x) là các hàm số đã biết và ϕ 3 (x) là các hàm cần tìm.

Khi đó phương trình tích phân ϕ 3 (x) +

K 3 (x, t) [ϕ 3 (t)] 2 dt = f 3 (x) , a6 x 6 b là phương trình tích phân phi tuyến.

Các hàm số K 1 (x, t) , K 2 (x, t) , K 3 (x, t) xuất hiện trong phương trình trên, được gọi là hạt nhân của phương trình tích phân.

Các hàm số f 1 (x) , f 2 (x) , f 3 (x), được gọi là số hạng cưỡng bức (forcing terms) tương ứng của phương trình tích phân.

Nếu các hệ số cưỡng bức trong phương trình tích phân bằng 0, phương trình đó được gọi là phương trình tích phân thuần nhất Ngược lại, nếu các hệ số cưỡng bức khác 0, phương trình đó được gọi là phương trình tích phân không thuần nhất.

Các hàm số K i (x, t) , f i (x) , ϕ i (x) (i = 1, 2, 3)xuất hiện ở ví dụ trên có thể là các hàm số giá trị phức của biến thực x.

2.1.3 Các phương trình tích phân đặc biệt [4] a) Phương trình tích phân Fredholm loại một Phương trình tích phân Fredholm loại một là phương trình có dạng:

Trong đók (x, y) xác định trên ∀x, y ∈ Ω, f (x) cho trước, ϕ (y) là hàm cần tìm. b) Phương trình tích phân Fredholm loại hai Phương trình tích phân Fredholm loại hai là phương trình có dạng: ϕ (x) = f (x) + λ

Trong đó: f (x) cho trước xác định ∀x ∈ Ω. k (x, y) cho trước xác định ∀x, y ∈ Ω, gọi là nhân của phương trình. ϕ (x) là hàm cần tìm trên ΩTập Ω có thể là khoảng bị chặn, hợp của một số hữu hạn các khoảng bị chặn mà không có điểm chung Tổng quát hơn Ω có thể là một miền của không gian đa chiều hoặc hợp hữu hạn của các miền như vậy mà không có điểm chung, Ω cũng có thể là một mặt bị chặn.

Phương trình tích phân kỳ dị

Phương trình tích phân kỳ dị là phương trình tích phân mà hàm dưới dấu tích phân có chứa điểm kỳ dị.

Phương trình tích phân kỳ dị có nhiều loại như: phương trình tích phân kỳ dị yếu, phương trình tích phân kỳ dị mạnh, phương trình tích phân siêu kỳ dị, phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy Trong luận văn ta khảo sát phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy.

2.2.2 Phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy a) Tích phân kỳ dị loại Cauchy

Tích phân kỳ dị loại Cauchy là tích phân có dạng:

L (x, t) x − t dt, với a < x < b, L (x, t) là một hàm số khả vi và L (x, x) 6= 0.

Tích phânR − b a K (x, t)dt được hiểu theo ý nghĩa nguyên lý giá trị Cauchy (Cauchy principal value), viết tắt là (CPV) có nghĩa là:

Dấu gạch ngang trước ký hiệu tích phân biểu thị tích phân được định nghĩa theo ý nghĩa Cauchy chính tắc (CPV) Phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy là phương trình tích phân chứa tích phân kỳ dị loại Cauchy, như trong ví dụ sau:

Trong đó: K (x, t) , f (x) cho trước và ϕ (t) là hàm cần tìm.

Các ví dụ dẫn đến phương trình tích phân kỳ dị

2.3.1 Bài toán vết nứt trong lý thuyết đàn hồi.

Phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy được minh họa trong bài toán xác định phân phối lực trong không gian 2 chiều, xung quanh vết nứt Griffith.

Sử dụng hệ tọa độ Oxy với |x| < 1, y = 0 tương ứng vết nứt trong bản đàn hồi vô hạn, bài toán giá trị ban đầu của lý thuyết tấm phẳng đàn hồi như sau:

Xét phương trình cân bằng:

∀ y > 0, (2.1) với điều kiện: σ xy = 0, y = 0 , −∞ < x < ∞ σ yy = −p (x) , y = 0, |x| < 1, u y = 0, y = 0, |x| > 1

Ta chú ý rằng, các đạo hàm u x , u y tiến tới 0 khi x 2 + y 2 1/2

Xét các nhân tố dời chỗ (displacement component) và nhân tố lực (stress compo- nent) tại điểm (x, y), ta có điều kiện sau : u x = 1

(2.4) Ở đây P (ξ) là hàm cần xác định.

Hằng số à và η được gọi là mụđun cơ (rigidity modulus) và tỷ lệ Poisson (Poisson ratio).

Dựa vào điều kiện ban đầu (2.3) đưa ra mối liên hệ để xác định hàm P (ξ) : r2 π y

Chú ý rằng: điều kiện σ xy = 0 trên y = 0 thì thỏa: à 1 − η u y (x, 0) = r2 π

Tích phân phương trình đầu trong (2.5) ta được: r2 π

Sử dụng công thức nghịch đảo cosin Fourier từ mối liên hệ đẳng thức hai của (2.5) ta được:

Khi đó (2.8) và (2.10) cho ta:

Tích phân trên được hiểu theo ý nghĩa CPV và ϕ (t) thỏa điều kiện ϕ (t) =

Phương trình (2.11) có thể viết dưới dạng:

Z 1 0 f (s) s − u ds = g (x) , 0 < u < 1 (2.15) Phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy được giải với điều kiện: f (s) =

2.3.2 Bài toán giá trị ban đầu hỗn hợp trong lý thuyết tuyến tính của sóng nước.

Phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy xảy ra trong bài toán tán xạ bề mặt sóng nước bởi màn chắn đứng được mô tả như sau:

∂y 2 = 0, y > 0, −∞ < x < ∞ (2.17)Với điều kiện ban đầu:Kϕ+ ∂ϕ ∂y = 0 trê n y = 0, −∞ < x < ∞ (2.18)

Và K là hằng số thực dương.

Cùng với điều kiện tại x = 0:

∂x liên tục trên x = 0, 0 < y < ∞ và ϕ liên tục trên x = 0, a < y < ∞ (2.20) Và điều kiện: ϕ (x, y) →

 e −Ky e iKx + Re −iKx khi x → −∞

R và T là hằng số vật lý chưa biết, được gọi là hệ số phản xạ (reflection coefficient) và hệ số truyền tải (transmission coefficient) và e −Ky+iKx incident field. ϕ (x, y) thỏa điều kiện:

 e −Ky e iKx + Re −iKx khi x < 0 T e −Ky+iKx khi x > 0,

(2.25) Điều kiện ψ (x, y) → 0 khi |x| → ∞ và y → ∞ Ta có thể xem hàm điều hòa chưa biết ψ (x, y) thỏa điều kiện ban đầu (2.18) cho bởi công thức sau: ψ (x, y) =

A (k) và B (k) là hai hàm cần xác định.

Và L (k, y) = k cos ky − K sin ky (2.27)

Sử dụng phân tích Fourier ta thu được cặp công thức sau:

Bây giờ sử dụng (2.26) cho hàm ψ (x, y) cùng với (2.24) và (2.25), điều kiện liên tục (2.17) ta tìm thấy đưa ra mối liên hệ quan trọng sau:

0 kB (k) k 2 + K 2 L (k, y) dk = −iK (1 − R) e −Ky , 0 < y < a, (2.32) Cộng cả hai vế của (2.31) và (2.32) ta được:

Z ∞ 0 k {A (k) + B (k)} k 2 + K 2 L (k, y) dk = −iK (1 − R − T ) e −Ky , a < y < ∞, (2.33) Sử dụng (2.27) và (2.33) cùng với (2.28) ta được:

Ta thu được từ (2.31) và (2.29).

Z ∞ 0 kA (k) k 2 + K 2 L (k, y) dk = h (y) , a < y < ∞, (2.38) Với h (y) (y > a) là hàm cần xác định, ta tìm với điều kiện (2.28). kA (k) = iK (1 − R) e −Ka sin ka +

Thế A (k) từ (2.39) vào (2.37) ta được hàm h (t) thỏa mãn phương trình:

Tính toán cả hai vế phương trình (2.41) cùng với kết quả:

Z ∞ 0 sin ky sin kt k dk = 1

0 e −εK sin ky sin ktdk = y y 2 − t 2 , t, y > 0, Ta thu được phương trình:

Z ∞ 0 h (t) 1 y + t + 1 y − t + K ln y − t y + t dt = iK e −Ka (1 − R) ln y − a y + a

Z ∞ 0 e −Kt 1 y + t + 1 y − t + K ln y − t y + t dt = e −Ka ln y − a y + a

Với g (t) = h (t) − iK (1 − R) e −Kt , t > a (2.45) Từ (2.24) và (2.25) ta được:

Vì vậy, (2.46) và (2.45) cùng với điều kiện (2.31) ta được bài toán vật lý, cần giải phương trình tích phân kỳ dị (2.44) để tìm hàm g (y) thỏa điều kiện tại điểm cuối y = a: g (y) = O

Sau khi xác định hàm số g (y) , h (y) ta xác định hằng số R (hệ số phản xạ), bằng cách sử dụng (2.40) Tính toán chi tiết không đề cập ở đây.

Khi đó, từ phương trình tích phân kỳ dị ta được phương trình tích phân kỳ dị loạiCauchy.

Vì vậy phương trình (2.44) viết dưới dạng:

Và tích phân hiểu theo ý nghĩa CPV.

Phương trình (2.52) tương đương phương trình tích phân kỳ dị thuần nhất.

Phương trình (2.53) có thể giải với điều kiện: q (u) =

Phương trình Airfoil

Định nghĩa

Phương trình Airfoil là phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy với trường hợp a = 0 và b = 1 (phương trình loại 1).

Phương trình Airfoil tổng quát (General Airfoil Equation, viết tắt GAE) có dạng

Phương trình dominant Phương trình dominant là trường hợp đặc biệt của phương trình Airfoil tổng quát với k (x, t) = 0.

Phương trình dominant có dạng

−1 v (t) dt t − x = f (x) , −1 < x < 1, (3.3)Phương trình dominant thường gọi là phương trình airfoil trong động lực học.

Nghiệm giải tích của phương trình Arifoil

Ta xét 2 định lý sau. Định lý 3.2.1 Xem xét phương trình tích phân

, (3.7) Định lý 3.2.2 Nếu f (x) là liên tục Holder, phương trình Airfoil:

Chứng minh định lý 3.2.2 mang nặng tính lý thuyết và biến đổi rất phức tạp.

Ta minh học ngắn gọn như sau:

Biến đổi phương trình (3.8) ta được

0 φ (ξ) dξ ξ − x = fe(x) , 0 < x < 1, (3.11) Từ đó giải phương trình (3.11).

Ta nhân phương trình (3.11) cho x, sau đó cộng và trừ R − 1

0 ξφ(ξ)dξ ξ−x vào vế trái của phương trình (3.11).

0 φ (ξ)dξ Chia cả 2 vế của (3.12) cho √ x ta được:

Sau đó lấy tích phân của 2 vế của (3.13), phương trình (3.13) trở thành:

Thay thế thứ tự lấy tích phân trong cả 2 vế tích phân trong vế trái của phương trình (3.16) ta được:

Kết hợp với tích phân bên trong chứng tỏ rằng phương trình (3.17) được viết thành.

Hơn nữa, g (x) khả vi với mọi x > 0, cho nên ψ (σ) = 1 π g (0)

, (3.21) Để chứng minh (3.21) ta lấy tích phân từng phần (3.20) Thật vậy:

Sử dụng tích phân từng phần (3.20) ta được: ψ (σ) = 1 π Z σ

√ σ − x +c (3.22) Từ dạng của ψ (σ), phương trình (3.19) được giải bởi √ ξφ (ξ) và (3.7): pξφ (ξ) = − 1 π d dξ

= c π √ 1 − ξ − 1 π 2 dγ (ξ) dξ , (3.23) Đặt γ (ξ) là tích phân vế phải của (3.23).

Thay đổi thứ tự tích phân trong γ (ξ) γ (ξ) =

√ ξ √ 1 − ξ (x − ξ) , (3.27) Cho ξ → x, x → ξ, phương trình (3.27) trở thành: φ (ξ) = c π 2 √ x √

Thực hiện đổi biến t = 2x − 1, u = 2ξ − 1 ta được: φ [(1 + t) /2] = 1 π 2

√ 1 − u 2 fe[(1 + u) /2] du t − u + πc (3.29) Để tìm nghiệm chuẩn tắc của phương trình Airfoil ta đặt: φ t+1 2

(3.30) Thay đổi t thành x và u thành t trong phương trình (3.30), khi đó: v (x) = 1 π 2 √ 1 − x 2

−1 v (t)dt Để thuận lợi trong cách viết phương trình Airfoil như trong (3.3), ta thay f (x) trong (3.8) bởi πf (x) ta được nghiệm của phương trình Airfoil (3.3) được dạng đơn giản nhất: v (x) = 1 π √ 1 − x 2

Khi đó phương trình (3.3) trở thành:

√ 1 − t 2 (t − x) = f (x) , (3.33) Sử dụng (3.31) khi đó (3.33) trở thành: u (x) = 1 π − Z 1

√ 1 − t 2 f (t) dt x − t + c π (3.34) là nghiệm của phương trình (3.3) Ta sẽ xác định hằng số c.

Vì (3.31) chứa hằng số c chưa biết, để tìm hằng số c cần thêm một số điều kiện phụ thuộc vào yêu cầu bài toán Đó là:I (v) = M (3.35)

Với I là hàm số tuyến tính của nghiệm v. Giá trị I và M thông thường thỏa một số điều kiện: i Điều kiện Kutta.

I (v) = v (1) , M = 0, thường xảy ra trong bài toán khí động lực.

Nếu v (x)thỏa mãnv (1) = 0thì hạng tử trong phương trình (3.31) phải bằng 0 tại x = 1 Khi đó:

Thế c vào phương trình (3.31) ta được: v (x) = 1 π √ 1 − x 2 − −

Phương trình (3.38) được gọi là công thức nghịch đảo Sohngen.

Từ phương trình (3.38) ta có: v (x) = r1 − x

Khi đó phương trình Airfoil được viết:

−1 r1 − t 1 + t u (t) dt t − x = f (x) (3.40) với u (t) là biến mới chưa biết.

Phương trình này liên quan đến phương trình (3.40) tương đương phương trình với số mũ 0, số mũ là tổng số mũ âm của hàm trọng số q

1−t 1+t. Trong trường hợp này, ta xét phương trình Airfoil trong (3.40), thỏa điều kiện Kutta trong nghiệm v (x) Khi đó phương trình (3.3) có nghiệm duy nhất (3.41). ii I (v) = R1

−1 v (t)dt = M, thường xảy ra trong bài toán cơ khí, thông thường

Với u (x) được định nghĩa trong (3.32) Ở đây ta nói số mũ là 1, thu được bằng cách lấy phần âm của tổng số mũ trong hàm trọng số √ 1

Trong các trường hợp xảy ra với I (v) =R1

−1 v (t)dt = 0, nghiệm phương trình (3.3) là: u (x) = 1 π − Z 1

√ 1 − t 2 f (t) dt x − t (3.43) iii v (1) = v (−1) = 0 Trường hợp nghiệm yêu cầu bằng 0 tạix = ±1, và khi đó ta có 2 hàm sốI 1 (v) = v (1) và I 2 (v) = v (−1) Để nghiệm tồn tại duy nhất, hàm f (x) phải thỏa mãn điều kiện phức tạp hơn.

Ta có v (t) thỏa v (1) = 0 và v (−1) = 0 thì: v (x) = 1 π r1 − x

Như vậy nghiệm phương trình (3.3) tồn tại nếu điều kiện (3.45) được thỏa.

Trong trường hợp này, phương trình (3.44) trở thành: v (x) = 1 π r1 − x

Sử dụng (3.46) trong phương trình (3.3) ta được cặp nghiệm phương trình:

(3.47) Ở đây số mũ là -1 Biểu thị số mũ là v.Ta thấy, nghiệm gần x = ±1 thì khác số mũ,

Ta xét các trường hợp: i) v = 0 thì nghiệm bị chặn tại x = 1 và không bị chặn tại x = −1 ii) v = 1 thì nghiệm không bị chặn tại x = ±1 iii) v = −1 thì nghiệm bị chặn tại cả hai điểm cuối.

Phương pháp giải nghiệm phương trình Airfoil tổng quát

3.3.1 Phương pháp số của phương trình airfoil tổng quát [6]

Ta tìm nghiệm số của phương trình airfoil tổng quát, sau đó nghiên cứu trường hợp tổng quát của phương trình (3.1) Với phương trình tích phân Fredholm, để xác định thuật toán được sử dụng ta dựa số mũ (hoặc tương đương dạng điểm cuối kỳ dị)

Có rất nhiều thuật toán phát triển để giải phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy như: phương pháp gián tiếp, phương pháp trực tiếp.

Với phương pháp gián tiếp, công thức nghịch đảo cho phương trình dominant được chuyển đổi từ phương trình đầy đủ (complete equation) sang phương trình tương đương Fredholm loại 2 Thuật toán có thể được giải bởi phương pháp số.

Nhận xét: Ưu điểm Phương pháp số là phương pháp định lượng giúp chỉ ra nghiệm gần đúng của phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy.

Hạn chế Với phương pháp tiếp cận gián tiếp rất khó tính toán kết quả của hạt nhân phương trình Fredholm chính xác và do hạt nhân có thể có điểm kỳ dị yếu dẫn đến khó khăn trong tính toán Như vậy, phương pháp tiếp cận này rất phức tạp.

Phương pháp trực tiếp được ưu tiên sử dụng hơn phương pháp gián tiếp vì không cần chuyển phương trình (3.1) sang dạng phương trình Fredholm tương đương Các ấn phẩm gần đây đều tập trung vào phương pháp này.

Trước tiên tìm hiểu phương pháp gián tiếp để giải phương trình (3.2) khi số mũ là 0 Sau đó trình bày khi v = ±1

Kiểm tra nghiệm khi k (x, t) = 0 Đặtv (x) = q1−x1+x u (x), khi đó phương trình (3.2) trở thành:

−1 r1 − t 1 + t k (x, t) u (t) dt = f (x) , −1 < x < 1, (3.48) Và gọi w(t) = r1 − t 1 + t Phương trình (3.48) trở thành:

Ta thấy phương trình (3.48) thỏa điều kiện Kutta v (1) = 0, ta giả sử rằng nó có nghiệm duy nhất. Để chuyển (3.49) thành phương trình Fredholm loại 2, biến đổi (3.49) ta được:

−1 w(t) k (x, t) u (t) dt = g (x) , (3.50) Và sử dụng công thức nghịch đảo Sohngen (3.38): u (x) = 1 π − Z 1

Nếu k (x, t) đủ trơn thì thay đổi thứ tự tích phân trong tích phân kép cho ta:

Khi đó, u (x) thỏa phương trình Fredholm loại 2. u (x) +

Nếu k (x, t) liên tục Holder thì K (x, t) sẽ khả tích Khi đó, ta có cách giải phương trình (3.54) bằng kỹ thuật đã biết cho phương trình loại 2.

Tuy nhiên, trước khi điều này có thể tiến hành, K (x, t) và h (x) thường phải xác định bằng quy tắc cầu phương Gauss cho nguyên lý giá trị tích phân Cauchy đưa ra bởi phương trình (3.181) và xấp xỉ này có thể thất bại nếu nhưK (x, t)và f (x) không trơn.

Nhận xét: Ưu điểm Phương pháp gián tiếp tính toán cho kết quả rõ ràng, dễ áp dụng.

Hạn chế Phương pháp gián tiếp không được sử dụng nhiều vì phải chuyển (3.2) thành phương trình loại 2, dẫn đến thuật toán giải số phức tạp Phương pháp phổ biến hiện nay là phương pháp trực tiếp.

Trong phương pháp tiếp cận này, ta định nghĩa một biến phụ thuộc mới G (x) bởi

−1 w(t) u (t) dt t − x (3.56) và sử dụng công thức nghịch đảo Sohngen: u (t) = 1 π − Z 1

Thay (3.57) vào phương trình (3.2) ta được phương trình loại 2 cho G (x):

G (s) ds w(s) (t − s) dt = f (x) (3.58) Thay đổi thứ tự tích phân trong tích phân (3.58), ta được:

Phương trình (3.58) được giải số bằng cách đưa xấp xỉ Gb(x) thànhG (x) và khi đó xấp xỉ b u (t) thành u (t) có thể đạt đươc từ (3.57) bằng cách thế Gb(x) vào G (x) Tính toán cụ thể phương pháp này không chú ý nhiều như quy tắc (3.54). Đặc điểm của phương pháp này tương tự như trong phương pháp giải phương trình Fredholm loại 2 và các lớp tương tự như vậy Nó có các dạng sau:

(i) Phương pháp hạt nhân suy biến.

(ii) Phương pháp mở rộng, phương pháp Galerkin đặc biệt và phương pháp hệ quả.

(iii) Phương pháp cầu phương.

Giống như phương trình Fredholm, phương pháp trực tiếp trong (ii) và (iii) được sử dụng phổ biến nhưng nó cũng có hạn chế, gần đây phương pháp lặp được sử dụng phổ biến.

Các phương pháp trực tiếp hiện đang được sử dụng rộng rãi để giải phương trình tích phân kỳ dị Cauchy, với lý thuyết phụ thuộc vào việc xấp xỉ đa thức.

Nhận xét: Ưu điểm Phương pháp trực tiếp tiến hành mà không phải chuyển phương trình (3.2) về phương trình Fredholm.

Hạn chế Phương pháp trực tiếp tính toán cho kết quả không tốt.

3.3.4 Phương pháp hạt nhân suy biến. a Tính chất ánh xạ của toán tử Airfoil[6]

Như ta đã biết phương pháp giải phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy phụ thuộc vào sự mở rộng nghiệm xấp xỉ trong đa thức trực giao.

* Phương trình hệ số hằng có lớp đa thức Jacobi.

* Phương trình loại 1 với v = ±1 được gọi là đa thức Chebyshev loại 1 và loại 2.

* Phương trình với số mũ 0, có đa thức JacobiP ( 1 2 ;− 1 2 ) n hoặc P ( − 1 2 ; 1 2 ) n gọi là đa thức Airfoil trong phần trước.

Khi đó những trường hợp tổng quát dường như yêu cầu sử dụng đa dạng các kỹ thuật biến phức cho phương trình loại 1 Tuy nhiên những phương trình loại này có thể giải quyết bằng một phương pháp đơn giản đó là: đa thức Chebyshev và đa thức

Khi đó, phương trình (3.3) có thể viết:

[H v u] (x) = f (x) , v = −1, 0, 1, −1 < x < 1 (3.63) Định lý 3.3.4 a Gọi T n (x) = cos n cos −1 x

, −16 x 6 1, n = 0, 1, 2, , biểu thị đa thức Cheby- shev loại 1 Khi đó:

Với U n (x) = sin [ (n+1) ( cos −1 x )] sin(cos −1 x) , n = 0, 1, 2, , là đa thức Chebyshev loại 2.

Theo định nghĩa của T n (x) ta được T 0 (x) = 1 và T 1 (x) = x, ∀n > 1 Khi đó {T n (x)} ∞ n=1 thỏa:

Từ công thức (3.64) và (3.65) suy ra: U 0 (x) = 1, U 1 (x) = 2x, và ∀n > 1 ta thấy {U n (x)} ∞ n=1 thỏa (3.66) như {T n (x)} ∞ n=1

Vậy để chứng minh định lý trên, ta sẽ chứng minhH 0 T 0 = 0, H 1 T 1 = 1vàV n = H 1 T n thỏa (3.66).

Ta có nghiệm hồi quy với V 0 = 0, V 1 = 1 được suy ra từ V n (x) = U n−1 (x) , n > 1

Ta bắt đầu chứng minhH 1 T 0 = 0 từ đó suy ra V 1 = 1 và {V n } ∞ n=1 thỏa (3.66).

Ta giả sử H 1 T 0 = 0, khi đó:

Và sử dụng H 1 vào cả hai vế của (3.66) ta được:

Vì{T n (x)} ∞ n=0 trực giao với hàm trọng số 1 − t 2 −1/2

Sau đó giải (3.71) ta được:

VìH 1 T n = U n−1 , n > 1 , vì vậy hoàn thành chứng minh H 1 T 0 = 0. Để ước lượng tích phân ta đổi biến t = 1 − u 2

Thay biểu thức (3.72) và (3.74) vào:

2du (1 − x) − u 2 (1 + x) (3.75) Đặt a = [(1 − x) / (1 + x)] 1/2 , phương trình (3.75) trở thành:

Z ∞ 0 du a 2 − u 2 , −1 < x < 1 (3.76) Sử dụng định nghĩa nguyên lý giá trị tích phân Cauchy ta được:

Biểu thị đa thức Airfoil loại 1 và loại 2.

Cách chứng minh (3.77) và (3.80) giống như định lý 3.1.7 a.

Biểu thức (3.77) chứng tỏ rằng H −1 U 0 = −T 1 , H −1 U 1 = −T 2 và W n = H −1 U n thỏa 3 số hạng hồi quy của (3.66).

Ta thấy nghiệm hồi quy này thỏa điều kiện ban đầu W 0 = −T 1 và W 1 = −T 2 từ (3.77).

Khi đó đa thức Airfoil {α n } ∞ n=0 và {γ n } ∞ n=0 thỏa (3.66).

Bằng cách tính toán trực tiếp ta chứng minh được H 0 α 0 = −γ 0 , H 0 α 1 = −γ 1 và Hα n thỏa (3.66) Từ đó sẽ thỏa (3.80).

Tính toán ta thu được: α 0 = γ 0 = 1/ √ π, α 1 = (2x + 1) / √ π và γ 1 = (2x − 1) / √ π

Mà T 2 = 2t 2 − 1, suy ra 2t 2 = T 2 + 1, kết hợp (3.82) ta được:

Vì{Hα n } ∞ n=1 thỏa (3.66) như phần chứng minh của (3.71).

Sử dụng (3.64) – (3.65), (3.77) và (3.80) để tìm thuật toán giải số cho phương trình Airfoil tổng quát, và sử dụng tính chất đa thức {T n } ∞ n=0 , {U n } ∞ n=0 , {α n } ∞ n=0 và {γ n } ∞ n=0

Nếu tích vô hướng hf, gi W v = R1

−1wv (t)f (t) g (t) dt, v = 0, ±1 trên không gian hàm số thực khả tích bình phương (square - integrable) với w v , nên {T n } ∞ n=0 trực giao với w 1 , {U n } ∞ n=0 trực giao với w −1 , {α n } ∞ n=0 trực chuẩn với w 0 , {γ n } ∞ n=0 trực chuẩn với 1/w0.

Ta thấy {τ n } ∞ n=0 trực chuẩn với w 1 và {à n } ∞ n=0 trực chuẩn với w −1 Tương tự (3.64) – (3.65) và (3.70) thì{T n } ∞ n=0 và{U n } ∞ n=0 được thay thế bởi{τ n } ∞ n=0 và {à n } ∞ n=0 tương ứng. Để chứng minh ánh xạ liên quan (3.64) – (3.65), (3.77) và (3.80) có thể giải được phương trình Airfoil, ta xét phương trình với số mũ 0.

Nếu f liên tục, có thể mở rộng đa thức {γ n } ∞ n=0 thành: f (x) =

Giả sử u (t) có thể mở rộng theo: u (t) =

Nếu f được xấp xỉ bởi N + 1 số hạng của (3.86), u N = −

X n=0 f n γ n , (3.90) thì có thể xấp xỉ bởi u, với mối liên hệ tương tự v = ±1. b Công thức toán tử cho phương trình Airfoil tổng quát [6],[8]

Trong quá trình giải bài toán dòng chảy thủy động lực học, việc sử dụng không gian Hilbert phức là rất cần thiết Tuy nhiên, ta có thể giả sử rằng không gian Hilbert bao gồm: hàm số thực để giúp việc khảo sát sự hội tụ của các thuật toán khác nhau và công thức của phương trình airfoil tổng quát hay phương trình toán tử trong không gian Hilbert.

Nếu w là một hàm trọng số w v trong (3.62), thì L w sẽ biểu thị không gian Hilbert hàm số khả tích 2 lần tương ứng với w.

Tích vô hướng của của hai hàm f và g trong L w được định nghĩa: hf, gi w =

Từ (3.64)-(3.65) và (3.77) và (3.80) thì H v , v = ±1, 0, có thể mở rộng như toán tử tuyến tính bị chặn từ L w đến L 1 w

Ví dụ 3.3.4 Nếu v = 0, thì toán tử mở rộng gọi là H 0, được định nghĩa:

Tùy vào số mũ của bài toán và điểm cuối kỳ dị của v, ta đổi biến: u =w v v (3.95) phương trình (3.2) trở thành:

−1 w v (t) k (x, t) u (t) dt = f (x) (3.96) Nếu ta định nghĩa:

−1 w v (t) k (x, t) u (t) dt, (3.97) thì (3.96) có thể viết lại bằng cách sử dụng ký hiệu toán tử:

(Với K là toán tử compact từ L w đến L 1 w) Điều kiện đủ để k (x, t) là không gian Hilbert – Schmidt là:

−1 wv (t) w v (x) k 2 (x, t) dx dt < ∞ (3.99) Đặc biệt (3.99) xảy ra nếu và chỉ nếu k (x, t) liên tục.

Từ đó ta rút ra được:

(i) Nếu v = 0, thì H 0 là khả nghịch và hơn nữa H 0 là unita, nghĩa là: hH 0 f, H 0 gi 1/w

0, và chuẩn toán tử kH 0 k = 1.(ii) Nếuv = 1 thì H 1 bị chặn, và không gian Hilbert liên hợp của H 1 ∗ là nghịch đảo phải của H 1

(iii) Nếu v = −1 thì H −1 ∗ là nghịch đảo trái của H −1 Nghĩa là:

Thêm điều kiện vào không gian Hilbert L w , ta sẽ cần không gian khác nhau của hàm số khả vi.

Nếu r > 0 là số thực, gọi [r] là phần nguyên.

Ta gọi hàm số thuộcC r trên[−1; 1] nếu nó có [r]đạo hàm liên tục và đạo hàm bậc r liên tục Holder với bậc: α = r − [r] , 06 α < 1 Nếu α = 0 đạo hàm bậc r liên tục. Đặc biệt, C 0 biểu thị không gian của hàm số liên tục, và nếu r là số nguyên, thì C r là không gian hàm số khả vi liên tục r lần trên [−1; 1].

Nhân vào vế trái (3.98) với H v ∗ , ta tìm u thỏa: u + H v ∗ Ku = H v ∗ f + b v , (3.103)

Với b v = 0 nếu v = 0 hoặc v = −1 Khi đó (3.98) tương đương phương trình loại (3.2).

Và từ định lý Fredholm nó có nghiệm duy nhất nếu không gian rỗngN (I + H v ∗ K) = 0

Khiv = 1, hằng số b 1 cần được xác định, thông thường có thêm điều kiện l (u) = M trên nghiệm, với l là hàm số tuyến tính bị chặn trên L w

Trong trường hợp này, ta giải hệ phương trình:

Khi v = −1, từ (3.45) thì u phải thỏa điều kiện tương ứng: hf − Ku, T 0 i w

Vì điều kiện này phụ thuộc vào hằng số chưa biếtu, nên không thể giải quyết bằng cách đoán nghiệm Để giải phương trình với số mũ là -1, thì khó hơn khi v = 0 hoặc v = 1 c Phương pháp hạt nhân suy biến.

Nhược điểm:Phương pháp hạt nhân suy biến có vai trò không quan trọng trong lý thuyết phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy, ít khi được sử dụng.

Hệ quả

Khi v = 0, ta đưa ra xấp xỉ u bởi công thức: u N =

X k=0 a k α k , (3.151) từ thặng dư, r N = H 0 u N + Ku N − f và khi đó tập hợp này bằng 0 tại điểm {x j } N j=0 và bằng 0 tại γ N+1 Điều này cho ta N + 1 phương trình với N + 1 ẩn.

X k=0 a k Kα k (x j ) = f (x j ) , j = 0, 1, 2, , N, (3.152) Kết hợp (3.80), lúc này (3.152) trở thành:

Ta chú rằng {x j } N j=0 là nút của quy tắc cầu phương Gauss N + 1 điểm cho hàm trọng số q

1+x 1−x và các điểm hệ quả dẫn đến (3.153) tương đương với phương trình Galerkin rời rạc (3.129) với M (N ) = l (N ) = N.

Nếu k (x, t) và f (x) liên tục, ku − u N k w → 0, N → ∞ nếu hàm số thuộc C r , r > 0, Khi đó: ku − u N k w = O N −r

Sự hội tụ được thiết lập bởi Miel [6] ku − u N k ∞ = O N −r+2

Hơn nữa, nếu ánh xạ K vào L w 0 là compact trong C 0 không gian hàm số liên tục với chuẩn, và f (x) khả tích Riemann, thì hội tụ trung bình – bình phương (mean square) của u N đến u là tương đương Nếu k (x, t) không liên tục, nhưng u ∈ C r , thì ước lượng sai số của (3.154) và (3.155) có thể tính được Điều này đúng trong trường hợp thuật toán hạt nhân kỳ dị.

Trường hợp phương pháp Galerkin gặp khó khăn thì có thể tính toán.

−1 r1 − t 1 + t k (x j , t) α k (t) dt (3.156) Nếu k (x j , t) trơn theo t, thì ta chọn quy tắc cầu phương Gauss cho w 0 (t) = q1−t 1+t với N + 1 nút.

Kết quả phương pháp số này, thường gọi là phương pháp hệ quả rời rạc, ngược lại gọi là phương pháp Galerkin rời rạc.

3.4.2 k (x, t) = a (x, t) log (|x − t|) + b (x, t) Khi k (x, t) là dạng (3.132) thì:

−1 r1 − t 1 + t b (x j , t) α k (t) dt (3.157) Nếu giả sửa (x, t)vàb (x, t)giải tích, xảy ra trong hạt nhân Kussner – Schwarz i 2 = −1 k (x, t) = exp [−ià (x − t)] n Ci (à |x − t|) +iSi [à (x − t)] − i π

(−1) n z 2n+1 (2n + 1) (2n + 1)! , γ = 0.5772 Euler 0 s constan t thì tích phân loại 2 trong (3.157) có thể ước lượng bởi cầu phương Gauss với q1−t 1+t

(với a (t) giải tích) Thông thường ta tính I k bằng cách viết a (t) = [a (t) − a (x)] + a (x), khi đó nó trở thành:

Do tích phân thứ nhất trong (3.159) liên tục nên có thể xấp xỉ bằng công thức Gauss, trong khi tích phân thứ hai trong (3.159) có thể giải tích được Tuy nhiên, tính toán tích phân dẫn đến sai số trong nghiệm số.

Từ đó hai nhà toán học Fromme và Golberg đã đưa ra một cách tính thông qua tích phân (3.156).

Tích phân I 1 và I 6 được tính xấp xỉ bởi phương pháp cầu phương Gauss thường và thêm điều kiện u = v 2 , I 2 và I 5 được xấp xỉ bởi phương pháp cầu phương Gauss với hàm trọng số − log u , trong khiI 3 và I 4 được xấp xỉ bởi phương pháp cầu phương Gauss như trên.

Ví dụ 3.4.2 a Để minh họa quy tắc cầu phương Fromme - Golberg được sử dụng để tính tích phân.

(3.161) với T 4 (x) , T 5 (x) , T 6 (x) là các đa thức Chebyshev.

Trong tất cả các trường hợp tích phân trong (3.160) được xấp xỉ bằng cách sử dụng quy tắc Gauss gần đúng với 1-8 nút, kết quả số được minh họa trong bảng 4-6 với x = −0.99, x = 0.00và x = 0.99 Ta ký hiệu cI N là kết quả xấp xỉ thu được (N=1,2 ,8).

Khi đó kết quả thu được tại điểm x = ±1 và tại điểm x = 0 sẽ khác nhau.

Bảng 4: Sự hội tụ của quy tắc Fromme – Golberg cho (3.161): x = −0.99

2 0.1151601 0.4276748 0.3125147 3 0.1069479 0.2055668 0.3125147 4 0.2076872 0.1048274 0.3125147 5 0.2516463 6.086838E – 02 0.3125147 6 0.2754945 3.702015E – 02 0.3125147 7 0.2896029 2.291176E – 02 0.3125147 8 0.2981505 1.436418E - 02 0.3125147 Bảng 5: Sự hội tụ của quy tắc Fromme – Golberg cho (3.161): x = 0.00

2 2.926924E - 02 1.239742E – 02 4.166667E - 02 3 4.500535E – 02 -3.338687E – 02 4.166667E – 02 4 4.146993E – 02 1.967326E – 02 4.166667E – 02 5 4.166902E – 02 -2.354384E – 02 4.166667E – 02 6 4.166668E – 02 -1.490116E – 02 4.166667E – 02 7 4.166667E – 02 -7.450581E – 02 4.166667E – 02 8 4.166665E - 02 1.490116E - 02 4.166667E - 02 Bảng 6: Sự hội tụ của quy tắc Fromme – Golberg cho (3.161): x = 0.99

Và xấp xỉ (1 − t) f (t) bởi chuỗi Chebyshev hữu hạn

Với dấu phẩy trong (3.163) chứng tỏ rằng số hạng đầu tiên thì giảm phân nửa (halved).

, j = 0, 1, 2, , M + 1, (3.167) Và dấu hai phẩy trong (3.166) chứng tỏ rằng số hạng đầu và cuối giảm phân nửa (halved).

Kết quả này chứng tỏ rằngIc M (x), quy tắc cầu phương đưa ra từ (3.165) - (3.167), hội tụ đều đến I (x) =R1

−1w0 (t) log (|x − t|) g (t) dt, và nếu f (t) ∈ C r , r > 2, khi đó:

M r Điều đó đã chứng tỏ hội tụ từng điểm của quy tắc Fromme – Golberg (3.160) với

−1 < x < 1 , và nó cũng được chứng minh rằng Ic M (x) luôn luôn sử dụng ít hàm số hơn ước lượng cho bậc của đa thức với M > 1

Ví dụ 3.4.2 b Để biểu diễn Ic M (x) ta sử dụng tính toán các tích phân khác nhau, và ở đây chúng ta minh họa một số kết quả thu được bằng cách sử dụng vài nút.

Trong bảng 7 giá trị của: s 8 = 1 π

Kết quả của nghiệm số 8 được tính bằng phương pháp M = 9 nút trong phương trình (3.165) Các giá trị này đã được tính toán trên máy tính với độ chính xác xấp xỉ 17 chữ số Bảng 7 minh họa rõ ràng kết quả này, cụ thể là giá trị −16 x 6 1.

Bảng 7: Ước lượng số của s 8 bằng quy tắc Mckenna [6] x s 8 Sai số

0.0 0.125000 1.38778 E – 17 0.5 0.042659 -1.56125 E – 17 0.9 0.006456 1.12757 E – 17 1.0 0.001984 1.73472 E - 17 Ví dụ 3.4.2 c Xét tích phân sau u k (x) = 1 π Z 1

−1 r1 − t 1 + t log (|x − t|) e kt dt (3.169) Bảng 8: Ước lượng số của u k (0.5) k u b 30 (0.5) ∗ b u 30 (0.5)

− bu 30 (0.5) + 1 -0.4622842326270537 -0.4622842326270538 -0.4622843179723732 5 -4.515227967460854 -4.515227967460854 -4.515228294819275 10 -166.2514215338906 -166.2514215338905 -166.2514363342769 bu 30 (0.5) ∗ : Quy tắc Mckenna – 30 nút bu 30 (0.5) − : Quy tắc Mckenna – 60 nút bu 30 (0.5) + : Quy tắc Fromme - Golberg– 8 nút trong Trong bảng 8, ta minh họa kết quả thu được cho u k (0.5) , k = 1, 5, 10, sử dụng 30 và 60 nút tương ứng trong (3.165)-(3.166) Hầu hết máy tính tính chính xác đạt được tại 30 nút.

3.4.3 Đa thức hệ quả (polynomial collocation): v = ±1.Thuật toán đa thức hệ quả không được sử dụng rộng rãi trong giải nghiệm khi v = ±1, vì vậy phần chi tiết sẽ được đồng nhất với v = 0.

Khi v = 1, phương pháp hệ quả chuẩn xấp xỉ u bởi u N =

Và tập hợp thặng dưr N = H 1 u N +Ku N − f bằng 0 tại{x j } N j=0 −1 , không điểm (zeros) của U N (x).

Cụ thể hóa các điều kiện này ta được N phương trình:

Với phương pháp Galerkin chúng ta thu được hệ phương trình, bằng cách thêm phương trình ràng buộc l (u N ) = M Khi đó:

√ u(t) 1−t 2 dt, khi đó l (u N ) = a 0 π, và a 0 có thể khử từ (3.172) với hệ N phương trình và N ẩn {a k } N k=1

+ Nếu yêu cầu xấp xỉ số củaKT k (x j )ta có thể sử dụng tích phân Gauss với w 1 (t) khi k (x, t) là trơn.

+ Nếu k (x, t) là dạng trong (3.132), thì phương pháp đề xuất lần trước được áp dụng.

Khi tốc độ v = 0, hội tụ trung bình bình phương có thể thiết lập được cho hạt nhân liên tục hoặc ánh xạ hạt nhân Lw compact trong không gian hàm số liên tục C0 Tốc độ hội tụ chuẩn được biểu thị như sau: ku - uNxkw = O(N-r).

, r > 1 nếu giả thiết là C r Khi v = −1 ta lấy: u N =

X k=0 a k U k , (3.173) và sắp xếp tại {x j } N k=1 +1 củaT N+2 ta được N + 2 phương trình với N + 1 ẩn:

Cuminato [6] đã chứng minh có thể sử dụng không điểm (zeros) củaT N +1 (x) (v = 0) hoặc T N (x) (v = 1) như các điểm hệ quả để thu được dạng hội tụ thuật toán hệ quả dưới điều kiện liên tục Holder trên k (x, t) và f (x).

Đánh giá sự hội tụ

Với phương trình Fredholm, tốc độ hội tụ sẽ khác nhau nếu như phương pháp được sử dụng khác nhau Đó là kỹ thuật dựa vào quy tắc của Linz, Ioakimidis, Elliott, và Gerasoulis [6], hay phép chiếu trực giao của Duskov và Gabdulhaev, Dziskhariani, Fromme và Golberg, Junghanns và Silbermann và Miel [6].

Ta thừa nhận chứng minh hội tụ các thuật toán sau:

1 Phương pháp đa thức Galerkin với v = 0 và v = 1. 2 Phương pháp đa thức hệ quả vớiv = 0 và v = 1. 3 Phương pháp Galerkin rời rạc với v = 0 và v = 1 và giả thiết đủ trơn.

Các phương pháp Galerkin và hệ quả liên quan đến thuật toán (3.1) - (3.4) với xấp xỉ nghiệm u cho phương trình (3.96) Xấp xỉ diễn đạt là uN hoặc vN như đã trình bày trước.

3.5.1 Sự hội tụ của phương pháp Galerkin với v = 0. Sự hội tụ trung bình bình phương (mean square) có thể chứng minh bằng cả 2 phương pháp (trực tiếp và gián tiếp) được suy ra từ phương pháp Galerkin Tuy nhiên hai phương pháp không cùng tốc độ hội tụ Trong đó phương pháp gián tiếp hội tụ tốt hơn, nhưng phương pháp trực tiếp thì thuật toán đơn giản hơn. a) Phương pháp gián tiếp.

Trong phần 3.3.5 a, phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy với v = 0 được xem như phương trình toán tử từ L W → L 1/W có dạng:

(với H 0 là unita và K compact). Để phân tích sự hội tụ ta viết (3.175) dạng : u+H 0 ∗ Ku = H 0 ∗ f (3.176) với H 0 −1 = H 0 ∗ và chứng tỏ phương trình Galerkin có dạng như vậy.

Gọi Y N = span {χ k } N k=0 và ký hiệu P N là toán tử của phép chiếu trực giao Y N Khi đó, từ phương trình Fredholm, ta tìm được giá trị xấp xỉ Galerkin u N thỏa mãn phương trình toán tử:

Vì u N là đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng N, H 0 u N ∈ Y N ta đặt P N Y N = Y N , P N H 0 u N = H 0 u N , nên (3.177) trở thành :

Khi đó : u N +H 0 ∗ P N Ku N = H 0 ∗ P N f (3.179) Do H 0 H 0 ∗ = I, là toán tử đơn vị trong L 1/w , u N +(H 0 ∗ P N H 0 ) H 0 ∗ Ku N = (H 0 ∗ P N H) H ∗ f (3.180)

Vì Q N = H 0 ∗ P N H 0 là toán tử của phép chiếu trực giao trong X N = span {ψ k } N k=0 , nên u N thỏa : u N +Q N Lu N = Q N g, (3.181)

(Với L = H 0 ∗ K và g = H 0 ∗ f) Mặt khác K là compact và H 0 ∗ bị chặn, L compact, và u N thỏa mãn phương trình xấp xỉ Galerkin u + Lu = g

Vậy để chứng minh sự hội tụ củau N trong L w ta có thể sử dụng định lý của phương trình toán tử loại 2. Định lý 3.5.1 aGiả sử X là không gian Hilbert, L : X → X compact, và giả sử u + Lu = g có một nghiệm duy nhất với mỗi g ∈ X.

Nếu {φ k } ∞ k=0 là trực chuẩn của X, và Q N là toán tử của phép chiếu trực giao trong span {φ k } N k=0 , khi đó với mỗi N đủ lớn,N > N 0 , (I + Q N L) −1 bị chặn và chuẩn

Với mỗi N > N 0 thì u N + Q N Lu N = Q N g có nghiệm duy nhất trong X,và ku − Q N u N k X 6 ku − u N k X 6 [1 + γ (N )] ku − Q N uk X , (3.182) Với γ (N ) → 0 khi N → ∞.

Theo giả thiết ta có : Q N f → f với mỗi f ∈ X. Vì L compact nên kL − Q N Lk → 0 Với mỗi N > N 0 , toán tử (I + Q N L) −1 tồn tại và có chuẩn bị chặn.

Nên với mỗi N > N 0 , u N = (I + Q N L) −1 Q N g có nghiệm duy nhất là u N + Q N Lu N = Q N g

Ta thấy rằng Q N u là xấp xỉ tốt nhất của u trong chuẩn của X bởi phần tử trong X N , vì vậy: ku − Q N uk X 6 ku − u N k X (3.183) Mà uưu N = (I + L) ư1 gư(I + Q N L) ư1 Q N g = (I + Q N L) ư1 (I ư Q N ) u (3.184) và

(I + Q N L) −1 = I−(I + Q N L) −1 Q N L (3.185) DoI − Q N là phép chiếu, I − Q N = (I − Q N ) 2 , và thay (3.185) vào (3.184) ta được: uưu N = (u ư Q N u)ư(I + Q N L) ư1 Q N (L ư LQ N ) (u ư Q N u) (3.186)

Nhưng Q N là phép chiếu trực giao, nênkL − LQ N k → 0, ta lấy chuẩn trong (3.186) (kQ N k = 1). ku − u N k X 6 ku − Q N uk X +

(I + Q N L) −1 kL − LQ N k → 0 khi N → ∞. Định lý 3.5.1 b

Giả sử (3.98) với v = 0 được giải quyết bởi phương pháp Galerkin trong phần 3.3.5 a.

Khi đó u N hội tụ trong L w tới u. ku − Q N uk W 6 ku − u N k W 6 [1 + γ (N )] ku − Q N uk W (3.187) Với N đủ lớn và γ (N ) → 0 khi N → ∞.

Chứng minh. Áp dụng định lý 3.5.1 a với Q N = H 0 ∗ P N H 0 , L = H 0 ∗ K, g = H 0 ∗ f, và φ k = ψ k , k = 0, 1, 2, Để tốc độ hội tụ chính xác hơn cho u N từ (3.187) ta cần biết độ trơn của u Tuy nhiên bài toán này có thể khắc phục nếu biết: ku − Q N uk W = u − H 0 −1 P N H 0

= 1, nếu k (x, t) ∈ C r và f (x) ∈ C r thì H 0 u = −Ku + f ∈ C r , sử dụng định lý Jackson [6] ta được : k(I − P N ) H 0 uk 1/W = O N −r

Từ kết quả phần trước ta có thể thu được trực tiếp từ (3.175) và (3.178) mà không cần phương trình tương đương loại 2.

Theo định lý 3.5.1 a, ta có với mỗi N > N 0 ,

(H 0 + P N K ) −1 tồn tại và có chuẩn bị chặn Vì vậy, với mỗi N > N 0 , u − u N = (H 0 + K) −1 f − (H 0 + P N K) −1 P N f

Mặt khác (H 0 + P N K) −1 = H 0 −1 − (H 0 + P N K) −1 P N KH 0 −1 , và sử dụng (I − P N ) 2 = (I − P N ) , u − u N = H 0 −1 (I − P N ) H 0 u

H 0 −1 = 1 nên lấy chuẩn ta được: ku − u N k W 6 [1 + β (N )] k(I − P N ) H 0 uk 1/W , (3.189)

→ 0 nên β (N ) → 0, N → ∞ và ku − u N k W → 0. Vậy nếu k (x, t) ∈ C r và f (x) ∈ C r , r > 0, k(I − P N ) H 0 uk 1/W = O N −r thì ku − u N k W = O N −r

, r > 0. Nhận xét : Tốc độ hội tụ trung bình – bình phương của phương pháp Galerkin.

Từ (3.182) ta thấy nếu biết tính trơn của u, thì ta biết được tốc độ hội tụ, trong khi đó từ (3.189) ta chỉ biết về độ trơn của dữ liệu k (x, t) vàf (x) Khi đó ta biết được tính trơn của H 0 u vì dữ kiện này xuất hiện trong hầu hết các bài toán, ước lượng sai số trực tiếp dạng (3.189) thường đánh giá tốt Tuy nhiên có trường hợp hạt nhân không trơn, nhưng có nghiệm và khi đó (3.187) cho kết quả tốt.

Ví dụ 3.5.1Với k (x, t) = a (x, t) log (|x − t|) + b (x, t) và v = 0 trong phương trình airfoil tổng quát, hoặc công thức nghiệm chính xác hạt nhân Kussner – Schwarz chứng tỏ nếu f (x) là đa thức, thì có nghiệm u (x).

−1 w 0 (t) log (|x − t|)u (t) dt = f (x) , Với f (x) trơn, ta đặt v (x) =

−1 w 0 (t) u (t) dt t − x Vì vậy, v (x) thỏa mãn phương trình vi phân

− 1 π v 0 (x) + v (x) = f (x) , Với v (x) là C r+1 nếu f (x) là C r , và v 0 (x) là C r Suy ra

Với g (x) ∈ C r Áp dụng công thức nghịch đảo Sohngen (3.38) vào (3.190), ta thấy u (x) là khả vi với r đủ lớn Theo phần 3.1.9, phương pháp Galerkin có thể xem như phương pháp hạt nhân suy biến.

Tính toán trong (3.177), ta được:

3.5.2 Sự hội tụ của phương pháp Galerkin với v = 1.Để chứng minh sự hội tụ của phương pháp Galerkinv = 1 ta thảo luận chứng minh của Linz sau đây:

Ta có được phương trình (3.104) – (3.114) được chuyển đổi thành bài toán tương đương với số mũ là 0, và kết quả hội tụ ta đã sử dụng ở phần trước.

Với H 1 được cho trong (3.63) có số mũ là 1, và không khả nghịch Ta thấy (3.191) – (3.192) có nghiệm duy nhất u ∈ L W với mỗi f ∈ L 1/W và l (u) bị chặn, nên l (u) =

Gọi Lb 1/W là tích Đề-Các của L 1/W và số thực R.

(u, x) : u ∈ L 1/W , x ∈ R , Với tích vô hướng h(u 1 , x 1 ) , (u 2 , x 2 )i = hu 1 , u 2 i 1/W + x 1 x 2 , và chuẩn: k(u, x)k = kuk 1/W + x 2

Ta định nghĩa: Hb 1 : L W → Lb 1/W bởi:

P k=0 g k ψ k , điều này chứng tỏ g 0 6= 0 (điều này đúng với tất cả các trường hợp g = 1) thì Hb 1 bị chặn, và có thể viết như phương trình toán tử:

Với Kb : L W → Lb 1/W được định nghĩa bởi: Kub = (Ku, 0) và fb= (f, M ). Nếu K compact vàHb 1 khả nghịch thì Kb và (3.193) có chuẩn của phương trình với số mũ 0 Vì vậy sự hội tụ của phương pháp Galerkin có công thức như phương pháp hình chiếu.

Gọi P N là toán tử của phép chiếu trực giao của L 1/W lên span {χ k } N−1 k=0 và xét:

Pb N là phép chiếu trực giao trên Lb 1/W và Pb N f → f với f ∈ Lb 1/W

Chứng minh Để chứng minh Pb N là phép chiếu, ta cần chứng minh

= (P N u, x) = Pb N (u, x) , Vậy để chứng minhPb N là trực giao, ta cần chứng minh với 2 phần tử(u, x)và (v, y) trong Lb 1/W D

VìP N là trực giao trên L 1/w Mặt khác D

Thật vậy, do P N u → u với mọi u ∈ L 1/W tương đương

Pb N f = Pb N (u, x) = (P N u, x) → (u, x) = f với mọi f ∈ Lb 1/w

Bổ đề 3.5.2 b Giá trị xấp xỉ Galerkin u N thỏa phương trình toán tử

Hc 1 u N + Pb N Kub N = Pb N f b (3.196) Chứng minh

Theo định nghĩa của P N , ta có u N thỏa.

Từ định nghĩa của Hb 1 , (3.199) – (3.200) trở thành:

Vì Kb N u N = (P N Ku N , 0) = Pb N (Ku N , 0) = Pb N Kub N và f N = (P N f, M ) = Pb N (f, M ) = Pc N fb, nên

Bổ đề đã được chứng xong. Áp dụng bổ đề 3.5.2 b và chứng minh ở phần trước ta đưa ra định lý hội tụ phương pháp Galerkin khi v = 1. Định lý 3.5.2

Trong (3.191) – (3.192) giả sử rằng K : L W → L 1/W là compact, và l (u) =

−1w 1 g (t) u (t) dt, với g 0 = hg, ψ 0 i W 6= 0 Khi đó với mỗi N đủ lớn thì u N tồn tại và: ku − Q N uk W 6 ku − u N k W 6h

Với Q N là toán tử của phép chiếu trực giao lên span {ψ k } N k=0 và γ (N) khi N → ∞.

Chứng minh. Áp dụng kết quả trong phần 3.5.1 b, và lần lượt thay thế H 0 , K, P N , f bởi Hb 1 , Kb,

Pb N , fb. Trong (3.189) ta chú trọng tính bị chặn H 0 và H 0 −1 hơn là tính unita của nó.

= k(I − P N ) H 1 uk 1/W , suy ra ku − u N k W 6 ck(I − P N ) H 1 uk 1/W (3.204)

VìP N g → g với mỗi g ∈ L 1/W , k(I − P N ) H 1 uk 1/W → 0 và ku − u N k W → 0 Hệ quả 3.5.2 b

Do H 1 u = −Ku + f, H 1 u ∈ C r và định lý Jackson ta ước lượng k(I − P N ) H 1 uk 1/W 3.5.3 Sự hội tụ của phương pháp hệ quả. Định lý 3.5.3 a

Gọi w(t) là hàm trọng số khả tích không âm sao cho Rb a t n w(t)dt < ∞, n > 0, và gọi {ψ k } ∞ k=0 là tập hợp các đa thức trực giao với w(t).

Nếu p N (t) là đa thức duy nhất bậc nhỏ hơn hoặc bằng N thu được bằng phép nội suy hàm số liên tục f (t) tại không điểm (zeros) của ψ N +1 (t), khi đó: lim

Gọi P N : C 0 → L w là toán tử với ánh xạ f (t) vào p N (t) ( P N được định nghĩa bởi phép nội suy p N (t) là duy nhất).

P N là phép chiếu toán tử, và f ∈ C 0 thỏa kf − P N fk w → 0 (3.206)

P N xem như là toán tử từ C 0 đến L w là bị chặn, và kP N k C 0 →L w =

Gọi w(t) là hàm trọng số khi v = 0 và gọi P N là toán tử với ánh xạ g (t) ∈ C 0 lên phép nội suy đa thức tại không điểm (zeros) của χ N+1 Khi đó giá trị u N , xấp xỉ hệ quả thỏa:

Vì H 0 u N là đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng N, P N H 0 u N = H 0 u N nên (208) trở thành:

H 0 u N + P N Ku N = P N f (3.209) Định lý 3.5.3 b Gọi k (x, t) sao cho K là toán tử compact từ L w → C 0 và giả sử f (x) liên tục Khi đó u N hội tụ đến u trong L w và ku − u N k w 6 ckH 0 u − P N H 0 uk 1/w (3.210)

Vì K compact từ L w → C 0 , P N bị chặn từ C 0 → L 1/w và P N g → g, với mọi g ∈ C 0 nênkK − P N Kk → 0 Điều này tương đương với mọi N đủ lớn,N > N 0 , (H 0 + P N K ) −1 tồn tại và có chuẩn bị chặn Nên ∀N > N 0 , u N = (H 0 + P N K) −1 P N f tồn tại, suy ra: u − u N = (H 0 + P N K) −1 (I − P N ) H 0 u, (3.211)

Bởi vìH 0 u = −Ku+f là liên tục, theo Erdos – Turan [6] thìkH 0 u − P N H 0 uk 1/w → 0. Chú ý:

Tốc độ hội tụ của phương pháp hệ quả tương đương với phương pháp Galerkin.

Thật vậy gọi e N là đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng N của xấp xỉ H 0 u Khi đó: kH 0 u − P N H 0 uk 1/w = k(H 0 u − e N ) + P N (e N − H 0 u)k 1/w

6 kH 0 u − e N k 1/w + kP N k C 0 →1/w kH 0 u − e N k ∞ , (3.212) mặt khác nếu k (x, t) ∈ C r và f (x) ∈ C r , r > 0, theo định lý Jackson thì cả hai vế bên phải của (212) đều tiến về O N −r

Nên u N hội tụ đến u trong L w và ku − u N k w = O N −r