Tính chất bảo toàn thứ tự đối với ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Văn Bình TÍNH CHẤT BẢO TỒN THỨ TỰ ĐỐI VỚI ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Văn Bình TÍNH CHẤT BẢO TỒN THỨ TỰ ĐỐI VỚI ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS BÙI THẾ HÙNG Thái Nguyên - 2021 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2021 Người viết luận văn Nguyễn Văn Bình Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn TS Bùi Thế Hùng Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán tồn thể thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2021 Người viết luận văn Nguyễn Văn Bình ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iv Mở đầu Chương Sự tồn nghiệm toán cân dàn Banach 1.1 Ánh xạ đa trị 1.2 Dàn Banach tính chất bảo tồn thứ tự 1.3 Định lý điểm bất động dàn Banach 1.4 Sự tồn nghiệm toán cân dàn Banach 10 Chương Tính chất bảo tồn thứ tự ánh xạ nghiệm toán cân ứng dụng 14 2.1 Tính chất bảo tồn thứ tự ánh xạ nghiệm cho hàm mục tiêu phụ thuộc tham số 14 2.2 Tính chất bảo tồn thứ tự ánh xạ nghiệm cho tập ràng buộc phụ thuộc tham số 22 2.3 Ứng dụng 26 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt N∗ tập số tự nhiên khác không R tập số thực Rn không gian véctơ Euclide n− chiều Matm×n (R) tập ma trận thực cấp m × n 2X tập tất tập X f : X → 2Y ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y dom f miền định nghĩa ánh xạ đa trị f gph f đồ thị ánh xạ đa trị f A := B A định nghĩa B ∅ tập rỗng A⊂B A tập B A 6⊂ B A không tập B A∪B hợp hai tập hợp A B A∩B giao hai tập hợp A B A\B hiệu hai tập hợp A B B tích Descartes hai tập hợp A B int A phần tôpô tập hợp A co A bao lồi tập hợp A (EP ) toán cân vô hướng iv (EP )θ (EP )ω (X, ) W VX S XS tốn cân vơ hướng chứa tham số tốn tựa cân vơ hướng với ràng buộc chứa tham số tập thứ tự phần cận S cận S kết thúc chứng minh v Mở đầu Bài toán cân nghiên cứu vài thập kỷ qua với cơng trình tiên phong kể đến [2], [3], [4], [8] Bài toán bao hàm số lớp toán khác toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động, toán bù, tốn cân Nash, Cho đến nay, có nhiều ứng dụng ngành khác tài chính, kinh tế giao thông Lúc đầu người ta chủ yếu quan tâm đến nghiên cứu tồn nghiệm toán cân với nhiều kỹ thuật chứng minh khác Định lý KKM, định lý Fan-KKM, định lý điểm bất động, nguyên lý biến phân Ekeland, định lý phần tử cực đại nhiều định lý khác Để sử dụng định lý này, ánh xạ liên quan yêu cầu phải liên tục nửa liên tục Để khắc phục nhược điểm này, Nishimura Ok [9] đưa cách tiếp cận mới, lý thuyết thứ tự cho toán bất đẳng thức biến phân sử dụng định lý điểm bất động để tồn nghiệm lớp toán Từ 2011 đến 2014, Xie Li [12], Li Park [6], Li Yao [5] mở rộng phương pháp lý thuyết thứ tự cho số toán phi tuyến khác toán cân Nash, toán điểm yên ngựa toán điểm bất động Năm 2012, Nishimura Ok [9] nghiên cứu tính chất bảo toàn thứ tự ánh xạ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân suy rộng dàn Hilbert Năm 2015, Wang Zhang [10] mở rộng kết cho dàn Banach Năm 2019, Wang Liu [11] sử dụng định lý điểm bất động để thiết lập điều kiện đủ cho tính chất bảo tồn thứ tự cho ánh xạ nghiệm tốn cân Mục đích luận văn nhằm trình bày cách hệ thống kết cơng trình [11] tính chất bảo tồn thứ tự ánh xạ nghiệm toán cân Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương luận văn trình bày số kiến thức sở ánh xạ đa trị, dàn Banach tính chất bảo tồn thứ tự, định lý điểm bất động dàn Banach tồn nghiệm toán cân dàn Banach Chương trình bày tính chất bảo tồn thứ tự ánh xạ nghiệm toán cân cho hàm mục tiêu phụ thuộc tham số tập ràng buộc phụ thuộc tham số Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày số ứng dụng vào toán bất đẳng thức biến phân dạng vi phân Chương Sự tồn nghiệm toán cân dàn Banach Trong chương này, chúng tơi trình bày điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân dàn Banach Một số kiến thức sở kết chương chúng tơi trích từ tài liệu [1] [10] 1.1 Ánh xạ đa trị Giả sử X Y hai tập hợp Ký hiệu 2X tập tất tập X Định nghĩa 1.1.1 Một ánh xạ đa trị f từ X vào Y mà ứng với phần tử x ∈ X cho tập Y , ký hiệu f : X → 2Y Thực chất, ánh xạ đa trị f : X → 2Y đặc trưng tập X × Y , ký hiệu gph f xác định  gph f := (x, y) ∈ X × Y : y ∈ f (x) Tập hợp gph f gọi đồ thị f Miền xác định f , ký hiệu dom f , xác định  dom f := x ∈ X : f (x) 6= ∅