TÊN ĐỀ TÀI: Ứng dụng phương trình tích phân Volterra vào việc phân tích Composite Dầm Thép- Bê Tông NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: Dựa trên phương trình tích phân Volterra loại hai tuyến tính để x
Một định lý tồn tại gắn với phương trình vi phân thường
Chúng ta sẽ xem xét lại phương trình (1.1) và chứng minh một định lý tồn tại mà đã khái quát hóa định lý tồn tại của Peano cho phương trình vi phân thường Định lý 1.2
Với các giả thiết sau:
(H1) t 0 là hằng số tùy ý và a b, là các hằng số dương cho trước;
(H2) f t( ) là một hàm số thực liên tục trên đoạn [ ,t t 0 0 +a a], >0;
(H3) k t s x( , , ) là một hàm liên tục trên:
Khi đó tồn tại ít nhất một nghiệm liên tục của phương trình (1.1), được xác định trên
Xét dãy số các hàm liên tục trên đoạn [ t t 0 , 0 +δ]như sau:
Các công thức này nên được hiểu như sau: công thức đầu tiên trong (1.14) xác định ( )x t n trên t t 0 , 0 n
⎣ ⎦ Từ công thức thứ hai trong (1.14), chúng ta nhận được:
Bước kế tiếp sẽ cho ( )x t n trên [t 0 +(2 / ),δ n t 0 +(3 / )],δ n … Định nghĩa này của ( )x t n có ý nghĩa, bởi vì
Dễ dàng thấy rằng tất cả các ( )x t n là liên tục trên [ ,t t 0 0 +δ] và từ (1.15) suy ra rằng chúng bị chặn đều trên khoảng này Cuối cùng, theo bất đẳng thức dưới đây
( ) ( ) ( ) ( ) n n x t −x s ≤ f t − f s +M t s− , với mọi n≥1 và t s, ∈[ ,t t 0 0 +δ], dãy { } x n là dãy liên tục đồng bậc
Do đó, áp dụng bổ đề Ascoli-Arzelà, ta thu được một dãy con { ( )} n k x t hội tụ đều về x t ( ) trên [ t t 0, 0+δ] Thay n bằng k rồi cho k tiến tới vô cùng trong phương trình thứ hai của (1.14), ta được:
, , t t x t = f t +∫ kt s x s ds Ở đây x t ( )=lim x nk ( ) t , khi k→ ∞ Vậy định lý 1.2 đã được chứng minh hoàn toàn
Chứng minh của định lý 1.2 là một hình thức chứng minh của định lý Peano(tham khảo trang 39 của [12]) về sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân thường Định lý này phát biểu như sau:
Với f là hàm liên tục trên D t t: − ≤ 0 a x x, − 0 ≤b
Khi đó tồn tại ít nhất lời giải của bài toán ( ) ( )
Phương trình Volterra loại 2 tuyến tính
Như đã đề cập, phương trình Volterra loại hai tuyến tính có dạng:
( ) ( ) ( , ) ( ) , [ , ], t t x t = f t +∫ k t s x s ds t∈ t t +a (1.16) ở đây ( )f t và ( , )k t s là các hàm số liên tục trên [ ,t t 0 0 +a] và t 0 ≤ ≤ ≤ +s t t 0 a,tương ứng Áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp (xem định lý 1.1), ta xây dựng dãy sau:
Từ công thức chung của dãy quy nạp,
Sử dụng (1.18) , chúng ta nhận được x t 2 ( ) theo dạng đề cập trước đó Lập luận tương tự sẽ cho thấy rằng ( )x t n có dạng được đưa ra ở (1.17)
Chúng ta cũng có thể viết
Bây giờ, chúng ta chứng minh rằng chuỗi
∑ = (1.20) hội tụ đều trên t 0 ≤ ≤ ≤ +s t t 0 a Lấy K >0 sao cho k t s( , ) ≤K t, 0 ≤ ≤ ≤ +s t t 0 a Từ (1.18), cho n=2, chúng ta có được
Và lại sử dụng (1.18), chúng ta sẽ có
−Những đánh giá trên chứng minh (1.20) hội tụ đều trên t 0 ≤ ≤ ≤ +s t t 0 a Gọi k t s%( , ) là tổng của chuỗi (1.20), qua giới hạn (1.19) ta có
Công thức này cho nghiệm của (1.16) và cho thấy rằng k s t%( , ) thỏa mãn để biểu thị nghiệm với mọi hàm ( )f t liên tục
Thông thường, ( , )k t s được gọi là nhân (kernel) của phương trình (1.16) Hàm k s t%( , )mà chúng ta đã xây dựng được gọi là nhân resolvent cho phương trình (1.16) Rõ ràng
%( , ) k s t là một hàm liên tục trên t 0 ≤ ≤ ≤ +s t t 0 a Do đó, xây dựng của nhân resolvent cho phép biểu diễn dạng tích phân của nghiệm với ( )f t tùy ý Phương trình (1.21) có ý nghĩa cho từng phần ( )f t liên tục từng khúc hay ngay cả những hàm tổng quát hơn
= +∑ và (1.18), chúng ta suy ra:
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) t t k t s =k t s +∫ k t u k u s du (1.22) Đó là phương trình tích phân cho các nhân resolvent.
TÌM HIỂU VỀ VẬT LIỆU COMPOSITE DẦM THÉP- BÊ TÔNG 2.1 Khái niệm
Lịch sử hình thành và phát triển
Vật liệu composite đã xuất hiện từ rất lâu trong cuộc sống, khoảng 5000 năm trước Công Nguyên người cổ đại đã biết vận dụng vật liệu composite vào cuộc sống( ví dụ sử dụng bột đá trộn với đất sét để đảm bảo sự dãn nở trong quá trình nung đồ gốm) Người Ai cập đã biết vận dụng vật liệu composite từ khoảng 3000 năm trước Công Nguyên, sản phẩm điển hình là vỏ thuyền làm bằng lau, sậy tẩm pitum về sau này các thuyền đan bằng tre trát mùn cưa và nhựa thông hay các vách tường đan tre trát bùn với rơm, rạ là những sản phẩm composite được áp dụng rỗng rãi trong đời sống xã hội Sự phát triển của vật liệu composite đã được khẳng định và mang tính đột biến vào những năm 1930 khi mà Stayer và Thomat đã nghiên cứu, ứng dụng thành công sợi thủy tinh; Fillis và Foster dùng gia cường cho polyester không no và giải pháp này đã được áp dụng rộng rãi trong ngành công nghiệp chế tạo máy bay, tàu chiến phục vụ cho đại chiến thế giới lần thứ hai Năm 1950 bước đột phá quan trọng trong ngành vật liệu Composite đó là sự xuất hiện nhựa Epoxy và các sợi gia cường như Polyeste, nylon…Từ năm 1970 đến nay vật liệu Composite nền dẻo đã được đưa vào sử dụng rỗng rãi trong các ngành công nghiệp và dân dụng, y tế, thể thao, quân sự…Hiện nay, vật liệu composite đã được ứng dụng rỗng rãi trong nhiều lĩnh vực Việc sử dụng các tấm composite làm vật liệu xây dựng, vật liệu phục chế, gia cố các kết cấu công trình bằng gạch, đá và bê tông đã trở nên phổ biến.
Ưu điểm và khuyết điểm của Composite dầm thép- bê tông
Dầm thép- bê tông hiện nay là vật liệu xây dựng được sử dụng rộng rãi vì có các ưu điểm sau:
• Rẻ tiền so với thép khi chúng cùng chịu tải trọng như nhau
• Có khả năng chịu lực lớn so với gạch, đá và gỗ, có thể chịu được tải trọng động lực và lực động đất
• Bền vững, dễ bảo dưỡng, sửa chữa ít tốn kém so với thép và gỗ
• Chịu lửa tốt hơn so với thép và gỗ
• Có thể đúc thành kết cấu có hình dạng bất kỳ theo các yêu cầu về cấu tạo, về sử dụng cũng như về kiến trúc
Tuy nhiên dầm thép- bê tông cũng tồn tại một số nhược điểm sau:
• Trọng lượng bản thân khá lớn, do đó khó làm được kết cấu nhịp lớn Nhưng nhược điểm này gần đây được khắc phục bằng cách dung bê tông nhẹ, bê tông cốt thép ứng lực trước và kết cấu vỏ mỏng…
• Dưới tác dụng của tải trọng, bê tông dễ phát sinh khe nứt làm mất thẩm mỹ và gây thấm cho công trình
• Thi công phức tạp, tốn nhiều cốp pha khi thi công toàn khối.
ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA VÀO VIỆC PHÂN TÍCH COMPOSITE DẦM THÉP- BÊ TÔNG 3.1 Một số kí hiệu dùng trong chương 3
Phương trình cơ bản để xác định hệ số từ biến
Hàm từ biến được xác định bởi mô hình Code CEB 1990( ‘CEB-FIP’ 1991), được xác định như là biến dạng tại thời điểm t do một đơn vị ứng suất liên tục từ τ đến t, được cho bởi mối liên hệ sau:
= +φ với φ( , )t t 0 là hệ số từ biến liên quan đến biến dạng đàn hồi ở 28 ngày; E t c ( ) 0 và E c 28 - mô đun đàn hồi ở tuổi t0 và 28 ngày tương ứng
Hệ số từ biến được đánh giá theo công thức sau:
RH φ = + − h φ RH là hệ số để giúp cho tác động của độ ẩm tương đối vào hệ số từ biến danh nghĩa RH là độ ẩm tương đối trong môi trường xung quanh %
⎝ ⎠ là hệ số để cho phép tác động của bê tông trên hệ số từ biến
( ) 1 0.1 ( ) t t β + là hệ số để cho phép tác động của tuổi bê tông ở tải vào các hệ số từ biến danh nghĩa (cho quá trình liên tục)
= τ + là hàm của sự ngưng kết, tùy thuộc vào độ tuổi của bê tông và đặc điểm của quá trình ngưng kết
− = ⎢⎣ + − ⎥⎦ là một hàm để mô tả sự phát triển của từ biến với thời gian sau khi tải
H h β = ⎡⎢⎢⎣ +⎛⎜⎝ RH ⎞⎟⎠ ⎤⎥⎥⎦ + ≤ là hệ số phụ thuộc vào độ ẩm tương đối (RH%) và thành phần kích thước danh nghĩa (h 0 tính bằng mm) f cm - Cường độ nén trung bình của bê tông ở tuổi 28 ngày (megapascals); và
0 2 c / h = A u- thành phần kích thước danh nghĩa (millimeters) ( A c - mặt cắt ngang; và u – thành phần chu vi tiếp xúc với không khí )
Mô đun liên tục Young được cho bởi:
( , )t t 0 φ ∞ là hệ số từ biến cuối cùng của bê tông.
Giả định cơ bản và mối liên hệ cấu thành vật liệu
Các giả thuyết trong phân tích đàn hồi của phần hỗn hợp thép- bê tông rắn chắc được giả định như sau: a) Liên quan đến mặt cắt biến dạng Bernoulli b) Không tách theo chiều dọc giữa các bộ phận c) Hệ thống liên hệ được phân bố dọc theo trục của dầm d).Các mặt cắt ngang được tự do biến dạng e) Bê tông không bị nứt f) Để phân tích tải tại các mặt cắt ngang các ứng suất là nhỏ, trạng thái đàn hồi tuyến tính có thể được giả định cho dầm thép, hay nói cách khác định luật Hooke áp dụng đối với thép cũng như bê tông theo tải trọng trong thời gian ngắn g) Hơn nữa, đối với phần bê tông nếu sự phụ thuộc của biến dạng, và ứng suất của hàm lượng nước và nhiệt độ không đáng kể, với việc loại trừ đảo chiều dòng lớn, và trong điều kiện môi trường bình thường, biến dạng có thể được coi là một hàm tuyến tính của trước quá trình ứng suất riêng Trong đó nói rằng phản ứng ứng suất do gia tăng ứng suất tác động tại thời điểm khác nhau có thể được thêm vào h) Trong phạm vi tải trọng cụ thể tác động theo một mức cho phép Trên cơ sở giả định nhằm mục đích phân tích cấu trúc tổng ứng suất cho bê tông chịu tải ban đầu tại thời điểm t 0 với một ứng suất σ( )t 0 và bị biến ứng suất tiếp theo Δσ( )t i tại thời điểm t i có thể được thể hiện như sau:
Trong đó t là thời gian từ đúc bê tông; ε tot ( , )t t 0 _ tổng biến dạng trục; ε sh ( , )t t 0 - biến dạng do co ngót Khi đó, trạng thái ứng suất biến dạng của bê tông đã được mô tả bởi phương trình tích phân (0.3), được cho bởi Bolztmann-Volterra [6, 7]:
Hoặc theo ENV 1992/01/01 chúng ta có:
RH f cm t φ β β τ β −τ thì được gọi là hàm từ biến và ϕ n là hệ số từ biến cuối cùng, ( )β t phụ thuộc vào sự gia tăng tuổi của bê tông Nó được gọi là hàm lão hóa và nó đặc trưng cho quá trình lão hóa Sự gia tăng của τlàm cho ( )β τ giảm đều Hàm β c (t−τ)(trong đó t là khoảng thời gian trong suốt quá trình quan sát, τlà thời gian thay đổi) – đặc trưng cho quá trình từ biến Định luật cơ bản được thể hiện ở (0.3) đại diện cho mối quan hệ ứng suất- biến dạng- thời gian cho sàn bê tông i) Các mô đun đàn hồi bê tông là bất biến theo thời gian t
Và phụ thuộc vào thời gian t
Phương trình cơ bản của trạng thái cân bằng
Chúng ta hãy biểu thị cả lực cắt và moment uốn trong mặt cắt ngang của tấm và dầm sau khi tải trong thời gian t =0 với N c ,0 ,M c ,0 , N a ,0 , M a ,0 và với N c r , ( )t , M c r , ( )t ,
N t M t là một nhóm mới của lực dọc và moment uốn phát sinh do từ biến và co ngót của bê tông
Theo đề nghị của Sonntag, chúng ta có thể viết các điều kiện cân bằng trong thời gian t như sau:
∑ (3.4) Đây là điều cần thiết để đưa ra hai phương trình bổ sung cho việc tương thích sự biến dạng của cả dầm thép và bê tông trong thời gian t ( Hình 1).
Dẫn xuất của mô hình cơ học toán học tổng quát
3.5.1 Tính tương thích biến dạng trên các bề mặt tiếp xúc giữa thành phần bê tông và thép của dầm composite
Và tích phân từng phần phương trình (3.5) chúng ta nhận được:
Từ (0) 0β = và N c r , ( ) 0t 0 = cho ước lượng của lực dọc N c r , ( )t , phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai được suy ra:
3.5.2 Tính tương thích của độ cong khi τ=t
Sau khi lấy tích phân phương trình (3.9) và sử dụng phương trình (3.4) để tính moment uốn M c r , ( )t , phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai được suy ra:
Từ (0) 0φ c = và N t c ( ) 0 0 = ta tính được lực dọc N c r , ( )t (phương trình (3.7)), từ đó ta tính được moment uốn M c r , ( )t , phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai được suy ra:
Trong mỗi phương trình các hàm được cho trước là
3.5.3 Phương trình cơ bản cho mô đun đàn hồi liên tục của bê tông Đối với mô đun đàn hồi liên tục của tính tương thích dòng bê tông trên bề mặt tiếp xúc giữa dòng bê tông và thép thành phần của dầm composite là:
Và khả năng tương thích của độ cong khi t =τ là:
Sau khi lấy tích phân từng phần hai phương trình trên và sử dụng (3.3) và (3.4) để tính lực dọc N c r , ( )t và moment uốn M c r , ( )t , hai phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai được suy ra:
Trong mỗi phương trình những hàm được cho trước là:
Phương pháp số
Phương trình tích phân (3.14), (3.15) là những phương trình tích phân Volterra loại hai suy biến yếu :
Với và (tham khảo trang 370 của [11]) Hàm nhân suy biến yếu có thể được viết dưới dạng:
Vì vậy, trong trường hợp này hàm nhân ( , )K t τ không liên tục và có một điểm kì dị vô hạn của (t−τ) , γ − 1 γ >0 Để giải (0.3) chúng ta xét trường hợp đặc biệt sau:
Trong phương pháp giải của chúng ta, các hàm ( )g t và ( , )L t τ đủ mịn, điều này đảm bảo rằng nghiệm của phương trình (3.18) tồn tại và duy nhất.
Cho n≥1 là một số nguyên và {t j = +t 0 jh} n j = 0 ∈[ , ]t T 0 Khi đó cho tổng y t( )∈C [ , ] t T 0 , với:
1 , [ , ]0 j j t − ≤ ≤τ t t t T∈ , ta nội suy ( , ) ( )L t τ yτ tại τ =t t 0 , , , 1 t n , chúng ta xác định được:
Dùng phép xấp xỉ gần đúng (3.19) chúng ta có được phương pháp sau đây để giải phương trình tích phân (3.18):
Tính toán phân tích trọng số, chúng ta tính các giá trị nghiệm gần đúng ( )y t n i từ phương trình (3.20).
Kết quả tính toán
Cho các số liệu sau:
E x MPa E x MPa A cm n E I cm I cm
Kết quả tính toán dựa vào công thức:
= − = − 3.7.2 Chương trình mô phỏng hàm y(t) theo thời gian bằng Matlab close all clear clc Ec = 3.2e4; %MPa Ea = 2.1e5; %MPa Ac = 8820; %cm2 Aa = 383.25; %cm2
%% n = 6.56; % nEc Ic = 661500; % cm4 Ia = 1217963.7; %cm4 rc = 23.039; %cm
Mô phỏng tác động lực theo thời gian vào kết cấu cho thấy các giá trị đặc trưng ban đầu khi lực Nc_0 và Mc_0 tác động vào kết cấu với máy nén là: lamda_N = 0,060545358, lamda_M = 0,922950026, h0 = 300, beta_H = 915,82, beta_fcm = 3,06, t0 = 60, beta_t0 = 0,4223, RH = 80, phi_RH = 1/3-14, phi_0 = 1,6817, beta_c = 0,9925811, phi_t = 1,669242, beta_t_t0 = beta(t-t0), g_n = lamda_N * Nc_0 * phi_RH * beta_fcm * beta(t0) * beta(t-t0), g_m = lamda_N * Nc_0 * phi_RH * beta_fcm * beta(t0) * beta(t-t0) - lamda_M * Ec * Ic * N / (Ea * Ia).
T=t0:100:36500; le=length(T)-1; y1=zeros(1,le+1); y2=zeros(1,le+1); h=1; fun1 = @(t,Ti) ((T(2)-t).*(Ti-t).^(gama-1)); fun2 = @(t,Tn_1,Tn) (t-Tn_1).*(Tn-t).^(gama-1); fun3 = @(t,Tj_1,Ti) (t-Tj_1).*(Ti-t).^(gama-1); fun4 = @(t,Tj_2,Ti) (Tj_2-t).*(Ti-t).^(gama-1); for k = 0:le i=k+1; g_N = g_n(t0,T(i));
S = 0; for l=0:k j=l+1; if l==0 W = integral(@(t) fun1(t,T(i)),T(1),T(2))/h; else if l == k W = integral(@(t) fun2(t,T(j-1),T(i)),T(end-1),T(end))/h; else W1 = integral(@(t) fun3(t,T(j-1),T(i)),T(j-1),T(j))/h;
W=W1+W2; end end S=S+W; end y1(i)=g_N +lamda_N*S; end y1=real(y1); plot(T,y1); for k = 0:le i=k+1; g_M = g_m(t0,T(i),y1(i));
S = 0; for l=0:k j=l+1; if l==0 W = integral(@(t) fun1(t,T(i)),T(1),T(2))/h; else if l == k W = integral(@(t) fun2(t,T(j-1),T(i)),T(end-1),T(end))/h; else W1 = integral(@(t) fun3(t,T(j-1),T(i)),T(j-1),T(j))/h;
W=W1+W2; end end S=S+W; end y2(i)=g_M +lamda_N*S; end y2 = real(y2); figure, hold on, plot(T,y2);
CÁC KẾT QUẢ THU ĐƯỢC TRONG LUẬN VĂN
+ Dựa trên phương trình tích phân Volterra loại hai tuyến tính, chúng ta đưa ra được công thức tính nội lực lực dọc N c r , ( )t và moment uốn M c r , ( )t trong composite dầm thép bê tông
+ Dựa trên phương pháp số, chúng ta tính toán và mô phỏng được nội lực lực dọc trục dầm N c r , ( )t và moment uốn M c r , ( )t theo thời gian t
Dưới tác động của tải được duy trì liên tục, những biến dạng võng và uốn xuất hiện, ứng suất thay đổi do từ biến trong compsite dầm thép bê tông Từ biến trong bê tông được gắn liền với sự thay đổi biến dạng theo thời gian tại những vùng chịu ứng suất nén thường xuyên Sự thay đổi biến dạng theo thời gian cũng phụ thuộc vào các nhân tố có ảnh hưởng đến biến dạng co ngót, ngoài ra còn phải kể đến độ lớn và khoảng cách tồn tại của ứng suất nén, cường độ chịu nén của bê tông và tuổi của bê tông khi bắt đầu chịu tải trọng dài hạn Có thể làm giảm biến dạng từ biến bằng các biện pháp như làm giảm co ngót, tức là giảm thành phần nước trong hỗn hợp bê tông và giữ cho nhiệt độ tương đối thấp Biến dạng từ biến cũng có thể được giảm bớt nhờ việc bố trí cốt thép ở vùng chịu nén vì phần nội lực mà cốt thép chịu không liên quan đến từ biến Trường hợp tải trọng dài hạn tác dụng ở tuổi bê tông lớn, biến dạng từ biến sẽ giảm đi do bê tông trở nên khô hơn và biến dạng ít đi Do đó, qua việc tính toán nội lực lực dọc trục dầm và moment uốn trong composite dầm thép bê tông nhằm hạn chế các ảnh hưởng của biến dạng từ biến mà nó làm cho các công trình trong xây dựng không được bảo đảm như lún, nứt, làm thiệt hại về mặt kinh tế…