10 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải phương trình tích phân trên đường cong mở 12 21 Bài toán Riemann- Hilbert .... 21 2.4 Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit trên các đoạn
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGÔ ĐỨC HÀ
LUẬN VAN THẠC SI TOÁN HỌC
HÀ NỘI, NĂM 2014
Trang 2Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm
khắc của TS Lê Huy Chuan Thay đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng
như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốn
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũngnhư các thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011 - 2013, đã có công laodạy dỗ tôi trong suốt quá trình học tập tại Nhà trường
-Toi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Hà nội, tháng 4 năm 2014
Tác giả luận văn
Ngô Đức Hà
Trang 3Mục lục
Lời cảm ơn Q Q Q Q Qua i
Mở dau 2 QQ Q.2 iii
1 Kiến thức chuẩn bi 1
11 Khái niệm phương trình tích phân 1
1.2 Phương trình tích phân kỳ di 1
1.3 Tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy 3
1.4 Một số kết quả trong lý thuyết hàm biến phức 4
1.5 Phương trình tích phan kỳ dị trên chu tuyến 10
2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải phương trình tích phân trên đường cong mở 12 21 Bài toán Riemann- Hilbert 13
2.2 Phương trình tích phân Abel 16
2.3 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân Logarit 21
2.4 Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit trên các đoạn rời 3 Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm của phương trình tích phân kỳ dị 35 3.1 Phương trình tích phân kỳ di với nhân Logant 35
3.2 Phương trình tích phân với hạt nhân Cauchy 46
3.3 Sử dụng công thức Poincaré - Bertrand 48
Kết luận 2 o 54
Tài liệu tham khao 0 00048 55
il
Trang 4Mo dau
Phương trình tích phân xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu bai
toán giá trị biên của toán học vật lý Trong quá trình nghiên cứu về phương
trình tích phân việc đưa giá trị kỳ dị của nhân vào phương trình tích phân đã
đặt ra những vẫn đề khó nhưng đầy hấp dẫn trong việc tìm nghiệm của phương
trình tích phân Các kỹ thuật giải phương trình tích phân kỳ dị đã được xây
dựng và phát triển mạnh mẽ trong thế kỷ XXI Các kỹ thuật này gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Noether, Muskhelishvili, Gakhov,
Vekua, B N Mandal, A Chakrabarti,
Luận văn “Gidi một số phương trinh tích phân ky di va áp dung” được chia
làm ba chương.
Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn bị là cơ sở lý thuyết cho hai
chương sau, bao gồm các khái niệm về phương trình tích phân, phương trìnhtích phân kỳ dị, tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy Sau đó là một sốkết quả trong lý thuyết hàm biến phức: công thức tích phân Cauchy, công thức
Poincaré - Bertrand.
Chương 2 trình bày phương pháp Riemamn - Hilbert và áp dụng phương
pháp này vào giải một số phương trình tích phân kỳ di như phương trình tích
phân Riemann - Hilbert , Abel, phương trình tích phan kỳ dị với nhân Logarit.
Chương 3 trình bày một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm của phương
trình tích phân kỳ dị với hạt nhân kỳ dị dạng Cauchy và dạng Logarit Những
phương pháp này tránh được những kỹ thuật phức tạp khi sử dụng phương
pháp biến số phức đã được mô tả ở Chương 2
Các kết quả chính trong chương 2 và chương 3 được trình bày dựa trên tài
liệu tham khảo [5].
11
Trang 5Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Khái niệm phương trình tích phan
Định nghĩa 1.1.1 Phương trình tích phân là một phương trình mà trong đó
hàm số chưa biết có xuất hiện dưới dấu tích phân
Loại 2: p(x) + | K(a,t)p(t)dt = f(z) a<z <b.
trong đó À là hằng số, K(a,t) va f(x) là các ham đã biết, ¿(z) là hàm chưabiết Ham (z,£) được gọi là nhân của phương trình tích phan
b) Phương trình tích phân Volterral
Loại 1: / K (a, t)p(t)dt = f(a).
Loại 2: y(x) + Aj E(z,t)w(dt = f(z).
trong đó K(x, t), ƒ(z) là các ham đã biết, v(x) là hàm chưa biết Hàm K (sz, t)
được gọi là nhân của phương trình tích phân.
1.2 Phuong trình tích phân ky di
Định nghĩa 1.2.1 Phương trình tích phân kỳ dị là phương trình tích phân
có nhân K(z,£) là hàm không bị chặn trên miền lấy tích phân
1
Trang 6Chương 1 Kiến thúc chuẩn bị
Dựa trên tính chất không bị chặn của nhân, chúng ta có thể phân loại
phương trình tích phân kỳ dị thành hai loại : Phương trình tích phân kỳ dị
mạnh và phương trình tích phân kỳ dị yếu
Phuong trinh tích phan ky di yếu là phương trình tích phân với nhân (z, t)
thỏa mãn điều kiện tích phân
b
/ K(z,t)dL tồn tại theo nghĩa Riemann, với moi zx € (a,b).
a
Phuong trinh tích phân ky di mạnh là phương trình tích phan ky di ma
nhân K(x, t) có tính chat là tồn tai x € (a,b) sao cho
Trang 7Chương 1 Kiến thúc chuẩn bị
với L(x,t) là hàm khả vi và L(z,z) # 0 Khi đó nhân K(z,t) nhận điểm t = x
là điểm kỳ dị mạnh Do vậy phương trình tích phân tương ứng là phương trình
tích phân kỳ dị mạnh.
1.3 Tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy
Định nghĩa 1.3.1 Cho L` là một đường cong hữu han trong C và f là hàm xác
định trên I’ kỳ di tại zo € T, va | f(t)dt không tồn tại theo nghĩa Riemann.
nghĩa giá tri chính Cauchy và được ký hiệu
op | float = lim f(t)dt.e>0 TW:
Trong luận văn này, các tích phân kỳ dị mạnh đều được hiểu theo nghĩa giá
Trang 8Chương 1 Kiến thúc chuẩn bị
1.4 Một số kết quả trong lý thuyết hàm biến phức
Định nghĩa 1.4.1 Chu tuyến trong C là một đường cong đơn, đóng trong C
Một chu tuyến trong C luôn được định hướng dương theo chiều ngược chiều
kim đồng hồ
Định nghĩa 1.4.2 Cho I là chu tuyến trong C Khi đó kí hiệu D* là phần
mặt phẳng phức nằm bên trong của chu tuyến I, D~ là phần mặt phẳng phức
nằm bên ngoài của chu tuyến T'
Định nghĩa 1.4.3 Trong mặt phẳng phức C cho đường cong I’ đo được va
hàm ¿(7) liên tục trên TI’ Khi đó tích phân
Định nghĩa 1.4.4 Giả sử £ là một tập liên thông va f(z) là một ham đơn
trị trên £L Hàm f được gọi là thỏa mãn điều kiện Hölder trên £ nếu tồn tạicác hằng số dương M (gọi là hằng số HölIder) và số dương œ,0 < a < 1 (gọi là
số mũ Hölder) sao cho với mọi cặp điểm z¡, 22 € L ta đều có
|f(z1) — ƒ)| < Mla — z2|”
Định lý 1.4.1 ChoT là chu tuyến trong mặt phẳng phức C va ham @(7) thỏa
mãn điều kiện Holder trên T Đặt
®(z) = mm xéT, (1.4.1)
T
Khi đó ®(z) la một hàm giải tích trên C\L.
Định lý 1.4.2 (Bổ đề cơ bản) Cho T là chu tuyến trong C va vy là hàm thỏa
mãn điều kiện Holder trên T Đặt
wW(z)=— preter, zeC (1.4.2)27¡ T—Z
T
Trang 9Chương 1 Kiến thúc chuẩn bị
Khi đó hàm (2) là một hàm liên tục trên T, túc là uới mỗi t € T ta có:
lim W(z) = — pen (1.4.3)zt 271 T—Ý
T
ton tai va bằng V(t)
Chú ý: Dinh lý 1.4.2 đúng với mọi điểm trên T, trừ các đầu mút của P khi
T là một đường cong mở trong mặt phẳng phức C.
Định lý 1.4.3 (Công thức tích phân Cauchy) Giá sử D là miền bị chặn với
biên Jordan do được OD Nếu ham f(z) chỉnh hành trong D tà liên tục trong
D thi uới điểm z € D bất ky ta có công thức
x đệ = (1.4.4)
mi¿t f(z) néuzeD,
aD C—Z 0 nếu z # D,trong đó OD là biên có định hướng dương của D.
Nhận xét: Công thức tích phân Cauchy biểu thị một tính chất đặc biệt là
giá trị của hàm chỉnh hình trong miền / hoàn toàn được xác định bởi các giá
trị của nó trên biên.
Dinh lý 1.4.4 Gia sử L là một đường cong đóng Jordan trơn va ham @(€)
thỏa mãn điều kiện Hölder trên L` Khi đó giá trị chính theo Cauchy của tích
phân dang Cauchy tồn tại tại mọi điểm z €T va
sq | Ea _ : [ee = #60) 4 | Tu), as)
Tt C— %
T
Định lý 1.4.5 (Công thức Plemelj - Sokhotski) Cho T là một chu tuyến va
thỏa mãn điều kiện Hölder trên T Đặt
Trang 10Chương 1 Kiến thúc chuẩn bị
Khi đó ®*(t) va ®-(t) ton tại va thỏa mãn các công thúc:
o*(t)-O- (it) =g() +eT,
#1(0+9 0)== [Em ver (46)Tr Tt
T
Trong đó lim va lim duoc hiéu theo nghia điểm z tiến tới t ET từ mặt bên
z—t Zt
trái va tiến tới t € ` từ mặt bên phải của đường cong định hướng duongT
Chứng minh Gọi Dt là miền mặt phẳng phức nằm trong chu tuyến Ï` và D~
là miền nằm ngoài chu tuyến I' (Hình 1.1) Xét ham y(t) = 1 chỉnh hình trên
D* và liên tục trong Dt, áp dung công thức tích phân Cauchy (1.4.4):
Trang 11Chương 1 Kiến thúc chuẩn bị
Dat
khi đó tìm được
lim 0) = tin > f Par — gt tim Sf
zott zott Qni J T— Z zott 9m1] T—Z.
T T
Sử dụng kết quả (1.4.7), từ hệ thức trên suy ra
W*(Œ)=®*Œứ)-Œ), t€T (1.4.8)
Lập luận tương tự ta tìm được
tin 0) = lim Sf Par — g0) tim — [—”
zot- zot- 211] T-2z zat- 211] T-— 2
Trang 12Chương 1 Kiến thúc chuẩn bị
2 Công thức Plemelj còn đúng trong trường hợp [ là một đường cong md
(hoặc hợp hữu hạn của đường cong mở) và t không trùng với các đầu mút
thỏa mãn điều kiện Hölder voi trên T
Dinh lý 1.4.7 (Công thức Poincaré - Bertrand (PBF)) Cho T là một đường
cong kin va nếu @ thỏa man điều kiện Hélder trên T Khi đó ta có công thúc
Do giả thiết ¿(7) thỏa mãn điều kiện Hölder trên I nên theo Dinh lý 1.4.6 ta
có g¡(£) thỏa mãn điều kiện Hölder với t € T Do vậy,
®(z) = ral PO) a, zéT, (1.4.12)
T
6,(2)=— [ee 2¢0 (1.4.13)27¡ T—Z
œ
Trang 13Chương 1 Kiến thỳc chuẩn bị
Sử dụng cụng thức Plemelj (1.4.10) được
alt) =O) 5e), tếT,
alt) =đẽ(0)— gei(, tere.
Thay (1.4.14) vào (1.4.13) được
Từ (1.4.16) va (1.4.17), suy ra yo(t) = 10): tel.
Theo phộp dat ban dau
(1.4.16) (1.4.17)
Trang 14Chương 1 Kiến thúc chuẩn bị
1.5 Phương trình tích phân kỳ dị trên chu tuyến
Bằng cách sử dung công thức Plemelj, ta có thể giải được một số phương
trình tích phân kỳ dị trên đường cong đơn, kín đơn giản.
Ví dụ 1.5.1 Giải phương trình tích phân kỳ dị
Trang 15Chương 1 Kiến thúc chuẩn bị
Trang 16®')= c(i) bai ứ) c(t) + ¿` tel, (2.3)
với điều kiện c(t) 4 —7i
Phương trình (2.3) có dang
® *() =G(® (t)+ g(t), t€T, (2.4)
trong đó G(), g(t) là các hàm Hölder liên tục trên LP.
12
Trang 17Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở
Bài toán giải phương trình tích phân ky di (2.1) được đưa về tìm hàm ®(z)
giải tích trên C\T và thỏa mãn phương trình (2.4).
2.1 Bài toán Riemann - Hilbert
Phương pháp Riemann - Hilbert là phương pháp tìm hàm ®(z) giải tích trên C\P (T là hợp hữu hạn các đường cong đơn, trơn không giao nhau, định hướng dương), với dáng điệu cho trước tại z = oo, thỏa mãn một trong hai
O đó G(t), g(t) thỏa mãn điều kiện Holder trên T và G(t) # 0 với mọi t ET.
a) Bài toán biên Riemann - Hilbert (RHP) thuần nhat(i)
Ký hiệu ®o(z) là nghiệm của (2.1.1) , tức là:
$3 (t) = G(t).®) (t), tel.
Lấy logarit hai về của phương trình trên va biến đổi, thu được
In ®} (t) —In®) (t) =InG(t), t eT
Do đó
[In 9] *(t) — [In®o] (t)=InG(t), teT (2.1.3)
Tw công thức Plemelj (1.4.6), tìm được
In do(z) = — / moO) a (2.1.4)271
15
Trang 18Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở
Như vậy nghiệm của bài toán biên thuần nhất (i) là
b) Bài toán biên Riemann - Hilbert (RHP) không thuần nhất (ii)
Giả sử ®o(z) là nghiệm của bài toán biên thuần nhất (i), khi đó
trong đó #(z) là một hàm nguyên Như vậy (2.1.7) cho ta công thức nghiệm
của bài toán RHP (ii).
Ví dụ 2.1.1 Giải phương trình (2.1) trong trường hợp c(t) = p (ø là hằng số
Trang 19Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở
Giải Giả sử y(t) là nghiệm của phương trình trên Dat
Chọn ®ạ(z) = ( Z — *) , trong đó a thỏa manQa
Khi đó p = 7 cot 7a.
Bằng cách hạn chế ham arg trên (0, 27], ta có
Trang 20Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở
Ngoài ra, lim ®o(z) = 1 và lim ®(z) = 0.
Chú ý Trong trường hợp ø = 0 (khi đó a = 3) phương trình (2.1.8) với
T' = (0,1) là phương trình tích phân loại I cho bởi
2.2 Phuong trinh tich phan Abel
Phương trình tích phân Abel là phương trình có dang
8
a(z) | eae + oa) | a = f(x), x €(a,8), (2.2.1)
a #
16
Trang 21Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở
trong đó 0 < u < 1.
Có khá nhiều nhà toán học đã tiến hành các phương pháp khác nhau để
giải (2.2.1) Sau đây, chúng ta tiến hành giải phương trình (2.2.1) bằng phương
pháp Riemann - Hilbert.
ước 1 Dua phương trình về bài toán RHP tương ứng:
Giả sử y(t) là nghiệm của phương trình trên Đặt
&* (x) = e'TM (Ay) (x) + (Asy)(2) (2.2.3)
O đó toán tử 4, A> được xác định
(ho) = [ PO at, (A,e)) = f eae
Qa x
Tương tự như trên, tinh được
B(x) =e (Aie)(#) + (Arle) z€ [a, 5} (2.2.4)
Trang 22Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở
Thay các kết quả (2.3.6a), (2.3.6b) vào (2.2.1) và biến đổi thu được
(alr) — e-(ø))®*(ø) — (a(x) — €TM0(2)) (x) = 3isin nuƒ(e), z € [a,
Hệ thức trên được đưa về bài toán RHP
® *(z)+G(z)® (xr) = g(x), + € [o,đ], (2.2.7)
trong đó
—_ @()=€”"b(œ) —_ ex tan"! b(z) sin tu
G(x) = a(x) — ©e “"b(ø) P | ait law — b(x) cos mì
g(r) = AE sa),a(x) — e~*TM#B(x)
Dé giải phương trình (2.2.7), cần chú ý rang
Bước 2 Giải bài toán RHP (2.2.7):
Xét bài toán RHP thuần nhất tương ứng của (2.2.7)
Trang 23Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở
, « € [a, 8] Thay vào phương trình (2.2.7)
và biến đổi, thu được
®(ø) ®(z) g(z)? = x € [œ, đ], (2.2.10)
trong đó
D5 (x) = exp|Wq (2)],
với UF (x) tim được như (2.2.9).
Bằng cách sử dụng công thức (2.3.6a), (2.3.6b) chúng ta tìm được nghiệm
của bài toán RHP (2.2.10) là
, với giả sử đạo hàm p’(t) tồn tại với mọi t € [a, đ] Khi đó,
Me) =— l Pa) ‘| PO), (2.2.12) — 20L( — a)l~"
Bước 3 Tìm nghiệm của phương trình (2.2.1):
Từ (2.2.11), lập luận tương tự như ở (+) (Bước 1), tim được
®ˆ(z) = Bj (x)[e“'TM*(A1A)(x) + (A2d)(2)], 2 € |œ, 0Ì.
19
Trang 24Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở
Đặt
® *(z) —® (x) =h(x), «x € [a, 6),
VỚI
h(x) = (ey (x)—e "9i (x)) (A1A) (x) + (5 (z)—®g (2)) (And) (2), € Ía, 0Ì.
Bang cách sử dung công thức (2.3.6a)
®'ø)—® (z) hữ)
A = =
(Aiy)(#) 2isin xu 27 sin wp’ v€ lo, 5),
ta tim dudc nghiém
Vay nghiệm của phương trình (2.2.1) được cho bởi (2.2.13) hoặc (2.2.14).
Chú ý Ta cũng có thể xây dựng công thức nghiệm của phương trình (2.2.1)
bằng cách sử dụng toán tử Ay và bài toán RHP đồng nhất tương ứng:
Trang 25Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở
va
8
¬ g(x) N(x) = Oni al Srap at
x
Cac công thức nghiệm (2.2.14) va (2.2.15) là tương đương.
2.3 Giải phương trình tích phan ky dị với hạt nhân
Logarit
Nhiều vấn đề trong toán hoc vật lý ma để giải quyết nó đã đưa đến việc
xuất hiện phương trình tích phan kỳ di với hạt nhân Logarit Chúng ta nghiên
cứu giải hai phương trình tích phân kỳ dị nhân Logarit thường gặp:
6 đó v(x) va ƒ(z) là các hàm có đạo hàm trong khoảng (a, 8).
Có một số cách giải phương trình (2.3.1) và (2.3.2), như của Porker (1972)
Trang 26Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở
với c là một hằng số trong trường hợp 6 — a = 4 và với điều kiện của f(x) là
if =e pit=o (2.3.5)
Nhưng kết quả trên chưa được tron vẹn bởi vì nghiệm (2.3.3) hoặc (2.3.4) là
kỳ dị mạnh trong đó các phương trình tích phân (2.3.1) và (2.3.2) là kỳ dị yếu
Chakrabarti (2006) đã đưa ra phương phấp tìm nghiệm của phương trình
tích phân kỳ dị yếu (2.3.1) và (2.3.2) mà nghiệm thu được không phải tích
phân kỳ dị mạnh.
a) Phương pháp tim nghiệm phương trành tích phân (2.3.1).
Bước 1 Xây dựng bài toán RHP tương ứng phương trình (2.3.1):
Giả sử y(t) là nghiệm của phương trình (2.3.1) Dat
8
(2) = f (tym (= )at- ain (S—), (z=z+iw) (2.3.6)a-z B-2z
với A là hằng số phức Khi đó ®(z) là hàm giải tích trong C\[a, 6]
jim Aln (7—) = an) iA, x € (a, 8), (2.3.7)
Jim | elt “mm In (at, (2.3.8)
Trang 27Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở
Từ (2.3.7), (2.3.8) và (2.3.9) suy ra
+ {corm x) — In( — a) + zi]dt — Aln G—?) E/
của In balers ni float (sce) In(z — a)
Trang 28Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở
Dặt
8r(x) = 2mi B + [ eloat) x € (a, 0) (2.3.14)
Ta tìm được
v(x) = = r(x), (2.3.15)
với
r{(œ) = 2mi(A + B),r(8) + 2m¡A (2.3.16) Như vậy (2.3.12) trở thành
va: A(z) = BF (x)’ C= Oni , D= = E(z) là một hàm nguyên
Sử dụng công thức (2.3.12), thực hiện biến đổi
8
2mi| / o(t)dt + Al = 6+ (x) — 8~(z)
x
24
Trang 29Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở
= ©) (2)Q* (x) — ®ạ (x)Q (z)
= 8) (2){Q*(2)+Q (a)}, a<ax<Bp.
Trong đó
8
Q(z) = _ X(t) In(t — z)dt — Cln(œ — z) — Din G — : ) + E(z).
Tương tự bằng cách sử dung (2.3.13) đối với ham Q(z), tim được
Ip(z)| = oo) khi |z| —> 00.
Do vậy hàm #(z) xuất hiện ở về phải của công thức (2.3.19) phải là một hang
D ` ,
so Chon E(z) = 5 với D là một hăng số phức.
Bước 3 Tìm nghiệm của phương trình (2.3.1):
Biến đổi từ phương trình (2.3.21) thu được