Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 TÍNH LIÊN TỤC H𝐎̈LDER CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM BÀI TỐN CỰC TIỂU HÓA CÓ ĐIỀU KIỆN Nguyễn Hữu Danh1* Trần Ngọc Tâm2 Khoa Cơ bản, Trường Đại học Tây Đô Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ (*Email: nhdanh@tdu.edu.vn) Ngày nhận: 17/12/2020 Ngày phản biện: 11/01/2021 Ngày duyệt đăng: 25/02/2021 TÓM TẮT Trong nghiên cứu này, chúng tơi quan tâm đến tốn cực tiểu hóa có điều kiện nhiễu hàm mục tiêu ràng buộc Với giả thiết tính tựa lồi mạnh, tính liên tục Hưlder hàm mục tiêu với tính liên tục Hưlder ánh xạ ràng buộc, điều kiện đủ cho ổn định theo nghĩa liên tục Hölder/Lipschitz ánh xạ nghiệm toán thiết lập Mục đích nghiên cứu chúng tơi tiếp tục cải tiến kết tác giả Li and Li (2014) Anh et al (2015) Cụ thể là, chúng tơi muốn giảm nhẹ điều kiện tính lồi/lõm kết mà đạt tính liên tục Hưlder/Lipschitz ánh xạ nghiệm tốn cực tiểu hóa có điều kiện Nhiều ví dụ đưa để minh họa cho kết chúng tơi khác với kết trước Từ khóa: Bài tốn cực tiểu hóa có điều kiện, liên tục Hưlder, liên tục Lipschitz, tính tựa lồi mạnh Trích dẫn: Nguyễn Hữu Danh Trần Ngọc Tâm, 2021 Tính liên tục Hưlder ánh xạ nghiệm tốn cực tiểu hóa có điều kiện Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô 11: 117-126 *Ths Nguyễn Hữu Danh – Giảng viên Khoa Cơ bản, Trường Đại học Tây Đơ 117 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô GIỚI THIỆU Phân tích ổn định tập nghiệm toán liên quan đến tối ưu chủ đề quan trọng thú vị lý thuyết tối ưu ứng dụng Nó có ý nghĩa việc xây dựng mơ hình, đặc trưng tối ưu, giải thuật số Cho đến nay, hầu hết kết ổn định nghiệm bao gồm tính ổn định định tính tính đóng, hội tụ, tính nửa liên tục/liên tục theo nghĩa Berge Hausdorff (Li et al., 2015; Khan et al., 2015; Li et al., 2016; Khushboo and Lalitha, 2018; Kapoor and Lalitha, 2019,… tài liệu tham khảo đó), tính ổn định định lượng tính liên tục Hưlder/Lipschitz, tính khả vi, tính vi phân tập nghiệm (Guo et al., 2012; Eichfelder and Ha, 2013; Gfrerer, 2013, 2014; Li and Li, 2014; Gfrerer and Klatte, 2015,… tài liệu tham khảo đó) Bằng cách sử dụng giả thiết liên quan đến tính lồi mạnh tính liên tục Lipschitz hàm mục tiêu, Li and Li (2014) đạt tính liên tục Hưlder ánh xạ nghiệm tốn cực tiểu hóa có điều kiện Gần đây, tính liên tục Hưlder ánh xạ nghiệm toán cân nghiên cứu nhận nhiều quan tâm nhiều nhà nghiên cứu (Anh and Khanh, 2009; Li et al., 2009; Li et al., 2011; Li et al., 2013; Chen et al., 2013; Anh et al., 2015; Anh et al., 2018) Ta thấy giả thiết liên quan đến tính đơn điệu mạnh, giả đơn điệu mạnh lồi mạnh đóng vai trị quan trọng báo đề cập Bằng giả thiết tính đơn điệu mạnh, Anh and Số 11 - 2021 Khanh (2009) thu tính liên tục Hưlder ánh xạ nghiệm tốn cân vơ hướng Các tác giả Li et al (2013) Anh et al (2015) thay giả thiết liên quan đến tính đơn điệu mạnh tính giả đơn điệu mạnh tính lồi mạnh để thiết lập điều kiện đủ cho liên tục Hölder ánh xạ nghiệm tốn cân vơ hướng; với ý tưởng, trường hợp vectơ nghiên cứu Anh et al (2018) Trong Li et al (2009) Li et al (2011), để đạt tính liên tục Hölder, tác giả sử dụng giả thiết liên quan đến tập nghiệm, điều khó áp dụng cho tốn thực tế Từ quan sát trên, báo này, đưa mục tiêu nghiên cứu tính liên tục Hưlder ánh xạ nghiệm cho tốn cực tiểu hóa có điều kiện Các giả thiết báo cải tiến so với giả thiết tương ứng sử dụng báo trước Dựa lớp hàm tựa lồi mạnh, chúng tơi thiết lập tính liên tục Hưlder nghiệm cho tốn cực tiểu hóa có điều kiện Chúng tơi đưa ví dụ để minh họa kết chúng tơi áp dụng kết trước khơng Ngồi chúng tơi cịn cung cấp phản ví dụ để thiết yếu giả thiết Phần lại báo trình bày sau Mục giới thiệu tốn cực tiểu hóa có điều kiện nhắc lại khái niệm cần thiết cho phần sau Trong Mục 3, thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục Hưlder ánh xạ nghiệm 118 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đơ tốn nêu Cuối cùng, Mục phần kết luận MỞ ĐẦU Cho 𝑋, 𝑌, 𝑍 không gian định chuẩn, 𝐴 ⊂ 𝑋, Λ ⊂ 𝑌, 𝑀 ⊂ 𝑍 tập khác rỗng Cho 𝐾: Λ ⇉ 𝐴 ánh xạ đa trị có giá trị lồi, khác rỗng 𝑓: 𝐴 × 𝑀 → ℝ Ta xét tốn cực tiểu hóa có điều kiện phụ thuộc tham số (𝜆, 𝑝) ∈ Λ × 𝑀 sau đây: (CMP) 𝑓(𝑥, 𝑝) 𝑥∈𝐾(𝜆) Với (𝜆, 𝑝) ∈ Λ × 𝑀, ta ký hiệu tập nghiệm (CMP) 𝑆(𝜆, 𝑝): = {𝑥̅ ∈ 𝐾(𝜆)|𝑓(𝑦, 𝑝) − 𝑓(𝑥̅ , 𝑝) ≥ 0, ∀𝑦 ∈ 𝐾(𝜆)} Trong báo này, ta sử dụng ký hiệu ∥⋅∥ cho chuẩn không gian định chuẩn Ký hiệu ℝ+ tập hợp số thực không âm 𝔹(𝑥, 𝑟) cầu đóng bán kính 𝑟 ≥ có tâm 𝑥 conv(𝐴) ký hiệu cho bao lồi tập 𝐴 ⊂ 𝑋 Với hai tập 𝐴, 𝐵 ⊂ 𝑋, ta sử dụng khái niệm khoảng cách sau 𝜌(𝐴, 𝐵): = sup ∥ 𝑎 − 𝑏 ∥ 𝑎∈𝐴,𝑏∈𝐵 Chú ý 𝜌(𝐴, 𝐵) = +∞ 𝐴 𝐵 không bị chặn Ta nhắc lại số khái niệm cần thiết phần Định nghĩa 2.1 Cho 𝑛, 𝛾 > Ta nói Số 11 - 2021 (a) hàm 𝑔: 𝑋 → ℝ 𝑛 𝛾-liên tục Hölder 𝑥̅ ∈ 𝑋 tồn lân cận 𝑈 𝑥̅ cho, với 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑈, |𝑔(𝑥1 ) − 𝑔(𝑥2 )| ≤ 𝑛 ∥ 𝑥1 , −𝑥2 ∥𝛾 ; (b) ánh xạ đa trị 𝐾: Λ ⇉ 𝑋 𝑛 𝛾liên tục Hölder 𝜆̅ ∈ Λ tồn lân cận 𝑁 𝜆̅ cho, với 𝜆1 , 𝜆2 ∈ 𝑁, 𝐾(𝜆1 ) ⊂ 𝐾(𝜆2 ) + 𝑛𝔹(0, ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝛾 ) Nếu 𝛾 = 1, tính liên tục Hưlder gọi liên tục Lipschitz Ta nói tính chất thỏa mãn tập 𝐵 ⊂ 𝑋 thỏa mãn điểm 𝐵 Định nghĩa 2.2 Xét 𝑔: 𝑋 → ℝ, 𝐵 ⊂ 𝑋, ℎ, 𝛽 số dương Ta nói (a) 𝑔 ℎ 𝛽-lồi mạnh tập lồi 𝐵 nếu, với 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐵 𝑡 ∈ (0,1), 𝑔((1 − 𝑡)𝑥1 + 𝑡𝑥2 ) ≤ (1 − 𝑡)𝑔(𝑥1 ) + 𝑡𝑔(𝑥2 ) − ℎ𝑡(1 − 𝑡) ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥𝛽 (b) 𝑔 ℎ 𝛽-tựa lồi mạnh tập lồi 𝐵 nếu, với 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐵 𝑡 ∈ (0,1), 𝑔((1 − 𝑡)𝑥1 + 𝑡𝑥2 ) ≤ max{𝑔(𝑥1 ), 𝑔(𝑥2 )} − ℎ𝑡(1 − 𝑡) ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥𝛽 (c) 𝑔 ℎ 𝛽-giống lồi mạnh 𝐵 (𝐵 không cần thiết phải lồi) nếu, 119 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 với 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐵 𝑡 ∈ (0,1), tồn 𝑧 ∈ 𝐵 cho, giả thiết tập nghiệm khác rỗng lân cận điểm xét 𝑔(𝑧) ≤ (1 − 𝑡)𝑔(𝑥1 ) + 𝑡𝑔(𝑥2 ) − ℎ𝑡(1 − 𝑡) ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥𝛽 Định lý 3.1 Xét (CMP), giả sử tập nghiệm (CMP) tồn lân cận 𝑁 × 𝑈 điểm (𝜆̅, 𝑝̅ ) ∈ Λ × 𝑀 Giả sử thêm (d) 𝑔 ℎ 𝛽-tựa giống lồi mạnh 𝐵 (𝐵 không cần thiết phải lồi) nếu, với 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐵 𝑡 ∈ (0,1), tồn 𝑧 ∈ 𝐵 cho, 𝑔(𝑧) ≤ max{𝑔(𝑥1 ), 𝑔(𝑥2 )} − ℎ𝑡(1 − 𝑡) ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥𝛽 Chú ý 2.1 Dễ thấy tính lồi mạnh (giống lồi mạnh) suy tính tựa lồi mạnh (tựa giống lồi mạnh) Ví dụ sau chiều ngược lại khơng Ví dụ 2.1 Cho 𝑔: ℝ → ℝ xác định 𝑔(𝑥) = −𝑥 − 2𝑥 với 𝑥 ∈ [0,1] Khi đó, 𝑔 1.2-tựa lồi mạnh [0,1] nhưng, khơng khơng lồi mạnh mà cịn khơng lồi [0,1] (i) 𝐾 ℓ 𝛼-liên tục Hölder lân cận 𝑁 𝜆̅; (ii) với 𝑝 ∈ 𝑈, 𝑓(⋅, 𝑝) 𝑚 𝛿-liên tục Hölder ℎ 𝛽-tựa lồi mạnh conv(𝐾(𝑁)); (iii) với 𝑥 ∈ 𝐾(𝑁), 𝑓(𝑥,⋅) 𝑛 𝛾liên tục Hưlder 𝑈 Khi đó, 𝑁 × 𝑈, ánh xạ nghiệm 𝑆 đơn trị thỏa mãn điều kiện Hölder sau: với (𝜆1 , 𝑝1 ), (𝜆2 , 𝑝2 ) ∈ 𝑁 × 𝑈, 4𝑚ℓ𝛿 𝛽 𝜌(𝑆(𝜆1 , 𝑝1 ), 𝑆(𝜆2 , 𝑝2 )) ≤ ( 𝛿 ) ℎ Ta nói 𝑔 ℎ 𝛽-tựa lõm mạnh (giống tựa lõm mạnh) 𝐵 −𝑔 ℎ 𝛽- tựa lồi mạnh (giống tựa lồi mạnh) 𝐵 TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM Trong mục này, phát biểu kết báo Cụ thể, điều kiện đủ cho tính liên tục Hưlder ánh xạ nghiệm toán cực tiểu hóa có điều kiện phụ thuộc tham số thiết lập Vì tồn tập nghiệm nghiên cứu nhiều, không nghiên cứu tồn ∥ 𝜆1 − 𝜆2 𝛼𝛿 ∥𝛽 + ∥ 𝑝1 − 𝑝2 𝛾 𝛽 ∥ 8𝑛 𝛽 ( ) ℎ Chứng minh Ta chia nội dung chứng minh thành ba bước Bước Xét 𝑥11 ∈ 𝑆(𝜆1 , 𝑝1 ) 𝑥21 ∈ 𝑆(𝜆2 , 𝑝1 ) tùy ý Ta chứng minh ∥ 𝑥11 − 𝑥21 ∥≤ ( 4𝑚ℓ𝛿 𝛽 2𝛿 ℎ 𝛼𝛿 ) ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥ 𝛽 (1) Từ tính liên tục Hưlder 𝐾, tồn 𝑥1 ∈ 𝐾(𝜆1 ) 𝑥2 ∈ 𝐾(𝜆2 ) cho 120 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô ∥ 𝑥11 − 𝑥2 ∥≤ ℓ ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝛼 , ∥ 𝑥21 − 𝑥1 ∥≤ ℓ ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝛼 (2) Vì 𝐾 có giá trị lồi, ta có 𝑥2 +𝑥21 𝑥1 +𝑥11 ∈ 𝐾(𝜆1 ) ∈ 𝐾(𝜆2 ) Theo định nghĩa ≤ 𝑓( 𝑓( ∥ 𝑥11 − 𝑥21 ∥≤ ( , 𝑝1 ) − 𝑓 (𝑥11 , 𝑝1 ) ≥ 𝑥2 +𝑥21 , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ) ≥ 𝛼𝛿 𝛽 𝑓( (3) ) ∥ 𝜆1 − ℎ (4) Trường hợp 1: max{𝑓(𝑥11 , 𝑝1 ), 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 )} = 𝑓(𝑥11 , 𝑝1 ), (4) suy ℎ ∥ 𝑥11 − 𝑥21 ∥𝛽 ≤ 𝑓 (𝑥11 , 𝑝1 ) 𝑥11 + 𝑥21 −𝑓( , 𝑝1 ) 𝑥11 + 𝑥21 ≤ 𝑓(𝑥11 , 𝑝1 ) − 𝑓 ( , 𝑝1 ) 𝑥1 + 𝑥11 +𝑓( , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑥11 , 𝑝1 ) 𝑥1 + 𝑥11 𝑥11 + 𝑥21 𝛿 𝑚 ≤𝑚∥ − ∥ = 𝛿 2 𝛿 ∥ 𝑥1 − 𝑥21 ∥ (5) ℎ ∥ 𝑥11 − 𝑥21 ∥𝛽 ≤ 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ) 𝑥11 + 𝑥21 −𝑓( , 𝑝1 ) 𝑥11 + 𝑥21 ≤ 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ) − 𝑓 ( , 𝑝1 ) 𝑥2 + 𝑥21 +𝑓( , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ) max{𝑓(𝑥11 , 𝑝1 ), 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 )} − ∥ 𝑥11 − 𝑥21 ∥ 2𝛿 ℎ Trường hợp 2: max{𝑓(𝑥11 , 𝑝1 ), 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 )} = 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ), (4) suy , 𝑝1 ) ≤ 𝛽 4𝑚ℓ𝛿 𝛽 𝜆2 ∥ Sử dụng giả thiết tựa lồi mạnh (ii), ta có 𝑥11 +𝑥21 𝑚 𝑚ℓ𝛿 𝛼𝛿 ( ) ℓ ∥ 𝜆 − 𝜆 ∥ = 2𝛿 2𝛿 𝛼𝛿 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥ , suy tập nghiệm, ta có, 𝑥1 +𝑥11 Số 11 - 2021 ≤𝑚∥ 𝑥2 + 𝑥21 𝑥11 + 𝑥21 𝛿 𝑚 − ∥ = 𝛿 2 𝛿 ∥ 𝑥2 − 𝑥11 ∥ 𝑚 𝑚ℓ𝛿 𝛼𝛿 ( ) ≤ 𝛿 ℓ ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥ = 𝛿 2 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝛼𝛿 , suy ∥ 𝑥11 − 𝑥21 ∥≤ ( 𝛼𝛿 𝛽 𝜆2 ∥ 121 4𝑚ℓ𝛿 𝛽 2𝛿 ℎ ) ∥ 𝜆1 − (6) Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Từ (5) (6), ta bất đẳng thức (1) Bước Với 𝑥21 ∈ 𝑆(𝜆2 , 𝑝1 ) 𝑥22 ∈ 𝑆(𝜆2 , 𝑝2 ), ta có 𝑓(𝑥22 , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ) ≥ 𝑓(𝑥21 , 𝑝2 ) − 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 ) ≥ Ta chứng minh 8𝑛 𝛽 ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥≤ ( ) ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥ (7) 𝑥21 +𝑥22 Vì 𝐾 có giá trị lồi, ta có ∈ 𝐾(𝜆2 ) Theo định nghĩa tập nghiệm, ta có 𝑓( 𝑓 ( 𝑥21 +𝑥22 𝑥21 +𝑥22 2 , 𝑝2 ) − 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 ) ≥ , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ) ≥ (8) Sử dụng tính tựa lồi mạnh (ii), ta có 𝑓( 𝑥21 +𝑥22 , 𝑝2 ) ≤ ≤ 𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 + 𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 = 2𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 , suy ℎ Trường hợp 2: max{𝑓(𝑥21 , 𝑝2 ), 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 )} = 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 ), (9) suy ℎ ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥𝛽 ≤ 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 ) 𝑥21 + 𝑥22 −𝑓( , 𝑝2 ) 𝑥21 + 𝑥22 ≤ 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 ) − 𝑓 ( , 𝑝2 ) + 𝑓(𝑥21 , 𝑝2 ) − 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 ) ℎ +𝑓 ( (9) Trường hợp 1: max{𝑓(𝑥21 , 𝑝2 ), 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 )} = 𝑓(𝑥21 , 𝑝2 ), (9) suy ℎ ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥𝛽 ≤ 𝑓(𝑥21 , 𝑝2 ) 𝑥21 + 𝑥22 −𝑓( , 𝑝2 ) 𝑥21 + 𝑥22 ≤ 𝑓(𝑥21 , 𝑝2 ) − 𝑓 ( , 𝑝2 ) + 𝑓(𝑥22 , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ) 𝛾 ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥≤ ( ) ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛽 (10) max{𝑓(𝑥21 , 𝑝2 ), 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 )} − ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥𝛽 𝑥21 + 𝑥22 , 𝑝2 ) − 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 ) 8𝑛 𝛽 𝛾 𝛽 ℎ +𝑓 ( Số 11 - 2021 𝑥21 + 𝑥22 , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ) ≤ 𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 + 𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 = 2𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 , suy 8𝑛 𝛽 𝛾 ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥≤ ( ) ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛽 (11) ℎ Từ (10) (11), (7) chứng minh Bước Với 𝑥11 ∈ 𝑆(𝜆1 , 𝑝1 ) 𝑥22 ∈ 𝑆(𝜆2 , 𝑝2 ), từ (1) (7), ta có ∥ 𝑥11 − 𝑥22 ∥≤∥ 𝑥11 − 𝑥21 ∥ + ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥, 122 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô thiết Định lý 3.1 thỏa mãn với 𝑙 = 1, 𝛼 = 1, ℎ = 2, 𝛽 = 1, 𝑚 = 2, 𝛿 = 1, 𝑛 = 2, 𝛾 = Tập nghiệm 𝑆(𝜆, 𝑝) = {0} liên tục Hölder với (𝜆, 𝑝) suy 𝜌(𝑆(𝜆1 , 𝑝1 ), 𝑆(𝜆2 , 𝑝2 )) ≤ ( ∥ 𝜆1 − 𝜆2 𝛼𝛿 ∥𝛽 + 𝛿 𝛽 4𝑚ℓ 2𝛿 ℎ Số 11 - 2021 ) 𝛾 8𝑛 𝛽 ( ) ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛽 ℎ Đặt 𝜆2 = 𝜆1 𝑝2 = 𝑝1 bất đẳng thức trên, ta thấy đường kính 𝑆(𝜆1 , 𝑝1 ) với (𝜆1 , 𝑝1 ) tùy ý, nghĩa là, ánh xạ nghiệm 𝑆 đơn trị 𝑁 × 𝑈 Định lý 3.1 chứng minh ∎ Chú ý 3.1 Định lý 3.1 cải thiện Định lý 3.3 Li and Li (2014) Hệ 4.1 Anh et al (2015) theo hai phương diện sau: Tính lồi mạnh hàm mục tiêu 𝑓 thành phần thứ giảm nhẹ thành tựa lồi mạnh Ta biết tính lồi mạnh điều kiện nặng điều kiện khó áp dụng tình thực tế Vì vậy, giảm nhẹ có ý nghĩa Tính chất Lipschitz hàm mục tiêu 𝑓 thành phần thứ hai tổng quát lên thành tính liên tục Hưlder Ví dụ sau trường hợp Định lý 3.1 áp dụng kết Li and Li (2014) Anh et al (2015) khơng Ví dụ 3.1 Cho 𝑋 = 𝐴 = ℝ, Λ = 𝑀 = [0,1], 𝐾(𝜆) = [0, 𝜆], 𝑓(𝑥, 𝑝) = (𝑝 + 1)𝑥 Khi đó, ta thấy tất giả Rõ ràng điều kiện lồi mạnh 𝑓 không thỏa mãn Nghĩa là, kết Li and Li (2014) Anh et al (2015) khơng áp dụng Ví dụ giả thiết Định lý 3.1 thiết yếu Ví dụ 3.2 (tính tựa lồi mạnh quan trọng) Cho 𝑋 = 𝐴 = ℝ, Λ = 𝑀 = [0,1], 𝐾(𝜆) = [𝜆, 2], (𝜆̅, 𝑝̅ ) = (0,0), 2 𝑓(𝑥, 𝑝) = 𝑝 (−𝑥 ) Khi đó, giả thiết (i) thỏa mãn với 𝑙 = 1, 𝛼 = 1, tính liên tục Hưlder (ii) thỏa mãn với 𝑚 = 4, 𝛿 = Giả thiết (iii) thỏa mãn với 𝑛 = 8, 𝛾 = Tập nghiệm 𝑆(𝜆, 𝑝) = { [0,2], {2}, 𝑝 = 0, 𝑝 ≠ Do đó, 𝑆(0,0) khơng đơn phần tử chí 𝑆 khơng nửa liên tục (𝜆̅, 𝑝̅ ) = (0,0) Nguyên nhân tính tựa lồi mạnh 𝑓 (ii) bị vi phạm Trong trường hợp đặc biệt 𝐾(𝜆) ≡ 𝐾 (𝐾 tập khác rỗng), tính tựa lồi mạnh giả thiết (ii) Định lý 3.1 giảm xuống thành giống tựa lồi mạnh, thu kết sau Định lý 3.2 Xét (CMP) với 𝐾(𝜆) ≡ 𝐾, giả sử tập nghiệm tồn lân cận 𝑈 123 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô điểm 𝑝̅ ∈ 𝑀 Giả sử thêm điều kiện sau thỏa mãn (ii) với 𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓(𝑥,⋅) 𝑛 𝛾-liên tục Hölder 𝑈 ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥≤ ( ) ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛽 (14) ℎ ℎ ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥𝛽 ≤ 𝑓(𝑥2 , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑧̅, 𝑝1 ) Khi đó, 𝑈, ánh xạ nghiệm 𝑆 đơn trị thỏa mãn điều kiện Hölder sau: với 𝑝1 , 𝑝2 ∈ 𝑈, 𝜌(𝑆(𝑝1 ), 𝑆(𝑝2 )) ≤ ( ) ℎ ≤ 𝑓(𝑥2 , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑧̅, 𝑝1 ) + 𝑓(𝑧̅, 𝑝1 ) − 𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ) + 𝑓(𝑥1 , 𝑝2 ) − 𝑓(𝑥2 , 𝑝2 ) 𝛾 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛽−1 Chứng minh Với 𝑥1 ∈ 𝑆(𝑝1 ) 𝑥2 ∈ 𝑆(𝑝2 ), ta có 𝑓(𝑥2 , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ) ≥ 0, 𝑓(𝑥1 , 𝑝2 ) − 𝑓(𝑥2 , 𝑝2 ) ≥ (12) Theo tính giống tựa lồi mạnh 𝑓 𝐾, tồn 𝑧̅ ∈ 𝐾 cho ≤ 𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 + 𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 = 2𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 , suy ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥𝛽 (13) Trường hợp 1: max{𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ), 𝑓(𝑥2 , 𝑝1 )} = 𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ), (13) suy ℎ ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥𝛽 ≤ 𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑧̅, 𝑝1 ) ≤ 𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑧̅, 𝑝1 ) + 𝑓(𝑧̅, 𝑝2 ) − 𝑓(𝑥2 , 𝑝2 ) + 𝑓(𝑥2 , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ) ≤ 𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 + 𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 = 2𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 , suy 𝛾 𝛽 8𝑛 𝛽 ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥≤ ( ) ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥ (15) ℎ Do 𝛾 8𝑛 𝛽 𝜌(𝑆(𝑝1 ), 𝑆(𝑝2 )) ≤ ( ) ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛽 ℎ 𝑓(𝑧̅, 𝑝1 ) ≤ max{𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ), 𝑓(𝑥2 , 𝑝1 } − ℎ 𝛾 8𝑛 𝛽 Trường hợp 2: max{𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ), 𝑓(𝑥2 , 𝑝1 )} = 𝑓(𝑥2 , 𝑝1 ), (13) suy (i) với 𝑝 ∈ 𝑈, 𝑓(⋅, 𝑝) ℎ 𝛽giống tựa lồi mạnh conv(𝐾); 4𝑛 𝛽−1 Số 11 - 2021 Đặt 𝑝2 = 𝑝1 bất đẳng thức trên, đường kính 𝑆(𝑝1 ) với 𝑝1 tùy ý, nghĩa là, ánh xạ nghiệm 𝑆 đơn trị 𝑈 ∎ KẾT LUẬN Trong báo này, cách sử dụng giả thiết tính tựa lồi mạnh, thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục Hưlder ánh xạ nghiệm cho tốn cực tiểu hóa có ràng buộc phụ thuộc tham số Chúng tơi cung cấp ví dụ phản ví dụ để minh họa khả áp dụng thiết yếu giả thiết 124 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Các kết đạt có ý nghĩa tốn học ứng dụng Hơn nữa, tin cách tiếp cận áp dụng cho tốn quan trọng khác toán quan hệ biến phân, toán bao hàm thức biến phân,… TÀI LIỆU THAM KHẢO Anh, L.Q., Khanh, P.Q., 2009 Hölder continuity of the unique solution to quasiequilibrium problems in metric spaces Journal of Optimization Theory and Applications 141: 37–54 Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N., 2015 On Hö lder continuity of solution maps of parametric primal and dual Ky Fan inequalities TOP 23: 151– 167 Anh, L.Q, Duoc, P.T, Tam, T.N., 2018 On Lipschitz continuity of solution maps to parametric vector primal and dual equilibrium problems Optimization 67:1169–1182 Chen, C.R., 2013 Hölder continuity of the unique solution to parametric vector quasiequilibrium problems via nonlinear scalarization Positivity 17: 133–150 Eichfelder, G., Ha, T.X.D., 2013 Optimality conditions for vector optimization problems with variable ordering structures Optimization 62: 597–627 Số 11 - 2021 Guo, L., Lin, G.H., Ye, J.J., 2012 Stability analysis for parametric mathematical programs with geometric constraints and its applications SIAM Journal of Optimization 22: 1151–1176 Gfrerer, H., 2013 On directional metric subregularity and second-order optimality conditions for a class of nonsmooth mathematical programs SIAM Journal of Optimization 23: 632– 665 Gfrerer, H., 2014 Optimality conditions for disjunctive programs based on generalized differentiation with application to mathematical programs with equilibrium constraints SIAM Journal of Optimization 24: 898–931 Gfrerer, H., Klatte, D., 2015 Lipschitz and Hölder stability of optimization problems and generalized equations Mathematical Programming 10 Khan, A.A., Tammer, C., Zălinescu, C., 2015 Set-Valued Optimization: An Introduction with Applications Springer, Berlin 11 Khushboo, Lalitha, C.S., 2019 Scalarizations for a set optimization problem using generalized oriented distance function Positivity 12 Li, X.B., Li, S.J., Wang, L.N., Teo, K.L., 2009 The Hölder continuity of solutions to generalized vector equilibrium problems European Journal of Operational Research 199: 334–338 125 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô 13 Li, S., Li, X., 2011 Hölder continuity of solutions to parametric weak generalized ky fan inequality Journal of Optimization Theory and Applications 149: 540–553 Số 11 - 2021 14 Li, X., Li, S., 2014 Hölder continuity of perturbed solution set for convex optimization problems Applied Mathematics and Computation 232: 908–918 H𝐎̈LDER CONTINUITY OF SOLUTION MAPPINGS TO CONSTRAINED MINIMIZATION PROBLEMS Nguyen Huu Danh1* and Tran Ngoc Tam2 Faculty of Basic Sciences, Tay Do University Faculty of Natural Sciences, Can Tho University (*Email: nhdanh@tdu.edu.vn) ABSTRACT In this paper, we are concerned a constrained minimization problem under perturbations of both objective functions and constraints Under the key assumptions of the strong quasiconvexity, Hölder continuity of objective functions, the Hölder continuity of constrained mapping, sufficient conditions for the stability in the sense of Hölder/Lipschitz continuity of solution mappings to such problems are established Our study aimed at improving the problem from the results of Li and Li (2014), and Anh et al (2015) More precisely, we want to relax the strong convexity conditions in the above results to the weaker one whereas Hölder/Lipschitz continuity for solution mappings to the constrained minimization problem is also archived Numerous examples are also given to illustrate that our main results are new and different from the ones in literature Keywords: Constrained minimization problems, Hölder continuity, Lipschitz continuity, Strong quasiconvexity 126 ... thiết liên quan đến tính lồi mạnh tính liên tục Lipschitz hàm mục tiêu, Li and Li (2014) đạt tính liên tục Hưlder ánh xạ nghiệm tốn cực tiểu hóa có điều kiện Gần đây, tính liên tục Hưlder ánh xạ nghiệm. .. (giống tựa lồi mạnh)