Với phương trình Fredholm, tốc độ hội tụ sẽ khác nhau nếu như phương pháp được sử dụng khác nhau. Đó là kỹ thuật dựa vào quy tắc của Linz, Ioakimidis, Elliott, và Gerasoulis [6], hay phép chiếu trực giao của Duskov và Gabdulhaev, Dziskhariani, Fromme và Golberg, Junghanns và Silbermann và Miel [6].
Ta thừa nhận chứng minh hội tụ các thuật toán sau:
1. Phương pháp đa thức Galerkin với v = 0 và v = 1. 2. Phương pháp đa thức hệ quả vớiv = 0 và v = 1. 3. Phương pháp Galerkin rời rạc với v = 0 và v = 1 và giả thiết đủ trơn.
Ta thấy phương pháp Galerkin, phương pháp hệ quả,... sẽ liên quan đến thuật toán (3.1) – (3.4) với xấp xỉ nghiệm u của phương trình (3.96). Xấp xỉ được biểu thị uN hoặc vN như phần trước.
3.5.1 Sự hội tụ của phương pháp Galerkin với v = 0. Sự hội tụ trung bình bình phương (mean square) có thể chứng minh bằng cả 2 phương pháp (trực tiếp và gián tiếp) được suy ra từ phương pháp Galerkin. Tuy nhiên hai phương pháp không cùng tốc độ hội tụ. Trong đó phương pháp gián tiếp hội tụ tốt hơn, nhưng phương pháp trực tiếp thì thuật toán đơn giản hơn.
a) Phương pháp gián tiếp.
Trong phần 3.3.5 a, phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy với v = 0 được xem như phương trình toán tử từ LW →L1/W có dạng:
H0u+Ku=f (3.175)
(với H0 là unita và K compact).
Để phân tích sự hội tụ ta viết (3.175) dạng :
u+H0∗Ku =H0∗f (3.176)
với H0−1=H0∗
và chứng tỏ phương trình Galerkin có dạng như vậy.
Gọi YN =span{χk}Nk=0 và ký hiệu PN là toán tử của phép chiếu trực giao YN. Khi đó, từ phương trình Fredholm, ta tìm được giá trị xấp xỉ Galerkin uN thỏa mãn phương trình toán tử:
PNH0uN+PNKuN =PNf. (3.177)
Vì uN là đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng N, H0uN ∈ YN ta đặt PNYN = YN, PNH0uN =H0uN, nên (3.177) trở thành :
H0uN+PNKuN =PNf, (3.178)
Khi đó :
uN+H0∗PNKuN =H0∗PNf. (3.179) Do H0H0∗ =I, là toán tử đơn vị trong L1/w,
uN+(H0∗PNH0)H0∗KuN = (H0∗PNH)H∗f. (3.180)
Vì QN =H0∗PNH0 là toán tử của phép chiếu trực giao trong XN =span{ψk}Nk=0, nên uN thỏa :
uN+QNLuN =QNg, (3.181)
(Với L=H0∗K và g =H0∗f). Mặt khác K là compact và H0∗ bị chặn, L compact, và uN thỏa mãn phương trình xấp xỉ Galerkin
u+Lu=g
Vậy để chứng minh sự hội tụ củauN trong Lw ta có thể sử dụng định lý của phương trình toán tử loại 2.
Định lý 3.5.1 a Giả sử X là không gian Hilbert, L:X →X compact, và giả sử u+Lu=g có một nghiệm duy nhất với mỗi g ∈X.
Nếu {φk}∞k=0 là trực chuẩn của X, và QN là toán tử của phép chiếu trực giao trong span{φk}Nk=0, khi đó với mỗi N đủ lớn,N > N0,(I+QNL)−1 bị chặn và chuẩn
(I+QNL)−1
bị chặn.
Với mỗi N >N0 thì uN +QNLuN =QNg có nghiệm duy nhất trong X,và
ku−QNuNkX 6ku−uNkX 6[1 +γ(N)]ku−QNukX, (3.182) Với γ(N)→0 khi N → ∞.
Chứng minh
Theo giả thiết ta có : QNf →f với mỗi f ∈X. Vì L compact nên kL−QNLk →0. Với mỗi N >N0 , toán tử (I+QNL)−1 tồn tại và có chuẩn bị chặn.
Nên với mỗi N >N0, uN = (I+QNL)−1QNg có nghiệm duy nhất là
uN +QNLuN =QNg
Ta thấy rằng QNu là xấp xỉ tốt nhất của u trong chuẩn của X bởi phần tử trong XN, vì vậy:
ku−QNukX 6 ku−uNkX (3.183) Mà
uưuN = (I +L)ư1gư(I+QNL)ư1QNg = (I+QNL)ư1(IưQN)u (3.184) và
(I+QNL)−1=I−(I+QNL)−1QNL. (3.185) DoI−QN là phép chiếu, I−QN = (I−QN)2, và thay (3.185) vào (3.184) ta được:
uưuN = (uưQNu)ư(I+QNL)ư1QN(LưLQN) (uưQNu). (3.186)
Nhưng QN là phép chiếu trực giao, nênkL−LQNk →0, ta lấy chuẩn trong (3.186) (kQNk= 1).
ku−uNkX 6 ku−QNukX +
(I+QNL)−1
kL−LQNk ku−QNukX,
Ta chứng minh được:
||u−uN||X 6[1 +γ(N)]ku−QNukX, N >N0,
Với γ(N) =
(I+QNL)−1
kL−LQNk →0 khi N → ∞. Định lý 3.5.1 b
Giả sử (3.98) với v = 0 được giải quyết bởi phương pháp Galerkin trong phần 3.3.5 a.
Khi đó uN hội tụ trong Lw tới u.
ku−QNukW 6ku−uNkW 6[1 +γ(N)]ku−QNukW (3.187) Với N đủ lớn và γ(N)→0 khi N → ∞.
Chứng minh.
Áp dụng định lý 3.5.1 a với QN = H0∗PNH0, L =H0∗K, g =H0∗f, và φk =ψk, k = 0,1,2, ...
Để tốc độ hội tụ chính xác hơn cho uN từ (3.187) ta cần biết độ trơn của u. Tuy nhiên bài toán này có thể khắc phục nếu biết:
ku−QNukW =
u−H0−1PNH0
W = H0−1(H0−PNH0)
W
thì
ku−uNkW 6[1 +γ(N)]
H0−1 k(I−PN)H0uk1/W
6[1 +γ(N)]k(I−PN)H0uk1/W,
Vì H0−1
= 1, nếu k(x, t)∈ Cr và f(x)∈ Cr thì H0u =−Ku+f ∈Cr, sử dụng định lý Jackson [6] ta được :
k(I−PN)H0uk1/W =O N−r
, và
ku−uNkW =O N−r
, r >0. (3.188)
b) Phương pháp trực tiếp.
Từ kết quả phần trước ta có thể thu được trực tiếp từ (3.175) và (3.178) mà không cần phương trình tương đương loại 2.
Theo định lý 3.5.1 a, ta có với mỗi N > N0,
(H0+PNK)−1 tồn tại và có chuẩn bị chặn. Vì vậy, với mỗi N >N0,
u−uN = (H0+K)−1f −(H0+PNK)−1PNf
= (H0+PNK)−1[(H0+PNK)−PN(H0+K)]u, Ta được :
u−uN = (H0+PNK)−1[(I−PN)H0u].
Mặt khác (H0+PNK)−1 = H0−1−(H0+PNK)−1PNKH0−1 , và sử dụng (I−PN)2 = (I−PN),
u−uN =H0−1(I−PN)H0u
−(H0+PNK)−1PN
KH0−1(I−PN)
(I−PN)H0u.
Hơn nữa
H0−1 = 1 nên lấy chuẩn ta được:
ku−uNkW 6[1 +β(N)]k(I−PN)H0uk1/W, (3.189)
Với β(N) =
(H0+PNK)−1
kPNk
KH0−1−KH0−1PN
.
VìPN là trực giao,
KH0−1−KH0−1PN
→0 nên β(N)→0, N → ∞
và ku−uNkW →0. Vậy nếu k(x, t) ∈ Cr và f(x) ∈ Cr, r > 0, k(I−PN)H0uk1/W = O N−r
thì ku−uNkW =O N−r
, r >0. Nhận xét : Tốc độ hội tụ trung bình – bình phương của phương pháp Galerkin.
Từ (3.182) ta thấy nếu biết tính trơn của u, thì ta biết được tốc độ hội tụ, trong khi đó từ (3.189) ta chỉ biết về độ trơn của dữ liệu k(x, t) vàf(x). Khi đó ta biết được tính trơn của H0u vì dữ kiện này xuất hiện trong hầu hết các bài toán, ước lượng sai số trực tiếp dạng (3.189) thường đánh giá tốt. Tuy nhiên có trường hợp hạt nhân không trơn, nhưng có nghiệm và khi đó (3.187) cho kết quả tốt.
Ví dụ 3.5.1 Với k(x, t) = a(x, t) log (|x−t|) +b(x, t) và v = 0 trong phương trình airfoil tổng quát, hoặc công thức nghiệm chính xác hạt nhân Kussner – Schwarz chứng tỏ nếu f(x) là đa thức, thì có nghiệm u(x).
Xét phương trình:
1 π−
Z 1
−1
w0(t)u(t)dt t−x +
Z 1
−1
w0(t) log (|x−t|)u(t)dt =f(x), Với f(x) trơn, ta đặt
v(x) =
Z 1
−1
w0(t) log (|x−t|)u(t)dt.
Khi đó:
v0(x) =−
Z 1
−1
w0(t)u(t)dt t−x Vì vậy, v(x) thỏa mãn phương trình vi phân
−1 πv0(x) +v(x) =f(x), Với v(x) là Cr+1 nếu f(x) là Cr, và v0(x) là Cr. Suy ra
1 π
Z 1
−1
w0(t)u(t)dt
t−x =g(x), (3.190)
Với g(x)∈Cr. Áp dụng công thức nghịch đảo Sohngen (3.38) vào (3.190), ta thấy u(x) là khả vi với r đủ lớn. Theo phần 3.1.9, phương pháp Galerkin có thể xem như phương pháp hạt nhân suy biến.
Tính toán trong (3.177), ta được:
PNKuN =KNuN
(với KNuN (x) = R1
−1w0(t)kN(x, t)uN(t)dt,)
và
kN(x, t) =
N
X
k=1
χk(x)βk(t),
(Với βk(t) = R1
−1[k(x, t)χk(x)/w0(x)]dx.)
3.5.2 Sự hội tụ của phương pháp Galerkin với v = 1. Để chứng minh sự hội tụ của phương pháp Galerkinv = 1 ta thảo luận chứng minh của Linz sau đây:
Ta có được phương trình (3.104) – (3.114) được chuyển đổi thành bài toán tương đương với số mũ là 0, và kết quả hội tụ ta đã sử dụng ở phần trước.
Xét hệ phương trình:
H1u+Ku =f, (3.191)
l(u) = M, (3.192)
Với H1 được cho trong (3.63) có số mũ là 1, và không khả nghịch. Ta thấy (3.191) – (3.192) có nghiệm duy nhất u∈LW với mỗi f ∈L1/W và l(u) bị chặn, nên
l(u) =
Z 1
−1
w1(t)g(t)u(t)dt, g(t)∈LW
Gọi Lb1/W là tích Đề-Các của L1/W và số thực R.
Nghĩa là:bL1/W =
(u, x) :u∈L1/W, x∈R , Với tích vô hướng
h(u1, x1),(u2, x2)i=hu1, u2i1/W+x1x2,
và chuẩn: k(u, x)k=
kuk1/W+x2
1/2
. Ta định nghĩa: Hb1:LW →Lb1/W bởi:
Hb1u= (H1u, l(u)), (3.193) Đặt g =
∞
P
k=0
hg, ψkiwψk =
∞
P
k=0
gkψk , điều này chứng tỏ g0 6= 0 (điều này đúng với tất cả các trường hợp g = 1) thì Hb1 bị chặn, và có thể viết như phương trình toán tử:
Hb1u+Kub =f ,b (3.194)
Với Kb :LW →Lb1/W được định nghĩa bởi: Kub = (Ku,0) và fb= (f, M). Nếu K compact vàHb1 khả nghịch thì Kb và (3.193) có chuẩn của phương trình với số mũ 0. Vì vậy sự hội tụ của phương pháp Galerkin có công thức như phương pháp hình chiếu.
Gọi PN là toán tử của phép chiếu trực giao của L1/W lên span{χk}N−1k=0 và xét:
Pb:Lb1/w→Lb1/w (u, x)7→PbN (u, x) = (PNu, x), u∈L1/w, x∈R. (3.195)
Bổ đề 3.5.2 a
PbN là phép chiếu trực giao trên Lb1/W và PbNf →f với f ∈Lb1/W
Chứng minh
Để chứng minh PbN là phép chiếu, ta cần chứng minh
PbN2 =PbN
Vì PN2 =PN nên PbN h
PbN(u, x)i
=PbN(PNu, x) = PN2u, x
= (PNu, x) =PbN(u, x), Vậy để chứng minhPbN là trực giao, ta cần chứng minh với 2 phần tử(u, x)và (v, y)
trong Lb1/W D
PbN(u, x),(v, y)E
=D (u, x),PbN (v, y)E
, với PbN∗ =PbN nhưng
D PbN (u, x),(v, y)E
=h(PNu, v)i1/W+xy=hu, PNvi1/W+xy,
VìPN là trực giao trên L1/w. Mặt khác D
(u, x),PbN(v, y)E
=h(u, PNv)i1/W+xy là trực chuẩn.
Thật vậy, do PNu→u với mọi u∈L1/W tương đương
PbNf =PbN(u, x) = (PNu, x)→(u, x) =f với mọi f ∈Lb1/w
Bổ đề 3.5.2 b Giá trị xấp xỉ Galerkin uN thỏa phương trình toán tử
Hc1uN+PbNKub N =PbNf .b (3.196) Chứng minh
Theo định nghĩa của PN, ta có uN thỏa.
PNH1uN +PNKuN =PNf, (3.197)
l(uN) = M. (3.198)
Vì H1uN =
N
P
k=0
akH1ψk =
N
P
k=0
akχk−1 =
N−1
P
k=0
ak+1χk, PNH1uN = H1uN, nên (3.197) – (3.198) trở thành:
H1uN +PNKuN =PNf, (3.199)
l(uN) = M. (3.200)
Từ định nghĩa của Hb1, (3.199) – (3.200) trở thành:
Hc1uN +PbNKbNuN =fbN, (3.201)
Vì KbNuN = (PNKuN,0) =PbN (KuN,0) =PbNKub N và fN = (PNf, M) =PbN(f, M) = PcNfb, nên
Hc1uN +PbNKub N =PbNf ,b (3.202)
Bổ đề đã được chứng xong.
Áp dụng bổ đề 3.5.2 b và chứng minh ở phần trước ta đưa ra định lý hội tụ phương pháp Galerkin khi v = 1.
Định lý 3.5.2
Trong (3.191) – (3.192) giả sử rằng K : LW → L1/W là compact, và l(u) =
R1
−1w1g(t)u(t)dt, với g0 = hg, ψ0iW 6= 0. Khi đó với mỗi N đủ lớn thì uN tồn tại và:
ku−QNukW 6ku−uNkW 6h
Hb1−
+γ(N)
i
I −PbN
Hb1u
, (3.203)
Với QN là toán tử của phép chiếu trực giao lên span{ψk}Nk=0 và γ(N) khi N → ∞.
Chứng minh.
Áp dụng kết quả trong phần 3.5.1 b, và lần lượt thay thế H0, K, PN, f bởi Hb1, Kb,
PbN, fb. Trong (3.189) ta chú trọng tính bị chặn H0 và H0−1 hơn là tính unita của nó.
Hệ quả 3.5.2 a
ku−uNkW →0 khi N → ∞
Chứng minh
Từ (3.193) và (3.195)
I −PbN Hb1u
=k(I−PN)H1uk1/W, suy ra ku−uNkW 6ck(I−PN)H1uk1/W. (3.204)
VìPNg →g với mỗi g ∈L1/W, k(I −PN)H1uk1/W →0 và ku−uNkW →0 Hệ quả 3.5.2 b
Nếu k(x, t)∈Cr và f(x)∈Cr thì ku−uNkW =O N−r
, r >0
Chứng minh
Do H1u=−Ku+f, H1u∈Cr và định lý Jackson ta ước lượng k(I−PN)H1uk1/W. 3.5.3 Sự hội tụ của phương pháp hệ quả.
Định lý 3.5.3 a
Gọi w(t) là hàm trọng số khả tích không âm sao cho Rb
a tnw(t)dt < ∞, n > 0, và gọi {ψk}∞k=0 là tập hợp các đa thức trực giao với w(t).
Nếu pN(t) là đa thức duy nhất bậc nhỏ hơn hoặc bằng N thu được bằng phép nội suy hàm số liên tục f(t) tại không điểm (zeros) của ψN+1(t), khi đó:
lim
N→∞
Z b a
w(t)[f(t)−pN(t)]2dt = 0. (3.205)
Gọi PN :C0 →Lw là toán tử với ánh xạ f(t) vào pN(t) ( PN được định nghĩa bởi phép nội suy pN(t) là duy nhất).
PN là phép chiếu toán tử, và f ∈C0 thỏa
kf−PNfkw →0. (3.206)
PN xem như là toán tử từ C0 đến Lw là bị chặn, và
kPNkC0→Lw =
"
Z b a
w(t)dt
#1/2
(3.207)
Gọi w(t) là hàm trọng số khi v = 0 và gọi PN là toán tử với ánh xạ g(t)∈C0 lên phép nội suy đa thức tại không điểm (zeros) của χN+1. Khi đó giá trị uN, xấp xỉ hệ quả thỏa:
PNH0uN+PNKuN =PNf. (3.208)
Vì H0uN là đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng N, PNH0uN = H0uN nên (208) trở thành:
H0uN+PNKuN =PNf. (3.209)
Định lý 3.5.3 b Gọi k(x, t) sao cho K là toán tử compact từ Lw →C0 và giả sử f(x) liên tục. Khi đó uN hội tụ đến u trong Lw và
ku−uNkw 6ckH0u−PNH0uk1/w (3.210)
Chứng minh
Vì K compact từ Lw → C0, PN bị chặn từ C0 → L1/w và PNg → g, với mọi g ∈C0 nênkK −PNKk →0. Điều này tương đương với mọi N đủ lớn,N > N0, (H0+PNK)−1 tồn tại và có chuẩn bị chặn. Nên ∀N > N0, uN = (H0+PNK)−1PNf tồn tại, suy ra:
u−uN = (H0+PNK)−1(I−PN)H0u, (3.211)
Và
ku− uNk1/w 6ckH0u−PNH0uk1/w
Bởi vìH0u =−Ku+f là liên tục, theo Erdos – Turan [6] thìkH0u−PNH0uk1/w →0. Chú ý:
Tốc độ hội tụ của phương pháp hệ quả tương đương với phương pháp Galerkin.
Thật vậy gọi eN là đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng N của xấp xỉ H0u . Khi đó:
kH0u−PNH0uk1/w=k(H0u−eN) +PN(eN −H0u)k1/w
6 kH0u−eNk1/w+kPNkC0→1/wkH0u−eNk∞, (3.212) mặt khác nếu k(x, t) ∈ Cr và f(x) ∈ Cr, r > 0, theo định lý Jackson thì cả hai
vế bên phải của (212) đều tiến về O N−r
. Nên uN hội tụ đến u trong Lw và ku− uNkw =O N−r
.