TÍNH LIÊN tục HOLDER và sự ổn ĐỊNH của NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH MONGE AMPERE tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN VĂN THỦY TÍNH LIÊN TỤC HOLDER VÀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 9.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2018 Cơng trình hồn thành tại: Khoa Tốn - Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Văn Trào Phản biện 1: GS TSKH Phạm Hồng Hiệp - Viện Tốn Học Phản biện 2: GS TS Nguyễn Quang Diệu - Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Thạc Dũng - ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Vào lúc ngày tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư viện Quốc Gia, Hà Nội - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Mở đầu Lý chọn đề tài Tốn tử Monge-Ampère phức đối tượng đóng vai trị trung tâm lý thuyết đa vị, hướng nghiên cứu thu hút nhiều nhà toán học giới quan tâm, hướng phát triển mạnh mẽ gặt hái nhiều thành tựu hai thập niên qua số nhà toán học như: P ˚ Ahag, E Bedford, Z Blocki, U Cegrell, L.H Chinh, R Czy˙z, J.P Demailly, V Guedj, L.M Hải, P.H Hiệp, N.X Hồng, T.V Khanh, N.V Khuê, S Kolodziej, B.A Taylor, Y Xing, A Zeriahi, Một hướng nghiên cứu quan trọng toán tử Monge-Ampère phức tốn Dirichlet M A(Ω, φ, f ) Từ năm 1976 đến 2016, tác giả gặt hái nhiều kết quan trọng toán này, với trường hợp từ Ω miền giả lồi chặt, bị chặn có biên trơn Cn tới Ω miền giả lồi bị chặn với biên lớp C , đa điều hòa loại m Như vậy, toán M A(Ω, φ, f ) miền giả lồi khơng trơn đa điều hịa loại m vấn đề mở Tiếp theo, cho dãy hàm đa điều hòa {uj }, ta quan tâm đến hội tụ theo Cp -dung lượng với p = {n − 1, n}, hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng {(ddc uj )n }, mối liên hệ chúng Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu vấn đề Cụ thể, tác giả điều kiện định hội tụ theo Cp -dung lượng với p = {n−1, n} dãy hàm {uj } đảm bảo hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng {(ddc uj )n } ngược lại Tuy nhiên, việc nghiên cứu số điều kiện đủ để có tương đương hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm {uj } hội tụ yếu dãy toán tử Monge-Ampère phức tương ứng, dựa sở để nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức vấn đề mở Tiếp tục hướng nghiên cứu này, quan tâm tới vấn đề thác triển hàm đa điều hòa u tới miền lớn hơn, đặc biệt hàm thác triển cực đại Theo suốt hướng này, tác giả quan tâm tới vấn đề tồn thác triển dưới, thác triển cực đại u, nghiên cứu nhiều tính chất chúng, độ đo Monge-Ampère phức hàm thác triển dưới, thác triển cực đại Như vậy, vấn đề hội tụ theo Cn -dung lượng hàm thác triển cực đại toán mở 2 Từ vấn đề nêu trên, chọn hướng nghiên cứu với đề tài luận án "Tính liên tục Holder ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampere" Mục đích nghiên cứu Từ thành tựu đạt gần đây, mục đích Luận án là: • Nghiên cứu tốn Dirichlet tốn tử Monge-Ampère phức miền giả lồi khơng trơn, đa điều hịa loại m • Tìm điều kiện đủ để có tương đương hội tụ theo Cn dung lượng dãy hàm đa điều hòa hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức • Nghiên cứu hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm thác triển cực đại • Tiếp tục nghiên cứu tìm hiểu, để tìm vấn đề nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu ◦ Hàm đa điều hòa dưới, thác triển cực đại hàm đa điều hòa ◦ Các lớp hàm đa điều hòa U Cegrell giới thiệu, nghiên cứu phát triển nhiều tác giả ◦ Toán tử Monge-Ampère phức ◦ Bài toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức ◦ Phương trình Monge-Ampère phức nghiệm chúng lớp hàm Cegrell ◦ Các tính chất hội tụ theo Cn -dung lượng hàm đa điều hòa hàm thác triển cực đại hàm đa điều hòa Phương pháp nghiên cứu • Ứng dụng phương pháp kỹ thuật truyền thống nhà tốn học sử dụng, nghiên cứu Giải tích phức • Tham gia seminar nhóm, seminar Tổ mơn để thường xuyên trao đổi, thảo luận, nghiên cứu vấn đề vướng mắc, vấn đề 3 Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án Lý thuyết đa vị hướng nghiên cứu nhiều tác giả quan tâm Bởi ứng dụng chúng giải tích phức nhiều biến, hình học vi phân phức, phương trình đạo hàm riêng phức, động lực học phức, giải tích hyperbolic, Kết Luận án góp phần nghiên cứu hoàn thiện lý thuyế đa vị, kỹ thuật hướng nghiên cứu Cấu trúc luận án Ngoài phần: Mục lục, Mở đầu, Tổng quan vấn đề nghiên cứu, Kết luận kiến nghị, Danh mục cơng trình sử dụng luận án, Tài liệu tham khảo Nội dung Luận án bao gồm ba chương: • Chương Tớnh liờn tc Hăolder ca nghim phng trỡnh Monge-Ampốre phc • Chương Sự ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức • Chương Thác triển cực đại hàm đa điều hòa Tổng quan nghiờn cu Tớnh liờn tc Hă older nghiệm phương trình Monge-Ampère phức miền giả lồi không trơn Cho Ω ⊂ Cn tập mở với n ≥ Một hàm nửa liên tục u : Ω → [−∞, +∞) gọi đa điều hòa Ω với đường thẳng phức l Cn , u|l∩Ω điều hòa l ∩ Ω Ta kí hiệu PSH(Ω) họ hàm đa điều hòa định nghĩa Ω, PSH– (Ω) họ hàm đa điều hòa âm Ω MPSH(Ω) tập tất hàm đa điều hòa cực đại Ω Ta ký hiệu (ddc )n toán tử Monge-Ampère phức, d = ∂ + ∂ dc = i ∂ − ∂ , ddc = 2i∂∂ Năm 2004, U Cegrell lớp hàm đa điều hịa khơng bị chặn miền siêu lồi bị chặn mà toán tử Monge-Ampère phức định nghĩa Ta xét tốn Dirichlet cho phương trình Monge-Ampère phức:   u ∈ PSH (Ω) ∩ L∞ (Ω)    c n M A(Ω, φ, f ) : (dd u) = f dVn Ω    limu (z) = φ (ξ) , ∀ξ ∈ ∂Ω z→ξ Ở đó, f hàm không âm Ω, f ∈ Lp (Ω) với p > hàm φ liên tục bị chặn biên Ω Với dạng thể tích dVn = n!1 β n , β = ddc z dng Kăahler chớnh tc ca Cn Ta ký hiu u (Ω, φ, f ) nghiệm toán M A (Ω, φ, f ) Khi Ω miền giả lồi chặt, bị chặn với biên trơn Cn , năm 1976 E Bedford B.A Taylor M A (Ω, φ, f ) có nghiệm u(Ω, φ, f ) ∈ C 0,α (Ω) φ ∈ C 0,2α (∂Ω) f n ∈ C 0,α Ω với < α ≤ Tiếp theo, năm 1982 E Bedford B.A Taylor, tiếp tục toán M A (Ω, φ, f ) tồn nghiệm u (Ω, φ, f ) liên tục Ω, hàm f liên tục Ω Năm 1985, L Caffarelli, J.J Kohn, L Nirenberg J Spruck rằng, < f ∈ C ∞ Ω φ ∈ C ∞ (∂Ω) M A (Ω, φ, f ) có nghiệm đa điều hịa u ∈ C ∞ Ω Khi Ω miền giả lồi khơng trơn tốn trở nên phức tạp nhiều Năm 2004, S Y Li lại quan tâm tới việc nghiên cứu toán miền giả lồi bị chặn Cn với biên lớp C Ông chứng minh Ω miền giả lồi bị chặn, đa điều 0,α n hòa loại m với biên lớp C , φ ∈ C 0,mα (∂Ω) với < α Ω m f ∈ C M A (Ω, φ, f ) có nghiệm u ∈ C 0,α Ω Năm 2008, V Guedj, S Kolodziej A Zeriahi nghiên cứu toán miền giả lồi mạnh bị chặn Họ φ ∈ C 1,1 (∂Ω) f ∈ Lp (Ω) với p > nghiệm u toán M A (Ω, φ, f ) liên tục -Hăolder Gn õy, L Baracco, T V Khanh, S Pinton G Zampieri tổng quát kết V Guedj, S Kolodziej A Zeriahi tới miền giả lồi bị chặn, trơn lớp C , đa điều hòa loại m Vấn đề mà Luận án quan tâm nghiên cứu đưa kết tổng quát cho Định lý L Baracco, T V Khanh, S Pinton G Zampieri cho miền giả lồi khơng trơn, đa điều hịa loại m (khơng thiết bị chặn) Sự ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức Khái niệm Cn -dung lượng tập Borel hai tác giả E Bedford B A Taylor giới thiệu nghiên cứu từ 1982 Năm 1996, Y Xing chứng minh toán tử Monge-Ampère liên tục hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm đa điều hịa Hơn nữa, ơng đưa điều kiện đủ để đảm bảo hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng dãy hàm đa điều hòa bị chặn Sau đó, năm 2008, Y Xing thu nhiều kết quan trọng mối liên hệ hội tụ theo dung lượng dãy hàm đa điều hòa hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng Năm 2010, P H Hiệp nghiên cứu hội tụ theo Cn -dung lượng hàm thuộc lớp hàm E(Ω) Gần đây, năm 2012 U Cegrell chứng minh dãy hàm đa điều hòa bị chặn hàm thuộc lớp Cegrell E(Ω) hội tụ theo Cn−1 -dung lượng độ đo Monge-Ampère tương ứng hội tụ theo topo yếu Hơn nữa, ta biết rằng, hội tụ theo phân bố hàm đa điều hòa trường hợp tổng quát không suy hội tụ độ đo MongeAmpère tương ứng Vì vậy, việc tìm điều kiện đủ để từ hội tụ theo nghĩa dãy hàm đa điều hịa kéo theo hội tụ theo topo yếu dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng có ý nghĩa lớn Bài tốn đặt ta nghiên cứu số điều kiện đủ để có tương đương hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm {uj } hội tụ yếu dãy tốn tử Monge-Ampère phức tương ứng hay khơng Đây vấn đề mà luận án quan tâm nghiên cứu Trên sở đó, ta sử dụng kết đạt để nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức Cụ thể, luận án đưa kết tổng quát cho định lý ổn định U Cegrell S Kolodziej năm 2006 Thác triển cực đại hàm đa điều hòa Vấn đề nghiên cứu thác triển hàm đa điều hòa thu hút quan tâm số tác giả sớm Kết theo hướng Định lý H El Mir Ông đưa ví dụ hàm đa điều hòa song đĩa đơn vị mà hạn chế song đĩa nhỏ không tồn thác triển đa điều hịa tồn khơng gian Sau đó, năm 1988, E Bedford B A Taylor chứng minh với miền bị chặn có biên trơn Cn ln tồn hàm đa điều hịa trơn mà không chấp nhận thác triển tới miền lớn Như vậy, nghiên cứu toán thác triển hàm đa điều hòa dưới, tác giả quan tâm đến điều kiện để đảm bảo tồn hàm thác triển Kết vấn đề thác triển lớp Cegrell thuộc U Cegrell and Zeriahi Trong vấn đề thác triển cực đại hàm đa điều hòa dưới, kết thuộc Cegrell, S Kolodziej A Zeriahi năm 2011 Họ giới thiệu khái niệm thác triển cực đại hàm đa điều hòa nghiên cứu lớp Cegrell F(Ω) Gần đây, N.X Hồng chứng minh kết độ đo Monge-Ampère thác triển cực đại hàm đa điều hòa với giá trị biên Trong vấn đề thứ ba này, luận án ứng dụng kết chương tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức để nghiên cứu hội tụ theo dung lượng dãy hàm thác triển cực đại hàm đa điều hòa với giá tr biờn Chng Tớnh liờn tc Hă older ca nghiệm phương trình Monge-Ampère phức Trong chương này, ta nghiên cứu toán M A (Ω, φ, f ) miền giả lồi khơng trơn, đa điều hịa loại m, nghiên cứu tính chất nghiệm chúng 1.1 Sự tồn nghiệm toán Dirichlet Ta nhắc lại khái niệm miền siêu lồi Cn cần dùng luận án Định nghĩa 1.1.1 Một miền bị chặn Ω ⊂ Cn gọi siêu lồi tồn hàm đa điều hòa bị chặn ρ cho {z ∈ Ω : ρ(z) < c} Ω, với c ∈ (−∞, 0) Bây giờ, ta đưa định nghĩa tổng quát miền giả lồi, đa điều hòa loại m (không thiết bị chặn) Định nghĩa 1.1.2 Cho m > Ω miền giả lồi Cn Ta nói Ω đa điều hòa loại m tồn hàm bị chặn ρ ∈ C 0, m Ω cho {ρ < −ε} Ω, ∀ε > ρ (z) − |z|2 đa điều hòa Ω Ta biết với miền giả lồi chặt bị chặn, trơn Cn miền đa điều hòa loại Song song với việc chứng minh tồn nghiệm toán M A (Ω, φ, f ) việc nghiên cứu tính chất nghiệm nó, đặc biệt tớnh liờn tc Hăolder ca u (, , f ) Ta có mệnh đề đặc trưng lớp hàm liờn tc Hăolder nh sau Mnh 1.1.3 Cho S tập Cn ϕ : S → R Giả sử α > Khi đó, mệnh đề sau tương đương (a) ϕ l liờn tc -Hăolder v b chn trờn S , nghĩa sup |ϕ(ξ)| + ξ∈S sup ξ,ζ∈S, ξ=ζ |ϕ(ξ) − ϕ(ζ)| < +∞ |ξ − ζ|α (b) Tồn N, δ0 > cho |ϕ(ξ)| ≤ N , ∀ξ ∈ S |ϕ(ξ) − ϕ(ζ)| ≤ N δ α , ∀δ ∈ (0, δ0 ), ∀ξ, ζ ∈ S, |ξ − ζ| ≤ δ Tập tất hm liờn tc -Hă older trờn S c ký hiu C 0,α (S) Tiếp theo, ta có mệnh đề v tớnh liờn tc Hăolder ca nghim bi toỏn M A(Ω, φ, 0) Mệnh đề 1.1.4 Cho m > Ω miền giả lồi, đa điều hòa loại m Cho ρ Định nghĩa 1.1.2 φ ∈ C 0,α (∂Ω) Ta đặt M := sup |φ(ξ)| + ξ∈∂Ω sup ξ,ζ∈∂Ω,ξ=ζ |φ(ξ) − φ(ζ)| |ξ − ζ|α u = u(Ω, φ, 0) := sup{ϕ ∈ PSH(Ω) : ϕ ≤ min(φ(ξ) − hξ , M ), ∀ξ ∈ ∂Ω}, hξ (z) := −4M −ρ(z) + |z − ξ|2 α , z ∈ Ω, ξ ∈ ∂Ω α Khi đó, u nghiệm bị chặn toán M A(Ω, φ, 0) Hơn nữa, u ∈ C 0,min( m ,α) (Ω) Tiếp theo, hoàn cảnh Mệnh đề 1.1.4 ta có mệnh đề tồn nghiệm bị chặn toán M A(Ω, φ, f ) miền giả lồi, đa điều hòa loại m cho trường hợp f có giá compact Ω Mệnh đề 1.1.5 Với p > với ≤ f ∈ Lp (Ω) có giá compact Ω, tồn số A > nghiệm bị chặn u(Ω, φ, f ) M A(Ω, φ, f ) cho u(Ω, φ, 0) + Aρ ≤ u(Ω, φ, f ) ≤ u(Ω, φ, 0) Ω, u(Ω, φ, 0) định nghĩa Mệnh đề 1.1.4 Từ Định lý S Kolodziej năm 1996 Mệnh đề 1.1.5 ta có định lí tồn nghiệm toán M A(Ω, φ, f ) 9 Định lý 1.1.6 Cho m > Ω miền giả lồi, đa điều hòa loại m Cho φ ∈ C 0,α (∂Ω) với < α ≤ ≤ f ∈ Lp (Ω) với p > Giả sử Ω bị chặn giá f tập compact Ω Khi đó, tồn nghiệm tốn M A(Ω, φ, f ) Nhật xét Ta biết tính nghiệm miền bị chặn suy từ Định lý 3.9 U Cegrell năm 2008 Tuy nhiên, miền khơng bị chặn tính nghiệm tốn mở 1.2 Tính liên lục Hă older ca nghim bi toỏn Dirichlet nghiờn cu tớnh liờn tc Hăolder ca nghim bi toỏn M A (Ω, φ, f ) ta áp dụng kỹ thuật V Guedj, S Kolodziej A Zeriahi năm 2008, ta cần khái niệm Cn -dung lượng tập Borel, hai tác giả E Bedford B.A Taylor giới thiệu nghiên cứu từ 1982 Định nghĩa 1.2.1 Cho Ω ⊂ Cn tập mở Nếu K tập compact Ω Khi đó, Cn -dung lượng K Ω định nghĩa     c n Cn (K, Ω) := sup (dd u) : u ∈ PSH (Ω) , −1 u   K Nếu E tập Ω Cn (E, Ω) := sup Cn (K, Ω) : K tập compact E Chú ý E tập Borel   Cn (E, Ω) = sup (ddc u)n : u ∈ PSH (Ω) , −1  u E    Trước trình bày nội dung tiếp theo, ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.2.2 Cho m > Ω miền giả lồi, đa điều hòa loại m Cho p > ≤ f ∈ Lp (Ω) với giá compact Ω Giả sử u ∈ PSH(Ω) ∩ L∞ (Ω) cho (ddc u)n = f dV Ω Khi đó, với 0≤γ< np , + p−1 10 tồn số dương Aγ cho γ   sup(v − u) ≤ Aγ  Ω  |u − v|dV  , suppf với v ∈ PSH(Ω) với {u ≤ v − ε} Ω, ∀ε > Tiếp theo, ta nghiên cứu toán M A (Ω, φ, f ) miền giả lồi khơng trơn, đa điều hịa loại m (không thiết bị chặn) cho trường hợp ≤ f ∈ Lp (Ω) có giá compact Ω Định lý 1.2.3 Cho m > Ω miền giả lồi, đa điều hòa loại m Cho ρ định nghĩa 1.1.2 φ ∈ C 0,α (∂Ω) hàm bị chặn với < α ≤ Cho u(Ω, φ, 0) Mệnh đề 1.1.4 Khi đó, với p > với ≤ f ∈ Lp (Ω) có giá compact Ω, tồn số A > nghiệm bị chặn u(Ω, φ, f ) toán M A(Ω, φ, f ) cho u(Ω, φ, 0) + Aρ ≤ u(Ω, φ, f ) ≤ u(Ω, φ, 0) Ω Hơn nữa, nghiệm u(Ω, φ, f ) ∈ C 0,γ (Ω) với < γ < α α , , np 2m + p−1 Bây giờ, ta đưa kết tổng quát cho toán M A (Ω, φ, f ) miền giả lồi khơng trơn, đa điều hịa loại m Định lý 1.2.4 Cho m > Ω miền giả lồi, đa điều hòa loại m Cho φ ∈ C 0,α (∂Ω) hàm bị chặn với < α cho ≤ f ∈ Lp (Ω) với p > Giả sử Ω miền bị chặn f có giá compact Ω Khi đó, tồn nghiệm bị chặn, liên tục γ -Hăolder u(; ; f ) ca bi toỏn M A(Ω; φ; f ) với   1 α α  < γ <  , , , np 2m 2m + np 1+ p−1 p−1 Chương Sự ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức Trong phần đầu chương, ta nghiên cứu mối liên hệ hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm đa điều hòa hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng 2.1 Nguyên lý so sánh cho hàm lớp Cegrell Đầu tiên, ta có khái niệm hội tụ theo dung lượng dãy hàm đa điều hòa sau Định nghĩa 2.1.1 Một dãy hàm {uj } ⊂ PSH(Ω), uj gọi hội tụ tới hàm u theo Cn -dung lượng Ω j → +∞, lim Cn ({|uj − u| > δ}, Ω) = 0, ∀δ > j→+∞ Tiếp theo, ta có khái niệm lớp hàm quan trọng U Cegrell giới thiệu Định nghĩa 2.1.2 Cho Ω miền siêu lồi bị chặn Cn Ta nói hàm đa điều hòa âm, bị chặn ϕ Ω thuộc lớp E0 (Ω) {ϕ < −ε} Ω với ε > (ddc ϕ)n < +∞ Ω Lớp F(Ω) ký hiệu họ hàm đa điều hòa ϕ xác định Ω, mà tồn dãy giảm {ϕj } ⊂ E0 (Ω) để hội tụ điểm tới ϕ Ω j → +∞ (ddc ϕj )n < +∞ sup j Ω 11 12 Ta ký hiệu E(Ω) họ hàm đa điều hòa ϕ xác định Ω cho với tập mở G Ω tồn hàm đa điều hòa ψ ∈ F(Ω) thỏa mãn ψ = ϕ G Tiếp theo lớp N (Ω) giới thiệu U Cegrell năm 2008 Định nghĩa 2.1.3 Cho Ω miền giả lồi Cn Cho {Ωj } dãy tăng miền siêu lồi thỏa mãn Ωj Ωj+1 Ω +∞ j=1 Ωj = Ω Với u ∈ E(Ω), ta đặt uj := sup ϕ ∈ PSH− (Ω) : ϕ u Ω\Ωj đó, N (Ω) := {u ∈ E (Ω) : uj a.e Ω} Ta dễ dàng thấy E0 (Ω) ⊂ F (Ω) ⊂ N (Ω) ⊂ E (Ω) Cho K ∈ {F, N , E} Ta kí hiệu Ka (Ω) lớp K(Ω) cho độ đo MongeAmpère (ddc )n triệt tiêu tất tập đa cực Ω Cho f ∈ E(Ω) K ∈ {F a , N a , E a , F, N , E} Khi ta nói hàm đa điều hòa ϕ định nghĩa Ω thuộc lớp K(Ω, f ) tồn hàm ψ ∈ K(Ω) thỏa mãn ψ+f ϕ f Ω Bây giờ, ta thấy u ∈ N a (Ω, f ) phần đa cực (ddc u)n ln mang {f = −∞} Mệnh đề 2.1.4 Cho Ω ⊂ Cn miền siêu lồi bị chặn Giả sử f ∈ E(Ω) u ∈ N a (Ω, f ) cho (−ρ)(ddc u)n < +∞ với ρ ∈ E0 (Ω) Khi Ω 1{u=−∞} (ddc u)n = 1{f =−∞} (ddc f )n Ω Mệnh đề 2.1.5 Cho Ω ⊂ Cn miền siêu lồi bị chặn Cho f ∈ E(Ω) u ∈ N a (Ω, f ) thỏa mãn (−ρ)(ddc u)n < +∞ với ρ ∈ E0 (Ω) Giả sử v ∈ E(Ω) cho Ω c v ≤ f (dd v) ≥ (ddc u)n Ω Khi v ≤ u Ω 2.2 n Hội tụ theo dung lượng hàm đa điều hịa Trước trình bày kết phần này, ta có kết sau 13 Mệnh đề 2.2.1 Cho Ω ⊂ Cn miền siêu lồi bị chặn f ∈ E(Ω) Giả sử ρ ∈ E0 (Ω) u ∈ N a (Ω, f ) thỏa mãn (−ρ)(ddc u)n < +∞ Khi đó, với Ω a v ∈ E (Ω, f ) với ϕ ∈ E0 (Ω) với ϕ ≥ ρ, ta có n! (v − u)n (ddc ϕ)n + {u với ρ ∈ E0 (Ω), ta có lim max j→∞ Ω uj , ρ (ddc uj )n = a max Ω u , ρ (ddc u)n a 17 (c) Với a > với ρ ∈ E0 (Ω), ta có max lim j→∞ vj uj , ρ − max ,ρ a a (ddc uj )n = 0, Ω vj := supk≥j uk ∗ Tiếp theo, ta có số đánh giá cho hàm thác triển cực đại hàm đa điều hòa với giá trị biên độ đo Monge-Ampère chúng ˆ miền siêu lồi bị chặn Cn f ∈ E(Ω), Mệnh đề 3.2.2 Cho Ω ⊂ Ω ˆ với f ≥ g Ω Giả sử u ∈ F a (Ω, f ) cho u ≥ g Ω\K với K g ∈ E(Ω) ˆ g) tập compact Ω Khi đó, S := Su,g ∈ F a (Ω, ˆ (ddc S)n ≤ 1K∩{S=u} (ddc u)n + (ddc g)n Ω ˆ Hơn nữa, (ddc S)n = ((Ω\K) ∩ {−∞ < S < g}) ∪ (Ω ∩ {S < u}) ˆ Bổ đề 3.2.3 Cho Ω ⊂ Ω Cn miền siêu lồi {Gj } dãy miền ∞ siêu lồi bị chặn cho Gj Gj+1 Ω Ω = Gj Giả sử u ∈ F a (Ω) ta j=1 định nghĩa ∗ uj := sup{ϕ ∈ PSH− (Ω) : ϕ ≤ u Ω\Gj } Khi đó, Suj ,0 ˆ j h.k.n Ω +∞ Bây giờ, ta đưa kết hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm thác triển cực đại với giá trị biên, dãy hàm đa điều hòa tương ứng chúng hội tụ theo Cn -dung lượng 18 ˆ Định lý 3.2.4 Cho Ω ⊂ Ω ˆ , Cn miền siêu lồi f ∈ E(Ω), g ∈ E(Ω) w ∈ F a (Ω, f ) cho f ≥ g Ω (ddc g)n + ˆ Ω (ddc w)n < +∞ Ω Giả sử {uj } ⊂ F a (Ω, f ) cho uj ≥ w với j ≥ uj → u theo Cn -dung ˆ lượng Ω Khi đó, Suj ,g → Su,g theo Cn -dung lượng Ω Kết Luận kiến nghị I Kết luận Trong phần này, ta điểm lại kết đạt Luận án • Chứng minh tồn nghiệm toán M A (Ω, φ, f ) trường hợp Ω miền giả lồi, đa điều hòa loi m ã Chng minh tớnh liờn tc Hăolder ca nghiệm toán M A (Ω, φ, f ) trường hợp Ω miền giả lồi, đa điều hòa loại m • Đưa điều kiện đủ dãy hàm đa điều hòa {uj } để có tương đương hội tụ theo Cn -dung lượng dãy {uj } hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère tương ứng {(ddc uj )n } • Chứng minh tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức • Chứng minh số tính chất hàm thác triển cực đại Su,g hàm đa điều hòa u với giá trị biên g • Chứng minh hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm thác triển cực đại Suj ,g dãy đa điều hòa {uj } với giá trị biên g dãy {uj } hội tụ theo Cn -dung lượng II Kiến nghị Từ kết thu luận án trình nghiên cứu, đề xuất số hướng nghiên cứu sau: 20 • Nghiên cứu tốn M A (Ω, φ, f ) trường hợp Ω miền giả lồi chặt, đa điều hòa loại m f bị chặn gần biên Ω • Nghiên cứu điều kiện dãy hàm đa điều hòa {uj } lớp hàm lớn hơn, để có tương đương hội tụ theo Cn -dung lượng dãy {uj } hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère tương ứng {(ddc uj )n } • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức lớp hàm lớn Cuối cùng, xin trân trọng đón nhận góp ý quý báu quý đọc giả hướng nghiên cứu, vấn đề liên quan tới đề tài luận án để tiếp tục phát triển hướng nghiên cứu Danh mục công trình sử dụng luận án [1] N.X Hong, N.V Trao and T.V Thuy (2017), "Convergence in capacity of plurisubharmonic functions with given boundary values", Int J Math., 28(3), Article Id:1750018, 14p DOI:10.1142/S0129167X17500185 [2] N.X Hong and T.V Thuy (2018), "Hăolder continuous solutions to the complex Monge-Ampốre equations in non-smooth pseudoconvex domains", Anal Math Phys., 8, Issue 3, 465-484 [3] L.M Hai, T.V Thuy and N.X Hong (2018), "A note on maximal subextensions of plurisubharmonic functions", Acta Math Vietnam, 43, 137-146 Các kết luận án báo cáo tại: • Hội thảo nghiên cứu khoa học đào tạo Nghiên cứu sinh, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2016; • Seminar Bộ mơn Tốn giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2017; • Hội thảo nghiên cứu khoa học đào tạo Nghiên cứu sinh, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2017; • Đại hội Tốn học tồn quốc lần thứ Nha Trang, 2018 21 ... tài luận án "Tính liên tục Holder ổn định nghiệm phương trình Monge- Ampere" Mục đích nghiên cứu Từ thành tựu đạt gần đây, mục đích Luận án là: • Nghiên cứu tốn Dirichlet tốn tử Monge- Ampère phức... Monge- Ampốre phc • Chương Sự ổn định nghiệm phương trình Monge- Ampère phức • Chương Thác triển cực đại hàm đa điều hòa Tổng quan nghiờn cu Tớnh liờn tc Hă older nghiệm phương trình Monge- Ampère phức... Trên sở đó, ta sử dụng kết đạt để nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge- Ampère phức Cụ thể, luận án đưa kết tổng quát cho định lý ổn định U Cegrell S Kolodziej năm 2006 Thác triển