Bài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân số tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— CHU TRỌNG KÍNH BÀI TỐN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 62 46 01 02 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC XN HỊA, 2018 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp vào hồi ngày tháng năm 20 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích bậc phân số với lịch sử lâu dài lĩnh vực toán học túy Trong vài thập kỷ trở lại đây, phương trình vi-tích phân bậc phân số thu hút quan tâm nhiều tác giả ứng dụng chúng việc mơ tả nhiều tốn từ mơ hình thực tiễn Có nhiều khái niệm đạo hàm bậc phân số Trong số đó, đạo hàm theo nghĩa Caputo đạo hàm Riemann-Liouville sử dụng rộng rãi tính chất đặc thù chúng Lý thuyết định tính phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn định nghiệm nói riêng, hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống, góp phần giải nhiều vấn đề đặt thực tiễn Đối với hệ vi phân với bậc nguyên, hướng nghiên cứu ổn định ghi nhận nhiều thành tựu quan trọng lý thuyết áp dụng Tuy nhiên, hệ vi phân bậc phân số, kết nghiên cứu tính ổn định khiêm tốn Khó khăn phương pháp cách tiếp cận phát triển cho lớp hệ vi phân bậc nguyên thường khơng cịn hiệu lực, đặc biệt hệ vi-tích phân bậc phân số khơng gian vô hạn chiều Nhiều vấn đề mở hướng nghiên cứu lý thuyết định tính dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định ổn định hóa nói riêng, hệ động lực mơ tả hệ phương trình vi-tích phân bậc phân số, trường hợp hữu hạn vô hạn chiều, cần tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện Đối tượng nội dung nghiên cứu 2.1 Sự đồng mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ Trong hai thập kỷ gần đây, hệ động lực có cấu trúc mạng nơron nghiên cứu ứng dụng thành công nhiều lĩnh vực Trong cơng trình cơng bố, tính ổn định hay đồng nghiên cứu cho số mơ hình mạng nơron với trọng số kết nối nơron trễ bị chặn Mặt khác, mơ hình mạng nơron có trễ, mơ hình với trễ tỉ lệ sử dụng phổ biến Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm mơ hình mạng nơron có trễ tỉ lệ thường gặp nhiều khó khăn Đến nay, chúng tơi chưa tìm thấy kết nghiên cứu đề cập đến tính ổn định hay tính đồng mơ hình mạng nơron mô tả hệ vi phân bậc phân số với trễ tỉ lệ Trong Chương luận án này, dựa báo [1] Danh mục cơng trình cơng bố luận án, chúng tơi nghiên cứu tính đồng với tốc độ hội tụ kiểu đa thức cho mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nối biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng sau đây: n D0α xi (t) = − di (t)xi (t) + aij (t)fj (xj (t)) j=1 n + bij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), t > 0, (0.1) j=1 xi (0) = x0i , i ∈ [n] Áp dụng quy tắc Leibniz đạo hàm phân số số kĩ thuật nguyên lý so sánh, chúng tơi thiết lập điều kiện cho tính đồng toàn cục với tốc độ đa thức mơ hình (0.1) Cụ thể hơn, từ điều kiện đặt ra, tồn số dương β γ cho hai nghiệm x(t) x˜(t) (0.1) thỏa mãn đánh giá x(t) − x˜(t) ∞ x0 − x˜0 ∞ , ∀t ≥ (1 + t)γ ≤β 2.2 Nghiệm hút toàn cục bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev không gian Banach vô hạn chiều Các bao hàm thức vi phân không mơ hình tổng qt phương trình vi phân mà cịn xuất phát từ nhiều tốn quan trọng toán điều khiển phản hồi đa trị, toán quy hóa phương trình vi phân với phần phi tuyến không liên tục hay bất đẳng thức vi biến phân Trong chương 3, dựa báo [2] Danh mục cơng trình cơng bố, chúng tơi nghiên cứu toán Cauchy suy rộng lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev có dạng sau D0α Bu(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t)), t = tk , tk ∈ (0, +∞), k ∈ Λ, ∆u(tk ) = Ik (u(tk )), (0.2a) (0.2b) (0.2c) u(0) = g(u), D0α , α ∈ (0, 1), đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo, A, B tốn tử tuyến tính đóng không bị chặn không gian Banach X F (.) ánh xạ phi tuyến đa trị Dựa cách tiếp cận lý thuyết điểm bất động ánh xạ đa trị, việc xây dựng độ đo khơng compact quy, chúng tơi chứng minh tồn tập compact nghiệm hút toàn cục (0.2a)-(0.2c) 2.3 Ổn định hóa điều khiển phản hồi phân quyền số lớp hệ dương bậc phân số dạng kết nối Thuật ngữ hệ kết nối thường sử dụng để hệ điều khiển cấu thành từ hai hay nhiều hệ đơn lẻ hoạt động đồng thời ảnh hưởng lẫn thông qua kênh kết nối Trong điều khiển kĩ thuật, hệ dạng kết nối, hai chiến lược điều khiển phổ biến kĩ thuật điều khiển trung tâm điều khiển phân quyền Trong phần thứ Chương luận án này, dựa báo [3] Danh mục cơng trình cơng bố, chúng tơi nghiên cứu tốn ổn định hóa hệ dương tuyến tính dạng kết nối mơ tả hệ phương trình vi phân bậc phân số sau sau N D0α xi (t) Aij xj (t) + Bi ui (t), t > 0, = Aii xi (t) + j=1,j=i (0.3) xi (0) = xi0 ∈ Rni Trước hết, chúng tơi tìm điều kiện đặc trưng tính dương hệ, tức với điều kiện ban đầu điều khiển đầu vào không âm, quỹ đạo trạng thái hệ ln khơng âm Từ đó, điều kiện cần đủ cho tính ổn định tiệm cận hệ đóng điều kiện thiết kế điều khiển phản hồi phân quyền thiết lập dạng toán quy hoạch tuyến tính, viết tắt LP (linear programming) Trong phần sau chương, dựa báo [4] Danh mục cơng trình cơng bố, chúng tơi mở rộng nghiên cứu tính ổn định hóa bền vững điều khiển phân quyền lớp hệ dương bậc phân số chứa trễ tham số không chắn N D0α xi (t) = Aii xi (t) + Aij xj (t) j=1,j=i N + j=1,j=i Gij xj (t − τij (t)) + Bi ui (t), t ≥ 0, (0.4) xi (s) = φi (s) ∈ Rni , s ∈ [−τi+ , 0], τij (t) độ trễ trạng thái liên kết hệ địa phương thứ i thứ j , ≤ τij (t) ≤ τi+ Dựa tính chất đơn điệu cảm sinh tính dương hệ, điều kiện ổn định ổn định hóa vững (0.4) chúng tơi thiết lập thơng qua tốn LP Các điều kiện cần đủ trường hợp ma trận hệ số biết chắn 3 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng luận án kết hợp số phương pháp giải tích hàm phi tuyến, giải tích bậc phân số, giải tích đa trị, lý thuyết ổn định Lyapunov, lý thuyết điểm bất động lý thuyết nửa nhóm tốn tử Chẳng hạn, nghiên cứu nội dung 1, dựa biễu diễn tích phân bậc phân số quy tắc Leibniz đạo hàm bậc phân số, phát triển kĩ thuật so sánh kiểu Lyapunov-Razumikhin để tìm kiếm điều kiện đồng hệ Trong số trường hợp đặc biệt, điều kiện xác định tính chất phổ M-ma trận Đối với nội dung 2, lý thuyết nửa nhóm, giải tích đa trị giải tích bậc phân số sử dụng việc biểu diễn cơng thức nghiệm tốn Từ đó, lý thuyết độ đo khơng compact lý thuyết điểm bất động vận dụng để nghiên cứu tồn nghiệm nghiệm hút toàn cục Kết đạt luận án Luận án đạt kết sau đây: Thiết lập điều kiện đồng với tốc độ lũy thừa cho lớp hệ phương trình vi phân bậc phân số với hệ số biến thiên mơ tả mơ hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ Chứng minh tồn nghiệm đoạn compact tồn nghiệm hút toàn cục cho lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số chứa xung với điều kiện đầu không cục Đưa điều kiện cần đủ cho tính ổn định ổn định hóa điều khiển phân quyền hai lớp hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối Các điều kiện ổn định ổn định hóa thiết lập thơng qua tốn quy hoạch tuyến tính, cho phép ta kiểm tra cách hiệu nhiều cơng cụ tính toán dựa thuật toán lồi Các kết luận án công bố 04 báo tạp chí quốc tế có uy tín (trong danh mục ISI) Cấu trúc luận án Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình cơng bố tài liệu tham khảo, luận án gồm chương Chương phần kiến thức chuẩn bị, chúng tơi trình bày số kiến thức sở giải tích bậc phân số, giải tích đa trị, số định lí điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm số kết bổ trợ cho việc trình bày nội dung chương sau luận án Chương nghiên cứu tính đồng mạng nơron dạng Hopfield bậc phân số với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ không đồng Chương trình bày kết nghiên cứu lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev không gian Banach vô hạn chiều Và cuối cùng, Chương nghiên cứu toán thiết kế điều khiển phân quyền hai lớp hệ dương dạng kết nối mô tả hệ vi phân điều khiển bậc phân số Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại số kiến thức sở giải tích bậc phân số, giải tích đa trị, số định lí điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm số kết bổ trợ 1.1 M-ma trận Trong mục này, chúng tơi nhắc lại khái niệm tính chất ma trận Metzler, ma trận Hurwitz, M-ma trận 1.2 Một số không gian hàm Trong mục này, nhắc lại số khái niệm không gian hàm 1.3 Lý thuyết nửa nhóm Trong mục này, chúng tơi nhắc lại số kết lý thuyết nửa nhóm 1.4 Giải tích bậc phân số Cho X không gian Banach L1 (0, T ; X) khơng gian hàm khả tích đoạn [0, T ] theo nghĩa Bochner Định nghĩa 1.4.1 Cho trước số thực α > 0, tích phân bậc α hàm f ∈ L1 (0, T ; X) định nghĩa I0α f (t) = Γ(α) Γ(.) hàm gamma Euler, Γ(α) = t (t − s)α−1 f (s)ds ∞ α−1 −t t e dt Định nghĩa 1.4.2 Cho N số nguyên dương Đạo hàm Caputo bậc α ∈ (N − 1, N) hàm f ∈ C N ([0, T ]; X) định nghĩa D0α f (t) = Γ(N − α) t (t − s)N −α−1 f (N ) (s)ds Đạo hàm Caputo suy rộng bậc α ∈ (0, 1) hàm f định nghĩa D0α+ f (t) = D+ Γ(1 − α) t f (s) − f (0) ds , (t − s)α D+ đạo hàm Dini bên phải Định nghĩa 1.4.3 Đạo hàm bậc α theo nghĩa Riemann-Liouville hàm f (.) định nghĩa RL D0α f (t) = t dn dn n−α I f (t) = dtn Γ(n − α) dtn f (s) ds, t > 0, (t − s)α−n+1 n = ⌈α⌉ giá trị trần α, số nguyên thỏa mãn n − < α ≤ n Với hàm f (.) ∈ C [0, ∞) số thực < α < 1, mối liên hệ đạo hàm Riemann-Liouville RL D α f (t) đạo hàm Caputo D0α f (t) cho công thức D0α f (t) = RL D α f (t) − f (0) −α t Γ(1 − α) Bổ đề 1.4.1 (Quy tắc Leibniz ) Với hàm f (.) ∈ C [0, ∞) số thực < α < 1, giả sử hàm ϕ(.) đạo hàm liên tục đoạn [0, t], t > 0, ta có quy tắc Leibniz sau cho đạo hàm bậc phân số n RL D (ϕ(t)f (t)) = k k=0 n số nguyên n ≥ α + 1, Rnα (t) = dk ϕ(t) RL α−k D f (t) − Rnα (t), k dt α α α = k Γ(α+1) k!Γ(α−k+1) (−1)n (t − α)n−α+1 n!Γ(−α) 1 Fα (t, u, v)dudv 0 với Fα (t, u, v) = f (vt)ϕ(n+1) (t(u + v − uv)) Định nghĩa 1.4.4 Hàm Mittag-Leffler tham số Eα (z) định nghĩa ∞ Eα (z) = k=0 zk Γ(αk + 1) α > z biến thực phức Định nghĩa 1.4.5 Phép biến đổi Laplace hàm f (.) cho ∞ F (s) L{f (.)}(s) = e−st f (t)dt Khi đó, L{D0α f (t)} = sα F (s) − sα−1 f (0) 1.5 Ánh xạ đa trị số định lí điểm bất động Cho X không gian Banach B(X) họ tập khác rỗng bị chặn X Định nghĩa 1.5.1 Một hàm β : B(X) → R+ gọi độ đo không compact (MNC) X β(co Ω) = β(Ω) với Ω ∈ B(X), co Ω bao lồi đóng Ω Hơn nữa, MNC β gọi là: i) Đơn điệu Ω0 , Ω1 ∈ B(X), Ω0 ⊂ Ω1 suy β(Ω0 ) ≤ β(Ω1 ) ii) Không suy biến β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với a ∈ X, Ω ∈ B(X) iii) Bất biến theo miền tập compact β(K ∪ Ω) = β(Ω) với tập compact tương đối K ⊂ X Ω ∈ B(X) iv) Nửa cộng tính β(Ω0 + Ω1 ) ≤ β(Ω0 ) + β(Ω1 ) với Ω0 , Ω1 ∈ B(X) v) Chính quy β(Ω) = tương đương với tính compact tương đối Ω Một ví dụ quan trọng độ đo khơng compact Hausdorff χ(·): χ(Ω) = inf{ε| Ω phủ ε-lưới hữu hạn} Định nghĩa 1.5.2 Một ánh xạ đa trị F : Z ⊆ X → P(X) gọi nén theo độ đo không compact β (β -nén) với tập bị chặn Ω ⊂ Z , từ β(Ω) ≤ β(F (Ω)) suy tính compact tương đối Ω, P(X) họ tập X Định lí 1.5.1 Cho X không gian Banach f : X → X ánh xạ co, tức f (x) − f (y) ≤ q x − y với x, y ∈ X , q ∈ [0; 1) Khi đó, f có điểm bất động Định lí 1.5.2 Cho M tập lồi đóng bị chặn X cho F : M → M ánh xạ β -nén Khi đó, FixF := {x = F (x)} tập compact khác rỗng Định lí 1.5.3 Cho M tập lồi đóng bị chặn X F : M → Kv (M) ánh xạ đa trị β -nén nửa liên tục Khi tập điểm bất động Fix(F ) := {x ∈ F (x)} tập khác rỗng compact, với Kv (M) tập lồi compact khác rỗng M Kết mục trình bày định lí Định lí 2.2.1 Giả sử giả thiết (A1) điều kiện (C1) thỏa mãn Khi đó, hệ (2.1) đồng tồn cục với tốc độ lũy thừa Cụ thể, nghiệm x1 (t) x2 (t) (2.1) tương ứng với điều kiện đầu x01 x02 thỏa mãn đánh giá x1 (t) − x2 (t) ∞ ≤ α C ν rm x01 − x02 ∞ , t ≥ 0, (1 + t)α (2.4) Cν = ν u νl−1 , ν u = maxi∈[n] νi , νl = mini∈[n] νi rm = 21 (r + + |r − 1|) Nhận xét 2.2.3 Phương pháp chúng tơi sử dụng mục áp dụng cho mơ hình hệ nơron bậc phân số với trễ biến thiên bị chặn dạng sau đây: n D0α xi (t) = −ci (t)xi (t) + aij (t)fj (xj (t)) j=1 n + j=1 bij (t)gj (xj (t − τij (t))) + Ii (t), i ∈ [n], (2.5) với τij (t), i, j ∈ [n], trễ biến thiên đoạn [0, τ ], τ = maxi,j∈[n] supt≥0 τij (t) Bằng lập luận tương tự chứng minh Định lí 2.2.1 ta thu kết tính đồng hệ (2.5) Bây xét trường hợp hạn chế (C1) Giả sử rằng: (A2) Tồn số di , aij bij , i, j ∈ [n], cho di (t) ≥ di > 0, |aij (t)| ≤ aij , |bij (t)| ≤ bij , ∀t ≥ 0, i, j ∈ [n] Khi đó, điều kiện (2.3) đơn giản hóa sau n −νi di + lf j aij + j=1 lgj νi (1 − α + α2 ) ≤ b ν + j α ij qij r α Γ(2 − α) (2.6) Hệ 2.2.2 Với giả thiết (A1) (A2), giả sử tồn vectơ ν ∈ Rn , −α ν ≻ 0, cho Mν ≺ 0, M = Lf A + Lg B − D , A = (aij ), B = qij bij D = diag{d1 , d2 , , dn } Khi đó, hệ (2.1) đồng toàn cục với tốc độ lũy thừa Nhận xét 2.2.4 Vì −M M-ma trận, điều kiện đồng mơ hình (2.1) cho Hệ 2.2.2 kiểm tra nhiều tiêu chuẩn khác nhau, chẳng hạn điều kiện Mệnh đề 1.1.2 11 Chương NGHIỆM HÚT TOÀN CỤC CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ KIỂU SOBOLEV TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chương trình bày kết nghiên cứu lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev không gian Banach vô hạn chiều Dựa cách tiếp cận độ đo khơng compact định lí điểm bất động ánh xạ nén, trước tiên chứng minh tồn nghiệm tích phân khoảng hữu hạn Sau chúng tơi thiết lập điều kiện chứng minh tồn tập compact khác rỗng nghiệm hút tồn cục tốn cuối đưa ví dụ áp dụng lớp phương trình đạo hàm riêng bậc phân số để minh họa cho kết lý thuyết Nội dung chương dựa báo [2] Danh mục cơng trình cơng bố 3.1 Sự tồn nghiệm khoảng thời gian hữu hạn Cho X không gian Banach Xét lớp bao hàm thức vi phân kiểu Sobolev sau đây: D0α Bu(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t)), t = tk , tk ∈ (0, +∞), k ∈ Λ, (3.1) ∆u(tk ) = Ik (u(tk )), (3.2) u(0) = g(u), (3.3) α ∈ (0, 1), A B tốn tử tuyến tính đóng khơng bị chặn X , − Λ ⊂ N toán tử xung ∆u(tk ) = u(t+ k ) − u(tk ) Các hàm phi tuyến F , g Ik rõ mục sau Để chứng minh tồn nghiệm tốn (3.1)-(3.3), chúng tơi xét điều kiện sau: (A) AB −1 toán tử sinh C0 - nửa nhóm {T (t)}t≥0 liên tục theo chuẩn (F) F : [0, T ] × X → Kv (X), họ tập lồi compact khác rỗng X , ánh xạ đa trị thỏa mãn điều kiện: Với v ∈ X , ánh xạ đa trị F (·, v) có hàm chọn đo mạnh ánh xạ đa trị F (t, ·) nửa liên tục với hầu khắp t ∈ (0, T ); 12 Tồn hàm m ∈ Lp (0, T ), p > α ΨF hàm thực liên tục không giảm cho F (t, v) ≤ m(t)ΨF ( v ), ∀v ∈ X, với hầu khắp t ∈ (0, T ), F (t, v) = sup{ ξ : ξ ∈ F (t, v)}; Nếu B −1 T (·) khơng compact với tập bị chặn D ⊂ X , χ(F (t, D)) ≤ k(t)χ(D) với hầu khắp t ∈ (0, T ), k ∈ Lp (0, T ) hàm không âm (G) Hàm không cục g : PC([0, T ]; X) → D(B) thỏa mãn điều kiện: Bg : PC([0, T ]; X) → X liên tục Bg(u) ≤ Ψg ( u PC ), ∀u ∈ PC([0, T ]; X), Ψg hàm liên tục không giảm R+ ; Tồn η ≥ cho χ(Bg(D)) ≤ ηχPC (D) với tập bị chặn D ⊂ PC([0, T ]; X) (I) Toán tử Ik : X → D(B) thỏa mãn: BIk : X → X liên tục tồn hàm thực liên tục không giảm ΨI dãy không âm {lk }k∈Λ cho BIk (x) ≤ lk ΨI ( x ) với x ∈ X, k ∈ Λ; Tồn dãy khơng âm {µk }k∈Λ cho χ(BIk (D)) ≤ µk χ(D) với tập bị chặn D ⊂ X ; Dãy {tk }k∈Λ thỏa mãn inf k∈Λ {tk+1 − tk } > Với u ∈ PC([0, T ]; X), ta định nghĩa PFp (u) = {f ∈ Lp (0, T ; X) : f (t) ∈ F (t, u(t))} Định nghĩa 3.1.1 Hàm u ∈ PC([0, T ]; X) gọi nghiệm tích phân tốn (3.1)-(3.3) đoạn [0, T ] tồn hàm f ∈ PFp (u) cho u(t) = Sα (t)Bg(u) + 0 (I*) Hàm bước nhảy Ik : X → D(B) thỏa mãn (I) với 15 k∈Λ lk < ∞ k∈Λ µk < ∞ Bổ đề 3.2.2 Giả sử điều kiện (A*), (F*), (G*), (I*) thỏa mãn Thêm nữa, tồn δ ∈ (0, 1) cho δt ϑ = sup t>0 (3.14) Pα (t − s) m(s)ds < ∞, t κ = sup t>0 δt (3.15) (t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ds < ∞ Khi đó, F (PC ) ⊂ PC Bổ đề 3.2.3 Giả sử điều kiện (A*), (F*), (G*) (I*) thỏa mãn Khi đó, ϑ < ∞, max{κ, ℓ} < 1, số ϑ κ cho (3.14)-(3.15), t (t − s)α−1 Pα (t − s) µk Sα∞ + sup ℓ= η+ t>0 k∈Λ χ k(s)ds, (3.16) F χ∗ −nén PC Kết mục trình bày định lí Định lí 3.2.4 Giả sử điều kiện (A*), (F*), (G*) (I*) thỏa mãn Hơn nữa, giả sử ϑ < ∞, max{ℓ, ρ} < 1, số ϑ ℓ tương ứng cho (3.14) (3.16), ρ = lim inf r→∞ r lk Sα∞ Ψg (r) + ΨI (r) k∈Λ t + sup t>0 (t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ds (3.17) Khi đó, tốn (3.1)-(3.3) có tập compact khác rỗng nghiệm hút toàn cục Hệ 3.2.5 Giả sử (A*), (F*), (G*) (I*) Ψg (r) ≤ r, ΨI (r) ≤ r, ∀r > Khi đó, max{ℓ0 , κ0 } < ϑ = sup t>0 Pα (t − s) m(s)ds < ∞, với δt t lk Sα∞ + sup ℓ0 = + t>0 k∈Λ (t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ds, t µk Sα∞ κ0 = η + k∈Λ + sup t>0 (t − s)α−1 Pα (t − s) χ k(s)ds, (3.18) (3.19) Sα∞ = supt≥0 Sα (t) , tốn (3.1)-(3.3) có tập compact khác rỗng nghiệm hút toàn cục 3.3 Ứng dụng Cho Ω ⊂ RN miền trơn, bị chặn Xét toán ∂tα u(t, x) − ∂tα ∆x u(t, x) − ∆x u(t, x) = f (t, x), 16 (3.20) f (t, x) ∈ co{f1 (t, u(t, x)), , fm (t, u(t, x))}, x ∈ Ω, < t = tk , k ∈ N, u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, − u(t+ k , x) = u(tk , x) + (3.23) G(s, x, y)u(s, y)dyds, x ∈ Ω, (3.24) b Ω (3.22) Hk (x, y)u(tk , y)dy, x ∈ Ω, Ω u(0, x) = v(x) + (3.21) ∂tα , α ∈ ( 12 , 1), đạo hàm Caputo theo t, ∆x toán tử Laplace theo x, m m co{f1 , , fm } = i=1 µi fi : µi ≥ 0, µi = i=1 Kí hiệu X = L2 (Ω), A = ∆ với D(A) = H (Ω) ∩ H01 (Ω) Gọi {λn }n≥1 dãy giá trị riêng −A với vectơ riêng tương ứng {en }n≥1 Khi đó, < λ1 < λ2 < · · · < λn < · · · λn → ∞ n → ∞ Hơn nữa, ∞ Au = − λn u, en en , n=1 ·, · kí hiệu tích vơ hướng X Bây ta xét B = I − ∆ với D(B) = D(A) Khi đó, nửa nhóm T (·) sinh AB −1 biểu diễn dạng ∞ −λn e 1+λn t u, en en T (t)u = n=1 Rõ ràng, T (t) ≤ e−βt , t ≥ 0, với β = λ1 1+λ1 > Do toán tử nghiệm đặc trưng Sα (·), Pα (·) ổn định tiệm cận điều kiện (A*) thỏa mãn Ánh xạ F : R+ × X → P(X) xác định F (t, v)(x) = co{f1 (t, v(x)), , fm (t, v(x))} với fi : R+ × R → R, i = 1, , m, hàm liên tục thỏa mãn |fi (t, z)| ≤ m(t)|z|, ∀(t, z) ∈ R+ × R, (3.25) m ∈ BC(R+ ; R+ ), không gian hàm liên tục bị chặn R+ , thỏa mãn I0α m ∈ BC(R+ ; R+ ), tức I0α m(t) = O(1) t → ∞ Khi điều kiện (F*) thỏa mãn theo (3.25) ta có F (t, v) ≤ m(t) v Xét hàm bước nhảy Ik định nghĩa Ik (v)(x) = Hk (x, y)v(y)dy Ω 17 (3.26) Giả sử Hk : Ω × Ω → R, k = 1, 2, hàm đo cho Hk ∆x Hk thuộc L2 (Ω × Ω) Kí hiệu hk (x, y) = Hk (x, y) − ∆x Hk (x, y) BIk (v)(x) = hk (x, y)v(y)dy, Ω toán tử Hilbert-Schmidt Nói riêng, BIk tốn tử compact Suy Ik thỏa mãn điều kiện (I)(2) với µk = Thêm nữa, Ik thỏa mãn (I)(1) với lk = hk L2 (Ω×Ω) , ΨI (r) = r, ∀r ≥ Vì điều kiện (I*) thỏa mãn ∞ k=1 lk Với hàm không cục bộ, đặt < ∞ b g(w)(x) = v(x) + Ω G(s, x, y)w(s, y)dyds, w ∈ PC([0, +∞); X) Chúng giả thiết v ∈ H (Ω) G : [0, b] × Ω × Ω → R hàm đo với G(t, ·, ·), ∆xG(t, ·, ·) ∈ L2 (Ω × Ω) Khi đó, cách đặt ˜ x, y) = (I − ∆x )G(s, x, y) G(s, ta có b Bg(w) ≤ v H2 ˜ ·, ·) G(s, + L2 (Ω×Ω) ds w ∞ nên (G)(1) thỏa mãn với b Ψg (r) = v H2 ˜ ·, ·) G(s, + L2 (Ω×Ω) ds r Vì tốn tử K , định nghĩa ˜ x, y)v(y)dy, G(s, K(v)(x) = Ω toán tử Hilbert-Schmidt với s ∈ [0, b] cố định, ta thấy với tập bị chặn D ∈ PC([0, ∞); X), K(D(s)) tập compact tương đối X Do tập Bg(D) = Bv + b χ(K(D(s)))ds b K(D(s))ds tập compact tương đối χ(Bg(D)) ≤ = Chứng tỏ (G)(2) thỏa mãn với η = Cuối cùng, chúng tơi điều kiện Định lí 3.2.4 thỏa mãn tốn (3.20)-(3.24) có tập compact nghiệm hút toàn cục b ρ= ∞ ˜ ·, ·) G(s, hk L2 (Ω×Ω) ds + k=1 18 L2 (Ω×Ω) Sα∞ + φ∞ < Chương ỔN ĐỊNH HÓA MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG BẬC PHÂN SỐ DẠNG KẾT NỐI BẰNG ĐIỀU KHIỂN PHÂN QUYỀN Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa điều khiển phân quyền số lớp hệ dương dạng kết nối mơ tả hệ phương trình vi phân bậc phân số Dựa tính chất đơn điệu cảm sinh tính dương hệ, điều kiện cần đủ cho tính ổn định ổn định hóa thiết lập thơng qua tốn dạng quy hoạch tuyến tính Nội dung chương dựa báo [3] [4] Danh mục cơng trình cơng bố luận án 4.1 Hệ dương bậc phân số dạng kết nối 4.1.1 Mô tả hệ Xét hệ thống điều khiển cấu thành từ N hệ địa phương (còn gọi hệ con) liên kết với mà hệ địa phương thứ i mô tả hệ phương trình vi phân bậc phân số sau N D0α xi (t) Aij xj (t) + Bi ui (t), t > 0, = Aii xi (t) + j=1,j=i (4.1) xi (0) = xi0 ∈ Rni , α ∈ (0, 1), xi (t) ∈ Rni vectơ trạng thái ui (t) ∈ Rmi điều khiển đầu vào địa phương, Aii ∈ Rni ×ni , Aij ∈ Rni ×nj Bi ∈ Rni ×mi ma trận cho trước, xi0 điều ⊤ ⊤ n kiện ban đầu hệ thứ i Kí hiệu x = (x⊤ , x2 , , xN ) ∈ R vectơ tổng (trạng ⊤ ⊤ m thái toàn hệ thống) u = (u⊤ , u2 , , uN ) ∈ R , n = n1 + + nN , m = m1 + + mN Hệ kết nối toàn phần (4.1) biểu diễn dạng D0α x(t) = Ax(t) + Bu(t), t > 0, x(0) = x0 ∈ Rn  A  11 A  21 A=   A12 A22 A1N   A2N   ∈ Rn×n ,    AN AN AN N 19 B = diag(B1 , , BN ) ∈ Rn×m (4.2) Định nghĩa 4.1.1 Hệ (4.2) gọi hệ dương với vectơ ban đầu khơng âm, x0 ∈ Rn+ , điều khiển đầu vào không âm, u(t) ∈ Rm + , quỹ đạo trạng thái tương ứng hệ không âm, tức x(t) ∈ Rn+ với t ≥ Mệnh đề 4.1.1 Hệ (4.2) hệ dương Aii , i ∈ [N], ma trận Metzler Aij , i = j , Bi , i ∈ [N], ma trận khơng âm 4.1.2 Tính ổn định Để ổn định hóa hệ (4.2), điều khiển phân quyền thiết kế dạng ui (t) = Ki xi (t), t ≥ 0, (4.3) Ki ∈ Rmi ×ni ma trận đạt điều khiển hệ thứ i Khi đó, hệ đóng tương ứng (4.1) cho D0α x(t) = (A + BK) x(t) (4.4) Acl K = diag(K1 , K2 , , KN ) Định lí 4.1.2 Giả sử hệ đóng (4.4) hệ dương Khi đó, hệ (4.4) ổn định tiệm cận toàn cục tồn vectơ vi ∈ Rni , vi ≻ 0, i ∈ [N], thỏa mãn điều kiện sau N (Aii + Bi Ki ) vi + j=1,j=i Aij vj ≺ (4.5) 4.1.3 Thiết kế điều khiển Định lí 4.1.3 Xét hệ điều khiển dạng kết nối cho (4.1) giả sử Aij với i = j Khi đó, khẳng định sau tương đương: (a) Tồn điều khiển phản hồi phân quyền dạng (4.3) cho hệ đóng (4.4) hệ dương ổn định tiệm cận toàn cục (b) Tồn vectơ vi ∈ Rni , vi ≻ 0, ma trận Ki ∈ Rmi ×ni thỏa mãn (4.5) cho Aii + Bi Ki , i ∈ [N] ma trận Metzler (c) LP sau có nghiệm vectơ ≺ vi ∈ Rni ma trận Zi ∈ Rmi ×ni N Aii vi + Bi Zi 1ni + j=1,j=i Aij vj ≺ (i) (i) b Z + [Aii ]kl ≥ 0, i ∈ [N], k, l ∈ [ni ], k = l vil k l 20 (4.6a) (4.6b) Bi = b(i)⊤ (i)⊤ b2 ⊤ (i)⊤ bni , Zi = Z1(i) (i) Z2 (i) Zni vi = (vil ) Các ma trận đạt Ki , i ∈ [N], cho (i) vi1 Z1 Ki = Zi D0−1 (vi ) = (i) vi2 Z2 (i) vini Zni (4.7) D(vi ) ma trận đường chéo tạo phần tử vectơ vi 4.2 Tính ổn định ổn định hóa vững hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối với nhiễu dạng khoảng trễ không đồng 4.2.1 Hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối có trễ Xét lớp hệ điều khiển dạng kết nối gồm N hệ địa phương Σi , i ∈ [N], N D0α xi (t) = Aii xi (t) + Aij xj (t) j=1,j=i N + j=1,j=i Gij xj (t − τij (t)) + Bi ui (t), t ≥ 0, (4.8) xi (t) = φi (t) ∈ Rni , t ∈ [−τi+ , 0] τij (t) độ trễ hệ thứ i hệ thứ j , ≤ τij (t) ≤ τij+ , τij+ số, τi+ = max1≤j≤N τij+ φi (·) ∈ C([−τi+ , 0], Rni ) điều kiện ban đầu Các độ trễ xét không đồng nhất, tức là, τij (t) τkl (t) nói chung khác i = k j = l Các ma trận Aij , Gij Bi , i, j ∈ [N], (4.8) ma trận xác, giả thiết chứa nhiễu dạng khoảng Aij Aij Aij , i, j ∈ [N], Gij Gij Gij , i, j ∈ [N], i = j, Bi (4.9) B i , i ∈ [N], Bi Aij , Aij , Gij , Gij B i , B i ma trận biết Để thuận tiện, ta viết ∆lb Aij = Aij − Aij ∆ub Aij = Aij − Aij Các ký hiệu tương tự định nghĩa cho ma trận khác Để ổn định hóa vững hệ (4.8), điều khiển phân quyền thiết kế dạng (4.10) ui (t) = Ki xi (t), t ≥ 0, Ki ∈ Rmi ×ni ma trận đạt được, hệ đóng (4.8) viết dạng N N D0α xi (t) = Acii xi (t) Aij xj (t) + + j=1,j=i j=1,j=i Acii = Aii + Bi Ki 21 Gij xj (t − τij (t)), (4.11) 4.2.2 Điều kiện hệ dương Mệnh đề 4.2.1 Hệ (4.8) hệ dương với trễ biến thiên bị chặn τij (t) Aii , i ∈ [N], ma trận Metzler Aij , Gij , i, j ∈ [N], i = j , Bi , i ∈ [N], ma trận không âm Xét hệ mức mức (4.8) sau N D0α x− i (t) = Aii x− i (t) + N Aij x− j (t) + j=1,j=i j=1,j=i Gij x− j (t − τij (t)) + B i ui (t), t ≥ 0, (4.12) Gij x+ j (t − τij (t)) + B i ui (t), t ≥ 0, (4.13) + x− i (t) = θi (t), t ∈ [−τi , 0], i ∈ [N] N D0α x+ i (t) = Aii x+ i (t) + N Aij x+ j (t) + j=1,j=i j=1,j=i + x+ i (t) = ψi (t), t ∈ [−τi , 0], i ∈ [N] Bổ đề 4.2.2 Giả sử (4.12) hệ dương x(t), x− (t), x+ (t) tương ứng nghiệm i (4.8), (4.12) (4.13) với đầu vào ui (t) ∈ Rm + Khi đó, ψi (t), ∀t ∈ [−τi+ , 0], ∀i ∈ [N], x− i (t) xi (t) θi (t) φi (t) x+ i (t) với t ≥ Bổ đề 4.2.3 Giả sử (4.12) hệ dương Khi đó, hệ đóng (4.11) hệ dương nếu, với i ∈ [N], Aˆci = Aii + Bia Ki − Big |Ki | ma trận Metzler, Bia = 1/2 B i + B i Big = 1/2 B i − B i 4.2.3 Phân tích tính ổn định Định lí 4.2.4 Cho trước ma trận đạt Ki , i ∈ [N], giả sử hệ đóng (4.11) hệ dương Khi đó, hệ (4.11) ổn định tiệm cận vững tồn vectơ vi ∈ Rni , vi ≻ 0, i ∈ [N], thỏa mãn điều kiện sau: N Aii + Bia Ki + Big |Ki | vi + j=1,j=i Aij + Gij vj ≺ 0, ∀i ∈ [N] (4.14) 4.2.4 Thiết kế điều khiển Định lí 4.2.5 Tồn điều khiển phản hồi phân quyền dạng (4.10) cho hệ đóng (4.11) hệ dương ổn định tiệm cận bền vững điều kiện sau thỏa mãn: (a) Các ma trận Aij , Gij , i, j ∈ [N], i = j , B i , i ∈ [N], không âm; 22 (b) Tồn vectơ vi ∈ Rni , vi ≻ 0, ma trận Zi ∈ Rmi ×ni , i ∈ [N], thỏa mãn toán LP sau N Aii vi + Bia Zi + Big |Zi | 1ni + j=1,j=i (Aij + Gij )vj ≺ (i) (i) (i) (i) bak Zl − bgk |Zl | + [Aii ]kl ≥ 0, ∀k = l vil  vi1   (i) ba1   (i) bg1 (4.15a) (4.15b)    a   g   (i) (i) (i)      vi =   , Bi =  , Bi =   Zi = Z1 Z2 Zni Ma (i) (i) bani vini trận đạt Ki , i ∈ [N], cho Ki = Zi D0−1 (vi ) = bgni (i) (i) Z Z vi1 vi2 vini (i) Zni (4.16) Hệ 4.2.6 Giả sử ma trận Aii , Bi , i ∈ [N], Aij , Gij , i, j ∈ [N], i = j , (4.8) biết Aij , Gij , i, j ∈ [N], i = j , Bi , i ∈ [N], khơng âm Khi đó, khẳng định sau tương đương (a) Tồn điều khiển phản hồi phân quyền dạng (4.10) cho hệ đóng (4.11) hệ dương ổn định tiệm cận toàn cục (b) Tồn vectơ χi ∈ Rni , χi ≻ 0, ma trận Ki ∈ Rmi ×ni cho Aii +Bi Ki , i ∈ [N] ma trận Metzler điều kiện sau với i ∈ [N] N (Aii + Bi Ki )χi + j=1,j=i (Aij + Gij )χj ≺ (4.17) (c) Bài toán LP sau có nghiệm χi ∈ Rni , χi ≻ 0, Wi ∈ Rmi ×ni N Aii χi + Bi Wi 1ni + j=1,j=i (Aij + Gij )χj ≺ (i) (i) b W + [Aii ]kl ≥ 0, ∀k, l ∈ [ni ], k = l χil k l  χi1   (i) b1 (4.18a) (4.18b)      , Bi =   Wi = W (i) W (i) Wn(i) Ma trận đạt χi =  i     χini (i) Ki , i ∈ [N], cho bni Ki = (i) χi1 W1 (i) χi2 W2 23 (i) χini Wni (4.19) KẾT LUẬN CHUNG Các kết đạt Luận án đạt kết sau đây: Thiết lập điều kiện đảm bảo tính đồng tồn cục với tốc độ lũy thừa cho lớp hệ phương trình vi phân bậc phân số với hệ số biến thiên mơ tả mơ hình mạng nơron có trễ tỉ lệ Chứng minh tồn nghiệm tích phân đoạn compact tồn nghiệm hút toàn cục cho lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số chứa xung với điều kiện đầu không cục Đưa điều kiện cần đủ cho tính ổn định, ổn định hóa điều khiển phân quyền hai lớp hệ dương bậc phân số dạng kết nối có trễ khơng có trễ Các điều kiện ổn định ổn định hóa thiết lập thơng qua tốn quy hoạch tuyến tính Một số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở liên quan cần tiếp tục nghiên cứu như: • Tính đồng mạng nơron khuếch tán có trễ mơ tả hệ phương trình vi phân bậc phân số • Phát triển số toán quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống toán thiết kế điều khiển phản hồi theo đầu ra, điều khiển H∞ , thiết kế lọc, quan sát v.v hệ điều khiển mơ tả phương trình vi phân bậc phân số 24 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN C.T Kinh, L.V Hien, T.D Ke, Power-rate synchronization of fractional-order nonautonomous neural networks with heterogeneous proportional delays, Neural Processing Letters 47 (2018) 139–151 (SCIE) Van Hien LE, Dinh Ke TRAN, Trong Kinh CHU, Globally attracting solutions to impulsive fractional differential inclusions of Sobolev type, Acta Mathematica Scientia 37 (2017) 1295–1318 (SCIE) Le Van Hien, Chu Trong Kinh, Decentralised stabilization of positive fractionalorder interconnected systems, IET Control Theory and Applications 11 (2017) 2391–2395 (SCI) Le Van Hien and Chu Trong Kinh, Robust control of positive fractional-order interconnected systems with heterogeneous delays, Asian Journal of Control (2018) Doi: 10.1002/asjc.1739 (SCIE) Các kết luận án báo cáo tại: • Xemina Giải tích, Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn, Trường ĐHSP Hà Nội • Xemina Phương trình vi phân, Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường ĐHSP Hà Nội • Xemina Phịng Tối ưu Điều khiển, Viện Tốn học ... + φ∞ < Chương ỔN ĐỊNH HÓA MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG BẬC PHÂN SỐ DẠNG KẾT NỐI BẰNG ĐIỀU KHIỂN PHÂN QUYỀN Trong chương này, nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa điều khiển phân quyền số lớp hệ dương dạng... cục cho lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số chứa xung với điều kiện đầu không cục Đưa điều kiện cần đủ cho tính ổn định ổn định hóa điều khiển phân quyền hai lớp hệ điều khiển bậc phân số dạng... cục cho lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số chứa xung với điều kiện đầu không cục Đưa điều kiện cần đủ cho tính ổn định, ổn định hóa điều khiển phân quyền hai lớp hệ dương bậc phân số dạng kết