HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http //www lrc tnu edu vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM LÃ THỊ LỆ HÀ HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET Đ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - Là THỊ LỆ HÀ HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN – 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.2 Hàm đa điều hoà dƣới cực đại 11 1.3 Toán tử Monge-Ampère phức 16 CHƢƠNG II: HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC 23 2.1 Đa tạp siêu lồi hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc 24 2.2 Hàm Green đa phức đa tạp siêu lồi 26 2.3 Các định lý so sánh lớp hàm không bị chặn 37 2.4 Hàm Green đa phức toán Dirichlet 43 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức đƣợc đặt nhƣ sau: Cho D £ n miền giả lồi chặt, độ đo Borel D Hãy tìm lớp hàm đa điều hịa dƣới P (D ) thích hợp toán tử Monge-Ampère phức (dd c )n đƣợc xác định tốt cho với hàm liên tục tùy ý h D , tốn sau có nghiệm nhất: u P (D ) (dd cu )n lim u (z ) h( ), D z (I ) Bài toán Dirichlet hàm đa điều hòa dƣới đƣợc nghiên cứu Brememann (1959), Ơng dùng phƣơng pháp Perron để giải Sau Bedford Taylor (1976) giới thiệu tốn tử Monge-Ampère phức giải Bài toán Dirichlet (I) P (D ) P SH (D ) I Lloc (D ) độ đo liên tục tuyệt đối độ đo Lebesgue Từ số tác giả nhƣ U.Cegrell (1984), U.Cegrell L.Persson (1992), U.Cegrell S.Kolodziej (1994), Z.Blocki (1995) cố gắng giải tốn bỏ qua tính liên tục mật độ S.Kolodziej (1996) cho điều kiện đủ tính giải đƣợc tốn Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức lớp P SH (D ) I Lloc (D ) giải toán Dirichle độ đo nhƣ Đối với độ đo kỳ dị, tính giải đƣợc tốn Dirichlet đƣợc giải J.P.Demailly (1987) P Lelong (1989) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Theo hƣớng nghiên cứu trên, chọn đề tài "Hàm Green đa phức toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức" Ở chúng tơi trình bày việc giải toán Dirichlet (I) độ đo kỳ dị : n ( ) liên kết với hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc D Đề tài có tính thời sự, đƣợc nhiều nhà tốn học ngồi nƣớc quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết hàm Green đa phức áp dụng để giải toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dƣới, hàm đa điều hồ dƣới cực đại, tốn tử MongeAmpère + Trình bày số kết đa tạp siêu lồi hàm đa điều hoà dƣới chấp nhận đƣợc, hàm Green đa phức đa tạp siêu lồi, định lý so sánh lớp hàm khơng bị chặn + Giải tốn Dirichlet nhờ hàm Green đa phức toán tử Monge-Ampère Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng phƣơng pháp giải tích phức kết hợp với phƣơng pháp giải tích hàm đại Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - Sử dụng phƣơng pháp lý thuyết vị phức - Kế thừa phƣơng pháp kết Ahmed Zeriahi Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 51 trang, có phần mở đầu, hai chƣơng nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chƣơng 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dƣới, hàm đa điều hồ dƣới cực đại, tốn tử Monge-Ampère Chƣơng 2: Là nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu Đa tạp siêu lồi Hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc, Hàm Green đa phức đa tạp siêu lồi, định lý so sánh lớp hàm không bị chặn Giải toán Dirichlet nhờ hàm Green đa phức tốn tử Monge-Ampère Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt đƣợc Bản luận văn đƣợc hoàn thành Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên dƣới hƣớng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy hƣớng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Xin chân thành cảm ơn Trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Thái Nguyên, Trƣờng THPT Bắc Kạn đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn đƣợc hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1 Định nghĩa Cho W tập mở £ n u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l mt hm nửa liên tục khơng trùng với - ¥ thành phần liên thông W Hàm u gọi đa điều hoà với a Ỵ W b Ỵ £ n , hàm l a u(a + l b) điều hồ trùng - ¥ thành phần tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Ỵ W} Trong trường hợp này, ta viết u Î P SH (W) (ở P SH (W) lớp hàm đa điều hoà W) 1.1.2 nh lý Cho u : Wđ [- Ơ , Ơ ) hàm nửa liên tục không trùng - ¥ thành phần liên thơng WÐ £ n Khi u Ỵ P SH (W) với a Ỵ W b Ỵ £ n cho {a + l b : l Ỵ £ , l £ 1}Ð W, Ta có Trong u(a ) £ l(u;a, b) , l(u ;a, b) = 2p 2p ò u(a + e b)dt it Ngồi ra, tính đa điều hồ tính chất địa phương Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên từ định nghĩa hàm đa điều hịa dƣới l(u;a, b) = L (v;0,1) Điều kiện đủ Giả sử a Ỵ W, b Î £ n xét Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn U = {l Ỵ £ : a + l b Ỵ W} Khi U tập mở £ Đặt v (l ) = u (a + l b), l Ỵ U Cần chứng minh v (l ) điều hòa dƣới U Muốn cần chứng tỏ l Ỵ U tồn r > cho với £ r < r v (l ) £ 2p 2p ò v(l + re i q )d q Từ a + l 0b Ỵ U có r > cho l < r a + l 0b + l b Ỵ W Với £ r < r ta có {a + l 0b + l rb : l £ 1}Ð W Do từ giả thiết u (a + l 0b) £ 2p Vậy v (l ) £ 2p 2p ò u(a + l b + rbe i q )d q 0 2p ò v(l + re i q )d q , điều phải chứng minh Một số tính chất quan trọng hàm đa điều hồ dƣới đƣợc suy từ kết Tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp hàm điều hồ dƣới, ta gọi định lý xấp xỉ cho hàm đa điều hồ 1.1.3 Định lý Cho WÐ £ n tập mở u Ỵ P SH (W) Nếu e > cho We := z Ỵ W: d (z , ả W) > e ặ, thỡ u * c e é C Ơ ầ P SH (We ) Hơn nữa, { } u * c e đơn điệu giảm e ¯ , lim u * c e (z ) = u(z ) với mi z ẻ W eđ nh lý sau õy, mơ tả tính đa điều hịa dƣới u qua đạo hàm theo nghĩa phân bố cần dùng cho việc chứng tỏ dd cu dịng dƣơng đóng song bậc (1,1) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.4 Định lý Giả sử W tập mở £ n (i) Nếu u, v Ỵ P SH (W) max {u, v } Ỵ P SH (W) a , b ³ a u + b v Ỵ P SH(W) Nghĩa P SH(W) nón lồi (ii) Nếu {u j } j³ Ð P SH (W) dãy giảm u = lim u j hàm đa điều hòa W - ¥ (iii) Nếu dãy {u j } Ð P SH(W) dãy hội tụ tập compact W tới hàm u : W® ¡ u Ỵ P SH (W) (iv) Giả sử {u a } Ð P SH(W) cho u = sup {u a : a Ỵ I } bị chặn I địa phương Khi quy hóa nửa liên tục u * Ỵ P SH(W) Chứng minh Các khẳng định (i), (ii), (iii) suy từ định nghĩa hàm đa điều hòa dƣới định lý hội tụ đơn điệu hay định lý qua giới hạn dƣới dấu tích phân trƣờng hợp dãy hội tụ Ta chứng minh (iv) Chỉ cần chứng tỏ a Ỵ W, b Ỵ £ n cho {a + l b : l Ỵ £ , l £ 1}Ð W u (a ) £ 2p * 2p ò u (a + e * iq b)d q Dễ thấy với z Ỵ W, b Î £ n cho {z + l b, l £ 1}Ð W ta có u (z ) £ 2p 2p ò u (z + e * iq b)d q Với a Ỵ W, chọn dãy {z n } Ð W cho z n ® a u (z n ) ® u * (a ) Từ {z + l b, l } { } £ Ð W nên với n đủ lớn z n + l b, l £ Ð W Khi u (z n ) £ 2p 2p ò u (z * n + e i qb)d q Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bổ đề Fatou cho ta u (a ) = lim sup u (z n ) £ n 2p * 2p ò lim sup u (z * n £ 2p n + e i qb)d q 2p ò u (a + e * iq b)d q 1.1.5 Mệnh đề Giả sử WÐ £ n tập mở, w Ð W tập mở thực sự, khác rỗng W Giả sử u Î P SH (W) , v Î P SH(w) lim sup x ® y v (x ) £ v (y ) vi mi y ẻ ả w ầ W Khi hàm íï max {u, v } w w = ïì ïï u W\ w ỵ hàm đa điều hòa W Chứng minh Rõ ràng w nửa liên tục trên W Chỉ cần chứng tỏ a Ỵ W, b Ỵ £ n cho {a + l b, l £ r }Ð W w (a ) £ 2p 2p ò w (a + re b)d q iq Với a Ỵ w , b Ỵ £ n , chọn r > đủ bé để {a + l b, l £ r }Ð w Khi u (a ) £ 2p v (a ) £ 2p Từ w (a ) £ 2p 2p 2p ò u a + re b d q £ 2p ò w (a + re b)d q 2p 2p ( ) iq v a + re b d q £ ò 2p ( iq ) iq ò w (a + re b)d q iq 2p ò w (a + re b)d q iq Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 (K , D ) j vị Green đa phức, cặp (K , D ) có vị Green đa phức Chứng minh Ta có K tập đa cực đầy đủ D (theo[Z1]) Với j Ỵ ¥ , giả sử G j vị Green đa phức cặp (K j ,G j ) Chọn dãy tăng D\ K = UE j tập compact D cho {E } j dãy số thực (S j ) j giảm cho j å j Đặt (z ) = å s j inf G j > - ¥ Ej s jG j (z ), z Ỵ D Khi đó, hàm đa điều hịa dƣới chấp j nhận đƣợc D S = K Bây ký hiệu G hàm Green đa phức D liên kết với Khi đó, £ G £ s jG j D , nên ta có S G = K Từ suy G vị Green đa phức cặp (K , D ) (theo Định lý 2.2.6 ) 2.3 Các định lý so sánh lớp hàm không bị chặn Các định lý so sánh liên quan đến lớp khác hàm đa điều hịa dƣới khơng bị chặn đạt đƣợc mối liên hệ với việc mở rộng định nghĩa toán tử Monge–Ampère phức (xem [B]) Trong phần chứng minh nguyên lý cực đại lớp hàm đa điều hịa dƣới khơng bị chặn: P%(D ) := u Ỵ P SH (D ); $ E é D, u ẻ LƠ (D \ E ) { } D đa tạp Stein tùy ý Ta biết toán tử Monge– Ampère phức đƣợc xác định tốt từ lớp P%(D ) liên tục dãy giảm hàm đa điều hòa dƣới (xem [D1]) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Trƣớc bắt đầu nguyên lý cực đại lớp P%(D ) , cần vài kết lớp Kết sau đƣợc biết hàm đa điều hòa dƣới bị chặn [BT2] 2.3.1 Bổ đề Giả sử u, v Ỵ P%(D ) cho lim inf (u (z ) - v(z )) ³ Khi ú cú cỏc zđ ảD khng nh sau xy ra: i ) Nếu u = v gần biên D ị (dd v ) c n = ị (dd u ) c D n D ii ) Nếu u £ v D ị (dd v ) c £ n ò (dd u ) D c n , D giả thiết lim inf (u (z ) - v(z )) ³ có nghĩa " > , $ E Ð D : z® ¶D u(z ) - v(z ) ³ - , " z Ỵ D \ E Chứng minh Khẳng định suy trực tiếp, nhƣ trƣờng hợp hàm đa điều hòa dƣới bị chặn địa phƣơng, tốn tử Monge–Ampère có định nghĩa quy nạp nhƣ Để chứng minh khẳng định thứ hai, ta giả sử u £ v D xác định hàm v = sup {u + , v }, với > Khi đó, v đa điều hòa dƣới D thỏa mãn v = u + lân cận biên D ; từ đó, theo khẳng định thứ ta có ị (dd v ) c n = D Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ò (dd u ) c n D http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Vì v giảm đến v ® , nên từ đẳng thức Định lý hội tụ Demailly ta suy ò (dd v ) c £ lim inf ò (dd cv )n = n ị (dd u ) c ® D D n D Bất đẳng thức kéo theo ii ) Bổ đề đƣợc chứng minh 2.3.2 Bổ đề Giả sử u Ỵ P° (D ) Khi ta có đánh giá n n (2 ) å (u;a ) ò (dd u ) £ c a Ỵ Au Đặc biệt, n å (u;a ) a ẻ Au n (3.1) Su < + Ơ v tập Au đếm Chứng minh Bằng cách điều chỉnh u phần bù tập compact D chứa S u , ta giả sử tồn miền D ¢Ð D cho u dần tới biên D ¢ Giả sử A Ð Au tập hữu hạn Xét hàm đƣợc định nghĩa A (z ) := å (u;a )log z - a , z Î D aÎ A Cố định t > , gi s Dt = {z ẻ D Â; u (z ) < - t } Khi Dt Ð D Nhƣ vậy, đặt Gt = G D (×, A ) áp dụng Mệnh đề 2.2.2, ta có u + t £ G t t Dt Do đó, áp dụng Bổ đề 2.3.1 ta nhận đƣợc đánh giá ò (dd G ) c n t A £ ò (dd G ) c £ n t Dt ò (dd u ) c n (3.2) Dt Vì hàm G t thỏa mãn phƣơng trình Monge-Ampère phức (vi dụ 2.2.3): n n p (dd G ) = (2 ) å c t j=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên v nj a j http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 nên ta có n c n ị (dd Gt ) = (2 ) n å (u ;a ) a Ỵ Au A Do ị (dd G ) c n t n = (2 ) n å (u ;a ) £ a Ỵ Au A ò (dd G ) c n t Dt Vì A tập hữu hạn tùy ý Au , nờn cho t đ + Ơ ta cú Dt ® S u = {z : u (z ) = - ¥ n } Khi (3.2) trở thành n (2 ) å (u;a ) a Ỵ Au £ ò (dd u ) c n (3.1) đƣợc chứng minh Su Theo Bổ đề 2.3.2, ta kết hợp hàm u Ỵ P° (D ) với độ đo nguyên tử Borel D xác định n n (u ) := (2 ) å a Ỵ Au n (u ;a ) a Với tập compact E Ð D , đặt ° D ; E := P SH D ầ LƠ D \ E P ( ) ( ) loc ( ) (3.3) Ta biết khối lƣợng Monge–Ampère giá trị biên không biểu thị đặc điểm hàm thuộc lớp (3.3) (xem ví dụ 2.3.4) Tuy nhiên, chứng minh Định lý so sánh sau lớp (3.3), tổng quát Định lý so sánh Demaily [D1; D2] 2.3.3 Định lý Giả sử E tập compact có độ đo Lebesgue không D u hàm đa điều hòa D thỏa mãn (1) u Î P%(D ; E ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 n (2) n c ò (dd u ) = (2 ) E å n (u ;a ) a Ỵ Au Giả sử v hàm đa điều hòa D thỏa mãn tính chất sau: (3) v Î P%(D ; E ); (4) lim inf (u (z ) - v (z )) ; zđ ảD ( (5) dd cv n n ) ³ (dd u ) c theo nghĩa độ đo D \ E (6) n (v ) ³ n (u ) theo nghĩa độ đo D \ E Khi v £ u D Chứng minh Giả sử vét cạn đa điều hòa dƣới chặt D đặt Dc = z Ỵ D ; (z ) < c Cố định > c0 > đủ lớn cho { } u ³ v - D \ Dc với c ³ c0 Với > c ³ c0 cố định, ta xét hàm v = sup v + ( - c ), u + { } Ta v đa điều hòa dƣới D , u £ v Dc , theo giả thiết (4) ta có lim inf (u (z ) - v (z )) ³ Do đó, theo Bổ đề 2.3.1 ta có z ® ¶ Dc ò( dd cv Dc n ) £ ò( dd cu n ) (3.4) Dc Từ giả thiết (1) (3) suy u v hàm đa điều hòa dƣới bị chặn địa phƣơng tập mở W= Dc \ E Khi đó, theo kết Demaily [D3], bất đẳng thức sau xảy theo nghĩa độ đo W: ( dd cv n ) n ³ u + £ v + - c dd c (v + - c ) + ( )} { ( ) ( + u + > v + - c dd cu ( )} { Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun n ) (3.5) http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Vì ta có n n (dd (v + )) ³ (dd v ) c c n + n dd c ( ) theo nghĩa độ đo D , nên từ (3.5) giả thiết (5) suy n ò (dd v ) c £ n ò (dd u ) c + n n (dd ) ò c (3.6) WÇ u + £ v + ( - c ) { } Bây ta buộc cho (3.6) xảy thay W Dc Tức n ò (dd v ) c £ Dc n ò (dd u ) c + n n (dd ) ò c (3.6a) Dc Ç u + £ v + ( - c ) { Dc } Thật vậy, tập E có độ đo Lebesgue khơng, nên cần so sánh khối n n lƣợng hai độ đo (dd cv ) (dd cu ) tập E chứa S u È S v Từ (6) suy n (v ) = n (u ) theo nghĩa độ đo D Khi áp dụng Bổ đề 2.3.2 sử dụng giả thiết (2) vào tính tốn ta đƣợc ò( dd cv n ) E ³ ò( dd cv Sv n ) ò n (v ) = ò n (u ) = Av Au ³ ị( dd cu n ) E Vì W= Dc \ E E có độ đo Lebesgue khơng nên từ (3.6) bất đẳng thức kéo theo (3.6a) Do đó, từ (3.6a) (3.4) suy đánh giá sau: n ò (dd u ) c Dc + n n (dd ) ò c £ n ò (dd u ) c (3.7) {u + £ + ( - c )}ÇDc Vì Dc Ð D , nên từ bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg suy ị (dd u ) c n < +¥ Dc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Khi đó, từ (3.7), suy tập {u + £ v + ( - c )}Ç D c có độ đo Lebesgue khơng D với > , > c ³ c0 Điều chứng tỏ v £ u D Định lý đƣợc chứng minh Nhận xét: Định lý khơng cịn thiếu điều kiện (6), n n chí (5) ta giả sử (dd cv ) = (dd cu ) theo nghĩa độ đo D Xét ví dụ sau: 2.3.4 Ví dụ Cho = (1, 2, , n ), { (z ) = log max z j j ;1 £ j £ n < 1 £ 2 £ £ n , với hàm } đa điều hòa dƣới đa đĩa đơn vị U n Ta biết thỏa mãn phƣơng trình Monge–Ampère phức n n (dd ) = (2 ) c n theo nghĩa dòng U n Hơn nữa, ta có ( ; 0) = 1 Nhƣ vậy, 1 ×××n = hàm thỏa mãn phƣơng trình Monge–Ampère phức nhƣ U n có giá trị biên nhƣ Do đó, n ³ , u = (1, ,1) v = với 1 < tất điều kiện định lý trừ (6) đƣợc thỏa mãn rõ ràng v £/ u U n Trong trƣờng hợp GU (×; ) = 1(1, ,1) n Un với = (1, 2, , n ), với < 1 £ 2 £ £ n 2.4 Hàm Green đa phức toán Dirichlet Bây nhắc lại toán Dirichlet toán tử Monge –Ampère phức: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Bài toán Dirichlet Giả sử D Ð £ n miền giả lồi chặt, độ đo Borel D Hãy tìm lớp hàm đa điều hịa dƣới P (D ) thích hợp n tốn tử Monge–Ampère phức (dd c ) xác định tốt cho với hàm liên tục tùy ý h ¶ D , tốn sau có nghiệm nhất: íï u Ỵ P (D ) ïï n ïï dd cu = ì ïï ïï lim z ® u (z ) = h ( ), " ẻ ả D ùợ ( ) (I) Trong phần này, giải toán Dirichlet (I) độ đo kỳ dị = n ( ) liên kết với hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc D Trƣớc hết ta chứng minh kết sau hàm Green đa phức 2.4.1 Định lý Giả sử D tập mở siêu lồi £ n hàm đa điều hòa chấp nhận D Khi hàm Green G = G D (×; ) , liên kết với , hàm đa điều hòa D thỏa mãn tính chất sau: (i ) G Ỵ P SH (D ) ầ LƠloc (D \ K ), ú K = S (ii ) G (z ) ® z đ ả D (iii ) (G ;a ) = (;a ), với a Î D (iv ) G thỏa mãn phương trình Monge – Ampère phức ( dd cG n n n ) = (2 ) å (;a ) a Î A a theo nghĩa độ đo D , a độ đo Dirac điểm a Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Chứng minh Từ Định lý 2.2.1 suy G thỏa mãn (i ) , (ii ) (iii ) Ta chứng minh (iv ) : Giả sử {A j } dãy tăng tập không j³ rỗng hữu hạn A cho A = j (z ) = Khi {G j } å (;a )log z - a Ỵ Aj j³ UA j³ j Với j ³ , xét hàm a , (z Ỵ D ) G j = G D (×; j ) dãy giảm hàm đa điều hòa dƣới thỏa mãn G £ G j £ D Do hàm giới hạn G%= lim G j hàm đa điều jđ + Ơ hũa di trờn D , v G £ G%£ D Hơn nữa, dễ thấy ° D ° £ G D Vậy G = G (G%;×) ³ (;×) D G Theo Định lý hội tụ (xem [D1]) ta có ( dd cG n ) ( = lim dd cG j jđ + Ơ n ) theo nghĩa dòng D ; (iv ) đƣợc suy từ n n p (dd G (×, A )) = (2 ) å c D j=1 v nj a j theo nghĩa dịng D Tính hàm Green đa phức hệ trực tiếp Định lý 2.3.3 Chúng ta kết thúc phần cách giải cách tổng quát tốn Dirichlet phƣơng trình Monge–Ampère phức 2.4.2.Định lý Giả sử D Ð £ n tập mở giả lồi với biên Lipschitz, h hàm thực liên tục D đa điều hòa D Giả sử Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 hàm đa điều hòa chấp nhận liên tục D Khi tốn Dirichlet sau có nghiệm ° D , U ; ì ; ì , ớù U ẻ P ( ) ( ) ( ) ïï ïï n c ì dd U = n ( ), ïï ïï lim z ® U (z ) = h ( ), " ẻ ả D ùợ ( ) (4.1) Hơn nữa, nghiệm liên tục D \ S Chứng minh Xét bao trên D sau: ° D; , z Ỵ D , U (z ) = sup u (z ); u Ỵ P h( ) { } (4.2) P°h (D ; ) lớp hàm đa điều hòa dƣới u ẻ P (D ) cho (u ;ì) ³ (;×) D lim U (z ) = h ( ), " ẻ ả D Ta biết D z® quy toán Dirichlet cho toán tử Laplace £ n Do tồn hàm điều hòa thực H D với giá trị biên h Theo [D2], D siêu lồi, từ Định lý 2.2.1 suy ° D ; u £ U £ H D u = G D (ì; ) + h ẻ P h( ) Bằng cách tiến hành nhƣ chứng minh Định lý 2.2.1, ta có ° D ; ầ LƠ D \ S U ẻ P h( ) loc ( ) Ta phải chứng minh U thỏa mãn phƣơng trình Monge– Ampère phức n (dd U ) c = n ( ) (4.3) theo nghĩa độ đo D Để kết thúc điều này, tiến hành nhƣ chứng minh Định lý 2.4.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Giả sử (A j ) j³ A = UA j³ j dãy tăng tập hữu hạn A cho đặt j (z ) = å a Ỵ Aj log z - a Giả sử U j bao lớp P° h (D ; j ) Khi từ định nghĩa, suy (U j ) dãy giảm hàm đa điều hòa dƣới D thỏa mãn U £ U j D , với j ³ Do đó, V = lim U j đa điều hòa dƣới D thỏa mãn U Ê V trờn D jđ + Ơ Hn nữa, dễ thấy V Ỵ P°h (D ; ) Điều chứng tỏ V = U Khi đó, từ Định lý hội tụ Demailly [D1] ta có (4.3) hệ n n n (dd U ) = (2 ) å (;a ) c j a Ỵ Aj (4.4) a theo nghĩa độ đo D n Chứng minh (4.4): Vì (dd cU j ) = D \ A j với j ³ a Ỵ A j nên ta có U j : (;a )log z - a Khi z ® a , từ Định lý so sánh suy n n (dd U ) ({a }) = (;a ) (dd c j c n log z - a n n ) ({a }) = (2 ) (;a ) Từ suy (4.4) Tính liên tục nghiệm D \ S đƣợc chứng minh giống nhƣ chứng minh Định lý 2.2.6 2.4.3 Hệ Giả sử D Ð £ n miền giả lồi chặt h hàm thực liên tục ¶ D Khi tốn Dirichlet (4.1) có nghiệm Hơn nữa, nghiệm liên tục D \ S Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: + Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dƣới, hàm đa điều hồ dƣới cực đại, tốn tử Monge-Ampère + Các kết hàm Green đa phức đa tạp siêu lồi, định lý so sánh lớp hàm không bị chặn + Giải toán Dirichlet (I) độ đo kỳ dị = n ( ) liên kết với hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc D Cụ thể chứng minh rằng: Nếu D Ð £ n tập mở giả lồi với biên Lipschitz, h hàm thực liên tục D đa điều hòa dƣới D Giả sử hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc liên tục D Khi tốn Dirichlet sau có nghiệm ° D , U ; ì ; ì , ớù U ẻ P ( ) ( ) ( ) ïï ïï n c ì dd U = n ( ), ïï ïï lim z ® U (z ) = h ( ), " ẻ ả D ùợ ( ) Hơn nữa, nghiệm liên tục D \ S Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [DH] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải, Cơ sở lí thuyết đa vị, NXB Đại học sƣ phạm Hà Nội, (2009) Tiếng Anh: [B] E Bedford Survey of pluripotential theory, Several complex variables (Stockholm, 1987/1988, pp48-97, Princeton Univ Press, Princeton, NJ, 1993 [BT1] E Bedford and B.A.Taylor, The Dirichlet problem for a complex Monge-Ampere equation, Invent Math 37 (1976), 1-44 [BT2] E Bedford and B.A.Taylor, A new capacity for plurisubharmonic functions Acta Math 149 (1982), 1-40 [Bl] Z Blocki, The complex Monge-Ampere operator in hyperconvex domains, Doctoral thesis, Jagiellonian Univ., Krakow, Poland, 1995 [Br] H.Bremermann, On a generalized Dirichlet problem for plurisubharmonic functions and pseudoconvex domains Characterization of Shilov boudaries Tran Amer Math Soc 91 (1959), 246-276 [C] U Cegrell, On The Dirichlet problem for the complex MongeAmpere operator, Math Z 185 (1984),247-251 [CP] U Cegrell and L Persson, The Dirichlet problem for a complex Monge-Ampere equation: Stability in L2, Michigan Math J.39(1992),145-151 [D1] J.P Demailly, Mesures de Monge-Ampere et caracterisation des varietes algebriques affines, Mem Soc Math France (N.S) 19 (1985).1-125 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 [D2] J.P Demailly, Mesures de Monge-Ampere et mesures pluriharmoniques, Math Z 194 (1987), 519-564 [D3] J.P Demailly, Pluripotential Theory inseveral complex variables, ICPAM Summer School on complex Analysis, Nice, France, 1989 [Ki] C.O Kiselman, densite des functions plurisubharmoniques, Bull Soc Math De France 107 (1979), 295-304 [K1] M Klimek, Extremal plurisubharmonic functions and Invariant pseudodistances, Bull Soc Math de Fance 113 (1985), 231-240 [K2] M Klimek, Pluripotential Theory, Oxford University Press, New York, 1991 [Ko1] S Kolodzjiej, Some sufficient conditions for solvability of the Dirichle problem for The complex Monge-Ampere operator, Ann Polon Math 65 (1996) 11-21 [L] P Lelong, fonction de Green pluricomplexe et lemmes de Schwarz dans les espaces de Banach, J Math Pures et Appl 68 (1989).319-347 [S] J Siciak, Extremal Plurisubharmonic Functions and Capacities in £N Sophia Kokyurokn in Math 14 (1982), 1-97 [Si] Y.T Siu, Analyticily of Sets Associated to Lelong Numbers and the Extension of Closed Positve Currenis, Invent Math 27(1974), 53-156 [St] J.L Stehle, Fonctions Plurisousharmoniques et convexite holomorphe de certains fibres analitiques, Seminaire P Lelong, Lecture Notes in Math Springe, Berlin 474 (1975), 155-179 [Z] V.P Zahariuta, Spaces of analytic functions and complex potential theory, Linear Topol Spaces Complex Anal, (1994), 74-146 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 [Z1] A Zeriahi, Ensembles pluripolaires exceptionels pour la croissance partielle des fonctions holomorphes, Ann.Polon Math 50 (1989), 81-91 [Z2] A Zeriahi, Pluricomplex Green functions and the approximation of holomorphic functions, Complex analysis, harmonic analysis and applications, Pitman Res Math Notes Ser., 347, Longman, Harlow, U.K (1996), 104-142 [Z3] A Zeriahi, Pluricomplex Green functions and the Dirichlet problem for the complex Monge-Ampere operator, Michigan Math J.44 (1997), 579-596 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn