(LUẬN văn THẠC sĩ) bài toán dirichlet đối với toán tử monge ampere phức trong lớp f (f)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– HỒNG THỊ HẢI YẾN BÀI TỐN DIRICHLET ĐỐI VỚI TỐN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC TRONG LỚP F ( f ) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– HỒNG THỊ HẢI YẾN BÀI TỐN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC TRONG LỚP F ( f ) Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố công trình Tác giả Hồng Thị Hải Yến Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phịng đào tạo, phận sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2016 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC .iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm điều hòa 1.2 Hàm đa điều hoà 1.3 Hàm cực trị tương đối .7 1.4 Toán tử Monge-Ampère phức .10 1.5 Nguyên lý so sánh Bedford Taylor .12 Chương 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE -AMPÈRE PHỨC TRONG LỚP F ( f ) 17 2.1 Dáng điệu biên hàm lớp Ep F 17 2.2 Định nghĩa toán tử Monge – Ampère lớp E( f ) 21 2.3 Bài toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức lớp F ( f ) 27 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức đặt sau: Cho WÌ £ n miền giả lồi chặt,  độ đo Borel W Hãy tìm lớp hàm đa điều hịa P (W) thích hợp toán tử Monge-Ampère phức (dd c )n xác định tốt cho với hàm h liên tục ¶ W, tốn sau có nghiệm nhất: ìï u Î P (W), (dd c u )n = m; ï í ïï lim u (z ) = h ( x), x ẻ ả W ùợ z đ x (1.1) Bi tốn Dirichlet hàm đa điều hịa nghiên cứu Brememann vào năm 1959 Sau đó, năm 1976, Bedford Taylor giới thiệu toán tử Monge-Ampère phức giải Bài toán Dirichlet (1.1) P (W) = PSH (W) ầ LƠloc (W) v độ đo  liên tục tuyệt đối độ đo Lebesgue Từ số tác U.Cegrell, L.Persson S.Kolodziej, Z.Blocki cố gắng giải tốn bỏ qua tính liên tục mật độ m Năm 1996, S.Kolodziej cho điều kiện đủ tính giải tốn Dirichlet tốn tử Monge-Ampère phức lớp PSH (W) Ç L¥loc (W) Đối với độ đo kỳ dị, tính giải tốn Dirichlet giải L Lempert, J.P.Demailly P Lelong Năm 2004, U Cegrell đưa định nghĩa tổng quát toán tử Monge-Ampère, định nghĩa lớp lượng F giải toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère lp ú Theo hướng nghiên cứu trên, chọn ”Bài toán Dirichlet toán tử Monge-Ampere phức lớp F ( f ) ” làm đề tài nghiên cứu mình, trình bày kết gần P Ahag giải toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức lớp F ( f ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com 2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu giải toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức lớp F ( f ) 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh + Trình bày kết nghiên cứu giải toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức lớp F ( f ) Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 41 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh hệ Chương 2: Là nội dung luận văn Phần đầu chương, trình bày dáng điệu biên hàm lớp Ep , Định nghĩa toán tử Monge – Ampère lớp E( f ) F Trong mục 2.2 định nghĩa tốn tử Monge-Ampère lớp theo cách xấp xỉ Mục 2.3 dành để trình bày việc giải tốn Dirichlet toán tử Monge-Ampère lớp F ( f ) Đặc biệt, [8], Cegrell giải toán Dirichlet f = Phần Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com cuối chương trình bày chứng minh nguyên lý so sánh, nhờ sử dụng phương pháp chứng minh Định lý 2.3.3 Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian tôpô Hàm u : X đ ộởờ- Ơ , + Ơ ) gi nửa liên tục trên X với a Ỵ ¡ tập X a = {x Ỵ X : u (x ) < a } mở X Hm v : X đ (- Ơ , + ¥ ù ú û gọi nửa liên tục X - v nửa liên tục X Định nghĩa tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau: Giả sử u : X đ ộởờ- Ơ , + Ơ ) Ta núi hàm u nửa liên tục x Ỵ X " e > tồn lân cận U x x X cho " e Ỵ U x ta có: 0 u (x ) < u (x ) + e u (x ) - Ơ u (x ) < - u (x ) = - ¥ e Giả sử E Ì X u : E đ ộởờ- Ơ , + Ơ ) l hm E Giả sử x Ỵ E Ta định nghĩa lim sup u (x ) = inf {sup{u(y ) : y ẻ V }} x đ x0 x Ỵ E inf lấy V chạy qua lân cận x Khi thấy hàm u : X ® éëê- ¥ , + ¥ ) nửa liên tục x0 Ỵ X lim sup u(x ) £ u(x ) Ta có kết sau x ® x0 Định nghĩa 1.1.2 Giả sử W tập m Ê Hm u : Wđ ộờở- Ơ , + ¥ ) gọi điều hịa W nửa liên tục trên W thỏa mãn bất đẳng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com thức trung bình W, nghĩa với w Î W tồn d > cho với £ r £ d ta có u ( w) £ 2p ò 2p u ( w + re it )dt (1.2) Kí hiệu tập hàm điều hòa W SH (W) Mệnh đề 1.1.3 Giả sử u, v hàm điều hòa tập mở W £ Khi đó: (i ) m ax(u , v ) hàm điều hòa W (ii ) Tập hàm điều hịa W nón, nghĩa u, v Ỵ SH (W) a , b > a u + b v thuộc SH (W) Định lý 1.1.4 Giả sử {u n } dãy giảm hàm điều hòa tập mở W £ u = lim u n Khi u hàm điều hịa di trờn W nđ Ơ Chng minh u tiờn ta chứng minh u nửa liên tục trên W Với a Ỵ R, tập {z Ỵ W: u(z ) < a } = Ơ U{z ẻ W: un (z ) < e} n Do tập mở Vậy u nửa liên tục trên W Do u n thỏa mãn bất đẳng thức trung bình nên dùng định lý hội tụ đơn điệu suy u thỏa mãn bất đẳng thức trung bình W Do u hàm điều hịa W 1.2 Hàm đa điều hoà Định nghĩa 1.2.1 Cho W tập mở £ n v u : Wđ ộờở- Ơ , Ơ ) hàm nửa liên tục không trùng với - ¥ thành phần liên thơng W Hàm u gọi đa điều hồ với a Ỵ W b Î £ n , hàm l a u (a + l b) điều hồ trùng - ¥ thành phần tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Ỵ W} Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com 27 Giả sử u 1, u 2, , u n Ỵ E( f ) Khi sử dụng ý tưởng chứng minh Định lý 2.2.7, để định nghĩa (dd cu1) Ù (dd cu2 ) Ù Ù (dd cun ) theo cách tương tự (dd cu )n xác định Định nghĩa 2.6 Mệnh đề 2.2.9 thu sử dụng Mệnh đề 2.2.5 với Hệ 5.2 [8]; sử dụng sau chứng minh Định lý 2.3.3 Mệnh đề 2.2.9 Giả sử u Ỵ F ( f ) {u j }, u j Î E0 ( f ) , dãy giảm hi t im n u j đ + Ơ Khi j Ỵ PSH (W), j £ , ò (- j )(dd u ) c n < +Ơ W thỡ lim j đ + Ơ (- j )(ddcu j )n = (- j )(dd cu )n tơ pơ yếu* 2.3 Bài tốn Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức lớp F ( f ) Giả sử WÍ £ n miền siêu li b chn, v f : ả Wđ Ă l hàm liên tục cho lim z ® x U (0, f )(z ) = f ( x) với mi x ẻ ả W Trong phn ny, chỳng ta chứng minh toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức Chính xác hơn: giả sử m độ đo không âm triệt tiêu tập đa cực có khối lượng tồn phần hữu hạn Khi tồn hàm xác định u Î F ( f ) cho (dd cu )n = m (Định lý 2.3.3) Chương này kết thúc với nguyên lý so sánh, chứng minh nhờ sử dụng phương pháp chứng minh Định lý 2.3.3 Bằng cách sử dụng phần tồn Định lý 2.3.3 nguyên lý so sánh Bedford-Taylor cho hàm đa điều hòa bị chặn, Cegrell chứng minh nguyên lý so sánh lớp F a ( f ) ; Hệ quả, suy phần Định lý 2.3.3 Bổ đề 2.3.1 Cho u Ỵ E0 ( f ) f Ỵ E( f ) I C(W) Nếu A = {z Ỵ W: u (z ) > f (z )}, Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com 28 c A (dd cu )n = c A (dd c max{u, f })n , c A hàm đặc trưng A Chứng minh Nếu u = U (0, f ) , bổ đề suy trực tiếp Từ giả sử u ¹ U (0, f ) Điều đủ để chứng minh đẳng thức hai độ đo hai tập compact tuỳ ý K Í W(K ¹ f ) Lấy a số xác định ỡù , max x ẻ ả W f ( x) £ a = ïí ïï max x Ỵ ¶ W f ( x) , max x Ỵ ¶ W f ( x) > ỵ Theo Định lý 2.2.7, tn ti u W ẻ E0 cho u W¢ = u - a lân cận W¢Í W tập K Nếu A%= {z Ỵ W: uW¢ > f - a }, theo Bổ đề 5.4 [7] ta có c A%(dd cuW¢)n = c A%(dd c (max {uW¢, f - a }))n W W¢ Do ta có c A (dd cu )n = c A (dd c (u - a ))n = c A (dd c (max {u - a , f - a }))n = c A (dd c (max{u, f } - a ))n = c A (dd c (max {u, f }))n K , A I W¢= A%I W¢ Định lý 2.3.2 Giả sử m độ đo không âm xác định miền siêu lồi bị chặn W Khi tồn hàm y Ỵ E0 j Ỵ L1loc ((dd c y )n ), j ³ cho m = j (dd c y )n + n, n độ đo khơng âm cho tồn tập đa cực A Í W với n(W\ A ) = Chứng minh Xem Định lý 5.11 [8] W Định lý 2.3.3 Cho WÍ £ n (n ³ 2) miền siêu lồi bị chặn Giả sử m độ đo không âm xác định W với m(W) < + ¥ m(A) = với tập đa cực A Í W Khi đó, với hàm liên tục f : ¶ W® ¡ cho lim z ® x U (0, f )(z ) = f ( x) với x Î ¶ W, tồn hàm u Î F ( f ) cho (dd cu )n = m Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com 29 Chứng minh Trước tiên ta chứng minh tồn u Î F ( f ) thoả mãn định lý Vì m triệt tiêu tập đa cực có khối lượng toàn phần hữu hạn, nên theo Định lý 2.3.2 tồn hàm y Ỵ E0 j Ỵ I L1((dd c y )n ), j ³ cho m = j (dd c y )n Với mi k ẻ Ơ , ly mk l o xác định mk = min{j , k }(dd c y )n Khi mk £ (dd c (k 1/ n y ))n theo Định lý Kolodziej [10], tồn hàm wk Ỵ E0 cho (dd cwk )n = mk (2.15) Dãy {wk } giảm Điều kéo theo (wk + U (0, f )) ẻ LƠ (W) ầ PSH (W) , lim z ® x (wk + U (0, f ))(z ) = f ( x) với x Ỵ ¶ W, U ((dd c (wk + U (0, f )))n , f ) = wk + U (0, f ) Đẳng thức (2.15) kéo theo (dd c (wk + U (0, f )))n ³ mk Theo Định lý 8.1 [7] ta có (dd cU (mk , f ))n = mk U (0, f ) ³ U ( mk , f ) ³ wk + U (0, f ) (2.16) Vì thế, U ( mk , f ) Ỵ E0 ( f ) Điều kéo theo {U ( mk , f )} dãy giảm Vì m(W) < + ¥ theo giả thiết, nên ta suy sup ò (dd cwk )n = sup ò (dd cU ( mk , f ))n £ sup mk (W) £ m(W) < + ¥ k W k W Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN k http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com 30 nh vy limk đ + Ơ wk ẻ F t u = limk đ + Ơ U (mk , f ) Khi theo (2.16) u Ỵ PSH (W) U (0, f ) ³ u ³ limk ® + ¥ wk + U (0, f ) Suy u Ỵ F ( f ) Từ Định lý 2.2.7 suy (dd cu )n = m Bây ta chứng minh tính u thoả mãn định lý Giả sử tồn v Î F ( f ) thoả mãn (dd cv )n = m Khi giả thiết m(W) < + ¥ theo ò (dd u ) c n < + ¥ W ò (dd v ) c n kéo < + ¥ Ta chứng minh u = v W Vì nguyên lý so sánh chưa chứng minh có hiệu lực F a ( f ) , nên ta sử dụng dãy xấp xỉ nghiệm u v , sau sử dụng nguyên lý so sánh xấp xỉ Đối với hàm u dãy {u k }, u k Ỵ E0 ( f ) , phần chứng minh tồn sử dụng Lấy {K j } với K j Í W int (K j ) ¹ f dãy tập compact cho K j Í int (K j + 1) U¥j = K j = W với j ẻ Ơ Ký hiu h K l hm cực trị tương đối lấy s j số nguyên dương j { } Dãy max {v, s j hK + U (0, f )} xây dựng cho j max {v, s j hK + U (0, f )} Ỵ E0( f ) j giảm n v trờn W j đ + Ơ Bằng cách sử dụng hàm phụ a j , thu x jk + max {v, s j hK + U (0, f )} £ uk £ y jk , j x jk Ỵ E0(0) y jk Ỵ E0( f ) xây dựng cách thích hợp Khi xây dựng hàm a j , ý tưởng từ chứng minh Bổ đề 5.14 [8] sử dụng Khi để hồn thành chứng minh ta cần chứng minh x jk hội tụ đến y jk hội tụ đến v W k j dần đến + ¥ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com 31 Theo Định lý 2.3.2, tồn hàm y Ỵ E0 j Ỵ L1((dd c y )n ), j ³ cho m = j (dd c y )n (2.17) điều suy m triệt tiêu tập đa cực m(W) < ¥ , theo giả thiết Với mi k ẻ Ơ , ly mk l o xác định mk = min{j , k }(dd c y )n (2.18) Từ phần chứng minh suy tồn dãy giảm {u }, Ỵ k uk Ỵ E0( f ) , cho (dd cuk )n = mk (2.19) u = limk đ + Ơ uk Dóy {K j } compact có tính chất hàm cực trị tương đối hK Ỵ E0 I C (W) Nhắc lại j hK (z ) = sup{ v (z ) : v Ỵ PSH (W), v < v £ - K j } j Lấy {s j } dãy tăng nghiêm ngặt số nguyên dương, định nghĩa hàm a j a j = - hK j ìï v - U (0, f ) ü ï ï + max í , hK ïý j ï ïï sj ï ợ ỵ Chỳ ý rng hm a j núi chung, khơng phải hàm đa điều hịa Định nghĩa ca a j kộo theo lim j đ + Ơ (1 - a j ) = W\ {v = - ¥ } Như chọn dãy tăng {l j }¥j = số nguyờn dng cho, vi mi j ẻ Ơ , bất đẳng thức c n ò (1 - a j )(dd v ) £ W j (2.20) xảy theo Định lý hội tụ đơn điệu giả thiết (dd cv )n triệt tiêu tập đa cực Để đơn giản ta ký hiệu {K j } {s j } sử dụng thay cho {K l } {sl } j Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com j 32 Nếu A j = {v > s j hK + U (0, f )} j £ a j £ c A £ 1, (2.21) j c A hàm đặc trưng tập hợp A j Vì s j hK Ỵ E0 , nên suy j j ( s j hK + U (0, f )) Ỵ E0( f ) Dãy j {max{v, s h } giảm + U (0, f )} j Kj đến v j ® + ¥ Lấy j Ỵ ¥ cố định s Î ¥ cho s ³ s j Khi Bổ đề 2.3.1 suy c A (dd c max{v, shK + U (0, f )})n = c A (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n , (2.22) j j j j max{max{v, shK + U (0, f )}, s j hK + U (0, f )} = max{v, s j hK + U (0, f )} j j j Từ (2.21) (2.22) suy £ a j (dd c max{v, shK + U (0, f )})n j £ c A (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j j £ (dd c max{v, shK + U (0, f )})n (2.23) j Các giới hạn yếu* sau xảy ra: lim (dd c max{v, shK + U (0, f )})n = (dd cv )n , sđ + Ơ j lim (- hK )(dd c max{v, shK + U (0, f )})n = (- hK )(dd cv )n , sđ + Ơ j j j ùỡ v U (0, f ) ïü ï (dd c max{v, sh + U (0, f )})n = lim max ïí , hK + ý Kj j sđ + Ơ ùù s j s j ùù ợ ỵ ùỡù v U (0, f ) ïü ï (dd cv )n , = max í , hK + ý j ïï s j s j ùù ợ ỵ ổ U (0, f ) ổ U (0, f ) ữ ữ ỗỗ ç c n ÷ ÷ lim ç(dd max{v, shK + U (0, f )}) = ỗỗ(dd cv )n ữ ữ ữ ữ j sđ + Ơ ỗ sj ứ sj ứ ữ ữ ố ốỗ S húa bi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com 33 Giới hạn thứ suy Định lý 2.2.7 ba giới hạn sau suy Mệnh đề 2.2.9 Có thể biểu diễn hàm a j sau a j = - hK j ìï v ïï U (0, f ) U (0, f ) ü ï + max í , hK + ; ýj ïï s j s j ùù sj ợ ỵ Khi ú, da vào (2.23) với giới hạn trước đó, suy a j (dd cv )n £ c A (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n £ (dd cv )n j (2.24) j s ® + ¥ Bất đẳng thức (2.21) (2.24) suy (1 - a j )(dd cv )n + (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j ³ (1 - a j )(dd cv )n + c A (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j j ³ (dd cv )n ³ a j (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n (2.25) j Giả sử (dd cv )n = m với (2.17)-(2.19) cho ta min{j , k }(dd cv )n = j (dd cuk )n (2.26) Đặt ìï , j (z ) = ïï r k (z ) = ïí {j (z ), k } ïï , j (z ) ¹ ïïỵ j (z ) £ r k £ Theo (2.25) (2.26) ta có r k (1 - a j )(dd cv )n + r k (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j ³ r k (dd cv )n = (dd cuk )n ³ r ka j (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n (2.27) j Lại theo Định lý Kolodziej, với j , k ẻ Ơ , tn ti hm x jk ẻ E0(0) cho (dd cx jk )n = r k (1 - a j )(dd cv )n , r k (dd cv )n = (dd cuk )n Từ phần chứng minh suy tồn hàm y jk Ỵ E0 (0) cho Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com 34 (dd cy jk )n = r ka j (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j { Ly j ẻ Ơ cố định Khi (dd cx jk )n ¥ } k= { (dd cy jk )n ¥ } dãy tăng k= {x jk }k¥ = {y jk }k¥ = dãy giảm theo nguyên lý so sánh Với mi j ẻ Ơ , t v x j = lim x jk kđ + Ơ y j = lim y jk kđ + Ơ Bõy gi ta s chng minh j đ + Ơ , dóy {x j } hội tụ đến W dãy {y j } hội tụ đến v W Từ việc xây dựng (2.20) suy sup k ò (dd x c jk )n £ / j , W điều kéo theo x j Ỵ F Tồn hàm f Ỵ PSH (W) I C (W) cho (dd cf )n = dV , lim f (z ) = vi mi x ẻ ả W (xem [6]) zđ x zẻ W Theo H qu 2.2 [5] định nghĩa F suy ò (- x ) dV n W j = ò (- x ) (dd f ) n W c n j £ Cf ò (dd x ) c n j W £ Cf , j C f ³ số phụ thuộc vào f n Do lim x j = (2.28) jđ + Ơ yu trờn W Khi ú bt ng thức (2.27) cho ta (dd c (x jk + max{v, s j hK + U (0, f )})n j ³ (dd cx jk )n + r k (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j ³ (dd cu k )n ³ (dd cy jk )n với mi j , k ẻ Ơ Khi ú, theo Định lý 2.3.2, ta có x jk + max{v, s j hK + U (0, f )} £ uk £ y jk j Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com (2.29) 35 Vì (dd cy jk )n £ (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n , j nên theo Định lý 2.3.2 suy U (0, f ) ³ y jk ³ max {v, s j hK + U (0, f )} j Như vậy, U (0, f ) ³ y j = lim y jk ³ max{v, s j hK + U (0, f )} kđ + Ơ j T ú y j ẻ LƠ (W) theo Mệnh đề 2.2.4, suy lim z ® x y j (z ) = f ( x) vi mi x ẻ ả W Theo Mnh 6.1 [7] vi mi j ẻ Ơ , tn ti w j ẻ F I LƠ (W) cho (dd cw j )n = (1 - a j )(dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n (2.30) j (dd c (y j + w j ))n ³ (dd cy j )n + (dd cw j )n = (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n ³ (dd cy j )n j Theo nguyên lý so sánh, ta có y j + w j £ max{v, s j hK + U (0, f )})n £ y j (2.31) j y j , w j ẻ LƠ (W) v y j + w j £ max{v, s j hK + U (0, f )})n = y j ¶ W j Theo Định lý 2.2.7 ta có (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n £ (dd cv )n ; j sau nhân bất đẳng thức bên trái (2.24) với a j ta a 2j (dd cv )n £ a j (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j Do ị (1 - a j )(dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n £ j W Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ị (1 - a j2 )(dd cv )n W http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com 36 Bây theo (2.20) (2.30) điều suy ị (dd w ) c n j W £ ò (1 - a j2 )(dd cv )n £ ò (1 - a j )(dd cv )n £ W W j Từ theo Hệ 2.2 [5], ta có n ị (- w j ) dV = W n c n c n ¢ ¢ ( w ) ( dd f ) £ C ( dd w ) £ C , ò j f ò j f j W W C f¢ ³ số phụ thuộc vào f n Điều suy rng (2.32) lim w j = jđ + Ơ yếu W Cho k j dần đến + ¥ , từ (2.28), (2.29), (2.31), (2.32) suy u = v W W Định nghĩa 2.3.4 F a ( f ) lớp hàm đa điều hịa u Ỵ F ( f ) cho (dd cu )n triệt tiêu tất tập hợp đa cực Hệ 2.3.5 Cho WÍ £ n (n ³ 2) miền siêu lồi bị chặn, f , g : ả Wđ Ă l cỏc hm liên tục cho lim z ® x U (0, f ) = f ( x) lim z ® x U (0, g)(z ) = g( x) với x ẻ ả W Gi s u ẻ F ( f ) v Ỵ F a (g), f £ g , ò (dd u ) c n < + ¥ , (dd cu )n ³ (dd cv )n Khi u £ v W Chứng minh Tồn hàm y 1, y Î E0 , với j Î L1((dd c y 1)n ), j ³ 0, j Ỵ L1((dd c y )n ), j ³ 0, cho (dd cu )n = j 1(dd c y 1)n + n (dd cv )n = j 1(dd c y )n ; (2.33) n độ đo không âm, theo Định lý 2.3.2 mang tập đa cực, (dd c (y + y ))n ³ (dd c y 1)n (dd c (y + y ))n ³ (dd c y )n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com 37 Các độ đo (dd c y 1)n (dd c y )n liên tục tuyệt đối (ddc (y + y ))n Từ tồn hàm t Ỵ L1(dd c (y + y ))n , t ³ 0, t Ỵ L1(dd c (y + y ))n , t ³ 0, cho t 1(dd c (y + y ))n = (dd c y 1)n , t 2(dd c (y + y ))n = (dd c y )n , (2.34) Theo đẳng thức độ đo (2.33) (2.34) điều kéo theo (dd cu )n = j 1t 1(dd c (y + y ))n + n (dd cv )n = j 2t 2(dd c (y + y ))n (2.35) Do j 1t ³ j 2t W, (dd cu )n ³ (dd cv )n theo giả thiết Xét độ đo j 1t 1(dd c (y + y ))n ; có khối lượng tổng cộng hữu hạn triệt tiêu tập đa cực Từ theo Định lý 2.3.3 tồn hàm w Ỵ F a (g) cho (dd cw)n = j 1t 1(dd c (y + y ))n Từ (2.35) suy (dd cv)n £ (dd cw)n = j 1t 1(dd c (y + y ))n £ (dd cu )n , j 1t ³ j 2t W Với j Î ¥ , lấy độ đo mvj mwj xác định mvj = min{j 2t 2, j }(dd c ( y + y ))n , mwj = min{j 1t 1, j }(dd c ( y + y ))n Theo chứng minh phần tồn Định lý 2.3.3, tồn hàm v j , w j Ỵ E0(g) cho (dd cv j )n = mvj (dd cw j )n = mwj Suy (dd cv j )n £ (dd cw j )n Khi theo nguyên lý so sánh ta vj ³ wj Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN (2.36) http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com 38 {v j } {w j } dãy giảm Đặt v%= lim v j v w%= lim w j jđ + Ơ jđ + ¥ Sử dụng ý tưởng tương tự dùng phần tồn chứng minh Định lý 2.3.3, chứng minh v%% , w Ỵ F a (g), (dd cv%)n = j 2t 2(dd c (y + y ))n (dd cw%)n = j 1t 1(dd c (y + y ))n % Từ Nhưng v w xác định v = v% w = w (2.36) điều kéo theo v ³ w (2.37) Lấy {s j } {K j } chứng minh phần Định lý 2.3.3 Theo cách tương tự, ta định nghĩa hàm bj W ïì u - U (0, f ) ïü bj = - hK + max ïí , hK ïý j j ù ùù sj ùỵ ợ Chỳ ý rng u Ỵ F ( f ) (dd cu )n có khối lượng tập đa cực Bất đẳng thức (2.24) cho ta bj (dd cu )n £ (dd c max{u, s j hK + U (0, f )})n (2.38) j Nói riêng, Điều kéo theo độ đo không âm bj (dd cu )n triệt tiêu tập đa cực bj (dd cu )n = bj j 1t 1(dd c ( y + y ))n = bj (dd cw )n Tồn hàm xác định nht wÂj ẻ E0(g) (dd cw jÂ)n = r jbj (dd cu )n , ìï , j ( z ) t 1( z ) = ïï r j (z ) = ïí {j 1(z )t 1(z ), j } ïï , j ( z ) t 1( z ) ¹ ïï j ( z ) t ( z ) 1 î Nguyên lý so sánh (2.38) suy Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com cho 39 w j¢ = max{u, s j hK + U (0, f )} (2.39) j W Nhắc lại f £ g theo giả thit Ly w%Â= lim j đ + Ơ w j Khi ú %Âẻ F (g) v (dd cw%Â)n = (dd cw )n w Vỡ th, w%Âẻ F a (g) w%¢ = w W, w xác định Như vậy, điều kéo theo w ³ u W, theo (2.39) Vì v ³ w W theo (2.37), nên suy v ³ u W Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN W http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com 40 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: + Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm cực trị tương đối, tốn tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh hệ + Giải tốn Dirichlet tốn tử Monge-Ampère lớp F ( f ) Nội dung trình bày Định lý 2.3.3, cụ thể là: Giả sử WÍ £ n (n ³ 2) siờu li b chn, v f : ả Wđ ¡ hàm liên tục cho lim z ® x U (0, f )(z ) = f ( x) vi mi x ẻ ả W m l o khơng âm W với khối lượng tồn phần hữu hạn m triệt tiêu tập đa cực Khi tồn hàm xác định u Ỵ F ( f ) cho (dd cu )n = m Trường hợp đặc biệt, [9], Cegrell giải toán Dirichlet f = + Chứng minh định nghĩa tốn tử Monge-Ampère lớp theo cách xấp xỉ + Chứng minh Hệ 2.3.5 nguyên lý so sánh lớp F ( f ) nhờ sử dụng phương pháp chứng minh Định lý 2.3.3 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội TIẾNG ANH P Ahag (2007), “A Dirichlet problem for the complex Monge-Ampere operator in F ( f ) ”, Michigan Math J 55, 123-138 D.H Armitage and S.J Gardiner (2001), Classial potential theory, Springer Monogr Math., Springer-Verlag, london E Bedford and B.A Taylor (1976), “The Dirichlet problem for a complex Monge – Ampère equation”, Invent Math 37, 1-44 Z Blocki (1993), “Estimates for the comlex Monge – Ampère operator”, Bull Polish Acad Sci Math 41, 151 -157 Z Blocki (1995), “On the Lp stability for th complex Monge – Ampère operator”, Michigan Math J 42, 269 – 275 U Cegrell (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math 180, 187 -217 U Cegrell (2004), “The general definition of the complex Monge – Ampère”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, 159 – 179 U Cegrell and S Kolodziej (2006), “The equation of complex Monge – Ampère type and stability of solutions”, Math Ann 334, 713 -729 10 S Kolodziej (1995), “The range of the complex Monge – Ampère operator”, II, Indiana Univ Math J 44, 765 -782 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn download by : skknchat@gmail.com ... sánh Bedford Taylor .12 Chương 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE -AMPÈRE PHỨC TRONG LỚP F ( f ) 17 2.1 Dáng điệu biên hàm lớp Ep F 17 2.2 Định nghĩa toán tử Monge. .. tổng quát toán tử Monge- Ampère, định nghĩa lớp lượng F giải toán Dirichlet tốn tử Monge- Ampère lớp Theo hướng nghiên cứu trên, chọn Bi toỏn Dirichlet toán tử Monge- Ampere phức lớp F ( f ) ” làm... f ) F ( f ) chất có giá trị biên cho hàm f Mục đích phần chứng minh định nghĩa tốn tử Monge – Ampère theo cách xấp xỉ E( f ) Lớp E( f ) chứa E0 ( f ) , F p ( f ) , Ep ( f ) F ( f ) ; toán tử