Bài toán dirichlet đối với toán tử monge ampere phức trong cn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Tấn Phát BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE – AMPÈRE PHỨC TRONG  n LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Tấn Phát BÀI TỐN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE – AMPÈRE PHỨC TRONG  n Chuyên ngành : Tốn giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2022 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn “Bài toán Dirichlet toán tử Monge – Ampère phức  n ” tơi thực hướng dẫn TS Nguyễn Văn Đông chưa cơng bố cơng trình khoa học khác thời điểm Lời cảm ơn Tôi xin cảm ơn thầy Nguyễn Văn Đơng – người tận tình giúp đỡ hướng dẫn tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Sau Đại học thầy Khoa Toán – Tin học, Trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập trường thực luận văn Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành đến q thầy cơ, nhân viên nhà trường, gia đình bạn bè giúp đỡ khoảng thời gian thực luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 31 tháng 08 năm 2022 HỌC VIÊN Huỳnh Tấn Phát Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu thuật ngữ MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 Không gian  n 0.2 Tốn tử vi phân hàm chỉnh hình 0.3 Hàm nửa liên tục 0.4 Hàm tích chập 0.5 Phân bố 0.6 Hàm điều hòa hàm điều hòa 11 0.7 Hàm đa điều hòa 12 0.8 Toán tử Monge – Ampère phức 14 0.9 Dung lượng Monge – Ampère hội tụ theo dung lượng 15 0.10 Miền giả lồi 17 Chương BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ LAPLACE 19 1.1 Nhân Newton hàm Green 19 1.1.1 Nhân Newton nghiệm toán tử Laplace 19 1.1.2 Hàm Green 23 1.2 Bài toán Dirichlet toán tử Laplace cầu đơn vị 27 1.3 Một số điều kiện tương đương hàm điều hòa 31 Chương BAO PERRON – BREMERMANN VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRÊN QUẢ CẦU ĐƠN VỊ 33 2.1 Một số điều kiện tương đương tính đa điều hịa 33 2.2 Bao Perron 37 2.2.1 Quan điểm tính nhớt 37 2.2.2 Bao Perron – Bremermann 40 2.2.3 Tính liên tục bao 41 2.3 Nghiệm toán Dirichlet trường hợp cầu đơn vị 45 2.3.1 Tính C 1,1  quy 45 2.3.2 Giải toán Dirichlet cầu đơn vị 54 Chương BÀI TOÁN DIRICHLET MỞ RỘNG TRÊN MIỀN GIẢ LỒI NGẶT 58 3.1 Hàm mật độ liên tục 58 3.2 Hàm mật độ tổng quát 59 3.3 Đánh giá tính ổn định 63 3.4 Vế phải tổng quát 64 3.5 Các kết khác 67 KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 Danh mục kí hiệu thuật ngữ H 34 Nguyên lí cực đại 11, 13, 15 C 1,1     42 Nguyên lí so sánh 15 G x, y 24 Nguyên lí trội 15 H n Nhân Newton 21 33 Nhân Poisson 26 K  x ,  21 Phân bố Px, y 26 Tích chập PSH    12 Tốn tử Laplace 19 SH    11 U  , , f  z  40 Bài toán Dirichlet Toán tử Monge – Ampère phức 28 Bao Perron – Bremermann Bổ đề Choquet Bổ đề Hartogs 14 40 Dung lượng Monge – Ampère Điều kiện Levi 18 Hàm đa điều hòa 12 Hàm điều hòa 11 Hàm điều hòa 11 Hàm Green 24 Hàm hạt nhân Hàm mật độ 58 Miền giả lồi 17 16 15 MỞ ĐẦU Cho    n miền giả lồi ngặt bị chặn  n Cho   C      f  C    , ta xét toán Dirichlet toán tử Monge – Ampère phức: u  PSH     C    ,  n  c n  dd u   f   ,  u     1 Khi n  , toán Dirichlet cổ điển toán tử Laplace Trong trường hợp này, miền cho đủ quy, ta tìm cơng thức nghiệm tường minh mở rộng công thức Poisson – Jensen đĩa đơn vị Trong miền tổng quát hơn, trường hợp nhiều chiều, ta sử dụng phương pháp bao Perron kết hợp với nguyên lí so sánh để xây dựng nghiệm chứng minh Nghĩa là, xét U  z   U  ,  , f  z  :  sup u  z  : u     ,  , f  ,  2      , , f  lớp nghiệm    :  u  PSH     L    :  dd cu   f  n  u      n Mục tiêu toán U nghiệm 1 Khi f  , Bremermann 5 bao U đa điều hòa có giá trị biên cách xây dựng chướng ngại phù hợp (ở giả thiết tính giả lồi sử dụng) Tiếp theo, Walsh 19 chứng minh U liên tục đến biên Sau đó, Bedford Taylor chứng minh  2 độ đo Monge –  Ampère phức dd cU  n xác định tốt U nghiệm toán Dirichlet 1 Đây lĩnh vực quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Luận văn trình bày lại kiến thức liên quan đến số toán Dirichlet khác toán tử Monge – Ampère phức  n Luận văn bắt đầu việc giải tốn Dirichlet phương trình Laplace sử dụng để nhận mơ tả có ích hàm điều hịa Tiếp theo, tìm hiểu bao Perron – Bremermann, liên tục đến biên (với số điều kiện định) Bao nghiệm cực đại toán Dirichlet Để thực nghiệm, trước tiên ta xét trường hợp cầu đơn vị, sau sử dụng kĩ thuật quét cổ điển theo  2 Cuối cùng, tìm hiểu số toán Dirichlet cho phép vế phải phụ thuộc hàm chưa biết xem xét hàm mật độ tổng quát Nội dung luận văn gồm có: Chương 0: Phần chuẩn bị trình bày kiến thức Hình học phức, Giải tích phức có liên quan, phục vụ cho chương Chương 1: Bài toán Dirichlet toán tử Laplace Chương 2: Bao Perron – Bremermann toán Dirichlet cầu đơn vị Chương 3: Bài toán Dirichlet mở rộng miền giả lồi ngặt Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày lại số kiến thức Hình học phức, Giải tích phức có liên quan, phục vụ cho chương Tài liệu tham khảo chương 1 , 14 , 15 , 16 0.1 Không gian  n Định nghĩa 0.1.1 Ta gọi không gian gồm điểm z   z1 , , zn       không gian  n Đặc biệt, n   n   mặt phẳng phức Khi đó, việc đồng  n với  2n xác định hàm  n 2n  n  n   x , y   z  x  iy,  0.1  x , y    n x   x1 , , xn  , y   y1 , , yn   n  *  Trong tương ứng  0.1 , ta viết x  Re z y  Im z z   z1 , z2 , , zn    x1  iy1 , , xn  iyn    x1 , y1 , , xn , yn  kí hiệu phần tử  n Kí hiệu z  x  iy liên hợp z  n Định nghĩa 0.1.2 Trong  n , ta xét khoảng cách z  z  n  j 1 z j  z j Quả cầu mở tâm a   n bán kính r định nghĩa tập hợp B  a , r    z   n : z  a  r Đa đĩa mở tâm a   n bán kính vectơ r   r1 , , rn  với rj  0, j  1, , n , định nghĩa tập hợp   P  a , r   z   n : z j  a j  rj , j  1, n Các đa đĩa mở tạo thành sở tập mở tơpơ tích  n Chỉ xem 57 Cố định   nhỏ đặt   z  :  z  Nhận xét với k  j ,  dd U       dd cU k    n  n   f k   n   n n c k n Vì  f k  giảm f B nên ta tìm jo  cho f j  f k   n B với k  j  jo ,  dd U       f j  n n c k  Vì U k   z   k   j B nên nguyên lí so sánh cho U k    U j B Hơn nữa, U j  U k nên ta suy với k  j  jo , max U k  U j   B Do dãy U j  hội tụ B tới hàm u  PSH  B   C  B  cho u   B Tính hội tụ bảo đảm  dd cU j  hội tụ yếu  dd cu  , n  dd u  c n n  f n Nguyên lí so sánh bảo đảm u  U  B , , f  nghiệm toán Dirichlet  2.17   58 Chương BÀI TOÁN DIRICHLET MỞ RỘNG TRÊN MIỀN GIẢ LỒI NGẶT Trong chương này, tìm hiểu số tốn Dirichlet toán tử Monge – Ampère miền giả lồi  n với hàm mật độ tổng quát cho phép vế phải phụ thuộc vào hàm chưa biết Kĩ thuật để giải tốn Dirichlet mở rộng trường hợp miền giả lồi ngặt dựa vào kết trường hợp cầu đơn vị sử dụng kĩ thuật quét cổ điển theo  2 Mục 3.1 chương trình bày tốn Dirichlet với  miền giả lồi ngặt  n với hàm mật độ liên tục Kết Định lí 3.1 Mục 3.2 chương trình bày toán Dirichlet với  miền giả lồi ngặt  n với hàm mật độ mở rộng tới hàm mật độ bị chặn Kết Định lí 3.2 Mục 3.3 đánh giá tính ổn định lớp nghiệm U   ,  , f  toán Dirichlet Kết trình bày Mệnh đề 3.7 Mục 3.4 trình bày tốn Dirichlet với vế phải tổng qt phụ thuộc vào hàm chưa biết Nội dung Định lí 3.9 Mục 3.5 trình bày số kết quan trọng khác toán Dirichlet mà khơng trình bày chứng minh Tài liệu tham khảo chương 12 3.1 Hàm mật độ liên tục Ở đây, mở rộng Hệ 2.9 cho trường hợp    n miền giả lồi ngặt  n Định lí 3.1 Giả sử   C      f  C    Khi đó, U  U   ,  , f  nghiệm toán Dirichlet: 59 u  PSH     C    ,  n  c n  dd u   f   ,  u     Chứng minh Ta biết U  PSH     C    thỏa mãn  dd cU   f  n yếu Do n  ta cần kiểm tra dd cU  n  f n Ta sử dụng kĩ thuật quét cổ điển Lấy B   cầu Euclide tùy ý Theo Hệ 2.9, ta giải toán Dirichlet  dd u  c n  f  n B u  U B Nguyên lí so sánh bảo đảm U  u B Do theo Mệnh đề 2.3,  u  z  z  vz   U  z  z  B, z    B, thuộc vào lớp    ,  , f  v  U     Suy v  U , u  U B ,  dd cU    dd c u   f  n B Đẳng thức  B n n  lấy tùy ý 3.2 Hàm mật độ tổng quát Chúng ta bắt đầu việc mở rộng Định lí 3.1 cho trường hợp hàm mật độ hàm bị chặn: Định lí 3.2 Giả sử   C      f  L    Khi đó, U   , , f  hàm đa điều hòa bị chặn  nghiệm toán Dirichlet u  PSH     L    ,  n  c n  dd u   f   ,  u  z           lim z   3.1 60 Chứng minh Lấy  f  dãy hàm liên tục  hội tụ f L1    hầu khắp j nơi Từ Định lí 3.1, với j   , ta có nghiệm U j  PSH     C    cho  dd U  c j n  f j  n  U j     Đặt Vo :  U   , ,  V1 :  U   , , M  , M L  chặn f j Nguyên lí so sánh cho V1  U j  Vo , U j bị chặn Bằng cách trích đánh số lại, ta giả sử U j  hội tụ hầu khắp nơi    L    hàm bị chặn đa điều hòa U cho U   lim sup U j   j   Ta cần chứng minh U j  hội tụ U theo dung lượng Thật vậy, cố định tập compact K    ,   Khi đó, tồn tập mở G   cho Cap  G    tất hàm U j , U liên tục   G , tính chất tựa liên tục Bổ đề Hartogs cho lim sup max U j  U   , j K G U j  U  2   G với j  đủ lớn Ta suy   lim Cap  U j  U  2   j Mặt khác, từ Bổ đề 3.3 phía dưới, ta có với j   ,   Cap  U  U j  2     n   dd U  c U U j  2   M   n 1  U  U  j   n j  n Vế phải hội tụ U j  U L1    ,   lim Cap  U  U j  2   j Như ta có điều phải chứng minh U j  hội tụ U theo dung lượng 61  Ta kết luận dd cU j  n   dd cU   dd cU   f  n theo nghĩa yếu  n n Vì V1  U  Vo nên Định lí 3.1 cho U tiến  biên  Nguyên lí so sánh bảo đảm U  U   ,  , f  nghiệm toán Dirichlet  3.1  Bây giờ, ta trình bày bổ đề sau sử dụng chứng minh Bổ đề 3.3 Giả sử u , v hàm đa điều hòa bị chặn cho u  v   Khi đó, với s , t  , t n Cap  u  v   s  t     dd u  c n u v   s Chứng minh Cố định w  PSH    cho 1  w  s , t  Khi u  v  s  t  u  v  s  tw  u  v  s   Nguyên lí so sánh cho tn   dd w   c n  u  v  s t   dd  v  s  tw   c n u  v  s tw    dd u   c n u  v  s tw    dd u   c n u  v  s Ta có điều phải chứng minh lấy sup hai vế theo tất w  Khi hàm mật độ f thuộc L1loc    , ta tồn nghiệm dẫn đến tồn nghiệm: Hệ 3.4 Cố định   C     f  L1loc    Giả sử tồn v  PSH     L    cho v      dd c v   f  n theo nghĩa yếu Khi đó, bao Perron n – Bremermann U   ,  , f  nghiệm toán Dirichlet  3.1 62 Chứng minh Đặt f j :   f , j Khi đó,  f  dãy hàm mật độ bị chặn tăng đến j f L1loc    hầu khắp nơi Định lí 3.2 bảo đảm tồn hàm U j  PSH     L    cho  dd U  c n j  f j  n  U j     Ta đặt u :  U   ,  ,0  Nguyên lí so sánh cho U j  U j 1  u , U j  bị chặn  Vì U j  khơng giảm nên hội tụ hàm đa điều hòa bị chặn U  cho U1  U  u Tính liên tục toán tử phức Monge – Ampère với dãy giảm bảo đảm  dd U  c n  f  n Theo nguyên lí so sánh, ta suy U  U   ,  , f  nghiệm toán Dirichlet  3.1  Lưu ý 3.5 Kết Cegrell Sadullaev 9 , tác giả đưa ví dụ hàm mật độ  f  L1    mà tốn Dirichlet  3.1 khơng có nghiệm đa điều hịa bị chặn Khi  f  Lp    , p  , Kolodziej chứng minh 17  tốn  3.1 có nghiệm liên tục Trường hợp p  chứng minh trước Cegrell Person 8 Q trình qt sử dụng Định lí 3.2 hoàn toàn cổ điển lý thuyết vị Nó khái quát sau: Hệ 3.6 Cho B   cầu  f  L1  B  Cố định u  PSH     Lloc     cho dd cu  n  f  n B Tồn u  PSH     Lloc    cho  u  u   B , u  u B dd c u  n  f  n B Nếu f  C  B  63 u  C  B  u  C  B  Chứng minh Lấy  j  dãy hàm liên tục giảm, hội tụ u B Áp dụng Định lí 3.2, ta tìm U j  PSH  B   L  B   dd U  c n j cho U j   j B  f  n B Nguyên lí so sánh bảo đảm u  U j  U j 1 B Do U j  hội tụ  hàm U đa điều hòa B cho u  U  U j dd cU  n  f  n B Hơn nữa, U *   :  lim sup U  z   lim sup U j  z    j   B  z  B  z  với   B , U     u   B Hàm u định nghĩa u  u   B u  U B , đa  điều hịa  có tất tính chất u cầu 3.3 Đánh giá tính ổn định Chúng ta giải vấn đề sau đây: f1 f (tương ứng với 1 2 ) gần (theo nghĩa thích hợp), liệu có suy U   , 1 , f1  U   , , f  có gần khơng? Mệnh đề 3.7 Cố định 1 ,   C     f1 , f  C    Khi đó, nghiệm U1  U   , 1 , f1  U  U   , 2 , f  thỏa mãn U1  U  L  R f1  f   n L     1   R :  diam    Đặc biệt,   C     f  C    L     ,  3.2  64 U   , , f  L     R2 f L      L      3.3 Chứng minh Với zo   R  cho B  zo , R    , ta đặt v1  z   f1  f n L     zz o   R2  U  z  , v2  z   U1  z   1  2 L     Ta thấy v1 , v2  PSH     C    , v1  v2    dd c v1    dd c v2   n n Do theo nguyên lí so sánh, v1  v2  Hệ U  U1  R f1  f n L     1   L     Bất đẳng thức  3.2  tạo thành đảo vai trò U1 U  Đánh giá tính ổn định toán tử U  : C      L     PSH     L     , f   U   ,  , f  liên tục với tôpô tương ứng Ở đây, L    kí hiệu tập hợp tất hàm mật độ đo không âm bị chặn  Lưu ý 3.8 Các đánh giá tính ổn định tốt thiết lập Cegrell Person 8 f  L2    , Kolodziej 17  f  Lp    , p  3.4 Vế phải tổng quát Bây cho vế phải phụ thuộc vào hàm chưa biết cần tìm, theo Cegrell  7 Đặc biệt hơn, ta xét toán Dirichlet: 65 u  PSH     L    ,  n  c u n  dd u   e f   ,  u  z          ,  lim z   3.4    C      f  L    Lớp    , , f  nghiệm toán Dirichlet tập hợp hàm w  PSH     L    cho w      dd c w   e w f  n  Bao n tương ứng W   ,  , f   W  z  :  sup w  z  : w     ,  , f  Định lí 3.9 Cố định   C      f  L    Khi đó, W   ,  , f  nghiệm toán Dirichlet  3.4  Chứng minh Ta ln giả sử     Lấy  hàm xác định cho  uo :  U   ,  ,  Hàm vo :  A  uo nghiệm toán Dirichlet  3.4   ta chọn A  đủ lớn cho An dd c   n  f  n  Do    , , f  không rỗng Ta chứng minh bao W   ,  , f  nghiệm cách sử dụng Định lí 3.2 áp dụng Định lí điểm bất động Schauder Đặt  :  w  PSH     L    : vo  w  uo  Ta thấy  tập compact lồi L1    Từ Định lí 3.2 suy với w   tồn hàm v  S  w   PSH     L    cho v      dd v  c  Ta thấy dd c v  n n  e w f  n   f  n   dd c vo  với w  Vì v  vo  uo   nên n 66 nguyên lí so sánh cho vo  v  uo  , S  w    Ta có tốn tử S :    liên tục L1  tôpô Thật vậy, giả sử  w j     hội tụ w   L1    đặt v j :  S  w j  Bằng cách trích đánh số lại, ta giả sử v j  v  w j  w hầu khắp nơi Dãy  dd v  c n j v  j hội tụ v theo dung lượng Thật vậy, cố định   Vì  e j f  n w j  nên Bổ đề 3.3 cho với j   , w   Cap  v  v j  2     n    dd v  c v v j     n 1 f n j L     v  v   j   n Vế phải hội tụ v j  v L1    , thỏa mãn yêu cầu đặt Ta suy  dd v  c j n   dd c v  theo nghĩa yếu  n Mặt khác,  w j  bị chặn  e j f  e w f L1    , w  dd v  c n  e w f  n Vì vo  v  uo  nên v     Nguyên lí so sánh cho v  S  w  Khi S  w j   S  w  L1    , S :    liên tục Định lí điểm bất động Schauder bảo đảm S có điểm bất động w   , nghĩa w nghiệm toán Dirichlet  3.4  Tính nghiệm tốn Dirichlet  3.4  hệ bổ đề Nó bảo đảm w  W   ,  , f  Bổ đề 3.10  Giả sử  f1  f w1 , w2  PSH     L    cho dd c w1  dd c w2  n  n  e w1 f1   e w2 f   Khi đó, w2  w1   w2  w1  Chứng minh 67 Từ f1  f , ta có  w1  w2  e w2 f1  n   w1  w2  e w2 f  n    dd c w1  w2  w2  n Nguyên lí so sánh cho   dd w   c w1  w2 Do  w1  w2  e w2 f1  n   w1  w2  n    dd w   c w1  w2 n   w1  w2  e w1 f1  n e w1 f1  n Khi  e w1  w2  w2   e w1 f1  n   ew  ew   w1  w2  hầu khắp nơi với 1 :  f1  n  Vì dd c w1  n  1 nên suy w2  w1 hầu khắp nơi  với  dd c w1  Nguyên lí trội cho w2  w1 nơi  3.5 n  Các kết khác Để đầy đủ, ta đề cập số kết quan trọng khơng chứng minh Định lí 3.11 (Krylov) Cho    n miền giả lồi ngặt trơn bị chặn cố định   C 3,1     Khi đó, nghiệm đa điều hòa U  U   , ,  phương trình Monge – Ampère phức  với giá trị biên  hàm C 1,1  trơn  Kết (cùng với nhiều kết khác tính quy) đưa Krylov phương pháp xác suất loạt báo (xem 18 ) Ta tham khảo giảng Delarue 10 để có tổng quan kĩ thuật Định lí 3.12 (Caffarelli – Kohn – Nirenberg – Spruck) Cho    n miền giả lồi ngặt trơn bị chặn cố định   C      Nếu hàm mật độ f trơn dương ngặt  , nghiệm U  U  ,  , f trơn đến biên 68 Kết (cùng với nhiều kết khác) nhận Caffarelli, Kohn, Nirenberg Spruck  6 Ta tham khảo giảng Boucksom  4 để có trình bày cập nhật 69 KẾT LUẬN Thơng qua luận văn này, tơi tìm hiểu trình bày lại kiến thức liên quan đến số toán Dirichlet khác toán tử Monge – Ampère phức  n Cụ thể, luận văn đạt số kết sau: - Hệ thống lại kiến thức lý thuyết hàm nhiều biến phức lý thuyết đa vị liên quan đến vấn đề nghiên cứu - Trình bày tìm hiểu bước đầu việc mở rộng toán Dirichlet qua việc mở rộng toán tử Laplace thành toán tử Monge – Ampère, xem xét hàm mật độ tổng quát cho phép vế phải phụ thuộc vào hàm chưa biết - Trình bày phương pháp xây dựng bao Perron – Bremermann, liên tục đến biên (với số điều kiện định) chứng minh nghiệm cực đại toán Dirichlet tốn tử Monge – Ampère - Trình bày việc giải tốn Dirichlet phương trình Laplace sử dụng để nhận mơ tả có ích hàm điều hòa dưới, đa điều hòa - Trình bày tìm hiểu bước đầu kĩ thuật quét cổ điển, kĩ thuật xấp xỉ để tìm nghiệm tốn Dirichlet Đây đề tài nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Nếu có điều kiện, tơi tiếp tục tìm hiểu toán Dirichlet mở rộng nêu Mục 3.5 Luận văn chắn tránh khỏi sai sót Kính mong q thầy cơ, bạn học viên, người quan tâm đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt 1 Nguyễn Quang Diệu – Lê Mậu Hải, Cơ sở lí thuyết đa vị, Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội, 2013 Tài liệu Tiếng Anh, Pháp  2 E Bedford and B A Taylor, The Dirichlet problem for a complex Monge – Ampère equation, Invent Math., 37(1) (1976), – 44 3 Z Blocki, The complex Monge – Ampère operator in hyperconvex domains, Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci., 23(4) (1996), 721 – 747  4 S Boucksom, Monge – Ampère equations on complex manifolds with boundary Complex Monge – Ampère equations and geodesics in the space  er metrics, Lecture Notes in Math., 2038, Springer, Heidelberg, of Kahl 2012, 257 – 282 5 H Bremermann, On a generalized Dirichlet problem for plurisubharmonic functions and pseudo – convex domains Characterization of Silov boundaries, Trans Amer Math Soc., 91 (1959), 246 – 276  6 L Caffarelli, J J Kohn, L Nirenberg, and J Spruck, The Dirichlet problem for nonlinear second – order elliptic equations II Complex Monge – Ampère, and uniformly elliptic equation, Comm Pure Appl Math., 38(2) (1985), 209 – 252 7 U Cegrell, On the Dirichlet problem for the complex Monge – Ampère operation, Math Z., 185(2) (1984), 247 – 251  8 U Cegrell and L Persson, The Dirichlet problem for the complex Monge – Ampère operator: stability in L , Michigan Math J., 39(1) (1992), 145 – 151 71 9 U Cegrell and A Sadullaev, Approximation of plurisubharmonic functions and the Dirichlet problem for the complex Monge – Ampère operator, Math Scand., 71(1) (1992), 62 – 68 10 F Delarue, Probabilistic approach to regularity Complex Monge – Ampère  er Metrics, Leture Notes in Equations and Geodesics in the Space of Kahl Math., 2038, Springer, Heidelberg, 2012, 55 – 198 11 B Gaveau, Méthodes de contrôle optimal en analyse complexe I Résolution de Monge – Ampère, J Func Anal., 25(4) (1977), 391 – 411 12 V Guedj and A Zeriahi, Degenerate complex Monge – Ampère equations, EMS, Tracts in Mathematics 26, 2017 13  V Guedj S Kolodziej, and A Zeriahi, Holder continuous solutions to Monge – Ampère equations, Bull Lond Math Soc, 40 (2018), 1070 – 1080 14  L.Hormander, The Analysis of Linear Partial Differential Operator I, Springer – Verlag, Berlin Heidelberg Newyork Tokyo, 1983 15  L.Hormander, Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North Holland, Amsterdam, 1973 16 M Klimek, Pluripotential Theory, London Mathematical Society Monographs 6, Oxford University Press, New York, 1991 17  S Kolodziej, The complex Monge – Ampère equation, Acta Math., 180(1) (1998), 69 – 117 18 N V Krylov, Smoothness of the payoff function for a controllable diffusion process in a domain (Russian), Izv Akad Nauk SSSR Ser Math., 53(1) (1989), 66 – 96 English translation in Math USSR – Izv., 34(1) (1990), 65 – 95 19 R Walsh, Continuity of envelopes of plurisubharmonic functions, J Math Mech., 18 (1969), 143 – 148