Từ thời điểm đó, các độ đo mờvà các tích phân mờ được nghiên cứu trên một quan điểm có phần toán học,và các nhà nghiên cứu trong cộng đồng mờ dường như quan tâm nhiều hơn tạicác định ngh
Những phép toán đối với tập mờ
Đặt vấn đề
Trong thực tế chúng ta đánh giá kết quả không chỉ mang tính chất đúng hoặc sai mà còn mang tính chất định tính không chắc chắn thông qua việc sử dụng các biến ngôn ngữ để phản ánh Một trong những cách đánh giá và xử lý dạng biểu diễn thông tin thu được những kết quả rất tốt đó là cách tiếp cận mờ.
Từ năm 1965, L.A.Zadeh đã xây dựng lý thuyết tập mờ, tạo ra một cơ sở toán học cho việc tiếp cận lập luận tính toán của con người Ý tưởng của ông là mở rộng tập logic cổ điển (logic Boole), làm tăng thêm khả năng suy luận của con người, góp phần đánh giá kết quả đi đến độ chính xác nhất Sau đây là một số khái niệm và tính chất cơ bản của tập mờ.
Khái niệm tập mờ
Định nghĩa 1.1.1 Cho E là một tập hợp bất kỳ, x là phần tử củaE Tập mờ A trong E là tập hợp của những cặp được sắp xếp thứ tự A = {àA(x)/x}, ở đõy à A (x) là hàm phụ thuộc nhận giỏ trị trong tập hợp M = [0,1]
Hàm phụ thuộc chỉ ra mức độ phụ thuộc của phần tử x vào tập con A àA : E →M.
Tập mờ khác với tập hợp thông thường là không có giới hạn Mỗi phần tử của tập mờ có một hàm thuộc độ, hàm này phản ánh mức độ thuộc của phần tử vào tập mờ, nằm trong khoảng [0, 1].
Vớ dụ 1.1.1 ChoE = {x1, x2, x3, x4, x5}, M = [0,1]; A là tập mờ với àA(x1) 0,3;àA(x2) = 0;àA(x3) = 1;àA(x4) = 0,5;àA(x4) = 0,9.
Khi đó A được biểu diễn dưới dạng A ={0,3/x 1 ; 0/x 2 ; 1/x 3 ; 0,5/x 4 ; 0,9/x 5 }
Tập hợp E chứa năm phần tử và hàm thuộc àA ánh xạ từng phần tử trong E sang tập hợp {0,1} Hàm này mô hình hóa tập hợp con A gồm những phần tử được gắn nhãn "trẻ".
∀x ∈E ta định nghĩa hàm phụ thuộc như sau Nếu 0< x α}.
Những phép toán đối với tập mờ
Định nghĩa 1.1.4 Tập mờ A và tập mờ B được gọi là bằng nhau nếu như với mọi ∀x ∈E, à A (x) =à B (x) Kớ hiệu A = B
Tập mờ A được cho là chứa trong tập mờ B (hay A bao hàm trong B), ký hiệu A ⊆ B, khi giá trị độ mờ của A tại mọi điểm x trên không gian tham chiếu E đều nhỏ hơn hoặc bằng giá trị độ mờ của B tại điểm x đó Khi A ⊆ B và đồng thời B ⊆ A, nghĩa là giá trị độ mờ của chúng bằng nhau tại mọi điểm, thì A và B được gọi là đồng nhất, ký hiệu A = B.
Hai tập mờ A và B được gọi là bự nhau nếu ∀x∈ E, à A (x) = 1−à B (x) Kí hiệu A = B hoặc B = A
3) Các phép toán quan hệ tập mờ.
Cho A và B là hai tập mờ trên E. a) Phép giao:
4) Các phép toán đại số:
Cho A, B là hai tập mờ trên E. a) Phép tổng đại số:
A.B = {(x, àA.B(x))| x ∈E, àA.B(x) =àA(x).àB(x)} c) Phép tổng chặn:
A⊕B = {(x, àA⊕B(x))| x ∈X, àA⊕B(x) =min{1, àA(x) +àB(x)}} d) Phép tích chặn:
Phương pháp xây dựng hàm phụ thuộc của tập mờ
Phương pháp trực tiếp
Phương pháp trực tiếp cho ta xác định quy tắc định nghĩa giá trị của hàm phụ thuộc à A (x) của tập mờ A dựa trờn mức độ ảnh hưởng của phần tử x trong tập E.
Ví dụ phương pháp trực tiếp có thể trực tiếp xác định giá trị của hàm phụ thuộc àA bởi bảng giỏ trị, cụng thức hoặc đồ thị Như vậy, phương phỏp trực tiếp để xác định hàm phụ thuộc được sử dụng cho những đại lượng đo được, ví dụ như vận tốc, thời gian, khoảng cách, áp suất, nhiệt độ, hoặc khi có thể tính toán được bằng số cụ thể. Để xác định giá trị của hàm phụ thuộc của đối tượng bằng phương pháp trực tiếp ta làm như sau:
• Xác định danh sách tính chất để đánh giá đối tượng;
• Tìm trong danh sách này, xác định cực điểm cho mỗi tính chất;
• Đối với mỗi cực, đối tượng được đánh giá bằng việc nó có được tính chất này như thế nào.
Ví dụ 1.2.1 Trong bài toán nhận dạng khuôn mặt có thể đưa ra điểm đánh giá như sau:
Dấu hiệu 0 1 x1 chiều cao của trán thấp cao x2 hình dạng của mũi hếch quặp x3 chiều dài của mũi ngắn dài x4 hình dáng của khe mắt hẹp rộng x5 màu của mắt sáng tối x6 hình dáng của cằm nhọn vuông x7 độ dày của môi mỏng dày x8 màu da của mặt tối sáng x9 đường viền của khuôn mặt hình oval hình vuông Đối với từng khuôn mặt cụ thể A từ bảng điểm trên ta có thể xác định được àA(x) ∈ [0,1] Ngoài ra, ta cú thể sử dụng m sự đỏnh giỏ khỏc nhau đối với khuôn mặt A rồi sau đó lấy giá trị trung bình của chúng.
Phương pháp gián tiếp
Phương pháp gián tiếp để xác định giá trị của hàm phụ thuộc sử dụng trong trường hợp khi không có những tính chất có thể đo được Trong phương pháp gián tiếp, giá trị của hàm phụ thuộc được chọn sao cho thỏa mãn những điều kiện cho trước.
Phương pháp gián tiếp đòi hỏi tính toán phức tạp hơn so với phương pháp trực tiếp Phương pháp so sánh từng đôi một của T L Satti được biết đến là một trong những phương pháp gián tiếp nổi tiếng.
Giả sử biết được giỏ trị của hàm phụ thuộc, vớ dụà A (x i ) =ω i , i = 1,2, , n thì cặp so sánh có thể biểu diễn bởi ma trận A = (aij), ở đây aij = ω i ω j
Như vậy, a ii = 1, i = 1,2, , n còn với i6= j thì a ij = 1 aji
. Khi xây dựng điểm đánh giá giữa cặp so sánh, ta chú ý đến những điều sau:
• xem xét xem 2 đối tượng cần so sánh, cái nào quan trọng hơn.
• đánh giá sự khác biệt trong mức độ quan trọng theo 1 tiêu chuẩn cho trước.
Sự khác biệt Sự đánh giá chất lượng Giải thích
0 không so sánh được So sánh 2 đối tượng không có ý nghĩa 1 có giá trị giống nhau 2 đối tượng có ý nghĩa ngang nhau 3 có giá trị thấp hơn 2 đối tượng có ý nghĩa khác nhau, nhưng không rõ rệt 5 có giá trị cao hơn 1 đối tượng có ý nghĩa cao hơn đối tượng khác 7 có giá trị cao hơn rõ rệt 1 đối tượng có ý nghĩa cao hơn rõ rệt đối tượng khác 9 có giá trị cao hơn tuyệt đối 1 đối tượng có ý nghĩa cao hơn tuyệt đối đối tượng khác 2, 4, 6, 8 là những khoảng giữa khi cần so sánh 2 đối tượng có ý nghĩa nằm ở khoảng giữa những đánh giá trên.
Ví dụ 1.2.2 Cần đánh giá mức độ quan trọng của chỉ số ảnh hưởng F {x 1 , x 2 , x 7 } của 1 hệ phức tạp Khi so sánh 2 đối tượng với nhau, ta thu được ma trận A = (aij), i, j = 1, ,7, ở đõy, aij chỉ ra àF(xi) lớn hơn àF(xj) bao nhiêu lần, có nghĩa là chỉ số xi quan trọng hơn xj bao nhiêu lần trong việc đưa ra kết quả lựa chọn.
Như vậy, theo công thức này thì àF = (0.43,0.666,1,0.04,0.157,0.112,0.103) T
Độ đo
Đại số tập hợp
Định nghĩa 2.1.1 Một đại số (hay trường) là một lớp những tập chứa X,∅ và kín đối với mỗi phép toán hữu hạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn các tập hợp, phép hiệu và hiệu đối xứng hai tập hợp).
σ− đại số
Định nghĩa 2.1.2 Một σ-đại số là một lớp tập hợp chứa X,∅ và kín đối với mọi phép toán đếm được hay hữu hạn về tập hợp.
σ- đại số Borel
Định nghĩa 2.1.3 Cho không gian tôpô (X, τ) σ - đại số sinh bởi họ tất cả các tập mở trong X được gọi là σ- đại số Borel.
Phân loại độ đo mờ
Khái niệm độ đo
Cho P(X) là tập hợp tất cả những tập con của tập X còn R + = [0,+∞). Định nghĩa 2.2.1 Độ đo là hàm số của tập hợp m : P(X)⇒R + , thỏa mãn 3 tiên đề sau:
Chú ý Khi R + = [0,1] thì những tiên đề này xác định độ đo xác xuất.
Khái niệm xác xuất chủ quan được hiểu là mức độ tin cậy trong một sự kiện nào đó, xuất hiện dựa trên những hiểu biết của con người về sự kiện đó.
Mức độ tin cậy này luôn phụ thuộc vào kinh nghiệm cá nhân và vì vậy nó khác nhau đối với những người khác nhau Chính vì vậy, xác suất chủ quan không có tính chất cộng Khác với xác suất chủ quan, độ đo mờ giải quyết được yêu cầu cộng tính và làm cho nó trở nên thu hút để giải quyết hàng loạt bài toán có thông tin không rõ ràng.
Thời gian gần đây, yêu cầu về những hướng toán học mới để miêu tả thông tin có tính không rõ ràng, tăng cao Một trong những hướng khả thi đó là dựa trên khái niệm độ đo mở rộng, độ đo mờ và tích phân.
Cho X là một tập hợp bất kỳ, β là trường những tập Borel trên X (σ−đại số) Định nghĩa 2.2.2 Hàm số g(ã) được xỏc định bởi g : β → [0,1] được gọi là độ đo mờ, nếu nó thỏa mãn những điều kiện sau:
• Nếu A, B ∈ β và A ⊂ B thì g(A)6 g(B) (tính đơn điệu).
• Nếu Fi ∈ β và {Fi, i = 1,2, } là dãy đơn điệu F1 ⊃ F2 ⊃ ⊃ Fi ⊃ thì lim i→∞g(F i ) = g( lim i→∞F i ) (tính liên tục). Định nghĩa 2.2.3 Bộ ba (X, β, g) được gọi là không gian với độ đo mờ.
Chú ý Đối với độ đo mờ trong trường hợp tổng quát không có tính chất cộng g(A∪B)6= g(A) +g(B). Để mô tả những dạng không rõ ràng khác nhau trong lý thuyết độ đo mờ sử dụng khái niệm mức độ mờ Trong trường hợp tổng quát, khái niệm này bao gồm mức độ phức tạp, mức độ tin cậy Như vậy, độ đo mờ có thể được biểu diễn bằng nhiều phương pháp khác nhau phụ thuộc vào ứng dụng cụ thể.
Giả sử cần đánh giá mức độ phụ thuộc của một phần tửx ∈X nào đó vào tập hợp E ⊂ X Rõ ràng đối với tập rỗng thì mức độ phụ thuộc này bằng 0, còn đối với x∈ F(F ⊂ E) thì mức độ này bằng 1 Nếu mức độ phụ thuộc x0 ∈ F bằng g(x0, E) và ta thay E bằng một tập con mờ àA ∈F(X) thỡ g(x 0 , A) Z
X à A (x)∗g(x 0 ,ã) =à A (x 0 ). Điều này nói lên rằng, mức độ mờ của khẳng định x0 ∈ A bằng mức độ phụ thuộc x0 vào một tập con mờ àA.
Như vậy, khái niệm mức độ mờ trong lý thuyết độ đo mờ là khái niệm mức độ phụ thuộc vào tập mờ.
Độ đo mờ Sugeno
Độ đo mờ có cấu trúc tốt hơn cả là độ đo Sugeno được xây dựng theo độ đo mờ λ như sau:
Trong trường hợp A∪B = X ta sẽ gọi biểu thức (2.1) làđiều kiện định mức đối với độ đo g λ Rõ ràng g λ (X) = 1;g λ (∅) = 0 Với λ > 0 thì g λ (A∪ B) > gλ(A) +gλ(B) và ta có lớp những độ đo siêu cộng tính Với −1 < λ < 0 thì gλ(A∪B)< gλ(A) +gλ(B)ta sẽ có lớp những độ đo cộng tính yếu.
Dễ dàng thầy rằng, nếu A =X\A, A∈ β thì ta có gλ(A) = 1−g λ (A)
Trong trường hợp tổng quát, khi A và B là những tập con bất kỳ của tập X thỏa A, B ∈ β, A∩B 6=∅ thì ta có g λ (A∪B) = gλ(A) +gλ(B)−gλ(A∩B) +λgλ(A)gλ(B)
Độ đo siêu cộng tính
Định nghĩa 2.2.4 Độ đo Dirak được xác định như sau
1, nếu x0 ∈ A 0, trong trường hợp ngược lại với x0 là phần tử cho trước trong X. Định nghĩa 2.2.5 Hàm tin cậy là độ đo thỏa mãn những tiên đề sau:
Trong trường hợp card(β) = 2 ta được
∀A, B ∈β, b(A∪B)>b(A) +b(B)−b(A∩B) Định nghĩa 2.2.6 Cho m: β → [0,1], thỏa mãn những tiên đề sau:
B⊂A m(B) là hàm tin cậy. Định nghĩa 2.2.7 Hàm tin cậy thỏa thuận đượclà độ đo thỏa mãn những tiên đề sau:
Độ đo cộng tính yếu
P(A) = 1−b(A),∀A ∈ β, ở đây b là hàm tin cậy. Độ đo đồng dạng thỏa mãn những tiên đề sau:
P(Ai ∪ Aj) + ã ã ã + (−1) n+1 P(A1∪A2∪ ã ã ã ∪An) Định nghĩa 2.2.9 Độ đo khả năng là hàm Π : β → [0,1], thỏa những tiên đề sau:
Mối quan hệ giữa những độ đo trên được minh họa bằng hình sau:
1 Độ đo mờ (không có độ đo Dirak).
6 Hàm tin cậy thỏa thuận được.
Độ đo mờ tham số
Khái niệm độ đo mờ λ - Sugeno
Sugeno đưa ra lý thuyết tích phân mờ và khái niệm độ đo mờ Ngoài ra, ông còn đưa ra độ đo mờ λ như trường hợp riêng của độ đo mờ và cách áp dụng nó so với những độ đo mờ khác Độ đo mờ λ cho phép biểu diễn tự nhiên hơn.
Xét trường hợp khi X = {x1, x2, , xn} là tập hữu hạn Độ đo mờ gλ thỏa (2.1) với tham số định mức −1 < λ < ∞ của đại số tất cả những tập con (X,2 X ) được xây dựng như sau:
Cho 0 ≤ g i ≤ 1,1 ≤ i ≤ n, ở đây g i ≡ g({xi}) với điều kiện giá trị g i (i= 1 n) được xác định với mọi tập con X 0 ⊂ X có thể nhận được độ đo thỏa quy tắc λ gλ(X 0 ) = 1 λ n Y x i ∈X 0
Vì vậy giá trị g i được gọi là mật độ mờ của độ đo mờ λ - Sugeno Tham số định mức λ được tìm như sau:
Chú ý 1 Ta sẽ chứng minh: −1≤ λ < ∞ Vì 1 = gλ(X) = gλ(A∪A) = gλ(A) + gλ(A) + λgλ(A)gλ(A) nên gλ(A) = 1−gλ(A)
1 +λ.gλ(A) ≥ 0 Rõ ràng ∀A ∈ β,1 + λ.gλ(A)> 0 Suy ra λ >sup
2 Biểu thức (2.2) được chứng minh bằng phép quy nạp.
Giả sử (2.2) đúng với {X = x1, x2, xk} Ta chứng minh nó đúng với
Phương trình (2.3) khi biết g i là đa thức bậc n−1 phụ thuộc biên của λ. Để tìm nghiệm của đa thức này ta sử dụng định lý sau: Định lý 2.3.1 Phương trình (2.3) với điều kiện 0 < g 1trong khoảng λ ∈(−1,+∞) luôn có một nghiệm.
Chứng minh Để chứng minh định lý này, ta cần chứng minh hàm f(λ) = 1 λ[ n
(1 +λg i )−1] với những điều kiện của định lý thỏa những tính chất sau:
3)f 0 (λ)> 0 có nghĩa là hàm số tăng nghiêm ngặt.
Bây giờ ta sẽ chứng minh hàm f thỏa những tính chất trên :
Trường hợp 2: λ < 0 ta chứng minh bằng quy nạp.
Giả sử khẳng định đúng với n= k, có nghĩa là f 0 (λ)| n=k = [λg 1 (1 +λg 2 ) .(1 +λg k )
Ta chứng minh khẳng định đúng với n= k+ 1 f 0 (λ)|n=k+1 = [λg 1 (1 +λg 2 ) .(1 +λg k+1 )+
+g 2 g n +g 3 g 4 +g 3 g 5 +ã ã ã+g 3 g n +ã ã ã+g n−1 g n > 0. Định lý đã được chứng minh.
Xét trường hợp X = R- trục số thực Cho b là σ- đại số trong R Khi đó độ đo xác suất P là ánh xạ P : β → (0,1), P(A) ≡ R
A pdx, ở đây giá trị P(A) là xác suất để W ∈A(W- biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong R).
Tương tự có thể xét một số dạng hàm mật độ đối với không gian của độ đo mờ λ (R, β, gλ) Cho h là ánh xạ từ R vào R + và
Khi đó độ đo mờ λ g λ : β →[0,1] xác định bởi gλ(A) = (e λ R
Biểu thức (2.4) có thể biểu diễn dưới dạng khác: g λ (A) = ((1 +λ) p −1) hoặc gλ(A) pN λ
Xét hàm F-phân bố, cho X = Rvà hàm H(z) z
−∞ p(x)dx có tính chất của hàm phân bố xác suất:
Từ đó, để có được mối liên hệ giữa hàm F-mật độ và hàm F-phân bố thì hàm F-phân bố có dạng
−∞ h(x)dx, và tính chất 4) cần thay bằng tính chất 4a) lim x→∞H λ (x) =ln(1 +λ)/λ.
Như vậy độ đo mờ λ được cho bởi công thức ∀(a, b] ⊂ Rgλ((a, b)) 1/λ{eλ(H(b)−H(a)−1}. Định lý 2.3.2 Độ đo mờ λ-Sugeno đối với trường hợp X = R có thể được biểu diễn dưới dạng như trong trường hợp X là tập hữu hạn.
Chứng minhCho Ei ≡ (ai, bi], i ≡ 1, , n và Ei ≡ (an;bn] là những tập con đôi một không giao nhau của R và cho gi ≡ gλ(Ei) = 1 λ e λ R
(1 +λgi)−1} khi a1 =−∞, b i = ai+1,(i= 1, , n−1), bn = +∞ ta được gλ(R) = 1. Định lý được chứng minh
Khái Niệm Độ Đo Mờ v-Sukamoto
Định nghĩa 2.3.1 Độ đo mờ gv được gọi là độ đo mờ v-Sukamoto nếu nó thỏa mãn những tiên đề sau
3)nếu ∀i∈ N : A i ∈ B,và∀i6= j : A i ∩A j = 0 thì gv(∪ i∈N Ai) = (1−v) sup i∈N gv(Ai) +v P i∈N gv(Ai), v ≤ 0.
Độ đo khả năng và độ đo xác suất được biểu diễn tương ứng bởi gv khi v = 0 và v = 1 Đối với trường hợp X là tập đếm được, điều kiện định mức của gv được biểu diễn thành công thức: gv(X) = (1−v) max i∈N gi +v P i∈N gi = 1, trong đó gi =gv ({xi}), xi ∈ X.
Nếu X =R và fv(x) : X → [0,1] là một độ đo mờ thì độ đo gv(X) = (1−v) sup i∈N
X fv(x)dx Định lý 2.3.3 gv(A)
max(1−g v (A) v ,1−vgv(A)), v > 1 min(1−gv(A) v ,1−vg v (A)), v ∈[0,1]
Chứng minh Sử dụng tính chất sau
∀a, b∈ R: max{a, b}= |a+b|/2 +|a−b|/2 và điều kiện định mức của độ đo g v ta được 1 = g v (X) = (1 − v)(|g v (A)− gv(A)|/2 +
+|gv(A) +gv(A)|/2 +v(gv(A) +gv(A)) Khi đó, nếu gv(A)≤ gv(A)thì gv(A) (1−g v (A))/v Còn khi g v (A)> g v (A)/g(A) = 1−vg ( A) Bổ đề đã được chứng minh
Khái niệm độ đo mờ λ và độ đo mờ v có ưu điểm sau:
1 Có thể đưa vào khái niệm cơ bản của lý thuyết độ đo để giải quyết những vấn đề toán ứng dụng khi đánh giá và lựa chọn trong điều kiện không rõ ràng, có những tính chất phi xác suất.
2.Cho phép giải bài toán chọn lựa, liên quan đến việc sử dụng đánh giá sự kiện theo ý kiến của con người mà việc tính toán những yếu tố khác nhau thường không thỏa mãn tính cộng tính.
Quan trọng là bài toán đánh giá hiện tượng có tính nhất quán, ngẫu nhiên thì bằng khái niệm xác suất không giải được.
Tích Phân Mờ
Các khái niệm thống kê và xác suất dựa trên tính cộng tính xác suất Trong khi đó, độ đo mờ dựa trên một lớp độ đo rộng hơn Đoạn giới thiệu này định nghĩa tích phân mờ của hàm h trên tập con A theo độ đo mờ.
(α∧g(A∩Hα)) Ở đây Hα ={x|h(x)≥ α} Tích phân mờ còn gọi là FEV (fuzzy expected value) Định nghĩa 2.4.2 Tích phân mờ của hàm h : X → [0,1] trên tập mờ A {x, à A (x)} theo độ đo g được xỏc định như sau:
Tính chất cơ bản của tích phân mờ Cho a ∈[0,1],(E, F ⊆ X), h: X →[0,1].
Có thể chứng minh rằng khái niệm tích phân mờ giống như khái niệm tích phân Lebesgue Xét sự phân chia tập hợp X thành những tập hợp không giao nhau:
Hình 2.3: Xây dựng hàm bậc thang.
P i=1 α i f E i (x) là hàm đơn điệu tăng (h : X → [0,1]), ở đây α i ∈ [0,1], Ei ⊂ X, fE i- hàm đặc trưng của tập hợp Ei, có nghĩa là fE i(x) = 1 nếu x ∈ Ei, fE i (x) = 0, x /∈ Ei Tích phân Lesbegue của hàm h theo tập hợp A được xác định như sau: x∈ Ei, fE i(x) = 0, x /∈ Ei, ở đây i ∈ I = {1,2,3, , n};α1 ≤ α2 ≤ α3 ≤ αn Xét tập hợp Fi E i ∪E i+1 ∪ ã ã ã ∪E n , i = 1,2, , n
Khi đó h(x) = max i=1,n min(αi, fF i(x)) và ta được biểu thức giống như định nghĩa tích phân thông thường đối với tích phân mờ
Tích phân Lebesgue và tích phân mờ có thể so sánh được bằng cách sử dụng độ đo mờ Trong không gian xác suất X, B, P, hàm h: X → [0,1] là hàm đo được thì tích phân Lebesgue của h được định nghĩa là kỳ vọng của h theo độ đo P Tương tự, tích phân mờ của h được định nghĩa là kỳ vọng của h theo độ đo mờ Do đó, tích phân Lebesgue và tích phân mờ có thể được so sánh khi độ đo mờ được sử dụng.
≤ 1 4. Ta có thể tính tích phân mờ trong trường hợp tập X hữu hạn và số α hữu hạn để tính g(H α ). Định lý 2.4.1 Nếu hàm h(x) nhận (n+ 1) giá trị αi thì tập hợp giá trị tương ứng g(Hα i ) khác 0 và 1 gồm n phần tử từ dãy (2n+1 ) phần tử được tạo thành những phần tử {α i } và {g(H α i )} sắp theo thứ tự tăng dần.
Trên hình (2.3) đưa ra ví dụ tính giá trị tích phân mờ đối với X =R
Xét ví dụ tính tích phân mờ đối với trường hợp tập hữu hạn với độ đo gλ và gv.
Ví dụ 2.4.1 Cho tập hợp gồm năm phần tử X = {xi}, i ∈ {1,2,3,4,5} Mỗi phần tử xi ∈Xtương ứng với giá trị mật độ mờ từ bảng sau: i 1 2 3 4 5 gi 0,170 0,257 0,216 0,212 0,061 h(xi) 0,5 0,7 0,1 0,2 0,3
Theo điều kiện định mức đối với độ đo gλ ta được λ= 0,25 Giá trị của tích phân mờ
S nhận giá trị là 0,4379 Đối với độ đo gv từ điều kiện định mức ta được v = 1− ∨ 5 i=1 g i P5 i=1g i − ∨ 5 i=1 g i = 1,127
Lúc này giá trị của tích phân mờ đối với độ đo g v là S = 0,448
Ví dụ sử dụng độ đo mờ và tích phân trong quá trình đưa ra kết luận
Xét một bộ điều khiển gồm bốn loại w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , số phương tiện trao đổi thông tin là 10 Số phương tiện trao đổi thông tin và mức độ trao đổi thông tin của mỗi loại được cho trong bảng sau:
Loại phương tiện ω1 ω2 ω3 ω4 sử dụng phương tiện 2 4 2 2 mức độ trao đổi thông tin (h(w)) 0,2 0,25 0,3 0,99
Xác định giá trị ảnh hưởng trung bình và sự chờ đợi mờ của mức độ trao đổi thông tin Độ đo mờ xác định mức độ quan trọng g(w1) = 0,2, g(w2) 0,4, g(w 3 ) = 0,2, g(w 4 ) = 0,2
Giá trị trung bình của mức độ ảnh hưởng được tính theo công thức
Tính giá trị trung bình mờ F EV(h) h(w1) = α1 = 0,2;g(Hα 1 ) = g({ω1, ω2, ω3, ω4}) = 1; h(w2) = α2 = 0,25;g(Hα 2) =g({ω2, ω3, ω4}) = 0,4 + 0,2 + 0,2 = 0,8 h(w 3 ) = α 3 = 0,3;g(H α 3 ) = g({ω 3 , ω 4 }) = 0,2 + 0,2 = 0,4; h(w4) = α4 = 0,99;g(Hα 4 ) =g({ω4}) = 0,2.
Tính chất đặc trưng và vấn đề của bài toán liên quan đến việc giải bài toán tối ưu đa mục tiêu, không mang tính chất tính toán mà có tính chất khái niệm, vì không thể chứng minh bằng toán học, rằng việc chọn lựa từ những phương án mà không có phương án nào tốt nhất theo tất cả những chỉ số đưa ra, là tốt nhất.
Việc xây dựng tập hợp Pareto không làm giảm đi tính không rõ ràng đa mục tiêu, mà là bước đầu tiên trên con đường vượt qua vấn đề này Để giải quyết đúng bài toán tìm phương án tốt nhất cần phải có thông tin bổ sung từ người đưa ra sự lựa chọn, trên cơ sở đó mà hình thành những mối quan hệ giữa các chỉ số lựa chọn.
Trong trường hợp thông tin mơ hồ và quá trình phân tích phức tạp, ta cần xây dựng một chỉ số ảnh hưởng tổng quát để đánh giá các phương án triển khai Lý thuyết khả năng có thể dựa trên tập mờ cho phép định lượng sự mơ hồ, mô phỏng tốt những bài toán đa mục tiêu có thông tin không rõ ràng, giúp đưa ra được kết quả khách quan, chính xác hơn.
Chỉ số ảnh hưởng tổng quát F phụ thuộc vào các chỉ số ảnh hưởng riêng lẻ Fi (i = 1,2, , n) để đánh giá các phương án W hữu hạn Hệ số tầm quan trọng gi (0 < gi < 1) biểu thị mức quan trọng của từng chỉ số ảnh hưởng riêng lẻ khi xây dựng chỉ số tổng quát Độ đo mờ λ-Sugeno trên tập chỉ số riêng hữu hạn Fi (i ∈ M) được sử dụng để tính toán ảnh hưởng của các chỉ số F khác nhau đối với từng phương án trong tập hợp W, với gi là mật độ phân bố của độ đo mờ này.
Giá trị λ được tìm từ điều kiện định mức độ đo mờ λ−Sugeno. hY n i=1
Chỉ số ảnh hưởng tổng quát được xây dựng dựa trên khái niệm tích phân mờ theo độ đo mờ λ-Sugeno, cho phép tính linh hoạt mức độ ảnh hưởng của các chỉ số riêng rẽ phi tuyến tính Công thức tính chỉ số tổng quát Z h ◦ Gλ là phép lấy giá trị lớn nhất α trong khoảng [0,1] của giá trị nhỏ nhất giữa α và giá trị hàm đánh giá Gλ(Fα(w)) Trong đó Fα(w) là tập hợp các chỉ số có mức độ ảnh hưởng đến đánh giá w vượt quá ngưỡng α và h là hàm đánh giá dựa trên các chỉ số ảnh hưởng riêng xác định từ các tập mờ Fi(w) (i = 1,2, , n; w ∈ W) nằm trong đoạn [0,1].
, ở đây K i = max w∈W max à(f i (w))(f i )>0{f i } Xét trường hơp riêng một hướng giải quyết vấn đề đa mục tiêu không xác định được Giả sử những chỉ số ảnh hưởng riêng của tập hợp F = {Fi, i 1,2, , n} nhận những giá trị rõ ràng, có nghĩa là Fi : W → [0,∞), i 1,2, , n, ở đây W = {wj, j = 1,2, , m}
Trong những điều kiện này của phương pháp xây dựng chỉ số ảnh hưởng tổng quáte(wj)đối với từng phương án wj, việc lựa chọn từ những phương án đã cho phương án thích hợp nhất gồm những bước sau:
Bước 1 Xây dựng hàm đánh giá h : F ×W → [0,1] bằng quá trình định mức những chỉ số riêng Fi, i = 1,2, , n.
Bước 2 Thăm dò ý kiến để tìm hệ số mức quan trọng của từng chỉ số ảnh hưởng riêng lẻ g i (i= 1, , n)(0 < g i < 1)
Bước 3 Xây dựng độ đo mờ λ−Sugeno, đặc trưng cho tính quan trong của những tập hợp những chỉ số khác nhau từ tập hợp F khi đưa ra quyết định Để làm điều này cần phải tìm nghiệm từ khoảng (−1,∞) của đa thức bậc n−1 sau đây hY n i=1
Bước 4 Tính giá trị của chỉ số ảnh hưởng kết quả trên cơ sở vòng lặp mờ những chỉ số riêng e(wj) Z h◦Gλ = sup α∈[0,1] min{α, Gλ(Fα(wj))}, ở đây
Bước 5 Tìm phương án wj0 ∈ W mang đến cho chỉ số tổng quát giá trị lớn nhất: e(wj0) = max w j ∈We(wj). Áp dụng thuật toán nêu trên để chọn ra phương án thích hợp từ tập hợp 3 phương án W = {w 1 , w 2 , w 3 } theo 3 chỉ số ảnh hưởng F = {F 1 , F 2 , F 3 } Giá trị được ghi ra bảng sau:
1 Xây dựng độ đo mờ λ−Sugeno Tính hệ số định mức λ.
Những tham số λ phải thỏa điều kiện −1< λ < ∞
2 Tính chỉ số tổng quát đối với phương án w1 : tính những mức độ αi và giá trị quan trọng của tập những chỉ số, thỏa mãn điều kiệnα i G λ (F αi (w 1 )) đối với phương án w1 : α1 = 1/7, Fα 1 (w1) = {F1;F2;F3} ⇒Gλ(Fα 1 (w1)) = 1
Xác định giá trị lớn nhất từ những giá trị nhỏ nhất:e(w1) = max{ 1 7 , 1 3 ,0} = 1 3 − giá trị của chỉ số tổng quát đối với phương án w1.
3 Tính chỉ số tổng quát đối với phương án w 2 : α1 = 1/6, Fα 1(w2) = {F1;F2;F3} ⇒Gλ(Fα 1(w1)) = 1
⇒ min{α4, Gλ(Fα 4 (w2))} = 0. e(w 2 ) = max{ 1 6 , 2 7 ,0,2,0}= 2 7 − giá trị của chỉ số tổng quát đối với phương án w2.
4 Tính chỉ số tổng quát đối với phương án w3 : α 1 = 2/9, F α 1 (w 3 ) = {F 1 ;F 2 ;F 3 } ⇒G λ (F α 1 (w 1 )) = 1
⇒ min{α 4 , Gλ(Fα 4(w3))} = 0. e(w 3 ) = max{ 2 9 , 1 2 ,0,4,0}= 1 2 − giá trị của chỉ số tổng quát đối với phương án w3.
5 Chọn lựa phương án tốt nhất wj0 ∈ W Chọn lựa phương án, sao cho nó mang đến cho chỉ số tổng quát giá trị tốt nhất e(wj 0) = e(w3) = arg max w j ∈We(wj).
Như vậy, phương án chọn lựa tốt nhất là phương án thứ ba.
Ví dụ 3.1.2 Ứng dụng tích phân mờ trong đánh giá học sinh trường Trung học
Người quản lý của một trường trung học phải định giá các học sinh của trường theo trình độ của chúng theo môn toán, môn lý và môn văn Do trường trung học này, định hướng có tính khoa học hơn tính văn học, tầm quan trọng lớn hơn được quy cho môn toán và môn lý, nhưng cặp môn toán lý coi như có tầm quan trọng ngang nhau Do vậy, người quản lý quyết định đặt một hệ số 3 cho môn toán, 3 cho môn lý và 2 cho môn văn Tính toán ước lượng trung bình của các học sinh bằng cách sử dụng một trung bình có trọng số đơn, người quản lý xem xét ba học sinh sau đây (các tiêu chuẩn được cho theo một thang tỷ lệ từ 0 tới 20).
Học sinh Toán Vật lý Văn học Trung bình theo trọng số
Theo người quản lý, học sinh C được đánh giá là giỏi đều các môn tự nhiên và văn, phù hợp hơn với vị trí hiện tại so với học sinh A Mặc dù học sinh A xuất sắc ở môn toán và lý, nhưng lại kém môn văn.
Sau đó, người quản lý cố gắng thay đổi các trọng số trên các môn học, nhưng không thành công: cho trọng số giống nhau trên cả ba môn học dẫn đến định giá giống nhau đối với A và C (điều này vẫn không thỏa mãn), và người quản lý không thể đặt trên môn văn một trọng số lớn hơn các môn tự nhiên, cho nên anh ta không có giải pháp Làm thế nào ta có thể giúp đỡ người quản lý? Đơn giản bằng tích phân mờ Thực tế, người quản lý nghĩ rằng:
1 Các môn tự nhiên (toán, lý) quan trọng hơn.
Hướng phát triển
- Nghiên cứu các phương pháp khác áp dụng cho bài toán ra quyết định.
[1] Shafer G.A, Mathematica Theory of Evidence-Princeton: Princeton Univ.
[2] Michel Grabisch, and Marc Rouben, Application of the Schoquet intergral in multicriterio decision making
[3] M Grabisch, Fuzzy intergral in multicriterio decision making Fuzzy set and systems, 1995
[4] M Sugeno and S.H Kwon, A clusterwise regression-type model for sub- jective evaluation J of Japan Society for Fuzzy Theory and Systems, 7(2):291–310,1995
[5] M Sugeno and S.H Kwon, A new approach to time series modeling with fuzzy measures and the Choquet integral In Int Joint Conf of the 4th IEEE Int Conf on Fuzzy Systems and the 2nd Int Fuzzy Engineering Symp, pages 799–804, Yokohama, Japan, March 1995.
[6] J.M Keller, P.D Gader, and A.K Hocaog lu, Fuzzy integrals in image processing and recognition In M Grabisch, T Murofushi, and M Sugeno, edi-tors, Fuzzy Measures and Integrals — Theory and Applications, pages 435–466.Physica Verlag, 2000.
[7] M Grabisch and M Sugeno, Fuzzy integral with respect to dual mea- sures ands application to multi-attribute pattern recognition In 6th FuzzySystems Symposium, pages 205–209, Tokyo, Japan, September 1990 in japanese.
SỬ DỤNG MATLAB CÀI ĐẶT THUẬT TOÁN
%tich phan Sugeno clear all clc syms x dauvao f=1; for i=1:m f=f*(1+x*g(i)); end f=(f-1)/x-1; f=simplify(f); lamda=solve(f); lamda=double(lamda);
%lamda=round(lamda*100)/100; solamda=sum(lamda>-1) for k=length(lamda):-1:1 if lamda(k)B(j,2) y=B(i,:);
B(j,:)=y; end end end G=hamg(B,lamda); gtcstq(l)=max(G); end gtcstq; bar(gtcstq) axis([0.5 n+0.5 0 1]) [y,t]=sort(gtcstq,'descend');
G=[[1:n];gtcstq]; kq=G(:,t) function y=hamg(B,lamd) y(1)=min(1,B(1,2));
B(1,:)=[]; m=size(B,1); k=2; while m>0 y(k)=1; for i=1:m y(k)=y(k)*(1+lamd*B(i,1)); end y(k)=(y(k)-1)/lamd; y(k)=min(y(k),B(1,2)); y(k)=double(y(k)); n=sum(B(:,2)==B(1,2));
%dau vao tich phan Sugeno
%n=3; so doi tuong g=[0.45;0.45;0.3];% mat do mo
