Đề tài Phương pháp biến phân cho lớp bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic kiểu P(x)-Laplacian trình bày những kiến thức cơ bản liên quan được dùng trong đề tài như không gian Sobolev với số mũ biến thiên và một số nguyên lý biến phân; bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic kiểu P(x)-Laplacian.
Trang 1BO GIAO DUC VA DAO TAO
DAI HOC HUE
TRUONG DAI HOC SU PHAM
SEEREHOOOH EHH ES
HA VAN SON
PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN CHO LỚP BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI
Trang 2LOI CAM DOAN
Tôi xin cam đoan, luận văn này là công trình nghiên cứu
của tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo TS Nguyễn
Thanh Chung
Trong quá trình nghiên cứu đề tài luận văn, tôi đã kế
thừa thành quả khoa học của các nhà Toán học và các nhà Khoa học với sự trân trọng và biết ơn
Tac gia
Trang 3LOI CAM GN
“Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo TS Nguyễn Thành
Chung, cảm ơn những lời động viên, nhắc nhở của Thầy trong suốt quá
trình hướng dẫn khoa học cho tôi Thầy đã giúp tôi vượt qua những
khó khăn để hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu của mình ‘Toi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy - Cô giáo đã giảng dạy lớp cao học Toán Khóa 23 của trường ĐHSP Huế cũng như toàn
thể các thầy cơ trong khoa Tốn trường ĐHSP Huế vì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình
học tập và thực hiện luận văn
“Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường ĐHSP Huế, Phòng Sau Đại học trường DHSP Huế đã tạo điều kiện để tơi hồn thành cơng việc học tập, nghiên cứu của mình
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những,
thiếu sót Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý
thay, cd va ban doc để luận văn được hoàn thiện hơn
Cuối cùng, tôi xin chia sẻ niềm vui lớn này với bạn bè, người thân và gia đình tôi, những người luôn sát cánh động viên giúp đỡ tơi hồn
thành luận văn này
Trang 4MUC LUC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn ii Mục lục 1 Mở đầu 2 1 Kiến thức bổ trợ 4
1.1 Không gian Sobolev W)”Œ)(@)
1.2 Một số vấn đề về phương pháp biến phân 14
2_ Bài toán biên Dirichlet đối với phương trình elliptic kiểu p(z)-
Laplacian 20
2.1 Giới thiệu bài toán 20
2.2 Sự tồn tại và tính đa nghiệ 23
Kết luận 51
Trang 5MỞ DAU
Như chúng ta đã biết, bài toán biên elliptic trong phương trình đạo hàm
riêng xuất phát từ những mô hình về các bài toán độc lập thời gian trong các ngành khoa học kỹ thuật (xem [12]) Ben cạnh những bài toán biên elliptic
được mô tả trong không gian Sobolev với số mũ thường W'?(Q), chúng ta
còn bắt gặp các mô hình bài tốn khơng thuần nhất, chẳng hạn một số bài
toán liên quan đến chất lỏng điện biến (hay còn gọi là chất lỏng thông minh)
thường được các nhà tốn học mơ tả trong không gian Sobolev với số mũ
biến thiên W1)(Q), 6 d6 p(x) 1a một hàm số Trong những năm gần đây,
có nhiều phương pháp được các nhà toán học đưa ra để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu đối với các bài toán biên elliptie không tuyến tính, đó là phương,
pháp bậc tô pô, phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới, phương pháp điểm bắt động, phương pháp biến phân, Mỗi phương pháp có những ưu điểm và hạn chế riêng do đó chỉ áp dụng được cho một lớp bài toán cụ thể
“Trong số những phương pháp kể trên, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến
phương pháp biến phân Về nguyên tắc, theo phương pháp này, để tìm nghiệm
yếu một bài toán biên elliptic ta quy về tìm điểm tới hạn của một p! ham nào đó trong một không gian hàm thích hợp Cùng với sự phát triển mạnh mẽ trong việc nghiên cứu bài toán biên elliptic không tuyến tính, các công cụ về phương pháp biến phân ngày càng được cải tiến Ngoài các nguyên lí cực
tiểu thường áp dụng cho phiếm hàm bị chặn dưới, các nhà toán học đã phát
triển lý thuyết về sự tồn tại điểm tới hạn thông qua các định lí kiểu minimax
Một trong những định lí như vậy được đề cập trong luận văn có tên là định lí Qua núi được đề xuất và chứng minh bởi Ambrosetti và Rabinowitz |3] vào năm 1973 Định lí này được các nhà toán học áp dụng rộng rãi khi nghiên
cứu sự tồn tại nghiệm đối với các bài tốn bién elliptic khơng tuyến tính mà phiếm hàm liên kết với nó không bị chặn dưới Bên cạnh đó chúng tôi cũng
Trang 6Nội dung chính của luận văn dựa trên việc tham khảo các kết quả nghiên cứu trong bài báo [10] Ngoài lời mở dau, kết luận và tài liệu tham khảo, luận
văn được chia làm hai chương:
Chương 1 Kiến thức bổ trợ Chương này dành để trình bày những kiến thức cơ bản liên quan được dùng trong luận văn như không gian Sobolev với
số mũ biến thiên và một số nguyên lí biến phân
Chương 9 Bài toán biên Dirichlet đối vdi phwong trinh elliptic kiéu p(x)- Laplaeian Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lớp bài toán biên Dirichlet kiểu p(z)-Laplacian có dạng như sau
iv(|Vu|"Œ)“®Vu) = v(|Vu| u) = f(x), 2 ƒ(z.u), z€9, 6)
ở đây, © là một miền bị chặn trong không gian R“, d > 2, p: 2 3 R la một
hàm liên tục, p(z) > 1 với mọi z € D va f : Ox R > R la mot ham cho truée
Với các giả thiết khác nhau được ấn định lên hàm ƒ chúng tôi nghiên cứu
sự tồn tại và tính đa nghiệm yếu đối với bài toán (1) bằng cách sử dụng các
Trang 7Chương 1
Kiến thức bổ trợ
1.1 Không gian Sobolev Ij“)(Q)
“Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản
của không gian Lebesgue L?)(Q) và không gian Sobolev IW2”Œ”(©) với số
mũ biến thiên được sử dụng trong luận văn Dây là những không gian hàm
được mở rộng một cách tự nhiên từ các không gian hàm đã biết với số mũ là
hằng số /7(©) và W”(O) Những kết quả ở đây được tham khảo từ các tài liệu (2), [3], [4], [5], [6], (7), [9] {10}, (1), [13] [15], [16]
Gia sit d € N* Ki hiệu RẺ ;= {# = (#i.#a, #4) : tj €R, j = 1,2, ,d},
© là một miền (mở và liên thông) trong R°
Định nghĩa 1.1.1 Với mỗi hàm ứ xác định trên miền Ø C R“, kí hiệu
supp (u) = fe © 9: ula) FO}
và gọi la gia cita ham u trén Q Khong gian CX(@) bao gdm céc ham kha vi vô hạn và có giá là một tập compact chứa trong $9 Không gian này thường được gọi là không gian hàm thử
Trang 8Không gian L*(O) gồm các hàm đo được Lebesgue u : Q + R bi chan
trên © là một không gian Banach với chuẩn
[ttl p=) = loo = ess sup Jư(z)|
Khong gian L?,(Q), p € [1, +00] bao gém céc hàm € J(©') với mọi tập con compact 2 CC 9 Như vậy ta luôn có L?(Q) C Lige(Q) voi moi 1 <p < tox Hơn nữa, nếu 9 là một miền bị chặn và 1 < p < p¿ < + thì 1 (Q) C 1" (9)
Nếu 1 < p < +00 thi khong gian L? (Q) là một không gian Banach tách
được Không gian Cÿ (O) trà mật khắp nơi trong không gian 1() với
1<p< +œ Ngoài ra, với 1 < p < +00, không gian /(Q) là một không, gian Banach phản xạ Liên quan đến không gian Ƒ(O) chúng ta còn có một
số kết quả sau (xem [7, Chương 4)
Mệnh đề 1.1.2 Giá sử © là một miền trong IR” và u € LẬ,„(Q) thỏa mãn [wae =o, Vu € CR (Q)
a
Khi đó ta có u = 0 hầu khắp nơi trong Q
Mệnh đề 1.1.3 (Bát đẳng thức Hỏlder) Giả sử u € LP(Q), o € LÝ (Q) với
1<p,p' < +00 la cặp số mũ liên hợp, tức là sty =1 Khi đó, uu € LÌ(Q) [ove a Mệnh đề 1.1.4 Gid sit 1 < p < +00 va {un} la day ham trong L” (Q) hoi va <lulploly tu theo chuan é ham u € LP(Q) Khi đó, tồn tại một day con {un,} va ham 9 € L?(Q) sao cho
() tụy (2) —> u(ø) hầu khắp nơi trên €
(ii) luu,(£)| < g (e), hầu khắp nơi trên © tới mọi k € Ñ"
Mệnh đề 1.1.5 (Bổ đề Futou) Giả sử {u„} là một dãy các hàm đo được
không âm trên tập đo duge Q CR" Khi đó ta có lim unde < lim | u,dz
¿"9% moe
Trang 9Mệnh đề 1.1.6 (Định li Lebesgue về sự hội tu bi chan) Gid sit {un} la mot
dãy các hàm đo được hội tụ hầu khắp noi đến hàm đo được u trên tập đo được
QC RẺ va théa man |uy (x)| < g(x) hầu khắp nơi trên ©, trong đó g là một hàm khả tích Khi đó ta có
2 a
lim unde = f w(x) dr
Ngoài Mệnh đề 1.1.6, trong trường hợp © có độ đo hữu hạn (ø(9) < +e<), để chuyển giới hạn qua dấu tích phân chúng ta còn dùng đến định lí Vitali
liên quan đến một họ hàm đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân (hay còn
gọi là khả tích đều), xem [15, tr.151-159]
Định nghĩa 1.1.7 Giả sử {w„} là một dãy các hàm xác định và khả tích trên tập đo được @ C R“, g(O) < +00 Ta noi day {u„} là đồng liên tục
tuyệt đối theo tích phân trên © nếu với mọi € > 0, tồn tại ổ = ổ(e) > Ú sao
cho với mọi tập con # C 9 có độ đo g(E) < ð ta có Í««œ E <e, WneN’
Nhận xét 1.1.8 Giả sử Q C 8“ là một tập đo được với độ đo ø (9) < +00 “Từ Định nghĩa 1.1.7, ta có các khẳng định sau đây:
(i) Néu {u,} va {v,} la hai dãy các hàm khả tích và đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên © thì day ham {un + vn} khả tích và đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên © Đặc biệt, nếu œ là một hàm khả tích trên @ thì {u„ + ø} cũng là dãy hàm khả tích và đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên © (ii) Gi đồng thời thỏa mãn điều kiện sit {un} và {o„} là hai dãy các hàm không âm, khả tích trên Q, tạ SCua, YWneN, C>0
Trang 10Mệnh đề 1.1.9 (Định li Vitali) Gid st {un} la mot day cde hàm khả tích
hội tụ hầu khắp nơi trên tập đo được 9 C R“ (w(Q) < +se) đến hàm đo được u Nếu đãu {uạ} đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên © thà u cũng là
hàm khả tích va ta có
lim nde = f ude (1)
a a
Kết quả sau day cho ta một điều kiện đủ để mot day hàm là đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân
Mệnh đề 1.1.10 Giả sử {u„} là một dãy các hàm khả tích uà u là một hàm
khả tích trên tập đo duge 2 C R4, u(Q) < +s Nếu tới mọi tập con E C 9 ta có đăng thức tích phan lim Jae 7 [uae — (12) Ẽ Ê thì dãy hàm {u„} là đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên Q 'Từ Mệnh đề 1.1.9 và Mệnh đề 1.1.10 ta có một biến dạng của Dịnh lí
Vitali được phát biểu như sau
Mệnh đề 1.1.11 Giả sử {un} la mot dãy các hàm khả tích hội tụ hầu khắp
nơi trên tập đo được 9 C TR“ (w(Q) < +e) đến hàm khả tích u Khi đó, đẳng thức tích phân (1.9) xảy ra uới mọi tập con E CQ khi va chỉ khi dãy hàm
{un} là đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên ©
“Trong trường hợp đặc biệt, nếu {œ„} là một dãy các hàm không âm thì ta
có kết quả sau nhờ Bồ đề Fatou (xem Mệnh đề 1.1.5)
Mệnh dé 1.1.12 Gid sit {un} là một dãy các hàm khong am, khả tích uà
hội tụ hầu khắp nơi trên tập đo được © C R“ (u(Q) < +00) dén hàm đo được
u Khi đó, nếu đẳng thức tích phân (1.1) ray ra thi day ham {u,} la đồng
tiên tục tuyệt đối theo tích phân trên Q
“Tiếp theo chúng ta sẽ nói về đạo hàm yếu và không gian Sobolev với số mũ
hằng Dây là những khái niệm rất quan trọng trong lí thuyết phương trình dao hàm riêng, xem (2] hoặc (7, Chương 9]
Trang 11Định nghĩa 1.1.13 Giả sử u € /}„ (9) và đa chỉ số œ = (ai,as , đu), a ay EN, j =1,2 ,d voi modun Jal = Ö 2a¿ Ta nói hàm ø € Lj„ (9) là đạo
at ham yếu cấp œ của ứ nếu
[sư = (0 [ oar, ge € CR (O) (1.3)
a a
trong đó
Ø#lz(z)
Oe = Fae OE
Kí hiệu đạo hàm yếu cấp a của hàm u là ø = D°w Khi |a| = 1, các đạo hầm yến cấp 1 của hầm w theo biến z/ được kí iệu bối Dạ = TC,
j= 1,2 d sẽ thỏa mãn đẳng thức
{eDucdr= = f eDa,ude, 2€ C (9) (14)
a a
Tir Djnh nghia 1.1.13, đạo hàm cổ điễn Du cấp œ của hàm u cũng là đạo hàm yếu cấp œ của u Tuy nhiên, có thể tồn tại đạo hàm yếu D°w cấp œ của
w nhưng không tồn tại đạo hàm cổ điển của nó Một đặc trưng của đạo hàm
khác với đạo hàm cổ điển là nếu đạo hàm yếu cấp a của hàm ư tồn tại
thì chưa chắc đã có đạo hàm yếu cấp thấp hơn Trong khuôn khổ luận văn,
chúng tôi không đi sâu vào vấn đề này, đọc giả có thể tham khảo thêm trong, tài liệu [2]
Trang 12Chuẩn này tương đương với chuẩn Wella» = lo rans} (1.5) a trong đó Ou Ou Vue = (Dott, Deytt, ny Dagtt) = (== ry’ Or, a t |Vul = (Sym) J=
Khơng gian W2” (©) là bao đóng của C?P (9) trong không gian IỨ°? (Q) Day là một không gian Banach phản xạ với 1 < p < +00 va la khong gian
Banach tach duge véi 1 < p < +00 Hon nữa, ta có nếu € IW}#(Q) với 1 <p < +00 va supp(u) la mot tap compact trong Q thi u € Wj”? (Q), xem (7, Chương 9]
Mệnh đề 1.1.15 (Bát đẳng thức Poincaré) Giả sử Q là miền bị chặn tà 1<p< +œ Khi đó, tồn tại số Ở > (0 sao cho
Trang 13Dinh nghia 1.1.16 Cho (X, ||.) a mot khong gian Banach, ham u : X > R
gọi là liên tục Lipschitz trên X nếu tồn tai L > 0, sao cho
|ư(œ) — u(w)| < L||z—w||, Yz,u€X
Định nghĩa 1.1.17 Cho © là một miền bị chặn trong IR“ với biên Ø9 Ta nói © là một miền Lipschitz hay miền có biên Lipschitz nếu với mỗi điểm
z.€ Ø0, tồn tại một lân cận U; của z và một hàm liên tục Lipschitz ; sao cho Ø0nU, ={z= a) € Us | sa (x1, 22, +, ta-1)} - Định nghĩa 1.1.18 Cho X và Y là hai không gian Banach Ta nói rằng,
không gian X nhúng liên tục vào không gian V và được kí hiệu X => Ÿ,
nếu X C Y và tồn tại hằng số e > 0 sao cho ||u||y < c||u||x với mọi w € X
Khi đó, ta có toán tử nhúng J : X —> Y, w => J(u) € Y là tuyến tính liên
tục Nếu không gian X nhúng liên tục vào khơng gian Y và tốn tử nhúng Ƒ
xác định như trên là compact thì ta nói phép nhúng là compact, kí hiệu Xaoy
Sau đây chúng ta phát biểu định lí nhúng trong không gian Sobolev với số mũ hằng (trường hợp miền © bị chặn), xem [7] Đặt
re dp/(d—p) p<d
+oo, p2>d
Mệnh dé 1.1.19 (Dinh lí nhúng Soboleu) Giả sử © là miền bị chặn, có biên A Lipschitz va 1 < p < +00 Khi đó, uới 1 < q < p` thì phép nhúng từ
W'?(©) uào L#(Q) là liên tục tà compact
Chú ý rằng nếu chúng ta xét trong không gian I/)” (Q) thì định lí nhúng,
Sobolev vẫn đúng mà không cần đến điều kiện Lipschitz của biên ØO
“Tiếp theo, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản liên
quan đến các khơng gian /7Œ)(©) và W/)}”Œ(@) với p(z) là một hàm số liên
Trang 14“Trong phần này, chúng ta ln giả thiết rằng © là một miền bị chặn trong, không gian R', (d > 2) và Ø là bao đóng của 9 Dat C,@) = {h: he C@), h(x) > 1, ve e Ð} Véi h € C,@), ta kí hiệu hts max h(2), hs min h(2) Định nghĩa 1.1.20 Với p € C,(Õ), ta có định nghĩa không gian 1Œ) (9) được xác định bởi 1?) (Q) = {- 1 là hàm thực đo được, J |u(z)|"#)dz < | a p(z) |ulygay = ink aso: ƒ dể <1) (1.7) a
Khi đó, (Le (2) Hye) là một không gian Banach phản xạ và tách
được Không gian C?°(©) là trù mật khấp nơi trong không gian 7Œ) (Q)
với chuẩn
u(x)
“Tương tự với trường hợp số mũ hằng, không gian L?)(Q) bao gồm các
hàm w € /#)(Q') với mọi tập con compact @' CC © Như vậy ta ln có
121(Q) C LJ„(Q) Hơn nữa, nếu p,pa € C¿(Ö) thỏa mãn pị(z) < pa(z) với
mọi z € Ö thì 1) (9) C 1) (Q) Đặc biệt, với mọi p € C,(Ö), ta có JŒ) (9) C 1 (9)
Néu p(x) = p = cơnst thì chuẩn (1.7) trong không gian ƑŒ)(O) chính là
Trang 15thi Suy ra ¬ a Mặt khác, nếu À > 0 thỏa mãn |u|, = inf { >0: Từ đó suy ra Mệnh đề 1.1.21 (Bát đẳng thức Hölder) Giả sử p.q € C (Ö) là cặp số mũ liên hợp, tức là ——- =1 vdi moi x € Ö Khi đó, uới mọi u € LPŒ) (Q) P(t) p(x) va v € LPŒ) (Q), ta có [vas a 1 1 < ( tựp) Photo €MeplPlzo:
“Trường hgp p(x) = p = const, p'(x) = j = const, u € LƑ(9), v L”(Q) ta có bất đẳng thức Hưlder trong khơng gian Lebesgue với số mũ hằng /(©) (xem Mệnh đề 1.1.3) Để thực hiện các ước lượng tính tốn trong khơng gian
LP)(Q) chang ta cin đến hai mệnh đề sau đây (xem [10])
Trang 16Mệnh đề 1.1.22 Nếu ta kí hiệu i a Pdr, vụ e LP) (Q) (1.8) thi 6 |a[y„) < 1(= 1,> 1) @ ø(w) < 1(1,> 1)
(ii) |u[y„j >1 lo; <p(u) < lu
(i8) |u|„„j < 1= ul) > a (u) >
(iv) |a|„„„y —> 0 p(w) —> 0; |u|
Ip(z) ~* +% ® ø(u) + +œ
Mệnh đề 1.1.23 Nếu u,u„ € LP (Q), n = 1,2 thi ede khdng dink sau đây là lương đương:
(i) Jim Juin = u|„„) =0 (i) im p (uy — w) =0
(iii) un —> u theo độ đo trong miền Q va lim p(un) = p(u), ở đây œ+1?Œ)() — Rk được xác định bổi công thức (1.8)
Định nghĩa 1.1.24 Giả sử p € Ở,() Không gian Sobolev với số mũ biến
thiên IV")(Q) được định nghĩa bởi W1G) (Q) = {u € LP) (0) : Dz,u € LP) (Q), Vj = 1,2, ond} với chuẩn plz) pte)
Hell wren) ~wf >of ( Oy +|Yw@ J „ )* < +
Chuẩn này tương đương với chuẩn
lui = lulyc2y + [Vegas Yu € WI) (Q) (1.9)
Không gian I/}?É) (@) là bao đóng của CF () trong W1”™ (2) WE? (Q) và I2”) (©) là những khơng gian Banach phản xạ và tách được
Ménh dé 1.1.25 (Bat đẳng thức Poincaré) Giả sử © là một miền bị chặn trong R“, Khi đó, tồn tại một hằng số dương Œ > 0 sao cho
Ia|„„ < C|Vu| la) < Lo Vu W2?) (Q)
Trang 17“Tương tự không gian Sobolev với s6 mi hing W,” (Q), tit Menh dé 1.1.25,
khi xét khong gian Wj) (Q) ta c6 thé sit dung chuan tugng duong sau |lul] = [Vu Ip(z)* we Wy? (Q) (1.10)
dp(z)/(d—p(z)) p(z)<d +%, p(x) >d
Mệnh đề 1.1.26 Giả sử © là một mién bi chan, 06 bién AQ Lipschitz va
pe C,(Q) Néwg € Cy, (Q) va q(x) < p* (x) vdi moi x € D thi phép nhiing
từ W1?Œ) (Q) sào 1“) (Q) là liên tục nà compaet
Nếu xét trong khong gian Wj) (Q) thi Menh đề 1.1.26 vẫn đúng mà
không cần đến điều kiện Lipschitz của biên ØO
1.2 Một số vấn đề về phương pháp biến phân
Mục này giới thiệu sơ lược về phương pháp biến phân và một số định nghĩa, mệnh đề được sử dụng ở chương 2 Trước hết, chúng tôi giới thiệu khái niệm
về tính khả vi đối với phiếm hàm xác định trên một không gian Banach
Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X là một không gian Banach, J: X + R la mot
phiếm hàm xác định trén X Ta noi J kha vi Fréchet tai diém u € X nếu tồn
tại ánh xạ tuyến tính liên tục, kí hiệu là I'(u) € X* = £(X,R) sao cho
im (uth) = 70) = F(2)h|
Uhl x0 [lhllx =0
Néu J kha vi Fréchet tai moi diém w € X thì ta nói rằng phiếm ham J kha vi Fréchet trén X, anh xa I’; X 3 X*, w+ I'(u) duge goi la dao ham Fréchet ctia J Néu phiém ham J kha vi Fréchet trén X thi 7 liên tục trên X Nếu J kha vi Fréchet trén X va dao ham Fréchet I’ : X > X* lién tuc thi ta nói rằng ƒ khả vi Fréchet liên tục trên X và kí hiệu J € C'(X,R) Chudn của Ƒ'(u) được xác định bởi
|f(6)||x- = sup{|F(w)(B)|: h € X l|h|x = 1}
Trang 18Định nghĩa 1.2.2 Giả sử X là một không gian Banach, 7 : X + R la mot
phiếm hàm xác định trên X Ta nói J khả vi Gâteaux tại điểm ¡ € X nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục, kí hiệu là 7/¿(u) € X" = £(X,R) sao cho với mọi h € X, ta có
Nếu ƒ khả vi Gâteaux tại mọi điểm € X thì ta nói J kha vi Gateaux trên không gian X, ánh xạ 1£: X —> X* được gọi là đạo hàm Gâteaux của
1 Để ý rằng tính chất khả vi Gâteaux không suy ra được tính chất liên tục
như đối với khả vi Fréchet
Kết quả sau đây thường được sử dụng để chứng minh một phiếm hàm xác
định trên không gian Banach là khả vi Fréchet liên tục
Mệnh đề 1.2.3 Nếu phiém ham I kha vi Fréchet tai u € X thi I kha vi
Gâteaur tại u Ngược lại, nếu phiếm hàm I có dao ham Gateaur If, liên tục
trén X thi I kha vi Fréchet trén X va I € C'(X,R)
Định nghĩa 1.2.4 Giả
phiém ham xác định và khả vi Eréchet (hoặc Gâteaux) trên lR với đạo hàm ử X là một không gian Banach, 7 : X — R Ja mot
I'(u) Điểm uọ € X thỏa mãn phương trình J'(uo) = 0 được gọi là một điểm
tới hạn Ngược lại, nếu I“(„o) # 0 thì øọ được gọi là điểm chính quy của 7
Số thực e € R được gọi là một giá trị tới hạn của phiếm hàm 7 nếu tồn tại một điểm tới hạn uọ € X sao cho
I(u)=c, Ƒ{uạ) =0
Chúng ta biết rằng khái niệm hàm Carathéodory thường được sử dụng trong việc chứng minh tính khả vi của phiếm hàm Kết quả sau đây được mở
rộng tự nhiên từ không gian Lebesgue với số mũ hằng (xem [10])
Định nghĩa 1.2.5 Giả sử O CR’, Ham f : Q x —> R được gọi là một hàm Carathéodory nếu thỏa mãn các điều kiện: Với mỗi z € © cố định, hàm t+ ƒ (ø,t) là liên tục trên R và với mỗi £ € l cố định, hàm z r> ƒ (z,£) là
Trang 19Mệnh đề 1.2.6 Giả sử p.p› € Cy (2) Néu f : 2x R > 8 là hàm
Carathéodory va théa man
If (x,8)| < a(x) +oePO", vee, teR,
trong đó a € L™) (Q), a(x) > 0 vdi moi x € Q và b > 0 là một hằng số
Khi đó, toán tử Nemytskii zác định bởi
Ny (u(2)) = f(z, u(x))
là lién tuc va bị chặn từ không gian LP'Œ) (Q) ào không gian LPZE) (Q)
Mệnh đề 1.2.7 (Dịnh lí Divergence, xem (13]) Cho © là một miền bị chặn
trong R“ có biên là OQ, V là một trường 0ectơ thuộc lớp Œ! (Q) n C° ()
Khi d6 ta có
[siowyae= [virde,
2 an
trong đó v la vecto pháp tuyến đơn vi phía ngoài vdi bién OQ
Định nghĩa 1.2.8 Giả sử X là một không gian Banach và X* là không gian đối ngẫu của X và A: X — X" là một ánh từ X vào X"
(0) Ta nói rằng ánh xạ 4 là đơn điệu trên X nếu
(A(u) — A(v))(u—v) 20, Vuw eX “Trong trường hợp
(A(u) — A(v))(u—v) > 0, VuveX, ufo ta néi nh xa A IA don diéu ngat trén X
(ii) Anh xa A: X + X* théa man điều kiện bức nếu với w € X ta có
A@)0) _
Iel-s+> [full
Ménh dé 1.2.9 (Dinh li Minty-Browder, xem [7, tr.145]) Cho X la khong gian Banach phén xa va A: X > X* la lién tuc, bị chặn trên các tập bị
chan, théa diéu
ién bic va đơn điệu thì A là toàn ánh, tức là uới mmợi phiếm hàm g € X, tồn tại hàm u € X sao cho
Au=g
Hơn nữa, nếu A là đơn điệu ngặt thì hàm u được xác định duụ nhất
Trang 20Định nghĩa 1.2.10 Giả sử X là không gian Banach, / : X —> R la phiém hàm xác định trên X
Phiếm hàm 7 : X —> R được gọi là nửa liên tục dưới mạnh trên X nếu với
moi day {un} hdi tụ mạnh đến u trong X, ta có 1(u) < lìminf I(u,)
Phiếm hàm 7 được gọi là nửa liên tục dưới yếu trên X nếu với mọi dãy {ua} hội tụ yếu đến u trong X, ta có
1(u) < lim inf I(u,) nae
Định nghĩa 1.2.11 (xem [16, Chương I]) Giả sử X là một không gian Banach với chuẩn |.|| Phiếm hàm 4 : X —› R được gọi là lồi trên tập lồi CCX néu A(Ar + (1 —A)y) < AA(z) + (1— A)A(w) với mọi z, € Œ và À € [0 1] Phiém ham A : X — R được gọi là lồi theo điểm giữa trên tập lồi Ở C X nếu z+y\ 1 1 A (T) <i4@ +3Au) < =A =A với mọi z, ý € Ớ
Mệnh đề 1.2.12 (rem (16, Chương lj) Giả sử X là một không gian Banach Nếu phiếm hàm A : X + R là liên tục tà lồi theo điểm giữa trên tập lồi
ŒC X thà A lồi trên Ơ
Mệnh đề 1.2.13 (rem (6, Mục L3 tù Hệ quả IILSj) Giả sử X la khong gian Banach, I: X -+R là một phiếm hàm zác định trên X
(i) Phiém ham I là nửa liên tục dưới mạnh trên X nếu va chi néu vdi moi
u€ X tà uổi mọi e > 0, tồn tai 6 = ỗ(u,e) > 0 sao cho 1o) > I(u) — e uới moi v € X théa man |u—v|) <6
(ii) Néw I là phiếm hàm lồi trên X thì I la nita lien tuc dudi yếu khi uà
chỉ khi nó là mửa liên tục dưới mạnh
Trang 21Mệnh đề 1.2.14 (xem (5, tr.2987J) Cho X là một không gian Banach phản za, I: X + RB la phiém ham mia liên tục dưới yếu uà thỏa mãn điều kiện
bức, tức là
+o, weEX
Khi d6, I 06 it nhét mot diém cực tiểu trong X
Dinh nghia 1.2.15 Gia sit : X + R la phiếm ham kha vi Fréchet liên tục trên không gian Banach X Ta nói 7 thỏa mãn điều kiện Palais-Smale trong
X, nếu mọi dãy {ưu} trong X sao cho {1(w„)} bị chặn và lim 7'(u„) = 0 đều
có một dãy con hội tụ trong X
Sau đây chúng ta giới thiệu định lí "Qua núi" Định lí này cho phép chúng
ta chứng minh sự tồn tại điểm tới hạn của những phiếm hàm không bị chặn
dưới
Ménh dé 1.2.16 (xem [3]) Gia sit X la khong gian Banach va I € C'(X,R) Gid sit I théa diéu kiện Palais-Smale, I(0) = 0 tà các điều kién sau théa man:
(i) Tén tai cae hing s6r,a > 0 sao cho I(u) > a vdi moi u € X théa mãn ||u (ii) Tén tai e € X, |e|| >r sao cho I(e) <0 Dat c=ii t € inf max tä( ))s trong đó =
Khi đó, e là một giá trị tới hạn của phiếm hàm I, tức là tồn tại điểm tới hạn w€X sao cho I'(u) =0 va I(u) =c>a
Cho X là một không gian Banach phan xạ và tách được, khi đó tồn tại
{ej} CX va {ej} C X" sao cho
X = span{e;: 7 =1.2 }, X* = span{ej 5 wae{ hi 0.17
18
Trang 22ta ki hiéu
Mệnh dé 1.2.17 (xem [4)) Gia sit X la một không gian Banach phản xa vie
tách được, I € C` (X,R) là phiếm ham chan, céc khong gian con Xx, Ye, Ze
được xéc định như trên Nếu vdi méi k = 1,2 , tn tai pp > > 0 sao cho
théa man
(i) by := inf {I (u) : uw € Zp, |lul| = 1%} —> sẽ khả k —> se,
(ii) ay :ư € Yị, |u|| = ø} <0
(ii) I thỏa mãn điều kiện Palais-Smale max {I (w
thi I có một dãy điểm tới hạn {un} ma I (un) + 00
Trang 23Chương 2
Bài toán biên Dirichlet đối với phương trình elliptic kiểu
p(z)-Laplacian
2.1 Giới thiệu bài toán
“Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu sự tồn tại và tính đa nghiệm
yếu đối với bài toán biên Dirichlet kiểu p(z)-Laplacian như sau —A,„ju := —div(|Vu|"Œ)"®Vu) = ƒ(,u), x€ 9, on) u=0, zcØ9, trong đó ‘a Ou
— Apyiayu = —div(|VulP = divi plx)-2 Vu) a Lar, (iv ae p(z)-2 Ou mm)
là toán tử p(z)-Laplacian, p € Œ,(Õ) và © là một miền bị chặn trong không gian R!, d > 2, f: @x R— Bla mot ham Carathéodory thỏa mãn một số điều kiện nhất định
Nếu p(.) = p € (1,+oe) là một hằng số, bài toán (2.1) trở thành bài toán
biên Dirichlet đối với phương trình elliptic dạng p-Laplacian quen thuộc { —Ayu = —div(|Vul? Vu) = fla.u), €9, 62)
u=0, zۯ9
Trang 24Đặc biệt, khi p = 2 ta có bài toán biên elliptic với toan tit Laplacian
~Au = ƒ(z.u), x€9, es)
u=0, zۯ9
“Trong thời gian gần đây, các bài toán (2.2) và (2.3) đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu bằng nhiều công cụ khác nhau
“Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi quan tâm đến việc áp dụng phương pháp
biến phân để nghiên cứu lớp bài toán này Về nguyên tắc, theo phương pháp này, để tìm nghiệm (yếu) của một bài toán biên elliptic, ta quy về tìm điểm
tới hạn của một phiếm hàm nào đó trong một không gian hàm thích hợp
Để tìm điểm tới hạn, thông thường chúng ta sử dụng các nguyên lí cực tiểu “Tuy nhiên, một hạn chế của nguyên lí cực tiểu thường bắt là nó đồi hỏi
phiếm hàm liên kết với bài toán bị chặn dưới
Năm 1973, trong bài báo nổi tiếng (3|, Ambrosetti và Rabinowitz đã đề
xuất và chứng minh một kết quả liên quan đến sự tồn tại điểm tới hạn có tên
gọi là định lí Qua núi Điểm tới hạn thu được khi áp dụng định lí này có dạng điểm yên ngựa Điều đặc biệt là định lí này có thể áp dụng cho các phiếm hàm không bị chặn dưới Các giả thiết của định lí Qua núi khá thuận tiện
cho việc kiểm tra nên nó đã trở thành một trong những công cụ hữu hiệu để
nghiên cứu lớp các bài toán biên elliptic bằng phương pháp biến phan Mot
trong những giả thiết quan trong do Ambrosetti va Rabinowitz dé xuat dé có thể áp dụng định lí Qua núi đối với bài toán (2.3) là: tồn tại các hằng số 0 >2 và ÁM > 0 sao cho 0<8F(,1) < f(x,t)t
với mọi x € Ø va moi |t| > M, trong d6 F(x, t) f(x,s) ds
Điều kiện này giúp chúng ta chứng mình phiếm hàm liên kết với bài toán
(2.3) thỏa mãn điều kiện Palais-Smale, đây là một trong những điều kiện
quan trọng của định lí Qua núi Năm 1995, Mawhin và đồng nghiệp (14 đã nghiên cứu mở rộng các kết quả của Ambrosetti va Rabinowitz [3] cho bai toán biên elliptic (2.2) đối với toán tử p-Laplacian A„u = dio([Vu|?-2Vu)
Trang 25Cùng với việc nghiên cứu bài toán biên elliptic không tuyến tính (2.2) và (2.3) trong không gian Sobolev với số mũ thường IW*?(©), các nhà tốn học còn quan tâm nghiên cứu bài toán biên elliptic (2.1) trong không gian
Sobolev với số mũ biến thién dang W1”™)(Q), trong dé p : 2 > R là một
hàm liên tục Đây là một chủ đề mới và thú vị khi nghiên cứu bài tốn biên
elliptie khơng tuyến tính Toán tử p(z)-Laplacian A,/;yu là một sự mở rộng,
tự nhiên của toán tử p-Laplacian A„ trong trường hợp p(.) = p là hằng số
Tuy nhiên, lớp toán tử A,/„u phức tạp hơn l6p toan tit p-Laplacian Ayu &
chỗ nó không có tính thuần nhất Chính điều này đã gây ra nhiều khó khăn
trong việc nghiên cứu bài toán biên elliptic (2.1), chẳng hạn, chúng ta không thể sử dụng định lý nhân tử Lagrange trong nhiều bài toán liên quan đến lớp toán tử này Việc nghiên cứu bài toán (2.1) xuất phát từ các ứng dụng của chúng trong cơ học đàn hồi, chất lỏng điện biến, xử lý ảnh, phép tính biến phân, lí thuyết đàn hồi phi tuyến và các mô hình không thuần nhất trong
môi trường xốp (xem [1], [9]) Những nghiên cứu đó dựa trên sự phát triển
của lí thuyết không gian Sobolev với số mũ biến thiên W'#Œ)(@) Trong bài
báo [10], Fan và đồng nghiệp đã lần đầu tiên nghiên cứu mở rộng những kết
quả của Ambrosetti va Rabinowitz [3], Mawhin [14] cho trường hợp p(.) là một hàm liên tục Bên cạnh việc áp dụng định lí Qua núi như đã nói ở trên,
Fan và đồng nghiệp cũng đã chỉ ra một số kết quả liên quan đến sự tồn tại
và tính đa nghiệm yếu của bài toán (2.1) Với mục đích bước đầu tìm hiểu phương pháp biến phân và cách thức áp dụng phương pháp biến phân trong
nghiên cứu bài toán biên elliptic không tuyến tính kiểu p(z)-Laplacian,
chúng tôi sẽ trình bày lại chỉ tiết những nội dung chính và các kiến thức liên quan của bài báo [10] Sau đây chúng tôi giới thiệu một vài giả thiết được đề cập đến trong luận văn:
(fo) f: Ox R > R la mot ham Carathéodory và thỏa mãn điều kiện: tồn
tai C1, C2 > 0 sao cho
(9| < Cr+ |"! V(w,t) €QxR,
trong d6 a € C, (Q) va a(x) < p* (x)
Trang 26(f:) Ton tai cae hing sé M > 0 va 6 > p* sao cho 0<OF (x,t) <tf(x,t), ||>M reg, t trong d6 F (x,t) / f (x,s)ds 0 () ƒ (z.t) = (it) khi t + 0, voi Vr € MD vaae > pr (fs) f(x, -t) =f (2,1), V(a,t)EQxR Như chúng ta sẽ thầy, gid thiét (fo) được dùng để chtmg minh phiém ham
liên kết với bài toán (2.1) khả vi liên tục Fréchet Điều này đảm bảo để điểm tới hạn của nó là nghiệm yếu của bài toán (2.1) và chúng ta có thể áp dụng được phương pháp biến phân Giả thiết (ƒ¡) là sự mở rộng của điều kiện
Ambrosetti va Rabinowitz [3] như đã nói ở trên Điều kiện này được dùng để
chứng minh phiếm hàm liên kết với bài toán (2.1) thỏa điều kiện Palais-Smale éu kiện hình học của
Giả thiết (ƒ›) cho ta dáng điệu của biểu thức phi tuyến thiết (ƒ¡) được (xem Định nghĩa 1.2.15), đồng thời kiểm tra một số định lí Qua m ƒ(z,f) theo biến £ khi £ đủ nhỏ Giả thiết này cùng với
dùng để kiểm tra các điều kiện hình học của định lí Qua núi Cuối cùng, giả
thiết (ƒ¿) được dùng để nghiên cứu sự tồn tại vô hạn nghiệm yếu đối với bài toán (2.1) trong trường hợp phiếm hàm liên kết với nó là phiém ham chin
2.2 Sự tồn tại và tính đa nghiệm yếu
Bài toán (2.1) với các giả thiết được giới thiệu trong mục 2.1 sẽ được nghiên cứu bằng phương pháp biến phân Trước hết chúng ta phát biểu định nghĩa
nghiệm yếu cho bài toán (2.1)
Định nghĩa 2.2.1 Ta ndi ring, ham u € Wj (Q) la nghiem yéu ciia bai
toán (2.1) nếu nó thỏa mãn đẳng thức tích phân
Jiverer2vu Vbdz = [fe u)udr (2.4)
a a
Trang 27Chúng ta nhận thấy, bởi sự xuất hiện của toán tử div trong bài toán (2.1), cấp của đạo hàm của hàm ư trong biểu thức tích phân ở Định nghĩa 2.2.1 thấp hơn cấp đạo hàm của hàm u trong bai toán (3.1) Hơn nữa, đạo hàm của
u trong Định nghĩa 2.2.1 là đạo hàm yếu (u € W”Œ)(©)) nên nghiệm của bài toán (2.1) trong trường hợp này được gọi là nghiệm yếu Chú ý rằng, vì
không gian Cợ (9) trù mật trong không gian I/J”Œ” (Q), nên đẳng thức tích
phân (2.4) đúng với mọi ø € CŒ(©) thì cũng sẽ đúng với mọi v € We? (Q)
Định nghĩa 2.2.1 xuất phát từ chỗ, nếu là một hàm khả vi đến cấp của đạo hàm trong (2.1) và thỏa mãn (2.1), nhân hai về của phương trình đầu
trong (2.1) với hàm thử ø € Cột (Q) và lấy tích phân ta được
J ~diu (isu?) vdr= J f (x,u) ude (2.5)
a 2
Mặt khác,
a
div (eIValfŒ"®Vu) = San (0v Vu ne)
a (8 (co ntey-2 DU) ple)-2 Ou Ov
“Soa (M43) e+ Foor a
=div (vu ?vu) 0+ |Vu|"#)^?Vu.Vụ nên từ (2.5) và ø € C§°(O), áp dụng Mệnh đề 1.2.7, ta được
ni (x,u) )edr= f - div (war *vu) de a -Jm v| Vu vu) de+ [vu *Wu.vode a ¬ - “verdes fiat 'Vu.Vb dz on = J |Vul|?Z)~®Vu.Vò dx, (2.6)
trong đó v 1a vectơ pháp tuyến đơn vị phía ngoài với biên ØQ Như vậy, u là một nghiệm của phương trình (2.6)
Trang 28Ngược lại, nếu hàm œ € IW}”Œ)(Q) thỏa mãn phương trình (2.4) với mọi
hàm thử ø € C (9) Khi đó, theo định nghĩa đạo hàm yếu, ta có
p(z)~2 Ởu - p(z)~a Ôu Ov
[i (porte nace fra a suy ra p(z)~2 " p(z)-2 Ö [<a (tv i mm) vdr = ( » f Live On, an tức là / div (iVup*Wu) wde = - J |Vul?2)-2Qu.Vudz Kết hợp với (2.4) ta có ƒ(e la) -/ƒ, u))ndh a =0, YVue C?(9) Áp dụng Mệnh đề 1.1.2, ta có
—diu ((va!®' 2v) =ƒ(zu), x€9
Mat khac, u € Wy (Q) nen ta suy ra ứ = 0 trên biên Ø9 Do đó, ứ
thỏa mãn (2.1) theo nghĩa yếu
Như chúng ta đã biết, để áp dụng được phương pháp biến phân cho bài
toán biên elliptic (2.1), chúng ta cần quy việc tìm nghiệm yếu của (2.1) về
việc tìm điểm tới hạn của một phiếm ham nao dé trén khong gian Wy”) (Q) Để thấy rõ việc này, ta xét phiếm hàm 7 : W}”Œ)(O) —› R xác định bởi
Trang 29Bổ đề 2.2.2 Phiém ham I hoan toan xdc dinh va kha vi Fréchet liên tục
trén khong gian Wy ?)(Q), tite la I € Cl(Wy?(Q),R) va đạo hàm của nó
được cho bởi
Huo) = [IVAIf®"2SuVodz~ [ 7 G.a)ndz (2.9) vdi moi u,v € We)(Q)
Chứng mình Trước hết, chúng ta chứng mình phiếm hàm 7 cho bởi cơng thức (2.7) là hồn tồn xác định trên khơng gian I2 ”(©) Thật vậy, từ định nghĩa khơng gian W/)}”(©) và phiếm hàm J ta thấy j hoàn toàn xác định trên không gian IW2”Z”(O) Chúng ta sẽ chứng minh phiếm hàm K xác
định trên IW2”Œ)(Q) Thật vậy, từ giả thiết " ta có |FŒœ,9| < GI|+ ne | <Gil+=° Cys với mọi (r,t) € © x IR Ta sẽ chứng minh tồn tại hằng số Cạ > 0 sao cho IFŒ.9| < Œ (1+ li) (2.10) với mọi (z,£) € 9 x R
Để có bất đẳng thức (2.10) ở trên chúng ta xét hai trường hợp sau:
“Trường hợp 1: Với moi x € 2 va |t| < 1 ta luôn có
Trang 30ở đây, ta chọn C3 >Ci+ 3 'Từ (2.10), áp dụng Mệnh đề 1.1.22 và Mệnh đề 1.1.26 ta được Kíu) = ƒ F(,u) dz A < | Œœ(1+l|u|*#)) d < (1+ lúP9) á < Gu(®) + Cymax(llu|®, Iu|l*ˆ} < +00
với mọi u € Wy)(Q), trong dé Cy > 0 Nhut vay phiém ham 7 hoàn toàn xe dinh trén khong gian We? (Q)
“Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh J € C1(Wy" (0), R) bang cách chỉ ra 7 khả vi Gâteaux và đạo hàm Gâteaux của 7 liên tục Trước hết chúng ta chứng minh / là khả vi Gâteaux và đạo hàm Gâteaux của J cho bởi công thức Joluy(e) = f [uP Vu.vedr, uve Wy? (Q) (2.11) a ‘That vay, vai u,v € Wy" (Q), 0 < |t| < 1, tồn tại e¡ € (0, 1) sao cho 1 J6 (w) (0) = lim + (J(u + tv) — J(0)) 1 1 mt [Le PC) ey Ca = int | ow (iv (w+ top} |Vu| ) dx a 7 tia f |V (w+ teyw) 20 (u + tev) Vode a “Ta có
liv@ + tev) P29 (u + teyw).Vo] < || Vul + [Vo]! Vo},
véi moi r € 2 va0< |t| <1
Áp dụng bất đẳng thức Hölder ta được
[val + 1eIP" Wolae ỉ
Trang 31< [eo (vure" + vey") [Vol dr a <2 (/ |Vul"2)='|Vu| dr + fiver IVo| “) 4 4 < z{ < +00, vu + am IY°ly„
6 day p'(«) = TT là số mũ liên hợp với p(z) Từ đó, áp dụng Mệnh đề
1.1.6, ta có (2.11) Giả thiết rằng lim wạ = w trong không gian Wy? (Q)
Khi đó, theo Mệnh đề 1.1.23, {Vw„} hội tụ mạnh đến Vư trong không gian
1P)(Q,R2) khi n —> oc
Chúng ta xét anh xa Ve : LP©(0,R4) > Le (0,R") duge xée định
bởi w => No (w) := |w(x)|? w(x) voi moi w € L(Q,R4) Theo Ménh
đề 126, với m(z) = p(z) và pa(z) = ánh xạ A liên tục Do
p(z) — 1`
vậy nếu dãy {w»} hội tụ mạnh đến + trong không gian 1#)(Q,R°) thì
Nowy) > No(w) trong khong gian L7-7(0,R4) khi n — oc Nói riêng,
néu dat w, = Vu„ với n = 1,2 ta dude w,, hdi tu manh dén w = Vu trong
khong gian L?(0,R) khi n —> 00 Do vay ta có
lim |A€(Vu,) —No(Wu)| par, = 0
lim ||Vuạ|"Œ)~®Vu„ — |Vu|?Œ)~2Vụ =0
— eS
Do đó, với mọi ø € Wy (Q) v6i |Vo,,.) <1, ap dung bat đẳng thức Hölder
ta có
I6 (0) ~ Jø (0) (9)| < |Me(Vu,) — ME(Vu)| z2, |Y la)
S No(Vun) —No(Vu)| xe,
70 khi n + oo Suy ra
Jim lld’o (u) — J'o [le = 0,
Trang 32trong đó chuẩn ||.||„ được hiểu là chuẩn trong không gian đối ngau (W') (Q))* của khong gian Wy” (Q)
Như vậy, đạo hàm Gateaux Jf, lién tuc trén khong gian Wy (Q) va do
đó ta có J € C! (me (9) 8) Hơn nữa, đạo hàm Gâteaux J; cũng là
đạo hàm Fréchet J' được cho bởi công thức (2.11)
Hoàn toàn tương tự, chúng ta sẽ chứng minh phiếm hàm khả vi Gâteaux
và đạo hàm Gâteaux của nó được cho bởi cơng thức
K§(w)(0) = [te aude a (2.12)
‘That vay, voi u,v € Wy? (Q), 0 < |t| <1, ton tai ez € (0,1) sao cho
K'g(u) (v) = lim? (K (w+ tv) — K(u)) toot
=timt [ Fu + to) ~F(x,u)) de tot
a
= tin fF (2 + feau)u de t¬0
a
Tit gia thiét (fo), ta có
If (x, w+ tegu) 0] < (cs + Cole + teavl™-*) [o|
Trang 33
trong do a’ +) —1 là số mũ liên hợp với a(z) Từ đó, theo Mệnh đề
1.1.6, ta có (2.12)
Giả thiết rằng lim w„ = ứ trong không gian Wy? (Q) Khi đó, theo
Mệnh đề 1.1.26, phép nhúng từ W)”?) (Q) vào L°®(Q) 1a compact nén day
{u„} hội tụ mạnh đến ứ trong không gian “#)(Q) khi n > 0
Bay gid, chúng ta xét ánh xạ A/ : L^)(Q) -› LZ#7(Q) được xác định
bởi ur Ny (u) = f(x, u(x)) voi mọi € L^Œ)(Q) Theo Mệnh đề 1.2.6, với
pi(2) = a(z) va pale) = = ae 7: amb xa Ny lien tue Do vậy nếu dãy {an}
hội tụ mạnh đến uw trong khong gian L°)(Q) thì A/(u„) —> /(w) trong
không gian LZ727(Q) khi n + 00 Do vay ta có
sim Nj (un) = A/(8)| „2, =0 hay 1m |ƒ(.ua) — ƒŒ,9)| se, = 0 Do đó, với mọi v € Wy (Q) véi |lo|| < 1, áp dụng bất đẳng thức Hölder và Mệnh đề 1.1.26 ta có |(K'G(un) — K'e(u)) (v)| < Wg (un) —Ny(u)| 202, lage) S CNG (un) = Ny(u) a el < Œ|W/(uu) — N/(u)| sơ xi —0
khi m — oo Suy ra
1m [IK (un) — K'e (0)||, = 0
tức là đạo hàm Gateaux K“¿ là liên tục trên không gian W2”) (9) và ta có
Kec! (war (@),R)
Tom lai ta đã chứng mỉnh được phiếm ham I € C? (we ple) (@),R) và
đạo hàm Fréchet của nó cho bởi công thức (2.9) oO
‘Tir Bé dé 2.2.2, nghiém yếu của bài toán (2.1) chính là điểm tới hạn của
phiếm ham ï cho bởi công thức (2.7) Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ
Trang 34nghiên cứu sự tồn tại và tính đa nghiệm yếu của bài toan bién elliptic (2.1) bằng phương pháp biến phân Trước hết, chúng ta xét bài toán (2.1) trong,
trường hợp đặc biệt khi biểu thức về phải ƒ(,) chỉ phụ thuộc vào z
Dinh lí 2.2.3 Giả thiết rằng biểu thức uế phải ƒ(z.u) chỉ phụ thuộc tào z,
tức là ƒ(œ,u) = f (x) tới ƒ € LÊ) (Q), trong đó 8 € Ơ, (Ö) tà thỏa mãn điều kiện 1 cy (2.13) B(x) pr với mợi x € 2 Khi đó, bài toán (9.1) có một nghiệm yếu duy nhất Chứng mình Chúng ta thấy rằng, nếu ƒ (z,u) = ƒ (z) thì khi đó phiếm hàm K : Wj?) (Q) —› R lúc này có dạng, K(u) = [i (z)udz a
Phiém ham K hoan toan xAc dinh trén khong gian Wy" (Q) Hon nita,
K €C1(Wy?%™ (Q) IR) va c6 dao ham Fréchet xéc dinh béi K'(u)(v) = | f(x) vde (2.14) v6i moi u,v € Wy?) (Q) Do đó phương trình (2.4) trở thành fivut*vuvede= f feeds (2.15) a a với moi v € Wy (Q), dé ¥ ring khơng gian Cj*(©) trà mật trong không, gian WE?) (Q)
'Từ (2.14) và (2.15), chúng ta có thể viết phương trình (2.15) dưới dang phương trình toán tử xác định trên không gian I2”? (Q) như sau
J(u) = K"(u) (2.16)
Để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm đối với phương trinh (2.16), ta
sẽ sử dụng định lí Minty-Browder (xem Mệnh đề 1.2.9), trong đó 4 = J“ là
ánh xạ xác dinh trén khong gian We” (0) va g = K"(u) € ( Plz) (9)
Trang 35‘Trude hét, chiing ta chimg minh phiém ham K’(u) ; Wi”) (Q) > R, u++ K'(u)(v) xAc định bởi công thức (2.14) là tuyến tính và liên tục Thật
vậy, với mọi v1,v2 € Wy? (Q), A, € R ta có
` ` , a
=A] f(x)uidet+yp | f(x) rode [roman]
= AK"(u)(v1) + UK" (u)(02) Vậy K”(u) là một phiếm hàm tuyến tính
Để chứng minh #“(u) là một phiếm hàm liên tục ta sẽ chứng mình K'(u) bị chặn Đặt Tiên = Ø'(z), khi đó, từ (3.13) ta có 3 (x) < p* (z) với mọi +) —
+ €Õ Do đó, theo Mệnh đề 1.1.26, phép nhúng từ W2?) (Q) vào LZ) (@) là liên tục và eompaet nên tồn tại hằng số Œ > sao cho
Ielz¿y < C li (2.17)
voi moi v € Wy (Q)
Ap dung bat đẳng thức Hölder và (2.17) ta có
IK"(u)(v)| = ƒ LF (+)|le| dx <#I/Ixaltle; [
< 2@|ƒ|s/„;- |v||
với mọi ø € Wi? (Q) Vay K’(u) la phiém hàm bị chặn và liên tục trên
không gian I2” (@), tức là K'(u) € (Wa (a)
Bây giờ chúng ta sẽ chứng mình ánh xạ J' xác dinh béi cong thite (2.11) là liên tục trên IW¿}” (©), bị chặn trên các tập con bị chặn của không gian 1Œ) (Q), thỏa mãn điều kiện bức và đơn điệu ngặt
“Theo chứng minh của Bổ đề 2.2.2, dao ham Fréchet J’ (cũng chính là đạo hàm Gâteaux) của phiếm hàm / liên tục trên W)”É” (©) Hơn nữa, áp dụng,
bất đẳng thức Hölder ta có
Trang 36J70)J,= few} (ay: vo) Vl sp COI — 1 el Í |Vu|?2)"2Qu.Vudri fa < Tay f ur tvel ae ¿ 1 pŒ)~! < IIelÌ | |Vul Iel Lư,
với mọi w € IW”)(Q) Từ đó suy ra, ánh xạ J' bị chặn trên các tập con bị
chan cia khong gian Wy (Q)
Véi moi u € Wy” (Q) vai |jul| > 1, theo Ménh dé 1.1.22 ta có - lIvare" Wel _- flVul? dx Isl [lull Do đó
Muu) jy, ÍA|VAl'2VuVudr
lul>to0 ul] lel»t> IPI = lim SolWuPhde
Ialste Mel
Suy ra J’ la théa diéu kién bite
Cuối cùng, chúng ta sẽ kiểm tra tính đơn điệu ngặt của ánh xa J’ That vay,
Trang 37Với mọi €, ; € JR“, áp dụng hai bất đẳng thức sau (xem (17, Chuong V,
Bổ đề 5.13]),
[(eIr ° — Inf"2ø) =w)} (lel + Ini" > œ= Ðl£—nÏ, 1<r<3
(6 %— i5) €—9> (§) KTah >>
Kết hợp với (2.18), ta xét hai trường hợp sau:
“Trường hợp 1: Nếu 1 < p(x) < 2 với mọi z € Ö ta có
(J'(u) = J'(v)) (w= v) = J [var vu = [Vo V0) (Vu - vn) dư e [Vu — Vo] dx > 0 (2-p(z))/p(z) Vue + Woy) > fw@-» a ( “Trường hợp 2: Néu p(x) > 2 với moi x € Ö ta có 1\#@) (J'(w) — J (6) (w — 0) > J () [Vu — Ve|fŒ)dz > 0 a ‘Tom lại (J'(u) — J"(v)) (w= v) > 0
v6i moi u,v € Wy)(0), uF v Suy ra, anh xa J’ don dieu ngat
Ap dụng định lí Minty-Browder ta có, với K’(u) € (wor (9))’, tồn tại
duy nhất hàm w € IW)”#? (Q) sao cho
J!(u) = K"(u)
Điều đó chứng tỏ rằng bài toán (2.1) có một nghiệm yếu duy nhất trong
khong gian Wy) (Q) a
“Tiếp theo, chúng ta sẽ xét bài toán (2.1) trong trường hợp về phải ƒ(z, u)
dưới tuyến tính Như chúng ta sẽ thấy, trong trường hợp này phiếm hàm 7 liên kết với bài toán bị chặn dưới Vì vậy chúng ta có thể sử dụng nguyên lí
cực tiểu để chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu đối với bài toán (2.1)
Trang 38Dinh li 2.2.4 Néu f théa mãn điều kiện
If Œœ,9| < Œ + Crolt[™ (2.19)
với 1 <+ <p~ thà bài toán (9.1) có ít nhất một nghiệm yéu
Chứng mình Từ bắt đẳng thức (2.19), chứng minh tương tự như ở bat đẳng thức (2.10), tén tai hing s6 Ci: > 0 sao cho
|F (x,t)| < Cu (1+ |!”) (2.20)
véi moi x € Q vat € R Khi dé, áp dụng Mệnh đề 1.1.22 và Mệnh đề 1.1.26,
véi moi u € Wj) (Q), llu|| > 1, 1 <7 <p, ta được 1(w) = T;an#t®9% - [Fe u) dr a 1 a > sla - Cu f iui dr — Cuyn() 1 2 ple? ~ Oallw = Œnw(9) — +%
khi ||u|[ + +00 Suy ra, phiếm hàm 7 thỏa mãn điều kiện bức
“Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh phiếm hàm T là nửa liên tục dưới yếu
trên không gian W/'”#)(Q) Trước hết, chúng ta sẽ chứng minh phiếm hàm là nửa liên tục dưới yếu Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức
Ja +l’ < 2°" (lal" + |b"), vr >1,
voi moi u,v € Wi" (0) ta có
Trang 39vdi moi u,v € Wy)(Q) Nhu vay, phiếm hàm 7 là lồi theo điểm giữa trên không gian IW⁄2”Z)(Q) Mặt khác, do J kha vi Fréchet nén J là liên tục Do đó, theo Mệnh đề 1.2.12, / là phiếm hàm lồi trên W2”Œ)(@),
Vì 7 là phiếm hàm lồi trên VE/)”É)(Q) nên với mọi £ € (0,1) và với mọi u € Wy? (Q) cé dinh, ta có
J(tv + (1 —t)u) <td (v) + (1—t)J(u), Vo e Wy? Q),
Cho t > 0*, vi phiém ham J kha vi Fréchet nén cũng khả vi Gâteaux, ta được I(u)(v =u) < Jv) = J(u) hay I(v) 2 I(u) + J"(u)(v — u) vi moi v € Wy (Q) Suy ra fair dx > fair dz+ Nulf0®9uV (v—u)de 4 Pl) ¿ pŒ) ỉ Áp dụng bất đẳng thức Hölder, ta có [wire > [ater ae [ore |V (v —u)|de 8 ) 1 -
> | [Val de —2\\ Vu"! |V(e—w
> [iva frat] (oh a > f ylrurae— craw ¿ p(z) ) trong đó C; là hằng số dương và g (z) = chọn ổ = ©— > 0 ta có 13 J(0) > J{u) —«
với mọi ø € IJ”Œ)(@) thỏa mãn |lø — w|| < ổ Theo Mệnh dé 1.2.13, J 1a
phiếm hàm nửa liên tục dưới mạnh, lại có 7 lồi nên ta suy ra J là phiếm hàm
Trang 40
yếu trên không gian I}”Œ)(O) Tức là, với w„ —> ư trong Wy? (Q), khi dé ta c6
nửa liên tục dưới
lim inf J(u,) > J(u) (2.21)
Mặt khác, từ giả thiết (2.19), áp dụng bất đẳng thức Hölder, tồn tại €3 € (0, 1) sao cho 1K (em) = Kw] < [LF ss) =F (eu) dr a = fire, ut 63 (ty —u))| [tin — ul dr ỉ < [ (G+€ale+es ty — 9) 7) Tớ, — dc 4 < (Gait + Clu eam =P) =a, „ 30
khí n > 00, trong đồ / = ~TTƑ là số mũ liên hợp của Suy ra
lim K (un) = K (u) (2.22)
Kết hợp (2.21) với (2.22) ta có
T(u) < linn inf I (un)
điều đó có nghĩa 7 là nửa lien tuc duéi yéu trén khong gian Wy? (Q)
Ap dung Ménh dé 1.2.14, phiếm hàm 7 có một điểm cực tiểu u trong
ạ*Œ) (©) Vì 7 € C!(Wj”É)(Q),R) nên ta có J“(u) = 0, hay u la mot
nghiệm yếu của bài toán biên elliptic (2.1) a
Định If 2.2.5 Gid sit f théa man diéu kién (fo), (fr) va (fo) Khi dd, bài
toán biên elliptic (9.1) có ít nhất một nghiệm yếu không tầm thường trong
khong gian Wy (Q)
Để chứng minh Định lí 2.2.5, chúng ta sẽ sử dụng định lí "Qua núi" (xem
Mệnh đề 1.2.16) nhưng trước hết chúng ta cần chứng minh kết quả sau day