Toán tử monge ampere trong lý thuyết đa thế vị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Mai Vi TỐN TỬ MONGE – AMPÈRE TRONG LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Mai Vi TOÁN TỬ MONGE – AMPÈRE TRONG LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: GITI – 19 – 006 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2021 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Văn Đơng Tơi xin trân trọng cảm ơn Thầy tận tình giúp đỡ, định hướng cách tư cách làm việc khoa học Đó góp ý quý báu khơng q trình thực luận văn mà cịn hành trang tiếp bước cho tơi trình học tập lập nghiệp sau Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán – tin Thầy, Cô trường Đại học Sư phạm Tp.HCM tận tình giảng dạy cho tơi thời gian học tập tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình nghiên cứu, hồn thành luận văn Do giới hạn kiến thức khả lý luận thân cịn nhiều thiếu sót hạn chế, kính mong dẫn đóng góp Thầy, Cơ để luận văn tơi hồn thiện Xin chân thành cảm ơn Tháng năm 2021 Tác giả Một số ký hiệu sử dụng luận văn dV  dx1  dxN Ic N dạng thể tích tắc phần bù I [1, N ] Np ( ) không gian dạng thử bậc N  p   ( ) khơng gian dịng bậc p Np D p , p ( ) không gian dạng thử có song bậc ( p, p) Dp , p () khơng gian dịng song bậc (n  p, n  p) (hay song chiều ( p, p) )  pV  không gian p  dạng  p,qV  :  pV   qV  không gian ( p, q)  dạng vi phân phức V  :  p ,qV  đại số dạng vi phân phức  S ,  tác động dòng S lên dạng thử  S  tích ngồi dịng S dạng  supp , suppS giá hàm  dòng S Tx n  tuyến tính thay phiên khơng gian tiếp xúc phức n x A phép đẩy tới ứng với ánh xạ A PSH    tập hợp hàm đa điều hòa  PSH     tập hợp hàm đa điều hòa âm  Lp U  không gian Lebesgue cấp p ( p  ) tập mở U   Lp U    f : U   p Lloc U  U p :  dV     không gian Lebesgue địa phương cấp p ( p  ) tập mở U   p Lloc U    f : U    : x U , Vx  U :  f  p Lloc U    f : U   L U  : f n Vx : K U, f K p p   dV    hay    dV     không gian hàm đo bị chặn hầu khắp nơi tập mở U  n n LỜI CẢM ƠN Một số ký hiệu sử dụng luận văn LỜI MỞ ĐẦU Chương Các kiến thức chuẩn bị 10 0.1 Phân bố số kết phân bố 10 0.1.1 Phân bố 10 0.1.2 Độ đo 11 0.2 Dạng vi phân dòng 14 0.2.1 Dạng vi phân 14 0.2.2 Dòng 17 0.3 Hàm nửa liên tục 20 0.4 Hàm điều hòa – đa điều hòa 21 0.4.1 Hàm điều hòa 21 0.4.2 Hàm đa điều hòa 22 Chương Dịng dương đóng 24 1.1 Dòng theo nghĩa de Rham 24 1.1.1 Dạng vi phân với hệ số phân bố 24 1.1.2 Dịng đóng 25 1.1.3 Dòng song bậc 27 1.2 Dòng dương 29 1.2.1 Dạng dương 30 1.2.2 Dòng dương 34 1.2.3 Một số ví dụ dịng dương 38 Chương Toán tử Monge-Ampère phức 40 2.1 Dòng kiểu Monge – Ampère 41 2.1.1 Định nghĩa 41 2.1.2 Ngun lí địa phương hóa 46 2.2 Độ đo Monge-Ampère phức 49 2.2.1 Bất đẳng thức Chern – Levine – Nirenberg (CLN) 50 2.2.2 Tính đối xứng tốn tử Monge – Ampère 53 2.2.3 Tính khả tích độ đo Monge-Ampère 55 2.2.4 Các kì dị compact 58 Chương Tính liên tục tốn tử Monge-Ampère phức 60 3.1 Sự liên tục toán tử Monge-Ampère phức 60 3.1.1 Sự liên tục với dãy giảm 60 3.1.2 Sự liên tục với dãy tăng 65 3.2 Nguyên lý cực đại 68 KẾT LUẬN 73 Tài liệu tham khảo 74 LỜI MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Các hàm đa điều hòa giới thiệu cách độc lập vào năm 1942 Pierre Lelong Pháp Kiyoshi Oka Nhật Oka sử dụng chúng để định nghĩa tập giả lồi giải toán Levi trường hợp số chiều Lelong thiết lập tính chất chúng đặt câu hỏi mà số chúng câu hỏi mở nhiều thập niên Các câu hỏi cuối giải Bedford Taylor hai báo [2],[3] đặt tảng cho lý thuyết toán học mà gọi lý thuyết đa vị Toán tử Monge-Ampère phức toán tử gắn hàm đa điều hịa cho với độ đo Radon khơng âm Lý thuyết toán tử Monge-Ampère phức phát triển E.Bedford B.A.Taylor năm 70 80 Dựa nghiệm toán Dirichlet tác giả đưa kết quan trọng liên quan đến toán tử Toán tử Monge-Ampère phức tập siêu lồi n giữ vai trò quan trọng phần chung giải tích phức hình học vi phân, quan tâm nhiều nhà tốn học giới Việc tìm hiểu tốn tử Monge-Ampère phức giúp tơi tìm hiểu sâu kiến thức phương trình vi phân, lý thuyết đa vị, hình học giải tích phức.Từ lý trên, tơi định chọn đề tài “Tốn tử Monge-Ampère phức lý thuyết đa vị” MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Trong luận văn chúng tơi giải thích cách định nghĩa toán tử Monge-Ampère phức tác động lên hàm đa điều hòa bị chặn địa phương theo cơng trình Bedford Taylor [2],[3] Trước tiên luận văn trình bày bất đẳng thức kiểu Chern–Levine–Nirenberg cho phép ta định nghĩa dòng khác kiểu Monge–Ampère Các bất đẳng thức cuối dẫn đến định nghĩa toán tử Monge-Ampère phức hàm đa điều hòa bị chặn Tiếp theo luận văn toán tử Monge-Ampère phức liên tục theo dãy đơn điệu Cuối luận văn trình bày lập nguyên lý cực đại khác (nguyên lý so sánh nguyên lý trội) BỐ CỤC CỦA LUẬN VĂN: Nội dung luận văn gồm có Chương 0: trình bày kiến thức chuẩn bị giải tích phức, đa vị có liên quan phục vụ cho chương Chương 1: trình bày định nghĩa kiến thức dịng dương đóng Chương 2: trình bày định nghĩa tốn tử Monge-Ampère phức dựa dịng dương đóng số kết quan trọng Ngun lý địa phương hóa, Cơng thức tích phân phần Bất đẳng thức Chern – Levine – Nirenberg Chương 3: trình bày tính liên tục toán tử Monge-Ampère phức Nguyên lý cực đại Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nội dung trọng tâm trình bày kiến thức phân bố dạng vi phân, cần thiết cho việc xây dựng kiến thức dòng, đặc biệt dịng dương đóng chương sau Ngồi ra, nhắc lại số kiến thức sử dụng xuyên suốt luận văn hàm đa điều hòa dưới, hàm nửa liên tục Tài liệu tham khảo chương [1], [9] 0.1 Phân bố số kết phân bố 0.1.1 Phân bố Định nghĩa 0.1.1 Giả sử U  n tập mở Một phân bố U dạng tuyến tính liên tục D U  Ta kí hiệu tập phân bố U D ' U  Ta có kết sau Định lí 0.1.2 Giả sử u dạng tuyến tính D U  Khi u phân bố U U tồn k  c  cho   D U  , supp   K với K u    c  D   k Ở D  K  K   sup D   x  : x  K Ví dụ 0.1.3 (i) Giả sử U  n tập mở f  C U  Khi f xác định phân bố u f   D U   ' cho bởi: 10   u1j  dd cuoj B   uoj B  dd u c 1i  q  dd u c 2i  q j i j i  T   nq  p  T   nq  p Ở dùng tính đối xứng tích ngồi (Hệ 2.12)  Do độ đo dương uoj   dd u c j i 1i  q  T   nq  p hội tụ yếu tới    nq p , từ tính nửa liên tục dưới, ta có: liminf   uoj   dd cuij  T   n q  p      n q  p j  1i  q B B Suy  u  dd u c o B 1i  q i  T   nq  p      nq  p B S Dẫn đến u S   nq  p o      nq  p B B Như uo S   uo S      uo S Do    u S o  Vậy ta chứng minh dãy  uoj S j  hội tụ yếu tới dịng  Ví dụ 3.2 Nhận xét  : z  Lipschitz đa điều hòa   max log  z j /  j  n  n n hàm liên tục  Độ đo Monge – Ampere dd c với độ đo chuẩn hóa Lesbegue  n hình xuyến 62  n trùng  n   z  C n \ z1  z2   zn  1 Hệ 3.3 Nếu u, v hàm đa điều hòa bị chặn địa phương n n n n j c dd u  v       j  (dd cu j )   dd cv  j 0   Chứng minh Cơng thức hồn tồn rõ ràng u, v trơn Trường hợp tổng quát chứng minh cách xấp xỉ dãy giảm trơn Mệnh đề 3.4 Cố định u , v, w  PSH     L    cho lim  w  z   v  z    Khi đó, z    w  v   dd u    n  1!M   w  v   dd v  n 1 c n  n 1 n 1  c n   đó, M  sup u  inf u  w  v   sup w  v;0   Chứng minh Khơng tính tổng quát, ta giả sử sup u  Nhận xét với    hàm số w : sup v, w    bị chặn hàm đa điều hòa  cho w tăng sup v, w  giảm w  v gần  Do định lí hội tụ đơn điệu, ta giả sử w  v  Đặt h :  w  v   cố định tập compact K   cho h   \ K Xét xấp xỉ trơn h  h   h Những hàm trơn lân cận  '' K với giá compact   lân cận K K Từ định nghĩa dd cu  T  dd c  uT  có  h dd u  T   udd h p  c c  '' Mặt khác, p  63 p T dd c hp  php 1dd c h  p  p  1 hp 2 dh  d c h  php 1dd c h Do u  PSH     Lloc    , ta có: udd c hp  puhp 1dd c h  h dd u  T   puh p p 1 c  '' dd c h  T  ''  pM  hp 1 (dd c h )  T  ''  pM  hp 1dd c v  T  '' Bất đẳng thức cuối suy từ nhận xét sau: h  max w  v;0  max w, v  v dd c h  dd cv Chúng ta dùng lập luận  n  1 lần nhận  h  dd u    n  1!M  h  dd v  n 1 c n n 1  '' c n  '' Do h  sup w, v  v ta có h   sup w, v   v hiệu số dãy giảm hàm đa điều hịa dưới, ta sử dụng tính liên tục toán tử Monge-Ampère với dãy giảm áp dụng định lí hội tụ Lesbegue để nhận n 1 c n 1 c  h  dd u    n  1!M  h  dd v  n  ''  '' Mệnh đề chứng minh xong 64 n 3.1.2 Sự liên tục với dãy tăng Trong phần này, chứng minh toán tử Monge-Ampère phức liên tục dãy tăng Để đạt mục đích ta cần kết sau,Chứng minh bổ đề tham khảo [ ] Bổ đề 3.5 Cho 𝒫 họ hàm đa điều hòa dưới, bị chặn địa phương Ký hiệu 𝒯 tập hợp dòng có dạng T   dd u , u , , u c 1i  p i n  𝒫 Nếu T j  dãy dòng 𝒯, hội tụ yếu dòng T 𝒯 với hàm jN đa điều hịa dưới, bị chặn địa phương f , dòng fT j hội tụ yếu fT Định lí 3.6 Cho  uoj  , ,  uqj  dãy hàm đa điều hòa dưới, bị chặn địa phương tăng hkn tới uo , , uq  PSH    Lloc    Khi đó: uoj dd cu1j   dd cuqj  uo dd cu1   dd cuq Chứng minh Ta chứng minh cách tiến hành qui nạp q Trường hợp q  , uoj dd cuoj  uo dd cuo suy từ định lí hội tụ đơn điệu Giả sử định lí với q  , nghĩa là: uoj dd cu1j   dd cuqj1  uo dd cu1   dd cuq 1 Ta cần chứng minh định lý với q 65 Do tính liên tục dd c giả thiết  uoj  , ,  uqj  tăng hkn tới uo , , uq  PSH    Lloc    , ta suy dòng S j  dd cu1j   dd cuqj hội tụ dòng S  dd cu1   dd cuq Bất đẳng thức Chern – Levine – Nirenberg bảo đảm dòng  uoj S j  tạo thành dãy compact tương đối Chúng ta cần có điểm giới hạn nhất, Bằng cách trích đánh số lại ta cần uoj S j   yếu   uo S  Do vấn đề có tính địa phương, ta cần chứng minh hội tụ cầu B  B  a; r    Chúng ta điều chỉnh hàm số lân cận B Tất   chúng trùng với   z   A z  a  R gần B , A  số khơng đổi Do  uoj  tăng nên uoj S j  uo S j Do đó, áp dụng tính nửa liên tục trên, ta có:   u0 S Bây giờ, ta   u0 S cách chứng minh      u0 S   nq nq B B Thật vậy, với j  k  , theo cơng thức tích phân phần u S j o j   nq   uok B B  dd u c j i 1i  q   nq Theo giả thiết quy nạp Bổ đề 3.5, ta có: liminf  uoj S j   nq   uok j B B  dd u   c 1i  q i nq   u1 dd cuok B  dd u   c i 2i  q n q Áp dụng Bổ đề 3.5 định lí Stokes lần nữa, ta có: lim  u1dd cuok k B  dd u c 2i  q i   nq   u1dd cuo B Do 66  dd u c 2i  q i   n q   u0  dd cui   n q B 1i  q liminf  uoj S j   nq   uo  dd cui   n q j  B B 1i  q S Suy lim inf  uoj S j   n  q   uo S   n  q j  B B Dẫn đến   uo S Như vậy, ta chứng minh   u0 S Hệ 3.7 Lấy V j  hàm đa điều hòa tăng hkn tới V  PSH    Khi đó, tập ngoại lệ   N  sup V j  V   j  có độ đo khơng độ đo Monge-Ampère dạng dd cu1   dd cun , u1 , , un  PSH    L    Chứng minh Đặt Vs  sup V , s V j ,s  sup V j , s nhận xét N   N s với N s  supV j ,s  Vs  sQ  j  Theo tính chất cộng tính độ đo Borel, giả sử tất hàm V  bị chặn địa phương j Đặt W  sup V j , W hàm Borel bị chặn địa phương cho W  V , j với đẳng thức xảy hầu khắp nơi Một lần tính chất cộng tính, ta cần chứng minh 67  dd cu1   dd cun  K N với K   tập compact Chọn hàm cutoff (chặt cụt) không âm  cho   gần K Ta có:  Wdd u c    dd cun  lim  V j dd cu1   dd cun   Vdd cu1   dd cun j   Suy điều phải chứng minh W  V 3.2 Nguyên lý cực đại Mục trình bày nguyên lý cực đại khác (nguyên lý so sánh, nguyên lý trội) Nguyên lí so sánh công cụ hiệu lý thuyết đa vị Nó phiên khơng tuyến tính ngun lí cực đại cổ điển Chúng ta bắt đầu với nguyên lý cực đại địa phương Định lí 3.8 Đặt T  dd c w1   dd c wn p , với  p  n  wi  PSH    Khi đó, với u , v  PSH    Lloc    Lloc    , ta có: 1u v  dd c max u, v  T  1u v  dd cu   T p p theo nghĩa độ đo Borel  Chứng minh Đặt D  u  v Nếu u liên tục, D tập mở  max u, v  u D,  dd c max u, v  T   dd cu   T p 68 p Bây giờ, ta xem xét trường hợp tổng quát Lấy  u j  dãy hàm đa điều hòa liên tục, giảm u Do vấn đề mang tính chất địa phương, giả sử  cầu hàm bị chặn đa điều hòa lân cận cố định  Chúng ta biết  1u v dd c max u j , v j  p  T  1u v  dd cu j   T j p Đặt f j   u j  v  , f   u  v  Đẳng thức cho  f j dd c max u j , v  p  T  f j  dd cu j   T p theo nghĩa yếu độ đo    Nhận xét f j  max u j , v  v , f  max u, v  v dãy max u j , v j  giảm max u, v Từ Định lí 3.1 ta có: f  dd c max u, v  T  f  dd cu   T p p độ đo Borel  Cố định   , p p f f dd c max u , v   T  dd cu   T   f  f  Bây giờ, cho  giảm 0, quan sát thấy f tăng Ta có điều phải chứng minh f  Hệ 3.9 Với giả thiết tương tự Định lí 3.8,  dd c max u, v  T  1uv  dd cu   T  1uv  dd cv   T p p độ đo Borel  69 p Định lý 3.10 (Nguyên lý so sánh) Giả sử u , v  PSH    L    cho lim inf  u  z   v  z    Khi đó, z    dd v  c n   dd u   u v c n u v Chứng minh Với giả thiết cho, ta tìm tập compact K     nhỏ tùy ý cho sup u, v     u  \ K Cố định miền  ' cho K  '  Khi đó:   dd c sup u , v      n '   dd u  c n (3.2.1) '    Thật vậy, đặt w : sup u, v    nhận xét dd c w  dd cu  S  w dd c w  n 1  u  dd cu  n 1 n  n  dd c S , dòng song chiều (1;1) Do w  u  \ K , ta có: S  giá dịng S chứa K Chọn hàm thử trơn   ' cho   lân cận K Khi đó:  dd S    dd S   S  dd c c ' ' c   dd c   ' giá S Suy ra:  dd ' c  w  dd c w n 1  u  dd cu n 1       dd c w  dd c w  n 1 '    dd w  c ' n    dd cu  dd cu  '   dd u  c ' 70 n n 1 Vậy ta chứng minh (3.2.1) Áp dụng Định lý 3.8 (3.2.1)  ' , ta có:    dd v  c n    dd  u v   sup u, v    c u v     dd  c sup u, v       dd u  c n   dd u  c c u v  n u v   c sup u, v    sup u, v      dd u    c n n n u v  '    dd   '     dd n '  n   dd u   c n  u v    dd u    c n u v Ta có điều phải chứng minh cho  giảm Bây ta suy nguyên lý cực đại toàn cục Hệ 3.11 Giả sử u , v  PSH    L    cho lim inf  u  z   v  z    Nếu z   dd u    dd v  v  u  c n c n Chứng minh Với   , ta đặt v : v   , với   z  : z  R chọn cho    Khi đó, u  v   u  v  Áp dụng nguyên lý so sánh, ta có:   dd v  c n  u v    dd u  c u v  Từ Hệ 3.3, ta có: 71 n n n j n j n n c c   dd v  dd v         dd cv    dd c      j 0  j  n j n j n      dd c v    n j  dd c   j 0  j  Suy ra:  dd v    dd v  n c Do    dd     c c n n   n  dd c     dd cu    n  dd c   n n u  v   Suy tập n có độ đo Lesbegue Do u v u  v      u  v1  , ta suy tập u  v có độ đo Lebesgue j 1    j Áp dụng bất đẳng thức giá trị trung bình suy v  u  Bây ta chứng minh nguyên lí trội Hệ 3.12 (Nguyên lý trội) Cố định u , v  PSH    L    cho v  u    n Giả sử v  u hầu khắp nơi  độ đo dd cu Khi v  u  Chứng minh Với   , ta đặt v  v   , với   z   z  R chọn cho    Khi đó, u  v   u  v  Theo nguyên lý so sánh, ta có:   dd v  c u v  n    dd u  c n  u v   Chứng minh tương tự Hệ 3.11, ta có: dd c v   dd u  c n 0 u v  n   n  dd c   n Tập u  v  tích  , rỗng bất đẳng thức giá trị trung bình Do đó, u  v rỗng Suy v  u  72 KẾT LUẬN Trong trình thực luận văn, tơi tìm hiểu + Khái niệm toán tử Monge-Ampère phức: Việc thiết lâp bất đẳng thức ChernLevine-Nirenberg cho phép ta định nghĩa dòng kiểu Monge-Ampère Các bất đẳng thức dẫn đến định nghĩa toán tử Monge-Ampère phức hàm đa điều hịa bị chặn Q trình chứng minh định nghĩa tốt đòi hỏi phải kiểm tra tinh đối xứng tốn tử, tính khả tích độ đo Monge-Ampère phức, đồng thời độ đo MongeAmpère phức xác định với hàm đa điều hòa có kỳ dị compact + Tính chất liên tục toán tử Monge-Ampère phức theo dãy đơn điệu Một áp dụng tính chất để chứng minh nguyên lý cực đại, công cụ hiệu lý thuyết đa vị + Khái niệm tính chất dịng dương Đây kiến thức để xây dựng dòng kiểu Monge-Ampère, đặc biệt dòng song bậc (1,1) hàm đa điều hòa Lĩnh vực đề tài nghiên cứu không cịn nhiều khía cạnh thú vị để tìm hiểu như: Sự mở rộng toán tử Monge-Ampère phức lên lớp hàm đa điều hịa có lượng hữu hạn không thiết bị chặn; tồn nghiệm phương trình Monge – Ampère phức … Trong trình thực luận văn khó tránh khỏi sai sót, mong nhận bảo quý Thầy Cô bạn 73 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Quang Diệu – Lê Mậu Hải, Cơ sở lí thuyết đa vị, Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà nội, 2013 Tài liệu tiếng Anh [2] E Bedford, B A Taylor, The Dirichlet problem for a complex Monge-Ampère equation, Invent Math [37], no (1976), 1-44 [3] E Bedford, B A Taylor, A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math 149, no 1-2 (1982), 1-40 [4] U Cegrell, The general definition of the complex Monge–Ampère operator Ann Inst Fourier (Grenoble), 54(1), 2004, 159–179 [5] S S Chern, H Levine, and L Nirenberg, Intrinsic norms on a complex manifold Global Analysis (Papers in Honor of K Kodaira), Univ Tokyo Press, Tokyo, 1969, 119– 139 [6] E Cirka, Complex Analytic Sets Mathematics and its Applications (Soviet Series), 46, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1989 [7] J.P, Demailly, Complex analytic and differential geometry, Université de Grenoble I Institut Fourier, France 2007 [8] V Guedj and A Zeriahi, Degenerate complex Monge-Ampère equations, EMS, Tracts in Mathematics 26, 2017 s [9] M Klimek, Pluripotential Theory London Mathematical Society Monographs 6, Oxford University Press, New York, 1991 [10] P Lelong, Intégration sur un ensemble analytique complexe Bull Soc Math.France, 85 (1957), 239–262 [11] P Lelong, Fonctionnelles Analytiques et Fonctions Entières (n Variables) Séminaire de Math Supérieure, 6eme session, été 1967, Presses Univ de Montreal, Montreal, 1968 [12] P Lelong, Plurisubharmonic Functions and Positive Differential Forms Gordon and Breach, New-York, 1969 74 75 76