4. Bố cục của luận văn
2.2. Định nghĩa tõn tử Monge – Ampộre trong lớp E( )f
Cõc lớp E0( )f vỏ Fp( )f được định nghĩa đầu tiởn trong [7]. Ở đĩy cõc định nghĩa sẽ được nhắc lại, vỏ ( )Ep f , F ( )f , vỏ E( )f sẽ được định nghĩa một cõch tương tự. Nếu K( )f lỏ một trong những lớp đụ, ở đụ f = 0, thớ điều đụ trực tiếp suy ra K(0) = K, ở đụ K lỏ lớp tương ứng được xõc định trong mục 2.1. Do đụ cõc lớp được xõc định trong phần nỏy lỏ sự tổng qũt trong mục 2.1. Mệnh đề 2.2.4 lỏ hệ quả trực tiếp của định nghĩa của cõc lớp đụ vỏ Hệ quả
2.1.7. Vớ thế, cõc hỏm thuộc Ep( )f vỏ F ( )f về bản chất cụ giõ trị biởn đọ cho bởi hỏmf . Mục đợch chợnh của phần nỏy lỏ chứng minh rằng cụ thể định nghĩa tõn tử Monge – Ampộre theo cõch xấp xỉ trởn E( )f . Lớp E( )f chứa E0( )f ,
( )
p f
F ,Ep( )f vỏ F ( )f ; tõn tử Monge – Ampộre phức cũng được xõc định trởn cõc lớp nỏy.
Định nghĩa 2.2.1. Cho W lỏ một miền trong ê , n f lỏ hỏm giõ trị thực liởn tục xõc định trởn ả W, vỏ m lỏ một độ đo khừng ĩm xõc định trởn W. Khi đụ bao
( , ) U m f được xõc định bởi ( , )( ) sup{ ( ) : ( , )} U m f z = v z v ẽ B m f , ở đụ ( , )B mf = {w ẽ PSH( )W ầLlocơ ( ) : (W dd wc )n Ể m, lim supzẼxw z( )ê f( )x với mỗi x ẽ ả W}.
Cõc lớp Ep( )f ,F ( )f , vỏ E( )f được định nghĩa sử dụng bao U(0, )f một cõch tương tự như E0( )f vỏ Fp( )f trong [7].
Định nghĩa 2.2.2. Cho K ẽ { ,E F E F E , 0 p, p, , } Wẻ ê lỏ miền siởu lồi bị chặn, n vỏ :f ả WẼ â lỏ hỏm liởn tục sao cho
lim
zẼxU(0, )( )f z = f x( ) với mỗi x ẽ ả W.
Một hỏm đa điều húa dưới u xõc định trởn W thuộc vỏo K( )(f = K( , ))Wf nếu tồn tại một hỏm j ẽ K sao cho
(0, ) (0, )
U f Ể u Ể j +U f .
Chỷ ý 2.2.3. (1) Theo cõc giả thiết trong Định nghĩa 2.2.2, bao Peron-
Bremermann U(0, )f thuộc về E0( )f I C( ).W Hơn nữa E0( )f ẻ Lơ ( )W vỏ (dd Uc (0, ))f n = 0.
(2) Nếu K ẽ { ,E F E F E thớ 0 p, p, , } K(0) = K. Lớp K( )f lỏ một tập hợp lồi, nhưng nụi chung nụ khừng lỏ một nụn lồi.
(3) Cho p vỏ f cố định; khi đụ
E0( )f ẻ Fp( )f ẻ F( )f ẻ E( )f vỏ E0( )f ẻ Fp( )f ẻ Ep( )f ẻ E( )f
(4) Tồn tại một hỏm u ẽ E0( )f sao cho (dd )cu n
W
= + ơ
ú .
Trong phần cún lại của mục nỏy, giả sử Wẻ ê lỏ miền siởu lồi bị chặn vỏ n :
f ả WẼ â lỏ hỏm liởn tục sao cho limzẼxU(0, )( )f z = f( )x với mọi xẽ ả W.
Mệnh đề 2.2.4. Giả sử u ẽ F( )f UpỂ1 Ep( )f . Khi đụ lim sup ( ) ( ) z z u z f x x Ẽ ẽ W = (2.7)
với mỗi x ẽ ả W. Nếu u ẽ E0( )f , thớ
lim sup ( ) ( ) z u z f x x Ẽ = (2.8) với mỗi x ẽ ả W.
Chứng minh. Giả sử u ẽ F( )f UpỂ1 Ep( )f , nghĩa lỏ, u ẽ PSH( )W, vỏ tồn tại hỏm j ẽ E (hoặc trong F ) sao cho p U(0, )f Ể u Ể j + U(0, )f . Khi đụ
(0, ) 0.
j ê u- U f ê (2.9)
Theo Hệ quả 2.1.7, điều đụ suy ra rằng lim sup ( ) 0 z z z x j Ẽ ẽ W = (2.10)
với mỗi x ẽ ả W. Từ đụ (2.9) vỏ (2.10) suy ra (2.7) xảy ra. Lấy u ẽ E0( )f . Sử dụng định nghĩa của E0 thay cho Hệ quả 2.1.7 trong phương phõp trước đụ ta
Mệnh đề 2.2.5. (1) Nếu f ê 0 vỏ u ẽ E( )f , thớ u ẽ E.
(2) Nếu v ẽ E( )f , thớ tồn tại một hằng số c1 ê 0 sao cho (v + c1) ẽ E. (3) Nếu w ẽ E, thớ tồn tại một hằng số c2 ê 0 sao cho (w+ c2)ẽ E( )f .
Chứng minh. (1) Điều nỏy suy ra từ định nghĩa của E( )f vỏ Định lý 2.1.3. (2) Đĩy lỏ hệ quả của (1).
(3) Giả sử w ẽ E vỏ xờt hỏm w- maxxẽ ả Wf( )x . Hỏm nỏy thuộc vỏo E( )f ,
điều nỏy hoỏn thiện chứng minh của mệnh đề. W
Định lý 7.2 trong [7] chứng minh rằng (ddc.)n hoỏn toỏn xõc định trởn ( )
p f
F . Phương phõp tương tự được sử dụng ở đĩy để chứng minh rằng tõn tử nỏy hoỏn toỏn xõc định trởn E( )f . Nụi riởng, điều nỏy suy ra tõn tử Monge- Ampộre phức lỏ hoỏn toỏn xõc định trởn Fp( ),f Ep( ),f vỏ F ( )f .
Định lý 2.2.6. Giả sử u ẽ E( )f . Khi đụ tồn tại một dọy giảm {uj},uj ẽ E0( )f , hội tụ điểm đến u khi j Ẽ + ơ .
Chứng minh. Lấy u ẽ E( )f , nghĩa lỏ u ẽ PSH( )W vỏ tồn tại một hỏm j ẽ E sao cho
(0, ) (0, )
U f Ể u Ể j +U f . (2.11) Từ Định lý 2.1 [8] suy ra rằng tồn tại một dọy giảm {j j}, j j ẽ E0, sao cho j j
hội tụ điểm đến j khi j Ẽ + ơ . Lấy dọy {uj}, uj ẽ ơ , được xõc định bởi uj = max u{ ,j j +U(0, )}f .
Đụ lỏ một dọy giảm cõc hỏm đa điều húa dưới, vớ { }j j lỏ dọy giảm, vỏ nụ hội tụ điểm đến u khi j Ẽ + ơ . Định nghĩa của uj kờo theo
uj Ể j j +U(0, )f , (2.12)
(0, )U f Ể uj, vớ (j j +U(0, ))f ẽ B(0, ).f Vớ thế, bất đẳng thức (2.12) cho ta
(0, )U f Ể uj Ể j j +U(0, )f với mỗi j ẽ ơ .
Do đụ {uj}, uj ẽ E0( )f lỏ dọy giảm hội tụ điểm đến u khi j Ẽ + ơ . ,
Định lý 2.2.7. Giả sử {uj}, uj ẽ E0( )f , lỏ một dọy giảm hội tụ điểm đến
( )
u ẽ E f khi j Ẽ + ơ . Khi đụ (dd uc j)n lỏ hội tụ yếu* vỏ độ đo giới hạn khừng phụ thuộc vỏo dọy {uj} .
Chứng minh. Giả sử {uj}, uj ẽ E0( )f , lỏ một dọy giảm hội tụ điểm đến ( )
u ẽ E f khi j Ẽ + ơ . Lấy K ẻ W(K Ỉ f ) lỏ tập compact. Theo Định nghĩa 2.2.2, u ẽ PSH( )W vỏ tồn tại một hỏm j ẽ E sao cho
(0, )Ể Ể j + (0, )
U f u U f . (2.13) Khừng mất tợnh tổng qũt, giả sử rằng j < 0, bởi vớ nếu j = 0 thớ (2.13) kờo theo u = U(0, )f ẽ PSH( )W I Lơ ( )W, vỏ uj = U(0, )f với mỗi j ẽ ơ theo Định nghĩa 2.2.2. Hỏm U(0, )f lỏ liởn tục trởn W vỏ j < 0; do đụ tồn tại một hằng số c Ể 0 sao cho U(0, )f - a > cj trởn K , ở đụ a lỏ hằng số được xõc định bởi 0 , max ( ) 0 max ( ) , max ( ) 0 x x x x a x x ẽ ả W ẽ ả W ẽ ả W ớủ ê ủ = ợủ > ủù f f f
Điều đụ vỏ (2.13) kờo theo
u- a Ể (1+ c)j (2.14) trong một lĩn cận của K . Theo Định lý 2.1 trong [8] tồn tại một dọy giảm
0
{j j}, j j ẽ E , hội tụ điểm đến j khi j Ẽ + ơ . Đặt vj = max u{ j - a, (1+ c)j j}.
Giả sử uj ẽ E0( )f nghĩa lỏ uj ẽ PSH( )W . Khi đụ (uj - a) lỏ hỏm đa điều húa dưới vỏ (uj - a) ê 0. Vớ E0 lỏ một nụn lồi, nởn (1+ c)j j ẽ E vỏ do 0 đụ vj ẽ E theo Định lý 2.1.3. Hơn nữa, { }0 vj lỏ một dọy giảm hội tụ điểm tới
{ ,(1 ) }.
max u - a + c j Chỷ ý rằng theo (2.14), ta cụ
max u{ - a,(1+ c) }=j u - a trong một lĩn cận của K vỏ theo Định lý 2.1.3 ta được
max u{ - a,(1+ c) }j ẽ E.
Theo Định lý 4.2 trong [8] suy ra {(dd vc j)n} lỏ hội tụ yếu* vỏ độ đo giới hạn khừng phụ thuộc vỏo dọy { }vj . Do đụ {(dd uc( j - a)n} lỏ hội tụ yếu*, vớ
K được chọn tỳy ý. Nhưng (dd uc( j - a)n = (dd uc( j)n, nởn (dd uc( j)n lỏ hội tụ yếu* vỏ độ đo giới hạn khừng phụ thuộc vỏo dọy {uj} . ,
Định nghĩa 2.2.8. Giả sử u ẽ E( )f . Định nghĩa (dd u uc )n lỏ độ đo giới hạn trong Định lý 2.2.7.
Lấy u ẽ E( )f . Khi đụ, theo Định lý 2.2.6, tồn tại một dọy giảm { }uj hội tụ điểm đến u khi j Ẽ + ơ . Nếu { },vj vj ẽ E0( )f , lỏ dọy giảm tuỳ ý hội tụ điểm đến u khi j Ẽ + ơ , thớ theo Định lý 2.2.7 (dd vc j)n lỏ hội tụ yếu* vỏ độ đo giới hạn khừng phụ thuộc vỏo dọy { }vj . Điều nỏy chứng tỏ rằng Định nghĩa 2.2.8. đặt ra đỷng đắn.
Giả sử :f ả WẼ â lỏ một hỏm liởn tục sao cho f ê 0 vỏ u ẽ E( )f . Theo Mệnh đề 2.2.5, ta cụ u ẽ E. Xờt hỏm u = uE( )f ẽ E( )f vỏ u = ue ẽ E. Khi đụ (dd uc e( )f )n lỏ một độ đo khừng ĩm theo Định nghĩa 2.2.8, vỏ (dd uc e)n cũng lỏ độ đo khừng ĩm theo Định nghĩa 4.3 [8]. Chứng minh của Định lý 2.2.7 kờo theo cả hai độ đo nỏy lỏ như nhau.
Giả sử u u1, 2,...,un ẽ E( )f . Khi đụ cụ thể sử dụng ý tưởng của chứng minh trong Định lý 2.2.7, để định nghĩa
(dd uc 1)ỉ(dd uc 2)ỉ ỉ... (dd uc n)
theo cõch tương tự như (dd uc )n được xõc định trong Định nghĩa 2.6.
Mệnh đề 2.2.9 dưới đĩy thu được bởi sử dụng Mệnh đề 2.2.5. cỳng với Hệ quả 5.2 [8]; nụ được sử dụng về sau trong chứng minh của Định lý 2.3.3.
Mệnh đề 2.2.9. Giả sử u ẽ F ( )f vỏ {uj}, uj ẽ E0( )f , lỏ một dọy giảm hội tụ điểm đến u khi j Ẽ + ơ . Khi đụ nếu j ẽ PSH( ),W j ê 0, vỏ
( j )(dd )cu n
W
- < + ơ
ú
thớ limjẼ + ơ (- j )(ddcuj)n = -( j )(dd )cu n trong từ pừ yếu*.