(Luận văn) nguyên lý so sánh đối với toán tử monge ampère phức trong các lớp cegrell

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  ĐẶNG VĂN THẮNG lu an n va p ie gh tn to NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP CEGRELL d oa nl w ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN – 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  ĐẶNG VĂN THẮNG lu NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC TRONG CÁC LỚP CEGRELL an n va p ie gh tn to Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 oa nl w d LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2017 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả lu Đặng văn Thắng an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy lu tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học an n va Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Lương Tài – Bắc Ninh tn to đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tơi mặt q trình học tập ie gh hoàn thành luận văn p Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết nl w mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên d oa để luận văn hoàn chỉnh an lu Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi nf va thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn lm ul Tháng 04 năm 2017 z at nh oi Tác giả Đặng Văn Thắng z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU lu an Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn n va Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.2 Hàm cực trị tương đối ie gh tn to 1.1 Hàm đa điều hịa p 1.3 Tốn tử Monge-Ampère phức 12 nl w 1.4 Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 17 d oa Chương NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE- an lu AMPÈRE TRONG CÁC LỚP CEGRELL 17 nf va 2.1 Các lớp Cegrell 2.2 Sự hội tụ theo dung lượng 18 lm ul 2.3 Một vài định lý hội tụ 20 z at nh oi 2.4 Một vài tính chất lớp Cegrell ứng dụng KẾT LUẬN 28 41 z 42 m co l gm @ TÀI LIỆU THAM KHẢO an Lu n va ac th iii si MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán tử Monge-Ampère phức (dd c )n lớp hàm đa điều hòa bị chặn địa phương, khái niệm đóng vai trị quan trọng trung tâm lý thuyết đa vị E Bedford B.A Taylor [2] xây dựng từ năm 1982 Đồng thời tác giả thiết lập sử dụng nguyên lý so sánh để nghiên cứu toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức PSH ầ LƠ loc (W) Bi toỏn m rng miền xác định toán tử Monge-Ampère lu an nhận quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả Năm 1998, Cegrell [3] va n định nghĩa lớp lượng E0, F p , Ep tốn tử Monge-Ampère phức gh tn to hồn tồn xác định Năm 2004, Cegrell [4] định nghĩa lớp E, F p ie lớp E lớp hàm định nghĩa tự nhiên toán tử Monge-Ampère phức w (dd c )n Đó lớp hàm lớn tốn tử Monge – Ampère xác định, liên oa nl tục dãy giảm hàm đa điều hòa Các lớp gọi d lớp Cegrell Nghiên cứu lớp dẫn đến nhiều kết nguyên lý so lu nf va an sánh, giải toán Dirichlet [5] Nguyên lí so sánh cổ điển Bedford Taylor có ứng dụng việc giải tốn Dirichlet trường hợp n Gần lm ul đây, nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu nguyên lý so sánh trong z at nh oi số lớp tổng qt từ áp dụng việc giải tốn Dirichlet lớp tổng quát Theo hướng nghiên cứu này, chọn đề tài: “Nguyên lý so z sánh toán tử Monge-Ampère phức lớp Cegrell ” @ gm Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu l 2.1 Mục đích nghiên cứu m co Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại kết an Lu N.V Khue P.H Hiep ([8]) Nguyên lý so sánh toán tử MongeAmpère phức lớp Cegrell n va ac th si 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số kiến thức sở lý thuyết đa vị, nguyên lí so sánh lớp Cegrell vài áp dụng Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 42 trang, có phần Mở đầu, hai chương nội dung, phần Kết luận danh mục Tài liệu tham khảo, viết dựa tài liệu [1] [8] lu Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết số tính an chất hàm đa điều hồ dưới, hàm cực trị tương đối, tốn tử Monge-Ampère, va n nguyên lý so sánh Bedford-Taylor to tn Chương 2: Là nội dung luận văn Kết chương ie gh Định lý 2.4.2 vài nguyên lý so sánh kiểu Xing Trong Mục 2.1, chúng p nhắc lại số lớp Cegrell Trong Mục 2.2, nhắc lại khái niệm dung lương nl w hội tụ theo dung lượng Mục 2.3, trình bày nghiên cứu hội tụ d oa dãy hàm đa điều hòa theo C n - dung lượng Mục 2.4 tập trung an lu vào Định lý 2.4.2 2.4.9 Áp dụng Định lý 2.4.2, ta có vài kết nf va lớp Cegrell Trong Định lý 2.4.4, trình bày ước lượng địa phương lm ul độ đo Monge – Ampère theo nghĩa dung lượng tương đối Bedford-Taylor z at nh oi Trong phần áp dụng, Định lý 2.4.5 kết phân rã độ đo Monge – Ampère, tương tự Định lý 6.1 ([3]) Cuối từ Mệnh đề 2.3.3 Định lý 2.4.2, ta có nguyên lý so sánh kiểu Xing lớp F E z m co l gm @ Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt an Lu n va ac th si Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà Định nghĩa 1.1.1 Cho W tập m ca Ê n v u : Wđ ộ- Ơ , ¥ êë ) hàm nửa liên tục khơng trùng với - ¥ thành phần liên thông W Hàm u gọi đa điều hoà với a Î W lu b Î £ n , hàm l a u (a + l b) điều hoà trùng - ¥ thành an n va phần tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Ỵ W} p ie gh tn to Kí hiệu PSH (W) lớp tất hàm đa điều hoà W nl w Sau vài tính chất hàm đa điều hoà dưới: an lu u º v d oa Mệnh đề 1.1.2 Nếu u, v Ỵ PSH (W) u = v hầu khắp nơi W nf va Mệnh đề 1.1.3 Hàm đa điều hoà thoả mãn nguyên lý cực trị miền lm ul bị chặn, tức W tập mở liên thông bị chặn £ n z at nh oi u Ỵ PSH (W) u với z Ỵ W, u (z ) < sup lim sup u (y ) z wẻ ả W y đ w yẻ W gm @ co l Định lý 1.1.4 Cho W tập mở £ n Khi m i ) Họ PSH (W) nón lồi, tức a , b số không âm an Lu u, v Ỵ PSH (W) a u + b v Ỵ PSH (W) n va ac th si {u } ii ) Nếu W liên thông v j jẻ Ơ è PSH (W) l dóy gim u = lim u j Ỵ PSH (W) u - Ơ jđ Ơ iii ) Nu u : W® ¡ , {u j } Ì PSH (W) hội tụ tới u jẻ Ơ compact ca W thỡ u ẻ PSH (W) iv ) Giả sử {u a } Ì PSH (W) cho bao u = sup u a bị A A * chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u đa điều lu an hoà W n va tn to Mệnh đề 1.1.5 Giả sử WÌ £ n tập mở, w Ì W tập mở thực sự, khác ie gh rỗng W Giả sử u Ỵ PSH (W), v ẻ PSH ( w) v lim supx đ y v(x ) £ v(y ) p với y Ỵ ¶ w Ç W Khi w d oa nl ìï m ax{u, v } t rong w w = ïí ïï u W\ w ỵ an lu nf va hàm đa điều hoà W lm ul Chứng minh Rõ ràng w nửa liên tục trên W Chỉ cần chứng tỏ z at nh oi a Ỵ W, b Ỵ £ n cho {a+ l b, l £ r } Ì W 2p ị w(a + re z iq b)d q @ w(a ) £ 2p m an Lu {a+ l b, l £ r } Ì w co Với a Ỵ W, b Ỵ £ n , chọn r > đủ bé để l gm n va ac th si Khi 2p u (a ) £ u (a + re i qb)d q £ w(a ) £ ò 2p 2p v(a ) £ v(a + re i qb)d q £ w(a ) £ ị 2p Từ w(a ) £ 2p 2p w(a + re i qb)d q ò 2p 2p w(a + re i qb)d q ò 2p 2p ò w(a + re iq b)d q Chứng minh tương tự cho trường hợp a Ỵ W\ wW, WwW bao đóng lu w lấy W Chỉ cần xột trng hp a ẻ wW ầ W Khi ú w(a ) = u (a ) an va n Vậy 2p ò u(a + re b)d q £ w(a ) £ 2p iq 2p ò w(a + re iq b)d q p ie gh tn to w(a ) = u (a ) £ 2p mệnh đề chứng minh nl w W d oa Định lý 1.1.6 Cho W tập mở £ n lu nf va an i ) Cho u, v hàm đa điều hoà W v > Nếu f : ¡ ® ¡ lồi, vf (u / v ) đa điều hoà W lm ul ii ) Cho u Ỵ PSH (W) , v Ỵ PSH (W) , v > W Nếu f : ¡ ® ¡ lồi z at nh oi tăng dần vf (u / v ) đa điều hoà W iii ) Cho u, - v Ỵ PSH (W) , u ³ W, v > W Nếu Cho W tập mở W v Ỵ PSH (W) m } tập đóng £n co F = {z Ỵ W: v(z ) = - ¥ vf (u / v ) Ỵ PSH (W) l 1.1.7 ) lồi f (0) = gm lý é0, ¥ ëê @ Định )® z f : éêë0, ¥ an Lu Nếu u Ỵ PSH (W\ F ) bị chặn hàm u xác định n va ac th si Theo [4] ta có v *j ] v Ỵ F ii ) Theo Mệnh đề 3.1 [6] ta cú: ổ C n ỗỗ z Ỵ W: ( lim u j )*(z ) < - t ữ = C n {z ẻ W: v(z ) < - t } ữ jđ Ơ ố ứ { £ } 2n ò (dd cv )n W tn = A n c n A = ( dd v) , ị tn W iii ) Theo [2] ta có: lu an ìï ü ï ï C n í z Ỵ W: lim u j (z ) = - Ơ ùý = C n {z ẻ W: v * (z ) = - ¥ ïï ïï jđ Ơ ợ ỵ n va }= W tn to ie gh 2.4 Một vài tính chất lớp Cegrell ứng dụng p Bổ đề 2.4.1 Cho m độ đo Borel W f : W® ¡ hàm đo oa nl w W Khi khẳng định sau tương đương : d i ) m(E ) = với tập hợp Borel E Ì {f ¹ 0}, với tập hợp Borel E W nf va òE fdm = an lu ii ) ò fd m = ị E z at nh oi i ) Þ ii ) Suy từ lm ul Chứng minh fd m + E \ {f = 0} ò fd m = E Ç{f = 0} z gm @ ii ) Þ i ) Ta cần chứng minh m = X d = {f > d > 0} Theo Định co l lý phân hoạch Hahn, tồn tập đo X d+ X d- X d cho m X d = X d+ È X d- , X d+ Ç X d- = Ỉ m ³ X d+ , m £ X d- Ta có: an Lu n va ac th 28 si ò fd m = dm(X d+ ) £ 0, X d+ ò fd m = dm(X d- ) ³ X d- Từ m(X d+ ) = m(X d- ) = Do đó, ta có m = X d W Định lý 2.4.2 Cho u , u 1, , u n - Î E , v Î PSH - (W) lu T = dd cu1 Ù Ùdd cun - Khi an {u > v } = dd cu ÙT {u > v } n va dd c max(u, v ) ÙT gh tn to Chứng minh p ie a ) Trước tiên, ta chứng minh với v º a < Theo ý sau Định nghĩa 4.6 w [4], khơng tính tổng quát, ta giả sử u , u 1, , u n - Ỵ F Sử dụng d oa nl Định lý 2.1 [4], ta tìm { } nf va an lu u j ẻ E0 ầ C (W), u j ] u; ukj ẻ E0 ầ C (W), ukj ] uk , k = 1, , n - Vì u j > a mở nên ta có: lm ul {u > a } = dd cu j ÙT j { uj > a {u > a } Ì {u j > a } suy {u j > a } z Do đó, từ } = dd cu j ÙT j z at nh oi dd c max(u j , a ) ÙT j l gm @ dd c max(u j , a ) ÙT j {u > a } , m co an Lu T j = dd cu1j Ù Ù dd cunj - Theo Hệ 5.2 [4], ta có: n va ac th 29 si max(u - a, 0)dd c max(u j , a ) ÙT j ® max(u - a, 0)dd c max(u, a) ÙT , max(u - a, 0)dd cu j ÙT j ® max(u - a, 0)dd cu ÙT = Do đó, max(u - a, 0) éêdd c max(u, a ) ÙT - dd cu ÙT ù ë ûú Sử dụng Bổ đề 2.4.1, ta có: dd c max(u, a) ÙT = dd cu ÙT {u > a } b) Giả sử v Ỵ PSH - (W) Vì {u > v } = È Q- {u > a > v }, nên ta cần lu an chứng minh: va n dd c max(u, v) ÙT = dd cu ÙT {u > a > v } gh tn to p ie với a Ỵ Q - Vì max(u, v ) Ỵ E nên theo a ) ta có: = dd c max(max(u, v ), a ) ÙT {max( u ,v )> a } (2.2) {max( u ,v )> a } oa nl w dd c max(u, v ) ÙT d = dd c max(u, v, a ) ÙT (2.3) dd cu ÙT nf va an lu {max( u ,v )> a } = dd c max(u , a ) ÙT lm ul {u > a } {u > a } (2.4) dd c max(u, v, a ) ÙT {a > v } = dd c max(u, a ) ÙT z {a > v } @ {u > a }, {a > v }, {max(u, v) > a } (2.2), (2.3),(2.4) nên {u > a > v } = dd cu ÙT {u > a > v } m dd c max(u , a ) ÙT co l gm Vì {u > a > v }Ì z at nh oi Vì max(u, v, a ) = m ax(u, a ) tập hợp mở {a > v } ta có an Lu n va ac th 30 si Mệnh đề 2.4.3 a ) Cho u, v Ỵ E cho (dd cu )n ({u = v = - ¥ }) = Khi (dd c max(u, v ))n ³ 1(u > v )(dd cu )n + 1(u < v )(dd cv )n 1E hàm đặc trưng E b) Cho m độ đo dương triệt tiêu tập hợp đa cực W Giả sử u, v Ỵ E cho (dd cu )n ³ m, (dd cv )n ³ m Khi (dd c max(u, v))n ³ m Chứng minh lu a ) Với e > , đặt Ae = {u = v - e}\ {u = v = - ¥ an } Vì A e Ç Ad = f n va j tn to với e ¹ d nên tồn ei ] cho (dd cu )n (A e ) = với j ³ Mặt khác, p ie gh (dd cu )n ({u = v = - ¥ }) = nên ta có nl w (dd cu )n ({u = v - ej }) = với j ³ d oa Theo Định lý 2.4.2 ta có lu nf va an (dd cu )n (u, v - ej )n ³ (dd c max(u, v - ej ))n {u > v - ej } lm ul + (dd c max(u, v - ej ))n z at nh oi = (dd cu )n + {u < v - ej } z + (dd cv )n {u ³ v - ej } {u < v - ej } gm @ co l = u ³ v - e (dd cu )n + u < v - e (dd cv )n { { j} j} m ³ 1{u ³ v }(dd cu )n + u < v - e (dd cv )n { j} an Lu n va ac th 31 si Cho j đ Ơ v theo chỳ ý sau nh lý 5.15 [4], ta nhận ( n ) dd cu m ax( u, v ) ³ 1{u ³ v }(dd cu )n + 1{u < v }(dd cv )n , max(u, v - ej ) Z max(u, v) u < v - e Z 1{u < v } j đ Ơ { j } b) Lập luận tương tự a ) W Mệnh đề 2.4.4 Cho u1, , uk Ỵ PSH (W) ầ LƠ (W) v uk + 1, , un Ỵ E Khi i) ị dd u1 Ù Ù dd un = O (C n (B ) c c k/ n ) với tập hợp Borel B Ì W¢Ð W; lu B an va ii ) ò dd cu Ù Ù dd cu n = O (C n (B (a, r ))k / n ) r đ vi mi a ẻ W n B (a , r ) } ie gh tn to { B (a, r ) = z Î £ n : | z - a |< r p Chứng minh Ta giả sử £ u j £ với j = 1, , k Mặt khác, theo oa nl w ý sau Định nghĩa 4.6 [4] ta lại giả sử uk + 1, , un Ỵ F d i ) Với tập hợp mở B Ð W, áp dụng Mệnh đề 2.3.3 Hệ 5.6 [4] nf va an lu ta nhận ò dd u1 Ù Ù dd un = ò (- hB ) dd u1 Ù Ù dd un c * k B B ò (- hB ) * k W c c z at nh oi £ lm ul c Ù dd cu1 Ù Ù dd cu n z @ gm £ k ! ò (1 - u1)(dd chB* )k Ù dd cu k + Ù Ù dd cu n co l W m £ k ! ò (dd chB* )k Ù dd cu k + Ù Ù dd cu n an Lu W n va ac th 32 si é ùk / n £ k ! êêò (dd chB* )n ú ú êëW ú û é ù1/ n é ù1/ n ê (dd cu )n ú ê (dd cu )n ú k+1 ú n êò êò ú êëW ú êëW ú û û é ù1/ n é ù1/ n ê (dd cu )n ú éC (B )ùk / n £ k ! êêò (dd cuk + 1)n ú ú n ú êò ú êë n û êëW ú ê ú û ëW û k n £ const ant s éêëC n (B )ù ú û Do ị dd u1 Ù Ù dd u n £ lu c c an k/ n const ant s éêëC n (B ) ù ú û W n va tn to với tập hợp Borel B Ì W p ie gh ii ) Theo Mệnh đề 2.3.3 ta có ị (- j ) dd u1 Ù Ù dd un £ W c c w k k ! ò (1 - u1)(dd cj )k Ù dd cu k + Ù Ù dd cu n W oa nl d £ k ! ò (dd cj )k Ù dd cu k + Ù Ù dd cu n < + ¥ nf va an lu W lm ul Từ (- j )k Ỵ L1(dd cu1 Ù Ùdd cun ) với j Ỵ F (W) Cho a Î W log z at nh oi r0, R cho B (a, r0 ) Ð WÐ B (a, R ) Khi z- a £ ga (z ) £ log r0 z R0 z- a gm @ ) m ( (- ga )k Ỵ L1 dd cu1 Ù Ù dd cu n , nên suy co l với z Ỵ W, ga hàm Green W với cực a Vì an Lu n va ac th 33 si ò (- ga )kdd cu Ù Ù dd cu n ® r ® B (a , r ) Do ị (log r0 - log r )k dd cu1 Ù dd cu n £ B (a , r ) ò (- ga )k dd cu Ù Ù dd cu n ® B (a , r ) r ® Điều có nghĩa ị dd cu1 Ù Ù dd cu n = o(( B (a , r ) )k ) r ® log r0 - log r lu an Kết hợp điều với bất đẳng thức: va n C n (B (a, r ), W) ³ C n (B (a, r ), B (a, R )) = gh tn to p ie = ( 1 )n = O(( )n ) log R - log r log r0 - log r oa nl w Ta nhận d ò dd cu1 Ù Ù dd cu n = O ((C n (B (a, r )))k / n ) B (a , r ) nf va an lu W lm ul Định lý 2.4.5 Cho u1, , u n Ỵ E Khi tồn u%Ỵ Ea cho Chứng minh Trước tiên, ta viết z at nh oi dd cu1 Ù Ù dd cun = (dd cu%)n + dd cu1 Ù Ù dd cu n {u1 = = un = - ¥ } z @ {u1 = = un = - ¥ } co l gm dd cu1 Ù Ù dd cun = m + dd cu1 Ù Ù dd cu n m an Lu n va ac th 34 si m = dd cu1 Ù Ù dd cun {u1> - ¥ }È È {un > - ¥ } dễ thấy m = Cn E Ð W Thật theo Định lý 2.4.2 ta có dd cu1 Ù Ù dd cun {u1> - j } = dd cm ax(u1, - j ) Ù Ùdd cun Từ đó, theo Định lý 2.4.4 (i ) suy ra: dd cu1 Ù Ù dd cun {u1> - j } {u1> - j } = Cn E Ỵ W Vấn đề lại tồn u%Ỵ Ea cho lu m = (dd cu%)n an va n Cho (Wj ) dãy tăng vét cạn W Với j ³ đặt mj = m tn to Wj p ie gh Khi tồn u%Ỵ F cho (dd cu%j )n = mj Chú ý mj Z m oa nl w (dd cu%j )n £ m £ (dd c (u1 + + un ))n d Áp dụng nguyên lý so sánh ta u%j ] u%³ u1 + + un Ỵ E an lu Do đó, u%Ỵ Ea (dd cu%)n = lim (dd cu%j )n = m nf va W jđ Ơ lm ul H qu 2.4.6 Cho u1, , u n Ỵ E Khi khẳng định sau tương đương: z at nh oi i ) dd cu1 Ù Ù dd cun = Cn E Ð W; gm {u1 = = un = - ¥ } dd cu1 Ù Ù dd cun ® s ® + ¥ với E Ð W m co ò l iii ) @ dd cu1 Ù Ù dd cu n = , z ò ii ) an Lu {u1 < - s , ,un < - s }ÇE n va ac th 35 si Chứng minh Áp dụng trực tiếp Định lý 2.4.5 ta có kết Nguyên lý so sánh lớp F nghiên cứu [5] Tuy nhiên cách dùng Mệnh đề 2.3.3 Định lý 2.4.2, ta nhận nguyên lý so sánh dạng Xing lớp F Định lý 2.4.7 Cho u Ỵ F , v Ỵ E £ k £ n Khi k! ò (v - u )k dd c w1 Ù Ù dd c wn + {u < v } (r - w1 )(dd cv )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u < v } ò lu £ ò (r - w1)(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn an {u < v }È{u = v = - ¥ } n va tn to với wj Ỵ PSH (W), £ wj £ 1, j = 1, , k, wk + 1, , wn Ỵ F r ³ ta có p ie gh Chứng minh Cho e > , đặt v%= m ax(u, v - e) Theo a ) Mệnh đề 2.3.3 w d oa nl (v%- u )k dd cu1 Ù Ù dd cu n + ò k! W ò (r - w1)(dd cv%)k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn W w1 )(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn lm ul ò (r - nf va an lu £ W z at nh oi Vì {u < v%} = {u < v - e} sử dụng Định lý 2.4.2 ta có (v - e - u )kdd c w1 Ù Ù dd c wn + @ ò z {u < v - e} (r - w1)(dd cv )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn m ò co + l gm k! {u < v - e} an Lu n va ac th 36 si ò £ (r - w1)(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u £ v - e} ò £ (r - w1)(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn (u < v ) È {u = v = - Ơ } Cho e đ ta k! + ò (v - u )kdd c w1 Ù Ù dd c wn + {u < v } lu ò (r - w1)(dd cv )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn an {u < v } va ò n £ (r - w1)(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn W to } gh tn ( u < v ) È {u = v = - ¥ p ie Hệ 2.4.8 Cho u Ỵ Ea : u ³ v với v Ỵ E thỏa mãn (dd cu )n £ (dd cv)n ò (v - u )ndd c w1 Ù Ù dd c wn + (r - w1 )(dd cv )n {u < v } nf va an {u < v } lu ò d n! oa nl w Khi ị lm ul £ (r - w1)(dd cu )n , {u < v } z at nh oi với v Ỵ E, r ³ với w1, wn Ỵ PSH (W), £ w1, , wn £ z Chứng minh Cho (Wj ) dãy tăng vét cạn tập compact tương đối gm @ l W Đặt mj = 1W 1{u > - j }(dd cu )n , 1E hàm đặc trưng E Ì W j co m Áp dụng Định lý 2.4.2 ta có an Lu n va ac th 37 si mj = 1W 1{u > - j }(dd cm ax(u, - j )n £ 1W (dd cm ax(u, - j ))n j j - j Khi sup f Ly f ẻ E0 (W) ầ C (W) t f j = m ax(u, - j , a j f ), a j = Wj + f j = m ax(u, - j ) Wj + 1, f j Ỵ E0 mj £ 1W (dd cm ax(u, - j ))n = 1W (dd cf j )n £ (dd cf j )n j j Theo Định lý Kolodziej ([7]) tồn u j Ỵ E0 cho lu an (dd cu j )n = mj = 1W 1{u > - j }(dd cu )n j n va gh tn to với j ³ Theo nguyên lý so sánh, ta có u j ] u%³ u Mặt khác p ie (dd cu )n ({u = - ¥ }) = nên suy w (dd cu j )n = 1W 1{u > - j }(dd cu )n ® (dd cu )n , yu j đ Ơ oa nl j d Do (dd cu%)n = lim(dd cu j )n = (dd cu )n Theo giả thiết, ta cú u%= u p an lu jđ Ơ nf va dụng Định lý 2.4.7 ta có: (v - u j )dd c w1 Ù Ù dd c wn + ò (r - w1 )(dd cv )n {u j < v } {u j < v } z at nh oi ò lm ul n! £ ò z (r - w1)(dd cu j )n {u j < v } ò gm @ (r - w1)(dd cu )n {u j < v } m co l Ê an Lu Cho j đ Ơ ta c n va ac th 38 si n! ò ò (v - u )dd c w1 Ù Ù dd c wn + {u < v } (r - w1 )(dd cv )n {u < v } £ ò (r - w1)(dd cu )n W {u < v } Lập luận tương tự Định lý 2.4.7, ta chứng minh nguyên lý so sánh Xing lớp E Định lý 2.4.9 Cho u, v Ỵ E £ k £ n cho lim éêëu (z ) - v(z )ù ú³ Khi û zđ ảW ú lu an n! (v - u )k dd c w1 Ù Ù dd c wn + {u < v } ò (r - w1)(dd cv )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u < v } n va ò tn to ò gh £ (r - w1)(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn p ie {u < v }È{u = v = - Ơ } nl w vi mi wj ẻ PSH (W), £ wj £ , j = 1, k; wk + 1, , wn Ỵ E r ³ d oa Chứng minh Cho e > Ta đặt v%= m ax(u, v - e) Theo b) Mệnh đề nf va an lu 2.3.3 ta có ị (r - w1)(dd cv%)k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn W z at nh oi lm ul (v%- u )k dd c w1 Ù Ù dd c wn + ò k! W £ ò (r - w1)(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn W z (v - e - u )k dd c w1 Ù Ù dd c wn + m {u < v - e} co ò l k! gm @ Vì {u < v%} = {u < v - e} áp dụng Định lý 2.4.2 ta có an Lu n va ac th 39 si ò + (r - w1)(dd cv )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u < v - e} ò £ (r - w1)(dd cu )k dd c wk + Ù Ù dd c wn {u £ v - e} ò £ (r - w1)(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u < v }È{u = v = - ¥ } Cho e ] ta lu k! ò (v - u )kdd c w1 Ù Ù dd c wn + an {u < v } ò (r - w1)(dd cv )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u < v } n va (r - w1)(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u < v }È{u = v = - ¥ } p ie gh tn to ò £ d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 40 si KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết số tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm cực trị tương đối, tốn tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor - Khái niệm lớp Cegrell, khái niệm dung lương hội tụ theo dung lượng Sự hội tụ dãy hàm đa điều hòa theo lu C n - dung lượng Kết tương tự nguyên lý so sánh Xing ([5]) an va (Mệnh đề 2.3.3) n - Điều kiện đủ hội tụ theo C n - dung lượng dãy hàm đa gh tn to điều hòa lớp F (Định lý 2.3.5) p ie - Áp dụng Định lý 2.3.5, ta có kết hội tụ hàm Green w đa cực tiêu chuẩn tính đa cực oa nl - Kết luận văn Định lý 2.4.2 vài nguyên lý so sánh d kiểu Xing Áp dụng Định lý 2.4.2, ta có vài kết lớp lu nf va an Cegrell Trong Định lý 2.4.4, chúng tơi trình bày ước lượng địa phương độ đo Monge – Ampère theo nghĩa dung lượng tương đối lm ul Bedford-Taylor Trong phần áp dụng, Định lý 2.4.5 kết z at nh oi phân rã độ đo Monge – Ampère Cuối nguyên lý so sánh kiểu Xing lớp F E suy từ Mệnh đề 2.3.3 Định lý 2.4.2 z m co l gm @ an Lu n va ac th 41 si TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa vị , Nxb Đại học sư phạm TIẾNG ANH Bedford [2] E and Taylor B.A (1982), “A new capacity for plurisubharmonic functions”, Acta Math., 149, 1-40 lu an [3] Cegrell U (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math., 180, 187-217 [4] Cegrell U (2004), “The general definition of the complex Monge- va n Ampère operator”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, 159-179 Cegrell U (2008), “A general Dirichlet problem for the complex gh Monge-Ampère operator”, Ann Polon Math., 94, 131-147 [6] Cegrell U, Kolodziej S and Zeriahi A (2005), “Subextention of tn to [5] p ie 22 d oa nl w plurisubharmonic functions with weak singularities”, Math Zeit., 250, 7Kolodziej S (1995), “The range of the complex Monge-Ampère an lu [7] Khue N.V and Hiep P.H (2009), “A comparison principle for the lm ul [8] nf va operator”, II, Indiana Univ Math J., 44, 765-782 z at nh oi complex Monge-Ampère operator in Cegrell’s classes and applications”, Trans Amer Math Soc Vol 361, No 10, 5539–5554 [9] Xing Y (1996), “Continuity of the complex Monge-Ampère operator” z m co l gm @ Proc Amer Math Soc., 124, 457-467 an Lu n va ac th 42 si