Luận văn thạc sĩ Toán học: Bài toán Dirichlet đối với phương trình Elliptic tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS HOÀNG QUÔC TOÀN

Hà Nội - Năm 2012

1.1 Định lý Lax Milgram) 2 00 9

Sees s eee "1

2.1 Không gian Sobolev H(O)| - 11

1.2.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng 121.2.3 Toán tử của bài toán Diichletl 14

1.2.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet] 15

1.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tinh cấp 3 20

1.3.1 Điều kiện "bức!| Q21.3.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2|

2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp

cao 29

2.1 Bất dang thức Garding và bài toán Dirichlet đối với phương trình

elliptic tuyến tính cấp cao] 2.

1.1 Bất đẳng thức Garding

2.1.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tinh

2.2.2 Áp dung lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào bài toán

Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic cấp 2

2.2.3 Ap dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào bài toán

Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic cấp cao

Tài liệu tham khảo 55

LỜI MỞ ĐẦU

Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là một phần quan trọng trong lýthuyết phương trình đạo hàm riêng Mặc dù nhiều mô hình toán học của các bàitoán cơ học và vật lý được mô tả bởi những phương trình vi phân không tuyếntính, nhưng việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính được bắt

đầu từ hàng thế kỷ nay và được tiếp tục đến tận bây giờ Những kết quả của

việc nghiên cứu này vừa góp phần phát triển lý thuyết phương trình đạo hàmriêng nói chung, vừa có nhiều ứng dụng để giải quyết không chỉ những vấn đề

liên quan đến vật lý cơ học mà còn nhằm giải quyết nhiều vấn đề về tự nhiên,

kinh tế và xã hội, chẳng hạn như mô hình quần thể sinh thái, mô hình phát

triển dân số,

Có nhiều phương pháp khác nhau được áp dụng để nghiên cứu phương trình

đạo hàm riêng như phương pháp ứng dụng giải tích, giải tích phức, phương trìnhtích phân, giải tích hàm,

Trong luận văn này chúng tôi trình bày một vài ứng dụng phương pháp giải

tích hàm để nghiên cứu bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến

Nội dung luận văn bao gồm:

Chương 1: Trình bày định lý Lax-Milgram va 4p dung của định lý vào chứng

minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trìnhLaplace và phương trình elliptic cấp hai.

Chương 2: bao gồm chứng minh bất đẳng thức Garding và áp dụng vào bài

toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp cao, áp dụng của lý

thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào bài toán Dirichlet thuần nhất của phương

trình elliptic tuyến tinh.

Trong quá trình viết luận văn, tác giả được sự hướng dẫn nhiệt tình của

PGS.TS Hoàng Quốc Toàn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thay.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong tổ giải tích củakhoa Toán -Cơ -Tin học đã giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả bảo vệ luận văn

đúng hạn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ vũtạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn.

KIÊN THỨC CHUAN BI

Trong mục này chúng ta sẽ làm quen với các định nghĩa về phương trình đạo

hàm riêng, các ký hiệu và kiến thức bổ sung được sử dụng trong phần sau.

1 Các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo

hàm riêng, phương trình elliptic

Định nghĩa 1.1 Cho k là một số nguyên dương, © là một tập mở trong R”.

Một phương trình liên hệ giữa an hàm #(,#a, ,#„), các biến độc lập x; và

các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng (hay

phương trình đạo hàm riêng cho gon va sẽ viết tắt là phương trình DHR) Nó

có dạng:

F(œ,u(œ), Du(+), D®u(œ)) = 0, (x € ©) (1.1)

Trong đó F:Q x R x R” x RTM — R là ham cho trước và w : 2 > R là hàm

cần tìm.

Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của có mặt trong phương trình được gọi

là cấp của phương trình Ở đây (1.1) là phương trình cấp k.

Ta nói rằng phương trình (1.1) giải được nếu ta tìm được tất cả các hàm số

+ thỏa mãn (1.1).

Dinh nghia 1.2.

(i) Phương trình DHR (1.1) được gọi là tuyến tính nếu nó có dang:

» a„(z)D”“u = f(x)|o|<k

trong đó a(x), f(x) là các hàm số đã cho Phương trình tuyến tinh nay

được gọi là thuần nhất nếu ƒ = 0.

(ii) Phương trình (1.1) được gọi là nửa tuyến tính nếu nó có dang» a„()D“u + ag(%,u, Du, , D*~1„) = 0.

(iii) Phương trình (1.1) được gọi là tựa tuyến tính nếu nó có dạng

» a„(%,u, Du, , D®~1u) D%u + ag(,u, Du, , D’~!u) =

|œ|—=k

(iv) Phương trình (1.1) được gọi là phi tuyến hoàn toàn nếu nó phụ thuộc

không tuyến tính vào đạo hàm cấp cao nhất.

Định nghĩa 1.3 Xét toán tử vi phân A(z,D) = ` aa()DÐ*, ở đó aa(z) là|la|<m

hàm có giá trị phức đo được, x € R” Nếu ø„(z) # 0 với a nào đó mà |a| = m

nguyên dương thì m được gọi là bậc của A.

Đa thức đặc trưng của toán tử A là

ở đó yo = const > 0 và trên mặt cầu đơn vị |Ao(z,£)| > +o và Ao là hàm thuần

nhất bậc m đối với £ Hằng số yo được gọi là hằng số elliptic.

Định nghĩa 1.4 Giả sử © là một miền trong R” Phương trình

A(z, D)u = f(x), zcQ (1.2)

được gọi là phương trình elliptic trong miền 2 nếu A là toán tử elliptic trongmiền ©.

Hàm u(x) được gọi là nghiệm của phương trình nếu đẳng thức Au = ƒ

được thỏa mãn hầu khắp x € 2.

Dinh lý 1.5 Nếu số chiều của không gian R” lớn hơn 2 thi bậc của phương

trinh elliptic là chấn.

Định nghĩa 1.6 Bài toán tìm nghiệm phương trình DHR (1.2) sao cho u(x) =

g(x) với moi x € OQ được gọi là bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic

tuyến tính Khi u(x) = 0 với mọi x € ØO thì phương trình DHR gọi là bàitoán Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic tuyến tính.

2 Ký hiệu và kiến thức bổ sung

2.1 Ký hiệu

(i) R” là không gian Euclide n chiều.

(ii) © là tập mở trong R”, OO là biên của ©,

VỚI ay tag + - + a, = Jal.

2.2 Cac không gian ham

(i) Œ#(O) = {u: Q > R| u liên tục khả vi k lần}.

(ii) Œ®(O) = {u:O — R| u kha vi vô hạn trong Q}, C°(Q) = a, CF(Q).

(iii) C&(Q) = {u € C*(Q)|supp u compact trong ©}.

(iv) C§°(Q) = {u € C®%(9)| supp u compact trong ©}.

(v) L?(Q) = {u:Q > R| u là đo được Lebesgue, ||u|[u»(o < +oo} trong đó

lular) ={ [ Iule) P4)”, 1<p< +00.

Q

(vi) H*(Q) (k = 0,1,2, ), ký hiệu không gian Sobolev H*(Q) là bổ sung đủ

của C®(Q) theo chuẩn

Hull -(/ » Duan)?

Q lelsk

2.3 Một số kiến thức bổ sung

2.3.1 Không gian Banach

Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn.

Định nghĩa 2.1 Ta nói rằng day {u,}?, C X hội tụ đến u € X nếu

lim ||uy — u|| = 90,

ký hiệu uy —> wu.

Định nghĩa 2.2.

(i) Day {uz}£2¡ C X được gọi là một dãy Cauchy nếu với mọi e > 0, tồn tại

N >0 sao cho ||uy — u¡|| < e với mọi k,l > N.

(ii) X là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.

(iii) Không gian Banach X là không gian tuyến tính định chuẩn day đủ.

2.3.2 Không gian SobolevĐịnh nghĩa 2.3.

(i) Không gian WTM?(Q) là không gian bao gồm các hàm u(x) € L?(Q) saocho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp a, |a| < m, thuộc L?(Q) và

được trang bị chuẩn

Illws»(e) ={ » [oewtyras)?.

0<|a|<m Q

(ii) Khi p = 2, không gian W"?(Q) = WTM?(Q) ký hiệu là HTM(Q) Như vậy

HTM(Q) = {uc L7(Q), Va:|a|<m, D°ue F?(©)}.

Trong H”(O) đưa vào tích vô hướng

(u,0)„„ = D®uD*%udz

= » (Du, DZ0)r2(œ, với mọi u,v € H”(Ô).

|a|<mDo đó

llu|lỗ, = (u,u)„ = 3) (D%u, Du) = 3”

(i) Tu = ulao nếu u € H!(9)nŒ(9).

(ii) |[fwllzz(ey < c|lu|lurcoy với moi wu € H'(Q) và c là hằng số.

Khi đó Tu được gọi là vết của u trên OQ.

Ton tại y > 0 sao cho

|LJ2ul||r>(oy > +- |lullr.2(o): VỚI mol u € Cx (Q),

trong đó

Ou Ou Ou ):

Du =(5 Oxo’ Orn,

Chương 1

Bài toán Dirichlet đối với

phương trình elliptic tuyén

tính cấp 2

1.1 Định lý Lax Milgram

Dinh ly 1.1 Giả sử X là một không gian Hilbert thực, a(u,v) là phiếm hamsong tuyến tính trên X Giả thiết a(u,v) thỏa man các điều kiện:

(i) Ton tại c >0 sao cho |a(u,v)| < c||u||- |[o|| uới mọi u,v € X.

(ii) Ton tại y > 0 sao cho a(u,u) > +||u||Ÿ uới mọi u € X.

Khi đó moi phiếm hàm tuyến tính liên tục F(u) trên X đều tồn tại f € X sao

F(u) = a(u, f), uc X.

Chứng minh Lay u € X cỗ định Khi đó, u(v) = a(u,v) là phiếm hàm tuyến

tính trên X Theo (i), ta có:

|a(u,ø)| < c||u|| - |lo|| với mọi v € X.

Điều này chứng tỏ u(v) là phiém hàm tuyến tính liên tục trên X Theo địnhlý Riesz-Frechét, tồn tại một phần tử, ký hiệu Au € X, sao cho

u(v) = (Au,v), Vue X.

9

Như vậy a(u,v) = (Au,v), Vu € X, và ta có một toán tử

A:X > Xu—> Au.

A là toán tử tuyến tính Thật vậy với moi Ay, A2 € R, uy, ug € X và với mỗi

0€ X có

(A(Aiui + Ague), 0) = ø(Ä1t1 + Agua, 0) = Àid(01,90) + Aga(ua, 0)

= À1 (Au, 0) + A2(Aua, v) = (A, Aut + A Aug, 0).

Dang thức đúng với mỗi € X bởi vậy A tuyến tính Theo giả thiết ii, ta có:|| Aul|? = (Au, Au) = a(u, Au) < c||u|| - || Au], Vu c X

ta chứng minh A(X) đóng trong X Thật vay, giả sử {Au;} là dãy hội tụ đến

v € X Vì {Au;} là dãy Cauchy trong X nên ta có

lim ||Au; — Auz|| = 0.

Điều này chứng tỏ {u;} là dãy Cauchy trong X, cho nên tồn tại u € X sao

cho Jim uj; =u trong X Do A là ánh xa liên tục nên Au = v € A(X), tức là

A(X) đóng trong X.

Ta chứng minh A(X) = X Giả sử A(X) C X, A(X) đóng Ta lấy ue X mà

u ¢ A(X), trực giao với A(X), tức là

(u, Au) = a(u,u) = 0.

Vì ||u||Ÿ < —a(u,u) = 0 nên u = 0, tức la A(X) = X Vậy A: X 5 X là1

Khi đó, ton tại ƒ € X sao cho Af = g Do đó

F(u) = (g,u) = (Af, u) = a(f, u) Vue X.

Dinh ly được chứng minh LÌ

Định nghĩa 1.2 Dang cấu A: X > X xây dựng trong định lý Lax-Milgram

sao cho

(Au, v) = a(u, v), Vu,ucxX (1.4)

được gọi là toán tử liên kết với dang song tuyến tính a(u,v) trên không gianHilbert X hay ngược lại a(u,v) được gọi là dạng song tuyến tính liên kết với

toán tử A.

1.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace

1.2.1 Không gian Sobolev H)(O)

Giả sử (2 là tập mở bị chặn trong không gian R” với biên O(Q) trơn Œø°(©)

là không gian các ham khả vi vô hạn có giá compact trong 2.

llwll;(oy = (w,u)Ÿ, Vu € Co? (Q).

Nhờ bat đẳng thức Poincare ta xác định một chuẩn tương đương với chuẩn

Khi đó H2(©) là không gian Hilbert với tích vô hướng và nhúng liên

tục và compact trong L?(Q) Hạ(O) gồm các hàm suy rộng u € H'(Q) triệt tiêu

lôi

trên biên cùng với các đạo hàm suy rộng theo nghĩa vết (u = 0, a = 0 trên

dQ theo nghĩa vết).

1.2.2 Bài toán Dirichlet va nghiệm suy rộng

Ta xét bài toán Dirichlet:

u=0 trên OQ.

Trong đó f(a) là hàm liên tục trong 2.

Giả sử u € C?(M) là nghiệm của bai toán (1.7) Khi đó với mỗi v(x) € Œø°(©)

ta CÓ:

I = | t@eloae (1.8)

12

Áp dụng công thức Green cho về trái đẳng thức (1.8) ta co:

Nếu f(z) là hàm không liên tục trong © thì bài toán (1.7) nói chung không

có nghiệm trong C?(Q) Vì vậy khi đó nghiệm bài toán (1.7) cần hiểu theo nghĩa

suy rộng Ta có định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán như sau:

Định nghĩa 1.3 Giả sử f(x) € L?(Q) Khi đó hàm u € H(©) được gọi là

nghiệm suy rộng của bài toán (1.7) nếu:

(Du, De) = (ƒ,2), Ve € Œ§°(9)

(u, ~)1 = (f, 9) Vụ = Œ§°(9).

Trong đó (u,v); là tích vô hướng trong Hộ(9).

Chú ý 1.4 Nếu nghiệm suy rộng € H¿(O)ñ C?(Q) ta có:

(1) wu € H(©) nên

(Du, De) = (f, 9), Vụ € Œ(9).

(2) we Œ2(©) nên

13

Do đó

(—Au,ø) = (ƒ,ø) Ve € Cpe (Q).

Từ đó suy ra —Au = f trong Q.

Vậy u là nghiệm cổ điển của bài toán (1.7).

1.2.3 Toán tử của bài toán Dirichlet

Định nghĩa 1.5 Không gian đối ngẫu của Hạ(O) được ký hiệu là HÌ(©):

ƒceH' (9) nếu ƒ là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên H(©).

Nếu ƒ eH' (0)

|fllu-¿øy = sup{ < feu >| € Hộ(9), |lllyey < 1}.

Ta viết < -,: > để ký hiệu giá trị của ƒ eH 1(@) trên u € H2(9).

Toán tử —A được xây dựng như trên được gọi là toán tử của bài toán Dirichlet

Từ định nghĩa ta có các tính chất của toán tử —A:

(1) (—Au,0) = (Du, Dv) = (u, —Av), Vu, € D(—A), suy ra —Au là toán

tử tự liên hợp.

(2) (—Au,u) = (Du, Du) = |lul|? > 0, Vu € D(—A), suy ra —A là toán tử

xác định dương (—Au, u) = 0 khi và chỉ khi = 0.

Vay —A là toán tử tự liên hợp xác định dương.

1.2.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet

Định lý 1.6 Toán tử —A : Hạ(O) > Hˆ(Q) là ánh xạ 1-1 lên.

Chứng minh Theo định nghĩa ta có:

(—Au, u) = (Du, Du) = ||Dullis(ey = k||elD2(vy Vu € Hộ(6).

Ta chứng tổ —A là đóng trong miền xác định 2(—A).

Giả sử {f;} là dãy hội tụ đến f trong #(—A) C H~†() Khi đó tồn tại dãy

{u;} C D(—A) sao cho

Au = fi.

Theo (1.9)

llu; — welleacay Š ©: (fi — f2|ÌH-t(oy› V2,É:

Từ đó {u;} là day Cauchy trong Hj(Q) Vì H¿(Ó) là không gian Hilbert nên

tồn tại u sao cho

ae llu; — ullna(ay = 0:

15

Do —A là toán tử liên tục nên —Au = f Từ đó suy ra tồn tại u € H¿(O)

sao cho

—Au = ƒ,

nên ƒ € R(—A) > R(—A) đóng.

Bây giờ ta chứng minh —A là ánh xạ lên.

Giả sử up € HẠ(©) trực giao với R(—A) C H7'(Q) Ta có

(—Au, uo) = 0 Vu € Hộ(9).

Cho u = uo suy ra

0 = (—Auo, uo) = k|luo la (a) > Up = 0.

Từ đó do R(—A) đóng trong H~'(Q) nên suy ra

Vậy —A là ánh xạ lên.

Hệ quả 1.7 Moi f(x) € L?(Q) bài toán Dirichlet ton tại duy nhất nghiệm

suy rộng uọ € Hạ(©).

Chứng minh Giả sử f(x) € L?(Q) C H~1(@) Theo định Iý[L.6|tồn tại duy nhất

uo € Hộ(9) sao cho

(—Auo, v) = (Duo, Dv) = (f,v), Vu € C£°(9).

Điều đó có nghĩa up là nghiệm suy rộng của bai toán Dirichlet (1.7) L]

Định nghĩa 1.8 Giá trị À được gọi là giá trị riêng của toán tử —A nếu tồn tại

hàm y(a2) # 0, y(a) € Hạ(©), sao cho:

—Ay = Ay.

Ham vy được gọi là ham riêng ứng với giá trị riêng À.

Ký hiệu T :H†(O) > Hộ(Ó) là toán tử nghịch đảo của toán tử —A Giả sử

Như vậy toán tử (—A) có dãy các hàm riêng /; trong Hg (2) tương ứng với

dãy các giá trị riêng {A;}72, đơn điệu tăng khi 7 — oo, nghĩa là

—Au; = AjUj; j = 1, 2, `a VỚI Aj =

Vì {u;}?2¡ (7 = 1,2, ) cũng là các hàm riêng của T nên ta di đến khẳng

định sau:

17

Dinh lý 1.9 Ton tại một cơ sở Hilbert gồm những ham riêng {u;} (i = 1,2, )

của toán tử —A tương ứng uới day các giá trị riêng {Ay} đơn điệu tăng khi

¡ — OO.

Liên quan đến giá trị đầu tiên À¡ của toán tử —A ta có định lý sau:

Định lý 1.10 Nếu À¡ là giá trị riêng đơn đầu tiên của toán tử —A thà:

Hệ quả 1.11 Ham riêng uị của toán tử —A thỏa mãn

|IDui|lDs(e) = An:

Chứng minh Ta có

|Dwillfs(oy = (Dur, Dur) = (CA, 0) = Oru, v1) = Ail |eua|l72 (a):

ILDwillf2¿ey = Ài

và ta có điều phải chứng minh oO

Liên quan đến ham riêng u; ta có kết quả khác mà sẽ trình bay trong định

lý tiếp theo Tuy nhiên ta cần kết quả về tính trơn của bài toán Dirichlet Định

lý sau chỉ đưa ra nhưng không chứng minh.

Xét toán tử vi phân Ù dạng:

Lu = —AÂAu + Xu

trong đó X là toán tử vi phân cấp 1 với hệ số trơn trong 2.

Định lý 1.12 Cho ƒ e H“~!(Q) vdi k = 0,1,2, Khi đó nghiệm up € HẠ(©)

của phương trinh

Lu = ƒ

thuộc #?ˆ*1(Q) Hơn nữa ta có tước lượng tiên nghiệm

InllP-sve) < e(IIEellfz se; + lela)

trong đó e là hằng số dương nào đó va u H***(Q)n Hạ(Q) bắt kỳ.

Hệ quả 1.13 Ham riêng u; (i = 1,2, ) của toán tử —A thuộc C?(Q)N.HG(Q).

Chứng minh Xét toán tử L dưới dạng:

TL —Â — Xj.Khi đó ta có đánh giá

Lu; = (-A — À¡}u¿ = —Au; — À¡u¿ = 0.

Do 0 € Hộ(©) nên theo định lý ta đi đến kết luậnuj € C®(Ø)n HẠ(9).

19

Trở lại bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace Ta xét bài toán

— Au = 0 trong ©,

ulog = ƒ trên OQ.

Trong đó ƒ € (99) là ham cho trước.

Giả sử F € C*(Q) sao cho

Flag = f.

Dat u= F + hay v =u— F Khi đó bài toán (1.13) được đưa về bài toán

(1.14)vilag = 0.

Với g = AF € CTM(Q) tồn tại duy nhất nghiệm của bai toán (1.14) có dạng:

v=Tg € Hạ(9).

Hon nữa theo định lý nghiệm v = Tg € CTM(Q) Như vậy với mỗi

f € CTM(AQ) tồn tại duy nhất nghiệm € C®(©) của bài toán Dirichlet (1.12).

1.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình

trong đó aj; = aj; € C?(Q), b¿,b¿ € C1(Q), e€ C(Q) là những hàm nhận giá trị

thực sao cho tồn tại y > 0

Giả sử a(u,v) là dang song tuyến tính liên tục

a(u,v) = /( » ai; on, in “Dh TA

Hơn nữa, với u HẠ(O) = V, phiếm hàm a(u,v) = I(v), v € V là phiếm hamtuyến tính liên tục liên tục trên V = Hạ(O) Do đó ta xác định toán tử

A:V->V' =(H¿(9))'=H'1(9@)

sao cho

(Au,Đ)r2(o) = ue Vu eV.

~ ju ow << ` av

n= | (tua an, † 3 hấp oF Sa Da, + cud) dr.t,g=1 t=1 =1

Theo công thức Green

Suy ra với moi u,v € Ce (2)

a(u, v) 1 » in (a; ae Da sev Soon T + cud) der

Q #/=1 =

21

hay Au = » SP (ai; se) yn Dn, >- aa! (biu) + cu, Vu € OF°(Q).

z2=1 ¿=1

Hơn nữa, 4 là toán tử tuyến tính liên tục trên V,

|| Aul|? = (Au, Au) = a(u, Au) < ||u|| - |LAu|| > |[A+al| < ful] Vu V.

Dinh ly 1.14 Ton tai hằng số \yo € R sao cho vdi mọi X > Xo thà toán tử

A+AI là một đẳng cấu từ Hạ(Q) lên H”1(Ô).

Chứng minh Theo giả thiết về tính elliptic, ta có

Suy ra tồn tại các hằng số Œ¡ và C2 sao cho

a(u,u) > 2||Dull2s(ey — C1||Dullz2 (ay - |[t|z(ey — C|Vu|lỗ2(ey:

Vậy tồn tại hằng số C > 0 sao cho a(u,u) > 2IlÐw|lŸs¿a) — C|\u|l7s(oy hay

(a(u,w)) + C||u||s¿¿y = 2 llwlllve Vue (1.18)

Ap dung hệ quả ?? suy ra toán tử A+ AJ là đẳng cấu từ V = HẠ(O) lên V’

Ta chứng minh bổ đề sau đây.

Bổ đề 1.15 Cho f,g € H'(Q), một trong chứng thuộc HẠ(Q) Ta có

Ký hiệu B = (bị,bạ, ,bẤ), BỖ = (b1, bƯ, ,bƯẤ), ta nhận được ước lượng

a(u, u) > V|Dullz2 (a) N cỞ av (B+ ềate Vu Hạ(9).

Vậy nếu tồn tại d > 0 sao cho

cỞ sdlv (B+)>đô Vren (1.19)

thì dạng song tuyến tắnh a(u,v) là thỏa mãn điều kiện bức

a(u,u) > collu|lln cay Vu Ạ Hộ(9),

1.3.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp

Giả sử O là một miền không bị chặn với biên OO trơn Xét bài toán Dirichlet

đối với phương trình elliptic cấp 2:

(ce) — 5 div(B + B')) > 6, Vr EQ.

Khi đó uới mọi ƒ € L?(Q) tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng up € Ho(Q) của

bài toán (1.20) — (1.21).

Chứng minh Với điều kiện của định lý, toán tử A liên kết với dang song tuyến

tính a(u,v) là đẳng cấu từ H2(©) lên H*(@).

Giả sử ƒ € /?(O), ƒ eH(O), tồn tại up € Hộ(O) sao cho Aug = f trong

L?(O), tức là

(Auo,0) = (f,v), Vo € C£(9).

Do đó

ao, 0) = (f,v), Vo € Cp (Q).

Điều đó có nghĩa là up là nghiệm suy rộng của bài toán (1.20) — (1.21) O

Ta xét bai toán biên Dirichlet trong miền bị chặn.

Gia sử Q là tập mở bị chặn Trong Q cho toán tử A xác định bởi (1.15) va

dang song tuyến tính a(u,v) xác định bởi (1.17).

Với Q là miền bị chặn, ánh xạ nhúng H2(©) vào L?(Q) là compact.

Ta có định lý sau.

25

Dinh lý 1.19 Giả sử © là tập mở bị chặn trong R" Toán tử vi phân tuyến

tinh elliptic cấp 2 được xác định theo công thức (1.15) va dạng song tuyến tinh

a(u,v) được xác định bởi công thức (1.17).

(a) Toán tử A liên kết uới dạng song tuyến tính a(u,v) là một đẳng cấu từHà(©) lên H(Q) nếu

c— 5 din B + B')>0, Va En.

(b) Toán tử A là toán tử Fredholm với chi số 0 từ HẠ() lên H7'(Q).

Chứng minh (a) Theo giả thiết

||DullZ2(a) = R|lu|lÖs(e) Vu € Ho(Q), k > 0.

Q là tập mở bị chặn, ta nhận được ước lượng

+ yk

a(u,u) > W|Dullz2@) 2 gl lDullracay + “5 Hellz) 2 ellw|lñn (a) Vu H(9),

Suy ra a(u,u) là thỏa mãn điều kiện bức.

Theo định lý Lax-Milgram, A là đẳng cấu từ Hj(Q) lên H7'(Q).

(b) Ta có, A+ AI là đẳng cấu từ H¿(O) lên H7'(Q) với À đủ lớn, còn À7 làtoán tử compact từ Hj(Q) vào H~*(Q) Do đó

là tổng của một dang cấu và một toán tử compact nên A là toán tử Fredholm

với chỉ số 0 L]

26