KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNGNGUYỄN THỊ KIM OANH NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP LẶP PHITUYẾN TÌM NGHIỆM BÀI TOÁN ĐẶTKHÔNG CHỈNH TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 604
Phổ của toán tử tuyến tính liên tục
Toán tử liên hợp
Định nghĩa 1.1.1 [2] Giả sử X, Y là các không gian Hilbert xác định trên cùng một trường số K là R hoặc C và T : X −→ Y là một toán tử tuyến tính liên tục Khi đó, toán tử liên hợp T ∗ : Y −→ X là toán tử tuyến tính liên tục được xác định bởi công thức hT ∗ y, xi = hy, T xi , ∀y ∈ Y.
• Tương tự như trên ta định nghĩa toán tử liên hợp của T ∗ , kí hiệu là T ∗∗ = (T ∗ ) ∗ Nếu X, Y là các không gian Hilbert và T : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục thì T ∗∗ = T.
• Cho X, Y là các không gian Hilbert và T : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục, ta kí hiệu
Khi đó N (T ) là không gian đóng của X và R(T ) là không gian con của Y.Định lý 1.1.1 [2] Cho X, Y là hai không gian Hilbert, T : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục Khi đó i) R(T ) ⊥ = N (T ∗ ) và N (T ) ⊥ = R (T ∗ ). ii) X = N (T ) L
Toán tử tự liên hợp
Định nghĩa 1.1.2 [2] Giả sử T : X −→ X là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert X T được gọi là tự liên hợp nếu T = T ∗ , nghĩa là hT x, yi = hx, T yi , ∀x, y ∈ X.
Tập hợp tất cả các toán tử tự liên hợp trong không gian X kí hiệu K [X]. Định lý 1.1.2 [2] Nếu T là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert X thì kT k = sup {|hT x, xi| : kxk ≤ 1} = sup{|hT x, xi| : kxk = 1} Định lý 1.1.3 [2] Giả sử T là toán tử tuyến tính liên tục trong không gianHilbert phức X Khi đó, T tự liên hợp khi và chỉ khi hT x, xi là số thực, với mọi x ∈ X.
Toán tử chiếu
Định nghĩa 1.1.3 [2] Cho X là không gian Hilbert, M là không gian con đóng của X Khi đó, với mỗi x ∈ X, tồn tại duy nhất u ∈ M, v ∈ M ⊥ cho sao x = u + v.
Vectơ u được gọi là hình chiếu vuông góc (hoặc trực giao) của x lên không gian con đóng M.
P :X −→ M x 7−→ P (x) = u. Ánh xạ P được gọi là toán tử chiếu trực giao hay phép chiếu vuông góc của không gian X lên không gian đóng M. Định lý 1.1.4 [2] Giả sử P là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert X Khi đó ta có
Khi đó, P là toán tử chiếu lên không gian con đóng M = R(P ).
Phổ của toán tử tuyến tính liên tục
Định nghĩa 1.1.4 [2] Cho T là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn X và I là toán tử đồng nhất trên X Số λ được gọi là phổ của T hay giá trị phổ của toán tử T nếu toán tử (T − λI) : X −→ X không có toán tử ngược liên tục.
Tập tất cả các giá trị phổ của toán tử T được gọi là phổ của T và kí hiệu là σ(T ) Số à / ∈ σ(T ) được gọi là một giỏ trị chớnh quy của T Tập tất cả cỏc giỏ trị chính quy của T gọi là tập giải của T, kí hiệu ρ(T ). Định lý 1.1.5 [2]
Giả sử X là không gian Banach và T ∈ L(X) Nếu λ ∈ K thỏa mãn
|λ| > lim n→∞ pn kT k , thì λ ∈ ρ(T ) và toán tử ngược liên tục (T − λI) −1 được xác đinh bởi
T n λ n+1 Từ Định lý 1.1.5 dễ dàng suy ra các Hệ quả sau.
Hệ quả 1.1.1 [2] Giả sử X là không gian Banach và T ∈ L(X) Nếu λ ∈ K thỏa mãn |λ| > kT k thì λ ∈ ρ (T ).
Hệ quả 1.1.2 [2] Giả sử X là không gian Banach và T ∈ L(X) Nếu λ ∈ K thỏa kT k < 1 thì tồn tại toán tử ngược liên tục (T + I) −1 được xác định bởi
Hệ quả 1.1.3 [2] Giả sử X là không gian Banach và T ∈ L(X) Khi đó sup |σ (T )| := sup{|λ| : λ ∈ σ (T ) ≤ lim n→∞ pn
||T n || Định nghĩa 1.1.5 [2] Cho X là không gian Hilbert và T ∈ L (X) T được gọi là toán tử dương nếu hT x, xi ≥ 0, ∀x ∈ X, kí hiệu T ≥ 0. Định lý 1.1.6 [2] Cho X là không gian Hilbert và A ∈ L (X) , A ≥ 0 Khi đó,tồn tại duy nhất B ≥ 0 sao cho B 2 = A Khi đó, toán tử B gọi là căn bậc hai dương của toán tử A và kí hiệu là A 1 2
Phổ của toán tử tự liên hợp
Định nghĩa 1.1.6 [5] Họ {E λ } λ∈R các phép chiếu trực giao xác định trên không gian Hilbert X được gọi là họ phổ xác định trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau i) E λ E à = E min{λ,à} , λ, à ∈R. ii) E −∞ = 0, E +∞ = I, trong đó E ±∞ x = lim λ→±∞ E λ x, ∀x ∈ X iii) E λ−0 = E λ , trong đó E λ−0 = lim ε→0 + E λ−ε x, ∀x ∈ X Định lý 1.1.7 [4] Giả sử T ∈ L(X) là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert X Với mỗi λ ∈ R, xét E λ là phép chiếu trực giao lên không gian con đóng N (T λ + ) Khi đó, {E λ } λ∈R là họ phổ xác định trên X. Định nghĩa 1.1.7 [4] Họ {E λ } λ∈R xác định trong Định lý 1.1.7 được gọi là phổ sinh bởi toán tử tự liên hợp T.
Hệ quả 1.1.4 [4] Mọi giá trị riêng λ của một toán tử tự liên hợp T đều là giá trị thực. Định lý 1.1.8 [5] Giả sử T ∈ L (X) là toán tử tự liên hợp Đặt m T = inf x∈X {hT x, xi | kxk = 1} ,
{hT x, xi | kxk = 1} Khi đó, ta có i) kT k = max {|m T | , |M T |} = sup x∈X {hT x, xi | kxk = 1} ii) m T ∈ σ (T ) , M T ∈ σ(T ) và σ (T ) ⊂ [m T , M T ].
Hàm của toán tử tự liên hợp
Định nghĩa 1.1.8 [5] Cho X là không gian Hilbert và T ∈ K (X) , f ∈ C [a,b] , trong đó a ≤ m T ≤ M T < b Khi đó tồn tại dãy đa thức {P n } sao cho P n → f theo k.k ∞ trong C [a,b] Toán tử f (T ) được định nghĩa f (T ) = lim n→∞ P n (T ) Định nghĩa 1.1.9 [5] Giả sử f là hàm số liên tục trên R , {E λ } λ∈R là họ phổ xác định trên không gian Hilbert X Gọi σ n là phép phân hoạch đoạn [a, b], với các điểm chia λ i sao cho a = λ 0 < λ 1 < λ 2 < ã ã ã < λ n = b, thỏa mãn lim n→∞ |σ n | = 0, trong đó max 1≤i≤n |λ i − λ i−1 | được gọi là đường kính của phép phân hoạch σ n Với x ∈ X, đặt
X i=1 f (ξ i )(E λ i − E λ i−1 (x), với ξ i := (λ i−1 − λ i ) , i = 1, , n Khi đó, nếu giới hạn của S σ n (x) tồn tại trong
Z b a f (λ) dE λ x. Định lý 1.1.9 [4] Cho T là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian HilbertX vào không gian Hilbert Y Khi đó với f ∈ C [a,b] ta có f (T ∗ T ) T ∗ = T ∗ f (T T ∗ ) (1.1.1) Định lý 1.1.10 [4] Cho T là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert X với họ phổ {E λ } λ∈R Khi đó, ta có i) T (x) =Rb a λdE λ (x), ∀x ∈ X, a ≤ m, b > M. ii) Với f ∈ C [a,b] , ta có f (T ) (x) =
Z b a f (λ) dE λ (x), ∀x ∈ X, và kf(T )k ≤ kfk ∞ , với kfk ∞ = max t∈[a,b] |f (t)| Định lý 1.1.11 [4] Giả sử T là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert
X với họ phổ {E λ } λ∈R Với mọi x ∈ X, gọi M 0 là tập tất cả các hàm đo được với độ đo tương ứng dkE λ xk 2 Khi đó, với mọi f ∈ M 0 ta có
Z kT k 2 +ε 0 f (λ) dE λ x. Định lý 1.1.12 [5] (Bất đẳng thức nội suy) Cho T là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó, với q > r ≥ 0 và với mọi x ∈ X, ta có
≤ (T ∗ T ) q x r q kxk 1− r q (1.1.2) Định lý 1.1.13 [5] Giả sử T là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đóm với q > r ≥ 0 và với mọi x ∈ X, ta có
Đạo hàm Fréchet
Định nghĩa 1.2.1 [4] Cho X, Y là hai không gian định chuẩn trên trường số K, D ⊂ X là tập mở khác rỗng Ánh xạ f : D → Y được gọi là khả vi Fréchet tại x 0 ∈ D nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính bị chặn f 0 (x 0 ) ∈ L (X, Y ) sao cho h→0 lim kf (x 0 + h) − f (x 0 ) − f 0 (x 0 ) hk khk| = 0 , f 0 (x 0 ) được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x 0
Nhận xét 1.2.1 Nếu f là hàm khả vi Fréchet tại x 0 ∈ D thì f 0 (x 0 ) được xác định duy nhất.
Bổ đề 1.2.1 [4] Giả sử X là không gian Hilbert thực và F : X → R, với F (u) = kuk 2 Khi đó, ta có
Bổ đề 1.2.2 [4] Giả sử X là không gian Hilbert thực và F : X → R, với F (u) = kuk 2 , T là toán tử tuyến tính liên tục Khi đó, ta có i) Nếu F (u) = kT uk 2 thì F 0 (u) (v) = 2 hT ∗ T u, vi ii) Nếu F (u) = kT u − yk 2 thì F 0 (u) (v) = 2 hT ∗ T u − T ∗ y, vi iii) Nếu F (u) = kT u − yk 2 + αkuk 2 thì F 0 (u) (v) = 2 hT ∗ T u − T ∗ y + αu, vi
Toán tử ngược Moore-Penrose
Cho X, Y là hai không gian Hilbert, y ∈ Y, F là toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Xét phương trình
Nếu tồn tại toán tử ngượcF −1 thì nghiệm của phương trình trên làx = F −1 y. Nếu F không khả nghịch, ta xét
Vì F là song ánh tuyến tính liên tục từ N (F ) ⊥ lên R(F ) nên tồn tại toán tử ngược F −1 : R (F ) → N (F ) ⊥ Định nghĩa 1.3.1 [5] Toán tử ngược Moore - Penrose của F ∈ L(X, Y ), kí hiệu là F + , là mở rộng tuyến tính duy nhất của F −1 trên
, nghĩa là y = u + v với u ∈ R (F ) , v ∈ R(F ) ⊥ thì F + (y) = F −1 (u). Định lý 1.3.1 [5] Giả sử P là phép chiếu trực giao từ X lên N (F ) và Q là phép chiếu trực giao từ Y lên R(F ) Khi đóm R F +
Vì Qy ∈ R(F ) nên F −1 Qy ∈ N(F ) ⊥ và
Suy ra được điều cần chứng minh F F + = Q| D(F + ). ii) Với mọi x ∈ X, x = P x + (I − P ) x, P là phép chiếu trực giao từ X lên N (F ) nên (I − P ) x ∈ N (F ) ⊥ và
Ngoài ra, P x ∈ N (F ) nên F P x = 0, suy ra F −1 F P x = 0.
Vậy F + F = I − P. iii) Từ (ii) ta có
Vậy F + F F + = F + Định nghĩa 1.3.2 [5] Cho X và Y là hai không gian Hilbert, F : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục. i) x ∈ X được gọi là nghiệm bình phương tối tiểu của phương trình (1.3.1) nếu kF x − yk = inf {kF z − yk : z ∈ X} ii) x ∈ X được gọi là nghiệm xấp xỉ tốt nhất của phương trình (1.3.1) nếux là nghiệm bình phương tối tiểu của phương trình (1.3.1) và kxk = inf{kzk : z là nghiệm bình phương tối tiểu của (1.3.1)}. Định lý 1.3.2 [4] Giả sử X, Y là các không gian Hilbert, F : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục Khi đó, ∀x ∈ X các mệnh đề sau tương đương i) F x = Qy, với Q là phép chiếu trực giao của Y lên R(F ). ii) F ∗ F x = F ∗ y. iii) kF x − yk ≤ kF z − yk , ∀z ∈ X.
Từ Định lý trên suy ra nghiệm bình phương tối tiểu của phương trình (1.3.1) tồn tại khi và chỉ khi
R(F ) ⊥ Định lý 1.3.3 [5] Cho X, Y là hai không gian Hilbert, F : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y.
Nếu y ∈ D(F + ) thì phương trình (1.3.1) có duy nhất một nghiệm xấp xỉ tốt nhất x + := F + y trong N (F ) ⊥
Tập hợp tất cả các nghiệm bình phương tối tiểu là x + + N (F ).
Chứng minh Nếuy ∈ D F + thì phương trình (1.3.1) có duy nhất một nghiệm xấp xỉ tốt nhất x + := F + y trong N (F ) ⊥ Thật vậy, giả sử x 1 , x 2 là hai nghiệm bình phương tối tiểu thì ta có
Suy ra x 1 = x 2 Do đó, nghiệm bình phương tối tiểu là nghiệm xấp xỉ tốt nhất x + := F + y trong N(F ) ⊥
Ta chứng minh nếu y ∈ D(F + ), thì F + y là nghiệm xấp xỉ tốt nhất của phương trình (1.3.1) trong N (F ) ⊥
Giả sửF + y / ∈ N (F ) ⊥ , khi đó tồn tạiz ∈ N (F )sao chokzk = 1và
F + y, z z là một nghiệm bình phương tối tiểu của phương trình (1.3.1).
F + y Mâu thuẫn với F + y là nghiệm bình phương tối tiểu có chuẩn bé nhất. Định lý 1.3.4 [4] Cho y ∈ D F +
, x ∈ X là nghiệm bình phương tối tiểu của phương trình F x = y khi và chỉ khi
Chứng minh Ta có xlà nghiệm bình phương tối tiểu của phương trình F x = y khi và chỉ khi F x là phần tử gần y nhất trong R(F ), nghĩa là
(F x − y) ∈ R(F ) ⊥ = N (F ∗ ) Điều này tương đương với F ∗ (F x − y) = 0.Do đó, ta có điều cần chứng minh.
Bài toán đặt chỉnh, bài toán đặt không chỉnh
Định nghĩa 1.4.1 Cho X và Y là các không gian định chuẩn và F : X −→ Y là toán tử tuyến tính hoặc phi tuyến Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện cho tương ứng y ∈ Y sao cho
F x = y,được gọi là đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau i) Với mỗi y ∈ Y, tồn tại x ∈ X sao cho F x = y. ii) Với mỗi y ∈ Y, có duy nhất x ∈ X sao cho F x = y. iii) Bài toán ổn định trên cặp không gian (X, Y ), nghĩa là F tồn tại toán tử ngược F −1 : Y −→ X liên tục trên Y.
Nếu có ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn thì ta nói bài toán tìm nghiệm của phương trình trên được gọi là đặt không chỉnh, còn nếu chỉ điều kiện (iii) không thỏa mãn thì bài toán tìm nghiệm của phương trình trên gọi là không ổn định.
Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh Xét bài toán cực tiểu hàm F (y) = y trên đoạn thẳng y = a 0 x + b 0 chứa góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy và a 0 , b 0 là các số cho trước.
Giả sử a 0 = 0, thay cho a 0 ta có a δ : |a δ − a 0 | < δ Xét 2 trường hợp:
Nếu a δ > 0, xét đường thẳng d 1 : y = a δ x + b 0 thay cho đường thẳng y = b 0 Giá trị cực tiểu của hàm f (y) = y trên một phần của d 1 nằm trong vùng {x ≥ 0, y ≥ 0} đạt được tại điểm (0, b 0 ), nghĩa là khi x = 0 thì f (0) = b 0
Nếu a δ < 0, xét đường thẳng d 2 : y = a δ x + b 0 thay cho đường thẳng y = b 0 Giá trị cực tiểu của hàm f (y) = y trên một phần của d 2 nằm trong vùng{x ≥ 0, y ≥ 0} đạt được tại điểm (x 2 (δ) , 0)(vớix 2 (δ) là hoành độ giao điểm của d 2 và trục hoành), nghĩa là khi δ −→ 0, a δ −→ 0 thì x 2 (δ) −→ ∞ Do đó, bài toán trên không ổn định.
Một số tính chất hình học của không gian Banach
Hệ số lồi (Modulus of convexity)
Định nghĩa 1.5.1 [8] Một không gian gian định chuẩn X được gọi là lồi đều nếu với mọi ε ∈ (0, 2] tồn tại một δ = δ (ε) > 0 sao cho nếu x, y ∈ X với kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 và kx − yk ≥ ε thì
≤ 1 − δ.Ví dụ 1.5.1. a) Mọi không gian con Hilbert H là không gian lồi đều. b) Cho X = L p (à) là khụng gian của cỏc hàm đo được f với |f| p khả tớch, cú chuẩn kfk =
Khi đú, với 1 < p < ∞, khụng gian L p (à) là khụng gian lồi đều. c) Cho 1 < p < ∞, không gian l p của tất cả các chuỗi số
P i=1 x i (thực hoặc phức) sao cho P∞ i=1 |x i | p < +∞ là không gian lồi đều. Định nghĩa 1.5.2 [8] Một không gian định chuẩn X được gọi là lồi ngặtnếu với mọi x, y ∈ X, x 6= y, kxk = kyk = 1, ta có kλx + (1 − λ) yk < 1, ∀λ ∈ (0, 1). Định lý 1.5.1 Mọi không gian lồi đều thì lồi ngặt.
Chứng minh Cho không gian lồi đều X và x, y ∈ X, x 6= y, kxk = kyk = 1 Cho λ ∈ (0, 1).
• Trường hợp λx + (1 − λ) y = 0, khi đó kλx + (1 − λ) yk < 1.
• Trường hợp λx + (1 − λ) y 6= 0, lấy d = 1, ε = kλx + (1 − λ)yk > 0, khi đó tồn tại δ = δ () sao cho: kλx + (1 − λ) yk ≤ {1 − 2δ () min {λ, 1 − λ} } < 1. Điều phải chứng minh.
Một hàm thực f được gọi là lồi nếu nó thỏa bất phương trình sau f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y), ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ D(f)
Bổ đề 1.5.1 [8] Mọi hàm lồi f trong tập lồi trong R là liên tục. Định nghĩa 1.5.3 [8] Cho X là một không gian định chuẩn với dimX ≥ 2. Hệ số lồi (Modulus of convexity) của X là hàm δ X : (0, 2] → [0, 1] định nghĩa bởi δ X () = inf n 1 −
Với mỗi không gian Hilbert H, ta có δ H () = 1 − q 1 − 2 2
Bổ đề 1.5.2 [8] Với mỗi không gian định chuẩn X, hàm δ X ε (ε) là một hàm không giảm trong (0, 2].
Chứng minh Cố định0 < η ≤ ε vớiη ≤ ε và x, y trong X sao cho kxk = 1 = kyk và kx − yk = ε Xét u = η ε x + 1 − η ε x+y kx+ykvàv = η ε y + 1 − η ε x+y kx+yk.
Khi đó u − v = ε η (x − y) , ku − vk = η và u + v 2 = x + y kx + yk
Khi đó x+y kx+yk − u+v 2 ku − vk = 1 η η ε − η kx + yk
= x+y kx+yk − x+y 2 kx − yk Và khi đó δ X (η) η ≤ 1 − ku+vk 2 ku + vk = x+y kx+yk − u+v 2 ku + vk
Bằng cách lấy giá trị nhỏ nhất có thể của x, y với ε = kx + ykvà kxk = kyk = 1, ta được δ X η (η) ≤ δ X ε (ε) Định lý 1.5.2 [8] Một không gian định chuẩn X là lồi đều nếu và chỉ nếu δ X(ε) > 0 với mọi ε > (0, 2].
Chứng minh NếuX là lồi đều, với mọiε > 0tồn tạiδ > 0sao cho δ ≤ 1− x+y 2 với mọi x và y sao cho kxk = kyk = 1 và ε ≤ kx − yk Do đó δ X (ε) > 0.
Ngược lại giả sử 0 < δ X (ε) với mọi ε ∈ (0, 2] Chọn một ε ∈ (0, 2] và lấy x, y với kxk = kyk = 1 và ε ≤ kx − yk Khi đó
≤ 1 − δ với δ = δ X (ε) không phụ thuộc vào x hay y.
Cho a, b là số thực ta kí hiệu a ∨ b = max {a, b} , a ∧ b = min{a, b}. Định lý 1.5.3 [8] Nếu X là lồi đều thì với mọi x, y, ∈ X kx − yk p ≥ kxk p − p hj p (x) , yi + σ p (x, y), (1.5.1) với σ p (x, y) = pK p
(kx − tykW kxk) p t δ X t kyk 2(kx − tykW kxk) dt (1.5.2) và
Hệ số trơn (Modulus of smoothness)
Một không gian Banach được gọi là trơn nếu với mọi x ∈ X với kxk = 1, tốn tại duy nhất một x ∗ ∈ X ∗ sao cho kx ∗ k = hx, x ∗ i = 1. Định nghĩa 1.5.4 [8] Cho X là một không gian định chuẩn với 2 ≤ dimX. Hệ số trơn (Modulus of smoothness) của X là hàm ρ X : [0, ∞) → [0, ∞) được định nghĩa bởi ρ X (τ) = 1
2 sup {kx + yk + kx − yk − 2 : kxk = 1, kyk ≤ τ } Định lý 1.5.4 [8] Một không gian định chuẩn X là trơn, lồi đều nếu và chỉ nếu lim τ→0 ρ X τ (τ ) = 0.
Chú ý 1.5.1 Tính chất trơn cũng liên quan tới tính khả vi của chuẩn: i) X là trơn nếu chuẩn khả vi Gâteaux trong X\{0}. ii) X là trơn, lồi đều nếu chuẩn là khả vi Fréchet đều trong quả cầu đơn vị. Định lý 1.5.5 [8] i) X là trơn, lồi đều khi và chỉ khi X ∗ là lồi đều. ii) X là lồi đều khi và chỉ khi X ∗ là trơn, lồi đều.
Hệ quả 1.5.1 Mọi không gian trơn, lồi đều là không gian phản xạ.
Hàm τ 7→ ρ X τ (τ ) là hàm không giảm và ρ X τ (τ) > 0 với mọi τ > 0. Ví dụ 1.5.2 Không gian L p (1 < p < ∞) lồi đều và trơn, lồi đều và δ L p () =
(1.5.5) với không gian L 1 và L ∞ đều không trơn và không lồi ngặt. Định lý 1.5.6 [8] Một không gian định chuẩn X được gọi là phản xạ nếu nó thõa các điều kiện tương đương sau: i) Ánh xạ J : X → X ∗∗ là toàn ánh. ii) Ánh xạ J : X → X ∗∗ là một đẳng cự đẳng cấu của không gian định chuẩn. iii) Ánh xạ J : X → X ∗∗ một đẳng cấu của không gian định chuẩn.
Một không gian phản xạ X là một không gian Banach, vì khi đó X đẳng cự với không gian Banach X ∗∗
Một số tính chất liên hệ giữa tính lồi và tính trơn của không gian Banach như sau: Định lý 1.5.7 [8] Ta có i) X là lồi đều (trơn, lồi đều) nếu X ∗ là trơn, lồi đều. ii) Nếu X là lồi đều thì X là phản xạ và lồi ngặt. iii) Nếu X là trơn đều thì X là phản xạ và trơn. iv) Cho X là phản xạ Khi đó X là lồi ngặt (trơn) nếu X ∗ là trơn (lồi ngặt).
Toán tử đối ngẫu của không gian Banach
Trong không gian Hilbert cho trước H, với mọi x ∗ trong H ∗ , theo Định lý Riesz, tồn tại duy nhất x ∈ H sao cho kxk = kx ∗ k và hy, x ∗ i = hy, xi , ∀y ∈ H.
Trong trường hợp y = x, ta có hx, x ∗ i = hx, xi = kxk kx ∗ k Theo Định lý Hahn-Banach, vớix cho trước trong không gian BanachX, tồn tại ít nhất một x ∗ trong X ∗ sao cho hx, x ∗ i = kxk kx ∗ k Định nghĩa 1.6.1 [8] Một hàm liên tục và tăng ngặt p : R + →R sao cho p (0) = 0 và lim t→∞ p (t) = ∞ được gọi là hàm Gauge.
Bổ đề 1.6.1 [8] Cho hàm Gauge p, xét hàm ψ (t) =
Z t 0 p (s) ds, khi đó ψ là một hàm lồi trong R + Định nghĩa 1.6.2 [8] Cho một hàm Gauge p, ánh xạ J p : X → 2 X ∗ được định nghĩa
J p (x) := {x ∗ ∈ X ∗ : hx ∗ , xi = kxk kx ∗ k , kx ∗ k = p(kxk)}, được gọi là ánh xạ đối ngẫu với hàm Gauge p trong không gian định chuẩn X.
Trong trường hợp cụ thể p (t) = t, ánh xạ đối ngẫu J = J p được gọi là ánh xạ đối ngẫu thông thường (nomalized duality map).
Cụ thể trong luận văn này ta định nghĩa ánh xạ J p : X → 2 X ∗
J p (x) := x ∗ ∈ X ∗ : hx ∗ , xi = kxk kx ∗ k , kx ∗ k = kxk p−1 , (1.6.1) là ánh xạ đối ngẫu của X với hàm gauge t 7→ t p−1 và j p là một giá trị đơn chọn được (single-value selection) của J p (nghĩa là j p (x) ∈ J p (x) với mọi x ∈ X).
Tổng hợp một số tính chất của ánh xạ đối ngẫu như sau: Định lý 1.6.1 [8] Ta có i) Với mỗi x ∈ X tập J p (x) khác rỗng và là tập lồi, đóng yếu trong X ∗ ii) J p (−x) = −J p (x) và J p (λx) = λ p−1 J p (x) với mọi x ∈ X và λ > 0. iii) J p đơn điệu, nghĩa làhx ∗ − y ∗ , x − yi ≥ 0với mọix, y ∈ X và x ∗ ∈ J p (x) , y ∗ ∈ J p (y).
Ví dụ 1.6.1. a) Với một không gian Hilbert, J 2 là ánh xạ đồng nhất. b) Trong không gian L r , chúng ta có
J p (x) = 1 kxk r−p r |x| r−1 sgn (x) , x ∈ L r , c) Chọn một giá trị đơn cho ánh xạ đối ngẫu trong không gian R N với chuẩn supremum kxk ∞ = sup n∈ N |x n | , x = (x n ) N n=1 ∈R N được cho bởi:
(j p (x)) n = kxk p−1 ∞ sgn (x k ) δ n,k , n = 1, , N, với k là chỉ số |x k | = kxk ∞ iv) Nếu không gian R N với chuẩn L 1 kxk 1 =PN n=1 |x n |, ta có thể chọn (j p (x)) n = kxk p−1 1 sgn (x n ) , n = 1, , N. Định lý 1.6.2 [8] Ta có i) X là lồi ngặt nếu với mỗi ánh xạ đối ngầuJ p củaX là đơn điệu ngặt, nghĩa là hx ∗ − y ∗ , x − yi > 0 với mọi x, y ∈ X với x 6= y và x ∗ ∈ J p (x) , y ∗ ∈ J p (y). ii) X là trơn nếu mọi ánh xạ đối ngẫu J p của X là đơn trị (single valued). iii) Nếu X là phản xạ , lồi ngặt và trơn thì J p là duy nhất, chuẩn liên tục yếu và song ánh Nghịch đảo J p −1 : X ∗ → X được cho bởi J p −1 = J q ∗ với J q ∗ là ánh xạ đối ngẫu của X ∗ với hàm Gauge t 7−→ t q−1 iv) Cho M 6= ∅ là tập con đóng của X Nếu X là lồi đều thì tồn tại duy nhất x ∈ M như vậy kxk = inf z∈M kzk Nếu thêm điều kiện X trơn thì hJ p (x) , xi ≤ hJ p (x) , zi với mọi z ∈ M. Định lý 1.6.3 [8] Nếu X trơn, lồi đều thì với mọi x, y ∈ X kx − yk p ≤ kxk p − p hJ p (x) , yi +e σ p (x, y) và eσ p (x, y) = pG p
(kx − tykW kxk) p t ρ X t kyk kx − tykW kxk dt, (1.6.2) với G p = 8 W
64cK p −1 với K p được định nghĩa theo (1.5.3) và c = 4 √ τ 0
√ 339−18 30 Chú ý 1.6.1. i) Cho p = 2 trong không gian thực Hilbert, ta có kx − yk 2 = kxk 2 − 2 hx, yi + kyk 2 ii) Trong thực tế đẳng thức phía trên là tính chất của không gian Banach trơn,lồi đều.
Nghiệm bình phương tối tiểu
A : X → Y, là toán tử tuyến tính liên tục Chúng ta thảo luận bài toán giải lặp tìm nghiệm của phương trình
Vì chúng ta quan tâm đến nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của phương trình (1.7.1), nghĩa là một nghiệm duy nhất x ∈ X sao cho
Ax = y và kxk = inf {kzk : z ∈ X, Az = y} Ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 1.7.1 [8] Cho X là một không gian định chuẩn trơn và lồi đều và y ∈ R(A) i) Tồn tại nghiệm x chuẩn nhỏ nhất của phương trình (1.7.1) và J p (x) ∈ R(A ∗ ). ii) Nếu x ∈ X là nghiệm chuẩn nhỏ nhất của (1.7.1) và x ˜ ∈ X thõa J p (˜ x) ∈ R(A ∗ ) và x − x ˜ ∈ N (A) thì x ˜ = x.
Chứng minh Tập M := {z ∈ X : Az = y} là tập con lồi, đóng, khác rỗng của X vì y ∈ R(A) và A là một toán tử tuyến tính liên tục.
Từ Định lý 1.6.2 (iv) chứng minh được sự tồn tại của nghiệm có chuẩn nhỏ nhất x của phương trình (1.7.1).
Với z là một phần tử đại số của N (A) Khi đó (x ± z) ∈ M và từ Định lý 1.6.2(iv) ta có hJ p (x) , xi ≤ hJ p (x) , x ± zi = hJ p (x) , xi ± hJ p (x) , zi
Theo đó hJ p (x) , zi = 0 và vì thế J p (x) ∈ (N (A)) ⊥ = R(A ∗ ), chúng ta chứng minh được phần còn lại của (i).
Nếu x ˜ ∈ X giống như trong (ii) khi đó từ (i) ta có thể tìm được một chuỗi u n ∈ Y ∗ sao cho J p (x) − J p (˜ x) = lim n→∞ A ∗ u n Khi đó hJ p (x) − J p (˜ x) , x − xi ˜ = lim n→∞ hu n , A(x − x)i ˜ = 0 Vì x − x ˜ ∈ N (A) Do Định lý 1.6.2(i) ta kết luận được x = x.
Vì tính chất hình học của không gian Banach khác so với không gian Hilbert, thích hợp hơn để sử dụng khoảng cách Bregman như sau:
∆ p (x, y) := 1 p kyk p − 1 p kxk p − inf {hξ, y − xi : ξ ∈ J p (x)} , x, y ∈ X (1.8.1)Vì Định lý 1.6.2(b) và (1.6.1) trong không gian Banach, nên có thể được viết
Chú ý 1.8.1 [8] ∆ p không phải là một metric Trong không gian Hilbert thực
Bây giờ ta tổng hợp và chứng minh một số phần liên quan đến ∆ p và sự liên quan của nó đến chuẩn trong X Định lý 1.8.1 [8] Cho X trơn và lồi đều Khi đó với mọi x, y ∈ X và dãy (x n ) n trong X ta có như sau: i) ∆ p (x, y) ≥ 0 và ∆ p (x, y) = 0 ⇔ x = y. ii) lim kx n k→∞ ∆ p (x n , x) = ∞ nghĩa là dãy (x n ) n bị chặn nếu dãy (∆ p (x n , x)) n bị chặn. iii) ∆ p liên tục. iv) Những mệnh đề sau đây tương đương a) lim n→∞ kx n − xk = 0 b) lim n→∞ kx n k = kxk và lim n→∞ hJ p (x n ) , xi = hJ p (x) , xi c) lim n→∞ ∆ p (x n , x) = 0 . d) (x n ) n là dãy Cauchy nếu nó bị chặn và với mọi > 0 tồn tại một số n 0 ∈N sao cho ∆ p (x k , x 1 ) < với mọi k, l ≥ n 0
Chứng minh Phương trình (1.8.2) và (1.6.1) thõa
∆ p (x, y) ≥ 1 p kyk p + 1 q kxk p − p hJ p (x) , yi ≥ σ p (x, x − y)Chứng minh được phần (a) và (b) (c) và chiều suy ra (i) = ⇒ (ii) trong (d) là một Hệ quả của Định lý 1.5.7(b) và 1.6.2(c) Ta có (ii) = ⇒ (iii) trực tiếp từ định nghĩa của ∆ p (1.8.1) Chứng minh (iii)⇒ (i), thay x − y bằng y trong Định lý 1.5.3, ta được p∆ p (x, y) = kyk p + (p − 1) kxk p − p hJ p (x) , yi ≥ σ p (x, x − y).
Với biểu thức σ p ở (1.5.2), ta có
(kx − t (x − y)k ∨ kxk) p t δ X t kx − yk 2(kx − t(x − y)k ∨ kxk) dt.
Vì với mọi t ∈ [0, 1] kx − t(x − y)k ∨ kxk ≤ kxk + kx − yk
2 kx − yk (Trong trường hợp kxk ≥ 2 t kx − yk đã rõ ràng và ngược lại kx − t(x − y)k ≥ t 2 kx − yk), và δ X không giảm và không âm, ta có thể ước lượng
Z 1 0 t p−1 δ X t kx − yk 2(kxk + kx − yk dt
1 2 t p−1 δ X t kx − yk 2(kxk + kx − yk) dt
≥ kx − yk p δ X kx − yk 4(kxk + kx − yk
Từ đó ta có được
∆ p (x n , x) ≥ Ckx n − xk p δ X kx n − xk 4(kx n k + kx n − xk
Nếu lim n→∞ ∆ p(x n ,x) = 0 khi đó từ ý (b) của Định lý này ta có một hằng số R > 0 sao cho 4(kx n k + kx n − xk ≤ R với mọin ∈N Giả sử sup n→∞ kx n − xk > 0 Khi đó ta có thể tìm thấy một số > 0 và dãy con (x n k ) k của dãy(x n ) n sao chokx n k − xk ≥ với mọi k ∈N Vì thế, bằng tính đơn điệu của δ X và lồi đều của X (Định lý 1.5.2)
Mâu thuẫn với lim k→∞ ∆ p (x n k , x) = 0 Chứng minh tương tự (e) và một phần của (a) như trên.
1.9 Phương pháp điều chỉnh tổng quát, phương pháp điều chỉnh Tikhonov
Xét bài toán tìm nghiệm phương trình
⊂ X và X, Y là không gian Hilbert.
Thông tin y có được là do quan sát, đo đạc nên kết quả nhận được thường là giá trị gần đúng Kí hiệu y δ là dữ liệu nhiễu đo được của y, y δ − y
≤ δ. Nói chung, F không có toán tử ngược liên tục nên bài toán tìm nghiệm của phương trình trên không ổn định Vì vậy, người ta phải dùng phương pháp ổn định để giải các bài toán đặt không chỉnh, thông thường người ta sử dụng phương pháp điều chỉnh Tikhonov.
Xét phiếm hàm làm trơn
2 + αkx − x 0 k 2 (1.9.1) α > 0là tham số điều chỉnh Phần tử x δ α gọi là cực tiểu của phiếm hàm (1.9.1) nếu
Mục tiêu của phương pháp này là thay bài toán không chỉnh thành một họ các bài toán đặt chỉnh mà nghiệm của các bài toán đặt chỉnh đó hội tụ về nghiệm, khi tham số điều chỉnhα dần tới 0 Nghĩa là dựa vào bài toán cực tiểu trên, tìm quy tắc chọn tham số điều chỉnh α = α(δ, y δ )sao cho x δ α(δ,y δ ) → x 0 khi sai số δ → 0. Định nghĩa 1.9.1 [5] Cho X, Y là các không gian Hilbert, F : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục, α 0 ∈ (0, +∞] Với mỗi α ∈ (0, α 0 ), ta xét R α : Y → X là họ các toán tử liên tục.
Họ {R α } được gọi là một chiến lược điều chỉnh đối với toán tử F + nếu với mỗi y ∈ D(F + ), tồn tại một quy tắc chọn tham số điều chỉnh α = α δ, y δ sao cho δ→0 lim
≤ δ = 0, (1.9.2) trong đó α : (0, +∞) × Y −→ (0, α 0 ) thỏa mãn điều kiện δ→0 lim α δ, y δ
, khi đó(R α , α)được gọi là một phương pháp điều chỉnh hội tụ của phương trình (1.7.1) nếu (1.9.2) và (1.9.3) thỏa mãn Lúc đó,x δ α = R α y δ gọi là nghiệm điều chỉnh của bài toán trên. Định nghĩa 1.9.2 [5] Giả sử α là quy tắc chọn tham số của phương pháp điều chỉnh được nêu ở định nghĩa trên Nếu α chỉ phụ thuộc vào δ mà không phụ thuộc vào y δ thì α được gọi là một quy tắc chọn trước tham số Các trường hợp khác, α được gọi là quy tắc chọn sau tham số. Định lý 1.9.1 [5] Giả sử {R α } là một chiến lược điều chỉnh đối với F + Với mỗi y ∈ D(F + ), xét α : R + → R + là một quy tắc chọn trước tham số Khi đó, (R α , α) là một chiến lược điều chỉnh hội tụ của phương trình (1.7.1) khi và chỉ khi: lim δ→0 α (δ) = 0 và lim δ→0
= 0. Định lý 1.9.2 [5] Giả sử với mỗi α > 0, R α là toán tử liên tục từ Y vào X. Khi đó, họ {R α } là chiến lược điều chỉnh đối với F + nếu với y ∈ D F +
Hơn nữa, với mỗi y ∈ D(F + ), tồn tại một quy tắc chọn trước tham số α = α(δ) sao cho (R α , α) là một chiến lược điều chỉnh hội tụ của phương trình(1.7.1). Định lý 1.9.3 [5] Giả sử với mỗi α > 0 ta có {R α } là một chiến lược điều chỉnh đối với F + x α := R α y, ∀y ∈ Y.
Khi đó, nếu sup α>0 {kF R α k} < ∞ và y / ∈ D F + thìkx α k → +∞, khiα → 0. Định lý 1.9.4 [5] Giả sửF là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó, cực tiểu phiếm hàm (1.9.1) là tồn tại duy nhất và nó cũng là nghiệm của phương trình
F ∗ F x α + αx α = F ∗ y, y ∈ Y. Định lý 1.9.5 [5] Giả sử y δ là dữ liệu nhiễu của y với mức nhiễu δ, tức là y − y δ
≤ δ, tham số điều chỉnh α (δ) → 0 và α(δ) δ 2 → 0 khi δ → 0 Khi đó, nếu x δ α là các cực tiểu của phiếm hàm (1.9.1) với y δ thế chỗ y thì δ→0 lim x δ α = x + = F + y
Do đó, phương pháp điều chỉnh Tikhonov nói trên là hội tụ và x δ α sẽ hội tụ về nghiệm xấp xỉ tốt nhất x + khi tham số điều chỉnh α được chọn thích hợp.
Xét chiến lược chọn trước tham số của phương pháp điều chỉnh tuyến tính dựa trên Định lý về phổ của toán tử tuyến tính liên hợp như sau.
Cho {E λ } là họ phổ của F ∗ F Nếu F ∗ F khả nghịch liên tục thì
Từ (1.3.3), ta thấy nghiệm xấp xỉ tốt nhất của phương trình x + = F + y có thể viết dưới dạng sau x + = Z +∞
, nghĩa là bài toán F x = y là đặt không chỉnh thì tích phân (1.9.5) không tồn tại vì hàm dưới dấu tích phân λ 1 có cực tại 0, phụ thuộc vào phổ của F ∗ F Do đó, ta thay thế 1 λ bằng một họ tham số độc lập của của hàm số g α (λ) thỏa i) g α :
→R liên tục từng khúc trên
. ii) Tồn tại c > 0 sao cho |λg α (λ)| ≤ c và lim α→0 g α (λ) = 1 λ , ∀λ ∈
Và toán tử điều chỉnh đối với F + là R α :=R+∞
−∞ g α (λ) dE λ F ∗ Tương tự (1.9.6) đối với giá trị gần đúng y δ của y thỏa y − y δ
−∞ g α (λ) dE λ F ∗ y δ (1.9.7) Định nghĩa 1.9.3 [5] Cho hàm số g α (λ) đưuọc xác định như trên Khi đó, với mọi (α, λ) ta có phần dư r α (λ) := 1 − λg α (λ), (1.9.8) với r α (0) = 1.
(1 − λg α (λ)) dE λ x + (1.9.9) Do đó, từ Định nghĩa 1.9.3, ta có: x + − x α = r α (F ∗ F ) x + (1.9.10) Định lý 1.9.6 [5] Với α > 0, cho g α thỏa điều kiện (i) và (ii) Khi đó, i) Nếu y ∈ D F + thì lim α→0 g α (F ∗ F ) F ∗ y = x + ii) Nếu y / ∈ D F + thì lim α→0 kg α (F ∗ F ) F ∗ yk = +∞ Chứng minh. i) Từ (1.9.10), suy ra x + − x α
Do định nghĩa hàmg α (λ), ta có|λg α (λ)| ≤ cnênr α 2 (λ) = (1 − λg α (λ)) 2 trong
(1.9.11) bị chặn bởi hằng số (c + 1) 2 , khả tích và có độ đo d
2 Áp dụng Định lý hội tụ bị chặn, α→0 lim Z kF k 2 +α
Vì lim α→0 g α (λ) = λ 1 nên lim α→0 r α 2 (λ) = 0, λ > 0 Và r α (0) = 1 nên lim α→0 r 2 α (0) = 1
2 , với P là phép chiếu trực giao lên N (F )
2 = 0 hay lim α→0 g α (F ∗ F ) F ∗ y = x + ii) Với R α := g α (F ∗ F ) F ∗ và điều kiện (ii) của hàm g α (λ) ta có kF R α k = kg α (F ∗ F ) F F ∗ k ≤ c Áp dụng Định lý 1.9.4, với y / ∈ D F + thì kx α k → +∞ khi α → 0 Do đó, lim α→0 kg α (F ∗ F ) F ∗ yk = +∞ Định lý 1.9.7 [5] Giả sử g α và c xác định như trên x α , x δ α được cho trong (1.9.6) và (1.9.7) Với mỗi α > 0, xét
Chứng minh Theo (1.9.6) và (1.9.7) ta có x α − x δ α = g α (F ∗ F ) F ∗ y − g α (F ∗ F ) F ∗ y δ (1.9.16)
Gọi {E λ } gọi là họ phổ của F ∗ F Với mỗi y ∈ Y thỏa kyk = 1, ta có kF F ∗ g α (F F ∗ ) yk 2 =
0 c 2 dkE λ yk 2 = c 2 kyk 2 Do đó kF F ∗ g α (F F ∗ ) yk 2 ≤ c 2 (1.9.19) Từ (1.9.18), (1.9.19) ta có kg α (F F ∗ ) yk 2 =
G 2 α dkE λ yk 2 = G 2 α kyk 2 Hay kg α (F F ∗ ) yk 2 ≤ G 2 α (1.9.20)
Do (1.9.14) và (1.9.20) nên ta có x α − x δ α
Giả sử F là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó,
(1.9.22) được gọi là những tập nguồn (source set).
Do đó, nếu F + y ∈ X ν với một số giá trị ν > 0 thì
F + y = (F ∗ F ) ν f, f ∈ N (F ) ⊥ (1.9.23) Đây được xem là điều kiện trơn của y.
Phương pháp lặp Landweber
F x = y, (2.1.1) với F là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y, kF k ≤ 1, miền giá trị R (F ) ⊂ Y Dữ liệu gần đúng y δ thỏa điều kiện y − y δ
≤ δ Kí hiệu toán tử Moore-Penrose là F + thỏa D F +
R(F ) ⊥ Khi đó, phương pháp lặp Landweber đối với phương trình (2.1.1) được xác định như sau x δ k = x δ k−1 + F ∗ y δ − F x δ k−1
, k ∈ N, (2.1.2) trong đó F ∗ là toán tử liên hợp của F, x 0 là tiên nghiệm Trong luận văn này ta giả sử x 0 = 0. Định nghĩa 2.1.1 [4] Cho F : X −→ X là toán tử tuyến tính và x là một số phần tử của X Không gian con Krylov k chiều là không gian tuyến tính
! x = g (F ) x, trong đó g là đa thức có bậc tối đa là k − 1, nghĩa là g (λ) = ζ 0 + ζ 1 + ã ã ã + ζ k−1 λ k−1
Chúng ta muốn xây dựng một quy tắc chọn trước tham số để phương pháp điều chỉnh phải tối ưu theo bậc hội tụ nờn cần phải biết giỏ trị à > 0 sao cho x + ∈ X à Thụng thường thỡ chỳng ta sẽ khụng biết được giỏ trị này Do đú, chúng ta sẽ tìm hiểu thêm quy tắc chọn sau tham số Luận văn sẽ nghiên cứu về quy tắc chọn sau tham số theo nguyên lý sai số.
Xét g α , r α được xác định bởi (1.9.8), lấy τ > sup{|r α (λ)| : α > 0, λ ∈
0, kF k 2 ] (2.1.3) Định nghĩa 2.1.2 Theo nguyên lý sai số Morozov các bước lặp của (2.1.2) sẽ dừng sau α ∗ = α ∗ δ, y δ bước, với y δ − F x δ α ∗
, 0 ≤ α < α ∗ , (2.1.4) trong đó τ > 1 là số dương cho trước. Định nghĩa 2.1.3 [5] Tham số điều chỉnh được xác định thông qua nguyên lý sai số α δ, y δ
= +∞ và x δ α(δ,y δ ) được hiểu là giới hạn khi α −→ +∞, nghĩa là x δ ∞ := lim α→∞ x δ α
Ta có x δ ∞ = 0 (2.1.6) Định lý 2.1.1 [5] Một chiến lược điều chỉnh (R α ) với qui tắc chọn tham số điều chỉnh α được xác định như trên sẽ hội tụ với mọi y ∈ R(F ) và tối ưu theo bậc trờn X à,ρ với à ∈ 0, à 0 − 1 2
Chứng minh Giả sử tồn tại dãy {δ n } , δ n −→ 0 sao cho α δ n , y δ n
Suy ra x + = 0 = x δ α(δ n n ,y δn ) Vậy tồn tại δ đủ nhỏ sao cho α δ, y δ
Theo (1.9.28) và (1.1.1) ta suy ra
(2.1.9) Áp dụng bất đẳng thức nội suy (1.1.2) với x := r α (F ∗ F ) ω vàr = à, q = 2à+1 2 ta được x α − x +
≤ kr α (F ∗ F ) ωk 2à+1 1 kF x α − yk 2à+1 2à Đặt γ := sup
Từ (1.9.6) và (1.9.7) ta có x α − x δ α = g α (F ∗ F ) F ∗ y − y δ do đó
Kết hợp với (2.1.4) suy ra kF x α − yk ≤
Ta có với c > 0 là hằng số dương, ta có x α − x δ α
Vì (2.1.5) nên ta lấy β = 2α, theo (2.1.7) ta có:
≤ γδ. Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta được kF x 2α − yk ≥
Kết hợp với (2.1.7) và (2.1.8) ta có δ ≤ c kT x 2α − yk = c
2 (2α) ρ ≤ cα à+ 1 2 ρ. Điều này đỳng với (2.1.14), do đú với 0 < à < à 0 − 1 2 , quy tắc chọn tham số điều chỉnh theo nguyên lý phân kỳ thì chiến lược điều chỉnh sẽ tối ưu theo bậc (xem Định lý 1.9.7).
Cuối cùng để chứng minh sự hội tụ của phương pháp điều chỉnh ta áp dụng Định lý 1.9.7 với à = à 0 − 1 2 , τ 0 = γ, α τ được xỏc định như trong (2.1.5) ta cú phương pháp điều chỉnh với quy tắc chọn tham số phân kỳ sẽ hội tụ với mọi y ∈ R(F ). Định lý 2.1.2 [5] Nếu y ∈ D F + thì x k → F + y khi k → ∞ Nếu y / ∈ D F + thì kx k k → ∞ khi k → ∞.
Chứng minh Dãyx k có thể được biểu diễn như sau x k = k−1
Giả sử y ∈ D(F ), theo (1.3.3) ta có F ∗ y = F ∗ F x + , với x + = F + y ∈ X. Ta có x + − x k = x + − F ∗ F k−1
Xét hàm đa thức được định nghĩa trong phương pháp điều chỉnh tổng quát g k (λ) =Pk−1 j=0 (1 − λ) j và phần dư r k (λ) = (1 − λ) k Khi đó, từ (2.1.17) suy ra x + − x k = r k (F ∗ F ) x +
Vì kF k ≤ 1 và g k (λ) liên tục nên λg k (λ) = 1 − r k (λ) bị chặn đều với λ ∈ (0, 1] và g k (λ) hội tụ về 1 λ khi k → ∞ nên r k (λ) hội tụ về 0. Áp dụng Định lý 1.9.5 với k −1 đóng vai trò là α, ta có được điều phải chứng minh.
Theo Định lý 2.1.3 thì dãy {x n } hội tụ về nghiệm bình phương tối tiểu x + khi y ∈ D(F + ) Dãy {x k } phân kỳ khi dữ liệu nhiễu y δ ∈ / D F +
Mặt khác, số bước lặp phụ thuộc liên tục vào dữ liệu nên sai số của dữ liệu truyền không thể lớn tùy ý) Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm một ước lượng đơn giản để đánh giá sai số trong phương pháp lặp Landweber. Định lý 2.1.3 [5] Cho y, y δ thỏa mãn y − y δ
≤ δ, xét {x k } và {x δ k } là hai dãy lặp tương ứng với (2.1.2), nghĩa là x δ k = x δ k−1 + F ∗ y δ − F x δ k−1
Chứng minh Từ (2.1.15), ta có: x k − x δ k = k−1
Mặt khác, theo (2.1.16) nên ta có kR k k 2 = k−1
Do I − F ∗ F là nửa xác định dương, kI − F ∗ F k ≤ 1.
Nhận xét 2.1.1 R k trong định lý trên chính là toán tử điều chỉnh đối với F + Định lý 2.1.4 [5] Giả sử y ∈ R(F ) và x là nghiệm của phương trình F x = y.
> 2δ thì x δ k+1 xấp xỉ x + tốt hơn x δ k
Chứng minh Từ (2.1.2) ta có x + − x δ k+1
Vì (F F ∗ − I) là nửa xác định âm nên x + − x δ k
> 2δ, suy ra vế phải của (2.1.19) dương. Định lý 2.1.5 [5] τ > 1 thì theo nguyên lý sai số, chỉ số dừng k(δ, y δ ) đối với phương pháp lặp Landweber là hữu hạn, với k δ, y δ
Chứng minh Xét tại thời điểm dãy {x n } tương ứng với phép lặp Landweber với dữ liệu chính xác y.
2 = ky − F x j k 2 +hy − F x j , (I − F ∗ F ) (y − F x j )i ≥ ky − F x j k 2 Lấy tổng các bất đẳng thức trên từ j = 1 đến k, ta được x + − x 1
≤ cδ −2 với cchỉ phụ thuộc vào τ. Định lý 2.1.6 [5] Nếu y ∈ R (F ) thì phương pháp lặp Landweber thỏa nguyên lý phân kỳ là phương pháp điều chỉnh tối ưu (với τ > 1 cho trước) Nếu F + y ∈ X à , à > 0 thỡ k δ, y δ
Tuy nhiên, phương pháp lặp Landweber ít được ứng dụng vì số bước lặp rất lớn Sau đây chúng tôi trình bày phương pháp lặp phi tuyến để giải phương trình (1.7.1).
Phương pháp lặp phi tuyến
Phương pháp lặp phi tuyến đối với trường hợp dữ liệu chính xác
Đầu tiên ta xét trường hợp dữ liệu chính xác y ∈ R(A) Cho x là nghiệm chuẩn nhỏ nhất của (2.2.1) (tồn tại theo bổ đề 1.7.1(a)) Để tìm x, chúng tôi đề xuất như sau:
Phương pháp 1 0) Nếu y = 0 thì x = 0, và kết thúc Ngược lại, ta thực hiện bước tiếp theo:
1) Chọn p, r ∈ (1, ∞) cố định, chọn một hằng số
C ∈ (0, 1), (2.2.1) và một vecto x 0 ∈ X ban đầu sao cho
J p (x 0 ) ∈ R (A ∗ ) v ∆ p (x 0 , x) ≤ 1 p kxk p , (2.2.2) với n = 0, 1, 2, ta lặp lại các bước sau:
Nếu R n = 0 ST OP, nếu không ta chọn các tham số như sau: a) Trường hợp x 0 = 0, ta đặt à 0 := C q p−1 kAk p R 0 p−r (2.2.4) b) Với mọi n ≥ 0 (tương tự n ≥ 1 nếu x 0 = 0) ta có λ n := (ρ X ∗ (1)) ∧
, (2.2.5) với G q > 0 là một hằng số trong (1.6.2) Do X ∗ là trơn đều (Định lý 1.5.4) ta có thể tìm được một τ n ∈ (0, 1] với ρ X ∗ (τ n ) τ n = λ n
Khi đó ta đặt à n := τ n kAk kx n k p−1
Phép lặp được định nghĩa bởi J p (x n+1 ) = J p (x n ) − à n A ∗ j r (Ax n − y) , x n+1 = J q (J p (x n+1 )) (2.2.7) Chú ý 2.2.1. a) Chọn vecto ban đầux 0 và định nghĩa phép lặp đảm bảo rằngJ p (x n ) ∈ R(A ∗ ) với mọi n ∈N Luôn có thể chọn x 0 = 0 vì ∆ p (0, x) = 1 p kxk p b) Nếu luật dừngR n = 0được thực hiện vớin ∈NthìkA(x n − x)k = kAx n − yk = R n = 0 và vì x − x n nằm trong N (A) Do (a) và Bổ đề 1.7.1 x n là nghiệm cần tìm. c) Trong chứng minh sự hội tụ của phương pháp trên ta sẽ thấy (2.2.2) cũng đảm bảo rằng x n 6= 0 với mọi n ≥ 1 và vì thông số τ n (2.2.5) luôn xác định.
Bây giờ ta chứng minh định lý chính của luận văn này. Định lý 2.2.1 [8] Phương pháp lặp 1 dừng lại sau một số lần hữu hạn các bước lặp với nghiệm chuẩn nhỏ nhất x của (1.7.1) hoặc dãy các nghiệm lặp (x n ) n hội tụ mạnh tới x.
Chứng minh Nếu phương pháp dừng tại bước n với R n = 0 thì đã giải xong (Chú ý 2.2.1(b)) Giả sử R n > 0 với mọi n ≥ 0 Chứng minh sự hội tụ trong trường hợp này sẽ được xây dựng như sau: đầu tiên ta sẽ trình bày dãy (∆ n ) n với
∆ n := ∆ p (x n , x) = 1 q kx n k p + 1 p kxk p − hJ p (x n ) , xi (2.2.8)(xem (1.7.1) tuân theo một bất phương trình đệ quy bao hàm sự hội tụ của nó Từ đó ta suy ra dãy (x n ) n có một dãy con Cauchy và cuối cùng (x n ) n hội tụ mạnh về x.
Phương trình (2.2.1) và (1.6.1) kết hợp với (2.2.8) ta được
∆ n+1 = 1 q kJ p (x n ) − à n A ∗ j r (Ax n − y)k q + 1 p kxk p − hJ p (x n ) − à n A ∗ j r (Ax n − y) , xi
= 1 q kJ p (x n ) − à n A ∗ j r (Ax n − y)k q + 1 p kxk p − hJ p (x n ) , xi + à n hj r (Ax n − y) , Axi
Trong trường hợp x 0 = 0, ta có R 0 = kyk > 0 và ∆ 0 = 1 p kxk p và vì (2.2.9) ta có
∆ 1 = 1 q à q 0 kA ∗ j r (y)k q + ∆ 0 − à 0 hj r (y) , Axi ≤ 1 q à q 0 kAk q R (r−1)q 0 + ∆ 0 − à 0 R r 0 Vỡ Ax = y Bằng cỏch chọn à 0 ở (2.2.4), chỳng ta nhận được ước lượng:
∆ 1 ≤ C q q p−1 kAk p R p 0 + ∆ 0 − C q p−1 kAk p R p 0 = ∆ 0 − C 1 − C q−1 q p−1 kAk p R p 0 , và vì ∆ 1 < ∆ 0 = 1 p kxk p , với x 1 6= 0 với mọi n ≥ 0 (tương tự n ≥ 1 nếu x 0 = 0), ta áp dụng Định lý 1.6.3 và 1.6.2(c) vào phương trình (2.2.9) ta được
+ 1 p kxk p − hJ p (x n ) , xi + à n hj r (Ax n − y) , Axi Với (2.2.8) có thể được viết
∆ n+1 ≤ ∆ n − à n hj r (Ax n − y) , Ax n − Axi + 1 qe σ q (J p (x n ) , à n A
Bây giờ ta sẽ ước lượng tích phân trong biểu thức hiện cho e σ q trong (1.6.2).
Chọn à n (2.2.6) và τ n (2.2.5) thỏa với mọi t ∈ [0, 1] kJ p (x n ) − tà n A ∗ j r (Ax n − y)k ∨ kJ p (x n )k ≤ kx n k p−1 + à n kAk R r−1 n
= kx n k p−1 (1 + τ n ) ≤ 2kx n k p−1 , và kJ p (x n ) − tà n A ∗ j r (Ax n − y)k ∨ kJ p (x n )k ≥ kJ p (x n )k = kx n k p−1
Do ρ X ∗ đơn điệu ta được eσ q (J p (x n ) , à n A ∗ j r (Ax n − y)) ≤ qG q
Chọn C (2.2.1) và τ n (2.2.5) ta có được bất phương trình đệ quy sau
Vì thế, cũng như trong trường hợp x 0 6= 0, quan hệ ∆ 1 < ∆ 0 ≤ 1 p kxk p vẫn đúng (2.2.2) Bằng quy nạp, ta nhận được cho mỗi vecto ban đầu
0 ≤ ∆ n+1 ≤ ∆ n ≤ ∆ 1 < ∆ p (0, x) = 1 p kxk p (2.2.12) Và kết luận rằng x n 6= 0 với mọi n ≥ 1 và dãy (∆ n ) n là không tăng, và vì thế hội tụ, đặc biệt là bị chặn Định lý 1.8.1(b) đảm bảo rằng dãy (x n ) n là bị chặn, nó cũng bao hàm tính bị chặn của dãy (J p (x n )) n (1.6.1) và (R n ) n (2.2.3).
Từ (2.2.11) ta có thể tiếp tục lấy
0 ≤ 1 − C kAk τ n kx n k p−1 R n ≤ ∆ n − ∆ n+1 Và vì với mọi N ∈N, ta có
Giả sử lim inf n→∞ R n > 0 Khi đó tồn tại n 0 ∈N và > 0 sao choR n ≥ với mọi n ≥ n 0 và vì thế
Với (x n ) n là dãy khác rỗng, vì tính bị chặn của(x n ) n vàR n ≥ nên dãy(τ n ) n cũng bị giới hạn về 0 (2.2.5) Tính liên tục của ∆ p (., x) (Định lý 1.8.1(c)) và (2.2.12) ta có
1 p kxk p = ∆ p (0, x) = lim n→∞ ∆ p (x n , x) = lim n→∞ ∆ n < 1 p kxk p Điều này mâu thuẫn Vì thế ta có lim inf n→∞ R n = 0, và vì thế ta có thể chọn một dãy con (R n k ) k với tính chất rằng
Tính chất này đúng với mỗi dãy con của (R n k ) k Vì tính bị chặn của (x n ) n và (J p (x n ) n , ta có thể tìm được một dãy con (x n k ) k với
(S.1) Dãy của chuẩn (kx n k k) k hội tụ, (S.2) Dãy (J p (x n k )) k hội tụ yếu và (S.3) ) Dãy (R n k ) k thõa (2.2.14).
Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng (x n k ) k là một dãy Cauchy Với (1.8.2) , ta có với mọi l, k ∈N với k > l
Vì kết luận đầu tiên của (S.1) hội tụ tới không với l → ∞ Kết luận thứ hai có thể được viết như sau: hJ p (x n k ) − J p (x n l ) , x n k i = hJ p (x n k ) − J p (x n l ) , xi + hJ p (x n k ) − J p (x n l ) , x n k − xi
Kết luận đầu tiên hội tụ tới không với l → ∞ ở (S.2) Ta ước lượng kết luận thứ hai:
Sự định nghĩa đệ quy của phương pháp (2.2.1) có
Từ (2.2.13), vế phải hội tụ về không với l → ∞, vì thế ∆ p (x n l , x n k ) cũng hội tụ về không.
Từ Định lý 1.8.1(e), ta kết luận rằng(x n k ) k là một dãy Cauchy và vì thế hội tụ về một x ˜ ∈ X Để chứng minh x ˜ = x và lim n→∞ kx n − xk = 0 Ta có:
Với vế trái hội tụ tới không với k → ∞ (S.3) VìA hội tụ về kA(˜ x − x)k ở vế phải với k → ∞ và ta có thể thấy x ˜ − x nằm trong N (A) Mặt khác, J p (˜ x) nằm trong R(A ∗ ) bởi Chú ý 2.2.1(a) và Định lý 1.6.2(c) và cùng với Bổ đề 1.7.1(b) cho thấy rằng x ˜ = x Vì thế bằng sự liên tục của ∆ p (., x) và (1.8.2), ta có: k→∞ lim ∆ n k = lim k→∞ ∆ p (x n k , x) = ∆ p (x, x) = 0.
Vì dãy (∆ n ) n hội tụ và có dãy con hội tụ về không, nó phải khác rỗng Bằng Định lý 1.8.1(d), ta kết luận được rằng (x n ) n hội tụ mạnh về x.
Phương pháp lặp phi tuyến đối với trường hợp dữ liệu gần đúng
hữu hạn chiều hoặc khi toán tử (A l ) l cho phép tính toán nhanh hơn của A l x n Ta giả sử rằng ta ước lượng khoảng cách ky k − yk ≤ δ k , δ k > δ k+1 > 0, lim k→∞ δ k = 0 (2.2.15) kA l − Ak ≤ η l , η l > η l+1 > 0, lim l→∞ η l = 0 (2.2.16) Hơn nữa, để đúng với trường hợp thứ hai (2.2.16), ta cần một ước lượng tiên nghiệm (priori) cho chuẩn của nghiệmx, nghĩa là tồn tại một số R > 0sao cho kxk ≤ R (2.2.17)
Phương pháp 1 phải được thay đổi phù hợp với các xấp xỉ.
Phương pháp 2 (1) Ta cố định p, r ∈ (1, ∞), chọn hằng số
Và một vecto ban đầu x 0 ∈ X sao cho
J p (x 0 ) ∈ R (A ∗ ) v ∆ p (x 0 , x) ≤ 1 p kxk p (2.2.20) Ta đặt k −1 := 0 và l −1 := 0 và với n = 0, 1, 2, ta lặp lại các bước sau:
(2) Nếu với mọi k > k n−1 và l > l n−1 kA l x n − y k k < 1
D (δ k + η l R) (2.2.21) ST OP, ngược lại ta có thể tìm k n > k n−1 và tất cả l > l n−1 δ k n + η l n R ≤ DR n (2.2.22)
Ta chọn các tham số theo i) Trong trường hợp x 0 = 0, ta đặt à 0 := C(1 − D) p−1 q p−1
S p R p−r 0 (2.2.24) ii) Với mọi n ≥ 0 (tương tự n ≥ 1 nếu x 0 = 0), ta đặt λ n := (ρ X ∗ (1)) ∧
Với G p > 0 là hằng số trong (1.6.2) và chọn một τ n ∈ (0, 1] với à n := τ n
Phép lặp được định nghĩa bởi:
Chú ý 2.2.2 [8] a) Nếu luật dừng (2.2.21) thỏa với một n ∈N khi đó với mọi k > k n−1 và mọi l > l n−1 kA l x n − y k k < 1
Với vế trái hội tụ về kAx n − yk = kA(x n − x)k và vế phải hội về không với l, k → ∞ (2.2.15), (2.2.16) và, giống như trong trường hợp dữ liệu chính xác ta có x n là nghiệm cần tìm. b) Điều kiện (2.2.22) đảm bảo rằng dãy (∆ n ) n là không giảm.
Những khẳng định của định lý 3.1 vẫn còn đúng. Định lý 2.2.2 [8] Phương pháp 2 dừng lại sau một số hữu hạn các bước lặp với nghiệm x chuẩn nhỏ nhất của (1.7.1) hoặc dãy các bước lặp (x n ) n hội tụ mạnh về x.
Chứng minh Chứng minh điều này đơn giản hơn so với trường hợp dữ liệu chính xác và tôi chỉ đưa ra những khác biệt chính Nếu luật dừng (2.2.21) không bao giờ thỏa theo (2.2.22) và (2.2.15), (2.2.16) ta luôn có R n > 0 Trong trường hợp x 0 = 0, ta ước lượng
+ à 0 hj r (y k 0 ) , Ax − A l 0 xi Vì (2.2.15), (2.2.16), (2.2.17) và (2.2.18), ta được
∆ 1 ≤ 1 q à q 0 S q R (r−1)q 0 + ∆ 0 − à 0 R r 0 + à 0 R r−1 0 (δ k 0 + η k 0 R ) Phương trỡnh (2.2.22) và chọn à 0 (2.2.24) ta được
S p R p 0 Cho nên ∆ 1 < ∆ 0 và đặc biệt x 1 6= 0 Với (2.2.22) và vì
≤ − à n R r n + à n R r−1 n (δ k n + η l n R) Trong phương trình (2.2.10) trở thành với mọi n ≥ 0 (tương tự n ≥ 1 nếu x 0 = 0)
Kết luận cuối cùng có thể ước lượng tương tự như trường hợp dữ liệu chính xác bằng cách eσ q J p (x n ) , à n A ∗ l n j r (A l n x n − y k n )
Bằng cách chọn τ n (2.2.25), ta được
S τ n kx n k p−1 R n (2.2.28) Bây giờ ta tiến hành như bất đẳng thức (2.2.11) và lưu ý rằng:
Với (2.2.15), (2.2.16) (dãy (δ n ) n và (η n ) n là không tăng) và (2.2.17) ta có
Ta cho một hằng số R >e 0 sao cho kx n k ≤ Re với mọi n ∈R Khi đó từ công thức (2.2.22) và tính chất (S.3) của chuỗi (R n j ) j , ta có:
Dùng nguyên tắc sai số đối với quy luật dừng
Bây giờ ta xét trường hợp dữ liệu bị nhiễuy δ và toán tử bị nhiễu A η với mức độ nhiễu ky − y δ k ≤ δ v kA − A η k ≤ η (2.2.29)
Ta áp dụng Phương pháp 2 với δ k = δ và η l = η với mọi k, l ∈ N và sử dụng nguyên lý chênh lệch Để điều kiện cuối (2.2.21) thỏa với một luật dừng đơn giản; ta giới hạn ở vòng lặp đầu tiên
Bởi vì miễn là R n ≥ D 1 (δ + ηR) khi đó theo (2.2.28) và Chú ý 2.2.2(b) x n+1 là một xấp xỉ tốt hơn cho x hơn là x n Vì hệ quả này và Định lý 2.2.1 (cho δ, η → 0), ta có thể tính như sau.
Hệ quả 2.2.1 [8] Cùng với nguyên lý chênh lệch như luật dừng (2.2.30) Phương pháp 2 là một phương pháp điều chỉnh cho bài toán (1.7.1).
Chú ý 2.2.3. a) Điều này cũng chứng tỏ sự ổn định của Phương pháp 1. b) Vì chọn j r không cần liên tục (và trong thực tế không thể liên tục nếu J r là được thiết lập giá trị), phương pháp là một ví dụ cho sự điều chỉnh với ánh xạ không liên tục.
Các ví dụ số và ứng dụng Để thực hiện phương pháp ta cần ước lượng hằng số G p trong (1.6.2) Vì sự tổng quát của Định lý 2.1.5, giá trị nhận được có thể không phải tốt nhất trong trường hợp đặc biệt Để nhận được ước lượng tốt hơn ta có thể sử dụng quan sát sau Trong chứng minh Định lý 1.6.3 (ở đây sử dụng không gian đối ngẫu X ∗ ), có thể thấy đươc rằng giá trị của G q xuất phát từ một ước lượng của dạng kJ q (x) − J q (y)k ≤ G q (kxk ∨ kyk) q kx − yk ρ X ∗ kx − yk kxk ∨ kyk
Hơn nữa, cho X ∗ có hệ số trơn của số mũ loại t, nghĩa là với một số hằng số K > 0 ρ X ∗ (τ) ≤ Kτ t Sau đó ta có thể sử dụng kJ q (x) − J q (y)k ≤ G q K(kxk ∨ kyk) q−t kx − yk t−1
Và các tham số τ n trong Phương pháp 1 (tương tự cho Phương pháp 2) có thể được chọn như sau τ n = 1 ∧
R n kx n k t−1 1 Ví dụ trong không gian l q , ta có kJ q (x) − J q (y)k ≤
Với C < 1 là cần thiết để chứng minh sự hội tụ trong trường hợp tổng quát.
Trong các trường hợp cụ thể, nó có thể được nới lỏng vì trong thực tế hầu hết các ước lượng của G q K không rõ.
Như ví dụ đầu tiên ta muốn xác định điểm trên một đường thẳng có khoảng cách nhỏ nhất tới đường gốc trong chuẩn l p
. Tập nghiệm L của phương trình Ax = y được cho bởi đường thẳng
Các chỉ số của J p và j r = J r là của X = R 2 , k.k p và Y = (R 2 , k.k r ) Một ước lượng cho chuẩn của A là kAk ≤ 2 1+ 1 r Ta tổng hợp các kết quả trong bảng sau (vector ban đầu luụn là x 0 = 0 và C = 0.9 trong à 0 ) Hỡnh 3.1 là cỏc điểm x n cho các giá trị p = 2, 6, 1.5 p r xn Rn C
Hình 3.1: Các điểm trên đường thẳng có khoảng cách nhỏ nhất tới đường gốc trong chuẩn l p với các giá trị khác nhau của p
Ví dụ thứ hai sẽ mô tả ứng dụng của phương pháp khi Y không trơn và lồi đều Ta xét phương trình của loại đầu tiên g (t) = (Af ) (t) :=
Hàm dữ liệu g được cho như (g (t k )) 2000 k=1 với t k = 2000 1 k với k = 1, , 2000 Ta rời rạc toán tử A bằng ma trận
Vì thế, ta có thể tính bài toán này dưới dạng (1.7.1) với X = (R 2000 , k.k 2 ),Y = (R 2000 , k.k ∞ ) Như toán tử đối ngẫu ở phía X ta lấy được ánh xạ đồng nhất và phía Y ta chọn j 2 như Ví dụ 1.6.1(c).
Hình 3.2: Hình trái: Dữ liệu và nghiệm chính xác Hình phải: Xây dựng lại sau 1134 bước lặp.
Hình 3.3: Hình trên: Dữ liệu nhiễu Hình dưới: Các nghiệm chính quy.
Trong các Phương pháp 1 và 2, ta đặt C = 4 và D = 0.5 Một số kết quả được trình bày ở Hình 3.2 và 3.3.
Như nghiệm chính xác (phía dưới bên trái Hình 3.2), ta lấy một hàm bao gồm các hàm hằng từng phần, một hàm bình phương, hàm sin và hàm độ dốc.
Kết quả sau n = 1134 bước với R n = 0.0099 ở hình giống nhau phía bên tay phải.
Trong hình 3, ta thêm một số nhiễu vào dữ liệu Nghiệm chính quy thu được sau n = 1692 bước (mức độ nhiễu δ = 0.01, R n = 0.0200), tương ứng, n = 464 bước (mức độ nhiễu δ = 0.03, R n = 0.0597).
Chú ý 3.0.1. i) Ví dụ đầu tiên trình bày phương pháp có thể sử dụng để giải trong trường hợp đặc biệt của một bài toán tối ưu lồi minf (x) giới hạn bởi Ax = y, với hàm lồi f : X −→ R là một số mũ của chuẩn của không gian Banach X trơn và lồi đều. ii) Phương pháp trong ví dụ thứ hai trình bày một hiệu ứng bậc thang và tìm nghiệm hầu hết không liên tục một cách chính xác Hơn nữa, mỗi bước lặp chỉ cần các toán tử O(N ) (với N = dimX ) Có thể thấy được như sau: cho a 1 , , a N ∈R N là các cột của A ∗ , vì thế a T 1 , , a T N là các dòng của A Ta tính lại ma trận
G = (g 1 , , g N ) = AA ∗ Cho các thông số, ta nhận được với mọi n ∈N à n = à = 1−D kAk 2 với kAk = max 1≤i≤N ka i k 2 Ta đặt r n = Ax n − y và vì thế R n = kr n k ∞ Và ta thấy rằng
Với i n là chỉ số với
= R n Bằng cỏch đặt β n = àR n sgn (r n ) i n
, ta thu được đệ quy x n+1 = x n − β n a i n Và r n+1 = r n − β n g i n
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI Trong luận văn này tôi đã nghiên cứu và tìm hiểu được các vấn đề sau:
1) Tham khảo và trình bày lại các kiến thức cơ sở liên quan đến luận văn.
2) Đọc, hiểu và chứng minh rõ các định lý, sự tồn tại nghiệm cũng như sự hội tụ mạnh các phương pháp lặp phi tuyến cho bài toán đặt không chỉnh tuyến tính trong một lớp khá tổng quát của không gian Banach.
3) Dùng phương pháp lặp phi tuyến giải số tìm nghiệm bài toán đặt không chỉnh đối với dữ liệu y chính xác dùng chương trình Matlab.
4) Trong quá trình nghiên cứu tôi nhận thấy rằng tốc độ hội tụ dường như phụ thuộc vào tính chất hình học của các không gian liên quan, tốc độ và hiệu quả thực hiện của các phương pháp không sử dụng rõ (kiến thức) hằng số G q và hệ số trơn củaX ∗ Tính trơn (phản xạ) của không gian đối ngẫu X ∗ là cần thiết vì từ Định lý 1.6.2(b) nó tương đương với ánh xạ đối ngẫu J q : X ∗ −→ X là đơn trị (single valued) Để thấy rằng phương pháp không hội tụ nếu J q không đồng nhất, ta xem xét như sau:
ChoA đơn ánh và x ∈ X = R N , k.k ∞ nghiệm duy nhất của 1.7.1 sao cho không phải tất cả các thành phần của x có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
Như J q : (R N , k.k 1 ) −→ X ta lấy từ Ví dụ 1.6.1(c) buộc tất cả các thành phần của mỗi x n có giá trị tuyệt đối bằng nhau và vì thế phương pháp không thể hội tụ.
Trong quá trình thực hiện luận văn này, tuy đã nổ lực và cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những hạn chế cũng như thiếu sót, tác giả mong nhận được sự thông cảm và ý kiến đóng góp của quý Thầy Cô và bạn đọc.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
[1] Phạm Kỳ Anh, Bài toán đặt không chỉnh, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007.
[2] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, NXBGD, 1978.
[3] Andreas Kirsh, An Introduction to Mathematical Theory of Inverser Prob- lems, USA, 1996.
[4] C W Groetsch, Elements of Applicable Functional Analysis, USA, 1982.
[5] Heinz W.Engl, Martin Hanke and Andreas Neubauer, Regularization of In- verse Problems, Kluwer, 2002.
[6] Martin Hanke,Accelerated Landweber iterations for the solution of ill-posed equation, Numer Math 60, 341 373, (1991).
[7] P.C.Hansen, Regularization Tools: A Mathlab package for analysis and so- lution of discrete ill-posed problems, Numerical Algorithms, 46 (2007)
[8] C.E.Chidume, Geometric Properties of Banach Spaces and Nonlinear Iter- ations, Lecture Notes in Mathematics, vol 1965, Springer-Verlag London, Ltd., London(2009)
[8] F Sch¨opfer, A K Louis and T Schuster, Nonlinear iterative methods for linear ill-posed problems in Banach spaces, Paper, Published 2006
1 Định lý ánh xạ phổ Giả sử T là toán tử tự liên hợp, với mọi đa thức p ta có σ(p(T )) = p(λ) : λ ∈ σ(T ).
2 Hệ kỳ dị (Singular system) Định nghĩa 3.0.1 Toán tử tuyến tính K : X → Y là toán tử tuyến tính tự liên hợp Compact với các giá trị riêng λ 1 , λ 2 , và các vectơ riêng trực giao đầy đủ tương ứng v 1 , v 2 , Khi đó với mỗi x ∈ X, ta có
X n=1 λ n hx, v n iv n Định nghĩa 3.0.2 Cho K : X → Y là toán tử tuyến tính liên hợp Compact, K ∗ : Y → X là toán tử liên hợp của K, σ n > 0 là những giá trị riêng khác 0 của toán tử tự liên hợp K ∗ K, v n( n ∈ N ) là hệ các vectơ riêng trực giao đầy đủ với vectơ riêng của K ∗ K và u n( n ∈ N ) được xác định như sau u n := kKv Kv n n k Khi đó hệ (σ n , v n , u n ) được gọi là hệ kỳ dị.
%Input some constants p = input(’Nhap p: ’); r = input(’Nhap r: ’);
C = input(’Nhap C: ’); q=(1-1/p)^-1; s=(1-1/r)^-1; tau0 = (sqrt(339)-18)/30; rho1 = sqrt(2)-1; zero = zeros(2,1);
ANorm = norm(A); err = 1; j = 0; mult_tau0 = 1; while err > 1e-6 j = j + 1; temp_tau0 = mult_tau0; mult_tau0 = mult_tau0 * (1+(15/2^(j+2))*tau0); err = abs(mult_tau0 - temp_tau0); end c = 4*(tau0/(sqrt(1+tau0^2)-1))*mult_tau0;