TÊN ĐỀ TÀI:NÓN LỒI VÀ ỨNG DỤNGNHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT VỀ NÓN LỒI VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN DÒNGTRÊN MẠNG II.. 27 1 Lý thuyết ứng dụng trong bài toán dòng trên mạng... Lý
sở lý thuyết
Nửa nhóm
Cho S = (s,+,≺) là nửa nhóm abel tiền thứ tự với phần tử trung hòa 0.
Do tính tiền thứ tự, ta có mối quan hệ phản xạ và bắc cầu ≺ trên S Để phù hợp với cấu trúc nửa nhóm thì với s 1 , s 2 , t 1 , t 2 ∈ S sao cho s 1 ≺ s 2 và t 1 ≺ t 2 ⇒ s 1 + t 1 ≺ s 2 +t 2
Ta xét R = R∪ {−∞} và mở rộng phép toán đại số và quan hệ thứ tự của R vào R theo cách thông thường, tức là cho
Những khẳng định sau là hoàn toàn dựa vào tính cơ bản của inf và sup.
Vì thế, ta có những đồng nhất thức như sau i) sup{a : a ∈ A}= −inf{−a : a ∈ A} ii) sup{λa : a ∈ A} = λsup{a :a ∈ A}, λ ≥ 0 iii) sup{a+b :a ∈ A}= sup{a : a ∈ A}+b, b ∈ R,
Với A là tập con bị chặn của R Những đồng nhất thức này vẫn đúng nếu ta thay R bằng một vecto tổng R tùy ý Một vecto tổng tùy ý là thứ tự hoàn toàn nếu với mọi tập con A ⊂ R bất kỳ bị chặn trên, thứ tự ( tức là có r ∈ R với r ≥ a với mọi a ∈ A) cận trên đúng ( sup A) của A tồn tại trong R Với R là dàn vecto có tính thứ tự Theo i) khi đó cận dưới đúng (inf B) tồn tại cho tập con bất kỳ B ⊂ R là bị chặn dưới thứ tự Đơn giản như R ta định nghĩa R = R∪ {−∞} với
Ta có định nghĩa sau:
1.1.2 Định nghĩa: i) p : S → R là ánh xạ cộng dưới, nếu p(0) = 0 và p(s + t) ≤ p(s) + p(t),∀s, t ∈ S. ii) q : S → R là ánh xạ cộng trên, nếu q(0) = 0 và q(s + t) ≥ q(s) + q(t),∀s, t ∈ S. iii) à : S →R là ỏnh xạ cộng được, nếu à là cộng dưới và cộng trờn. iv) f : S →R là ánh xạ đơn điệu, nếu f(s) ≤f(t) khi s ≺t, s, t ∈ SChú ý, hàm tại −∞ trên S không là cộng trên hoặc cộng dưới vì ta yêu cầu p(0) = 0 và q(0) = 0 trong định nghĩa trước Mặt khác, kí hiệu q : S → R qua q(s) = −∞ nếu s ∈ S \ {0} và q(0) = 0 Khi đó, q là cộng dưới và thậm chí là cộng được nếu s ∈ S \ {0},@t ∈ S với s+t = 0 Thường ta kí hiệu ánh xạ cộng trên là p và ánh xạ cộng dưới là q Điều đó thuận tiện cho việc sử dụng kí hiệu ≤ cho mối quan hệ thứ tự theo từng điểm giữa các hàm trên S, tức là f ≤ g nếu và chỉ nếu f(s) ≤g(s),∀s ∈ S, tại f, g : S →R.
1.1.1 Bổ đề Zorn Nếu mọi tập con được sắp xếp thứ tự hoàn toàn của tập được sắp xếp thứ tự đều bị chặn trên thì trong tập đó có tồn tại phần tử cực đại.
1.1.1 Định lý Sandwich: Định lý Cho p : S →R đơn điệu và cộng dưới và q : S → R là cộng trên với q ≤p.
Khi đú, cú một cộng được, đơn điệu à : S →R với q ≤à ≤ p Chứng minh
Theo định lý Zorn, tồn tại một chuỗi cực đại Q trong tập các hàm trên cộng và bị chặn bởi q và p Chuỗi cực đại này là một tập con tuyến tính tiền thứ tự của tập các hàm trên và có tính chất giá trị tại mỗi điểm s trong S đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là à(s) = sup{f(s) : f ∈ Q, ∀s ∈ S}.
Ta cú à(0) = 0, lấy s1, s2 ∈ S, f1, f2 ∈ Q Do˜ Q˜ là chuỗi, cú f ∈ Q˜ sao cho f i ≤f, i = 1,2 Do f là ánh xạ cộng trên nên ta có: f 1 (s 1 ) +f 2 (s 2 ) ≤f(s 1 ) +f(s 2 ) ≤f(s 1 +s 2 ) ≤à(s 1 +s 2 ) Do định nghĩa của à(s) ta cú à(s 1 ) +à(s 2 ) ≤ à(s 1 +s 2 )
Ta thấy à là phần tử cực đại của Q Mặt khỏc, f o ∈ Q, à f o Do f ≤ fo,∀f 0 ∈ Q˜ do đó Q˜ ∪fo là chuỗi chứa Q.˜
Lấy s 0 ∈ S tùy ý, đặt α s o = inf{1 n(p(ns o + t)−à(t)) |n ∈ N, t ∈ S với à(t) 6= −∞} và ˜ à= sup{à(t)+mαs o | m ∈ N o , t ∈ S với t+mso ≺ s}∀s ∈ S,N 0 = N∪{0}.
Lấy m = 0 theo định nghĩa à˜ ta cú à≤ à(1a)˜ Ta cú à˜ = sup{à(t) +mα s o | m ∈ N o , t ∈ S, t+ms o ≺ s}
Từ 1a và 2a nờn à ≤à˜ ≤ p Do định nghĩa của à˜ nờn à˜ cú tớnh đơn điệu (2) Lấy s 1 , s 2 ∈ S, ta cú ˜ à(s 1 + s 2 ) = sup{à(t) +ms 0 : m ∈ N 0 , t ∈ S, t+ ms o ≺ s 1 +s 2 }
≥ sup{à(t 1 +t2) + (m1+m2)αs o :mi ∈ N o , ti ∈ S, với ti+miso ≺ s i , i = 1,2}
≥ à(s˜ 1 ) + ˜à(s 1 ) do à là cộng trờn Do đú, ta cú à = ˜à Do à là cộng trên nên
⇔à(s 0 ) ≤ α s 0 Mặt khỏc, do định nghĩa à˜ ta cú à(s 0 ) ≥ α s 0 ⇒à(s 0 ) = α s 0 Lấy s 0 ∈ S tùy ý ta có: à(s) = α s = inf
Do p là cộng dưới nên ta có p(ms) ≤ mp(s),∀s ∈ S, m ∈ N 0 Cố định m ∈ N ta có à(s 0 ) = inf
Từ tớnh cộng dưới của p và cộng trờn của à˜ ta cú với s 1 , s 2 ∈ S à(s1) +à(s2)
1 n.m(p(nms 1 +mt 1 )−à(mt 1 ) +p(nms 2 + nt 2 )−à(nt 2 ))
1 n.m(p(nm(s 1 +s 1 ) + mt 1 +nt 2 )−à(mt 1 +nt 2 ))
= à(s 1 + s 2 ) với n, m ∈ N, t 1 , t 2 ∈ S, à(t i ) 6= −∞, i = 1,2 nờn à là cộng dưới(3).
Từ (1),(2),(3) suy ra à là đơn điệu và cộng được.Vỡ thế định lý đó được
Khái niệm nón
Chúng ta tìm hiểu khái niệm nón với R + = {λ ∈ R | λ ≥ 0} 1.1.3 Định nghĩa i) Cho (F,+) là nửa nhóm abel Ta nói F là nón lồi (gọi tắt là nón) nếu có một ánh xạ R + ×F →F
∀λ, λ 1 , λ2 ∈ R + và f, f1, f2 ∈ F. ii) Nón F được gọi là tiền thứ tự với ≺, nếu (F,+,≺) là nửa nhóm tiền thứ tự và ≺ thỏa λf ≺ λg ⇔ f ≺ g, f, g ∈ F, λ ∈ R +
1.1.1 Ví dụ i) Giả sử X là tập khác rỗng Khi đó R X (R − hàm giá trị trên X) và
R X + (R+ − hàm giá trị trên X) là các nón dưới phép toán theo từng điểm Ở đây, R + : {r ∈ R : r ≥ 0} Nếu các nón này được phân bố theo thứ tự từng điểm ( tức là f g nếu và chỉ nếu f(x) ≥ g(x),∀x ∈ X) hoặc với thứ tự từng điểm trên một vài tập con Y ⊂ X( tức là f g nếu và chỉ nếu f(y) ≥g(y),∀y ∈ Y) ii) Cho T là không gian Topo Khi đó tập tất cả R− hàm giá trị nửa liên tục trên hoặc nửa liên tục dưới là nón. iii) Không gian vecto (trên R ) với các phép toán thông thường là nón. iv) Cho S = (S,+,≺) và kí hiệu bởi (S,≺) ∗ và (S,≺) ] đơn điệu R−ánh xạ giá trị và ánh xạ cộng dưới Khi đó những tập con này là nón với chú ý đến phép toán theo từng điểm, hay là nón con của R S Ta có với nón F, tập con G ⊆ F là nón con nếu λ 1 g 1 + λ 2 g 2 ∈ G với g 1 , g 2 ∈ G, λ 1 , λ 2 ≥ 0.( Tương tự, tập con T của nửa nhóm S gọi là nửa nhóm con nếu t1 + t2 ∈ T,∀t 1 , t2 ∈ T,0 ∈ T). v) Cho nón F, tập A⊂ F là nón lồi nếu λa1 + (1−λ)a2 ∈ A,∀a 1 , a2 ∈ A,0≤ λ ≤ 1.
Cho Conv(F) tập tất cả các tập con lồi khác rỗng của F Ta định nghĩa các phép toán sau:
A+B = {a+b | a ∈ A, b ∈ B} λA = {λa | a ∈ A}, với A, B ∈ Conv(F), λ ≥ 0 Và Conv(F) là nón tiền thứ tự nếu A ≺ B ⇔ A⊆ B
Tính lồi của tập con là cần thiết. vi) S(F) G ⊆F : G là nón con của F Trong nón này luật giản ước (CL) G+ G 1 = G+ G 2 ⇒ G 1 = G 2 không có giá trị Ví dụ như lấy F = (R) 2 và xét các phần tử S(F) sao cho G 1 = {(0, x) : x ∈ R},G 2 {(x,0) :x ∈ R}, và G = {(x, x) : x ∈ R} Khi đó
G+G 1 = (R) 2 = G+G 2 nhưng G 1 6= G 1 Điều này cho thấy đây là nón (không là nón con của không gian vecto vì mỗi nón con của không gian vecto thỏa mãn tính CL ).
(vii) Xét R X +( hàm không âm trên vài tập khác rỗng S ) và định nghĩa phép toán nhân • và phép toán cộng †† sao cho : λ•f = f λ f † †f = f ãg
Với f, g ∈ R X + và λ ≥ 0 Khi đó, nếu định nghĩa 0 0 = 1,R X + sẽ là nón. Đây là ví dụ về nón nhưng nó không thỏa mãn luật giản ước.
1.1.4 Định Nghĩa Cho F là một nón Một ánh xạ p : F → R là phiếm hàm Phiếm hàm p được gọi là thuần nhất nếu p(λf) = λp(f),∀λ ∈ R + , f ∈ F Môt phiếm hàm được gọi là tuyến tính dưới (tuyến tính trên) nếu nó thuần nhất và cộng dưới(cộng trên) Một phiếm hàm được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính dưới và tuyến tính trên.
1.1.1 Mệnh đềCho p là phiếm hàm cộng dưới trên nón F và giả sử rằng
(*) lim ε↓0 supp(εf) = 0,∀f ∈ F Khi đú, mỗi cộng được à ≤ p là tuyến tính (Với lim ε↓0 supp(εf) = inf ε>0sup{p(δf) | ε ≥ δ} ) 1.1.2 Định lý
Cho F là nón tiền thứ tự và p : F →R là ánh xạ đơn điệu và tuyến tính dưới, q : F → R là ánh xạ tuyến tính trên với q ≤ p Khi đó, có một ánh xạ đơn điệu, tuyến tớnh à: F →R với q ≤ à ≤ p.
Một vài hệ quả của định lý Sandwich
Giả sử ta có nửa nhóm con T của nửa nhóm abel tiền thứ tự (S, ≺) cùng với ánh xạ cộng là à: T → R và ánh xạ đơn điệu, cộng dưới p: S → R thỏa mãn à(t) ≤ p(t) với ∀t ∈ T Khi đó, tồn tại một ánh xạ cộng được, đơn điệu à: S → R sao cho à ≤ à trên T và à ≤ p trên S.
−∞, trong trường hợp khác là cộng trờn Theo định lý Sandwich tồn tại một ỏnh xạ cộng được à trờn S với q ≤ à ≤p ⇔à˜ ≤ à trờn T.
1.1.1 Hệ quả Cho G là nón con của nón tiền thứ tự (F,≺) Giả sử phiếm hàm tuyến tớnh à˜ trờn G và đơn điệu, tuyến tớnh dưới p trờn F với à(g)˜ ≤ p(g),∀g ∈ G.
Khi đú, cú một tuyến tớnh đơn điệu à trờn F với à˜ ≤ à trờn G và à ≤p trờn F.
1.1.4 Định lý trội mở rộng thứ II Định lý
Cho T, S,à, p˜ cho bởi 1.1.3 Khi đú, à˜ cú thể mở rộng thành một ỏnh xạ cộng được, đơn điệu à trờn S (tức à˜ = à trờn S) với à≤ p trờn S nếu và chỉ nếu ˜ à(t1) ≤à(t˜ 2) +p(s) khi t1, t2 ∈ T, s ∈ S, t1 ≺ t2 + s.
Cho à ≤p là ỏnh xạ cộng được, đơn điệu và à˜ = à trờn T Khi đú, ta cú ˜ à(t 1 ) = à(t 1 ) ≤ à(t 2 +s) = à(t 2 ) +à(s) ≤ à(t) +˜ à(s), s ∈ S, t 1 , t 2 ∈ T và t 1 ≺ t 2 + s
Do p đơn điệu và cộng dưới nên ta có p ≤ p trên S.
Từ giả thuyết ta cúà˜ ≤ ptrờn T, mặt khỏc do định nghĩa của pnờn p≤ à˜ do đú à˜ = p trờn T, theo định lý Sandwich ta cú à˜ ≤ p với à˜ ≤ à ≤ p = ˜à trờn T Do đú à= ˜à trờn T.
1.1.2 Hệ quả Cho G, F,à, p˜ được xỏc định bởi hệ quả của định lý 1.1.1 Khi đú, à˜ được mở rộng thành tuyến tớnh, đơn điệu à trờn F (tức à˜ = à trờn G) với à ≤ p trên F nếu và chỉ nếu ˜ à(g 1 ) ≤ à(g˜ 2 ) +p(f) khi g 1 , g 2 ∈ G, f ∈ F, g 1 ≺g 2 +t.
1.1.5 Định lý chuẩn Định lý
Cho S là nửa nhóm abel tiền thứ tự Giả sử có một ánh xạ cộng dưới, đơn điệu p : S → R với p(ns) = np(s),∀s ∈ S và n=0,1,2 Khi đó p là ánh xạ bị chặn trờn theo từng điểm của tất cả cỏc ỏnh xạ cộng được, đơn điệu à ≤p và mỗi s ∈ S chặn trờn đạt được tại một vài à, cú nghĩa là, ∀s ∈ S ta cú p(s) =max{à(s)|à: S → R đơn điệu, cộng được với à≤ p trờn S }
Giả sử s∈ S và định nghĩa nửa nhóm con T = {ns | n= 0,1,2 }
Giả sử ỏnh xạ cộng được à˜ : T → R xỏc định bởi ˜ à(ns) =p(ns),∀n = 0,1,2 Áp dụng định lý trội mở rộng thứ I ta cú à : S →R sao cho à ≤p trờn S và ˜ à ≤ à≤ p trờn T.
1.1.3 Hệ quả Cho p là phiếm hàm đơn điệu, tuyến tính dưới trên nón tiền thứ tự F Khi đú p bị chặn trờn theo từng điểm của tất cả cỏc tuyến tớnh đơn điệu à ≤ p và mỗi f ∈ F chặn trờn này đạt được tại một vài à, tức là p(f) = max{à(f) : à đơn điệu, tuyến tớnh và à≤ p trờn F}.
1.1.4 Định lý tổng và định lý phân hoạch (tách) hữu hạn Chúng ta đề ra định lý cho cả hai trường hợp, nữa nhóm abel và nón.
1.1.6 Định lý tổng: Định lý Giả sử à là một ỏnh xạ cộng được trờn nửa nhúm abel tiền thứ tự (S,≺) và p 1 , , p n : S → R là ỏnh xạ đơn điệu và cộng dưới sao cho à≤ p 1 + +p n Khi đú cú cỏc ỏnh xạ đơn điệu, cộng được à1, , àn : S → R với àk ≤ p k , k = 1, , n, và à ≤ à 1 +hà 2 + +à n Nếu à là đơn điệu và nếu chỳng ta có
P k=1 pk(sk) tại r, t, s1, , sk ∈ S sao cho r ≺ t+sk, k = 1, , n, thì (**) à = à 1 +à 2 + +à n
Chứng minh Giả sử Φ = S {1, ,n} = {(s 1 , , sn) | sk ∈ S, k = 1, , n} và định nghĩa
Với Φ là nửa nhóm abel tiền thứ tự nếu (s1, , sn) + (t1, , tn) = (s1 +t1, , sntn) (s 1 , , s n ) ≺ (t 1 , , t n ) ⇐⇒ s k ≺ t k ∀k = 1, , n.
Khi đó ∆Φ là nửa nhóm của Φ Ta định nghĩa ánh xạ cộng được ˜ à: ∆Φ →R sao cho à(s, s, , s) =˜ à(s), s ∈ S.
Trên Φ ta giả sử ánh xạ cộng dưới, đơn điệu p cho bởi : p(s 1 , s 2 , , s n ) = p 1 (s 1 ) +p 2 (s 2 ) + +p n (s n ), s 1 , s 2 , , s n ∈ S.
Ta cú à˜ ≤ p trờn ∆Φ( do giả thuyết) Từ đú, ứng dụng định lý trội mở rộng thứ I 1.1.3 ta cú một ỏnh xạ cộng được, đơn điệu ν : Φ → R với à˜ ≤ p trên Φ Nếu (*) được thỏa mãn, thì giả thuyết của định lý trội mở rộng thứ II 1.1.4 được thỏa món và ta cú: ν = ˜à trờn ∆Φ. Định nghĩa à k (s) = ν(∆ k s) ∀s ∈ S, k = 1, , n, tại
∆ k s = (0, ,0, s,0, ,0). àk là ỏnh xạ đơn điệu, cộng được và thỏa điều kiện do
1.1.4 Hệ quả Cho à là phiếm hàm tuyến tớnh trờn nún tiền thứ tự (F,≺) và giả sử p 1 , , p n là những ánh xạ đơn điệu và tuyến tính dưới trên F sao cho à = p 1 + p 2 + +p n
Khi đú cú ỏnh xạ tuyến tớnh đơn điệu à1, à2, , àn trờn F với àk ≤ pk, k = 1, , n, và à≤ à 1 +à 2 + +à n Nếu à là ỏnh xạ đơn điệu và nếu ta cú
P k=1 p k (f k ) tại h, g, f 1 , , f n ∈ F sao cho h ≺g +f k , k = 1, , n, thì(**) à = à1 +à2 + +àn.
1.1.6 Định nghĩa Một nửa nhóm abel tiền thứ tự (S,≺) có tính chất bán nội suy (gọi tắt là SIP) nếu và chỉ nếu tồn tại s ∈ S,sao cho r ≺t+s và s ≺ sk, k = 1,2 tại r, t, s k ∈ S và r ≺t+s k
1.1.2 Bổ đề Cho nửa nhóm abel(S,≺) có SIP Khi đó điều kiện (*) trong định lý tổng 1.1.6 tự động đỳng đối với ỏnh xạ đơn điệu, cộng được à :S →R.
1.1.2 Ví dụ Ví dụ về nửa nhóm tiền thứ tự với tính SIP i) Cho S là nhóm với quan hệ tiền thứ tự tùy ý Cho r ≺ t+ s k , r, t, s k ∈ S, k = 1,2 Khi đó, với s = r + (−t) ta có s ≺ s k , k = 1,2 và r ≺ t+s.
Vì thế, mỗi nhóm và mỗi không gian vecto nói riêng có tính SIP. ii) Xét nửa nhóm tiền thứ tự abel (S,≺) sao cho mỗi hai phần tử s 1 , s 2 ∈ S có chặn dưới lớn nhất s, có nghĩa là t∈ S, t ≺s k , k = 1,2, khi đó t≺ s.
1.1.7 Định lý tách hữu hạn (phần đầu) Định lý
Giả sử rằng S là một nửa nhúm abel Giả sử à : S → R là ỏnh xạ cộng được và p 1 , , p n : S → R là những ánh xạ cộng dưới sao cho à(s) ≤max(p 1 (s), p 2 (s), , p n (s)),∀s∈ S.
Khi đó có λ k ≥ 0, k = 1, , n, với λ 1 + λ 2 + + λ n = 1 sao cho à ≤ λ 1 p 1 +λ 2 p 2 + +λ n p n
= {ϕ | ϕ : {p 1 , , pn} → R} Φ là một nón dưới phép toán từng điểm Ta xét thứ tự từng điểm: ϕ 1 ≺ ϕ 2 ⇔ϕ 1 (p k ) ≥ ϕ 2 (p k )∀k = 1, , n.
(Φ,≺) là nón tiền thứ tự p : Φ →R với p(ϕ) =max(ϕ(p 1 ), , ϕ(p n )), ϕ ∈ Φ, là phiếm hàm đơn điệu, tuyến tính dưới p: Φ → R với q(ϕ) = sup{à(s) | s ∈ S với pk(s) ≤ϕ(pk), k = 1, , n}
∀ϕ ∈ Φ, là ánh xạ cộng trên(sup(∅) = −∞) Từ giả thuyết trên ta có q ≤ p.
Ánh xạ đơn điệu từ định lý Sandwich cho phép cộng ν trên Φ sao cho q ≤ ν ≤ p Tính thuần nhất của p và Mệnh đề 1.1.1 chứng minh ν là phiếm hàm tuyến tính trên Φ Đối với s ∈ S, định nghĩa sˆ ∈ Φ là phiếm hàm với ˆ s(p k ) =p k (s), k = 1, , n Giả sử ε i ∈ Φ với ε i (p k )
1, i, k = 1, , n Đặt λ k = ν(ε k ), k = 1, , n Khi đó ta có do ε k ≥ 0 và ν đơn điệu nên λ k ≥0,∀k Do n
Giả sử, có k sao cho p k (s) =−∞ Khi đó ta có p k (s)ε k ≤ −nε k ,∀n ∈ N. Từ đó, do tính đơn điệu của ν ν(pk(s)εk) ≤ inf n∈ N ν(−nε k ) = inf n∈ N
1.1.8 Định lý tách chặt hữu hạn (phần hai): Định lý
Cho à : S → R cộng được trờn nửa nhúm tiền thứ tự abel (S,≺) và giả sử rằng p 1 , , p n : S →R đơn điệu, cộng dưới với à(s) ≤ max(p 1 (s), , p n (s)),∀s∈ S.
Khi đú cú λ1 ≥ 0, , λk ≥ 0 và đơn điệu, cộng được àk ≤ pk, k = 1, , n, sao cho Σ n k=1 λ k = 1 và à ≤ n
X k=1 λ k à k Trong trường hợp này ta nói tập (S,≺) có tính SIP sao cho à n
Giả sử à : F → R tuyến tớnh trờn nún tiền thứ tự (F,≺) và xột những ánh xạ tuyến tính dưới p1, , pn : F →R với à(f) ≤max(p 1 (f), , p n (f)),∀f ∈ F.
Khi đú cú λ 1 ≥ 0 và tuyến tớnh đơn điệu à k ≤ p k , k = 1, , n, sao cho n
P k=1 λkpk Trong trường hợp này ta nói tập (F,≺) có tính SIP sao cho à n
P k=1 λ k à k 1.5 σ−đại số Tập hợp Σ của tập con X được gọi là σ−đại số nếu các điều sau đây thỏa mãn: i) X ∈ Σ ii) nếu A ∈ Σ thì X \A∈ Σ iii) nếu An ∈ Σ, n ∈ N thì
Nếu Σ là một σ−đại số khi đó cặp (X,Σ) gọi là không gian độ đo Từ định nghĩa này hiển nhiên sẽ có bất cứ phần giao nhau (cũng như tập con của P(X)) của σ−đại số trong X cũng là σ−đại số Do đó, lấy phần giao của tất cả các Σ−đại số trên X chứa M, với M ⊂ P(X) khi đó đây là σ−đại số nhỏ nhất trong X chứa M Kí hiệu: σ M và gọi là σ−đại số cho bởi M.
Cho X là không gian topo chuẩn Các σ−đại số tạo bởi tập đóng gọi là tập Borel, kí hiệu là B(X) Nếu trong định nghĩa này, những tập đóng được thay bằng các tập F σ mở ( hợp đếm được của các tập đóng) khi đó ta có Σ−đại số của tập Baire, kí hiệu Bσ(X) Nếu X metric hóa được thì mỗi tập mở là một tập F 0 , vì thế với X metric hóa ta có:
Ta luôn có Bσ(X) ⊂ B(X), từ (iii) ta thấy mỗi tâp Bσ(X) thuộc σ−đại số tạo bởi các tập đóng.
Nói chung σ−đại số xét trong R,R, hoặc R ∪ +∞, là σ−đại số của tất cả các tập Borel Tức là B(R), B(R) và B(R∪+∞) tạo bởi hợp {(−∞, α] : α ∈ R} của các khoảng.
Xét không gian độ đo (X,Σ) và hàm f : ˜X →X Khi đó, f −1 (Σ) = {f −1 (A) : A ∈ Σ} là σ−đại số trong X.˜ Nếu trong có σ−đại số khi đó f : ˜X →X được gọi là độ đo ( ˜Σ,Σ) nếu f −1 (Σ)∈ Σ.˜ Nếu Σ được cho bởi M ∈ P(X) khi đó tính đo được của hàm f cho ta {f −1 (m) : m ∈ M} ⊂ Σ.˜
Nếu X là không gian topo bất kỳ.
Hàm ψ : X → R được gọi là nửa liên tục trên nếu x ∈ X : ψ(X) < α là mở với mọi α ∈ R và hàm ϕ : X → R∪+∞ là nửa liên tục dưới nếu ϕ là nửa liên tục trên hoặc nếu x ∈ X : ψ(X) > α là mở với mọi α ∈ R
Cho (X,Σ) là không gian độ đo Một ánh xạ m : Σ → R + ∪ (+∞) được gọi là độ đo nếu m(∅) = 0 và nếu
(ii) Nếu A n ∈ Σ, n ∈ N sao cho A n ∪ A n+1 với mọi n ∈ N khi đó ta có sup n∈ N m(A n ) =m( S n∈ N
A n ). Độ đo được gọi là hữu hạn nếu m(X) < ∞ Thỉnh thoảng độ đo được định nghĩa ở trên được gọi là độ đo dương để đặt ngoài dấu của độ đo Dấu của độ đo khác với độ đo dương (X,Σ, m) được gọi là không gian độ đo Độ đo dương hữu hạn với m(X) = 1 được gọi là độ đo xác suất, và (X,Σ, m) khi đó được gọi là không gian xác suất.
Từ (i) ta có độ đo dương là đơn điệu, có nghĩa làm(A) ≤ m(B) tại A, B ∈ Σ với A ⊂ B.
Từ (ii) ta có độ đo là σ−cộng được, điều này có nghĩa là : m(∪{A n : n∈ N} ≤ X n∈ N m(A n ), tại A n ∈ Σ, n ∈ N,dấu bằng xảy ra khi A n không giao nhau từng đôi một.
σ−đại số
i) X ∈ Σ ii) nếu A ∈ Σ thì X \A∈ Σ iii) nếu An ∈ Σ, n ∈ N thì
Với một σ-đại số Σ, bộ đôi (X, Σ) được gọi là không gian đo Từ định nghĩa này, ta dễ dàng thấy rằng bất kỳ giao của các tập con của σ-đại số trong X cũng sẽ là một σ-đại số Do đó, giao của tất cả các Σ-đại số trên X chứa M, với M ⊂ P(X) là σ-đại số nhỏ nhất trong X chứa M Ký hiệu là σ(M) và gọi là σ-đại số sinh bởi M.
Cho X là không gian topo chuẩn Các σ−đại số tạo bởi tập đóng gọi là tập Borel, kí hiệu là B(X) Nếu trong định nghĩa này, những tập đóng được thay bằng các tập F σ mở ( hợp đếm được của các tập đóng) khi đó ta có Σ−đại số của tập Baire, kí hiệu Bσ(X) Nếu X metric hóa được thì mỗi tập mở là một tập F 0 , vì thế với X metric hóa ta có:
Ta luôn có Bσ(X) ⊂ B(X), từ (iii) ta thấy mỗi tâp Bσ(X) thuộc σ−đại số tạo bởi các tập đóng.
Nói chung σ−đại số xét trong R,R, hoặc R ∪ +∞, là σ−đại số của tất cả các tập Borel Tức là B(R), B(R) và B(R∪+∞) tạo bởi hợp {(−∞, α] : α ∈ R} của các khoảng.
Xét không gian độ đo (X,Σ) và hàm f : ˜X →X Khi đó, f −1 (Σ) = {f −1 (A) : A ∈ Σ} là σ−đại số trong X.˜ Nếu trong có σ−đại số khi đó f : ˜X →X được gọi là độ đo ( ˜Σ,Σ) nếu f −1 (Σ)∈ Σ.˜ Nếu Σ được cho bởi M ∈ P(X) khi đó tính đo được của hàm f cho ta {f −1 (m) : m ∈ M} ⊂ Σ.˜
Nếu X là không gian topo bất kỳ.
Hàm ψ: X → R được gọi là nửa liên tục trên nếu với mọi x ∈ X, tập hợp ψ(x) < α là mở với mọi α ∈ R Ngược lại, hàm ϕ: X → R∪+∞ được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó là nửa liên tục trên hoặc với mọi x ∈ X, tập hợp ψ(x) > α là mở với mọi α ∈ R.
Độ đo
Cho (X,Σ) là không gian độ đo Một ánh xạ m : Σ → R + ∪ (+∞) được gọi là độ đo nếu m(∅) = 0 và nếu
(ii) Nếu A n ∈ Σ, n ∈ N sao cho A n ∪ A n+1 với mọi n ∈ N khi đó ta có sup n∈ N m(A n ) =m( S n∈ N
A n ). Độ đo được gọi là hữu hạn nếu m(X) < ∞ Thỉnh thoảng độ đo được định nghĩa ở trên được gọi là độ đo dương để đặt ngoài dấu của độ đo Dấu của độ đo khác với độ đo dương (X,Σ, m) được gọi là không gian độ đo Độ đo dương hữu hạn với m(X) = 1 được gọi là độ đo xác suất, và (X,Σ, m) khi đó được gọi là không gian xác suất.
Từ (i) ta có độ đo dương là đơn điệu, có nghĩa làm(A) ≤ m(B) tại A, B ∈ Σ với A ⊂ B.
Từ (ii) ta có độ đo là σ−cộng được, điều này có nghĩa là : m(∪{A n : n∈ N} ≤ X n∈ N m(A n ), tại A n ∈ Σ, n ∈ N,dấu bằng xảy ra khi A n không giao nhau từng đôi một.
2 Một số ứng dụng cơ bản của nón lồiTừ định lý Sandwich trong trường hợp nửa nhóm abel ta sẽ bắt đầu với một số ứng dụng cơ bản trong lĩnh vực này.
Nguyên lý Phragmen-Lindelof
1.2.1 Định lý Cho F(z) là một phiếm hàm bị chặn, giải tích trên miền 0 < Re(z) < 1 và giả sử F(z) liên tục trên miền đóng 0 ≤ Re(z) ≤ 1 Khi đó 0 ≤ Θ ≤ 1,
Chứng minh Cho H là nhóm nhân của tất cả các hàm bị chặn, giải tích trên 0 0 : e∈ λA 0 }, q(e) sup{λ ≥0 : e∈ λB 0 } với (sup∅ = −∞) với mọi e ∈ E Vì A 0 hấp thụ nên p(e) < ∞,∀e ∈ E Do A 0 , B 0 là lồi nên có p là tuyến tính dưới và q là tuyến tớnh trờn Do A 0 ∩ B 0 = ∅ và A 0 là lồi và chứa 0, nờn e /∈ àA 0 ,∀e ∈ λB 0 và 0 ≤ à ≤ λ Vỡ thế q ≤ p Do định lý 1.1.2 ta cú một hàm tuyến tớnh à : E → R với q ≤ à ≤ p Điều này cú nghĩa là à(a) < 1,∀a ∈ A 0 và à(b) ≥ 1, b ∈ B 0 Do đú à(A)∩à(B) =∅.
Xét E là không gian vecto trên C Một nửa chuẩn p trên E là ánh xạ cộng dưới p :E → R + với p(λe) =| λ | p(e),∀e ∈ E, λ ∈ C. Ánh xạ ν : E →C được gọi là tuyến tính phức nếu ν(αe1 +βe2) = αν(e1) +βν(e2),∀e 1 , e2 ∈ E, α, β ∈ C.
Phiên bản phức tạp của định lý Hahn Banach 1.2.6 Định lý
Xét không gian vecto phức X, và p nửa chuẩn trên E Hơn nữa, giả sử G là không gian con của E và ν˜ : G → C tuyến tính phức với | ν˜ |≤ p trên G ( có nghĩa là | ν(g)˜ |≤ p(g),∀g ∈ G) Khi đó, có ánh xạ tuyến tính, phức ν : E →C với ν = ˜ν trên G và | ν˜ |≤p trên E.
2.8 Affine interposition và định lý Mazur-Orlicz
Xét X ⊂ F là tập lồi con của nón F Một hàm f : X →R được gọi là lồi nếu f(λx+ (1−λ)y) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y),∀x, y ∈ X,0 ≤ λ ≤1.
Nếu bất đẳng thức ngược so với bất đẳng thức này luôn thỏa thì f được gọi là lõm Một hàm vừa lồi và vừa lõm ta nói nó affine.
1.2.7 Định lý Có một hàm affine h : X →R với f ≤h ≤ g nếu và chỉ nếu
X k=0 λ˜kg(˜xk) tại n, m ∈ N;λ 0 , , λ n ,λ˜ 0 , ,λ˜ k ≥ 0 và x 0 , , x n ,x˜ 0 , ,x˜ k ∈ X sao cho n
1.2.4 Hệ quả Xét f và g là hàm X → Rsao cho f là lõm và g là lồi Khi đó có hàm affine h với f ≤h ≤ g nếu và chỉ nếu f ≤ g
Tóm lại, qua chương 1 ta đã tìm hiểu được một số ứng dụng của nón lồi.
Cụ thể như về định lý tách Hahn Banach, định lý Mazur ( dạng hình học của định lý Hahn Banach ) cũng như là một số lý thuyết ứng dụng trong bài toán dòng trên mạng mà ta sẽ tìm hiểu trong chương sau.
Phân hoạch Jordan
Ta xét quan hệ thứ tự từng điểm (f g nếu và chỉ nếu f(x) ≤ g(x),∀x∈ X) trờn B(X) Chỳ ý rằng hàm tuyến tớnh à là đơn điệu liờn quan đến ≤ nếu và chỉ nếu à(f) ≥ 0 tại f ≥ 0
1.2.5 Định lý tách JordanVới mỗi hàm tuyến tớnh bị chặn à trờn B(X) cú hàm tuyến tớnh đơn điệu à + , à − trờn B(X) với à = à + −à − và k à k=k à + k+ kà − k
Bổ đề Farkas
1.2.1 Bổ đề Farkas Xét hàm tuyến tính giá trị thựcν trên không gian vecto E và tập hữu hạn Λ = {à 1 , à2, , àn} của hàm tuyến tớnh giỏ trị thực Nếu
(∗) ν(f) ≤ 0 tại ài(f) ≤ 0,∀i = 1, , n khi đó có λ1 ≥0, , λn ≥ 0 sao cho
Ta có thể sử dụng bổ đề Farkas để chứng minh nón đa diện thứ nguyên hữu hạn trong không gian vecto Hausdroff lồi, địa phương là đóng Ngoài ra còn có kết quả sau
1.2.2 Hệ quả 1 Xét x 1 , , x n là các phần tử của không gian vecto Hausdroff topo lồi, địa phương Khi đó nón đa diện
Xột F(X) là một nún của cỏc hàm f : X → R Xột à : F(X) → R là tuyến tớnh và x 1 , , x n ∈ X sao cho à(f) =à(g) tại f, g ∈ F(X) và f(x k ) g(x k ), k = 1, , m Khi đó có số thực α 1 , , α m với à(f) ≤ m
Phương trỡnh cố định với mọi f ∈ F(X) với à(f) > −∞.
Định lý tách
Định lý tách Hahn Banach 1.2.6 Định lý
Xét E là không gian vecto topo Hausdorff, lồi, địa phương, thực Xét tập con A lồi, mở, khác rỗng và B của E với A∩B = ∅ Khi đó có phiếm hàm tuyến tớnh, liờn tục à trờn E với à(A)∩à(B) = ∅
Giả sử tập $A$ và $B$ rời nhau và $A$ là lồi Khi đó ta định nghĩa $A_0 = \{a - a_0: a \in A\}$, $B_0 = \{b - a_0: b \in B\}$ với $a_0$ cố định tùy ý Ta sẽ chứng minh $A_0$, $B_0$ là hai tập lồi rời nhau và tồn tại một hàm tuyến tính $\alpha$ thỏa mãn $\alpha(A) \cap \alpha(B) = \varnothing$.
Xét E là không gian vecto trên C Một nửa chuẩn p trên E là ánh xạ cộng dưới p :E → R + với p(λe) =| λ | p(e),∀e ∈ E, λ ∈ C. Ánh xạ ν : E →C được gọi là tuyến tính phức nếu ν(αe1 +βe2) = αν(e1) +βν(e2),∀e 1 , e2 ∈ E, α, β ∈ C.
Phiên bản phức tạp của định lý Hahn Banach 1.2.6 Định lý
Cho không gian vecto phức E, nửa chuẩn p trên E và G là không gian con của E Nếu ν˜ : G → C là ánh xạ tuyến tính phức thỏa |ν˜|≤ p trên G, thì tồn tại ánh xạ tuyến tính phức ν : E → C sao cho ν = ν˜ trên G và |ν|≤ p trên E.
Affine interposition và định lý Mazur-Orlicz
Xét X ⊂ F là tập lồi con của nón F Một hàm f : X →R được gọi là lồi nếu f(λx+ (1−λ)y) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y),∀x, y ∈ X,0 ≤ λ ≤1.
Nếu bất đẳng thức ngược so với bất đẳng thức này luôn thỏa thì f được gọi là lõm Một hàm vừa lồi và vừa lõm ta nói nó affine.
1.2.7 Định lý Có một hàm affine h : X →R với f ≤h ≤ g nếu và chỉ nếu
X k=0 λ˜kg(˜xk) tại n, m ∈ N;λ 0 , , λ n ,λ˜ 0 , ,λ˜ k ≥ 0 và x 0 , , x n ,x˜ 0 , ,x˜ k ∈ X sao cho n
1.2.4 Hệ quả Xét f và g là hàm X → Rsao cho f là lõm và g là lồi Khi đó có hàm affine h với f ≤h ≤ g nếu và chỉ nếu f ≤ g
Tóm lại, qua chương 1 ta đã tìm hiểu được một số ứng dụng của nón lồi.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các định lý quan trọng trong không gian Banach, bao gồm Định lý tách Hahn-Banach và Định lý Mazur (dạng hình học của Định lý Hahn-Banach) Hơn nữa, chúng ta cũng sẽ tìm hiểu các ứng dụng lý thuyết này trong các bài toán dòng trên mạng, sẽ được trình bày trong các chương tiếp theo.
Ứng dụng vào bài toán dòng trên mạng
Định lý Tiesz-Konig
Mục đích của chương này là tổng quát hóa định lý tách hữu hạn và ứng dụng vào lý thuyết độ đo Kết quả mà ta thu được ở đây là khái quát về định lý Riesz cổ điển.
Cho X là tập và Y là tập con của X Khi đó 1Y biểu thị như phiếm hàm của Y tức: 1 Y (x)
0, trường hợp khác f : X → R, sup Y (f) = sup y∈Y f(y) Nếu Y 6= ∅ khi đó sup Y là phiếm hàm tuyến tính dưới trên nón của phiếm hàm bị chặn trên X USC(Ω)là kí hiệu nón của phiếm hàm nửa liên tục trên trên không gian topo Ω.
2.1.1 Định lý Reisz-Konig Xét nón F và không gian Hausdorff compact Ω và giả sử rằng f →fˆmột phiếm hàm F →U SC(Ω) được thiết lập sao cho∀ω ∈ Ω, f →fˆ(ω) là tuyến tớnh dưới trờn F Giả sử à: F →R là tuyến tớnh sao cho à(f) ≤sup
Khi đó có một độ đo xác suất Borel điều đặn τ trên Ω với à(f) ≤
Nhận thấy rằng các giả thuyết của định lý này được đáp ứng trong trường hợp đặc biệt khi Ωlà tập của hàm tuyến tính dưới trên F là compact dưới một vài topo sao cho tất cả f , f˜ ∈ F,là nửa liên tục trên Với f˜(p) = p(f),∀p∈ Ω.
2.1.1 Hệ quả Cho X là không gian topo Hausdorff và F là nón con của USC(X) Giả sử Ω là tập con compact của X sao cho: sup
Khi đú à tuyến tớnh trờn F với à(f) ≤sup
(f)∀f ∈ F, có độ đo xác suất Borel đều đặn τ trên Ω với à(f) ≤
Sau đây ta sử dụng hệ quả 2.1.1 liên quan tới biên ( Ω trong hệ quả sẽ được gọi là sub-boundary hoặc biên lớn nhất từ sup Ω (f) = max x∈Ω f(x)∀f ∈ U SC(Ω)).
Một ví dụ phổ biến cho một biên được đưa ra trong tình huống sau:
∂x 2 n f = 0 tại f là phiếm hàm giá trị thực liên tục trên G của một vài tập con mở, liên thông và bị chặn G của R n , sao cho các đạo hàm riêng thứ hai của f tồn tại và liên tục trên G Phiếm hàm như vậy gọi là điều hòa Cho ∂G = G\G kí hiệu biên topo của G và cho H(G) là tập tất cả các hàm điều hòa trên G Khi đó H(G) không chỉ là một nón mà còn là không gian vecto Hàm lồi chứa kết quả cơ bản sau:
2.1.1 Nguyên lý cực đại sup
2.1.1 Mệnh đề Với mỗi t ∈ G có một độ đo xác suất τ t trên ∂G sao cho f(t) Z
Trong trường hợp G mở hình tròn đơn vị trong R 2
G= {(rcosϕ, rsinϕ) | 0≤ r < 1,0 ≤ϕ < 2π} độ đo τ t (t= (r,Θ)) được biết như độ đo Poisson, dτt(ϕ) = P(r,Θ−ϕ)dm(ϕ), tại đó dm là độ đo Lebesgue trên đường tròn đơn vị và P(r,Θ) là nhân Poisson
Một dạng Trassen của định lý phân rã
Ta xét không gian độ đo (X,Σ, m), độ đo m được cho là σ−hữu hạn Do
R(m) là ký hiệu nón lồi của R−phiếm hàm độ đo giá trị trên X sao cho phần dương khả tích đối với m Tức là R
X f + dm < ∞,tạif + = sup(f,0) Mặt khác, R
(f −f + )dm có thể bằng −∞ Do đó, với f ∈ L 1
X f dm tồn tại trong Rvà phiếm hàm −∞ là một phần tử của L 1
R(m) có tính thứ tự từng điểm.
R(m), F là nón lồi, p tuyến tính Xét tập thứ tự ≺ X : x ∈ X. p : F → L 1
R(m) được gọi là đơn điệu với cấu trúc thứ tự địa phương nếu p(f 1 ) ≤p(f 2 )m− hầu khắp nơi trên x ∈ X | f 1 ≺ X f 2
2.1.1 Tóm tắt định lý phân rã
R(m) là một X- toán tử tuyến tính dưới, đơn điệu với
Khi đó có một X-toán tử đơn điệu, tuyến tính T : F → L 1
R(m) với T ≤P (tức là T(f) ≤ P(f) ∀f ∈ F) sao cho
2.1.2 Định lý Radon-Nikodym Xét τ và m là độ đo dương trên {X,Σ) sao cho m là σ− hữu hạn và giả sử τ là liên tục tuyệt đối liên quan tới m Khi đó có một hàm độ đo ϕτ : X →R + ∪ {+∞} ( gọi là mật độ của τ) sao cho τ(A) Z
Chứng minh Cho Φ là nón lồi gồm tất cả các Σ− phiếm hàm độ đo đơn ϕ : X → F.
Hàm ϕ được gọi là đơn nếu ϕ(X) là tập hữu hạn và nếu mỗi f ∈ F, tập {x ∈ X | ϕ(x) = f} thuộc Σ Trong Φ ta giả sử tính tiền thứ tự cho bởi: ϕ 1 ≺ ϕ 2 nếu và chỉ nếu ϕ 1 (x) ≺ X ϕ 2 (x) với hầu hết x ∈ X.
P(ϕ(x))(x)dm(x) xác định là một phiếm hàm tuyến tính dưới, đơn điệu trên Φ.
à(f), nếu ϕ(x) là hằng số(với giỏ trị f)trờn X
Trong điều kiện δ ≤ p, tập hợp các phiếm hàm tuyến tính trên Φ tạo thành một tập hợp có cấu trúc Theo định lý Sandwich, luôn tồn tại một phiếm hàm tuyến tính ν đơn điệu thỏa mãn δ ≤ ν ≤ p Bổ đề Zorn đảm bảo sự tồn tại của một phiếm hàm tuyến tính ν lớn nhất trong số các phiếm hàm tuyến tính nhỏ hơn p Điều này có nghĩa là nếu có một phiếm hàm tuyến tính ν˜ sao cho ν ≤ ν˜ ≤ p thì ν˜ phải bằng ν.
Với A ∈ Σ và f ∈ F, ta định nghĩa
(1) d(A, f) = ν(1Af), tại 1 A là hàm đặc trưng của A, tức là
f, nếu x ∈ A 0 nếu x /∈ A Với f, g ∈ F và A ∈ Σ những điều sau là đúng:
(2) d(A, ) là tuyến tính trên F (3) d(., f) là tập phiếm hàm cộng được trên Σ (4) à(f) ≤ d(X, f)
(6) Khi f ≺ X g với m- hầu hết với x ∈ A khi đó d(A, f) ≤d(A, g) (7) Nếu A n là dãy của cặp tập rời nhau trong Σ khi đó d([ n∈ N
Sự khẳng định (2)-(7) chứng minh định lý theo cách sau:
(3) và (7) cho thấy d(.,f) là độ đo dấu trên X Khẳng định (6) cho thấy rằng độ đo này là hoàn toàn liên tục với m Do m(A)=0 ta có f ≺ X 0 và 0≺ X f với hầu hết x ∈ A, và vì thế d(A, f) =d(A,0) = 0. Áp dụng định lý Radon-Nikodym để tìm độ đo hàm T(x) sao cho
Khi đó, do (5), phần dương của T(f) là khả tích với m (Chỉ giả sử trong
(5) A={x ∈ X | T(f)(x) ≥ 0}.) Vì thế T(f) phải nằm trong L 1
Khẳng định (2) cho ta f → T(f) là tuyến tính.
Từ (4) và (5) ta có (**) và T(f) ≤ P(f) Để chứng minh bất đẳng thức sau, ta xét
(5) cho ta m(A)=0 Ta thấy f → T(f) là một X- đơn điệu.
Khi đó, để không mất tính tổng quát, ta giả sử R
AT(f)dm > −∞ Và ta có mâu thuẫn với (6) d(A, f) Z
Do tính tuyến tính của ν nên dễ dàng có (2) và (3), (4)và (5) cũng thu được từ δ ≤ ν ≤ p Cho f ≺ X g với m- hầu hết với x ∈ A Khi đó 1 A f ≺ 1 A g và do ν đơn điệu nên : d(A, f) =ν(1 A f) ≤ν(1 A g) = d(A, g).
Chứng minh (7) phức tạp hơn và phụ thuộc vào tính cực đại của ν ChoA n như trong khẳng định (7) và ϕ ∈ Φ tuỳ ý :
A n Khi đó ρ ≤ p và là tuyến tính trên σ − cộng được của m có nghĩa là ρ ≥ ν. Để có điều này ta sử dụng bất phương trình sau:
A n Do Z n giảm đến ∅ ta có: lim sup
P(ϕ(x))(x)dm(x) ≤ 0. Đưa điều này vào trong (10) ta được ρ ≥ ν Giờ ta áp dụng định lý Sandwich vào thu được ν tuyến tính, đơn điệu với ρ ≤ ν ≤ p Khi đó do ν ≤ ρ và ν là lớn nhất, nên ν = ν Vì thế ρ = ν Kết hợp với (9) và đặt ϕ = 1 S n∈N
A n.f ta được điều phải chứng minh.
2.1.2 Hệ quả Xét F là nón và ≺ n , n ∈ N là quan hệ thứ tự của dãy trên F sao cho với mỗi n, (F,≺ n ) là nón tiền thứ tự Hơn nữa ta xét dãy p n của ≺ n − hàm giá trị R đơn điệu, tuyến tính dưới trên F sao cho ∀f ∈ F, ta có
Khi đú, mỗi ỏnh xạ tuyến tớnh à : F → R với à ≤ P n∈ N p n có ≺ n −hàm tuyến tớnh, đơn điệu à n ≤ p n sao cho à(f) ≤ X n∈ N
Tóm tắt định lý dòng chảy
Trong phần này chúng ta đưa ra tóm tắt định lý dòng chảy.
Tất cả các độ đo trong phần này đều được giả sử trong R hoặc R−giá trị.
Ta giả sử không gian độ đo (Ω,Σ) (Ω là tập và Σ một σ− đại số trên Ω) và một độ đo dương τ trên X = Ω ×Ω do không muốn quá tải nên ta giả sử đơn giản là τ là hữu hạn và độ đo cú dấu à trờn (Ω,Σ) Ta cú thể gọi à được chia theo cỏch sau à = à + −à − với độ đo dương à + , à − tại à + là hữu hạn.
Một độ đo kép trênX = Ω×Ω là một phiếm hàm ν : Σ×Σ → Rđộ đo có dấu riêng trên mỗi biến, tức là cố định A ∈ Σ các phiếm hàm B → ν(A, B) và B → ν(B, A) là độ đo có dấu trên (Ω,Σ) Do F có nghĩa trên độ đo của nón lồi, dương và phiếm hàm đơn giản trên Σ, tức mỗi f ∈ F là dạng f N
Mỗi f ∈ F ta gán một phiếm hàm fˆ trên không gian X = Ω× Ω được định nghĩa fˆ(ω 1 , ω 2 ) =max(0, f(ω 1 )−f(ω 2 ))∀ω 1 , ω 2 ∈ Ω.
(i) Ánh xạ f →fˆtuyến tính dưới.
(ii) Giả sử f, g ∈ F và giả sử rằng f(ω) = sup ξ∈Ω f(ξ) tại g(ω) > 0 Khi đó (f +ˆ g) = ˆf + ˆg.
Chúng ta sẽ cần kết quả sau:
(CA là phần bù của A trong Ω) 2.1.3 Định lý dòng chảy: Định lý
Những điều sau tương đương:
(ii) Có một độ đo kép ν trên X = Ω×Ω có những tính chất sau:
Chứng minh (ii) ⇒ (i): Do (iia) và (iib) ta có à(A) ≤ ν(A,Ω) ≤τ(Aì(Ω∩ C A )) =τ(AìC A ).
(i) ⇒ (ii):Với X = Ω×Ω,x = (ω1, ω2) ∈ X, định nghĩa: f ≤ X g ⇔ f(ω 1 ) ≤ g(ω 1 ) và f(ω 2 ) ≥ g(ω 2 ) Khi đó nếu f(ω 2 ) ≤ f(ω 1 ) ta sẽ có g(ω 2 ) ≤ g(ω 1 ) và fˆ(ω1, ω2) =f(ω1)−f(ω2) ≤ g(ω1)−g(ω2) = ˆf(ω1, ω2) Nếu f(ω2) ≥f(ω1) khi đó fˆ(ω 1 , ω 2 ) = 0 ta cũng có fˆ(ω 1 , ω 2 ) ≤ g(ωˆ 1 , ω 2 ).
Do đó ánh xạ f → P(f) = ˆf là X đơn điệu Giả sử phiếm hàm tuyến tính ˆ à : F → R cho bởi à(fˆ ) =R
Khi đó, qua bổ đề, (i) tương đương với ˆ à(f) ≤
Từ tóm tắt định lý phân rã, ta có một ánh xạ tuyến tính X đơn điệu
T(1 A )dτ vớiA, B ∈ Σ Như định nghĩaν và σ là cộng được.
Giả sửA, B ∈ Σvới A∩B = ∅ Khi đó 0≤ X 1 A ,∀x ∈ (Ω×B) ⊂(Ω×C A ).
Vì thế, từ X-đơn điệu của T ta có
T(1 A )dτ = ν(A, B), nên (c) đã được chứng minh.
1A×⊂ A dτ = τ(A×(B ×CA)) (a) là hệ quả của (1): à(A) Z
Giờ ta chứng minh σ- cộng được của ν trong biến đầu tiên Ta cố định
(3) lim n→∞ν(A n , B) = 0. Đầu tiên, giả sử B n ∈ Σ sao cho A n ∩B n = ∅ Khi đó, từ (b) và (c) ta có 0≤ ν(A n , B n ) ≤τ(A n ×(B n ∩C A n )) ≤ τ(A n ×Ω).
Hơn nữa, từ à(A) ≤ ν(A n ,Ω) ≤ τ(A n ìC A n ) ≤ τ(A n ìΩ) ta cú
= ν(An, B ∩CA n ) +ν(An ∩CB, B ∩An) +ν(An ∩B, B ∩An)
Dòng trên mạng
Định lý dòng chảy Gale yêu cầu các điều kiện sau: tập người tiêu thụ hữu hạn Ω, lượng tiêu thụ i ∈ Ω là a_i < 0 và sản lượng là |a_i| Mạng lưới đường dẫn giữa người tiêu dùng τ_ik biểu thị sức chứa của đường dẫn từ k đến i (τ_ik ≠ τ_ki) Khi không có đường dẫn giữa k và i, τ_ik = 0 Điều kiện dương của dòng chảy ν_ik (từ k đến i) phải thỏa mãn 0 ≤ ν_ik ≤ τ_ik (k ≠ i, ∀i, k ∈ Ω) để đáp ứng nhu cầu tiêu thụ Đối với mỗi i ∈ Ω, tổng lượng chảy đến trừ đi tổng lượng chảy ra phải bằng lượng tiêu thụ (a_i).
Chú ý, trong điều kiện này (và tất cả các điều kiện sau đây) ν ii không đóng vai trò gì, những chỉ số này được định nghĩa là 0 Ta giải thích tất cả các số lượng cũng như độ đo trên Ω hoặc Ω×Ω để có thể trình bày điều kiện dưới đây ở dạng đẹp hơn Với A, B ⊂ Ω à(A) = X i∈A à i và τ(A×B) = X i∈A,k∈B τ ik ; ν(A, B) = X i∈A,k∈B ν ik
Khi đó điều kiện trên dòng chảy để thỏa mãn tiêu thụ là tầm thường tương đương : à(A) ≤ ν(A,Ω)−ν(Ω, A),∀A⊂ Ω.
Với A là tải năng vào là τ (A×CA), đó là tải năng của tất cả các đường dẫn từ ngoài A vào trong A.
Một điều kiện cần thiết cho sự tồn tại một dòng chảy như vậy là tải năng vào là đủ theo nghĩa sau đây: à(A) ≤ τ(AìC A ),∀A ⊂ Ω.
Chú ý, điều kiện này cũng yêu cầu tổng sản lượng trội hơn tổng tiêu thụ, do à(Ω)≤ τ(Ωì ∅) = 0.
Tổng quát hóa cho tập tiêu thụ không giới hạn Ta hãy xét vấn đề trên cho những điểm T vô hạn khác nhau trên thang thời gian, với mỗi người tiêu thụ i có khả năng trữ từ t 1 đến t 2 lên đến σ t i 1 ,t 2 Khi đó tập người tiêu thụ là Ω×T và σ i t 1 ,t 2 là tải năng đường dẫn từ i, t 1 đến i, t 2
Với hệ thống vụ hạn cú thể thay à, τ, ν bằng độ đo thớch hợp.
Cho (Ω,Σ) là không gian độ đo, Ω là tập tiêu thụ, Σ là σ−đại số trên Ω.
Ta xột dấu độ đo tiờu thụ à trờn (Ω,Σ) độ đo lượng tiờu thụ và sản xuất tương ứng Hơn nữa, ta xét độ đo dương và hữu hạn τ trên X = Ω ×Ω, ta giả sử τ(A×B) đo tải năng đường dẫn từ B vào A Vì thế, τ gọi là lượng tải năng Một độ đo kép ν trên X = Ω×Ω đươc gọi là dòng dương nếu
Nó được cho là thỏa mãn tiêu thụ nếu (2) à(A) ≤ ν(A, C A )−ν(C A , A),∀A ∈ Σ.
Dòng chảy τ được gọi là dương( với chú ý tới tải năng τ) nếu
Ta có tải năng nhận đủ nếu (4) à(A) ≤ τ(AìC A ),∀A ∈ Σ.
Như một ứng dụng trực tiếp của tóm tắt dòng định lý dòng chảy, chúng ta thu được định lý Gale-Ryser tổng quát sau:
2.1.4 Định lý Có một dòng dương và chấp nhận được thỏa tiêu thụ nếu và chỉ nếu dòng đó là đủ tải năng nhận
Chứng minh Sự cần thiết của điều kiện nhận đủ là không đáng kể, vì từ (1)-(3) ta có: à(A) ≤ ν(A, C A )−ν(C A , A) ≤ ν(A, C A ) ≤ τ(AìC A ).
Chọn một độ đo kép cho bởi định lý dòng chảy Từ (c) ta thấy độ đo kép là dòng chảy dương, và (b) cũng cho ta thấy dòng là dương Và một hệ quả khác của (b) là ν(Ω, B) ≤ 0,∀B ∈ Σ Do đó ta nhận được từ (a): à(A) ≤ν(A,Ω) ≤ ν(A,Ω)−ν(Ω, A) và vì tính cộng của ν số hạng cuối thì bằng với ν(A, C A ) −ν(C A , A) do dòng từ ν(A, A) bị bỏ
Nhiều bài toán quy hoạch tuyến tính có thể quy về bài toán làm cực tiểu cước phí tổn vận chuyển hàng trong một mạng( gồm các nút và các cung đường) sao cho đảm bảo được các nhu cầu ở một số nút khi đã biết nguồn cung cấp tại một số nút khác Bài toán như vậy được gọi là các bài toán dòng trên mạng Đây là lớp bài toán quan trọng nhất và hay gặp nhất trong quy hoạch tuyến tính Lớp bài toán này bao gồm các bài toán quen thuộc trong thực tế như: bài toán vận tải, các bài toán mạng điện và mạng giao thông, các bài toán quản lý, phân bổ vật tư, bài toán bổ nhiệm, bài toán kế hoạch tài chính, bài toán đường đi ngắn nhất, bài toán dòng lớn nhất
2 Bài toán dòng trên mạng Mạng là một đồ thị có hướng G = (N,A) cùng một số thông tin về số lượng bổ sung như : các số thực b i , i ∈ N, biểu thị nguồn từ ngoài hoặc gọi tắt là nguồn; các số u ij ≥ 0 (có thể vô hạn ) biểu thị tải năng của cung (i, j) ∈ A và các số thực c ij biểu thị cước phí của một đơn vị dòng vân chuyển trên cung (i,j).
Ta chọn biến của bài toán là số thực xij biểu thị (lượng của ) dòng trên cung (i,j).
Nút i sẽ gọi là một nguồn nếu b i > 0, khi đo b i gọi là nguồn cung hoặc gọi tắt là nguồn Nếu bi < 0 được gọi là điểm hút và | bi | được gọi là nhu cầu của nút i.
Một cách tự nhiên ta đặt hai điều kiện sau đây.
(a) Luật bảo toàn dòng: (tổng lượng ) dòng vào nút i phải bằng (tổng lượng) dòng ra khỏi nút i:
I(i) := {j ∈ N : (j, i) ∈ A} là tập tất cả các nút j có cung xuất phát từ đó tới i trong đồ thị.
O(i) := {j ∈ N : (i, j) ∈ A} là tập tất cả các nút j có cung từ i đi tới.
(b) Dòng trên cung không âm và không vượt quá tải năng của cung:
Mọi vecto x có các thành phần là xij,(i, j) ∈ A, được gọi là một dòng Dòng x thỏa mãn (1) và (2) gọi là dòng chấp nhận được.
Lấy tổng hai vế (1) theo i ta được
(3) X i∈N b i = 0. Điều này có nghĩa là tổng dòng từ bên ngoài vào mạng phải bằng tổng dòng từ mạng ra ngoài Rõ ràng nếu điều này không thỏa thì bài toán là không chấp nhận được (vô nghiệm).
Mục tiêu của bài toán làm cực tiểu cước phí dòng trên mạng là
(i,j )∈A cijxij, ở đây cực tiểu lấy trên mọi dòng chấp nhận được Như vậy là ta nhận được quy hoạch tuyến tính Nếu uij = ∞,∀(i, j) ∈ A thì ta có bài toán dòng trên mạng với tải năng không hạn chế.
Ta xét bài toán cụ thể sau:
Ta có 3 điểm cung cấp hàng C, D, E và 4 điểm cầu S, T, U và V với lượng hàng cung và cầu tại mỗi điểm cũng như cước phí vận tải trên một đơn vị hàng cho mỗi cung đường như trong bảng III.8.
Từ điểm cung i đến điểm cầu j ta có cước phí vận tải / một đơn vị hàng làc ij đã biết, chẳng hạn như c ij là 3 USD / một đơn vị hàng Cần thiết lập phương án vận tải hàng đáp ứng được cung cầu và tổng chi phí vận tải là nhỏ nhất Chú ý rằng bài toán vận tải đang xét có tổng cung bằng tổng cầu, nên được gọi là bài toán vận tải cân bằng thu phát Đây là dạng đơn giản nhất trong các dạng bài toán vận tải.
Bảng III.8 Các dữ liệu của bài toán vận tải Điểm cung Lượng hàng
Tổng 13500 Điểm cầu Lượng hàng
Nơi đi Cước phí vận tải/ đơn vị hàng cij(U SD) đến
Bài toán vận tải cũng là BTQHTT Trong ví dụ đang xét, nếu ký hiệu xij là lượng hàng cần được vận chuyển trên cung đường (i, j), chính là lượng hàng cần điền vào ô (i, j), thì chúng ta BTQHTT sau: minz 3
⇔ minz = 3x 11 +2x 12 +7x 13 +6x 14 +7x 21 +5x 22 +2x 23 +3x 24 +2x 31 +5x 32 +4x 33 +5x 34 với các ràng buộc x 11 +x 12 +x 13 +x 14 = 5000 x 21 +x 22 +x 23 +x 24 = 6000 x31+x32 +x33+x34 = 2500 x 11 +x 21 + x 31 = 6000 x 12 +x 22 + x 32 = 4000 x 13 +x 23 + x 33 = 2000 x14 +x24+ x34 = 1500 x ij ≥ 0,∀i = 1,3,∀j = 1,4. Đổi tên biến: X 1 = x 11 , X 2 = x 12 , X 3 = x 13 , X 4 = x 14 , X 5 = x 21 , , X 12 x 34 thì bài toán trên đây là bài toán quy hoạch tuyến tính 12 biến Ta có bài toán mới ở dạng phương trình chính tắc sau: minz = 3X 1 +2X 2 +7X 3 +6X 4 +7X 5 +5X 6 +2X 7 +3X 8 +2X 9 +5X 10 +4X 11 +5X 12
Tương tự như vậy, ta sẽ xét bài toán dòng trên mạng với tải năng không hạn chế ta cũng sẽ đưa được về dạng (1) minc T x, Ax= b, x≥ 0,
3 Các phương pháp giải bài toánVì cũng là quy hoạch tuyến tính, nên bài toán dòng trên mạng có thể giải được bằng bất kỳ thuật toán cho quy hoạch tuyến tính nào, chẳng hạn bằng thuật toán đơn hình, thuật toán điểm trong
Phương pháp đơn hình
P j=1 c j x j → min x B i + P j / ∈B a ij x B j = b i , i = 1, m xj > 0, j = 1, n với b i > 0 bài toán có PACB ban đầu là x 0 B i = b i , i= 1, m, x 0 j = 0, j /∈ B.
Các bước giải bài toán QHTT bằng phương pháp đơn hình Bước 1 Lập bảng đơn hình xuất phát. x B c B PA c 1 c 2 c n x B 1 c B 1 b 1 a 11 a 12 a 1n x B 2 c B 2 b 2 a 21 a 22 a 2n x B m c B m b m a m1 a m2 a mn f ∆ 0 ∆ 1 ∆ 2 ∆ n
P i=1 c B i b i −giá trị hàm mục tiêu ứng với PACB ban đầu x 0
P i=1 cB i aij −cj−hệ số ước lượng.
Bước 2 Biện luận đối với bài toán tìm min1 Nếu ∆ j 6 0,∀j thì bài toán có PATƯ.
2 Nếu tồn tại v sao cho ∆ v > 0 và tồn tại a iv > 0 ta sẽ chọn cột xoay v và phần tử xoay như sau: λ v = min b i aiv
Từ đó ta chọn được phần tử xoay a rv và thực hiện phép khử để tìm PACB mới.
3 Nếu phát hiện ra cột v mà a iv 6 0,∀i = 1, m thì bài toán không có PATƯ.
Ví dụ 1 Giải bài toán QHTT f = 3x 1 +x 2 + 2x 3 + 3x 4 + 2x 5 + 4x 6 → min
2x 1 +x 3 +x 4 + 2x 6 = 5 3x 1 +x 2 + 2x 4 +x 6 = 11 x 1 + 2x 4 +x 5 + x 6 = 5 x j > 0, j = 1,6 Đáp số: x ∗ = ( 5 3 , 8 3 ,0, 5 3 ,0,0), f min = 38 3 , Ví dụ 2 Giải bài toán QHTT f = 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 + 8x 4 +x 5 + 6x 6 → min x 1 + 2x 3 + x 4 = 6 2x 1 +x 2 + 3x 3 +x 6 = 10 4x1 + 3x3 +x5 +x6 = 36 x j > 0, j = 1,6 Đáp số: x ∗ = (5,0,0,1,16,0), f min = 34, 2.3.2 Thuật toán dành cho bài toán chưa ở dạng chuẩn Đặt vấn đề
Bài toán chưa có dạng chuẩn có nghĩa là chưa có PACB ban đầu. Ở ràng buộc nào chưa có biến cơ sở thì ta thêm biến cơ sở vào Biến cơ sở mới thêm vào được gọi là biến giả.
Biến giả phải không âm và hệ số tương ứng với nó trong hàm mục tiêu là M
Bài toán dạng chuẩn có biến giả được gọi là bài toán mở rộng P M Dùng phương pháp đơn hình để giải bài toán mở rộng P M ta có 2 trường hợp sau:
1 Trường hợp P M không có PATƯ thì bài toán ban đầu P cũng không có PATƯ.
2 Trường hợp P M có PATƯ là x ∗ M a Nếu trong x ∗ M có thành phần ứng với biến giả 6= 0 thì P không có PA, do đó không có PATƯ. b Nếu trong x ∗ M có tất cả các thành phần tương ứng với các biến giả đều
= 0 thì P có PATƯ chính là x ∗ M mà loại đi các thành phần ứng với biến giả.
Cách tìm PACB Thuật toán tìm PACB PACB x 0 được xác định như sau: x 0 B i = b i , i = 1, m, x 0 j = 0, j /∈ B.
1 Nếu a iv 6 0,∀i = i, m thì ta không tìm được PACB mới theo hướng này.
2 Nếu tồn tại ∃a iv > 0 ta xác định tỉ số λ r = br a rv = min bi a iv \∀a iv > 0
.Từ đó ta xác định được phần tử xoay a rv và thực hiện phép khử với phần tử này ta sẽ thu được PACB mới nếu λ r > 0.
Ví dụ 3 Giải bài toán QHTT f = 6x 1 + 8x 2 + 9x 3 + 5x 4 + 6x 5 →min
2x1 +x2 + 3x3 + 4x4 + 2x5 = 6 x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 10 x j > 0, j = 1,5 Giải Bài toán đã cho chưa có dạng chuẩn tức là chưa có PACB ban đầu, ta lập bài toán mở rộng P M như sau: f = 6x1 + 8x2 + 9x3 + 5x4 + 6x5 +M x6 +M x7 →min
2x 1 +x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 2x 5 +x 6 = 6 x 1 + 2x 2 +x 3 + 2x 4 + 3x 5 +x 7 = 10 xj > 0, j = 1,5 Trong đó x6, x7 là các biến giả M > 0 rất lớn. Đáp số: x ∗ = (0,2,0,0,2), f min = 28.
Ví dụ 4 Giải bài toán QHTT f = 6x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4 + 5x5 + 4x6 → min
Ví dụ 5 Giải bài toán QHTT f = 6x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 +x 5 −7x 6 →min
Phương pháp điểm trong
Sự ra đời của phương pháp ellipsoid đã kích thích các nhà toán học đi tìm các thuật toán đa thức để giải QHTT, vì biết rằng QHTT là bài toán có độ phức tạp đa thức Bài báo [Karmarkar 1984] công bố một phương pháp điểm trong đã mở đầu cho hàng loạt phương pháp điểm trong Các phương pháp này đều có độ phức tạp đa thức Hơn nữa, thực tế áp dụng cho thấy chúng cho lời giải khá nhanh, cạnh tranh được với tốc độ hội tụ của phương pháp đơn hình, khi giải các bài toán thực tế Mỗi bước lặp của phương pháp đơn hình cho ta được một đỉnh(tức là điểm cực biên) của tập lồi đa diện chấp nhận được Trái lại, ở mỗi bước lặp của phương pháp điểm trong, ta đều có một điểm trong tương đối của miền này Phương pháp tỉ lệ affine (affine scaling method)là phương pháp ta sẽ tìm hiểu sau đây.
Xét bài toán QHTT có dạng (1).
Nghiệm chấp nhận được của x trong QHTT trên được gọi là nghiệm trong nếu x > 0 tức xi > 0, i = 1, , n Chữ "trong" ở đây là "trong tương đối" vì mọi nghiệm chấp nhận được nằm trong tập đa tạp tuyến tính x ∈ R n : Ax= b.
Bài toán ellipsoid xấp xỉ Giả sử ta có một nghiệm trong của QHTT (1) Chiến lược của phương pháp tỉ lệ affine là ở mỗi bước, khi đã có một nghiệm trong, ta thay QHTT bởi bài toán có cùng hàm mục tiêu nhưng tập ràng buộc là một ellipsoid có tâm là nghiệm trong đã có, xấp xỉ với tập lồi đa diện ràng buộc của QHTT.
Bây giờ ta xây dựng ellipsoid xấp xỉ với tâm là nghiệm trong x 0 đã có Trước hết ta xấp xỉ góc tọa độ dương R + n := {x : x ≥0} bởi ellipsoid n chiều
Thuật toán tỉ lệ affine gốc. Đầu vào của thuật toán là (a) Dữ liệu của bài toán A, b, c;
(b) Một nghiệm trong, tức là nghiệm chấp nhận được gốc x 0 > 0;
(c) Cỡ nới lỏng tối ưu ε > 0;
Thuật toán tỉ lệ affine gốc Xuất phát từ x 0 Bước lặp điển hình xuất phát từ x k > 0 gồm các đoạn sau đây.
1 Tính nghiệm đối ngẫu ứng viên y k
. 2 Tính biến bù đối ngẫu ứng viên s k = c−A T y k
3 Kiểm tra điều kiện ε −tối ưu Nếu s k ≥ 0 và e T X k s k < ε thì ngừng.
Nghiệm hiện hành gốcx k làε−tối ưu vày k là nghiệm đối ngẫuε−tối ưu.
4 Kiểm tra tính không giới nội Nếu − X k 2 s k ≥ 0 thì ngừng, mục tiêu tối ưu là −∞
5 Tính nghiệm trong tiếp theo x k+1 = x k −ρ X k 2 s k
6 Kiểm tra tính tối ưu Nếu x k+1 j = 0 với một j nào đó thì ngừng x k+1 khi đó là nghiệm gốc tối ưu Trái lại thì đặt k=k+1 và quay lại đoạn 1.
Tìm nghiệm trong xuất phát x 0 Để tìm nghiệm trong x 0 của QHTT chính tắc dùng làm điểm xuất phát cho thuật toán tỉ lệ affine gốc, ta đưa thêm biến xn+1 và xét bài toán tăng cường min c T x+M x n+1 , Ax+ (b−Ae)x n+1 = b,
(x, xn+1) ≥0, ở đây M > 0 là số rất lớn nào đó và e = (1, ,1) T ∈ R n Rõ ràng (e,1) là nghiệm trong (chấp nhận được) của QHTT tăng cường này Do đó ta có thể chứng minh được là nghiệm tối ưu của bài toán tăng cường sẽ có x n+1 = 0 và do đó chính là nghiệm tối ưu của bài toán gốc Phương pháp tìm nghiệm trong xuất phát x 0 này gọi là phương pháp M lớn Ngoài ra có thể tìm hiểu thêm phương pháp khác.
Ví dụ: Giải QHTT f = −x 1 −2x2 → min x 1 + x 2 +x 3 = 2
