Tuy nhiên, trong trường hợp không gian Banachvô hạn chiều, việc xác định dạng của cơ sở Hamel không phải là đơn giản.. Luận văn "Cơ sở trong không gian Banach" gồm 3 chương:Chương 1: Kiế
Mối quan hệ giữa cơ sở trong không gian Banach thực và phức
phức nên câu hỏi tự nhiên đặt ra là cơ sở trong không gian Banach phức có liên hệ với cơ sở trong không gian Banach thực như thế nào và ngược lại? Ta sẽ trả lời câu hỏi này theo 2 phương diện sau:
4.1.1 Thu hẹp trường vô hướng
Cho X là không gian Banach trên trường số phức CI Khi đó X cũng là không gian Banach trên trường con IR - tập các số thực Không gian Banach này kí hiệu là X (r) và nó được gọi là không gian Banach thực nhận được từ X bằng cách thu hẹp trường vô hướng hay nói ngắn gọn hơn là không gian Banach thực liên kết với X Mối quan hệ giữa cơ sở của X và cơ sở của X(r) cho bởi mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1 Dãy (en) là cơ sở của không gian Banach X nếu và chỉ nếu dãy (zn) được xác định bởi z 2n−1 =e n ;z 2n = ie n (n= 1,2, ) (2.8) là một cơ sở của X(r).
Chứng minh Điều kiện cần:
Giả sử (en)∈ X là cơ sở của không gian Banach phức X. Khi đó, với mọi x ∈ X, tồn tại duy nhất dãy (α n ) với α n = β n +iγ n ∈ CI sao cho x ∞
Hơn nữa sự biểu diễn của x là duy nhất vì nếu
Theo giả thiết (e n ) là cơ sở của X, do đó β n +iγ n = 0, ∀n= 1,2, Suy ra βn = γn = 0, ∀n= 1,2,
Vậy (zn) là một cơ sở của X (r) Điều kiện đủ:
Ngược lại, nếu (z n )∈X được định nghĩa bởi (2.8) là một cơ sở của X (r) thì bằng lập luận tương tự ta cũng chứng minh được (en) là cơ sở của X.
Chú ý: Với giả thiết của mệnh đề trên , X (r) có một cơ sở dạng (2.8), ngoài ra nó có thể có những cơ sở khác mà không có dạng (2.8).
Chẳng hạn: Cho X là không gian Banach phức một chiều, khi đó mọi cơ sở của X đều có dạng {x 1 } trong đó x1 6= 0.
Tuy nhiên, với mọi x ∈ X, x 6= 0, đặt z 1 = x, z 2 = (i+ 1)x thì {z 1 , z 2 } là một cơ sở của X (r) và rõ ràng nó không có dạng {x1, ix1} với mọi x1 ∈ X.
Mệnh đề 2.2 Giả sử X là không gian Banach phức và X (r) là không gian Banach thực liên kết với X; X ∗ và (X(r)) ∗ tương ứng là không gian liên hợp của X và X (r)
Khi đó ánh xạ φ : X ∗ −→(X (r) ) ∗ f 7−→φ(f)(x) = g(x) =Ref(x), x ∈X(r) là ánh xạ tuyến tính đẳng cự.
Chứng minh Giả sử f ∈X ∗ và hàm g được xác định bởi: g(x) = Ref(x), x∈ X(r)
Khi đó g ∈(X (r) ) ∗ và Imf(x) =Re[−if(x)] =−Ref(ix) = −g(ix).
Do đó f(x) =g(x)−ig(ix) được xác định duy nhất bởi g.
Ngược lại, giả sử g ∈(X (x) ) ∗ và hàm f được xác định bởi: f(x) = g(x)−ig(ix), ∀x∈ X
Ta có f ∈ X ∗ vì f(ix) = g(ix)−ig(−x) =g(ix) +ig(x) =if(x) ∀x∈ X Hơn nữa, vìX (r) là không gian Banach thực vàg ∈ (X (r) ) ∗ , g(x)∈ I ,R ∀ ∈X nên Ref(x) = g(x), Imf(x) = −g(ix) với mọi x∈ X.
Tức là tồn tại ánh xạ
Mặt khác, ánh xạ này tuyến tính và là phép đẳng cự.
Thật vậy, nếu f(x) =re iθ (r > 0và θ là số thực) thì vì f(x) là số thực nên ta có f(x) = r= f(xe −iθ ) =g(xe −iθ )≤ g e −iθ x = g x , ∀x∈ X
Suy ra, f ≤ g Mặt khác, g(x) = Ref(x) ≤ f(x) ≤ f x , ∀x∈ XSuy ra, f ≥ g
Theo lập luận ở trên, cho trước không gian Banach phức X luôn tồn tại một không gian Banach thực liên kết X (r) Ngược lại, câu hỏi tự nhiên đặt ra: không gian Banach thực F nào có tính chất : tồn tại một không gian Banach phức X sao cho X(r) = F Tổng quát hơn, không gian Banach thực F nào có tính chất : tồn tại một không gian Banach phức X sao cho X (r) đẳng cấu với F ? Hay nói cách khác, không gian Banach thực F nào có tính chất : tồn tại một đẳng cấu tuyến tính thực từ F vào không gian Banach phức X?
Nếu không gian Banach F có tính chất như vậy thì ta nói F thừa nhận một cấu trúc phức Đặc trưng của những không gian này là:
Mệnh đề 2.3 Một không gian Banach thực F thừa nhận một cấu trúc phức nếu và chỉ nếu tồn tại tự đẳng cấu u trên F sao cho u 2 (x) = −x, ∀x∈ F.
Chứng minh Thật vậy, giả sử v là một đẳng cấu từ F vào X (r) Khi đó u =v −1 iv là một tự đẳng cấu trên F thỏau 2 (x) =−x, x ∈F.
Ngược lại, giả sử u là một đẳng cấu trên F thỏa u 2 (x) = −x, x∈ F Khi đó, đặt (α+iβ)x= αx+βu(x) x F = sup
Với chuẩn ở trên thì X = F và ánh xạ v : F −→X(r) x 7−→x là phép đẳng cấu vì x ≤ x F ≤ 1 + u x ,∀x ∈F.
- Có những không gian Banach thực F không có tính chất này.
Ví dụ : nếu dimF = n < ∞ thì điều kiện cần và đủ để F thừa nhận một cấu trúc phức là n là số chẵn Khi đó dimX = n
2. - Cũng có những không gian Banach thực vô hạn chiều không thừa nhận một cấu trúc phức.
Ví dụ:[6] Không gian J gồm các dãy số thực (ξn) với lim n→∞ξn = 0 với chuẩn
4.1.2 Mở rộng trường vô hướng
Cho G là không gian Banach thực Khi đó G có thể được nhúng vào không gian Banach phức X theo cách sau:
Cho F là tích Descartes G×G được trang bị chuẩn
(y, z)7−→(−z, y) là một đẳng cấu trên F thỏa u 2 (y, z) = −(y, z)
Theo mệnh đề 2.3, F thừa nhận một cấu trúc phức.
Gọi X là không gian Banach phức nhận được từ F như trong phần 4.1.1, nghĩa là không gian F cảm sinh phép nhân với số phức
0≤θ≤2π e iθ (y, z) Khi đó, ánh xạ y 7−→ (y,0) là đẳng cự tuyến tính thực từ G vào X Thật vậy, từ
(α+iβ)(y,0) = y , ∀y ∈GKhông gian X được gọi là không gian Banach phức nhận được từ G bằng cách mở rộng trường vô hướng hay nói gọn hơn X là sự phức hóa của G.
Và sự biểu diễn này là duy nhất.
Vì vậy, ta đồng nhất không gian G với ảnh đẳng cự G× {0} trong X và mọi x∈ X có thể được viết duy nhất dưới dạng x= y+iz, y∈ G, z ∈ G.
Hơn nữa ánh xạ x7−→ y, x7−→z là phép chiếu xuống G vì
Mối quan hệ giữa cơ sở của G và X được thể hiện qua mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.4 ChoG là không gian Banach thực và X là phức hóa của G Dãy (yn)⊂ G là một cơ sở của G nếu và chỉ nếu nó là cơ sở của X.
Chứng minh Điều kiện cần:
Giả sử (yn)⊂G là cơ sở của G và đặt x= y+iz là phần tử của X. Thế thì y ∈G, z ∈ G , do đó ta có sự phân tích y ∞
(α j +iβ j )y j Ta chứng minh sự phân tích này là duy nhất.
Trước hết, ta chú ý rằng nếu
(αj+iβj)yj hội tụ vềy0+iz0thì
P j=1 α j y j Chứng minh tương tự ta được z 0 ∞
P j=1 β j y j Bây giờ, ta giả sử
P j=1 βjyj đều hội tụ về 0
Vì (y n ) ⊂ G là cơ sở của G nên α j = β j = 0,∀j = 1,2, , từ đó suy ra αj +iβj = 0,∀j = 1,2,
Vậy sự biểu diễn của x là duy nhất hay (yn) là cơ sở của X. Điều kiện đủ:
Ngược lại, nếu (y n )⊂G là cơ sở của X thì với mọi y ∈G ta có sự phân tích y ∞
Vì với mọi x0 ∈ X có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng x0 =y0+iz0, y0 ∈G, z0 ∈ G nên y ∞
P j=1 βjyj = 0 Hơn nữa, vì (yn)⊂ G là cơ sở của X nên sự phân tích này là duy nhất.
Do đó, (yn)⊂ G là cơ sở của G.
Chú ý: X còn có những cơ sở khác không nằm trong G.
Ví dụ: Cho G là không gian Banach thực 1 chiều, khi đó phức hóa X của G là một không gian Banach phức 1 chiều và ∀x ∈ X, x 6= 0 {x} là cơ sở của X Mà X 6= G nên tồn tại cơ sở của X không nằm trong G.
Mệnh đề 2.5 Giả sử G là không gian Banach thực, X là phức hóa của G và X ∗ , G ∗ tương ứng là không gian liên hợp của X và G, khi đó ánh xạ φ: X ∗ −→ G ∗ ×G ∗ f 7−→(h 1 , h 2 ), trong đó h 1 (y) =Ref(y), h 2 (y) =Imf(y), y ∈ G là phép đồng phôi tuyến tính.
Chứng minh Giả sử f ∈X ∗ và các hàm h1(y) =Ref(y), h2(y) =Imf(y), y ∈ G.
Từ đó f xác định duy nhất bởi cặp h1, h2 ∈ G ∗ ×G ∗ Ngược lại, nếu h 1 , h 2 ∈G ∗ ×G ∗ thì chọn hàm f xác định bởi f(x) = [h1(y)−h2(z)] +i[h2(y) +h1(z)], x =y +iz ∈X
Ta có f ∈ X ∗ Hơn nữa, với x= y+iz ∈ G ta có y =x, z = 0 Từ đó, f(y) =h1(y) +ih2(y),∀y ∈G
Vậy tồn tại song ánh tuyến tính thực
X ∗ −→G ∗ ×G ∗ f 7−→(h1, h2), trong đó h1(y) =Ref(y), h2(y) = Imf(y), y ∈G Ánh xạ này cũng là đẳng cấu cảm sinh với chuẩn (h1, h2) = ( h1
2 (h 1 , h 2 ) Mặt khác, vì h1(y), h2(y) là hàm thực với mọi y ∈ G nên ta có h1(y)≤ ([h1(y)] 2 + [h2(y)] 2 ) 1 2 =|f(y)| ≤ f y ,∀y ∈ G.
Như vậy, để đơn giản, trong quá trình nghiên cứu chúng ta chỉ khảo sát trên không gian thực, không gian phức rút ra kết luận tương tự.
Tính chất của phiếm hàm hệ số liên kết
Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa phiếm hàm hệ số liên kết:
Cho không gian Banach X với cơ sở (en) Khi đó, với mọi x ∈ X, tồn tại duy nhất dãy hệ số (αn(x)) ⊂ K sao cho x ∞
Ta định nghĩa: α n : X → K x 7−→αn(x) α n được gọi là phiếm hàm hệ số liên kết (với cơ sở (e n )) Định lý 2.2 αn là hàm tuyến tính liên tục với mọi n, tức là αn ∈ X ∗ ,∀n.
Hơn nữa, tồn tại hằng số M sao cho
Chứng minh Để chứng minh định lý này ta sử dụng 2 bổ đề sau:
Bổ đề 2.1 Cho (e n ) là dãy trong không gian Banach X và giả sử e n 6= 0,(n 1,2, ) Ta định nghĩa Y là không gian vectơ sau:
X n=1 αnen hội tụ trong X (2.10) Định nghĩa trênY chuẩn (αn)
Khi đó,(Y, Y )là không gian Banach.
Trước hết, ta kiểm tra Y là một chuẩn trên Y. Với mọi α n ∈ Y ta có
Vì dãy hội tụ thì bị chặn nên (α n ) Y = sup
Vì en 6= 0,(n= 1,2, ) nên αn = 0,(n= 1,2, ) Với mọi k ∈ K,
Vậy Y là một chuẩn trên Y hay (Y, Y ) là không gian định chuẩn.
Bây giờ, giả sử (α (k) n )(k = 1,2, ) là dãy Cauchy trong Y Khi đó,
< ε (k, m≥ k0) Với mỗi N ≥ 1 , ta có α (k) n −α n (m) en
(k, m ≥ k0, n = 1,2, ) Điều này chứng tỏ với mỗi n≥ 1,(α (k) n )(k = 1,2, ), là dãy Cauchy trongK hay (α (k) n )(k = 1,2, ) hội tụ đến αn trong K khi k → ∞
Do đó từ bất đẳng thức sup
(α (k) n −α (m) n )e n < ε (k, m > k 0 , N = 1,2, ), với bất kỳ N ≥ 1 , cố định k =k0 , cho m→ ∞ ta được
P n=1 α (k n 0 ) en hội tụ Do đó, tồn tại m0 > 0 sao cho
P n=1 αiei hội tụ trong X, nghĩa là (αn)∈ Y
Hơn nữa, theo trên ta có
(α (k) n − α n )e n < ε (k > k0)Suy ra (α (k) n )(k = 1,2, ) hội tụ đến αn trong YVậy (Y, Y ) là không gian Banach.
Bổ đề 2.2 Cho X là không gian Banach với cơ sở là (en) và (αn) là dãy hàm hệ số liên kết Khi đó i, Không gian Y (giới thiệu ở bổ đề 2.1) là đồng phôi với X theo ánh xạ
(x ∈X) (2.12) là chuẩn trên X, tương đương với chuẩn ban đầu trên X.
Chứng minh Vì (en) là cơ sở của không gian Banach X nên en 6= 0,(n= 1,2, ) Do đó, theo bổ đề 2.1, Y là không gian Banach.
Rõ ràng T là ánh xạ và là song ánh (do (en) là cơ sở nên có sự biểu diễn duy nhất của
P ∞ n=1 α n e n ) Hơn nữa T là ánh xạ tuyến tính, thật vậy
Cuối cùng, với mọi (e n )∈ Y ta có
Vậy T là song ánh tuyến tính liên tục giữa không gian Banach X và Y, hayY là đồng phôi với X (theo định lý ánh xạ ngược ) ii, Dễ chứng minh
là một chuẩn trênX Hơn nữa, theo phần i,T là phép đồng phôi (và do đó T −1 bị chặn) nên tồn tại hằng số C sao cho
Hơn nữa ta cũng có
tương đương với chuẩn xuất phát trên X.
Bây giờ, ta chứng minh định lý 4.2:
Vì αn là hàm tuyến tính trên X Ta cần chỉ ra nó bị chặn và thỏa mãn 2.9
Thật vậy, với mọi x ∈X ta có an(x) en an(x)en
≤ M x en với M = 2C được chọn theo trên.
Điều kiện cần và đủ để một dãy là cơ sở
Định lý 2.3 Cho X là không gian Banach, (e n ) là dãy trong X.
(en) là cơ sở của X khi và chỉ khi i, en 6= 0, ∀n , ii, Không gian vectơ sinh bởi (en) trù mật trong X. iii, Tồn tại hằng số C >0 sao cho với mọi dãy hệ số (αn) và mỗi N < M ta có
Chứng minh Điều kiện cần:
Giả sử (e n ) là một cơ sở của không gian Banach X Xét chuẩn x = sup
Theo định lý 1.7, tồn tại hằng số C >0 thỏa x ≤ x ≤ C x , x∈ X + Rõ ràng e n 6= 0, ∀n (vì tính duy nhất của sự biểu diễn 0 ∞
0.e n ) + Điều kiện ii, hiển nhiên đúng theo định nghĩa cơ sở.
+ Với mỗi N < M cho trước, đặt (yn) là dãy vectơ được định nghĩa bởi yn
Giả sử (en) là dãy trong X thỏa i, ii, iii Ta chứng minh (en) là cơ sở của không gian Banach X.
Thật vậy, vì không gian tuyến tính sinh bởi (e n ) trù mật trong X nên tồn tại dãy (αn)⊂ K : x ∞
P n=1 αnen Ta chứng minh sự biểu diễn này là duy nhất.
Từ iii, cho M → ∞ ta được
P n=1 αnen = 0 với N = 1,2, Hơn nữa, en 6= 0,∀n ta suy ra αn = 0,∀n
Mệnh đề 2.6 Mọi không gian Banach có cơ sở Schauder đều là không gian khả ly.
Chứng minh Cho X là không gian Banach trên trường K với cơ sở (en) Xét tập hợp
X i=1 r i e i |r i là số hữu tỷ trên K và n∈ IN
(Nếu K = CI thì số hữu tỷ trên CI là số mà cả phần thực và phần ảo đều thuộc QI )
Rõ ràng A là tập con đếm được của X Bây giờ ta sẽ chứng minh A trù mật trong X
Cho ε >0 tùy ý Vì dãy (en) là cơ sở trong X nên Span{en}= X.
Khi đó, ∀x∈ X,∃y ∈Span{en}: x−y < ε 2 Ta có thể viết y k
X i=1 α i e n i với α1, α2, , αk ∈ K và ta có thể xác định các số hữu tỷ ri(1 ≤ i ≤ n) thỏa mãn
2+ ε 2 = ε Điều này chỉ ra rằng khi cho mỗi x ∈X luôn tồn tại phần tử z n
Vì vậy A trù mật trong X. Định nghĩa 2.2 Một không gian Banach X được gọi là có tính chất xấp xỉ nếu với mỗi tập compact C ⊂ X và với mỗi ε > 0, tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn AC,ε từ X vào X có hạng hữu hạn sao cho
A C,ε x−x < ε,∀x ∈C. Định lý 2.4 Cho X là không gian Banach với cơ sở (en) Khi đó, X có tính chất xấp xỉ.
Chứng minh Đặt C là tập con compact của X và ε >0.
Theo bổ đề trên, tồn tại N ∈ IN : PNx−x < ε, x∈ C
Theo nguyên lý bị chặn đều, Π := sup n∈ I N
Pn hữu hạn Vì tính compact của C, ta có thể chọn hữu hạn điểm y 1 , , y l ∈ C sao cho i=1, ,lmin x−yi
2(1 +Π) và vì theo định nghĩa cơ sở Schauder lim n→∞ yj−Pnyj
Mệnh đề 2.6 cho chúng ta thấy rằng mọi không gian Banach có cơ sở đều là không gian khả ly Câu hỏi đặt ra: điều ngược lại có đúng không? Tức là, một không gian Banach khả ly bất kỳ có tồn tại cơ sở hay không? Câu hỏi này được đặt ra từ năm 1932 và được biết đến là "bài toán cơ sở" Sau hơn 40 năm, năm1973, Per Enflo đã tìm ra được lời giải cho bài toán bằng cách chỉ ra sự tồn tại một không gian Banach khả ly không có cơ sở Thực tế, Enflo xây dựng một không gian Banach khả ly vô hạn chiều nhưng không có tính chất xấp xỉ, do đó theo định lý 2.4, không gian này không có cơ sở Schauder [9]
Cơ sở Schauder có nhiều ứng dụng trong các bài toán lý thuyết cũng như trong các bài toán ứng dụng giải phương trình vi phân hoặc tích phân.[1], [4], [8], [9].
Trong chương này, chúng tôi chọn một ứng dụng của cơ sở Schauder vào việc giải phương trình tích phân Fredholm loại 2.
Xét phương trình tích phân Fredholm loại 2: λu(x)− b
Z a k(x, y)u(y)dy =f(x), (a ≤ x≤ b), (3.1) trong đó k : [a, b]×[a, b] và f : [a, b] → IR là các hàm liên tục và λ ∈ IR \ {0}.
Ta kí hiệu C([a, b]) (tương ứng là C([a, b] 2 )) là không gian Banach các hàm thực liên tục trên [a, b] (tương ứng là [a, b] ×[a, b]) được trang bị chuẩn sup.
C 1 ([a, b])(tương ứng làC 1 ([a, b] 2 )) là không gian những hàm liên tục và có đạo hàm cấp 1 liên tục trên [a, b] (tương ứng là [a, b]×[a, b]).
Xét toán tử tích phân
Khi đó, phương trình tích phân Fredholm được viết lại
L = K λ , g = f λ Nếu ta giả sử L < 1, nghĩa là
|k(x, y)|dy 0,(ti) i≥1 là dãy những điểm trù mật trong [a, b]
Kớ hiệu ∆ n := {a = e 1 < e 2 < ã ã ã < e n−1 < e n = b} là những điểm {t1, , tn} được sắp thứ tự tăng dần và viết lại kí hiệu Giả sử i=2, ,nmax(e i −e i−1 )< ε
4M thì ϕ−Pn 2 (ϕ) ∞ ≤ ε Định lý 3.1 Cho k ∈C([a, b] 2 ), g ∈ C([a, b]), λ∈ IR\{0} và toán tử tích phân Fredholm tương ứng L.
Xét m∈ I , nN 1, , nm ∈ IN và với mỗi i= 1, , m ta định nghĩa hàm ue i(x) := g(x) + 1 λ b
Với mỗi, i=1, ,m, đặt εi >0 và giả sử
X i=1 εi, với u là nghiệm của phương trình tích phân Fredholm.
Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có uưu e m
Lặp lại quá trình như trên ta được u m −u e m ∞ ≤ m
Từ 3.4, 3.5, 3.6 ta có điều cần chứng minh.
Cuối cùng, với mệnh đề tiếp theo cho ta sự hợp lý của giả thiết trong định lý trên.
Mệnh đề 3.2 Cho k ∈ C 1 ([a, b] 2 ), g ∈ C 1 ([a, b]), λ ∈ IR\{0} và dãy hàm {u e n}n≥1 được xác định trong định lý 3.1.
Giả sử p∈ I , MN p 6= 0, trong đó
Với ε p > 0 tựy ý, cố định n p ≥2 và giả sử ∆ n p ={a =e 1 < e 2 < ã ã ã< e n p −1 < en p = b} thỏa i=2, ,nmaxp
∞} ≤Mp. Áp dụng mệnh đề 3.1 với x ∈[a, b] ta có
Ví dụ 3.1 Giải phương trình:
0 e xy u(y)dy = f(x), (0 ≤x ≤ 1) trong đó f(x) được chọn sao cho nghiệm chính xác của phương trình là u(x) = e −x cosx
Hình 8 So sánh nghiệm xấp xỉ với nghiệm chính xác trong trường hợp n=3 điểm chia của dãy trù mật an
1≤j≤n+1|u(x j )−u n (x j )| là sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm giải được bằng phương pháp thông thường.
1≤j≤n+1|u(x e j)−un(xj)| là sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm giải được bằng phương pháp áp dụng cơ sở Schauder.
Bảng 1 So sánh sai số
Xuất phát từ việc khảo sát không gian Banach, luận văn đã trình bày những tìm hiểu về cơ sở Schauder trong không gian Banach, nêu được ưu điểm của cơ sở Schauder so với cơ sở Hamel thông thường Đồng thời, Luận văn cũng giới thiệu một ứng dụng của cơ sở Schauder trong việc tính xấp xỉ nghiệm của phương trình Fredholm.
Hướng phát triển tiếp theo của đề tài là tiếp tục tìm hiểu những ứng dụng của cơ sở Schauder trong việc giải các phương trình vi phân, tích phân và lập trình tính số cho những phương trình cụ thể.
[1] A.Palomares, M.Pasadas, V.Ramírez, and M Ruiz Galán, Schauder in Banach spaces: Application to numerical solutions of differential equations, Spain, August 2001.
[2] B Beauzamy, Introduction to Banach spaces and their geometry, North- Holand, 1982.
[3] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, NXB Giáo dục
[4] D.Gámez, A.I Garralda Guillem, M Ruiz Galán, Linear initial - value problems countably determined, Spain 2005.
[5] I Singer , Bases in Banach spaces I,II, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1970.
[6] J Lindenstrauss, L Trafriri , Classical Banach spaces I,II, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York,1977.
[7] Math Daws, Introduction to Bases in Banach spaces, June 5, 2005.
[8] M.Domingo Montesinos, A.I Garralda Guillem and M Ruiz Galán, Fred- holm intergral equations and Schauder bases, 31, 121-128(2004).
[9] Per Enflo, A Counterexample to the Approximation Problem in Banach Spaces, Acta Math.130(173)309-317.
[10] R.Kannan, On Banach spaces with basis and fixed point problem, 1968.
[11] Viktor Zeh, A Counterexample to Banach’s Basis Problem [12] Z Semadeni , Schauder bases in Banach spaces of continuous functions,
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1982.
