Tính chất bảo toàn thứ tự đối với ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng và ứng dụng

Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMNguyễn Văn BìnhTÍNH CHẤT BẢO TỒN THỨ TỰ ĐỐI VỚI ÁNH XẠ NGHIỆMCỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNGLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Trang 2 ĐẠI HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Nguyễn Văn Bình

TÍNH CHẤT BẢO TOÀN THỨ TỰ ĐỐI VỚI ÁNH XẠ NGHIỆM

CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2021

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Nguyễn Văn Bình

TÍNH CHẤT BẢO TOÀN THỨ TỰ ĐỐI VỚI ÁNH XẠ NGHIỆM

CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS BÙI THẾ HÙNG

Thái Nguyên - 2021

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việchoàn thành luận văn là nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu trongluận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2021Người viết luận văn

Nguyễn Văn Bình

TS Bùi Thế Hùng

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn,giúp đỡ, chỉ bảo tận tình, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thànhluận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thểcác thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, ViệnToán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi nhữngkiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đónggóp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp

đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2021Người viết luận văn

Nguyễn Văn Bình

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iv

Mở đầu 1

Chương 1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng trên dàn Banach 3

1.1 Ánh xạ đa trị 3

1.2 Dàn Banach và tính chất bảo toàn thứ tự 5

1.3 Định lý điểm bất động trên dàn Banach 8

1.4 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng trên dàn Banach 10

Chương 2 Tính chất bảo toàn thứ tự đối với ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng và ứng dụng 14

2.1 Tính chất bảo toàn thứ tự trên của ánh xạ nghiệm cho hàm mục tiêu phụ thuộc tham số 14

2.2 Tính chất bảo toàn thứ tự của ánh xạ nghiệm cho tập ràng buộc phụ thuộc tham số 22

2.3 Ứng dụng 26

Kết luận 33

Tài liệu tham khảo 34

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

A ∩ B giao của hai tập hợp A và B

A\B hiệu của hai tập hợp A và B

A × B tích Descartes của hai tập hợp A và B

int A phần trong tôpô của tập hợp A

co A bao lồi của tập hợp A

(EP ) bài toán cân bằng vô hướng

(EP )θ bài toán cân bằng vô hướng chứa tham số

(EP )ω bài toán tựa cân bằng vô hướng với ràng buộc chứa tham số

Mở đầu

Bài toán cân bằng đã được nghiên cứu trong vài thập kỷ qua với nhữngcông trình tiên phong có thể kể đến như [2], [3], [4], [8] Bài toán này baohàm một số lớp bài toán khác nhau như bài toán tối ưu, bài toán bấtđẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán bù, bài toán cânbằng Nash, Cho đến nay, nó có nhiều ứng dụng trong các ngành khácnhư tài chính, kinh tế và giao thông Lúc đầu người ta chủ yếu quan tâmđến nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng với rất nhiều kỹthuật chứng minh khác nhau như Định lý KKM, định lý Fan-KKM, định

lý điểm bất động, nguyên lý biến phân Ekeland, định lý phần tử cực đại vànhiều định lý khác Để sử dụng các định lý này, các ánh xạ liên quan luônđược yêu cầu phải là liên tục hoặc nửa liên tục Để khắc phục nhược điểmnày, Nishimura và Ok [9] đã đưa ra một cách tiếp cận mới, đó là lý thuyếtthứ tự cho bài toán bất đẳng thức biến phân và sử dụng định lý điểm bấtđộng để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của lớp bài toán này Từ 2011 đến 2014,Xie và Li [12], Li và Park [6], Li và Yao [5] đã mở rộng các phương pháp

lý thuyết thứ tự này cho một số bài toán phi tuyến khác như bài toáncân bằng Nash, bài toán điểm yên ngựa và bài toán điểm bất động Năm

2012, Nishimura và Ok [9] đã nghiên cứu tính chất bảo toàn thứ tự đốivới ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân suy rộng trongdàn Hilbert Năm 2015, Wang và Zhang [10] đã mở rộng kết quả trên chodàn Banach Năm 2019, Wang và Liu [11] đã sử dụng định lý điểm bấtđộng để thiết lập các điều kiện đủ cho tính chất bảo toàn thứ tự cho ánh

xạ nghiệm của bài toán cân bằng Mục đích của luận văn nhằm trình bày

một cách hệ thống các kết quả trong công trình [11] về tính chất bảo toànthứ tự đối với ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng Luận văn gồm phần

mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức cơ sở về ánh xạ đatrị, dàn Banach và tính chất bảo toàn thứ tự, định lý điểm bất động trêndàn Banach và sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng trên dàn Banach.Chương 2 trình bày tính chất bảo toàn thứ tự đối với ánh xạ nghiệmcủa bài toán cân bằng cho hàm mục tiêu phụ thuộc tham số và tập ràngbuộc phụ thuộc tham số Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày một số ứngdụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân dưới dạng vi phân

1.1 Ánh xạ đa trị

Giả sử X và Y là hai tập hợp Ký hiệu 2X là tập tất cả các tập con của

X

Định nghĩa 1.1.1 Một ánh xạ đa trị f từ X vào Y mà ứng với mỗi phần

tử x ∈ X cho một tập con của Y, được ký hiệu f : X → 2Y

Thực chất, mỗi ánh xạ đa trị f : X → 2Y được đặc trưng bởi một tậpcon của X × Y, ký hiệu là gph f và được xác định bởi

gph f := (x, y) ∈ X × Y : y ∈ f (x)

Tập hợp gph f được gọi là đồ thị của f

Miền xác định của f, ký hiệu dom f, xác định bởi

dom f := x ∈ X : f (x) 6= ∅

Ví dụ 1.1.2 Xét hệ phương trình tuyến tính với hệ số thực

am1x1 + am1x2 + + amnxn = bm

Quy tắc cho ứng mỗi ma trận A = (aij)i=1,2, ,m;j=1,2, ,n ∈ Matm×n(R)

với tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính trên, kí hiệu bởi f (A), cho

ta một ánh xạ đa trị

f : Matm×n(R) → 2Rn

từ không gian các ma trận thực Matm×n(R) vào không gian Rn

Định nghĩa 1.1.3 Cho X, Y là các không gian tuyến tính và ánh xạ đatrị f : X → 2Y Ta nói rằng:

(i) f có giá trị lồi nếu f (x) là tập lồi trong Y, với mọi x ∈ X

(ii) f là ánh xạ lồi nếu gph f là tập lồi trong X × Y

Định nghĩa 1.1.4 Cho X, Y là các không gian tôpô và f : X → 2Y làánh xạ đa trị Ta nói rằng:

(i) f có giá trị đóng nếu f (x) là tập đóng trong Y, với mọi x ∈ X.(ii) f là ánh xạ đóng nếu gph f là tập đóng trong X × Y

(ii) f là ánh xạ mở nếu gph f là tập mở trong X × Y

(iii) f là ánh xạ compắc nếu f (X) là tập compắc tương đối trong Y

Ta dễ dàng chứng minh được kết quả đơn giản dưới đây

Mệnh đề 1.1.5 Giả sử X, Y là các không gian tôpô tuyến tính và ánh

xạ đa trị f : X → 2Y Khi đó:

(i) Nếu f là ánh xạ đóng thì f có giá trị đóng

(ii) Nếu f là ánh xạ mở thì f có giá trị mở

(iii) Nếu f là ánh xạ lồi thì f có giá trị lồi

(iv) f là ánh xạ lồi khi và chỉ khi

Hiển nhiên f là ánh xạ đa trị với giá trị lồi Tuy nhiên f không là ánh xạlồi

Ví dụ 1.1.7 Xét ánh xạ đa trị f : R → 2R xác định bởi

f (x) =



[0, 1], nếu x = 0,

R, trong trường hợp còn lại

Hiển nhiên ánh xạ f có giá trị đóng Mặt khác ta có

gph f = (x, y) ∈ R2 : y ∈ f (x) = ({0} × [0, 1]) ∪ (R\{0} ×R)

là tập không đóng trong R2 và như vậy f không là ánh xạ đóng

1.2 Dàn Banach và tính chất bảo toàn thứ tự

Cho (X, ) là một tập sắp thứ tự từng phần Ta kí hiệu x 6 y được hiểutheo nghĩa

Định nghĩa 1.2.1 Cho (X, ) là một tập sắp thứ tự từng phần và S làtập con khác rỗng của (X, ) Ta nói

(i) phần tử x ∈ X là một- chặn trên của S nếuS  x, nghĩa lày  x

với mọi y ∈ S;

(ii) phần tử x ∈ X là một - chặn dưới của S nếu x  S, nghĩa là

x  y với mọi y ∈ S;

(iii) S là - bị chặn trên nếu tồn tại x ∈ X sao cho S  x;

(iv) S là - bị chặn dưới nếu tồn tại x ∈ X sao cho x  S;

(v) S là - bị chặn nếu nó -bị chặn trên và -bị chặn dưới

Định nghĩa 1.2.2 Cho (X, ) là một tập sắp thứ tự từng phần và S làtập con khác rỗng của (X, ) Ta nói

(i) phần tử x là - lớn nhất của S nếu x ∈ S và x là một - chặn trêncủa S;

(ii) phần tử x là - nhỏ nhất của S nếu x ∈ S và x là một - chặndưới của S;

(iii) phần tử x là - tối đại của S nếu x ∈ S và x 6 y với mọi

y ∈ S \ {x};

(iv) phần tử x là - tối tiểu của S nếu x ∈ S và y 6 x với mọi

y ∈ S \ {x}

Định nghĩa 1.2.3 Cho (X, ) là một tập sắp thứ tự từng phần và S làmột tập khác rỗng của (X, ) Khi đó

(i) - cận trên đúng của S là phần tử - nhỏ nhất của tập tất cả các

- chặn trên đối với S và kí hiệu là W

XS.(ii) - cận dưới đúng của S là phần tử - lớn nhất của tập tất cả các

- chặn dưới đối với S và kí hiệu là V

X S.(iii) ta viết x ∨ y, x ∧ y thay cho W

X{x, y} và V

X{x, y}, tương ứng.Định nghĩa 1.2.4 Cho (X, ) là một tập sắp thứ tự từng phần và S làmột tập khác rỗng của (X, ) Khi đó

(i) (X, ) được gọi là một dàn nếu tồn tại x ∨ y và x ∧ y với mọi

X{x, y} với mọi x, y ∈ Ythì Y được gọi là - dàn con của (X, ).(iv) nếu Y là một tập con khác rỗng của (X, )và chứa W

X S vàV

X S

với mọi S là tập con của Y thì Y được gọi là - dàn con đầy đủ của

(X, )

Định nghĩa 1.2.5 Cho (X, X) và (Y, Y) là các dàn và ánh xạ đơn trị

Định nghĩa 1.2.7 Cho (X, ) là không gian Riesz Ta nói rằng

(i) (X, ) là không gian định chuẩn Riesz nếu X là không gian địnhchuẩn với chuẩn của nó k.k tương thích với thứ tự từng phần  theo nghĩa

kxk ≤ kyk với mọi x, y ∈ X với |x|  |y|, ở đó |z| = (z ∨ 0) + (−z ∨ 0)

(iii) Γ là bảo toàn thứ tự trên chặt nếu x ≺X y kéo theo với mỗi

x0 ∈ Γ(x), tồn tại y0 ∈ Γ(y) sao cho x0 ≺Y y0

(iv) Γ là bảo toàn thứ tự dưới nếu x X y kéo theo với mỗi y0 ∈ Γ(y),tồn tại x0 ∈ Γ(x) sao cho x0 Y y0

(v) Γ là bảo toàn thứ tự dưới chặt nếu x ≺X y kéo theo với mỗi

y0 ∈ Γ(y), tồn tại x0 ∈ Γ(x) sao cho x0 ≺Y y0

(vi) Γ là bảo toàn thứ tự nếu nó bảo toàn thứ tự trên và bảo toàn thứ

Bổ đề 1.2.11 ( Bổ đề Zorn dạng đối ngẫu, xem [10]) Cho (P, ) là tậpsắp thứ tự bộ phận Khi đó nếu mọi tập con sắp thứ tự toàn phần của P

đều có ít nhất một - chặn dưới thì P chứa ít nhất một phần tử - tốitiểu

1.3 Định lý điểm bất động trên dàn Banach

Định nghĩa 1.3.1 Cho(C, ) là dàn và ánh xạ đa trị f : C → 2C Điểm

¯

x ∈ C được gọi là điểm bất động - tối đại (tối tiểu) nếu nó là điểm tối đại (tối tiểu) của tập các điểm bất động của ánh xạ f

-Với tập sắp thứ tự từng phần (X, ), ta kí hiệu x↑ := {z ∈ X : x  z}

và x↓ := {z ∈ X : z  x}

Định lý 1.3.2 Giả sử (X, ) là dàn Banach, C là - dàn con đầy đủcủa X và ánh xạ f : C → 2C là bảo toàn thứ tự trên với giá trị khôngrỗng, compact Khi đó f có ít nhất một điểm bất động - tối đại

Chứng minh Ta đặt

A := {x ∈ C : x  u với một u ∈ f (x) nào đó}

Từ C là - dàn con đầy đủ của X nên V

X C ∈ C Điều này chứng tỏV

X C ∈ A Vậy A 6= ∅ Tiếp theo, ta chứng minh mọi tập con sắp thứ

tự toàn phần trong A đều có ít nhất một - chặn trên trong A Thậtvậy, giả sử S ⊆ A là tập con sắp thứ tự toàn phần trong A tùy ý Khi

đó với mỗi x ∈ S, tồn tại ω(x) ∈ f (x) sao cho ω(x)  x Từ W

X S) : x ∈ S} có tính chất tương giao hữu hạn.Thật vậy, giả sử T là tập con không rỗng, hữu hạn của S Từ S là -lưới nên T cũng là - lưới Do đó tồn tại x ∈ T¯ sao cho x  T¯ Từ

Định lý 1.3.3 Giả sử (X, ) là dàn Banach, C là - dàn con đầy đủcủa X và ánh xạ f : C → 2C là bảo toàn thứ tự dưới với giá trị khôngrỗng, compact Khi đó f có ít nhất một điểm bất động - tối tiểu.

Chứng minh Chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh Định lý1.3.2

1.4 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng trên

dàn Banach

Giả sử (X, )là dàn Banach; C là tập con không rỗng của X và song hàm

f : C × C →R Xét bài toán cân bằng sau:

(EP ): Tìm x ∈ C¯ sao cho

là bảo toàn thứ tự trên với giá trị compact

Khi đó bài toán cân bằng (EP) có nghiệm

Chứng minh Ta chứng minh tồn tại x ∈ C¯ sao cho Φ(¯x) = ∅ bằng phảnchứng Thật vậy, giả sử Φ(x) 6= ∅ với mọi x ∈ C Khi đó Φ là ánh xạ đatrị bảo toàn thứ tự trên với giá trị không rỗng, compact Áp dụng Định

lí điểm bất động 1.3.2, tồn tại x∗ ∈ C sao cho x∗ ∈ Φ(x∗) Từ đó suy ra

f (x∗, x∗) < 0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết (i) Vậy tồn tạix ∈ C¯ saocho Φ(¯x) = ∅ Từ đó suy ra x¯ là nghiệm của bài toán cân bằng (EP)

Định lý 1.4.2 Giả sử (X, X) là dàn Banach, C là X- dàn con đầy đủcủa X và ánh xạ f : C × C →R thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

(i) f (x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ C;

(ii) Với mỗi y ∈ C, hàm f (., y) là đảo ngược thứ tự;

(iii) Với mỗi x ∈ C, tập {y ∈ C : f (x, y) < 0} là compact

Khi đó bài toán cân bằng (EP) có nghiệm

Chứng minh Xét ánh xạ đa trị Φ : C → 2C xác định bởi

Φ(x) := {y ∈ C : f (x, y) < 0}

Ta chứng minh tồn tại x ∈ C¯ sao cho Φ(¯x) = ∅ Thật vậy, giả sửΦ(x) 6= ∅

với mọi x ∈ C Khi đó Φ là ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng, compact

Ta chỉ ra Φ bảo toàn thứ tự trên Thật vậy, lấy x1, x2 ∈ C với x2 X x1

và y2 ∈ Φ(x2) Khi đó f (x2, y2) < 0 Từ hàm f (., y) là đảo ngược thứ tựnên f (x1, y2) ≤ f (x2, y2) Bằng cách chọn y1 = y2, ta khẳng định y1 ∈ C

và f (x1, y1) < 0 Điều này chứng tỏ y1 ∈ Φ(x1) và y2  y1 Vậy Φ bảotoàn thứ tự trên Áp dụng Định lí điểm bất động 1.3.2, tồn tại x∗ ∈ C saocho x∗ ∈ Φ(x∗) Từ đó suy ra f (x∗, x∗) < 0 Điều này mâu thuẫn với giảthiết (i) Vậy tồn tại x ∈ C¯ sao cho Φ(¯x) = ∅ Từ đó suy ra x¯ là nghiệmcủa bài toán cân bằng (EP)

Định lý 1.4.3 Giả sử (X, X) là dàn Banach, C là X- dàn con đầy đủcủa X và ánh xạ f : C × C →R thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

(i) f (x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ C;

(ii) Ánh xạ Φ : C → 2C xác định bởi

Φ(x) := {y ∈ C : f (x, y) < 0}

là bảo toàn thứ tự dưới với giá trị compact

Khi đó bài toán cân bằng (EP) có nghiệm.

Chứng minh Giả sử Φ(x) 6= ∅ với mọi x ∈ C Khi đó Φ là ánh xạ đa trịbảo toàn thứ tự dưới với giá trị không rỗng, compact Áp dụng Định líđiểm bất động 1.3.3, tồn tại x∗ ∈ C sao cho x∗ ∈ Φ(x∗) Từ đó suy ra

f (x∗, x∗) < 0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết (i) Vậy tồn tạix ∈ C¯ saocho Φ(¯x) = ∅ Từ đó suy ra x¯ là nghiệm của bài toán cân bằng (EP)

Định lý 1.4.4 Giả sử (X, X) là dàn Banach, C là X- dàn con đầy đủcủa X và ánh xạ f : C × C →R thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

(i) f (x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ C;

(ii) Với mỗi y ∈ C, hàm f (., y) là bảo toàn thứ tự;

(iii) Với mỗi x ∈ C, tập {y ∈ C : f (x, y) < 0} là compact

Khi đó bài toán cân bằng (EP) có nghiệm

Chứng minh Xét ánh xạ đa trị Φ : C → 2C xác định bởi

Φ(x) := {y ∈ C : f (x, y) < 0}

Ta chứng minh tồn tại x ∈ C¯ sao cho Φ(¯x) = ∅ Thật vậy, giả sửΦ(x) 6= ∅

với mọi x ∈ C Khi đó Φ là ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng, compact

Ta chỉ ra Φ bảo toàn thứ tự dưới Thật vậy, lấy x1, x2 ∈ C với x2 X x1

và y2 ∈ Φ(x2) Khi đó f (x2, y2) < 0 Từ hàm f (., y) là bảo toàn thứ tựnên f (x2, y2) ≤ f (x1, y2) Bằng cách chọn y1 = y2, ta khẳng định y1 ∈ C

và f (x1, y1) < 0 Điều này chứng tỏ y1 ∈ Φ(x1) và y1  y2 Vậy Φ bảotoàn thứ tự dưới Áp dụng Định lí điểm bất động 1.3.3, tồn tại x∗ ∈ C saocho x∗ ∈ Φ(x∗) Từ đó suy ra f (x∗, x∗) < 0 Điều này mâu thuẫn với giảthiết (i) Vậy tồn tại x ∈ C¯ sao cho Φ(¯x) = ∅ Từ đó suy ra x¯ là nghiệmcủa bài toán cân bằng (EP)

2.1 Tính chất bảo toàn thứ tự trên của ánh xạ nghiệm

cho hàm mục tiêu phụ thuộc tham số

Giả sử (Θ, Θ) là tập sắp thứ tự bộ phận; C là tập con không rỗng củadàn Banach X và ánh xạ f : C × C × Θ → R Xét bài toán cân bằng chứa